高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题
1.已知函数，若，则a=（）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】因为所以
【考点】分段函数
2.设，若，则．
【答案】1
【解析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从算起是解答本题的突破口.
因为，所以，又因为，
所以，所以，．
3.已知实数，函数，若，则的值为________.
【答案】
【解析】由题得,函数f(x)在区间上单调递增,在区间单调递减,因为且,所以应分别在分段函数的两段上,则当时,因为,所以
,当时,,所以
(不符合题意),综上,故填.
【考点】分段函数分类讨论
4.若函数则（e为自然对数的底数）=（）
A．0B．1C．2D．
【答案】C
【解析】因为e>1，所以，所以选C.
【考点】分段函数
5.设函数．
(I)解不等式；
(II)求函数的最小值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)先将函数写成分段函数的形式，根据分段函数的解析式作出函数的图像，然后求出直线与函数图像的交点坐标为和，利用数形结合的思想可知的解集；(Ⅱ)找到函数图像的最低点，求出最低点的纵坐标即可.
试题解析：(Ⅰ)令，则有，
则作出函数的图像如下：
它与直线的交点为和.
所以的解集为：. 6分
(Ⅱ)由函数的图像可知，
当时，函数取得最小值. 10分
【考点】1.分段函数的解析式及其图像；2.绝对值不等式；3.数形结合思想
6.函数有最小值，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若在定义域内有最小值，则满足，且恒成立，所以，故
选B.
【考点】1.复合函数的单调性与最值.
7.已知函数,则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，选C.
【考点】分段函数求值.
8.定义在上的函数满足：
①当时，②.
（ⅰ）；
（ⅱ）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，
_____________.
【答案】3，
【解析】因为，定义在上的函数满足：①当时，；
②.所以，的构成规律是：对于任意整数，在每一个区间，
，，且在此区间满足；
所以，（i）；
（ii）当时，的零点从小到大依次满足
，
所以，
【考点】分段函数，函数的零点，等比数列的求和.
9.已知函数，若，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数，所以函数在上是增函数，由得，解得
或，所以选C.
【考点】函数的单调性.
10.设函数，则 .
【答案】8
【解析】，又
，所以.
【考点】分段函数
11.已知函数，若关于的方程有六个不同的实根，则的取
值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设u（x）=x²+2x，则u（x）≥-1，在区间[-2,-1]减，u<0；在区间[-1,-0]增，u<0；在区间[-1-√2，-2），在区间（0，-1+√2]，u∈（0,1]；在区间（-∞，-1-√2）和（-1+√2，+∞），u>1.所以函数f（x）的图象大致如题图，由图像可知满足关于的方程有六个不同
的实根，的取值范围是,故选B.
【考点】1.分段函数；2.复合函数.
12.已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（）
A．≤＜0B．≤≤C．≤D．＜0
【答案】B
【解析】函数是R上的增函数，则单调递增，故它的对称轴，即，此时也单调递增，要保证在R上是增函数，只需在满足，即，综上所述的取值范围是．
【考点】函数的单调性．
13.已知函数，则满足的的取值范围是______．
【答案】
【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值
范围是
【考点】分段函数的意义、解不等式.
14.已知函数则的值是
A．10B．C．-2D．-5
【答案】B
【解析】根据题意，由于函数那么可知，故可
知答案为B.
【考点】函数解析式
点评：主要是考查了分段函数的解析式运用，属于基础题。

15.已知，则=（）
A．B．C．D．
【答案】C
1=0故选C.【解析】因为题意可知，，则=f(-1+1)=f(0)=f(1)=log
2
【考点】分段函数求值
点评：解决的关键是根据解析式代入变量的知，求解函数值，属于基础题。

16.设函数。

（1）求不等式的解集；
（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。

【答案】（1）（2）
【解析】解：（1）
当时，解得不存在
当时，解得
当时，解得
综上不等式的解集为
（2）
当，，
当时，，
综上，
另解：
画出的图象，如下所示
若有解，则
【考点】绝对值不等式
点评：考查了绝对值不等式的求解，利用三段论思想来求解，同时能利用绝对值的定义来去掉绝对值来求解不等式，属于基础题。

17.（本小题满分12分）年中秋、国庆长假期间，由于国家实行座及以下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象。

长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午点到中午点，车辆通过该收费站的用时（分钟）与车辆到达该收费站的时刻之间的函数关系式可近似地用以下函数给出：
y=
求从上午点到中午点，通过该收费站用时最多的时刻。

【答案】上午点。

【解析】当时，
得：
故：在单调递增，在单调递减，
因此，；
当时，。

当且仅当
即：。

因此在单调递减，
所以，。

当时，，对称轴为，
故。

综上所述：。

故：通过收费站用时最多的时刻为上午点。

【考点】函数最值的实际应用；分段函数的最值求法；利用导数研究函数的单调性和最值；二次函数的性质；基本不等式。

点评：本题考查的知识点是函数的最值，分段函数的最值，导数求函数的最值，基本不等式求最值，难度较大．对于分段函数的最值我们要分段求，把各段的最值的都求出，再进行比较，最大的那个就是这个分段函数的最大值。

