人教版初中数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (4)(含答案解析)

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (4)
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且CE ＝2DE ，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF ⊥AE ，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作OQ ⊥OP 分别交AE 、AD 于点N 、H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①∠AFO ＝45°；②OG ＝DG ；
③DP 2＝NH •OH ；④sin ∠AQO ；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③④
2．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，AD 为△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的中线，AD 、CE 相交于点F ，则EF CD
的值为（ ）
A ．2
B ．32
C
D ．2
二、解答题
3．海岛A 的周围8nmile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60°，航行12nmile 后到达点D 处，又测得海岛A 位于北偏东30°．如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？根据题意画出大致图形，并根据图形解答本题．
4．如图，O 为线段MN 的中点，MP 与NQ 交于点H ，QOP M N α∠=∠=∠=，且OQ 交MP 于D ，OP 交NH 于E ．
（1）写出图中两对相似三角形；并证明其中一对．
（2）连接DE ，如果45α=︒，MN =4MD =，求DE 的长．
5．在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B
处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 6．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
根据以上内容，解决问题：
学校要求测温区域的宽度AB为3m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（参考数据
︒≈sin30.970.515
︒≈，︒≈，cos71.580.316
︒≈，tan71.58 3.000
sin71.580.949
︒≈）
︒≈，tan30.970.600
cos30.970.857
7．如图，以P(0，3)为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求BEF的面积．
8．2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行，某中学从A地出发．组织学生利用导航到C 地区进行研学活动，出发时发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地24千米，由于A、C两地间是一块湿地．所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北编西37°方向走一段距
离才能到达C地，求A、B两地的距离(精确到1千米)．(参考数据sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.7，
≈1.4
9．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．
（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．
①若⊙O，sin B＝
，求AD的长；
10
②若CD＝2CE，求cos B的值．
i 的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处10．如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度5:12
看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF=60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．
11．深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人
机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高
度．）
12．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；
（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；
（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE//AC，求AD的长．
13．如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB底部B点18m的C处，利用测角仪测得其顶部A的仰角∠EDA＝36°，测角仪CD的高度为1.5m，求该建筑物AB的高度．（精确到0.1m）（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）
14．为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是
