椭圆拓展(一)椭圆中的中点弦点差法

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中点弦公式点差法

中点弦公式点差法
中点弦公式是指通过连接曲线上两点中点的弦来近似曲线的斜率。

点差法是指对于曲线上的两个点，通过用极限的思想来逼近它们之间的点差（即横坐标之差），从而计算斜率。

中点弦公式的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。

2. 计算这两个点的中点坐标
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。

3. 计算连接这两个点的弦的斜率，即$\frac{y_2-y_1}{x_2-
x_1}$。

点差法的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。

2. 计算这两个点之间的点差（即横坐标之差），即$\Delta
x=x_2-x_1$。

3. 通过极限思想，将点差逐渐缩小为0，即$\Delta x\rightarrow 0$。

4. 计算这两个点之间的斜率的极限值，即$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y_2-y_1}{\Delta x}$。

这个极限值即为这两点之间的切线斜率。

需要注意的是，中点弦公式是一种近似计算方法，只有在两点之间的曲线变化不太剧烈时才适用；而点差法则是一种精确计算方法，可以得到任何两点之间的切线斜率。

椭圆的中点弦

5 x 9 y 14 0
小结
弦中点问题的两种处理方法：
（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；
（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
谢谢 O(∩_∩)O
椭圆的中点弦问题
例1 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率韦达定理Leabharlann ：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
例 1:已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.
点作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
两式相减得：
b2 ( x12 x22 ) a2 ( y12 y12 ) 0
由b2 ( x12 x22 ) a2 ( y12 y12 ) 0
y12 y12 b2 即 2 2 2 x1 x2 a k AB y1 y1 b2 x1 x2 2 x1 x2 a y1 y1 b2 x0 2 a y0
直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．
练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
x2 y2 F (2, 0) 直线l：y x 2 解 : (1)椭圆 1 9 5 得： 14 x 2 36 x 9 0 y x 2 由 2 18 9 2 5 x 9 y 45 x1 x2 , x1 x2 7 14 6 11 2 2 弦长 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 7
中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．

椭圆中点弦点差法

椭圆中点弦点差法
椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用领域，如天文学、工程建筑和航天技术等。

椭圆的特点是其上任意两点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的焦距。

在椭圆中，我们常常需要计算椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

椭圆中点弦点差法是一种通过测量椭圆上的弦长和点到弦的距离来计算椭圆参数的方法。

具体步骤如下：
1. 首先，在椭圆上选择两个点，记为A和B，这两个点不在椭圆的主轴上。

2. 然后，连接AB两点，得到弦AB。

3. 接下来，在椭圆上选择任意一点，记为P。

4. 然后，从P点向弦AB引垂线，垂足为H。

5. 测量弦AB的长度，并记录为L，测量PH的长度，并记录为h。

6. 根据测量结果，可以利用椭圆中点弦点差公式计算椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

椭圆中点弦点差法的原理是基于椭圆的几何性质，通过测量弦长和点到弦的距离来确定椭圆的参数。

这种方法的优点是简单易行，不需要复杂的数学计算，只需要准确测量即可得到结果。

椭圆中点弦点差法在实际应用中有很多用途。

例如，在天文学中，可以利用该方法计算行星和卫星的轨道参数；在工程建筑中，可以利用该方法确定椭圆形建筑物的尺寸和形状；在航天技术中，可以利用该方法确定卫星轨道的参数。

椭圆中点弦点差法是一种准确计算椭圆参数的方法，通过测量椭圆上的弦长和点到弦的距离，可以确定椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

该方法简单易行，广泛应用于天文学、工程建筑和航天技术等领域。

通过使用椭圆中点弦点差法，可以准确计算椭圆的参数，为相关领域的研究和应用提供重要参考。

椭圆拓展 (一) 椭圆中的中点弦点差法

椭圆拓展（一）椭圆内的中点弦点差法【学习重点】1.点差法的基本思想方法：设而不求2.点差法适用范围：斜率固定的平行线截二次曲线所得线段中点的轨迹，一般用于椭圆内的中点弦问题。