18.函数的图象与直线的图象有一个公共点,则实数的取值范围是( ) A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】作出函数的图像，通过观察图像可知当与直线的图象
有一个公共点时或
【考点】分段函数作图及数形结合法
点评：数形结合法求解方程的根的个数，图像的交点的个数问题较简单,应用时先做出相关函数图象，要求作图要准确，在观察找其交点个数
19.,为x的整数部分，当时，的解集为___________。

【答案】
【解析】当，
当时，，此时不满足；
当时，，此时满足；
当时，由得：，所以。

综上知：当时，的解集为。

【考点】分段函数；不等式的解法。

点评：此题难度较大。

我们可以通过分类讨论来求解。

对学生分类讨论的要求较高。

考查了学生分析问题，解决问题的能力。

20.已知函数，则满足的的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，
当时，
所以满足的的取值范围为.
【考点】本小题主要考查分段函数的应用和不等式的求解.
点评：分段函数不论分几段，还是一个函数，解决分段函数问题，只要在每一段上分别求解即可.
21.已知，则的值等于_____ ,
【答案】
【解析】因为，那么可知
22. .已知函数，则函数的零点个数是（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】解：因为已知函数，则作出函数的图像，那么函数的零点个数是4个，选A
23.已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．
（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围是
【解析】(I) 当a=1时，采用零点分段法去绝对值分段进行求解，然后再求并集即可.
即可
(II)可以构造函数作出其图像求出最小值，然后只要2a>f(x)
min
（Ⅰ）时，不等式可化为. ………… 1分
①若，则，，舍去．………………… 2分
②若，则，．……………………… 3分
③若，则，．………………………… 4分
综上，不等式的解集为．…………………………… 5分
（Ⅱ）设，则………… 7分
∴时，取最小值,………………… 8分
∴，．即的取值范围是
24.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数
的所有零点之和为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，作出其图像可知直线y=a与y=f(x)的图像有5个交点，设交点
的横坐标从小到大依次为,
由图像可知，所以所有零点之和为
25.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的
封闭区域，则在上的最大值为
【答案】2
【考点定位】此题主要考察线性规划，导数的几何意义等
【解析】
26.已知函数的最小值为，则二项式的展开式中常数项为
第项。

【答案】9
【解析】，，当时得常数项为。

故事第9项。

27.已知函数那么的值为．
【答案】
【解析】
28.已知，则的值等于▲；
【答案】
【解析】
29.已知的值为（）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】B
【解析】
30.已知函数在R上为减函数，则的取值范围是 ( ▲ ) A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，是减函数，则。

此时恒有
当时，是减函数，则。

此时恒有。

故选B
31.已知函数若有三个零点，则的取值范围为．
【答案】
【解析】略
32.在一次研究性学习中，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数
时给出命题：
甲：函数的值域为；
乙：若，则一定有；
丙：若规定，则对任意恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】当时，；当时，
，当时，所以函数的值域为甲错误；
当时，；函数在上是增函数；且又函数是奇函数，所以；函数在上是增函数，且所以函数在R上是增函数；
若，则一定有乙正确；
；
丙正确；故选C
33.定义在R上的函数满足：成立，且上单调递增，设
，则a、b、c的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，函数是偶函数，函数是周期为2的函数；因上单调递增，所以在上单调递减；
，，所以
则故选D
34.函数满足，对任意有，则
；
【答案】
【解析】略
35.函数则的解集为________.
【答案】
【解析】略
36.函数则的解集为________.
【答案】
【解析】略
37.定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，
且，则的值为
（）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【解析】分析：先根据条件确定函数的周期，再由函数的图象关于点（-，0）成中心对称知为奇函数，从而求出f（1）、f（2）、f（3）的值，最终得到答案．
解答：解：由f（x）=-f（x+）得f（x）=f（x+3）即周期为3，
由图象关于点（-，0）成中心对称得f（x）+f（-x-）=0，
从而-f（x+）=-f（-x-），所以f（x）=f（-x）．
由f（-1）=1，f（0）=-2，
∴f（1）=f（4）=…=f（2008）=1，
f（2）=f（5）=…=f（2006）=1，
f（3）=f（6）=…=f（2007）=-2，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）+…+f（2008）=f（1）=1
故选D
38.函数的定义域为，且满足对于任意，有．
⑴求的值；
⑵判断的奇偶性并证明；
⑶如果≤，且在上是增函数，求的取值范围．
【答案】⑴令，则.
⑵令，则，
再令，则，故函数为偶函数.
⑶由，可得，
在单调递增，单调递减
且且
∴
【解析】（Ⅰ）通过赋值法，，求出f（1）0；
（Ⅱ）说明函数f（x）的奇偶性，通过令，得．令，得,推出对于任意的x∈R，恒有f（-x）=f（x），f（x）为偶函数．
（Ⅲ）推出函数的周期，根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性，即可求满足f(2x-1)≥12的实数x的集合．
39.如果函数对任意的实数x，都有，那么
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】略
40.（本小题满分13分）
已知函数是函数的极值点。

