尺规作图(二)角平分线

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沪科版数学八年级上册角平分线的尺规作图

提示：
(1)已知什么？求作什么？
A
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎
样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC = DC，怎样在作
图中体现这个过程呢？
O
B (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
已知：∠AOB.
A
求作：∠AOB 的平分线. 仔细观察作图步骤
③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程
第 15 章轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第 1 课时角平分线的尺规作图
学习目标
1. 理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线；（重点）
2. 应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理；（难点）
3. 在利用尺规作图的过程中，培养动手操作能力与探索精神．
导入新课
问题引导
如何过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？由于两点确定一条直线，因此我们可以
通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
(1) 当点 P 在直线 l 上.
这一步的目的是什么？
①在直线 l 上点 P 的两旁分别截
取线段 PA， PB，使 PA = PB；
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？用量角器度量，也可用对折的方法.
问题2：如果把前面的纸片换成木板、风筝等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图是一个角平分仪，其中 AB = AD，BC =
DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放
C
②分别以
A，B

第20课时垂直平分线、角平分线及尺规作图中考数学总复习课件

考点
2.[2017·荆州]如图20-3,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于点
知
D,则∠CBD的度数为 ( B )
识
梳
A.30°
B.45°
理
C.50°
D.75°
高
频考向
探
究
图20-3
课时分层训练
考点
3.[2018·包头一模]已知:在△ABC中,BC>AB>AC.根据图20-4中的作图痕迹及作
高
到 AB 的距离等于 ( )
∵AC=8,DC=13AD,∴CD=2.
频
考
A.4
B.3
∵BD 平分∠ABC,∴DE=DC=2,
向探
C.2
D.1
即点 D 到 AB 的距离等于 2.
究
课
时
图20-5
分
层
训
练
考点
| 考向精练 |
知
识
[2019·湖州]如图20-6,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,
定角平分线上的点到角的两边的距离③ 相等 ,
理
即∠��1��
= ⊥
∠2 ��,��
⊥
��
⇒PE④
=
PF
向探
逆角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,即
究课
定理
��
知
法,下列结论一定成立的是 ( B )
识
梳
A.AP⊥BC
理

五种基本的尺规作图

建筑学
在建筑设计中，尺规作图被广泛应用于绘制平面图、立面图和剖面图等，以确保建筑的准确性和
美观性。
机械工程
在机械制图中，尺规作图是绘制精确零件图和装配图的重要工具，有助于提高机械制造的精度和效率。
艺术设计
在美术、设计等艺术领域，尺规作图也被用于创作具有几何美感的作品，展现出独特的艺术魅力。
技巧分享
分享一些在尺规作图中常用的技巧和注意事项，如如何准确确定切点、如何绘制垂直直线等，以提高作图的准确性和效率。同时，也可以介绍一些在实际应用中可能会遇到的特殊情况和处理方法。
06 综合应用与拓展
五种基本尺规作图的综合应用
作一条已知线段的垂直平分线
利用直尺和圆规，可以准确作出已知线段的垂直平分线，这在几何作图中非常有用。
技巧分享
在绘制大圆时，可以将圆规两脚间距离调整得稍大一些，以提高绘制效率；在绘制小圆时，则需要更加精细地调整圆规两脚间距离，以确保绘制出的圆足够准确。
注意事项
在实例演示和技巧分享中，要强调保持圆规两脚间距离不变的重要性，以及注意调整圆规两脚间距离的方法。同时，还可以分享一些在绘制过程中可能遇到的问题和解决方法，例如如何避免圆规针尖滑动导致绘制出的圆不准确等问题。
五种基本的尺规作图
目录
• 五种基本尺规作图概述 • 直线与角平分线作图 • 垂直平分线与平行线作图 • 圆的作图 • 圆弧连接与切线作图 • 综合应用与拓展
01 五种基本尺规作图概述
定义与分类
定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆规进行作图的方法，是几何学中的基本作图技能之一。
分类
五种基本的尺规作图包括作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、作线段的垂直平分线以及作已知线段的中点。

12.8尺规作图2-角平分线 (1)

二.互助探究
环节1----师友探究
1.画一个角∠AOB，尺规作出它的角平分线。
2.在OC上任取一点C，过C点作CD⊥OA于D，过C点作CE⊥OB于E. 3.你发现CD与CE有什么数量关系？请说明理由。 4.请用最精炼的语言总结这一规律 8分钟
环节2----教师点拨角平分线的性质：定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
A D
P
O
E
B
9分钟
四.总结归纳
环节1----师友总结
1、这节课你学会了哪些知识和学习方法？ 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道其依据。 SSS 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定理；运用全等 3.会对的学师（友）提一条学习建议？ 4分钟
五.巩固反馈
作业：
1. 练习册61-62页
1分钟
定理：到角两边距离相等的点在这个角
的平分线上
3分钟
三.分层提高
环节1----师友探究
例1：如图,AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, 垂足为点E， DF⊥AC，垂足为F,且BD=CD 求证：BE=CF
B D E
A
F
C
9分钟
三.分层提高
环节2----师友探究
例2：如图, PD⊥OA,垂足为点D， PE⊥OB，垂足为E,且PD=PE 求证:点P在∠AOB的平分线上
12.8尺规作图—角平分线
角平分线
学习目标： 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道其依据。 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定理； 3.会对角平分线的性质进行简单的应用。
2分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作按以下步骤画图 1.画一个角∠AOB；
2.以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA与D，

_角平分线的性质和判定(包含答案)