30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
15．如图，小明从P 处出发，沿北偏东60°方向以70 m/min 的速度步行6min 后到达A 处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B 处，在B 处观测到出发时所在的P 处在北偏西37°方向上．求
小明步行的总路程（精确到1m ）．参考数据：sin37°≈0.6，c os37°≈0.8，tan37°≈0.75≈1.7．
16．如图所示的小山的山顶上有一个高度为15m 的信号发射塔AB ，某校数学兴趣小组的同学们为了测量这座山的高度BH ，在山脚下的平地上的点D 处，用1米高的测角仪CD ，测得塔底B 处的仰角为28︒，向小山前进60m 到达点F 处，又从点E 测得塔项A 处的仰角为45︒．求小山的高度BH ．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 280.47︒=，sincos280.88tan 280.53︒=︒=，）
．
17．在Rt △BCD 中，∠C =90°，∠DBC =60°，点E 在线段CD 上，点A 在CB 的延长线上，且AB =10
米，CE =26.8米，∠A =34°，求DE 的长．（参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83︒≈，tan340.67︒≈，
1.73≈）
18．B ，D 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100km ，某时发生的地震对地面上以点A 为圆心，30km 为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B ，D 两地处测得点A 的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（结果精确到0.1km ，参考数据：
1.732≈≈）
19．如图，在⊙O 中，150AOB ∠=︒，45ABC ∠=︒，延长OB 到D ，使BD OB =，连接CD ．
（1）求证：CD 与⊙O 相切；
（2）若12CD =，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
20．在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB 的高度．如图，楼房AB 后
有一假山，其斜坡CD 坡比为1，山坡坡面上点E 处有一休息亭，在此处测得楼顶A 的仰角为45°，假山坡脚C 与楼房水平距离20BC =米，与亭子距离30CE =米．
（1）求点E 距水平地面BC 的高度；
（2）求楼房AB 的高．≈1.414）．
21．近年来，成都IFS 商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C 处距离地面AD 的高度，他在甲楼底端A 处测得熊猫C 处的仰角为53°，在甲楼B 处测得熊猫C 处的仰角为45°，已知AB ＝4.5米，求熊猫C 处距离地面AD 的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
22．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 、E 是⊙O 上两点，且满足∠ACE=45°，过点E 作⊙O 的切线交CA 的延长线于点D ．
（1）求证：DE //AB ；
（2）若cos ∠CDE=34
，AC=2，求⊙O 的直径． 23．如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶A 的仰角为35°，此时地面上C 点、屋檐上E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到达点D 时，又测得屋檐E 点的仰角为60°，房屋的顶
层横梁EF ＝12m ，EF ∥CB ，AB 交EF 于点G （点C ，D ，B 在同一水平线上）．（参考数据：
sin350.6︒≈，
cos350.8︒≈，tan350.7︒≈ 1.7≈）
（1）求屋顶到横梁的距离AG ；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE ＝∠B，射线DE交AC边于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时，求AE的长；
（3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长．
25．胜利塔是某市标志性建筑物之一，如图，为了测得胜利塔的高度AB，在D处用高度为1.3 m 的测角仪CD测得胜利塔的顶端A的仰角为30°，再前进113 m到达F处，又测得胜利塔的顶端A
的仰角为60°，求胜利塔的高度AB．，结果精确到0.1m）
26．目前，某市正在积极创建全国文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并进一步完善各类监测系统，如图，在公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点,C从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠=∠==米，此车超速了吗?请说明理由，(参考数据：45,60,200
CAN CBN BC
1.73==)
三、填空题
27．如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos CAB ∠=__________．
28．如图，在一笔直的海岸线l 上有A B 、两个观测站，4AB km =，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5︒的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为_____km ．