（I）求实数a的值，并确定实数m的取值范围，使得函数有两个零点；
（II）是否存在这样的直线，同时满足：①是函数的图象在点处的切线②与函数的图象相切于点，如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由。

【答案】（1）a=1
（2）
【解析】解：（I）
由已知，
得a="1 " …………2分
所以
令
当时
-0+
极小值
所以，当时，单调递减，
当
…………4分
要使函数有两个零点，即方程有两不相等的实数根，也即函数
的图象与直线有两个不同的交点。

（1）当时，m=0或
（2）当b=0时，
（3）当…………7分
（II）假设存在，
时，
函数的图象在点处的切线的方程为：
直线与函数的图象相切于点，
，所以切线的斜率为
所以切线的方程为
即的方程为：…………9分
得
得其中
记其中
令
+-
极大值
又
所以实数b的取值范围的集合：…………13分
41.设函数，若，则函数的零点的
个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】略
42.已知函数f(x)=|x-a|.
（Ⅰ）若不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)+f(x+4)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（Ⅰ）a=2 （Ⅱ）（-∞,4］
【解析】（Ⅰ）由f(x)≥3得|x-a|≥3，解得x≤a-3或x≥a+3．
又已知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤-1或x≥5}，所以，解得a=2.……5分
（Ⅱ）当a=2时，f(x)=|x-2|，设g(x)=f(x)+f(x+4)，
于是g(x)=|x-2|+|x+2|=[JB({]-2x,x＜-24，-2≤x≤22x，x＞2[JB)]所以当x＜-2时，g(x)＞4；当-2≤x≤2时，g(x)=4；当x＞2时，g(x)＞4。

综上可得，g(x)的最小值为4．
从而若f(x)+f(x+4)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（-∞,4］．
法二：（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ）当a=2时，f(x)=|x-2|．设g(x)=f(x)+f(x+4)．
由|x-2|+|x+2|≥|（x-2）-（x+2）|=4（当且仅当-2≤x≤2时等号成立），得g(x)的最小值为4．从而，若f(x)+f(x+4)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立．则m的取值范围为(-∞,4］
43.已知函数，。

则与两函数的图象的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】略
44.若是定义在上的函数，，且=5，
则= ．
【答案】
【解析】略
45.已知函数，若互不相等，且，则的取值范
围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
46.函数是以2为周期的偶函数，且当时
=" " （）
A．-x-3B．3-x C．1-x D．x+1
【答案】B
【解析】略
47.．设函数的定义域为R，且
的取值范围是（）
A．B．（C．（D．
【答案】C
【解析】略
48.已知函数为奇函数，设，则
（）
A．1005B．2010C．2011D．4020
【答案】B
【解析】略
49.已知函数，则．
【答案】－1
【解析】略
＝．
50.已知函数f(x)＝则x
【解析】略
51.函数的图象关于直线对称．则_____________．
【答案】3
【解析】略
52.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个
成立，则函数在定义域D上满足得普希茨条件。

若函数满足利普希茨条件，则常数k的最小值为。

【答案】
【解析】略
53.已知定义在上的奇函数满足，且
时，，则的值为▲．
【答案】
【解析】略
54.定义在R上的单调递减函数满足，且对于任意，不等式
恒成立，则当时，的取值范围为。

【答案】
【解析】略
55.定义一种运算,令（为常数）,且,则使函数
最大值为4的值是（）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】y=4+2x﹣x2在x∈[﹣3，3]上的最大值为4，所以由4+2x﹣x2=4，解得x=2或x=0．所以要使函数f（x）最大值为4，则根据定义可知，当t＜1时，即x=2时，|2﹣t|=4，此时解得t=﹣2．
当t＞1时，即x=0时，|0﹣t|=4，此时解得t=4．故t=﹣2或4．
【考点】函数的性质及应用
点评：本题考查了新定义的理解和应用，利用数形结合是解决本题的关键。

56.设函数若，则实数t的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当t>0时，则，∴，解得，
解得，∴，
当-1≤t≤0时，，∴，
∴，解得，∴-1≤t≤0；
当t<-1时，，∴，恒成立，∴t<-1;
综上，t的取值范围为,故选A
【考点】本题考查分段函数
点评：解决本题的关键是分情况考虑，正确理解分段的应用
57.已知函数，则的值为
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】由题意，得.
【考点】分段函数.
58.已知实数，函数，若，则= ．
【答案】
【解析】当时，；当时，；综合：=
【考点】分段函数求值
59.设函数，则＝；若，则．
【答案】或
【解析】，；当时，，，当时，，，综上或．
【考点】分段函数．
60.设函数，则＝；若，则．
【答案】,或
【解析】根据题意，可知，，由，解得，
结合自变量的范围，可知，由，解得，满足条件，所以或．
【考点】分段函数．。