人教版八年级下册数学平行四边形第4课时平行四边形的性质和判定的应用 同步练习

18.1 平行四边形
第4课时平行四边形的性质和判定的应用
基础训练
知识点1 利用平行四边形的性质和判定判定平行四边形
1.(2016·鄂州)如图,在▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A,C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于M,N.
(1)求证:四边形CMAN是平行四边形;
(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.
知识点2 利用平行四边形的性质和判定说明线段的关系
2.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BA交AC于E,DF∥CA交AB于F,连接EF,AD,那么是否有下列结论?说明理由.
(1)AD与EF互相平分;
(2)AE=BF.
知识点3 利用平行四边形的性质和判定探究图形的形状
3.如图,E,F分别是▱ABCD的AD,BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若M,N分别是BE,DF的中点,连接MF,EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
知识点4利用平行四边形的性质和判定证明线段间数量关系
4.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,求证:AB2=AE2+BE2.
提升训练
考查角度1 利用平行四边形的性质和判定求线段的长
5.如图,将▱ABCD的AD边延长至点E,使DE=错误!未找到引用源。

AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)若AB=3,AD=4,∠A=60°,求CE的长.
考查角度2 利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系(归一法)
6.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②,图
③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF=_______.
探究培优
拔尖角度1 利用平行四边形的性质和判定探究动点问题
7.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=18 cm,CD=15 cm,AD=10 cm,AB=12 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2 cm/s的速度由A向D运动,点Q以3 cm/s的速度由C向B运动.
(1)几秒后,四边形ABQP为平行四边形?并求出此时四边形ABQP的周长;
(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形?并求出此时四边形PDCQ的周长.
拔尖角度2 利用平行四边形的性质和判定求解翻折问题
8.如图,四边形ABCD是长方形纸片,翻折∠B,∠D,使BC,AD恰好落在AC上,设F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.
(1)求证:四边形AECG是平行四边形;
(2)若AB=4 cm,BC=3 cm,求线段EF的长.
参考答案1.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB.
∵AM⊥BD,CN⊥BD,∴AM∥CN.
∴四边形CMAN是平行四边形.
(2)解:∵四边形CMAN是平行四边形,∴CM=AN.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,CD∥AB.
∴DM=BN,∠MDE=∠NBF.
在△MDE和△NBF中,
∴△MDE≌△NBF.
∴BF=DE=4.
在Rt△NBF中,∵∠BFN=90°,BF=4,FN=3,
∴BN=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=5.
2.解:结论(1)(2)都成立,理由如下:
(1)∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AFDE是平行四边形.
∴AD与EF互相平分.
(2)在▱AFDE中,AE=DF,
∵AC∥DF,
∴∠C=∠FDB.
∵AB=AC,∴∠C=∠B,
∴∠B=∠FDB,∴BF=DF=AE,即AE=BF.
3.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C.
∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:四边形MFNE是平行四边形.证明如下: ∵△ABE≌△CDF,
∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.
又∵M,N分别是BE,DF的中点,
∴ME=FN.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,
∴∠AEB=∠FBE.
∴∠CFD=∠FBE.
∴EB∥DF,即ME∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形.
规律总结:本题是一道猜想型问题,先猜想结论,再证明结论.本题已知一个四边形是平行四边形,借助其性质,利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形.
4.证明:(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,
∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E.
∵∠D=∠CBA,∴∠AD'E=∠CBA.∴ED'∥CB.
∵EC∥D'B,
∴四边形BCED'是平行四边形.
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠EBA.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠DAE=∠BAE,
∴∠EAB+∠EBA=90°.
∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2.
5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD BC.
∵F是BC的中点,∴FC=错误!未找到引用源。

BC.
又∵DE=错误!未找到引用源。

AD,∴FC DE.
∴四边形CEDF是平行四边形.
(2)解:如图,过点D作DM⊥BC于点M.
∵四边形CEDF,四边形ABCD是平行四边形,F是BC的中点,
∴CE=DF,∠DCM=∠A=60°,
FC=错误!未找到引用源。

BC=错误!未找到引用源。

AD=2,DC=AB=3. 在Rt△DCM中,∠CDM=90°-60°=30°,DC=3.
∴CM=错误!未找到引用源。

.∴DM=错误!未找到引用源。

,FM=错误!未找到引用源。

. 在Rt△DFM中,由勾股定理可知:
DF=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.
∴CE=DF=错误!未找到引用源。