角平分线的性质和判定（1）以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；（2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，相交于点；（3）连接点和并延长，则射线就是的角平分线若DP=EP，则点P在∠AOB的角平分线上一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定二．重难点：角平分线的性质和判定三．易错点：1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错．题模一：尺规作图例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB∠的边OA上任意两点．（1）尺规作图：作AOB∠的平分线OC；（2）在AOB∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN+的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹）如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．题模二：性质例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．例 1.2.3 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．题模三：判定例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ．（1）求证：AE 平分∠BAD ；（2）求∠AED 的度数．例 1.3.2 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．FABCDEOOEDCBA随练1.2如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.65°B.60°C.55°D.45°随练1.3如图，已知ABC∆的周长是20，OB和OC分别平分ABC∠和ACB∠，OD BC⊥于点D，且3OD=，则ABC∆的面积是（）A.20B.25C.30D.35随练 1.4如图，AB CD∥，BP和CP分别平分ABC∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若8AD=，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点随练1.6如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．拓展1如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．拓展2如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A.四处B.三处C.两处D.一处拓展3在ABC∆中，AB AC=，70ABC∠=︒（1）用直尺和圆规作ABC∠的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，BDC∠=________．PCBA拓展4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点拓展5 如图，已知在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，2DE =，则BCE ∆的面积等于________．拓展6 如图，ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC ∆分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（）A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5拓展7 如图，已知：BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥于E ，236ABC S cm ∆=；，12AB cm =，18BC cm =，则DE 的长为________cm ．拓展8 如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥交AF 的延长线于F ．（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长．拓展9 如图，△ABC 和△AED 为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ，连接BE 、CD 交于点O ，连接AO ．求证：（1）△BAE ≌△CAD ；（2）OA 平分∠BOD ．GFE DC BA答案解析角平分线题模一：尺规作图例1.1.1【答案】（1）（2）【解析】（1）如图1所示，OC即为所求作的AOB∠的平分线．（2）如图2，作点M关于OC的对称点M'，连接M N'交OC于点P，则点P即为所求．例1.1.2【答案】【解析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点C、点D，（2）再分别以点C、点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于一点E，（3）连接OE，则OE为∠AOB的角平分线，（4）连接MN，分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧交于点F、点H，（5）连接FH，则FH为线段MN的垂直平分线，（6）直线FH与OE交于点P，点P即为所求．题模二：性质例1.2.1【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．例1.2.2【答案】4【解析】连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR ＝OQ ，OR ＝OP ，∴由勾股定理得：AR 2＝OA 2－OR 2，AQ 2＝AO 2－OQ 2， ∴AR ＝AQ ，同理BR ＝BP ，CQ ＝CP ，即O 在∠ACB 角平分线上，设BP ＝BR ＝x ，CP ＝CQ ＝y ，AQ ＝AR ＝z ，则987y z x y x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ x ＝3，y ＝5，z ＝4，∴BP ＝3，CQ ＝5，AR ＝4， BP ＋CQ －AR ＝3＋5－4＝4．例1.2.3【答案】31.5【解析】∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=题模三：判定例1.3.1【答案】（1）见解析（2）90°【解析】（1）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，图略．∵DE 平分∠ADC ，EC ⊥CD ，EF ⊥AD ，∴EC ＝EF ，又EC ＝EB ，∴EF ＝EB ，又EF ⊥AD ，EB ⊥AB ，∴点E 在∠BAD 的平分线上，∴AE 平分∠BAD ．（2）∠AED ＝90°．例1.3.2【答案】见解析．【解析】因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=︒，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌．进而由AF AO=得AFO AOF∠=∠；由AOE AFO∠=∠可得AOF∠=AOE∠，即OA平分DOE∠．随练1.1【答案】【解析】如图所示：作CD的垂直平分线，AOB∠的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和1P都是所求的点．随练1.2【答案】A【解析】解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG 是∠CAB 的平分线，∵∠CAB ＝50°，∴∠CAD ＝25°；在△ADC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝25°，∴∠ADC ＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）．随练1.3【答案】C【解析】如图，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，3OE OF OD ∴===，ABC ∆的周长是20，OD BC ⊥于D ，且3OD =，1111()32222ABC S AB OE BC OD AC OF AB BC AC ∆∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯ 1203302=⨯⨯=．随练1.4【答案】C【解析】过点P 作PE BC ⊥于E ，AB CD ∥，PA AB ⊥，PD CD ∴⊥， BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，PA PE ∴=，PD PE =，PE PA PD ∴==，8PA PD AD +==，4PA PD ∴==，4PE ∴=．随练1.5【答案】D【解析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．随练1.6【答案】见解析【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上．拓展1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）如图1，射线CP 为所求作的图形．（2）∵CP 是∠ACB 的平分线∴∠DCE=∠BCE ．在△CDE 和△CBE 中，CD=CB DCE=BCE CE=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），P∴BE=DE．拓展2【答案】A【解析】满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．拓展3【答案】（1）（2）75︒【解析】（1）如图所示，BD 即为所求；（2）在ABC ∆中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒， BDC ∠是ABD ∆的外角，403575BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．拓展4【答案】D【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴角形三边距离相等的点应是这个三角形三个内角平分线的交点．拓展5【答案】6【解析】作EF BC ⊥于F ， BE 平分ABC ∠，EF BC ⊥，ED AB ⊥，2EF DE ∴==，BCE ∴∆的面积162BC EF =⨯⨯=．拓展6【答案】C【解析】过点O 作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，点O 是内心，OE OF OD ∴==， 111::::::2:3:4222ABO BCO CAO S S S AB OE BC OF AC OD AB BC AC ∆∆∆∴===．拓展7【答案】2.4【解析】如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥， DE DF ∴=，ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，1122AB DF BC DE =+， 11121822DE DE =⨯+⨯， 15DE =，236ABC cm ∆=，1536DE ∴=，解得 2.4DE cm =．拓展8【答案】（1）见解析；（2）2a b BE -=，2a b AE += 【解析】（1）连接DB 、DC ，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴DB DC =．∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE DF =．90AED BED ACD DCF ∠=∠=∠=∠=︒在Rt △DBE 和Rt △DCF 中DB DC DE DF =⎧⎨=⎩Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ），∴BE CF =．（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）．AD AD DE DF =⎧⎨=⎩∴AE AF =．∵AC CF AF +=，∴AE AC CF =+．∵AE AB BE =-，∴AC CF AB BE +=-∵AB a =，AC b =，∴b BE a BE +=-， ∴2a b BE -=， ∴22a b a b AE AB BE a -+=-=-=．拓展9【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）过点A 分别作AF ⊥BE 于F ，AG ⊥CD 于G ．如图所示：G F EDCB A∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB ACBAE CAD AE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△CAD（SAS），（2）连接AO并延长交CE为点H，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，∴AF＝AG，∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，∴OA平分∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠COH＝∠AOD，∠EOH＝∠AOB，∴∠COH＝∠EOH．∴OA平分∠BOD．。

尺规作图（二）角平分线

课题：基本作图（二）-----角平分线及其性质教学重点：角平分线的尺规作图、性质定理及它们的应用。

教学难点：理解角平分线尺规作图的依据，以及角平分线性质定理的应用；教学目标：1．知识与技能：掌握角平分线的尺规作图方法及角平分线的性质定理，并用它们解决相关问题；2．过程与方法：学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。

3．情感与态度：经过对角的平分线的性质的探索与形成的过程，发展应用数学知识的意识与能力，养成良好的学习态度和严谨的科学态度。

教学过程：实际问题引入：若要在S区建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？预设一：学生想到作高线，找交点。

预设二：学生想到作中线，找交点。

预设三：学生想到作角平分线，找交点。

（在此情况下，学生分组进行画图实验，之后比较，猜想哪种做法是有可能正确的，之后引出作角平分线的方法，既然作角平分线的方法有可能，那就研究标准的作角平分线的的方法，研究猜想是否正确。

