（完整版）苏教版七年级下册期末数学必备知识点试题强力推荐解析

（完整版）苏教版七年级下册期末数学必备知识点试题强力推荐解析
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A ．x 2÷x 2＝0
B ．（x 3y ）2＝x 6y 2
C ．2m 2+4m 3＝6m 5
D ．a 2•a 3＝a 6
答案：B
解析：B
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则，积的乘方法则以及合并同类项法则逐一判断各个选项，即可．
【详解】
解：A. x 2÷x 2＝1，故该选项错误；
B.（x 3y ）2＝x 6y 2，故该选项正确；
C. 2m 2与4m 3不是同类项，不能合并，故该选项错误；
D. a 2•a 3＝a 5，故该选项错误．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则，积的乘方法则以及合并同类项法则是解题的关键．
2．如图所示，下列说法正确的是（ ）
A ．2∠与1∠是内错角
B ．2∠与3∠是同位角
C ．3∠与B 是同旁内角
D ．A ∠与3∠是内错角
答案：C
解析：C
【分析】
根据同位角，同旁内角，内错角的定义可以得到结果．
【详解】
解：A 、2∠与1∠不是内错角，故错误；
B 、2∠与3∠是邻补角，故错误；
C 、3∠与B 是同旁内角，故正确；
D 、A ∠与3∠是同位角，故错误；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，比较简单．
3．已知m,n 为常数，若mx+n>0的解集为13
x <，则nx-m<0的解集为( ) A ．x>3 B ．x<3 C ．x>-3 D ．x<-3
答案：D
解析：D
【分析】
第一个不等式的方向改变，说明不等式两边除以的m 小于0，由解集是x ＜13
．，可以继续判断n 的符号；就可以得到第二个不等式的解集．
【详解】
由mx+n ＞0的解集为x ＜13
． 不等号方向改变，所以m ＜0且-
n m =13
． 所以n m =-13． n m =-13＜0， 因为m ＜0．
所以n ＞0；
由nx-m ＜0得x ＜
m n =-3， 所以x ＜-3；
故选D ．
【点睛】
当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
4．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A ．()()244224x x x x x -+=+-+
B ．()2
2164x x -=- C ．()()2632x x x x --=-+ D ．2438xy x y =⋅ 答案：C
解析：C
【分析】
直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
【详解】
解：A 、（a+2）2-（a-1）2=（a+2+a-1）（a+2-a+1）=3（2a+3），故此选项错误； B 、x 2+14x+14，无法运算完全平方公式分解因式，故此选项错误；
C 、x 2-x-6=（x-3）（x+2），正确；
D 、x 4-16=（x 2+4）（x 2-4）=（x 2+4）（x-2）（x+2），故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．
5．若关于x 的不等式31x m 的正整数解是1，2，3，则整数m 的最大值是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
答案：D
解析：D
【分析】
先解不等式得到x <()113m -，再根据正整数解是1，2，3得到3<()113
m -≤4时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．
【详解】
解不等式31x m 得x <()113
m -， 关于x 的不等式31x m 的正整数解是1，2，3，
∴ 3<()113
m -≤4，解得10 < m ≤ 13， ∴整数m 的最大值为13．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的最大整数解．
6．下列命题中，真命题的是（ ）
A ．内错角相等
B ．三角形的一个外角等于两个内角的和
C ．若a b 0>>，则a b >
D ．若21x =-，则2x =-
答案：C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质，三角形的外角的性质，绝对值，解方程等知识一一判断即可．
【详解】
解：A 、内错角相等．错误，缺少两直线平行的条件，本选项不符合题意．
B 、三角形的一个外角等于两个内角的和，错误，应该是三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和，本选项不符合题意．
C 、若a ＞b ＞0，则|a |＞|b |，正确，本选项符合题意．
D 、若2x =-1，则x =-2，错误，应该是x =-1
2．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即
假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．已知整数1a 、2a 、3a 、4a ……满足下列条件：11a =-，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，……，1n n a a n +=-+（n 为正整数）依此类推，则2019a 的值为（ ） A ．1010- B ．1009- C ．1008- D ．1007-
答案：A
解析：A
【分析】
根据条件求出前几个数的值，再分n 是奇数时，()112
n a n =-+，n 是偶数时，22
n n a -=-，然后把n 的值代入进行计算即可得解． 【详解】
解：a 1=-1，
a 2=-|a 1+1|=-|-1+1|=0，
a 3=-|a 2+2|=-|0+2|=-2，
a 4=-|a 3+3|=-|-2+3|=-1，
a 5=-|a 4+4|=-|-1+4|=-3，
a 6=-|a 5+4|=-|-3+5|=-2，
a 7=-|a 6+4|=-|-2+6|=-4
…，
所以，n 是奇数时，()112n a n =-+，n 是偶数时，22
n n a -=-， a 2019=12