（在圆内应该用特殊方法）3.点差法的核心：求直线斜率和中点弦坐标的等量关系。

【核心推论】1.过定点直线和封闭曲线恒有公共点的充要条件是定点在曲线内部或曲线上。

过定点直线和封闭曲线恒有两个公共点的充要条件是定点在曲线内部。

2.斜率为k1的直线，交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k2，则k1•k2=b2a2。

斜率为k 1的直线，交椭圆y2a2x2b2=1(a>b>0)于两点，弦中点与原点连线的斜率为k 2，则k 1•k 2=2。

3. 平行弦的中点轨迹方程是过原点的、一条无端点、取椭圆内部分的线段。

【重点例题解析】例题已知P(-3,0),过点P 作直线l 交椭圆x24+y 2=1于A 、B 两点，求A 、B 的中点M 的轨迹方程。

解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、M(x,y)x 124+y 12=1x 224+y 22=1x 12-x 224+(y 12-y 22)=014(x 1+x 2)(x 1-x 2) +(y 1+y 2)(y 1-y 2)=014(x 1+x 2)+(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1-x 2)=0∴轨迹方程为：14(2x)+(2y)•k AB=014(2x)+(2y)•k MP =014(2x)+(2y)•y x+3=0x 2+3x+4y 2=0(取x 224+y 22=1的内部）。

(完整)点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。

点差法求椭圆的中点弦

部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
12
+ 2

22
+ 2

=1
=1
两式相减得
(1 +2 )(1 −2 )
(1 +2 )(1 −2 )
−
2
2
=0
2
求椭圆 2

2
+ 2

= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
(1 +2 )(1 −2 )
=
2
− 2

(1 +2 )(1 −2 )
2
−
(1 −2 )
(1 −2 )
因为
(1 +2 )(1 −2 )
2
=0
(1 +2 )
(1 +2 )
= ，
= =

2
求椭圆 2

2
+ 2

= 1以点(, )为中点的弦的斜率。（在椭圆内
部）
解：设(1 , 1 )，(2 , 2 )为弦的坐标.
因为点、在椭圆上，所以
12
2
൞ 2
2
2
+
+
12
2
22
2
=1
=1
两式相减得
( + )( − )
整理得 (1 +2 )(1 −2 )
1
2
1
2

所以
=
2
− 2
=
2
− 2
(1 +2 )(1 −2 )

椭圆中点弦点差法

椭圆中点弦点差法椭圆是数学中一种重要的几何形状，它具有许多独特的性质和特点。

在研究椭圆的过程中，人们发现了一种称为椭圆中点弦点差法的方法，用于确定椭圆的中点、弦和点差的关系。

本文将详细介绍这一方法的原理和应用。

我们来了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数。

椭圆的形状由两个焦点和连接两个焦点的直线（称为主轴）所确定。

在研究椭圆的性质时，人们常常需要确定椭圆上的点与其它几何元素（如弦、中点等）之间的关系。

椭圆中点弦点差法就是一种用于确定椭圆上的中点、弦和点差之间关系的方法。

具体而言，对于一个椭圆上的中点M、椭圆上的一条弦AB和椭圆上的一点P，我们可以利用椭圆的性质来推导出它们之间的关系。

首先，连接弦AB的两个端点与椭圆的焦点分别连成两条直线，这两条直线与椭圆的主轴相交于两个点C和D。

然后，连接点C和点D的直线与弦AB相交于一点E。

根据椭圆的性质，我们可以得知，连接点M和点E的直线与弦AB平行。

通过上述推导过程，我们可以得到椭圆中点弦点差法的结论：对于一个椭圆上的中点M、椭圆上的一条弦AB和椭圆上的一点P，如果连接弦AB的两个端点与椭圆的焦点连成的直线与椭圆的主轴相交于两个点C和D，连接点C和点D的直线与弦AB相交于一点E，那么连接点M和点E的直线与弦AB平行。

椭圆中点弦点差法在实际应用中具有广泛的意义。

例如，在工程设计中，我们常常需要确定椭圆上的中点和弦的位置，以便进行合理的布局和设计。

通过利用椭圆中点弦点差法，我们可以准确地确定椭圆上的中点和弦的位置，从而提高工程设计的精度和效率。

除了工程设计，椭圆中点弦点差法还可以应用于数学研究和科学实验中。

例如，在椭圆轨道的行星运动研究中，我们需要确定椭圆上的中点和弦的位置，以便分析行星的运动轨迹和速度。

通过运用椭圆中点弦点差法，我们可以更加准确地描述行星的运动规律，从而深入理解天体运动的规律和机制。

椭圆中点弦点差法是一种用于确定椭圆上的中点、弦和点差之间关系的重要方法。

椭圆中点弦点差法

椭圆中点弦点差法椭圆中点弦点差法是一种计算椭圆面积的方法，它利用椭圆的中点弦和长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