）【活动一】作角平分线。

（一）提出问题：你能自己想办法做出一个角的角平分线吗？（学生自己考虑解决问题的方法）预设一：学生估计角度的大小，直接画出近似的角平分线；预设二：学生用折纸的方法完成；预设三：学生用量角器度量功能完成；预设四：学生用直尺量出AO=BO,联结AB ，确定AB中点C ，之后作射线预设五：学生用直尺量出AO=BO,分别过A,B 作OA,OB 的垂线，两条垂线相交于点C ，之后作射线OC;预设六：学生思考到尺规作图的方法，但是不能准确叙述或者是完成；预设七：学生可以用尺规作图的方法完成。

如果学生出现预设中的一、二、三、四、五情形的时候，老师适时提出：预设一不准确，预设二相对准确些，但是不便于操作，预设三、四、五，这时可以提问：如果我们没有刻度尺，没有半圆仪这些带刻度的工具，我们能不能考虑其他方法解决这个问题呢？如何做呢？如果学生考虑到了预设六、七中的尺规作图，鼓励学生继续思考，如果学生不能完成，老师可以带领学生完成，如果有的学生能够完成，可以教师带领学生写好已知、求作，由学生演示做法。

人教版数学八上第9讲角的平分线的性质(基础)知识讲解

角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF.【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件.【答案与解析】证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等）在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理.2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE ＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．:3:23、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE ＝CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是角平分线．【巩固练习】一.选择题1. AD 是△ABC 的角平分线, 自D 点向AB 、AC 两边作垂线, 垂足为E 、F, 那么下列结论中错误的是( )A.DE ＝ DFB. AE ＝ AFC.BD ＝ CDD. ∠ADE ＝ ∠ADF2．如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（）A ．mn 31B ．mn 21C ．mnD ．2mn3. 如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（）A.1B.2C.3D. 44. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点C．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点5. 如图，下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是（）A．△PBA≌△PDC B. △AOD≌△COBC. AB⊥PD，DC⊥PBD.点O到∠APB两边的距离相等.6. 已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5cm，则直线AB与CD的距离为（）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm二.填空题7．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC 的长为_____cm．8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，且AC＝6cm，那么线段BE是△ABC的，AE＋DE＝。

八年级数学《尺规作图-角平分线、垂线和中垂线》课件

2、试把一个钝角四等分。
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧；（2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点；（3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的作图思路
议一议；能否说出这种画法的依据，小组讨论交流一下。
1、平分已知角

角的平分线(基础)知识讲解

角的平分线〔基础〕【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：假设CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：假设PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图〔1〕以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.〔2〕分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.要点四、轨迹把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.在一个角的内部〔包括顶点〕且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.【典型例题】类型一、角的平分线的性质【高清课堂：角平分线的性质，例2】1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF【答案与解析】证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC 〔角的平分线上的点到角两边的距离相等〕在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF【总结升华】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件.2、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cm cm D. 以上都不对【答案】B ；【解析】由角平分线的性质，DC ＝DE ，△DEB 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝AC ＋BE＝AE ＋BE ＝AB ＝6.【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且:3:2AB AC =，则△ABD 与△ACD 的面积之比为〔〕A ．3：2B ．3:2C ．2：3 D.2:3【答案】B ；提示：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，又∵:3:2AB AC =，则△ABD 与△ACD 的面积之比为3:2．3、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．【答案与解析】：解：DF=EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD=PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD=∠OPE ，∴∠DPF=∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC 〔已知〕∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC 〔已知〕∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF 〔HL 〕，∴DE=DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD是角平分线．类型三、点的轨迹5、过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.【答案】以A为圆心，半径为3cm的圆．【解析】求圆心的轨迹实际上是求距A点三厘米能画一个什么图形．【总结升华】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．。

角平分线的性质(4种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)