-（2019+1）=-1010， 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n 为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，且∠ACB=∠BAD ，AE 平分∠CAD ，交BC 于点E ，过点E 作EF ∥AC ，分别交AB 、AD 于点F 、G ．则下列结论：①∠BAC =90°；②∠AEF =∠BEF ；③∠BAE=∠BEA ；④∠B =2∠AEF ，其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④ 答案：B
解析：B
【分析】
①正确，证明90BAD CAD ∠+∠=︒即可；
②错误，如果EA EC =，则结论成立，无法判EA EC =，故错误；
③正确，利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题；
④正确，证明B CAD ∠=∠即可解决问题．
【详解】
解：∵AD ⊥BC ，
∴∠ADC =90°，
∴∠C +∠CAD =90°，
∵∠BAD =∠C ，
∴∠BAD +∠CAD =90°，
∴∠CAB =90°，故①正确，
∵∠BAE =∠BAD +∠DAE ，∠DAE =∠CAE ，∠BAD =∠C ，
∴∠BAE =∠C +∠CAE =∠BEA ，故③正确，
∵EF ∥AC ，
∴∠AEF =∠CAE ，
∵∠CAD =2∠CAE ，
∴∠CAD =2∠AEF ，
∵∠CAD +∠BAD =90°，∠BAD +∠B =90°，
∴∠B =∠CAD =2∠AEF ，故④正确，
无法判定EA =EC ，故②错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
9．计算________________________. 解析：
【解析】
【分析】 先由幂的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘单项式的计算方法计算即可.
【详解】 解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了单项式乘单项式，有乘方先算乘方，单项式乘单项式即把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 10．命题“如果a b =，那么22a b =”是______命题．（填“真”或“假”）
解析：真
【分析】
根据真假命题的概念直接进行解答即可．
【详解】
由a b =，则有22a b =，所以命题“如果a b =，那么22a b =”是真命题；
故答案为：真．
【点睛】
本题主要考查命题，正确理解真假命题是解题的关键．
11．一机器人在平地上按如图设置的程序行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为_____．
解析：32m
【分析】
该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．
【详解】
解：根据题意，
360°÷45°=8，
则所走的路程是：4×8=32（m ）．
故答案为：32m ．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键．
12．如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片4张，用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．
解析：2+a b
【分析】
根据题意列出关系式，分解因式即可得正方形边长．
【详解】
解：根据题意得：22244(2)a ab b a b ++=+，
则这个正方形的边长为2+a b ，
故答案是：2+a b ；
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和理解因式分解的方法是解本题的关键．
13．若关于x ，y 的方程组4510(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩
中x 的值比y 的相反数大2，则k ＝_____． 解析：-3
【分析】
由题意得：x ＝﹣y +2，代入方程组中的第一个方程可求得y 的值，再求出x 的值，最后代入到方程组中的第二个方程可求出k 的值．
【详解】
解：∵方程组4510(1)8x y kx k y +=⎧⎨--=⎩
中x 的值比y 的相反数大2， ∴x ＝﹣y +2，
∴4（﹣y +2）+5y ＝10，
解得：y ＝2，
把y ＝2代入4x +5y ＝10中，得：4x +10＝10，
解得：x ＝0，
则方程组的解是x=0y=2
⎧⎨⎩， ∴﹣（k ﹣1）×2＝8，
解得：k ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是理解题意，求出方程组的解． 14．如图，在宽为21m ，长为31m 的矩形地面上修建两条同样宽为1m 的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为____________m 2．
解析：【分析】
利用矩形的面积减去两条小路的面积，然后再加上两条路的重叠部分，进行计算即可求解．
【详解】
解：21×31-31×1-21×1+1×1
=651-31-21+1
=652-52
=600m 2．
故答案为600．
【点睛】
本题利用平移考查面积的计算，注意减去两条小路的面积时，重叠部分减去了两次，这也是本题容易出错的地方．
15．一个三角形的三边分别为3、10－m、4；则m的取值范围是_____________．
答案：【分析】
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得4−3＜m＜4＋3，再解即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系可得：4−3＜10-m＜4＋3，
得：3
解析：39
<<
m
【分析】
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得4−3＜m＜4＋3，再解即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系可得：4−3＜10-m＜4＋3，
得：3＜m＜9，
故答案为：3＜m＜9．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
16．将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置，其中直角顶点C重合，∠D＝45°，∠A＝30°.若DE∥BC，则∠1的度数为________．
答案：105°
【分析】
根据DE∥BC，可得∠E=∠ECB=45，由外角和定理可得∠1的度数.
