整式除法

整式的除法
一、知识要点：（1）单项式除以单项式的法则（2）多项式除以单项式的法则的依据（3）多项式除以单项式的运算法则
二、技能要求
1.掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并能运用它们进行运算。

2.进行整式的加、减、乘、除、乘方等比较简单的混合运算，并能运用运算律与乘法公式运算。

三、重要数学思想
在学习整式除法法则和整式除法运算的过程中，初步掌握转化的数学思想方法，注意由多项式到单项式，从未知向已知的转化。

四、主要数学能力
1.在推导除法法则的过程中，培养观察、分析、综合、类比、归纳、转换、概括等思维能力。

2.在整式的混合运算中，透彻理解算理，言必有据，灵活运用运算律与乘法公式，使运算简便，培养运算能力。

五、学习指导
1.两个单项式相除：
两个单项式相除可分为三个步骤：
（1）把系数相除，所得的结果作为商的系数。

（2）把同底数的幂分别相除，以所得的结果作为商的因式。

（3）只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式。

这里显然指的是被除式能被除式整除的情况，所以两个单项式相除，在现阶段仍是一个单项式。

例1.计算：(1) (-0.5a2b3x2)÷(-ax2) (2) 4x2y·(-y) ÷4x2y2
(3) (5x m+2y n)2÷[(-xy)2]n(4) (2ax)2(-a4x3y3) ÷(-a5xy2)
解：(1) (-0.5a2b3x2)÷(-ax2) 分析：①此题为两个单项式相除，运用法则计算=[(-)(-)]a2-1b3x2-2②x2-2=1，被除式中含有的字母b，
=ab3连同它的指数作为商的一个因式b3. (2) 4x2y·(-y) ÷4x2y2分析：①此题为单项式乘除混合运算
=[4×(-)×](x2÷x2)(y·y÷y2)②系数相乘除作为商的系数，
=-x2-2y1+1-2相同字母相乘除用法则运算。

=-x0y0=-×1③x0y0=1
=-
(3) (5x m+2y n)2÷[(-xy)2]n分析：①混合运算先做乘方再乘除
=(5x m+2)2·(y n)2÷(-xy)2n②第一步：被除式做的积的乘方，
=25x2m+4·y2n÷x2n y2n除式是幂的乘方③第三步做单项式
=25x2m+4-2n·y2n-2n乘除混合运算④y2n-2n=y0=1
=25x2m-2n+4
(4) (2ax)2(-a4x3y3) ÷(-a5xy2)分析：①第一步先求(2ax)2
=4a2x2·(-a4x3y3) ÷(-a5xy2)②第二步用单项式乘除法则运算
=[4(-)(-2)](a2·a4÷a5)(x2·x3÷x)(y3÷y2)
=6a2+4-5x2+3-1y3-2 =6ax4y
例2.计算：(1) (6×108)÷(3×103) ÷(-4×10-4)(2) 9(m-n)4÷3(m-n)3
解：(1) (6×108)÷(3×103) ÷(-4×10-4)分析：①此题可仿同底数
=[6××(-)](108÷103÷10-4)幂的乘除混合计算进行
=-×108-3-(-4)= -×108-3+4②第一步运算将10的幂的系数
=-×109相乘除，10的幂相乘除
③第二步再做10的幂的乘法
(2) 9(m-n)4÷3(m-n)3分析：①此题运用两个单项式相除的法则
=9××[(m-n)4÷(m-n)3]②(m-n)的系数相除, (m-n)的指数相减
=3(m-n)4-3=3(m-n)③3(m-n)不能作结果，应用乘法分配律计算=3m-3n.
例3.计算：(1) 1213÷(310×411)(2) a12b8÷ a9b6(3) -[(-2a2)5] ÷[-(-a)3]3
解：(1) 1213÷(310×411) 分析：①将1213进行变形，1213=(3×4)13用积的乘方逆变形运算=(3×4)13÷(310×411)
=313×413÷(310×411)②第二步可用法则展开
=313-10×413-11③最后将结果计算出来
=33×42=27×16 =432
(2) （法一）
a12b8÷ a9b6分析：①法（一）运用两个单项式相除的法则进行计算
=a12-9b8-6=a3b2
（法二）②法（二）运用积的乘方的逆变形转化成(a3b2)的同底数幂相除进行计算
a12b8÷ a9b6
=(a3b2)4÷(a3b2)3
=(a3b2)4-3=a3b2
(3) -[(-2a2)5] ÷[-(-a)3]3 分析：运算时注意符号，特别是负号较多时
=-(-32a10) ÷(a9)=32a10-9
=32a
例4.设a=, b=, n=1. 求a2n+1b3n-1÷a n-1b2n-3的值。

