【数学】高考试题——数学(北京卷)(理)精校版含答案

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普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题共140分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）集合，则=
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3}
（2）在等比数列中，，公比.若
，则
m=
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）
视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A）（B）（C）（D）
（5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是
（A）两个圆（B）两条直线
（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线
（6）a、b为非零向量。

“”是“函数为一次函数”的
2
{03},{9}
P x Z x M x Z x
=∈≤<=∈≤P M
{}
n
a
1
1
a=1
q≠
12345
m
a a a a a a
=
82
89
A A82
89
A C82
87
A A82
87
A C
θπ
-≥
a b
⊥()()()
f x xa b xb a
=+-
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）设不等式组 表示的平面区域为D ，若指数函数y=的图像上
存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ] (8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E 、F 在棱上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
第II 卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。

（10）在△ABC 中，若b = 1，c =，，则a = 。

（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a ＝ 。

若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。

110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩
x
a +∞1111A B C D 11A B 1A 21i i
-323
C π
∠=
（12）如图，的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。

若BD AE ，AB ＝
4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ 。

（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

（14）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点p （x ，y ）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x 轴 所围区域的面积为 。

说明：“正方形PABC 沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。

沿轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续。

类似地，正方形PABC 可以沿轴负方向滚动。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数。

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值。

（16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，C E ⊥AC,EF ∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。

O ⊥22
221x y a b
-=221259χγ+=()y f x =()f x ()y f x =χχχχχχ(x)f 2
2cos 2sin 4cos x x x =+-()3
f π
=(x)f 2
(17)(本小题共13分)
某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求，的值； (Ⅲ)求数学期望ξ。

(18)(本小题共13分)
已知函数()=In(1+)-+
(≥0)。

(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程； (Ⅱ)求()的单调区间。

（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

4
5
p q p q p q E f x x x 2
2
x x k k y f x f f x 1
3
（20）（本小题共13分） 已
知
集
合
对于
，，定义A 与B 的差为
A 与
B 之间的距离为
（Ⅰ）证明：，且; （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P ，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为
(P).
证明：
（P ）≤
.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)
n n S X X x x x x i n n ==∈=≥...，...12(,,,)n A a a a =...12(,,,)n n B b b b S =∈...1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=--- (111)
(,)||i d A B a b -=
-∑
,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有(,)(,)d A C B C d A B --=,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈n S ⊆d
d
2(1)
mn
m -
普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）B （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（-1,1） （10）1
（11）0.030 3 （12）5 （13）（，0）
（14）4
三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（I ） （II ）
=
=, 因为，
所以，当时，取最大值6；当
时，取最小值 （16）（共14分） 证明：（I ） 设AC 与BD 交与点G 。

因为EF//AG ，且EF=1，AG=
AC=1. 所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF//平面EG ，
因为平面BDE ，AF 平面BDE ， 所以AF//平面BDE.
（II ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面 相互垂直，且CE AC ， 所以CE 平面ABCD.
如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C-. 则C （0，0，0），A （，，0），B （0，，0）.
274±30x y =1π+2239
()2cos
sin 4cos 13
33344
f π
πππ=+-=-+=-2
2
()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--2
3cos 4cos 1x x --2
27
3(cos )3
3
x --x R ∈cos x ∈[1,1]-cos 1x =-()f x 2cos 3x =
()f x 73
-1
2
EG ⊂⊄⊥⊥xyz 222
所以，，. 所以, 所以,. 所以BDE. (III) 由（II ）知，是平面BDE 的一个法向量. 设平面ABE 的法向量,则，.
即
所以且
令则.
所以. 从而。