【详解】
解：由题意得： DE∥BC,
∠E=∠ECB=45,
∠1=∠ECB+∠B=45+60=105.
解析：105°
【分析】
根据DE∥BC，可得∠E=∠ECB=45o，由外角和定理可得∠1的度数.
【详解】 解：由题意得： DE ∥BC,
∴∠E=∠ECB=45o ,
∴∠1=∠ECB+∠B=45o +60o =105o .
故答案为:105o .
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的另个内角的和.
17．计算：
()()221342(3)xy x y x xy -÷-+-；
()2020202021222()(0.2)53
-++-⨯ 答案：（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案；
（2）利用负整数指数幂，零指数幂和积的乘方的逆用计算法则求解即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
【点睛】
解析：（1）2259xy x y +；（2）
254
【分析】
（1）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案；
（2）利用负整数指数幂，零指数幂和积的乘方的逆用计算法则求解即可．
【详解】
解：（1）原式22329xy xy x y =++
2259xy x y =+； （2）原式202011(0.25)54=
++-⨯⨯ 554=
+ 25.4
= 【点睛】
此题主要考查了整式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂和积的乘方的逆用，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．因式分解：
（1）3312x x -
（2）()()2
23a b b a b --- 答案：（1）；（2）
【分析】
（1）原式提取公因式，然后利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则展开合并，然后再运用完全平方公式分解即可．
【详解】
（1）
解：
解析：（1）()()31212x x x +-；（2）()2
2a b - 【分析】
（1）原式提取公因式3x ，然后利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则展开合并，然后再运用完全平方公式分解即可．
【详解】
（1）3312x x -
解：原式()2314x x =-
()()31212x x x =+-
（2）()()2
23a b b a b ---
解：原式222223a ab b ab b =-+-+
2244a ab b =-+ ()2
2a b =-． 【点睛】
本题主要考查了因式分解，整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．解方程组：
（1）3281x y y x +=⎧⎨=-⎩
． （2）6234()5()2
x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩． 答案：（1）；（2）
【分析】
（1）利用代入消元法可进行求解；
（2）先把二元一次方程组进行化简，然后再利用加减消元进行求解即可．
【详解】
解：（1）
把②代入①得：，解得：，
把代入②得：，
∴原方
解析：（1）21x y =⎧⎨=⎩；（2）71x y =⎧⎨=⎩
【分析】
（1）利用代入消元法可进行求解；
（2）先把二元一次方程组进行化简，然后再利用加减消元进行求解即可．
【详解】
解：（1）3281x y y x +=⎧⎨=-⎩
①② 把②代入①得：3228x x +-=，解得：2x =，
把2x =代入②得：1y =，
∴原方程组的解为21
x y =⎧⎨=⎩； （2）6234()5()2
x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩ 方程组化简得：53692x y x y +=⎧⎨-+=⎩
①② ②×5+①得：4646y =，解得：1y =，
把1y =代入②得：7x =，
∴原方程组的解为71x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
20．解不等式组32(1)113x x x +>-⎧⎪-⎨>⎪⎩
，并把解集在数轴上表示出来． 答案：4＜x ＜5，数轴见解析
【分析】
先根据不等式的性质分别解不等式求解集，然后取两个解集的公共部分，最后利用数轴上解集表示方法在数轴上表示不等式组的解集.