29．如图，在ABCD 中，60ABC ∠=︒，6BC =，4DC =．点E F 、分别是边AB AD 、的中点，连结CE BF 、．点G H 、分别是BF CE 、的中点，连结GH ，则线段GH 的长为______．
30．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3421,,,l l l l 上．若这四条直线相互平行且相邻直线的间距均为1，若α＝30°，则矩形ABCD 的面积为_________．
【答案与解析】
1．D
【解析】
①由“ASA”可证△ANO≌△DFO，可得ON＝OF，由等腰三角形的性质可求∠AFO＝45°；
②由“AAS”可证△OKG≌△DFG，可得GO＝DG；
③通过证明△AHN∽△OHA，可得AH HN
HO AH
=，进而可得结论DP2＝NH•OH；
④由外角的性质可求∠NAO＝∠AQO，由勾股定理可求AG，即可求sin∠AQO＝OG
AG
．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD，
∵∠AOD＝∠NOF＝90°，
∴∠AON＝∠DOF，
∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，
∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF＝∠ODF，
∴△ANO≌△DFO（ASA），
∴ON＝OF，
∴∠AFO＝45°，故①正确；
如图，过点O作OK⊥AE于K，
∵CE＝2DE，
∴AD＝3DE，
∵tan∠DAE＝
1
3 DE DF
AD AF
==，
∴AF＝3DF，
∵△ANO≌△DFO，
∴AN ＝DF ，
∴NF ＝2DF ，
∵ON ＝OF ，∠NOF ＝90°，
∴OK ＝KN ＝KF ＝
12FN ， ∴DF ＝OK ，
又∵∠OGK ＝∠DGF ，∠OKG ＝∠DFG ＝90°，
∴△OKG ≌△DFG （AAS ），
∴GO ＝DG ，故②正确；
∵∠DAO ＝∠ODC ＝45°，OA ＝OD ，∠AOH ＝∠DOP ，
∴△AOH ≌△DOP （ASA ），
∴AH ＝DP ，
∵∠ANH ＝∠FNO ＝45°＝∠HAO ，∠AHN ＝∠AHO ，
∴△AHN ∽△OHA ， ∴AH HN HO AH
=， ∴AH 2＝HO •HN ，
∴DP 2＝NH •OH ，故③正确；
∵∠NAO +∠AON ＝∠ANQ ＝45°，∠AQO +∠AON ＝∠BAO ＝45°，
∴∠NAO ＝∠AQO ，
∵OG ＝GD ，
∴AO ＝2OG ，
∴AG ，
∴sin ∠NAO ＝sin ∠AQO ＝
OG AG =④正确， 故选：D ．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题关键．
2．A
【解析】
过D 作DM
AB ⊥于,M 先证明,CD MD BM ==设,CD MD BM m ===再用含m 的代数式
表示,,AE AM 再证明,AEF AMD ∽ 利用相似三角形的性质可得
EF DM 的值，从而可得答案． 解：过D 作DM AB ⊥于,M
∠ACB=90°，AD 为△ABC 的角平分线，
,CD MD ∴=
CE 是△ABC 的中线，,CA CB = 90ACB ∠=︒，
,CE AB ∴⊥ ,CE BE AE == 45B A ∠=∠=︒，
45MDB B ∴∠=∠=︒，
,DM BM ∴=
,CD MD BM ∴==
设,CD MD BM m ===
,BD ∴==
(
1,BC CD BD m m AC ∴=+===
(
2,AB m ∴===+ ((
21,AM AB BM m m m ∴=-=+-=+
cos ,BE B BC =
2
,2BE m AE ∴== ,,CE AB DM AB ⊥⊥
//,FE DM ∴
,AEF AMD ∴∽
1
2
m
EF AE
DM AM
+
∴===
EF
CD
∴=
故选：.A
本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
3．没有，理由见解析
【解析】
过A作AC⊥BD于点C，根据方向角的定义及余角的性质求出∠ABD＝30°，∠ADC＝60°，再由三角形外角的性质得到∠BAD＝30°＝∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，然后解
Rt△ACD，求出AC即可．
解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：
过点A作AC⊥BD，垂足为C．
根据题意可知：∠ABD＝30°，∠ADC＝60°，
∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD，
∴∠BAD＝30°＝∠ABD，
∴DB＝DA＝
12，
在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，sin ∠ADC ＝
AC AD ， ∴sin60°＝12
AC ，
∴AC ＝12×sin60°＝
∵8，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
4．（1）DMO ONE ∽；MOP ODP ∽；NOQ OEQ ∽；证明见解析；（2）52
DE =
． 【解析】
（1）根据已知条件，QOP M N α∠=∠=∠=，结合图形上的公共角，利用两角对应相等的两个三角形相似，即可找到DMO ONE ∽，MOP ODP ∽，NOQ OEQ ∽，
（2）根据等腰直角三角形的性质推出MH 和NH 的长，进而可求出DH 的长，再利用相似三角形的性质，求出线段NE 的长，进而可求线段出HE 的长，再利用勾股定理即可求出DE 的长． （1）①DMO ONE ∽，②MOP ODP ∽，③NOQ OEQ ∽
证明：∵QOP M N α∠=∠=∠=，DON ∠是MOD 的外角，
∴DON M MDO DOE EON ∠=∠+∠=∠+∠，
即MDO EON αα+∠=+∠
∴MDO EON ∠=∠，
∴DMO ONE ∽
（2）如图：连接DE,