下面我们来详细介绍一下椭圆中点弦点差法。

我们需要了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状像一个拉长的圆。

椭圆有两个焦点和两条主轴，其中离椭圆中心最远的两个点称为焦点，两个焦点之间的距离称为焦距。

主轴是通过椭圆中心的一条直线，其中长的主轴称为长轴，短的主轴称为短轴。

椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它描述了椭圆的扁平程度。

接下来，我们来介绍椭圆中点弦点差法的具体步骤。

首先，我们需要确定椭圆的两个主轴的长度，即长轴的长度a和短轴的长度b。

然后，我们可以计算出椭圆的离心率e，它的计算公式为e = √(1 - (b/a)^2)。

接着，我们可以计算出椭圆的焦距f，它的计算公式为f = √(a^2 - b^2)。

最后，我们可以使用椭圆中点弦点差法来计算椭圆的面积。

椭圆中点弦点差法的计算公式为S = πab(1 - (2d/a)^2)，其中S表示椭圆的面积，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，d表示椭圆中点弦的长度。

根据这个公式，我们可以通过测量椭圆的相关参数来计算椭圆的面积。

椭圆中点弦点差法的原理是利用椭圆中点弦的长度和椭圆的长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

中点弦是一条通过椭圆中心并且垂直于长轴的直线，它与椭圆的交点分别称为弦点。

根据椭圆中点弦点差法的原理，我们可以得出椭圆的面积与中点弦的长度和长短半轴之差的平方成正比。

椭圆中点弦点差法的优点是计算简单，只需要测量椭圆的长短半轴和中点弦的长度就可以得到椭圆的面积。

而且，该方法适用于任何形状的椭圆，不受椭圆的离心率和焦距的影响。

因此，椭圆中点弦点差法在实际应用中具有广泛的应用价值。

总结来说，椭圆中点弦点差法是一种计算椭圆面积的简便方法，它利用椭圆的中点弦和长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

该方法适用于任何形状的椭圆，且计算简单方便。

椭圆的弦中点问题解析版(供参考)

东光一中高二年级数学学科课时练出题人：许淑霞出题时间：椭圆的中点弦问题学案学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想体会两种方法：判别式法与点差法学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题学习过程：一、方法总结：1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。

2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。

（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

3、设直线的技巧：（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。

（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。

（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。

3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求过中点的弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程二、题型复习：（一）、求过中点的弦所在直线方程问题例1、已知椭圆1222=+y x ，求过点p (12,12)且被点p 平分的弦所在直线方程注意：解决过中点的弦的问题时判断点M 位置非常重要。

（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

结论：（1）设椭圆12222=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB•-=,22AB op b k k a=- （2）设双曲线12222=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。

椭圆点差法

椭圆点差法
点差法是处理椭圆和直线之间的关系中常常会使用到的一
种方法，在平时解题的时候，多运用点差法可以大大提高解题效率，省掉许多繁杂的计算过程，减少出错概率。

同时，点差法在解决椭圆中点弦长问题中用到的场合也比较多，该专题是高考的高频考点之一。

当然不管任何解题方法，都是需要去不断通过练习，加深对其的理解，只有彻底理解透彻，甚至能够倒推公式了。

这样做题才能够达到熟练运用的状态。

附上点差法公式图片：。

中点弦点差法的应用

中点弦点差法的应用（1）在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；（2）在椭圆12222=+b x a y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y b x a ；（3）在双曲线12222=-b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；（4）在双曲线12222=-b x a y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y b x a ；（5）在抛物线)0(22>=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =（6）在抛物线)0(22>-=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0y p k -=。

（7）在抛物线)0(22>=p py x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0x p k =（8）在抛物线)0(22>-=p py x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0x p k -=。

AB 为椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB的斜率0202y a x b k AB -=AB 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB的斜率0202y a x b k AB =AB 抛物线px y 22=的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB 的斜率0AB k y P=1 过椭圆141622=+y x 上一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

中点弦点差法的应用

中点弦点差法的应用(1)在椭圆二+暮=1中，以P(x°,y。

)为中点的弦所在直线的斜率k二一空/b-Co222(2)在椭圆弓+二=1中，以P(x°,y°)为中点的弦所在直线的斜率k二一马：⑶在双曲线二_%_=1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k二竺％：222(4)在双曲线与-二=1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=U2■:(5)在抛物线，2=2px(p>0)中，以Rxq，。

