【立体设计】高考数学 第3章 第2节 利用导数判断函数的单调性限时作业(福建版)

【立体设计】2012届高考数学 第3章 第2节 利用导数判断函数的
单调性限时作业（福建版）
一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1. 函数y=a 2
x +c 在区间（0,+∞)内单调递增，则a 和c 应满足 （ ） A.a ＜0，且c=0 B.a ＞0，且c 是任意实数 C.a ＜0，且c ≠0 D.a ＜0，且c 是任意实数
【解析】因为y ′=2a x ，且函数y=a 2
x +c 在（0，+∞）上单调递增，所以2ax ＞0，所以 a ＞0且c ∈R . 【答案】B
2设()f x '是函数f(x)的导数,y=()f x '的图象如下图所示，则y=f(x)的图象最有可能是下图中的 ( )
【解析】由y=()f x '的图象得当-1<x<1时，()f x '>0,
所以y=f(x)在(-1,1)上单调递增.因为当x<-1和x>1时，()f x '<0,
所以y=f(x)在(-∞,-1)和（1，+∞）上分别单调递减.综合选项得只有B 正确. 【答案】B
3.（2011届·福建模拟）函数f(x)= ln x
x
,当0<x<1时，下列式子大小关系正确的是（ ） A.f 2
(x)<f(x 2
)<f(x)
B.f(x 2)<f 2
(x)<f(x)
C.f(x)<f(x 2)<f 2
(x)
D.f(x 2)<f(x)<f 2
(x) 解析：当x ∈(0,1)时，
<0,
,比较f(x)与
f(x 2
)的大小.因为,在x ∈(0,1)时，f ′(x)<0,所以f(x)在（0，1）上
为减函数，又因为0<x 2<x<1,所以f(x 2)>f(x).所以f(x)<f(x 2)<f 2
(x). 答案:C
4.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数图象如右图，则y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （ ）
解析：观察y=f ′(x)与y=g ′(x)的图象可知，f ′(x)与g ′(x)都是大于0的，所以函数y=f(x)与y=g(x)都是增函数，排除C.又y=f ′(x)的图象为增函数，y=g ′(x)的图象为减函数，易知y=f(x)的图象增长的速度越来越快，y=g(x)的图象增长的速度越来越慢，且在其中一点处两个函数的切线斜率相等，故选B. 答案:B
5. 已知3
2
()f x x bx cx d =+++在区间［-1，2］上是减函数，那么b+c （ ）
A.有最大值
152 B.有最大值152- C.有最小值152 D.有最小值15
2
-
【解析】本题考查导数的基本应用和不等式的性质. 由已知得当-1≤x ≤2时，2
()320f x x bx c '=++≤恒成立，
23,
(1)0(2)0,412,
c b f f b c -≤-⎧''-≤-≤⎨
+≤-⎩所以且即
111115
(2)(4)(3)(12).
22222
b c c b b c
+=-++≤⨯-+⨯-=-
所以
【答案】B
6. 已知()ln
f x x x
=,那么f(x) ( )
A.在（0，e)上单调递增
B.在（0，10）上单调递增
C.在
1
(0,)
10
上单调递减，
1
(,)
10
+∞上单调递增
D.在
1
(0,)
e
上单调递减，
1
(,)
e
+∞上单调递增
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
7. f(x)=x-ln x的单调减区间为 .
【解析】令y=f(x)=x-ln x，由
0,
1
10,
x
y
x
>
⎧
⎪
⎨
'=-<
⎪⎩
解得0<x<1.故减区间为（0，1）.
答案：(0,1)
8. 已知函数3
()
f x x kx
=-在区间（-3，-1）上不单调，则实数k的取值范围是 . 【解析】2
()3.
f x x k
'=-
()0,.
3
k
f x x
'==
令则因为在(-3,-1)上函数不单调，
所以
3
k
即3<k<27.
答案3<k<27
9. 若函数2
()ln2
f x mx x x
=+-在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是 . 【解析】由题意可得：
1
()22
f x mx
x
'=+-在（0，+∞)上有()0
f x
'≥恒成立，所以
1
220
mx
x
+-≥在（0，+∞)上恒成立，即
2
21
2m
x x
≥-在（0，+∞)上恒成立.设
2
2
121
()(1)1,
t x
x x x
=-+=--+只要求出t(x)在（0，+∞)上的最大值即可.而当
1
1
x
=，即
x=1时，
max
()1
t x=,所以2m≥1,即
1
2
m≥.
答案：12
m ≥
10. 函数()y f x =在定义域3
(,3)2
-
内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=,则不等式()0f x '≤的解集为 .
【解析】由函数y=f(x)的定义域3
(,3)2
-
内的图象可得，函数()y f x '=的大致如图所示.由图象可得不等式()0f x '≤的解集为1
[,1][2,3)3
-.
答案：1[,1][2,3)3
-
三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 11. 已知函数f(x)=ln x-ax(a ∈R ).
(1)若函数f(x)单调递增，求实数a 的取值范围； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间.
【解】(1) 1
()(0),f x a x x
'=
-> 根据已知得11
0,(0,),0a a x a x x
-≥≤∈+∞≤即在上恒成立故只要即可
(2)当a>0时，令11
()0,.f x a x x a '=-==得
1110,()0;,()0.ax ax
x a f x x f x x a x
--''<<=>>=<当时当时
故函数f(x)的单调递增区间为1(0,]a ，单调递减区间为1
[,)a
+∞.