【详解】
解：解不等式x+3＞2（x﹣1），
解析：4＜x＜5，数轴见解析
【分析】
先根据不等式的性质分别解不等式求解集，然后取两个解集的公共部分，最后利用数轴上解集表示方法在数轴上表示不等式组的解集.
【详解】
解：解不等式x+3＞2（x﹣1），得：
x+3＞2x-2，
x-2x>-2-3，
-x>-5，
x＜5，
解不等式
1
1
3
x-
>，得：
x-1>3,
x＞4，
则不等式组的解集为4＜x＜5，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】
本题主要考查解不等式组和解集在数轴上的表示，解决本题的关键是要熟练掌握解不等式组的方法和解集在数轴上的表示方法.
三、解答题
21．看图填空：（请将不完整的解题过程及根据补充完整）
已知：如图，//
AB CD，BC平分∠ABD，∠1=52°，求∠2的度数．
解：因为//
AB CD，∠1=52°，
根据“”，
所以∠ABC=∠1=52°．
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以∠ABD+=180°．
又因为BC平分∠ABD，
所以∠ABD=2∠ABC=104°．
所以∠CDB=180°﹣∠ABD=76°．
根据“”．
所以∠2=∠CDB=76．
答案：两直线平行，同位角相等；∠BDC；对顶角相等
【分析】
利用平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等解答即可．
【详解】
解：∵，∠1=52°，
根据“两直线平行，同位角相等”，
∴∠ABC=∠1=
解析：两直线平行，同位角相等；∠BDC；对顶角相等
【分析】
利用平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等解答即可．
【详解】
AB CD，∠1=52°，
解：∵//
根据“两直线平行，同位角相等”，
∴∠ABC=∠1=52°．
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
∴∠ABD+∠BDC =180°．
又∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=104°．
∴∠CDB=180°﹣∠ABD=76°．
根据“对顶角相等”．
∴∠2=∠CDB=76．
故答案为：两直线平行，同位角相等；∠BDC；对顶角相等
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
22．9岁的小芳身高1.36米，她的表姐明年想报考北京的大学．表姐的父母打算今年暑假带着小芳及其表姐先去北京旅游一趟，对北京有所了解．他们四人7月31日下午从苏州出发，1日到4日在北京旅游，8月5日上午返回苏州．
苏州与北京之间的火车票和飞机票价如下：火车（高铁二等座）全票524元，身高1.1～1.5米的儿童享受半价票；飞机（普通舱）全票1240元，已满2周岁未满12周岁的儿童享受半价票．他们往北京的开支预计如下：
假设他们四人在北京的住宿费刚好等于上表所示其他三项费用之和，7月31日和8月5日合计按一天计算，不参观景点，但产生住宿、伙食、市内交通三项费用．
（1）他们往返都坐火车，结算下来本次旅游总共开支了13668元，求x ，y 的值； （2）他们往返都坐飞机 （成人票五五折），其他开支不变，至少要准备多少元？ （3）他们去时坐火车，回来坐飞机 （成人票五五折），其他开支不变，准备了14000元，是否够用？如果不够，他们准备不再增加开支，而是压缩住宿的费用，请问他们预定的标准间房价每天不能超过多少元？
答案：（1）；（2）至少要准备15332元；（3）不够，标准间房价每日每间不能超过450元.
【解析】（1）结合本次旅游总共开支了13668元，以及他们四人在北京的住宿费刚好等于上表所示其他三项费用之和分
解析：（1）500{
54
x y ==；（2）至少要准备15332元；（3）不够，标准间房价每日每间不能超过450元.
