2020年高考数学一轮复习第十二章第一节相似三角形的判定及有关性质

2020年高考数学一轮复习第十二章第一节相似三角形的
判定及有关性质
1．：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连结AE
交CD 于F ，FG ∥AD 交DE 于G .求证：FC ＝FG .
证明：在正方形ABCD 中，
AB ∥CD ， ∴CF AB ＝EF AE . ∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE
. ∴CF AB ＝FG AD
. ∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG .
2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，
连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .
(1)求证：△ABF ∽△EAD .
(2)假设AB ＝4，∠1＝30°，AD ＝3，求BF 的长．
解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，
又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠EDA
∴∠BF A ＝∠ADE ，∴△ABF ∽△EAD .
(2)在Rt △ABE 中，∠1＝30°，
由正弦定理得：AE sin90°＝AB sin60°
， ∴AE ＝4sin60°＝833
， 又BF AD ＝AB AE ，∴BF ＝AB AE ·AD ＝332
. 3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE
交AC 于G ，交BC 于F .
求证：(1)DG 2＝GE ·GF ；
(2)CF CB ＝AB AE
.
证明：(1)∵CD ∥AE ， ∴DG GE ＝CG AG . 又∵AD ∥CF ，∴GF DG ＝CG AG . ∴DG GE ＝GF DG
，即DG 2＝GE ·GF . (2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DF DE
. ① 又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE
. ② 由①②可得CF CB ＝AB AE
. 4．在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，求证：AB AC ＝BD DC
. 证明：过C 作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E ，如下图．
∵AD ∥CE ，∴BA AE ＝BD DC
. 又∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠DAC ，
在△BCE 中，由AD ∥CE 知，
∠BAD ＝∠E ，∠DAC ＝∠ACE ，
∴∠ACE ＝∠E ，∴AE ＝AC .
∴BD DC ＝AB AE ＝AB AC
. 故AB AC ＝BD DC
. 5．如下图，在△ABC 中，DE ∥BC ，S △ADE S △ABC ＝49
. 求：(1)AE EC ；(2)S △ADE S △CDE
. 解：(1)∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC .
S △ADE S △ABC ＝(AE AC
)2＝49，
∴AE AC ＝23，那么AE EC ＝21. (2)如图，作DF ⊥AC ，垂足为F .
那么S △ADE ＝12
DF ·AE ， S △CDE ＝12
DF ·EC . ∴S △ADE S △CDE ＝12DF ·AE 12
DF ·EC ＝AE EC ＝21. 6．如图，在等腰梯形中，AB ∥CD ，AD ＝12 cm ，AC 交梯形 中位线EG 于点F ，假设EF ＝4 cm ，FG ＝10 cm.求此梯形的 面积．
解：如下图，作高DM 、CN ，那么四边形DMNC 为矩形． ∵EG 是梯形ABCD 的中位线，
∴EG ∥DC ∥AB .
∴F 是AC 的中点．
∴DC ＝2EF ＝8，AB ＝2FG ＝20，MN ＝DC ＝8.
在Rt △ADM 和Rt △BCN 中，
AD ＝BC ，∠DAM ＝∠CBN ，∠AMD ＝∠BNC ＝90°， ∴△ADM ≌△BCN .
∴AM ＝BN ＝12
(20－8)＝6， ∴DM ＝AD 2－AM 2＝122－62＝63，
∴S 梯形＝EG ·DM ＝14×63＝84 3 (cm 2)．
7．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，
DF ⊥AC 于F .
求证：AE ·AB ＝AF ·AC .
证明：∵AD ⊥BC ，
∴△ADB 为直角三角形，
又∵DE ⊥AB ，由射影定理知，AD 2＝AE ·AB .
同理可得AD 2＝AF ·AC ，
∴AE ·AB ＝AF ·AC .
8．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ， BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，交AC 于E ， 求证：DF AF ＝AE EC . 证明：∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴DF
AF ＝BD
AB ， ① AE EC ＝AB
BC ， ② 在Rt △ABC 中，由射影定理知，
AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB
BC
③ 由①③得：DF
AF ＝AB
BC ，
④ 由②④得：DF AF ＝AE
EC .。