角平分线的性质（4种题型）【知识梳理】一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C. （3）画射线OC.射线OC 即为所求. 【考点剖析】题型一：角平分线性质定理例1.（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD ∠．求证：DE 是ADC ∠的平分线．【详解】证明：如图，过点E 作EF AD ⊥于点F ，∴90B Ð=°，AE 平分BAD ∠，∴BE EF =．∴点E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =．又∵90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴DE 是ADC ∠的平分线．【变式1】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，5AB =，2CD =，求ABD △的面积．12【答案】5【详解】解：作DE AB ⊥如图，∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，2CD =，∴=2CD DE =，1152522ABD S AB DE ∴=⨯⨯=⨯⨯=△．【变式2】（2023春·湖南常德·八年级统考期末）如图，点P 是ABC 的三个内角平分线的交点，若ABC 的周长为24cm ，面积为236cm ，则点P 到边BC 的距离是（）A ．8cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【答案】B 【详解】解：过点P 作PD AB ⊥于，PE BC ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，如图，∵点P 是ABC 的内角平分线的交点，∴PE PF PD ==，又ABC 的周长为24cm ，面积为236cm ，∴()11112222ABC S AB PD BC PE AC PF PE AB BC AC =⋅+⋅+⋅=++，∴124363PE ⨯⨯=∴3cm PE =【变式3】（湖南省郴州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点E ．如果8AC =，那么AD DE +=______．【答案】8【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，∴CD DE =，∵8AC =，∴8AD DE AD CD AC +=+==，【变式4】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）把两个同样大小的含30︒角的三角尺像如图所示那样放置，其中M 是AD 与BC 的交点，若4CM =，则点M 到AB 的距离为______．【答案】4【详解】解：由题意，得：90,30D C ABC DAB ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴,60MC AC CAB ⊥∠=︒，∴30MAC BAC MAB MAB ∠=∠−∠=︒=∠，∴AM 平分DAB ∠，过点M 作MN AB ⊥，交AB 于点N ，∴4MN MC ==．故答案为：4．【变式5】如图，P 为ABC 三条角平分线的交点，PH 、PN 、PM 分别垂直于BC 、AC 、AB ，垂足分别为H 、N 、M ．已知ABC 的周长为15cm ，3cm PH =，则ABC 的面积为______2cm ．【答案】22.5【详解】解：连接PM 、PN 、PH ，P 为ABC 三条角平分线的交点，PH 、PN 、PM 分别垂直于BC 、AC 、AB ，3cm PM PN PH ∴===，ABC ∴∆的面积ΔAPB =的面积ΔBPC +的面积ΔAPC +的面积111222AB PM BC PH AC PN =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1()32AB BC AC =++⨯222.5(cm )=．七年级校考期末）如图，在ABC 中，【答案】(1)32︒ (2)6【详解】（1）解：∵40B ∠=︒，76C ∠=︒，∴180407664BAC ∠=︒−︒−︒=︒，∵AD 平分BAC ∠， ∴1322BAD BAC ∠=∠=︒；（2）如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，∴DF DE =，∵2DE =，6AB =，∴2DF =， ∴ABD △的面积12662=⨯⨯=.题型二：角平分线性质定理及证明，且PMN 与OMN 的面积分别是【答案】(1)证明过程见详解(2)20OM ON +=【详解】（1）证明：如图所示，过P 作PC MN PD OA PE OB ⊥⊥⊥，，，∵MP 平分AMN ∠，NP 平分MNB ∠，∴PD PE =，PC PE =，∴PD PE =，∵PD AO PE BO ⊥⊥，，∴OP 平分AOB ∠．（2）解：如图所示，过P 作PC MN PD OA PE OB ⊥⊥⊥，，，连接OP ，∵18162PMN MN S MN PC ===△，，∴4PC =，由（1）可知4PD PE PC ===，∵1624PMN OMN S S ==△△，，∴40MONP S =四边形，即1122OPM ONP MONP S S S OM PD ON PE =+=+△△四边形，∴1140442222OM ON OM ON =⨯+⨯=+，∴20OM ON +=．【变式1】（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E 是BC 的中点，AB BC DC BC ⊥⊥，，AE 平分BAD ∠．求证：(1)DE 平分ADC ∠；(2)AD AB CD +＝．【详解】（1）证明：如下图，过E 作EF AD ⊥于F ，∵AB BC ⊥，AE 平分BAD ∠，∴EB EF ＝，∵点E 是BC 的中点，∴EB EC ＝，∴EF EC ＝，∵DC BC EF AD ⊥⊥，，∴90EFD ECD ∠∠︒＝＝，在Rt EFD 和Rt ECD △中，EF EC ED ED =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL EFD ECD ≌（），∴FDE CDE ∠∠＝，∴DE 平分ADC ∠；（2）解：由（1）知，Rt Rt EFD ECD ≌，∴FD CD ＝，在Rt AEF 和Rt AEB 中，EF EB AE AE =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL AEF AEB ≌（），∴AF AB ＝，∵AD AF FD +＝，∴AD AB CD +＝．【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，DE AB ⊥，于点E ，AD 平分CAB ∠，点F 在AC 上，BD DF =．求证：BE FC =．【详解】证明：∵AD 平分CAB ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，∴DE DC =，90C DEB ∠=∠=︒，∴在Rt DEB ∆和Rt DCF ∆中，∵DE DC BD DF =⎧⎨=⎩，∴()HL DEB DCF ∆≅∆，∴BE FC =．(1)求证：BE ＝CD ；(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．（1）证明：BE 、CD 是ABC ∆的高，且相交于点O ，90∴∠=∠=︒BEC CDB ，在BDO ∆和CEO ∆中，90CDB BEC BOD COEBD CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BOD COE ∴∆≅∆(AAS)，OD OE ∴=，OB OC =，OD OC OE OB ∴+=+，即CD BE =；（2）解：点O 在BAC ∠的平分线上，理由如下：连接AO ，如图所示：BE 、CD 是ABC ∆的高，且相交于点O ， 90ADC AEB ∴∠=∠=︒，由（1）得BE CD =，∴在ABE ∆和ACD ∆中，90ADC AEB CAD BAE CD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD ABE ∴∆≅∆(AAS)， AD AE ∴=，由（1）得OD OE =，∴在AOD ∆和AOE ∆中，90AD AE ADC AEB OD OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，AOD AOE ∴∆≅∆(SAS)，DAO EAO ∴∠=∠， ∴点O 在BAC ∠的平分线上．题型三：角平分线的判定定理例3.如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠．【详解】证明：如图：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，AM 平分DAB ∠，MB AB ⊥，ME AD ⊥，ME MB =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），又MC MB =，ME MC ∴=，MC CD ⊥，ME AD ⊥，DM ∴平分ADC ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF DA ⊥于点F ，∵90C ∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴CE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴BE EF =，又∵90B Ð=°，EF DA ⊥，∴AE 平分DAB ∠．（2）解：∵EF DA ⊥，90C ∠=︒，∴EFD △和ECD 都为Rt △，又∵DE 平分ADC ∠，∴EC EF =，在Rt EFD 和Rt ECD △中，ED ED EC EF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFD ECD △≌△， ∴EFD ECD S S =△△，CED FED ∠=∠，∵EF DA ⊥，90B Ð=°，∴EFA △和EBA △都为Rt △，又∵AE 平分DAB ∠，∴EF EB =，在Rt EFA △和Rt EBA △中，EA EA EF EB =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFA EBA △≌△， ∴EFA EBA S S =△△，FEA BEA ∠=∠， ∴()111809022DEA DEF AEF CEF BEF ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∵4AE =，3DE =， ∴1143622AED S AE DE =⋅=⨯⨯=△， ∴EFD ECD EFA EBA ABCD S S S S S =+++△△△△四边形EFD EFD EFA EFA S S S S =+++△△△△()2EFD EFA S S =+△△2AED S =△ 26=⨯12=．∴四边形ABCD 的面积为12．【变式2】如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =（OA OC <），AOB COD α∠=∠=，直线AC ，BD 交于点M ，连接OM ．(1)求证：AC BD =；(2)用α表示AMB ∠的大小；(3)求证：OM 平分AMD ∠．