.
6.(1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形.
∴DE=AF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∴∠FDC=∠C,∴DF=FC.
∴DE+DF=AF+FC=AC.
(2)解:当点D在边BC的延长线上时,DE-DF=AC;
当点D在边BC的反向延长线上时,DF-DE=AC.
(3)2或10
7.解:(1)设x s后,四边形ABQP为平行四边形,由题意易得2x=18-3x,解得x=3.6,
即 3.6 s后,四边形ABQP为平行四边形,此时四边形ABQP的周长是 3.6×2×2+12×2=38.4(cm).
(2)设y s后,四边形PDCQ为平行四边形.由题意易得10-2y=3y,解得y=2,即2 s后,四边形PDCQ为平行四边形,此时四边形PDCQ的周长是3×2×2+15×2=42(cm).
8.(1)证明:由题意知AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
由翻折的性质可知∠GAH=错误!未找到引用源。

∠DAC,
∠ECF=错误!未找到引用源。

∠ACB,
∴∠GAH=∠ECF,
∴AG∥CE.又AE∥CG,
∴四边形AECG是平行四边形.
(2)解:易得AC=5 cm,AF=2 cm,设EF=BE=x cm,则
AE=(4-x)cm,
∴(4-x)2=22+x2,解得x=错误!未找到引用源。

.
∴EF=错误!未找到引用源。

cm.
先制定阶段性目标—找到明确的努力方向
每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。

但由于某些不确定因素的存在,人生目标不一定非常具体详细,只要有一个明确的方向就可以。

而对于中学生来说,你们的目标应该是进入自己理想中的学校。

因此,每个学生都会为自己制定一个学习目标,学习目标可以分为两方面内容：
一是阶段性目标,如自己要知道学习到底是为了什么?为自己、为父母,或是为其他需要感激和感恩的人?为了将来的发展,为了上大学,为了证明自己的价值?这都是很不错的理由。

只要你认为,它可以给你带来源源的动力,促使你向着自己希望的方向去发展,去努力,就可以当作自己的目标确定下来。

可以说,这是人生中的阶段性目标。

二是步骤性目标,由步骤性目标最终才能实现自己学习的总目标。

比如,这一节课必须掌握哪些知识,一天的复习要包括哪些内容,一个月的学习要达到什么效果。

小到一小时,大到一月、一学期、一年,都要有目标,只有这样,才可以不懈怠,不放松,一步一个脚印地朝着自己的最终目标前进。

当然,要进入理想的学校,你还要制定一个年度目标根据年度目标,可以具体量化学科分数指标和自己的心理成长指标。

年度目标的制定既要符合你当前的学习水平,又要适当地高于自己的实际水平,以便促进一年中自身的发展和成长同时,为了目标的清晰直观,你可以在班级中大致估算对比一下,找到和自己目标接近的同学。

比如,某位同学目前的水平应该可以考上你理想的学校,就把他作为实际中追赶的对象。

经验告诉我们,只要目标明确、方法得当,初三一年成绩在班级提升10至20名是常有的事情。

有了年度目标,还要学会将目标阶段化,这也是中考状元们为大家分享的经验,因为只有这样才能由目标逐步落实到任务。

首先,由年度目标得出中期目标。

按照前松后紧的原则,中考状元们建议大家在初三前半年落实任务的40%,比如全年要提高10名,那么期中要提高4名。

这是因为初三前半年还有些新课程要学,而且就像物理学习中所知道的那样,启动时的静摩擦力是最大的,我们需要在上半年付出一点时间和精力,调整自己的心态,使之进入良好的状态。

可以说,前半年能够完成中期目标的学生,年度目标通常都能够顺利完成,因为越到后面,我们所擅长的心理因素和压力调整就会发挥越大的作用。

接下来就是每个月的短期目标了。

制定短期目标应注意以下几个方面的问题。

第一,要对自己做一个全面的分析。

制定目标为自己的未来勾画了一个蓝图,描绘了到达最终目的地的时间和要求,但究竟如何起步,还得从自身的现状出发。

因此,要充分分析自己的目前情况。

比如,自己有哪些优势和不足,如何发挥优势、克服不足,自己的各科潜能如何,是否已经充分发挥出来了,自己各科成绩如何,偏科情况如何,如何补救;自己的学习毅力和勤奋程度如何;自己的学习方法和学习效率怎样,需做哪些改进,等等第二,可以把每个月定名,确定主题。

例如一月为“力学月”。

目标:熟练运用受力分析,掌握物理题
中与力学有关的各种联系。

任务:找出各种和力学有关的题型,把它们归纳成四五大类,十种已知,八种求解。

具体做法:归纳力学主要知识点,研究习题册和考卷中的
第三,偏科越严重的科目越要先补,分值越大的科目越要先补。

你要根据自己的学习潜能、学习成绩、学习方法、努力程度等实际情况,制订自己的行动计划,主要是明确自己将要在哪些方面采取什么样的措施。

如在外语学习方面,要加大课外时间的投入,选择较好的英语参考书,提高阅读能力,增加词汇量;在语文学习方面,增加课外阅读书报量,逐渐丰富作文素材,提高作文能力。

第四,语文和英语要细水长流,强烈建议采用每天的零散时间来背诵单词和复习文学常识,具体任务可以下达到每月但是不能影响该月的主。