12.（2011届·泉州五中月考））设()2ln .k
f x kx x x
=--
(1)若(2)0f '=,求过点（2，f(2))的直线方程；
（2）若f(x)在其定义域内为单调增函数，求k 的取值范围.
因为x>0，所以
12x x +
≥.所以211x x
≤+.所以k ≥1.综上，k 的取值范围为k ≥1.
B 级
1. 函数3
2
()2f x ax bx x =+-a 、b ∈R ，且ab ≠0）的图象如图所示，且x 1+x 2＜0，则有 （ ）
A.a ＞0，b ＞0
B.a ＜0，b ＜0
C.a ＜0，b ＞0
D.a ＞0，b ＜0 【解析】由题意知2
()32 2.f x ax bx '=+- 令()0f x '=,则1x 、2x 为()0f x '=的两个根， 即121222
0,0.2333b b x x x x a a a
-+=-=-<=<⨯所以a>0,b>0，选A. 【答案】A
2. 如果函数2
()2ln f x x x =-在定义域的一个子区间（k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ( )
A. 32k >
B. 12k <-
C. 1322k -<<
D. 312
k ≤< 【解析】1
()4,0.f x x x x
'=->因为(k-1,k+1)是定义域的一个子区间，
所以
k-1≥0,k ≥ 1.由题意令
()0f x '=,则140,x x -
=则1
2
x =
. 1113(1,1),11,.2222k k k k k ∈-+-<<+-<<所以即解得.又k ≥1,所以312
k ≤<.
故选D. 【答案】D
3.函数f(x)=
3
13
x +ax+1在
（-∞,-1)上为增函数，在（-1，1）上为减函数，则f(1)的值为 . 解析：由题知f ′(-1)=0,又f ′(x)=x 2
+a,所以1+a=0,a=-1,f(x)=313
x -x+1,
所以f(1)=13-1+1=1
3.
答案: 13
4.已知函数f(x)=313
x +ax 2
-bx+1(a 、b ∈R )在区间［-1，3］上是减函数，则a+b 的最小值
是 .
解析：因为f ′(x)=x 2+2ax-b,f(x)在［-1，3］上是减函数，所以f ′(x)=x 2
+2ax-b 在 ［-1，3］上恒不大于零.
所以f ′(-1)≤0,f ′(3)≤0, 即1-2a-b ≤0,9+6a-b ≤0,
作出可行域如图所示阴影部分.易求当过点（-1，3）时，a+b 的值最小，最小值为-1+3=2. 答案:2
5.（2010·全国新课标）设函数f(x)=x(e x -1)-ax 2
. (1)若a=
1
2
,求f(x)的单调区间； （2）若当x ≥0时f(x)≥0,求a 的取值范围. 解：（1）a=
12时，f(x)=x(e x -1)- 12
x 2, f ′(x)=e x -1+xe x -x=(e x
-1)(x+1). 当x ∈(-∞,-1)时，f ′(x)>0;当x ∈(-1,0)时，f ′(x)<0;
当x ∈(0,+∞)时,f ′(x)>0.
故f(x)在（-∞,-1],[0,+∞)上单调递增，在[-1,0]上单调递减.
（2）f(x)=x(e x -1-ax).令g(x)=e x -1-ax,则g ′(x)=e x
-a. 若a ≤1,则当x ∈(0,+∞)时，g ′(x)>0,g(x)为增函数， 而g(0)＝0，从而当x ≥0时g(x)≥0,即f(x)≥0.
若a>1,则当x ∈(0,ln a)时，g ′(x)<0,g(x)为减函数， 而g(0)＝0，从而当x ∈(0,ln a)时g(x)<0,即f(x)<0. 综合得a 的取值范围为（-∞,1].
6.已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3),其导函数y=h′(x)的图象如图，f(x)=6ln x+h(x).
(1)求函数f(x)在x=3处的切线斜率；
（2）若函数f(x)在区间（m,m+ 1
2
）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）若对任意k∈［-1,1］,函数y=kx(x∈(0,6］)的图象总在函数y=f(x)的图象上方，求c的取值范围.
解：（1）由已知，h′(x)=2ax+b,其图象为直线，且过（0,-8),(4,0)两点，
所以h′(x)=2x-8,
所以
22,1,
88
a a
b b
==
⎧⎧
⇒⇒
⎨⎨
=-=-
⎩⎩
h(x)=x2-8x+c,
所以f(x)=6ln x+x2-8x+c.
所以f′(x)= 6
x
+2x-8,
所以f′(3)=0,所以函数f(x)在点（3，f(3))处的切线斜率为0.
(2)f′(x)= 6
x
+2x-8=
2(1)(3)
x x
x
--
,列表如下：
因为x>0，所以f(x)的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞), f(x)的单调递减区间为（1，3）.
要使函数f(x)在区间（m,m+1
2
）上是单调函数，
m的取值范围0≤m≤1
2
或1≤m≤
5
2
或m≥3.
(3)由题意，即对k∈［-1,1］,kx≥f(x)在x∈(0,6］恒成立，得kx≥6ln x+x2-8x+c在x∈(0,6］恒成立，
即对k∈［-1,1］,k≥6ln x
x
+
c
x
+x-8在x∈(0,6］恒成立，
所以-1≥6ln x c
x x
++x-8在x∈(0,6］恒成立，
即-1≥6ln x c
x x
++x-8,6ln x+c+x2-7x≤0,。