【详解】（1）证明：AOB COD α∠=∠=，AOB BOC COD BOC ∴∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AOC BOD ∴≌， ∴AC BD =，（2）解：由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，由（1）得()SAS AOC BOD ≌△△，∴OAC OBD ∠=∠，AMB AOB α∴∠=∠=，（3）证明：作OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，如图所示，则90OGA OHB ∠=∠=︒，在OAG △和OBH △中，OGA OHB OAC OBDOA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OAG OBH ∴≌， OG OH ∴=，OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，MO ∴平分AMD ∠，是ABC 的角平分线，且交于点(1)APB ∠=______．(2)求证：点P 在C ∠的平分线上．【详解】（1）解：证明：60C ∠=︒，AE ，BD 是ABC 的角平分线，12ABP ABC ∴∠=∠，12BAP BAC ∠=∠，11()(180)6022BAP ABP ABC BAC C ∴∠+∠=∠+∠=︒−∠=︒， 120APB ∴∠=︒；（2）如图，过P 作PF AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，AE ，BD 分别平分CAB ∠，CBA ∠，PF PG ∴=，PF PH =，PH PG ∴=，∴点P 在C ∠的平分线上；（3）如图，在AB 上取点M 使AM AD =，连接PM ，AE 是BAC ∠的平分线，PAM PAD ∴∠=∠，在AMP 与ADP △中，AP AP PAM PADAM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AMP ADP ∴≌， 18060APM APD APB ∴∠=∠=︒−∠=︒，180()60BPM APM APD ∴∠=︒−∠+∠=︒，60BPE APD ∠=∠=︒，BPM BPE ∴∠=∠，BD Q 是ABC ∠的角平分线，MBP EBP ∴∠=∠，在BPM △与BPE 中，MBP EBP BP BPBPE BPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BPM BPD ∴≌，BM BE ∴=， AB AM BM AD BE ∴=+=+． (1)如图1，连接AC BD ，，交点为G ，连接OG ，求证：①AC BD =；②OG 平分DGC ∠；(2)如图2，若90AOD BOC ∠=∠=︒，E 是CD 的中点，过点在同一条直线上．∴AOD AOB BOC AOB ∠+∠=∠+∠，∴AOB AOC ∠=∠，又∵OA OD =，OB OC =，∴()SAS DOB AOC V V ≌，∴AC BD =；②如图所示，过点O 作OH DB ⊥于点H ，OF AC ⊥于点F ，∵DOB AOC ≌，OH DB ⊥，OF AC ⊥∴OH OF =，∴点O 在DGC ∠的角平分线上，∴OG 是DGC ∠的角平分线，∴OG 平分DGC ∠；（2）证明：连接OE ，并延长到N ，使NE OE =，连接CN ，∵E 是CD 的中点，∴CE DE =，又∵CEN DEO ∠=∠，NE OE =，∴()SAS CEN DEO ∠V V ≌，∴NCE ODE ∠=∠，CN OD =，∴CN OD ∥，∴180OCN COD CN OA ∠+∠=︒=，，90AOD BOC ∠=∠=︒，180AOB COD ∴∠+∠=︒，OCN AOB ∴∠=∠，在ONC 和BAO 中，OC OB OCN AOBCN OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ONC BAO ∴≌， NOC ABO ∴∠=∠，OF AB ⊥，90ABO BOF ∴∠+∠=︒，90NOC BOF ∴∠+∠=︒，180NOC BOF BOC ∴∠+∠+∠=︒，∴点E O F ，，在同一条直线上．题型四：尺规作图—作角平分线例4．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知ABC ，利用尺规，在AC 边上求作一点D ，使得ABD DBC ∠=∠.（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：如图点D 即为所求..【变式1】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD 为BC 边上的高．(1)尺规作图，在AB 边上求作点P ，使得点P 到边BC 的距离等于AP （保留作图痕迹，不写做法）：(2)连接CP （P 为所求作的点）交AD 于点Q ，若30B ∠=︒，求AQC ∠的度数．【详解】（1）解：如图：点P 即为所求；作法：作ACB ∠的角平分线，与AB 的交点P 即为所求；理由：∵CP 是ACB ∠的角平分线，∴点P 到AC 的距离等于点P 到BC 的距离，∵90BAC ∠=︒，∴点P 到AC 的距离即为PA 的值，故点P 到边BC 的距离等于AP ．（2）解：如图：∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴180903060ACB ∠=︒−−︒=︒，又∵AD 为BC 边上的高，∴90ADC ∠=︒，∴180906030DAC ∠=︒−−︒=︒，由（1）可知CP 是ACB ∠的角平分线， ∴1302ACQ QCD ACB ∠=∠=∠=︒，∴1803030128001ACQ DAC AQC ∠−∠=︒−︒−︒=︒∠=︒−．【变式2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【变式3】（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）如图，已知在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．（1）尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）在（1）的条件下，求证：AFE AEF ∠=∠．AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒∴__________90BFD +∠=︒又BFD ∠=__________FBD ∴∠+__________90=︒90BAC ∠=︒ABF ∴∠+__________90=︒BF 平分ABC ∠ABF ∴∠=__________AFE AEF ∴∠=∠．【详解】（1）如图所示，（2）AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒∴FBD ∠90BFD +∠=︒又BFD ∠=AEF ∠FBD ∴∠+AEF ∠90=︒90BAC ∠=︒ABF ∴∠+AFE ∠90=︒ BF 平分ABC ∠ABF ∴∠=FBD ∠AFE AEF ∴∠=∠．故答案为：FBD ∠；AEF ∠；AEF ∠；AFE ∠；FBD ∠．【过关检测】一、单选题 1．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）如图，70AOB ∠=︒，点C 是AOB ∠内一点，CD OA ⊥于点D ，CE OB ⊥于点E ．且CD CE =，则DOC ∠的度数是（）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【答案】B【分析】根据角平分线的判定定理可得OC 平分AOB ∠，再计算角度．【详解】解：∵CD OA ⊥，CE OB ⊥，CD CE =，∴OC 平分AOB ∠， ∴1352DOC AOB ∠=∠=︒，故选C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 2．（陕西省榆林市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，在Rt ABC △中，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ．若9cm CD =，则点D 到AB 的距离是（）A ．9cmB ．6cmC ．4.5cmD ．3cm【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解．【详解】∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，AC BC ⊥，∴9DC DE ==，∴点D 到AB 的距离是9cm ．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．3．（2023春·河南焦作·七年级校考期末）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 的长不可能是（）【答案】A【分析】根据余角的性质可得ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，作DE BC ⊥于E ，则3AD DE ==，再根据垂线段最短即可得到答案．【详解】解：∵90A ∠=︒，BD CD ⊥，∴90,90ABD ADB CBD C ∠+∠=︒∠+∠=︒，∵ADB C ∠=∠，∴ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，作DE BC ⊥于E ，则3AD DE ==，∵P 是BC 边上一动点，则DP DE ≥，即3DP ≥，∴DP 的长不可能是52；故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，得出BD 平分ABC ∠是解题的关键．A ．12∠=∠且CM DM =B ．13∠=∠且CM DM =C ．12∠=∠且OD DM =D ．23∠∠=且OD DM =【答案】A 【分析】由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，再结合DM DM =可得()SSS COM DOM ≌，由全等三角形的性质可得12∠=∠即可解答．【详解】解：由作图过程可得：,OD OC CM DM ==，∵DM DM =，∴()SSS COM DOM ≌．∴12∠=∠．∴A 选项符合题意；不能确定OC CM =,则13∠=∠不一定成立，故B 选项不符合题意；不能确定OD DM =,故C 选项不符合题意，OD CM ∥不一定成立，则23∠∠=不一定成立，故D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．，ABC 的面积为，则ABC 的周长为（ A ．4B ．6C ．24D ．12【答案】C 【分析】过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，根据角平分线的性质可得1EG EF ED ===，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．【详解】解：过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，∵BE 平分ABC ∠，ED BC ⊥，EF AB ⊥，∴1EF ED ==，∵CE 平分ACB ∠，ED BC ⊥，EG AC ⊥，∴1ED EG ==，∴ABC 的面积ABE =的面积BEC +△的面积AEC +△的面积()11111122222AB EF BC ED AC EG AB BC AC =⋅+⋅+⋅=⨯⨯++=，∴24AB BC AC ++=，即ABC 的周长为24．故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．A ．3PD =B ．3PD <C ．3PD ≤ D ．3PD ≥【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到3PF =，再根据垂线段最短即可解答．