西安交大附中2023年中考数学三模试卷附详细答案

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西安交大附中2023年中考数学三模试卷
注意事项：
1.本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。

全卷共6页，总分120分.考试时间120分钟.
2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号.
3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效.
4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑.
5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 (选择题共21分)
一、选择题(共7小题，每小题3分，计21分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.计算(−13)+6的结果等于( )
A.−19
B.−7
C.−5
D.19 1.解：(−13)+6=−7，故选B .
2.如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A.圆柱
B.圆锥
C.三棱柱
D.长方体
2.解：圆柱、圆锥的俯视图是圆形，三棱柱的俯视图是三角形，故选D .
3.某大学芯片研究学院研发的某种芯片的厚度约为0.00014米，其中“0.00014”用科学记数法可表示为( )
A.14×10-4
B.1.4×10-4
C.1.4×10-5
D.0.14×10-3 3.解：0.00014=1.4×10-4，D 不符合科学计数法的规范，故选B .
第2题图
第6题图
B
第4题图
α
4.将一副三角板按如图所示摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为( )
A.75°
B.105°
C.110°
D.120° 4.解：∠α=180°−30°−45°=105°，故选B .
5.关于一次函数y=−4x +8的图象，下列说法不正确的是( ) A.直线不经过第三象限 B.直线经过点(1，4) C.直线与x 轴交于点(2，0) D.y 随x 的增大而增大
5.解：直线不经过第三象限，直线经过点(1，4)，直线与x 轴交于点(2，0)均正确，斜率k ＜0，y 随x 的增大而减小，故选D .
6.如图，AB 为⊙0的直径，弦CD 交AB 于点E ，BC ̂=BD ̂，∠CDB=30°，AC=3√3，则OE 的长为( )
A.√3
2 B.√
3 C.32
D.2 6.解：连接OC 、BD ，∵BC
̂=BD ̂，∴AB ⊥CD ，BC=BD ，∴∠BCE=∠CDB=30°，∵AB 为⊙0的直径，∴∠ACE=60°，∠CAB=30°，CE=1
2AC=
3√32，AB=AC
cos30°
=6，∴OB=3，∵BE=CE ×tan30°=32
，∴OE=OB-BE=3
2
，故选C .
7.把二次函数y=x 2+4x +m 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件( ) A.m ＞3 B.m=3 C.0＜m ＜3 D.m≤3
7.解：平移后所得抛物线为y=(x −3)2+4(x −3)+m+1，即y=x 2−2x +m −2，依题意有方程x 2−2x +m −2=0的判别式Δ=4−4(m −2)=0，解得m=3，故选B .
第二部分(非选择题共99分)
二、填空题(共6小题，每小题3分，计18分)
8.若关于x 的一元二次方程x 2−k x −2=0的一个根为x =1，则这个一元二次方程的另一个根为_______.
8.解：将x =1代入x 2−k x −2=0得k=−1，即原方程为x 2+x −2=0，因式分解得(x -1)(x +2)=0，故另一个根为x =−2.
9.若正n 边形的中心角为72°，则n=_______. 9.解：n=360÷72=5.
10.如图所示的曲边三角形是这样画的：先画一个等边三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画弧，三段弧围成的图形就是一个曲边三角形.若中间等边三角形的边长是10，则曲边三角形的周长是_______.
10.解：一段弧长为
60360
×2π×10=103
π，故曲边三角形的周长是103
π×3=10π.
11.如图，菱形ABCD 的边长为17，对角线AC=30，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG=_______.
11.解：∵点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴EF ∥BD ，∵DE ∥BG ，∴四边形BDEG 为平行四边形，∴EG=BD ，令AC 与BD 交于点O ，在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，OB=1
2BD ，
OC=1
2
AC=15，由勾股定理知OB=√BC 2−OC 2=√172−152=8，故EG=BD=2OB=16.
12.反比例函数y=
k 2+1x
的图象过点M(x 1，y 1)、N(x 2,y 2)，若x 1＞x 2＞0，则y 1______y 2
(填“＞”、“=”或“＜”). 12.解：∵k 2
+1≥1，∴反比例函数y=k 2+1x
的图象在第一三象限，y 随x 的增大而减小，
故y 1＜y 2.
13.在△ABC 中，∠C=90°，CB=CA=5，点D 是BC 的中点，点P 是△ABC 内一点，且DP=DC ，连接DP 、AP ，点Q 是DP 的中点，则AP+BQ 的最小值是_______.