当45α=︒时，可得MH NH ⊥且MH NH =，
∴6MH NH =︒==
642DH MH MD =-=-=
∵O 为MN 的中点，
∴12
MO NO MN ===， ∵DMO ONE ∽ ∴MO NE MD ON
=
∴942OM ON NE MD ⋅=
== ∴93622
HE NH NE =-=-=
∴Rt DHE △中，由勾股定理得，52DE === 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，解题关键是利用相似三角形，根据其性质求出NE 的长，在结合勾股定理求DE 的长．
5．（1）该轮船航行的速度为/小时）；（2）轮船能够正好行至码头MN 靠岸．理由见解析．
【解析】
（1）根据∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC 为直角三角形．根据勾股定理解答．
（2）作线段BR AN ⊥于R ，作线段CS AN ⊥于S ，延长BC 交l 于T ，比较AT 与AM 、AN 的大小即可得出结论．
（1）∵130∠=︒ ，260∠=︒，
∴ABC 为直角三角形．
∵40AB km =，AC =，
∴)BC km === ．
∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，
60=/小时）． （2）能．
理由：作线段BR AN ⊥于R ，作线段CS AN ⊥于S ，延长BC 交l 于T ．
∵260∠=︒，
∴4906030∠=︒-︒=︒．
∵)AC km =，
∴)43CS km ==．
∴()122
AS km =︒==． 又∵130∠=︒，
∴3903060∠=︒-︒=︒．
∵40AB km =，
∴)40sin 60BR km =⋅︒=．
∴140cos6040202
AR km =⨯︒=⨯=（）． ∵BR AN ⊥，CS AN ⊥， ∴CS ∥BR ，
∴STC RTB ∽△△， 所以ST CS RT BR
=，
2012ST ST =++ 解得：()8ST km =．
所以()12820AT km =+=．
又因为19.5AM km =，MN 长为1km ，
∴20.5AN km =，
∵19.520.5AT <<
故轮船能够正好行至码头MN 靠岸．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，含30°角的直角三角形三边之间的关系，相似三角形的判定与性质，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键． 6．该设备的安装高度OC 约为2.3m ．
【解析】
由OC AC ⊥，71.58OBC ∠=︒，30.97OAC ∠=︒，3AB m =可得3AC AB BC BC =+=+，再根据锐角三角函数的边角关系列式计算，即可得出结论．
解：∵OC AC ⊥，71.58OBC ∠=︒，30.97OAC ∠=︒，3AB m =
∴3AC AB BC BC =+=+，
∴在Rt OBC 中，tan 3
OC OC BC OBC =≈∠， 在Rt OAC △中，tan (3)0.6OC AC OAC BC =⋅∠≈+⨯， ∴0.6(3)3
OC OC =⨯+， 解得： 2.3(m)OC ≈．
答：该设备的安装高度OC 约为2.3m ．
本题考查了三角函数的实际应用，掌握利用三角函数的边角关系建立关于OC 的方程是解答此题的关键．
7．（1）=30CDE ︒∠；（2）BEF S △【解析】
（1）在Rt POB 中，利用边与边之间的关系，证1cos 2
OP OPB PB ==∠ ，利用特殊三角函数值得=60OPB ︒∠，再利用对顶角相等得==60CPE OPB ︒∠∠，最后利用圆周角定理得
1=2
CDE CPE ∠∠，即可得到答案； （2）如图，作EM ⊥AB ，垂足是M ，利用边与角的关系分别求得OB 、OF 、EM 的长，再利用线段的和差得BF=OB+OF ，最后利用1=
2BEF S BF EM ⋅△ 即可得到答案． 解：（1）∵P(0，3)
∴OP=3
∵PB=6，90COB ∠=︒ ∴31cos =62OP OPB PB =
=∠ ∴=60OPB ︒∠
∴==60CPE OPB ︒∠∠ ∴1
1==60=3022
CDE CPE ⨯︒︒∠∠． （2）如图，作EM ⊥AB ，垂足是M ．
∵圆的半径是6
∴EB=2EP=12
∵x 轴与y 轴互相垂直，=60OPB ︒∠，PB=6
∴=90=906030EBM OPB ︒-︒-︒=︒∠∠，=sin BPO PB sin60PB=
2
OB ⋅=︒⋅∠ ∵圆的半径PD=6，P(0，3)
∴OD=PD-PO=6-3=3
∵=30CDE ︒∠,x 轴与y 轴互相垂直
∴=tan CDE OD tan30OF ⋅=︒⋅∠
∴BF=OB+OF=∵=30EBM ︒∠（已证） ∴1=sin EBM BE sin30BE=
12=62EM ⋅=︒⋅⨯∠
∴11==622
BEF S BF EM ⋅⨯= 本题考查了圆周角定理以及应用特殊的函数值解直角三角形，解答此题的关键是找到边与边之间的关系，求线段的长．
8．14千米
【解析】
过B 作BD ⊥AC ，由题意得到三角形ABD 为直角三角形，设AD=x 千米，表示出CD 和BD ，在直角三角形BCD 中，利用锐角三角函数定义求出x 的值，即可确定出AB 的长．
解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设AD=x ，
∵∠A=60°，
∴，CD=24-x ，AB=2x ；
∵∠BCD=37°，
∴tan ∠BCD=
BD CD ，
即tan37° 解得x=7，
即AB=2x=14（千米）
此题属于解直角三角形题型，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
9．（1）证明见解析；（2）；
【解析】
（1）连接OC，可知∠ACB=90°，即有∠CAB+∠CBA=90°，根据等腰三角形的性质可得
∠CDA=∠DCA=∠CBA，∠CAO=∠ACO，继而得到∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠CBA+∠CAO=90°，最后利用圆的切线的判定即可得证；
