树的存储与遍历操作

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数据结构中的树与图算法教程

数据结构中的树与图算法教程第一章树的基本概念与遍历算法树是一种非线性数据结构，它由若干个节点组成，这些节点以层级的方式连接，形成分支的结构。

树中的一个节点被称为根节点，它没有父节点；其他节点可以有一个或多个父节点，这些节点被称为子节点。

树具有分支，但没有循环。

1.1 具体树的概念在树的结构中，每个节点可以有零个或者多个子节点，但是只能有一个父节点。

树具有层级关系，通过连接节点的边表示。

1.2 树的分类常见的树包括二叉树、二叉搜索树、红黑树等。

其中，二叉树是一种特殊的树结构，它的每个节点最多可以有两个子节点。

1.3 树的遍历算法树的遍历算法主要有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历是以根节点、左子树、右子树的顺序进行遍历；中序遍历是以左子树、根节点、右子树的顺序进行遍历；后序遍历是以左子树、右子树、根节点的顺序进行遍历。

第二章树的存储结构与常见应用2.1 树的存储结构树的存储结构有两种常见的实现方式，分别是链表实现和数组实现。

链表实现利用指针进行节点的连接，数组实现则使用数组的索引来表示节点之间的关系。

2.2 平衡二叉树平衡二叉树是一种自平衡的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。

平衡二叉树的插入和删除操作都可以通过旋转操作进行平衡。

2.3 哈夫曼树哈夫曼树是一种特殊的二叉树，用于编码和解码数据。

哈夫曼树中出现频率高的字符距离根节点较近，而出现频率低的字符距离根节点较远，以实现编码的高效率。

第三章图的基本概念与遍历算法3.1 图的基本概念图是由节点和边组成的非线性数据结构。

节点表示实体，边表示节点之间的关系。

图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边是有方向的，无向图的边没有方向。

3.2 图的存储结构图的存储结构有邻接矩阵和邻接表两种常见的方式。

邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系；邻接表是由链表或者数组实现的，用于表示每个节点相邻节点的信息。

3.3 图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

搜索树的基本操作方法

搜索树的基本操作方法
搜索树是一种有序的二叉树数据结构，常用于存储和搜索数据。

基本的操作方法包括插入、删除和查找。

1. 插入操作(insert)：向搜索树中插入新节点。

从根节点开始遍历搜索树，如果待插入节点值小于当前节点值，则继续向左子树搜索；如果待插入节点值大于当前节点值，则继续向右子树搜索；直到找到一个空位置，将待插入节点插入到该位置。

2. 删除操作(delete)：删除指定节点。

先在搜索树中找到待删除节点，根据不同情况进行处理：
a) 如果待删除节点没有子节点，直接删除它。

b) 如果待删除节点只有一个子节点，将子节点替代待删除节点的位置。

c) 如果待删除节点有两个子节点，则寻找待删除节点的前驱节点或后继节点来替代该节点。

前驱节点是指比待删除节点值小的最大节点，后继节点是指比待删除节点值大的最小节点。

可以选择使用前驱节点或后继节点来替代待删除节点。

3. 查找操作(search)：在搜索树中查找指定值的节点。

从根节点开始遍历搜索树，如果要查找的值等于当前节点值，则返回该节点；如果要查找的值小于当前节点值，则继续向左子树搜索；如果要查找的值大于当前节点值，则继续向右子树搜索。

如果找到了匹配节点，则返回节点；如果搜索到空节点（未找到匹配节点），则返回空值。

以上是搜索树的基本操作方法，对于不同的搜索树实现，可能会有一些其他特定的操作方法。

树与森林的遍历

第十七讲
∑p ×I
i =1 i
7
i
= 0.40 × 1 + 0.30 × 2 + 0.15 × 3 + 0.05 × 5 + 0.04 × 5 + 0.03 × 5 + 0.03 × 5 = 2.20
第十七讲
举例：数据传送中的二进制编码。要传送数据 state, seat, act, tea, cat, set, a, eat，如何使传送的长度最短？首先规定二叉树的构造为左走0，右走1 ，如图6.31所示。为了保证长度最短，先看字符出现的次数，然后将出现次数当作权，如图6.32所示。
第十七讲
2. 森林的遍历森林的遍历森林的遍历方法主要有以下三种： 1）先序遍历若森林非空，则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。例如，图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲作业：
1.二叉树的层次遍历算法（二叉链表存储）； 2.求二叉树中最大结点值（二叉链表存储）。
第十七讲
哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径和路径长度路径和路径长度路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列，路径路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。路径长度树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。树的路径长度
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0 10 110 11100 11101 11110 11111