第11题图
A
C
G
D F
E B
第13题图
A
D
C
Q
P 第10题图
M
O
13.解：∵D 为BC 中点，∴DP=CD=BD=52
，∵Q 为DP 中点，∴DQ=12
CD=5
4
取BD 中点M ，连接AM ，则DM=12
BD=12
CD=DQ=5
4
，又∵∠PDM=∠BDQ ，∴△PDM ≌△BDQ(SAS)
∴BQ=PM ，∴AP+BQ=AP+PM
∵AP+PM ≤AM ，∴当A 、P 、M 三点共线时，AP+PM 有最小值AM 长
由勾股定理知AM=√AC 2+CM 2=√52+(5
2
+5
4
)2=25
4
，即AP+BQ 的最小值为25
4
.
三、解答题(共14小题，计81分.解答应写出过程) 14.(4分)计算：|−√12|−(4−π)0+(1
3)-1.
14.解：原式=2√3−1+3=2√3+2. 15.(4分)解不等式：
2x+13
≤−
x+52
.
15.解：2(2x +1)≤−3(x +5) 4x +2≤−3x −15 7x ≤−17 x ≤−17
7.
16.(4分)化简：(1−m m+2)÷
m 2−4m+4m 2−4
. 16.解：原式=(
m+2m+2
−
m
m+2
)÷(m−2)(m−2)
(
m+2)(m−2)=
2
m+2
×
m+2
m−2=
2
m−2
.
17.(4分)如图，在以AB 为直径的半圆上，用尺规在弧AB 上求作一点P ，使圆周角∠PAB=45°.(保留作图痕迹，不写作法)
P
第17题图
A
B
17.解：如图所示，作AB 的中垂线交弧AB 于点P.
18.(4分)如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽.
18.解：设长与宽增加x m ，依题意有 (35+x )=2(15+x ) 解得x =5
答：新的矩形绿地的长与宽分别为40m 与20m.
19.(5分)如图，Rt△ABC 和Rt△EDF 中，∠B=∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC 和Rt△EDF 全等，并写出证明过程.
19.解：添加AB=ED (满足ASA)，或BC=DF(满足AAS)或AE=CF(满足AAS) 证明如下(以AB=ED 为例)：
在Rt△ABC 和Rt△EDF 中，∵{∠B =∠D
∠A =∠DEF AB =ED ，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF (ASA).
20.(5分)菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.∠AOC=45°，OC=3√2，求点B 的坐标.
第19题图
A
F
C
E
D
B
第18题图
20.解：分别过C 、B 作CE ⊥轴，BF ⊥轴，则CE ∥BF ∵∠AOC=45°，OC=3√2，∴OE=CE=√22
OC=3 ∵菱形OABC 中，BC ∥OA ，∴四边形BCEF 为矩形 ∴BF=CE=3，EF=BC=OC=3√2，OF=0E+EF=3+3√2 故点B 的坐标为(3+3√2,3).
21.(5分)某校组织部分志愿者周末到“24小时盲童之家”进行志愿服务.1班决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加.抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.
(1)“A 志愿者被选中”是_______事件(填“随机”或“不可能”或“必然”)； (2)请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A ，B 两名志愿者被选中的概率.
21.解：(1)“A 志愿者被选中”是随机事件.(2)所有可能的情况如下表
第20题图
故A ，B 两名志愿者被选中的概率为212=1
6
.
22.(6分)我校在秦岭植物园劳动教育基地挂牌，标志着劳动教育在西安市开启校外实践新模式.月份学校组织七、八年级学生前往该实践基地开展劳动教育，为了解我校七、八年级学生完成某项任的时长情况(单位：h)，分别从七、八年级中各随机抽取了8名学生进行调查，并将调查结果进行收集整理与分析，信息如下：
收集数据：
七年级：0.9 1.1 0.4 1.0 1.2 0.6 0.8 0.8 八年级：0.5 1.3 0.7 0.6 0.6 0.7 1.0 0.6 整理、分析数据：
(1)填空：a=_______，b=_______，c=_______；
(2)已知小颖完成该项任务的时长为0.7h ，通过调查了解到，她完成该项任务的时长比她所在年级半数以上学生用时都少，请判断她所在的年级，并说明理由；
(3)若该校七年级共有600名学生参加此次劳动教育，请估计该校七年级学生中完成该项任务的时长不超过1h 的人数.
22.解：(1)a=(0.9+1.1+0.4+1.0+1.2+0.6+0.8+0.8)÷8=0.85，b=(0.8+0.9)÷2=0.85，c=0.6.
(2)∵小颖完成该项任务的时长低于七年级的中位数0.85，高于八年级的中位数0.65，∴她所在的年级为七年级.