【详解】解：过点P 作PE AB ⊥于点E ，过点P 作PF BC ⊥于点F ，∵点P 在ABC ∠的平分线上，∴PE PF =， ∵3PE =，∴3PF =，∴根据垂线段最短可知：3PD ≥，故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键．八年级统考期末）如图，在ABC 中， A ．83 B ．43 【答案】D【分析】由题意可求DC 的长，由角平分线的性质可求解．【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥，垂足为H ，∵143AC DC AC ==，，∴1DC =，∵BD 平分ABC ∠，90C DH AB =︒∠，⊥，∴1CD DH ==，∴点D 到AB 的距离等于1，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质是本题的关键．8．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，三条公路把A ，B ，C 三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A ．三角形三个内角的角平分线的交点B ．三角形三条边的垂直平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条中线的交点【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =，F 是射线OB 上的任意一点，则DF 的长度不可能是（）【答案】A 【分析】过Ｄ点作DH OB ⊥于H ，根据角平分线的性质得5DH DE ==，再利用垂线段最短得到5DF ≥，然后对各个选项进行判断即可，【详解】过Ｄ点作DH OB ⊥于H ，OD 平分AOB ∠，DE OA ⊥，DH OB ⊥，5DH DE ∴==，DF DH ≥，5DF ∴≥，故选A【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键． 10．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，则下列结论：①DE CD =；②AD 平分CDE ∠；③BAC BDE ∠=∠；④BE AC AB +=，其中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质得出结论：DE CD =；②证明ACD AED △≌△，得AD 平分CDE ∠；③由四边形的内角和为360︒得180CDE BAC ∠+∠=︒，再由平角的定义可得结论是正确的；④由ACD AED ∆≅∆得AC AE =，再由AB AE BE =+，得出结论是正确的．【详解】解：①90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DE CD ∴=；所以此选项结论正确；②DE CD =，AD AD =，90ACD AED ∠=∠=︒，ACD AED ∴≌，ADC ADE ∴∠=∠，AD ∴平分CDE ∠，所以此选项结论正确；③90ACD AED ∠=∠=︒，3609090180CDE BAC ∴∠+∠=︒−︒−︒=︒，180BDE CDE ∠+∠=︒，BAC BDE ∴∠=∠，所以此选项结论正确；④ACD AED ≌，AC AE ∴=，AB AE BE =+，BE AC AB ∴+=，所以此选项结论正确；本题正确的结论有4个，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据HL 证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．二、填空题七年级统考期末）如图，在ABC 中，ABC 的内部相交于点【答案】5【分析】先根据尺规作图描述得出AD 为BAC ∠的角平分线，再根据角平分线的性质得到点D 到AB 的距离5DE =，进而求出三角形的面积．【详解】由作法得AD 平分BAC ∠，如图所示，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵90ACB ∠=︒，根据角平分线的性质，得43DC DE ==，ABD ∴的面积114102233AB DE AB =⋅⋅=⨯⨯=． ∴5AB =，故答案为：5．【点睛】本题考查角平分线的性质，解决本题的关键是熟知角平分线的性质并灵活应用．【答案】2【分析】根据尺规作图可得BF 平分ABC ∠，再利用角平分线的性质定理可得出2DF CF ==，最后根据垂线段最短即可得出FH 的最小值是2．【详解】解：如图，过点F 作FD AB ⊥于D ．由作图可知，BF 平分ABC ∠，∵FC BC ⊥，FD AB ⊥，∴2DF CF ==．根据垂线段最短可知，FH 的最小值为DF 的长，即为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出BF 是ABC ∠的角平分线．13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 为线段AC 上一点，连接DE ，且B CED ∠=∠．若16AB =，6CE =，则AE 的长为________．【答案】4【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，由角平分线的性质得出DC DF =，证明DCE DFB ≌，得出BF CE =，求出AF ，由HL 证明Rt Rt ADC ADF ≌，得出AC AF =，即可求出结果．【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，如图所示：∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，，∴DC DF =，在DCE △和DFB △中，90=BFD DCE B CEDDC DF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∴()AAS DCE DFB ≌，∴6BF CE ==，∴10AF AB BF =−=，在Rt ADC 与Rt ADF 中，==DC DF AD AD ⎧⎨⎩，∴Rt Rt ADC ADF ≌，∴10AC AF ==，∴1064AE AC CE =−=−=．故答案为：4．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，根据HL 证明直角三角形的全等解答．【答案】30【分析】由作图可知OC 是AOB ∠的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：由题意可知，OC 是AOB ∠的角平分线，∴11603022AOC AOB ∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：30【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．，则POD 的面积是【答案】6【分析】过点P 作PF OB ⊥交OB 于点F ，由作图可知OP 是AOB ∠的平分线，根据角平分线的性质得3PF PC ==，即可求得POD 的面积．【详解】解：如图，过点P 作PF OB ⊥交OB 于点F ，由作图可知，OP 是AOB ∠的平分线，∵PC OA ⊥，PF OB ⊥，∴3PF PC ==，∴POD 的面积为：162OD PF ⋅=，故答案为：6．【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．16．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在锐角ABC 中，60BAC ∠=︒，BE 、CD 为ABC 的角平分线．且BE 、CD 交于点F ，连接AF ．有下列四个结论：①120BFC ∠=︒；②BD CE =；③BC BD CE =+；④FBD FEC FBC S S S +=△△△．其中结论正确的序号是__________ ．【答案】①③④【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出BFC ∠；在BC 上取BM BD =，证明()SAS DBF MBF ≌△△，再证明()ASA MCF ECF ≌△△；过点F 作FG AB ⊥于点G ，FH AC ⊥于点H ，FK BC ⊥于点K ，根据角平分线的性质和三角形面积公式分别对各个结论进行判断即可．【详解】解：∵ABC 的两条角平分线BE 和CD 交于点F ，60BAC ∠=︒，∴FBC FCB∠+∠()12ABC ACB =∠+∠()11802BAC ︒=−∠()1180602=⨯︒−︒60=︒， ∴()180********BFC FBC FCB ∠=︒−∠+∠=︒−︒=︒，故结论①正确； ∴18060BFD BFC CFE Ð=°-Ð=°=Ð，在BC 上取BM BD =，∵BE 平分ABC ∠，∴DBF MBF Ð=Ð，在DBF 和MBF V 中，BD BM DBF MBFBF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS DBF MBF ≌△△， ∴60BFD BFM ∠=∠=︒，∴1206060CFM BFC BFM ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴60CFM CFE ∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠，∴MCF ECF ∠=∠，在MCF △和ECF △中，CFM CFE CF CFMCF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA MCF ECF ≌△△， ∴CM CE =，∴BC BM CM BD CE =+=+，故结论③正确；∵没有条件得出点M 是BC 的中点，∴不能得出BD 与CE 一定相等，故结论②错误；过点F 作FG AB ⊥于点G ，FH AC ⊥于点H ，FK BC ⊥于点K ，∵BE 、CD 为ABC 的角平分线，∴FG FK =，FK FH =，∴FG FK FE ==， ∵12FBD S BD FG =⋅△，12FEC S EC FH =⋅△，12FBC S BC FK =⋅△，∴FBD FEC S S +△△1122BD FG EC FH =⋅+⋅ 1122BM FK MC FK =⋅+⋅ ()12BM MC FK =+⋅ 12BC FK =⋅FBC S =△，∴FBD FEC FBC S S S +=△△△，故结论④正确，∴结论正确的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题 17．（2023春·重庆江北·七年级统考期末）完成下面的解答过程，并填上适当的理由．已知：如图，DE BC ∥，BD 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠．解： ∵DE BC ∥（已知）∴ABC AED ∠=∠（ ① ）．∵BD 平分ABC ∠，EF 平分∠∴112ABC ∠=∠，122AED ∠=∠【答案】两直线平行，同位角相等 2∠ 等量代换同位角相等，两直线平行【分析】先分析角的位置关系，根据平行线的性质及判定定理，即可写出答案．【详解】证明：∵DE BC ∥（已知），∴ABC AED ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠，∴112ABC ∠=∠，122AED ∠=∠．∴12∠=∠（等量代换）．∴EF BD ∥（同位角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等； 2∠ ；等量代换同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等），及平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行）．牢记平行线的性质和判定方法是解题的关键．18．