（2）①过C作CF⊥BD交BD于点F，在Rt△ACB、Rt△CFB中，利用勾股定理分别求出CB、CF，BF，继而得到AF=AB-BF，再根据CD=CB，CF⊥BD，得到DF=BF，最后根据AD=DF-AF，求出AD即可；
②过A作AM⊥DE交DE于点M，设CE=x，可得CD=CB=2x，DE=3x，∠CBA=∠CEA，进而可知△DAE为等腰三角形，然后证明△ACB∽△AME，然后设AM=a，利用相似三角形的性质可求出AC，在△ABC中，利用勾股定理可表示出AB，继而可求出cosB．
（1）证明：如图，连接OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠CAB+∠CBA=90°，
∵AD=AC，OA=OC，CD=CB，
∴∠CDA=∠DCA=∠CBA，∠CAO=∠ACO，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠CBA+∠CAO=90°，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：①如图，过C作CF⊥BD交BD于点F，
∵，sin B =，
∴sin 110AC AB B =⋅==，
在Rt △ACB 中，3CB ==，
在Rt △CFB 中，sin 31010CF CB B =⋅=⨯
=，
∴10
BF ===，
∴-=， ∵CD=CB ，CF ⊥BD ，
∴
∴AD=DF-AF=
1010105-==
即AD=5
； ②如图，过A 作AM ⊥DE 交DE 于点M ，
设CE=x ，
∴CD=CB=2x ，DE=3x ，∠CBA=∠CEA ，
∵CD=CB ，
∴∠CDB=∠CBD ，
∴∠CDB=∠CEA ，
∴△DAE 为等腰三角形，
∴32ME x =，12
CM x =， 在△ACB 和△AME 中，
90C ACB AME BA CEA
∠=∠=︒∠=∠⎧⎨⎩， ∴△ACB ∽△AME ， ∴AB AC BC AE AM ME
==， 设AM=a ， ∴232
AC x a x =， ∴43
AC a =， 在△AMC 中，有222AM MC AC +=，即22214a 23x a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得：14a x =
或14
x -(舍去)， ∴
AC=7
x ， ∴
x ==， ∴
cosB=4BC AB ==． 本题考查了切线的性质和判定、相似三角形的性质和判定、勾股定理以及解直角三角形等知识，解本题的关键是熟练运用相关知识．
10．（1）坡顶B 的高是5米；（2）楼顶C
的高度CD 为
【解析】
(1)坡顶B 的高度指的是点B 到水平面AD 的距离，作出高计算即可；
(2)计算CF 的高度，它与坡顶B 的高度和即为所求.
（1）过点B 作BM AD ⊥，
5:12i =，∴512
BM AM =， 在Rt △ABM 中，AB=13,设BM=5x,AM=12x, 则（12x)2+(5x)2=132 ,
解得x=1，
5BM ∴=米，
故坡顶B 的高是5米.
（2）设CF 为y 米，
在Rt △CBF 中，
45CBF ∠=︒，BF CF y ∴==米， ∴EF=（y -4）米
在Rt △CEF 中，60CEF ∠=︒，
∴tan 604
CF y EF y ︒===-
解得y =
由（1）知=5DF BM =米，
∴11CD CF FD =+=+（米）.
本题考查了解直角三角形，熟练运用坡比，特殊角的函数值，锐角三角函数是解题的关键，构造高这条辅助线也是解题的一个关键.
11．24米
【解析】
过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，根据正切的定义求出AE ，根据题意求出BE ，根据等腰直角三角形的性质求出DF ，结合图形计算，得到答案．
解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，
由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，
在Rt △ADE 中，tan ∠DAE=DE
AE ， ∴AE=tan 3DE DAE =∠≈51（米）
， ∵AB=57米，
∴BE=AB-AE=6（米），
∵CB ⊥BE ，FE ⊥BE ，CF ⊥EF ，
∴四边形BCFE 为矩形，
∴CF=BE=6（米），
在Rt △DFC 中，∠CDF=45°，
∴DF=CF=6（米），
∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）．
答：教学楼BC 的高度约为24米．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（1）证明见解析；（2）
4225；（3）12548
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；
（3）过C 作CN ⊥AB 于点N ，过A 作AM ⊥DE 于点M ，根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可．
（1）证明：∵△AEC 和△DFC 是等腰直角三角形，
∴∠DFC=∠AEC=90°，∠DCF=∠ACE ＝45°，
∴∠DCF-∠ACF=∠ACE-∠ACF ，即∠ACD ＝∠ECF ，
在Rt △AEC 中，cos ∠
ACE=CE AC = 在Rt △DFC 中, cos ∠
DCF=2
CF CD =， ∴CE CF AC CD
=， ∴△ACD ∽△ECF ；
（2）解：∵D ，F ，E 三点共线，
∴∠EFC=∠DFC=90°，
∵△ACD ∽△ECF ，
∴∠ADC=∠EFC=90°，
如图1，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=12
BC=3， 在Rt △ABM 中，cos ∠B=
35
BM AB =， 在Rt △BDC 中，cos ∠B=35