分析：求值问题一定先观察代数式是否能进行化简，若能进行化简应先化简再求值。

解：∵a2n+1b3n-1÷a n-1b2n-3分析: ①第一步至第三步应用两个单项式相除的法则进行计算=a2n+1-(n-1)b3n-1-(2n-3)
=a2n+1-n+1b3n-1-2n+3②a n+2b n+2再应用积的乘方的逆变形为(ab)n+2,计算起来简便。

=a n+2b n+2
=(ab)n+2
又∵a=, b=, n=1③将已知的a值，b值，n值代入化简后的式子(ab)n+2再求值∴原式=(ab)n+2
=(×)1+2 =()3=
例5.已知底面一边长为a，另一边长为a的长方体的体积是棱长为a的正方体体积的，求长方体的高。

解：设长方体的高为h, 其体积为a·a·h，正方体体积：a3
等量关系：长方体体积=×正方体体积
依题意可得：a·a·h=a3
∴h=a3÷(a·a)
=(÷)(a3-2) = a
答：长方体的高为a。

2.多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．不管是多项式的乘法还是多项式的除以单项式，都是应用分配律:（a＋b）（m＋n）＝a（m＋n）＋b（m＋n），（a＋b＋c）÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m，将其转化为已经熟知的单项式的乘法和单项式的除法．从这里可以看出乘、除法分配律的功用．这种将尚未解决的问题转化为已经解决的问题的形式的思想在数学上称为化归思想．望同学们深刻体会．
例6.计算：（１）（6m5n4－m4n3＋m3n3）÷m3n3；
（２）[2（x＋y）3－4（x＋y）2－x－y]÷（x＋y）．
分析：（２）中若把被除式中的－x－y变形为－（x＋y）将（x＋y）作为一个整体，本题即可运用多项式除以单项式的法则进行计算．
解：（１）（6m5n4－m4n3＋m3n3）÷m3n3
＝6m5n4÷m3n3－m4n3÷m3n3＋m3n3÷m3n3＝10m2n－m＋1；
（２）[2（x＋y）3－4（x＋y）2－x－y]÷（x＋y）
＝[2（x＋y）3－4（x＋y）2－(x＋y)]÷（x＋y）
＝2（x＋y）2－4（x＋y）－1
＝2(x2＋2xy＋y2) －4x－4y－1
＝2x2＋4xy＋2y2－4x－4y－1 ．
例7.已知除式＝3x2＋2y，商式＝9x4－6x2y＋4y2，余式＝x－8y3，求被除式．
分析：由“被除式＝商×除式＋余式”来求被除式．若被除式能被整除，则余式为零．
解：由题可知所求被除式为
(3x2＋2y)( 9x4－6x2y＋4y2)＋x－8y3
＝3x2( 9x4－6x2y＋4y2)＋2y ( 9x4－6x2y＋4y2) ＋x－8y3
＝27 x6－18 x4y＋12 x2y2＋18yx4－12x2y2＋8y3＋x－8y3
＝27 x6＋x ．
例8. 说明任意奇数的平方被4除，余数是1．
分析：任意奇数可表示为2n+1(n为整数)．根据被除数、除数、商和余数间的关系，如果能说明被除数减去1能被4整除，则问题便得解．
解：设任意奇数为2n+1 (n为整数)，因为(2 n＋1)2－1＝4 n 2＋4 n＋1－1＝4 n 2＋4 n，又因为n是整数，所以4 n 2＋4 n是4的倍数，即4 n 2＋4 n能被4整除．所以任意奇数的平方被4除余数是1
多项式除法技巧
多项式除以多项式
①特殊的多项式除法(利用所学的乘法公式去做)
②利用竖式进行多项式除法
例1．计算
解：将被除式与除式均按x降幂排列
∴原式=。

例2．计算
解：先将被除式与除式均按x的降幂（y的升幂）排列
原式=
∴原式=5x+y.
小结：利用竖式进行多项式除法的步骤
（1）被除式和除式都要按同一字母降幂排列
（2）若被除式或除式中缺项，要补零（或留有空位）
（3）余式的次数应低于除式的次数。