)为中点的弦所在直线的斜率k=EJo (6)在抛物线y2=-2px(p>0)中，以为中点的弦所在直线的斜率k—匚% (7)在抛物线x2=2/<v(/7>0)中，以P(x0,.y0)为中点的弦所在直线的斜率k=EX。

(8)在抛物线尸=_2py(p>0)中，以Pg，。

)为中点的弦所在直线的斜率&=-£AB为椭Iwl—+^-r=l(u>b>0)的弦，A(xi・松)，B(x2.弦中点A/(xo.)x))9则宜•线AB ir b-的斜率上=-站X2V2AB为双曲线力一示=1俗>0,b>0)的弦，A(x P yi)>Bg力)弦中点A1(m 州.则宜线A8的斜率幻8=E^Cop AB抛物线y2 =2px的弦，A("h),Bg y2).弦中点Mg.面，则直线AB的斜率k AB=—%X2y21过椭圆一+一=1上一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线164方程。

解法一：设所求直线方程为y-1二k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：(4k2 +l)x2一8(2&2一幻x+4(2A-1尸一16=0又设直线与椭圆的交点为A(X|,)\),B(x2,y2),则明,勺是方程的两个根，于是8(2尸-k)x.+=—----,1・4亍+1又M 为AB 的中点，所以：!i±k = 4(2—「J ,解得k=-'.故所求直线方程为2 4AT+1 2x+2y —4 = 0®解法二：设直线与椭圆的交点为A (如月)，B (x 2,y 2). M <2. 1)为AB 的中点.所以Xj +x 2 =4 . y } + y 2 = 2 .又A 、B 两点在椭圆上，则x 「+4y 「=16, x 22 + 4y 22 = 16 .两式相减得一虹)+ 4(虻 _力2) = 0,所以21二2上==-1.即k xB =--t 故所求直线方程为x + 2v —4 = 0。

椭圆中点弦问题-----点差法(微教案)

椭圆中点弦问题-----点差法（微教案）
一、教学目标
1、知识与技能目标：掌握解决圆锥曲线中点弦问题的方法---点差法。

2、过程与方法目标：综合运用方程思想、数形结合、等价转换等方法解决问题，培养学生自主学习，综合分析能力。

3、情感态度与价值观：培养学生严谨的数学思维，提高学生知识迁移意识。

二、重难点
1、重点：点差法运用。

2、难点：灵活使用点差法解决椭圆中点弦问题。

三、教具：尺子
四、学习过程
（一）课前预习。

（1）点差法的步骤：
（2）适用范围：
（二）自主学习与合作探究。

【探究】求中点弦所在直线方程问题
例1 ：过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。

*结论一（椭圆中点弦斜率公式）
三（微练习）巩固与提高：
已知双曲线C：，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。

若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

（四）课堂小结：
1、点差法的具体步骤为：
2、点差法的适用范围以及注意直线是否存在的问题。

3、点差法优点：
缺点：
五、请评价自己学习效果：本节知识点掌握了%。

椭圆中的点差法

一、以定点为中点的弦所在直线的方程
例 1、
过椭圆
x 2 y 2 1 内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在
16 4
直线的方程。

2
例 2、已知双曲线 x
2
y
1，经过点 M (1,1) 能否作一条直线 l ，使 l 与双曲线交于 A 、
2
B ，且点 M 是线段 AB 的中点。

若存在这样的直线 l ，求出它的方程，若不存在，
说明理由。

二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例 3、已知椭圆
y 2 x 2 1的一条弦的斜率为 3，它与直线 x 1 的交点恰为这条弦的 75 25
2
中点M ，求点M
的坐标。

2
2 例 4、已知椭圆
y
x
1, 求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。

75 25
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例 5、已知中心在原点，一焦点为
F (0,
50 )
的椭圆被直线 l : y 3x
2
截得的弦的中点
的横坐标为
1 ，求椭圆的方程。

2
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例 6、已知椭圆
x 2
y 2 1 ，试确定的 m 取值范围，使得对于直线 y 4x m ，椭圆上
4
3
总有不同的两点关于该直线对称。

椭圆拓展(一)椭圆中的中点弦点差法

中点弦公式点差法

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中点弦点差法的应用

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