【解析】（1）结合本次旅游总共开支了13668元，以及他们四人在北京的住宿费刚好等于上表所示其他三项费用之和分别得出等式求出答案；
（2）结合他们往返都坐飞机 （成人票五五折），表示出总费用，进而求出答案； （3）利用已知求出总费用进而去掉住宿费得出住宿费的最大值，即可得出答案． 解：（1）往返高铁费：(524×3+262)×2=1834×2=3668（元），
根据题意可列方程组，
25100545444120{36682510054544412013668x y x y ⨯=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯= 解得： 500{54
x y ==； 答：x 的值是500，y 的值是54.
（2）根据题意可得，飞机票的费用为：(1240×3×0.55+1240×0.5)×2=2666×2=5332（元） 总的费用：5332+5000+20×100+54×20+120×16=15332（元），
答：至少要准备15332元；
（3）根据题意可得：
1834+2666+5000+2000+1080+1920=14500＞14000，不够；
14000-（1834+2666+2000+1080+1920）=4500，
即10x ≤4500，
则x ≤450，
答：标准间房价每日每间不能超过450元．
点睛：本题主要考查了实际问题与二元一次方程组、一元一次不等式．理解题意，并根据题意建立解决实际问题的方程组及不等式的模型，即是本题解题的关键，也是体现学生应用数学知识解决实际问题的表现.
23．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．
（1）若小语用长40cm ，宽34cm 的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？
（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？
答案：（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为，,根据题意列方程组，再根据长宽高求得体积；
（2）分别设第一个月和第二个月的销售量为盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式
解析：（1）12803()cm ；（2）
【分析】
（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为acm ，bcm ,根据题意列方程组，再根据长宽高求得体积；
（2）分别设第一个月和第二个月的销售量为,x y 盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式确定二元一次方程的解，两个月的销售总量为()x y 盒
【详解】
（1）设设盒底边长为acm ，接口的宽度为bcm ，则盒高是2.5acm ，根据题意得：
2.52240434
a a
b a b ++=⎧⎨+=⎩ 解得：
82a b =⎧⎨=⎩
茶叶盒的容积是：332.5 2.5 2.581280a a a a ⨯⨯=⨯=⨯=3()cm
答：该茶叶盒的容积是12803()cm
（2）设第一个月销售了x 盒，第二个月销售了y 盒，根据题意得：
20018%(20018%6)1800x y ⨯⨯+⨯-⨯=
化简得：65300x y +=①
第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量
32
x y x y x ++∴<< 即2x y x <<
由①得：6605
y x =- ∴660566025x x x x ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩
解得：231627311
x <<
,x y 是整数，所以x 为5的倍数
2036x y =⎧∴⎨=⎩或者2530x y =⎧⎨=⎩
x y ∴+56=或者55
答：这批茶叶共进了56或者55盒．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的求解，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键．
24．（1）如图1所示，△ABC 中，∠ACB 的角平分线CF 与∠EAC 的角平分线AD 的反向延长线交于点F ；
①若∠B ＝90°则∠F ＝ ；
②若∠B ＝a ，求∠F 的度数（用a 表示）；
（2）如图2所示，若点G 是CB 延长线上任意一动点，连接AG ，∠AGB 与∠GAB 的角平分线交于点H ，随着点G 的运动，∠F +∠H 的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
答案：（1）①45°；②∠F＝a；（2）∠F+∠H的值不变，是定值180°．【分析】
（1）①②依据AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=∠CAE，
∠ACF=∠ACB，依据∠CAE是△ABC
解析：（1）①45°；②∠F＝1
2
a；（2）∠F+∠H的值不变，是定值180°．
【分析】
（1）①②依据AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=1
2
∠CAE，∠ACF=1
2
∠ACB，
依据∠CAE是△ABC的外角，可得∠B=∠CAE-∠ACB，再根据∠CAD是△ACF的外角，即可
得到∠F=∠CAD-∠ACF=1
2
∠CAE-1
2
∠ACB=1
2
（∠CAE-∠ACB）=
1
2
∠B；
（2）由（1）可得，∠F=1
2
∠ABC，根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得
到∠H=90°+1
2
∠ABG，进而得到∠F+∠H=90°+1
2
∠CBG=180°．
【详解】
