概率论第1章3-6

P(B) P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P( A3)P(B | A3) 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0345
例2 12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出三个用完后放回去， 求第三次取到的乒乓球个个都是新球的概率。
P(
A)

1

P(
A)

1

365

364 L 36530
336
0.706
例 4 据调查，某部门接待站在某一周曾接待过12次来访，已
知这12次来访接待的时间都是在周一和周五进行的，问是否可
以推断接待来访的时间是特意安排的？
思路：假设接待站来访的时间是每周的任意一天，而来访
者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接
这种方法定义的概率称 为几何概率
( A) 为A的度量，可以是长度，面积，体积等几何度量。
例5 甲乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面。先 到者等待 t 时离去(t<T)，设两人在0到T这段时间内各时刻到 达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两 人能会面的概率P(A).
解：以x，y表示甲乙两人到达的时刻，则0 x T , 0 y T , 即S {(x, y) 0 x T , 0 y T}, 两人能会面的充要条件为：
1.3 古典概率与几何概率
1.3.1 古典概率
古典概型：若一随机试验具有下面两个特征： （1） 所有的基本事件数为有限个； （2） 每个基本事件出现的可能性相同。
则称该随机试验为古典概型（等可能概型）。
古典概型中事件A的计算：
P( A)

A 中包含的基本事件个数(r) 基本事件总数(n)
例1 将一枚硬币抛掷三次. (1)设事件A1为“恰有一次出现 正面”, 求P(A1); (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面 ”, 求P(A2).
解 设 Ai , Bi ,Ci 分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球， i=0，1，2，3. 显然A0 A1 A2 , A3 . 并且 B0 , B1, B2, B3
构成一个完备事件组，由公式得：
P(Bi )
C9i C33i C132
(i
0,1, 2,3)
P(C3
|
解：（1）设事件A表示取得一件一等品一件次品，则基本事
件总数为
n

C2 100
，A包含的基本事件数为 r

C610C110
，故
P( A)

60 10 100 99
1

4 33
2
（2）设事件B表示产品为合格品，则产品合格率为事件B的 概率P(B)，B包含的基本事件数为r C910 ，基本事件总数
解：设事件A表示“活到20岁以上”；事件B表示“活到25岁 以上”，则有P(A)=0.8,P(B)=0.4,由于B A ，则 AB B ， P(AB) 0.4.
故 P(B | A) P( AB) 0.4 0.5 P( A) 0.8
1.4.2 乘法定理
定理1.1 (乘法公式) 设A,B为二事件，若P(B) 0,则 P(AB) P(B)P(A | B)
解：以 Ai ,i 1, 2,3 分别表示“第i枪击中猎物”， 则所求概率为P( A1 A2 A3).
P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3)
1 P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1 A2 ) 1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1) 0.73. 例10 10个考签中有四个难签，3人参加抽签，不放回，甲 乙丙顺序抽，求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到 难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。
解 (1) 随机事件的样本空间:
S={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }.
而 故得
A1={HTT,THT,TTH }.
P( A1 )

3 8
(2) 由于A2 {TTT},于是
P( A2
)

1
P( A2
)

1
1 8

7 8
.
例 2 100件产品有60个一等品，30个二等品，10个废品，规定 一二等品都为合格品，(1) 从中任意取两件，求两件产品有一 件一等品一件次品的概率； (2) 这批产品的合格率。
甲、乙、丙抽到难签的概率是否相等？
1.5 概率基本公式
1.5.1 全概率公式
怎样从已知的简单事件的概率去推算出复合事件的概率？ 把一个复合事件分解为若干个互斥的简单事件之和，再
通过分别计算这些简单事件的概率得到最终结果。 定理1.2 （全概率公式）
设事件组 A1, A2,L An ,L 为完备事件组，且 P( Ai ) 0, i 1, 2,..., n,..., 则对任一随机事件B，有
试求A=“针与平行线相交”的概率P(A).
解：设M为针的中点，x表示M点与最近的一条平行线的距离，
表示针与与最近的平行线的交角，易知：S : 0 xБайду номын сангаас a , 0 . 而针与平面相交的充要条件为：x l sin 2
2
故所求概率为：
P(A) (A)
0
l sind
当P(B) 0时，有 P(A | B) P(AB) P(B)
例7 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%， 甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，现随意买 一只灯泡，若用 ，分A,别A表示该灯泡是甲乙厂生产的，B表示 该灯泡为合格品，试计算下面的概率：
P( A), P( A), P(B | A), P(B | A), P(B | A), P(B | A)
待来访者都是在周一周五的概率为
212 712
3107
实际推断原理
1.3.2 几何概率
引例：设S为一区域，某质点等可能的落在位于区域中的任一 点，A为S子区域，求质点位于A的概率P(A).
由等可能的假定知，质点位于A的概率与A的度量成正比，
因此，P(A)可定义为：
P( A) ( A) (S)
| x y | t, 即 A {(x, y) | x y | t},
所以
P( A)

( A) (S)