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ．求证：(1)36AMB ∠=︒；(2)MO 平分AMD ∠．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）证明()SAS AOC BOD ≌△△，由三角形全等的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，可得出AMB ∠的度数；（2）作OG AC ⊥于G ，OH BD ⊥于H ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH =，由角平分线的判定方法即可得证．【详解】（1）证明：∵36AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB BOC COD BOC ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS AOC BOD ≌△△， ∴OAC OBD ∠=∠，∵AEB ∠是AOE △和BME 的外角∴AEB AMB OBD AOB OAC ∠=∠+∠=∠+∠，∴36AMB AOB ∠=∠=︒；（2）如图所示，作OG AC ⊥于G ，OH BD ⊥于H ，∴OG 是AOC 中AC 边上的高，OH 是BOD 中BD 边上的高，由（1）知：AOC BOD ≌，∴OG OH =，∴点O 在AMD ∠的平分线上，即MO 平分AMD ∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识．证明三角形全等是解题的关键．七年级统考期末）如图，在ABC 中， (2)18【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠得12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，根据40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒得140202DBC ∠=⨯︒=︒，170352DCB ∠=⨯︒=︒，根据三角形内角和定理即可得；（2）过点D 作DF BC ⊥于点F ，根据BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥得DE DF =，根据4DE =得4DF =，即可得．【详解】（1）解：∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，∵40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒，∴140202DBC ∠=⨯︒=︒，170352DCB ∠=⨯︒=︒，∴在BCD △中，1802035125BDC ∠=︒−︒−︒=︒；（2）解：过点D 作DF BC ⊥于点F ，∵BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴DE DF =，∵4DE =，∴4DF =，∵9BC =， ∴11S 941822BCD BC DF =⨯⨯=⨯⨯=△．【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．八年级假期作业）如图，在ABC 中，【答案】6cm CD =，34B ∠=︒【分析】根据角平分线的性质可得CD DE =，28BAD CAD ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出B ∠的度数．【详解】解：∵ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，∴6cm CD DE ==，28BAD CAD ∠=∠=︒，∴256BAC CAD ∠=∠=︒，∴9034B CAD ∠=︒−∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键．21．（2023春·广西南宁·七年级南宁十四中校考期末）如图，已知ABC ．(1)尺规作图：作BAC ∠的角平分线交BC 于点G （不写作法，保留作图痕迹）；(2)如果6AB =，10AC =，ABG 的面积为18，求ACG 的面积．【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）如图所示，过点G 作GE AB GF AC ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，证明AEF AFG △≌△，得到EG FG =，根据面积法求出6EG FG ==，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示，过点G 作GE AB GF AC ⊥⊥，垂足分别为E 、F ，∴90AEG AFG ∠=∠=︒，∵AG 是BAC ∠的角平分线，∴EAG FAG ∠=∠，又∵AG AG =，∴()AAS AEF AFG △≌△，∴EG FG =；∵6AB =，ABG 的面积为18，∴1182AB EG ⋅=，即16182EG ⨯=，∴6EG =，∴6EG FG ==，∴111063022ACG S AC FG =⋅=⨯⨯=△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的尺规作图，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．（2023春·山西太原·七年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线，DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，且BE CF =．线段BD 与CD 相等吗？说明理由．【答案】BD CD =，见解析【分析】根据角平分线的性质得出DE DF =，根据垂直定义得出90DEB DFC ∠=∠=︒，根据SAS 证明DFC △D E B ≌△，得出BD CD =即可．【详解】解：BD CD =；理由如下：∵AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90DEB DFC ∠=∠=︒，又∵BE CF =，∴DFC △DE B ≌△， ∴BD CD =．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂线定义理解，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明DFC △DE B ≌△． 23．（重庆市大渡口区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，AD BC ∥，180B BCD ∠+∠=︒．(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A 作BAD ∠的角平分线，交CD 于点F ，与BC 的延长线交于点E ；（不写做法，保留作图痕迹）(2)求证：CFE FEC ∠=∠．证明：∵AD BC ∥（已知），∴DAF FEC ∠=∠（①__________）． ∵AE 平分BAD ∠，∴②__________（角平分线的定义）． ∴BAE FEC ∠=∠（③__________）． ∵180B BCD ∠+∠=︒（已知）， ∴④__________（⑤__________）． ∴BAE CFE ∠=∠（两直线平行，同位角相等）． ∴CFE FEC ∠=∠（等量代换）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用基本作图作BAD ∠的平分线即可；（2）先根据平行线的性质得到DAF FEC ∠=∠，再利用角平分线的定义得到BAE DAF ∠=∠，则BAE FEC ∠=∠，接着证明AB CD ∥得到BAE CFE ∠=∠，然后利用等量代换得到CFE FEC ∠=∠．【详解】（1）解：如图，BE 为所作；（2）证明：AD BC ∥（已知）， DAF FEC ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）．AE 平分BAD ∠，BAE DAF ∴∠=∠（角平分线的定义），BAE FEC ∴∠=∠（等量代换）．180B BCD ∠+∠=︒（已知），AB CD ∴∥（同旁内角互补，两直线平行）．BAE CFE ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）．CFE FEC ∴∠=∠（等量代换）．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行线的判定与性质．七年级校考阶段练习）如图，ABC 中，若BCG 的面积为，则ABC 的面积为【答案】(1)120︒(2)3(3)6【分析】（1）根据作图方法可得BG 是ABC ∠的角平分线，则1302ABG ABC ==︒∠∠，再由三角形外角的性质可得120BGC A ABG =+=︒∠∠；（2）如图所示，过点G 作GD BC ⊥于D ，先求出3AG AC CG =−=，再证明ABG DBG △≌△，得到3DG AG ==，根据垂线段最短可知线段H G 的最小值为3；（3）证明BDG CDG △≌△，得到122BDG CDG BCG S S S ===△△△，进而求出2BDG ABG S S ==△△，则6ABC ABG CBG S S S =+=△△△．【详解】（1）解：由作图方法可知BG 是ABC ∠的角平分线， ∴1302ABG ABC ==︒∠∠，∵90A ∠=︒，∴120BGC A ABG =+=︒∠∠，故答案为：120︒；（2）解：如图所示，过点G 作GD BC ⊥于D ，∴90BAG BDG ==︒∠∠，∵96AC CG ==，，∴3AG AC CG =−=，∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴ABG DBG ∠=∠，又∵BG BG =，∴()AAS ABG DBG △≌△，∴3DG AG ==，∵H 是边BC 上一动点，∴当点H 与点D 重合时，HG 最小，∴线段HG 的最小值为3，故答案为：3；（3）解：∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴30ABG DBG ==︒∠∠，∵9030C ABC ∠=︒−∠=︒，∴GBD C ∠=∠，又∵90DG DG BDG CDG ===︒，∠∠，∴()AAS BDG CDG △≌△， ∴122BDG CDG BCG S S S ===△△△，∵ABG DBG △≌△，∴2BDG ABG S S ==△△，∴6ABC ABG CBG S S S =+=△△△，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．七年级统考期末）ABC 中， (2)如图2，若ABC 是锐角三角形．过点FED ∠，EDB ∠与ABC ∠ (3)若ABC 是钝角三角形，其中FED ∠，EDB ∠与ABC ∠之间的数量关系．【答案】(1)45 (2)12BDE FED ABC ∠=∠+∠，证明见解析 (3)12ABC BDE DEF ∠=∠+∠【分析】（1）首先证明AED ABC ∠=∠得到DE BC ∥，得到EDB DBC ∠=∠，再根据角平分线的定义得到1452DBC ABC ∠=∠=︒，即可证明；（2）延长ED 、BC 交于G ，利用平行线的性质得FED G ∠=∠，再利用三角形外角的性质可得结论；（3）由（2）同理解决问题．【详解】（1）解：DE AB ∵⊥，90AED ∴∠=︒．90ABC ∠=︒，AED ABC ∴∠=∠．DE BC ∴∥．EDB DBC ∴∠=∠．BD Q 平分ABC ∠，1452DBC ABC ∴∠=∠=︒．45EDB ∴∠=︒．（2）如图，12BDE FED ABC ∠=∠+∠，理由如下：延长ED 、BC 交于G ，EF BC ∥，FED G ∴∠=∠，BD Q 平分ABC ∠，。