(3)抽查的8名七年级学生中完成该项任务的时长不超过1h 的人数有6人，估计全校完成该项任务的时长不超过1h 的人数有600×6
8=450人.
23.(7分)如图，三角形花园ABC 紧邻湖泊，四边形ABDE 是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C 在点A 的正东方向，AC=200米.点E 在点A 的正北方向.点B ，D 在点C 的正北方向，BD=100米.点B 在点A 的北偏东30°，点D 在点E 的北偏东45°.
(1)求步道DE 的长度(精确到个位)；
(2)点D 处有直饮水，小红从A 出发沿人行步道去取水，可以经过点B 到达点D ，可以经过点E 到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？
(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)
23.解：(1)∵∠BAE=30°，AE ∥BC ，∴∠ABC=30°，∴BC=AC tan30°
=√3AC=200√3
过E 作EF ⊥CD 于F ，则四边形ACFE 为矩形，∠DEF=45°，∴DF=EF=AC=200 ∴DE=
DF sin45°
=√2DF=200√2≈283(米)
(2)由(1)知BC=200√3，DF=200，∴CF=BC+BD-DF=200√3+100−200=200√3−100 ∴AE=CF=200√3−100，AE+DE=200√3−100+200√2≈529(米) ∵AB=2AC=400，∴AB+BD=500(米)，∴AB+BD ＜AE+DE ∵AC+BC ＞AB ，∴AC+BC+BD ＞AB+BD 故经过点B 到达点D 这条路路最近.
F
第23题图
A
C
B
E
D
北
东
南
西
30°
45°
24.(7分)我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活.如图①，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤陀到秤纽的水平距离为x (厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y 是x 的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据. x (厘米) 1 2 4 7 11 12 y(斤) 0.75
1.00
1.50
2.75
3.25
3.50
图①
图②
第24题图
(1)在上表x 、y 的数据中，发现有一对数据记录错误，在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
(2)根据表格中的正确数据，求y 与x 的一次函数表达式.并求出当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 24.解：(1)描点如图所示，可以发现x =7，y=2.75是错误的.
(2)设y 与x 的一次函数表达式为y=k x +b ，分别代入(1,0.75)、(2,1)得
{
k +b =0.75
2k +b =1
解得k=0.25，b=0.5
故y 与x 的一次函数表达式为y=0.25x +0.5 将x =16代入y=0.25x +0.5得y=4.5(斤) 答：秤钩所挂物重是4.5斤.
10 12 y(斤) x (厘米)
1
2 3 4 2 4 6 8 O
25.(8分)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径作⊙O，交AB 边于点D ，在CD
̂上取一点E ，使BE ̂=CD ̂，连接DE ，作射线CE 交AB 边于点F. (1)求证：∠A=∠ACF；
(2)若AC=8，cos∠ACF=4
5，求BF 及DE 的长.
25.解：(1)∵∠ACB=90°，∴∠A+∠DBC=∠ACF +∠ECB=90° 连接BE 、CD ，∵BE
̂=CD ̂，∴∠ECB=∠DBC ，∴∠A=∠ACF . (2)由(1)知∠A=∠ACF，∴AF=CF ，∵∠ACB=90°，∴AB=AC
cos ∠A =
AC
cos∠ACF
=8×5
4
=10
由勾股定理知BC=√AB 2−AC 2=√102−82=6
∵BC 为⊙O 的直径，∴∠ECB+∠EBC=90°，∵∠ACF +∠ECB=90°，∴∠EBC=∠ACF ∴BE=BC ×cos ∠EBC=6×45=
24
5
，CE=√BC 2
−BE 2=√62−
(245)2=18
5
∵BE
̂=CD ̂，∴BD ̂=CE ̂，∴BD=CE ，∠DEB=∠CBE ，∴DE ∥BC ，∴EF CF =DE BC
过F 作FG ⊥AC 于G ，则CG=12
AC=4，∵cos ∠ACF =CG CF
= 4
5
，∴CF=5
在Rt △ABC 中，∵AF=CF ，∴F 为AB 中点，∴BF=AF=CF=5 EF=CF −CE=5−
185=7
5，∵EF CF =DE
BC ，∴DE=EF×BC CF =7
5×65=42
25
. 26.(8分)如图，已知抛物线y=x 2+b x +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(−4，5)，AC∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式；
第25题图
(2)过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标.
26.解：(1)将点A(0，1)，点B(−4，5)分别代入y=x 2+b x +c 得
{
c =1
16−4b +1=5
解得b=3，c=1
∴抛物线的解析式为y=x 2+3x +1.