T2
(T t)2 T2
1 (1 t )2 T
例6 （Buffon投针问题） 在平面上画有等距离的一些平行线，
距离为 ，向a 平面上随意投掷一长为 l (l 的a针) ，
一般地，对多个事件 A1, A2, A3,L , An , 若P( A1A2 L An ) 0,则有
P( A1A2 L An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )L P( An | A1A2 L An1)
例9 猎手在距猎物10米远处开枪，击中概率为0.6，若击不 中， 待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25， 若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概 率 ，求猎手在三枪内击中猎物的概率。
解：设A表示机器调整良好，则 A 表示机器发生某种故障，B表示 产品为合格品。由题意可得： P(A) 95%, P(A) 5%, P(B | A) 98%, P(B | A) 55%
注2 P( Ai | B) 是试验结果B发生之后对各种“原因”的重新度 这种条件量概。率称为后验概率。
例3(P31-20) 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时， 产品的合格率为98%，当机器发生某种故障时，其合格率为55%， 每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%，试求已知某 日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？
并比较其大小. 追究责任问题 这类概率称为事后概率.
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 Bayes公式 后验概率公式 设事件组 A1, A2,L , An 为完备事件组，且 P( Ai ) 0,i 1, 2,..., n,
对任一事件B，若P(B)>0，则有下边公式成立：
P( Ai | B)
i 1
注2：若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一 阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，要求的是第二阶段 的结果发生的概率，则肯定用全概率公式。
注3：应用公式时，必须首先找出引发该事件的完备事件组。
推论1.6 设有事件A，且0<P(A)<1，则对任一随机事件B，有
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
P( Ai )P(B | Ai )
n
(i 1, 2,..., n)
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
注1 若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一
阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，但第二阶段
的某一个结果已知，要求的是此结果为第一阶段某个结
果所引起的概率。则肯定用Bayes公式。
复习
1. 事件的关系
和事件 积事件 差事件 互斥事件 互逆事件 完备事件组
2. 事件的运算
交换律 结合律 分配律 对偶律 自反律
3. 概率的公理化定义
三个公理： 非负性 归一性 可数可加性
4. 概率的运算性质:
加法公式： P( A B) P( A) P(B) P(AB)
减法公式：P( A B) P( A) P( AB)
A=“该生喜欢看足球赛”；B=“该生为男生”；该生喜欢看 足球赛（已知该生为男生），此事件记A |为B
P( A) 12
18 P(B)
P( A | B) 10 P( AB)
30
30
18 P(B)
定义：在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事 件A对于事件B的条件概率。记为：P(A | B)
为: n

C1 100
,
故产品合格率为：
P(B) 90 90%
100
例 3 某班有30名学生，试求该班至少有两名学生生日相同的 概率。
解：设事件A表示至少有两名学生生日相同，基本事件总 数为 n 36530 ，A 表示30个学生生日各不相同，则其基
本事件总数为 r 365364L (365 30 1) ，从而
2

2l
(S)
a
a
2
若以频率代替概率，则有 m 2l
n a
即 2nl
ma 统计试验法
蒙特卡罗方法 (MonteCarlo)
1.4 条件概率与乘法定理
1.4.1 条件概率
引例 某班有30名学生，其中女生12名，男生18名，女生中有2 人喜欢看足球赛，男生中有10人喜欢看。先从该班中随意挑选一 位学生。考虑：
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
证明提示： B A1 A2 ... An ...
B B B(A1 A2 ... An ...) BA1 BA2 ... BAn ...
注1：上述和式既可以是有限和，也可以是级数和，事件组也 不必是完备事件组，只要是两两互斥的且 B U Ai 即可。
解：依题意 P( A) 0.7, P( A) 0.3, P(B | A) 0.95, P(B | A) 0.8
进一步可得 P(B | A) 0.05, P(B | A) 0.2
例8 设某种动物活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的 概率为0.4，现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以 上的概率是多少？
Bi )
C3 9i
C132
(i
0,1, 2,3)
3
P(C3) P(Bi )P(C3 | Bi ) 0.1458 i0
思考
1）枪支校验问题中，射手已经中靶， 他是用已校正的枪的可能性有多大？
2）在抽检试验中,如果已抽到一件次品，需 追究有关车间的责任,你如何考虑？
对问题2）应计算以下概率： P(A i︱B) = ? i = 1, 2, 3, 4.
例1 一批产品共计100箱，其中25箱由甲厂生产，另35箱、 40箱分别由乙厂、丙厂生产，已知甲、乙、丙三厂的产品次 品率分别为0.05，0.04，0.02。先从中任取一箱，再从该箱 中任取一件，求所取产品为次品的概率。
解：以B表示所取产品为次品，以 A1, A2, A3 分别表示所取一箱 由甲乙丙厂生产，则 A1, A2, A3 为完备事件组，故由全概率 公式，所求概率为：
事件b表示活到25岁以上则有pa08pb04由于04pab?0408pa则ba?abb?故05pabpba???142乘法定理定理11乘法公式设ab为二事件若0pb?则pbpabpab?一般地对多个事件123naaaa?120npaaa??若则有12121312121nnnpaaapapaapaaapaaaa?????例9猎手在距猎物10米远处开枪击中概率为06若击不中待开第二枪时猎物已逃至30米远处此时击中概率为025若再击不中则猎物已逃至50米远处此时只有01的击中概率求猎手在三枪内击中猎物的概率