角平分线的三种做法

一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？“用尺规作图的方法，做出一个角的平分线”是一个课标要求达到的目标。

1、什么是尺规作图？尺规作图，即用没有刻度的直尺和圆规作图，它可以完成做一条线段与已知线段相等，可以做一个角与已知角相等，可以做一个圆与已知圆全等，可以做一个三角形与已知三角形全等，可以做一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？“用尺规作图的方法，做出一个角的平分线”是一个课标要求达到的目标。

《角平分线》PPT课件2

∠PDO= ∠PEO3)验证猜想:
OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等
活动 5
角平分线上的点到角两边的距离相
等。
A E
4.实践与应用
P
O
FB
判断正误，并说明理由：
图1
A
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，
A
E
F
B
D
C
十.小结与评价
这节课我们学到了什么？共同归纳本节课所学主要知识：
(1)用尺规作角的平分线. (2)角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. (3)角平分线的判定定理：
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
生活中有很多数学问题：小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条自来水管和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与自来水管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看.
五.角平分线的判定定理
判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
用符号语言表示为： A
∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB， PD=PE， D
∴ 点P在∠AOB的平分线上 . O
C
1
P
2
EB
六.试一试
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是
∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
活探动究角5平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）

角平分线

考点一：角平分线的作法（尺规作图）1.①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．作角平分线的依据是全等三角形（SSS ）2.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知角AOB ∠的两边上，分别取ON OM =,再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB .【例1】作出∠1，∠2的角平分线.2_D _C _B_A_2 _1 【例2】作出∠A,∠D ，∠G 的角平分线。

考点2：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

此定理用数学语言表示：如图，OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE 考点3：角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．定理用数学语言表示：如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）考点4：角平分线常见辅助线精要：角的平分线角平分线的使用初等几何中共分为五个点１. 角平分线做双垂利用角的平分线的性质证明线段或角相等２. 角平分线截全等利用角的平分线构造全等三角形以角的平分线为对称轴构造对称图形３. 角平分线的垂线产生三线合一延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线４. 角平分线加平行产生等腰利用角的平分线构造等腰三角形５. 角平分线交点到三边距离问题（内切圆圆心问题）角平分线---基础性质 ★★【例1】如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线,CD BD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F .求证：BE ＝CF 。

ABC D EFGHI★★【例2】如图，OC 平分AOB ∠，P 是OC 上一点，OB PE OA PD ⊥⊥,,F 是OC 上另一点，连结DF 、EF .求证：DF =EF .★★【例3】如图，AB ⊥BP ，AC ⊥PC ，BP =CP ，D 为AP 上一点.求证：∠BDP =∠CDP .★★【例4】如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ，连结DC ，求证：CD OE ⊥．★★【例5】如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，20DEF ∠=︒，则BAC ∠等于________．DPACBFEDC BA【例1】在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。

角的平分线的性质(二)

角的平分线的性质（二）教学目标1、角的平分线的性质2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点角平分线的性质及其应用．教学难点灵活应用两个性质解决问题．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．Ⅱ．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．折出如图所示的折痕PD、PE．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．III例题与练习例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．练习：1．课本练习．2．课本习题强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．IV．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．Ⅴ．课后作业1、课本习题。