BD BC =， ∴BD=185
， ∴AD=AB-BD=5-185=75， 在Rt △ADC 中，由勾股定理得：
245==， ∴1172484225525
ADC S AD CD =⨯⨯=⨯⨯=△， ∵△ACD ∽△ECF ， ∴2
12
ECF ADC S CE S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△
,
∴142225
ECF ADC S S ==△△； （3）解：过C 作CN ⊥AB 于点N ，过A 作AM ⊥DE 于点M ，如图2，
由（2）可得：CN=
245
， 在Rt △ANC 中， 24
245sin 525
CN CAN AC ∠===， ∵AC=5，∠AEC=90°，∠ACE=45°，
在Rt △AEC 中，sin 522AE AC ACE =⋅∠=⨯
=， ∵DE ∥AC ，∠DEA=∠CAE=45°，
∵AM ⊥DE ，
∴∠AME=90°，
在Rt △AME 中，5sin 222AM AE AEM =⋅∠=
⨯=， ∵DE ∥AC ，
∴∠CAN=∠MDA ， ∴2425
sin CAN sin MDA ∠=∠=， ∴
2425
AM AD =， ∴12548AD =． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质的综合运用，通过辅助线构造相似形和直角三角形的三角函数是解决问题的关键．
13．14.6m ．
【解析】
过D 作DE ∥BC 交AB 于E ，可证四边形DCBE 为矩形，由矩形性质的CD=BE=1.5m ，
DE=BC=18m ，
在Rt △ADE 中，∠EDA ＝36°利用三角函数AE=DE •tan36º=13.14，再求AB=AE+BE=14.64，按精确度取舍即可．
过D 作DE ∥BC 交AB 于E ，
∵CD ⊥BC ，AB ⊥BC ，
∴CD ∥AB ，∠DCB=90º，
∴四边形DCBE 为矩形，
∴CD=BE=1.5m ，DE=BC=18m ，
在Rt △ADE 中，∠EDA ＝36°，
∴tan ∠EDA =AE DE
， ∴AE=DE •tan36º=0.73×18=13.14，
∴AB=AE+BE=13.14+1.5=14.64≈14.6m ．
本题考查应用三角函数计算测量建筑物高度问题，掌握解三角形一定在直角三角形中，记清函数的符号名称应用方法，在计算结果往往需要精确计算，会按要求取舍．
14．59.2米
【解析】
根据“爬到该楼房顶端B 点处古塔底部D 处的俯角是30°”可以求出AD 的长，然后根据“一栋楼房的底端A 点处观测古塔顶端C 处的仰角是65°”可以求出CD 的长．
解：∵爬到该楼房顶端B 点处观测古塔底部D 处的俯角是30°，
由题意知：∠ADB=30°，
∴在Rt △ABD 中，tan30°=AB AD
，
∴163
AD ∴， ∵一栋楼房的底端A 点处观测古塔顶端C 处的仰角是65°，
∴在Rt △ACD 中，CD=AD•tan65°=48×1.73×2.14≈59.2（米）．
答：楼高CD 为59.2米．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．
15．小明步行的总路程为1106m ．
【解析】
作PQ ⊥AB 于Q ，根据已知，∠APQ=30°．可求得AQ 、PQ 的长，在Rt △BPQ 中，解直角三角形
求出BQ 的长，即可求解．
作PQ ⊥AB 于Q ，根据已知，∠APQ=30°．
由题意得：AP=706420⨯=(m)，
则AQ=
12AP=210(m)，
==
在Rt △BPQ 中，tan 37PQ BQ ︒=
，
∴BQ 476==(m)， ∴小明步行的总路程为：AP+AQ+ BQ 4202104761106=++=(m)．
答：小明步行的总路程为1106m ．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．小山的高度为85.6米．
【解析】
过点C 作CG AH ⊥于G ，得矩形CDHG 和矩形EFHG ，设BG x =，则15AG x =+，然后结合等腰直角三角形的性质结合锐角三角函数列方程求解
解：过点C 作CG AH ⊥于G ，得矩形CDHG 和矩形EFHG ，
∴HG =CD =EF =()1m ，设BG x =，则15AG x =+
9045AGE AEG ∠=︒∠=︒，，AEG ∆是等腰直角三角形
∴15AG EG x ==+
75CG CE EG x ∴=+=+
在Rt CBG ∆中，
28BCG ∠=︒ ∴tan 280.53BG CG ︒=
= 即0.5375
x x =+， 解得()84.6x m ≈（经检验，x≈84.6是原分式方程的解）
∴()84.6185.6BH BG GH m =+=+=
答：小山的高度为85.6米
此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 17．DE =25.1米
【解析】
在Rt △ACE 中，根据tanA ，求出AC 的长，再根据BC=AC-AB ，求出BC ，在Rt △BCD 中，根据tan ∠DBC ，求出DE 的长即可．
解：在Rt △ACE 中，
tan CE A AC =，即26.8tan 34AC
=︒， ∴26.8400.67AC ≈=（米） ∴BC=AC-AB=30（米）．
在Rt △BCD 中，
∵tan60°=DC BC
∴26.8tan 60 1.7330
DE +︒==≈， ∴DE =25.1（米）
答：DE 的长是25.1米
本题考查了解直角三角形，熟悉利用锐角三角函数求出线段的长度是解题的关键．
18．不受影响，理由见解析．
【解析】
过点A 作AC ⊥BD 于点C ，然后根据特殊角三角函数即可求出AC ，进而进行比较即可判断． 解：如图，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，
∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，
根据题意可知：∠ABC ＝45°，∠ADC ＝30°，BD=100km ，