(2)将y=1代入y=x 2+3x +1得x 2+3x =0，解得x 1=0，x 2=−3，即点C 坐标为(−3,1) 设点P 坐标为(t, t 2+3t +1)(−3＜t ＜0)
设直线AB 的解析式为y=k x +m ，分别代入A(0，1)，B(−4，5)得
{
m =1
−4k +m =5
解得k=−1，m=1，即直线AB 的解析式为y=−x +1，∴点E 坐标为(t,1−t) EP=y E −y P =1−t −(t 2+3t +1)= −t 2−4t
∵S 四边形AECP =S △ACE +S △ACP =1
2
×AC ×(EF+FP)= 1
2
×AC ×EP= 1
2
×3×(−t 2−4t)= −3
2
(t+2)2+6
∴当t=−2时，四边形AECP 的面积最大，此时点P 坐标为(−2, −1).
第26题图
27.(10分)数学探究小组利用一些三角形彩纸裁剪面积最大的内接正方形，他们就有关问题进行了探究：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
作图：如图1，正方形DEFG 的顶点E ，F 在边AB 上，顶点D 在边AC 上.在△ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形DEFG 的位似正方形D ´E ´F ´G ´，且使正方形D ´E ´F ´G ´的面积最大. 实践操作：
(1)第一小组拿到的钝角三角形原材料，你认为在钝角三角形中存在____个内接正方形；
(2)第二小组拿到的是直角三角形原材料，小明说：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.小丽同学认为他的结论不正确，她通过计算腰长为1的等腰直角三角形(如图2和图3)的情况给予说明，请你帮助小丽同学完成计算和说理过程；
(3)第三小组拿到的是不等边锐角三角形原材料，小华同学认为：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.小华同学已经写出了题设条件，请你帮助他完成推理过程.
如图4，设锐角△ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，不妨设a ＞b ＞c ，三条边上的对应高分别为h a 、h b 、h c ，内接正方形的边长分别为x a 、x b 、x c .
27.解：(1)钝角三角形中存在1个内接正方形.
E F G H
M D 第27题图2
A D
C F
B
E
A 第27题图4
C
B a c b 第27题图3
A
B
C F ´ E ´
D ´
G ´
F
G 第27题图1 A C
B E D F ´ G ´
E ´ D ´
(2)图1情况：连接BD ，∵BD 为正方形BEDF 的对角线，∴∠DBF=45° ∵等腰直角三角形ABC 中，∠C=45°，∴△DBC 为等腰直角三角形 ∵DF=BF ，∴DF=CF=1
2
BC=1
2
∴S 正方形BEDF =DF 2=1
4
图2情况：∵等腰直角三角形ABC 中，∠A=∠C=45°，四边形D ´E ´F ´G ´为正方形，∴△AF ´G ´与△CD ´E ´均为等腰直角三角形
∵D ´E ´=F ´G ´=E ´F ´，∴AF ´=E ´F ´=CE ´，即E ´F ´=1
3
AC=1
3×√2AB=√23
∴正方形D ´E ´F ´G ´面积=E ´F ´
2
=√23×√23=29
∵14
＞29
，正方形BEDF 的的面积大于正方形D ´E ´F ´G ´的面积故小明的说法不正确.
(3)∵1
2
ah a =1
2
bh b =1
2
ch c ，a ＞b ＞c ，∴h a ＜h b ＜h c
如图作两个顶点在BC 边上的正方形EFGH ，过A 作AD ⊥BC 与于D ，交EF 于M ，则AD=h a ，AM=h a − x a
∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴S △AEF S △ABC
=(
AM AD
)2，即
x x a ×(h a −x a )
a×h a
=(
(h a −x a )h a
)2
整理得x a =ah a h a +a
，则1x a =
h a +a ah a
=1
a
+
1h a
∵h a =2S △ABC
a ，∴1x a =1a
+
a 2S △ABC ，同样地，1
x b =1
b
+
b 2S △ABC
，1x c =1c +
c 2S △ABC
∵
1x a
−1x b =1
a
+
a 2S △ABC
−1b
−
b
2S △ABC
=
b−a ab −(
b−a 2S △ABC
)=(b −a)(
1ab
−
1
ah a
)
∵b ＞h a ，∴ab ＞ah a ，∴1
ab
＜
1ah a ，
1ab
−
1ah a
＜0
又∵a ＞b ，b −a ＜0，∴1x a
−
1x b
＞0，∴x a ＜x b
同理可证x b ＜x c
故在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.。