解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，
∴∠CAD＝1
2∠CAE，∠ACF＝1
2
∠ACB，
∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，
∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝1
2∠CAE﹣1
2
∠ACB＝1
2
（∠CAE﹣∠ACB）＝
1
2
∠B＝45°，
故答案为45°；
②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，
∴∠CAD＝1
2∠CAE，∠ACF＝1
2
∠ACB，
∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，
∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝1
2∠CAE﹣1
2
∠ACB＝1
2
（∠CAE﹣∠ACB）＝
1
2
∠B＝1
2
a；
（2）由（1）可得，∠F＝1
2
∠ABC，
∵∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，
∴∠AGH＝1
2∠AGB，∠GAH＝1
2
∠GAB，
∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣1
2（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣
1
2
（180°﹣
∠ABG）＝90°+1
2
∠ABG，
∴∠F+∠H＝1
2∠ABC+90°+1
2
∠ABG＝90°+1
2
∠CBG＝180°，
∴∠F+∠H的值不变，是定值180°．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质的综合运用，熟练运用定理是解题的关键．
25．（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图，AB∥CD，．
求证：．
证明：
（2）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN， MP∥NF，∠AEM与
∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
答案：（1）直线MN 分别交直线AB 、CD 于点E 、F ，∠AEF 和∠CFE 的角平分线 OE 、OF 交于点O ，OE ⊥OF ，见解析；（2）见解析；（3）51°．
【分析】
（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证
解析：（1）直线MN 分别交直线AB 、CD 于点E 、F ，∠AEF 和∠CFE 的角平分线 OE 、OF 交于点O ，OE ⊥OF ，见解析；（2）见解析；（3）51°．
【分析】
（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明；
（2）延长EM 交CD 于点G ，过点O 作//OP CD 交ME 于点P ，结合（1）的方法即可证明；
（3）延长EM 、FN 交CD 于点Q ，过点O 作//OP CD 交ME 于点P ．结合（1）的方法可得102AEM CFN EQF ∠+∠=∠=︒，再根据角平分线定义即可求出结果．
【详解】
（1）已知：如图①，//AB CD ，直线MN 分别交直线AB ，CD 于点E ，F ，OE 、OF 分别平分AEF ∠、CFE ∠，
求证：OE OF ⊥；
证法1://AB CD ，
180AEF CFE ∠+∠=︒∴， OE 、OF 分别平分AEF ∠、CFE ∠， 119022
OEF OFE AEF CFE ∴∠+∠=∠+∠=︒． 180OEF OFE EOF ∠+∠+∠=︒，
90EOF ∴∠=︒．
OE OF ∴⊥；
证法2：如图，过点O 作//OP CD 交直线MN 于点P ．
//AB CD ，
180AEF CFE ∠+∠=︒∴， OE 、OF 分别平分AEF ∠、CFE ∠， 119022
AEO CFO AEF CFE ∴∠+∠=∠+∠=︒． //OP CD ，//AB CD ，
//OP AB ∴．
90EOF EOP POF AEO CFO ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒． OE OF ∴⊥；
故答案为：直线MN 分别交直线AB ，CD 于点E ，F ，OE 、OF 分别平分AEF ∠、CFE ∠，OE OF ⊥；
（2）证明：如图，延长EM 交CD 于点G ，过点O 作//OP CD 交ME 于点P ，
//AB CD ，
180AEG CGE ∴∠+∠=︒，
//EM FN ，
CGE CFN ∴∠=∠．
OE 、OF 分别平分AEM ∠、CFN ∠，
1111902222
AEO CFO AEM CFN AEM CGE ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， //OP CD ，//AB CD ，
//OP AB ∴．
90EOF EOP POF AEO CFO ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒． OE OF ∴⊥；
（3）解：如图，延长EM 、FN 交于点Q ，过点O 作//OG CD 交ME 于点G ．
//EM PN ，//FN MP ，
102EQF EMP P ∴∠=∠=∠=︒，
由（1）证法2可知102AEM CFN EQF ∠+∠=∠=︒， OE 、OF 分别平分AEM ∠、CFN ∠，
EOF AEO CFO ∴∠=∠+∠
11110251222
AEM CFN =∠+∠=⨯︒=︒． 【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。