因为二面角为锐角， 所以二面角的大小为
. （17）（共13分）
解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，， （I ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ， （II ）由题意知
2(
,
22
CF =(0,BE =(DE =-0110CF BE =-+=1010CF DE =-++=CF BE ⊥CF DE ⊥CF
⊥2(
22
CF =(,,)n x y z =0n BA =0n BE =(,,)(2,0,0)0(,,)(0,2,1)
0x y z x y z =-=⎧⎨
⎩
0,
x =,z =1,y =z =
n =3
cos ,||||n CF n CF n CF 〈〉=
=A BE D --A BE D --6
π
i A i i 14
()5
P A =
2()P A p =3()P A q =0ξ=61191(0)1125125
P ξ-==-=123
16
(0)()(1)(1)5125
P P A A A p q ξ===--=
整理得 ， 由，可得，. （III ）由题意知 =
=
= （18）（共13分）
解：（I ）当时，， 由于，， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II ），.
123424(3)()5125
P P A A A pq ξ===
=6
125
pq =
1p q +=p q >35p =
25
q =123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++411
(1)(1)(1)(1)555p q p q p q --+-+-37
125
=
(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-=58125
0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+=9
5
2k =2
()ln(1)f x x x x =+-+1
'()121f x x x
=
-++(1)ln 2f =3'(1)2
f =
()y f x =(1,(1))f 3
ln 2(1)2
y x -=
-322ln 230x y -+-=(1)
'()1x kx k f x x
+-=
+(1,)x ∈-+∞
当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时，
故得单调递增区间是. 当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是 （19）（共14分）
（I ）解：因为点B 与A 关于原点对称，所以点得坐标为. 设点的坐标为
由题意得
化简得 .
0k ='()1x f x x
=-
+(1,0)-'()0f x >(0,)+∞'()0f x <()f x (1,0)-(0,)+∞01k <<(1)'()01x kx k f x x +-=
=+10x =210k
x k
-=>(1,0)-1(
,)k k -+∞'()0f x >1(0,)k k
-'()0f x <()f x (1,0)-1(
,)k k -+∞1(0,)k
k
-1k =2
'()1x f x x
=+()f x (1,)-+∞1k >(1)'()01x kx k f x x +-=
=+11(1,0)k
x k
-=∈-20x =1(1,
)k k --(0,)+∞'()0f x >1(,0)k k
-'()0f x <()f x 1(1,)k k --(0,)+∞1(,0)k
k
-(1,1)-O B (1,1)-P (,)x y 111113
y y x x -+=-+-2
2
34(1)x y x +=≠±
故动点的轨迹方程为
（II ）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,. 则直线的方程为，直线的方程为 令得，.
于是得面积 又直线的方程为，， 点到直线的距离. 于是的面积 当时，得
又，
所以=，解得。

因为，所以 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为. 解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为
则
. P 22
34(1)x y x +=≠±P 00(,)x y M N (3,)M y (3,)N y AP 001
1(1)1
y y x x --=
++BP 001
1(1)1
y y x x ++=
--3x =000431M y x y x +-=
+00023
1
N y x y x -+=-PMN 200002
0||(3)1
||(3)2|1|
PMN
M N x y x S
y y x x +-=--=-AB 0x y +
=||AB =P
AB d =PAB 001
||||2
PAB
S
AB d x y =
=+PAB
PMN S
S =2
0000020||(3)|||1|
x y x x y x +-+=-00||0x y +≠2
0(3)x -20|1|x -05|3
x =
22
0034x y +
=0y =P PAB PMN
P 5(,3
9
±
P PAB PMN P 00(,)x y 11
||||sin ||||sin 22
PA PB APB PM PN MPN ∠=∠
因为,
所以 所以 即 ，解得 因为，所以 故存在点 使得与的面积相等，此时点的坐标为. （20）（共13分）
证明：（I ）设，， 因为，，所以,
从而
又 由题意知，，.
当时，;
当时，
所以 (II)设，，
，，.
记，由（I ）可知
sin sin APB MPN ∠=∠||||||||
PA PN PM PB =000|1||3||3||1|
x x x x +-=--2200(3)|1|x x -=-0x 53
=220034x y +
=09y =±
P PAB PMN
P 5(,312(,,...,)n A a a a =12(,,...,)n B b b b =12(,,...,)n C c c c =n S ∈i a {}0,1i b ∈{}0,1i i a b -∈(1,2,...,)i n =1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈1(,)||||||n
i i i i
i d A C B C a c b c =--=---∑i a i b i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =0i c =|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-1i c =|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-1(,)||(,)n
i i
i d A C B C a b d A B =--=-=∑12(,,...,)n A a a a =12(,,...,)n B b b b =12(,,...,)n C c c c =n S ∈(,)d A B k =(,)d A C l =(,)d B C h =(0,0,...,0)n O S =∈(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-=
所以中1的个数为，的1的
个数为。

设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数，
即,,三个数中至少有一个是偶数。

（III ）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，
设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0 则
= 由于 所以 从而
(,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=(,)(,)d B C d B A C A h =--=||(1,2,...,)i i b a i n -=k ||(1,2,...,)i i c a i n -=l t ||||1i i i i b a c a -=-=i 2h l k t =+-,,k l h (,)d A B (,)d A C (,)d B C 2,1
()(,)A B P m d P d A B C ∈=∑,(,)A B P d A B ∈∑P P i i t i m t -,(,)A B P d A B ∈∑1()n
i i i t m t =-∑i t ()i m t -2
(1,2,...,)4
m i n ≤=,(,)A B P
d A B ∈∑2
4nm ≤2
22,1()(,)42(1)A B P m
m nm mn d P d A B C C m ∈=≤=-∑。