∴∠BAC ＝45°，
∴BC ＝AC ，
在Rt △ACD 中，tan ∠ADC AC CD =
，
∴tan 30AC CD ==︒
， ∵BD ＝BC ＋CD ，
∴AC ＝100，
解得AC ＝501）≈36.6＞30，
∴高速铁路不会受到地震的影响．
本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
19．（1）见解析；（2）阴影部分的面积为(8π-
【解析】
（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到2AOC ABC =∠∠，即可得BOC ∠的角度，可知BOC ∆为等边三角形，通过已知条件BD OB =，可得BCD ∆为等腰三角形，通过其外角的性质可知BCD ∠的度数，进而即可得到OCD ∠的度数，即可证明CD 与⊙O 相切； （2）作OE ⊥BC 于点E ，利用锐角三角函数求出OC 的长度，利用勾股定理求出OE 的长度，然后利用阴影部分的面积=扇形OBC 的面积-三角形BOC 的面积即可得到．
（1）∵45ABC ∠=︒，
∴224590AOC ABC ∠=∠=⨯︒=︒，
又∵150AOB ∠=︒，
∴1509060BOC AOB AOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∵OB OC =，
∴BOC ∆为等边三角形，
∴BC OB =，60OBC OCB ∠=∠=︒，
∵BD OB =，
∴BC BD =， ∴160302
BCD D ∠=∠=⨯︒=︒， ∴603090OCD ∠=︒+︒=︒，
∴CD 与⊙O 相切；
（2）如图，作OE ⊥BC 于点E ，
在Rt OCD ∆中，12,30CD D =∠=︒，
∴·tan 30123
OC CD =︒=⨯= ∵△OBC 是等边三角形，且OE ⊥BC ，
∴111222
CE BC OC ===⨯=
∴在Rt OCE ∆中，6OE ==，
∴阴影部分的面积=扇形OBC 的面积-三角形BOC 的面积，
26011
636022
OC BC OE π⋅=-⋅=⨯，
8π=-
即阴影部分的面积为(8π-．
本题考查了切线的判定、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理、扇形面积的求法等知识，解题的关键是熟知并熟练运用以上知识点．
20．（1）15EF =米；（2）点E 距水平地面BC 的高度为15米；楼房AB 的高约为61米
【解析】
（1）过点E 作EF ⊥BC 于点F ．在Rt △CEF 中，求出30ECF ∠=︒，进而即可求解；
（2）过点E 作EG AB ⊥，垂足为G ，在Rt AEG ∆中，45EAG ∠=︒，结合（1）中结论得到CF 的值，再根据AB ＝AG ＋BG ，求出AB 的值．
解：（1）过点E 作EF BC ⊥，垂足分别为F ，
在Rt CEF ∆中，∵
EF CF ==，
∴tan ECF ∠= ∴30ECF ∠=︒，
∵30CE =米，
∴15EF =米；
（2）过点E 作EG AB ⊥，垂足为G ，则EG BF BG EF ==，，
∵在Rt AEG ∆中，45EAG ∠=︒，
∴AG EG =，
由（1）得：cos3030CF CE =︒==(20BF BC CF =+=+米，∴
(20AG EG BF ===+米，
∴201535AB AG BG AG EF =+=+=+=+3515 1.73261=+⨯≈（米）， 答：点E 距水平地面BC 的高度为15米；楼房AB 的高约为61米．
本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21．18.1米．
【解析】
过点B 作BE ⊥CD 于点E ，根据已知条件求出BE=AD ，设CE=x ，则CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x 的值，即可得出CD 的值．
解：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，
∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，
∴四边形ABED 是矩形，
∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，
∴BE=AD=CE ，DE=AB=4.5米，
设CE=x ，则CD=CE+ED=x+4.5，
在Rt △CEB 中，tan 45tan 45CE x BE x ===︒︒
， 在Rt △ADC 中，tan53CD AD =⋅︒，
即x+4.5=x·tan53°，
∴x≈13.64，
∴CE=13.64米，
∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1米，
答：熊猫C 处距离地面AD 的高度为18.1米．
本题考查直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
22．（1）见解析；（2）83
AB =
【解析】
（1）连接OE ，根据切线的性质及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠OED+∠AOE=180°，从而求证两直线平行；
（2）连接CB ，由平行线的性质可得∠CAB=∠CDE ，然后利用圆周角定理结合锐角三角函数列比例式求解．
证明：（1）连接OE ．
∵DE切⊙O于点E，
∴OE⊥DE．
∴∠OED=90°，
∵∠AOE=2∠ACE=90°，∴∠OED+∠AOE=180°，∴DE∥AB．
（2）连接CB．
∵DE∥AB，
∴∠CAB=∠CDE，
∴cos∠CAB=cos∠CDE=3
4
，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，cos∠CAB=AC AB
，
∴
23
4 AB
=，
∴
8
3 AB=．
本题考查切线的性质及锐角三角函数，掌握相关性质定理正确添加辅助线进行推理论证是解题关键．23．（1）4.2米；（2）14米.