例3．已知关于x的多项式A被除所得的商式为2x－3，余式为7。

求这个多项式A。

解：根据带余除法的关系式，
类型一：计算
1、下列运算是否正确？对错题指出原因，并加以改正。

思路点拨：
解析：解（1）错误。

错在指数相除，应为指数相减，正确结果应为；
（2）错误。

错在将指数相除,或误认为,正确结果应为1；
（3）错误。

错在将减法当除法，不是同类项，不能合并；
（4）错误。

错在把幂的符号与底数的符号相混淆，或者在乘方改变底数符号时产生错误，正确结果应为；
（5）错误。

错在将不同底的幂当作同底的幂，或在不同底幂化成同底幂相乘时产生符号错误，应为。

（6）正确。

总结升华：
同底数幂的除法运算常见的错误是：
（1）指数运算混乱；（2）底数确定的不对，出现符号错误；（3）系数计算不准；（4）运算顺序不对．
举一反三：
【变式1】例2 若2m=6，4n=2，求22m-2n+2的值.
【答案】分析：逆用同底数幂乘、除法性质进行计算.注意a mn=(a m)n=(a n)m，a m-n=a m÷a n.
解：∵2m=6，4n=2，
∴(2m)2=36，(22)n=2，
即22m=36，22n=2.
∴22m-2n+2=22m÷22n·22
=36÷2×4
=72.
类型二：单项式除以单项式
2、计算
(1)(a2n+2b3c)÷(2a n b2) (2)(x-y)5÷(y-x)3
(3)(x3y2)3÷(xy)2 (4)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)
思路点拨：（1）中被除式的系数是1，可按照单项式相除法则计算;(2)将底数多项式看作整体，先将底数调整为相同的，进行同底数幂的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中最简单的形式），并将结果化到最后；
对于混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则进行计算.(1)先进行乘方，再进行除法运算.(2)先乘方，再自左至右进行乘除法.
解析：(1)(a2n+2b3c)÷(2a n b2)=(1÷2)·(a2n+2÷a n)·(b3÷b2)·c =a n+2bc
(2)(x-y)5÷(y-x)3
=-(y-x)5÷(y-x)3 =-(y-x)2
=-(y2-2xy+x2)
=-y2+2xy-x2
(3)(x3y2)3÷(xy)2
=x9y6÷(x2y2)
=(÷)(x9÷x2)·(y6÷y2)
=x7y4
(4)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)
=(9x2y4)·(2xy)÷(6x3y3)
=(18x3y5)÷(6x3y3)
=3y2
总结升华：
从单项式除法的法则看出，单项式除法的实质是将它转化为同底数幂的除法运算，运算的结果仍是单项式．
运用单项式除法的法则进行计算的一般步骤：
（1）把系数相除，所得结果作为商的系数；
（2）把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；
（3）把只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式运算常出现常见错误是：
（1）忽略符号；（2）遗漏只在一个单项式里出现的字母．
举一反三：
【变式1】已知(-xyz)2·m=x2n+1y n+3z4÷5x2n-1y n+1z，求m.
【答案】解：x2y2z2·m =x2y2z3,
∴m=x2y2z3÷x2y2z2=z.
类型三：多项式除以单项式
3、计算：①[（xy2）2+3xy3·xy-2y2·（xy）2]÷xy3·y
②[（x+y）3-2（x+y）2+6（x+y）]÷（x+y）
思路点拨：分析：第①题应注意运算顺序，同级运算要按从左到右的顺序依次进行．第②题应视x+y为一个整体而看着是多项式除以单项式．
解析：①[（xy2）2+3xy3·xy-2y2·（xy）2]÷xy3·y
=[x2y4+3x2y4-2x2y4]÷xy3·y
=2x2y4÷xy3·y
=2xy·y
=2xy2
②[（x+y）3-2（x+y）2+6（x+y）]÷（x+y）
=（x+y）2-2（x+y）+6
=x2+2xy-2x+y2-2y+6
总结升华：多项式除以单项式的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算．
多项式除以单项式一般按下面两步进行：
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除得的商相加．
多项式除以单项式时，应注意逐项运算，要留心各项的符号．
多项式除以单项式常见的错误是：
（1）忽视符号问题；
（2）系数和指数运算不准．
举一反三：
【变式1】已知多项式2a3-4a2-a除以一个多项式A，得到商式为2a，余式为a2-a，求这个多项式.
【答案】分析：被除式、除式、商式、余式四者之间的关系是“被除式=除式×商式+余式”，因此只要知道这四个量中的任意三个，就可以求出第四个量.本题要求的是除式，所以除式=(被除式-余式)÷商式.
解：A=［(2a3-4a2-a)-(a2-a)］÷2a=(2a3-5a2)÷2a=a2- a.。