【解析】
(1)在等腰三角形AEF中，根据等腰三角形的性质，得到直角三角形，选择直角三角形，选择三角函数求解即可；
(2)过点E 作高EH ，从而构造直角三角形，解直角三角形得到EH ，从而得到BG 的长，AB 可求. 解：（1）∵房屋的侧面是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线，EF ∥BC ，
∴AG ⊥EF ，EG ＝12
EF ＝6，∠ACB ＝∠AEG ＝35°， 在Rt △AGE 中，∠AGE ＝90°，
∵tan ∠AEG ＝tan35°＝AG EG
， ∴AG ＝6×0.7＝4.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG 为4.2米；
（2）过E 作EH ⊥CB 于H ，如图，
设EH ＝x ，
在Rt △EDH 中，∠EHD ＝90°，∠EDH ＝60°，
∵tan ∠EDH ＝
EH DH ， ∴DH ＝tan 60x ︒
， 在Rt △ECH 中，∠EHC ＝90°，∠ECH ＝35°， ∵tan ∠ECH ＝
EH CH ， ∴tan 35x CH =°
， ∵CH ﹣DH ＝CD ＝8， ∴8tan 35tan 60x x -=°°
， 解得：x≈9.52，
∴AB ＝AG ＋BG ＝13.72≈14（米），
答：房屋的高AB 为14米．
本题考查了解直角三角形，通过等腰三角形的性质，构造垂线等方式构造解题需要的直角三角形是解题的关键.
24．（1）见解析；（2）
125
32
AE=；（3）12
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，从而判断点F的运动路径为线段，再分别找出当点D与点B重合时，F点在F1的位置，当点D与点C重合时，F点在F1的位置，求出AF1与AF2，进而即可求解．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
又∵∠B＝∠ACB，
∴△BAD∽△DCE；
（2）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∵△CDE∽△ABD，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB BD
BC AB
=，即
10
1610
BD
=，
解得，BD＝25
4
，
∵DE∥AB，
∴AE BD
AC BC
=，即
25
4
1016
AE
=，
解得，AE＝125 32
；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，∵AB=AC，
∴BM=CM=16÷2=8，
又∵AB=10，
∴
6=， ∴tanB=34
AM BM = ∵∠ADE ＝∠B ， ∴tan ∠ADE =
34AF AD =， ∵∠ANF=∠AMD=∠DAF=90°，
∵∠FAN+∠AFN=∠FAN+∠MAD=90°，
∴∠AFN=∠MAD ，
∴∆AFN~∆DAM ， ∴34NF AF MA AD ==，即：NF=34MA=34×6=92
， ∴点F 到AM 所在直线的距离=
92， ∴点D 从点B 运动到点C 的过程中，点F 的运动路径是线段， 当点D 与点B 重合时，F 点在F 1的位置，此时，∠BAF 1=90°， ∵tanB=34
AM BM =， ∴AF 1=AB×tanB=10×34=
152， 当点D 与点C 重合时，F 点在F 1的位置，此时，AF 2= AC×
tan ∠ACF 2= AB×tanB=152
， 连接F 1F 2，
∵∠BAF 1=∠CAF 2，
∴∠F 1AF 2=∠BAC ，
∵AF 1=AF 2，即∆A F 1 F 2是等腰三角形，
∴∆A F 1 F 2~∆ABC ， ∴121F F AF BC AB =，即：121521610
F F =， ∴F 1 F 2=12，即：点F 运动的路径长为12．。