支持可重构计算的满二叉树中序存储策略及快速遍历算法

是，先计算插补曲线的中点并以该中点将插补曲线分成２段子曲线，后分别对２段子曲线作中分得首然到２点，个如此往复直到被中分的子曲线段可以近似成为１个点。采用一颗满二叉树来存储这些中点，
则该二叉树的中序遍历结果就对应于所插补曲线上的插补点。上述计算过程及二叉树的中序遍历可简单明了地用递归方法表现出来，是由于递归运算占用的但
构中获取一颗满二叉树中序序列的算法问题。由于受制于可重构电路结构，重构运算与Ｐ可Ｃ级运算在程序设计、据存储方面都有差异，数致使ＰＣ级程序设计与数据结构的诸多方法不能移植应用［］６。因。此，要研究相应的可重构算法。文主要研究适用于可重构计算的满二叉树中序序列存储与访问模式需本
关键词：重构计算；二叉树；可满中序序列；速访问快
中图分类号：ＴＰ３１１１．２文献标志码：Ａ
二叉树作为一种重要的数据结构在计算应用中发挥着重要作用，叉树的访问也一直是计算机科二
时间开销过大，业上多采用２个或者多个相同的可重构计算单元（ＤＳ工如Ｐ或者ＦＧＡ）行计算，Ｐ并并且以多个线性存储结构按照顺序存储的方法来存储计算结果口。这样一来，蜘就涉及从多个线性存储结

树结构的定义和基本操作

树结构的定义和基本操作树结构是一种非线性的数据结构，其形状类似于自然界中的树。

树由一组节点（或称为顶点）和一组连接这些节点的边组成。

树结构的常见学习对象有二叉树、二叉树、AVL树、红黑树等。

树结构的基本操作包括创建、插入、删除、查找和遍历。

首先，创建树结构需要定义树节点的结构。

每个节点至少包含一个数据元素以及指向其子节点的指针。

树结构可以使用链式存储结构或数组存储结构。

1.创建树结构：树结构的创建有多种方式。

其中一种常见的方法是通过递归实现。

递归函数首先创建根节点，然后再递归地创建根节点的左子树和右子树。

2.插入节点：要插入一个新节点，首先要定位到合适的位置。

比较要插入的节点值与当前节点值的大小，如果小于当前节点，则进入左子树，如果大于当前节点，则进入右子树。

最终找到合适的位置插入新节点。

如果要插入的节点已经存在，可以替换或忽略该节点。

3.删除节点：删除节点分为三种情况：删除叶子节点、删除只有一个子节点的节点、删除有两个子节点的节点。

-删除叶子节点：直接删除即可。

-删除只有一个子节点的节点：将子节点与父节点连接起来，删除当前节点。

-删除有两个子节点的节点：找到当前节点的后继节点（比当前节点大的最小节点），将后继节点的值复制到当前节点，然后删除后继节点。

4.查找节点：树的查找可以使用递归或迭代的方式实现。

递归方式从根节点开始，根据节点值与目标值的大小关系递归地遍历左子树或右子树，直到找到目标值或遍历完成。

迭代方式使用循环和栈或队列的数据结构来实现。

5.遍历节点：树的遍历有三种方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

-前序遍历：根节点->左子树->右子树-中序遍历：左子树->根节点->右子树-后序遍历：左子树->右子树->根节点树的遍历也可以通过递归或迭代的方式实现。

递归方式较为简单，使用迭代方式需要借助栈或队列来保存遍历的节点。

除了上述基本操作外，树结构还有一些扩展的操作，如树的深度计算、查找最大值或最小值、查找前驱节点或后继节点等。

树真好教案

树真好教案一、教学目标1.了解树的基本概念和特点；2.掌握树的存储结构和基本操作；3.熟悉树的遍历方式及其应用；4.能够应用树解决实际问题。

二、教学内容1. 树的基本概念和特点1.树的定义；2.树的基本术语；3.树的特点。

2. 树的存储结构和基本操作1.树的存储结构；2.树的基本操作：创建、插入、删除、查找。

3. 树的遍历方式及其应用1.树的遍历方式：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历；2.树的应用：二叉搜索树、AVL树、红黑树。

4. 应用树解决实际问题1.树的应用实例：文件系统、哈夫曼编码、最小生成树算法。

三、教学方法1.讲授法：通过讲解树的基本概念、存储结构、基本操作、遍历方式及其应用，让学生了解树的基本知识；2.演示法：通过演示树的创建、插入、删除、查找等基本操作，让学生掌握树的基本操作；3.实践法：通过实践应用树解决实际问题，让学生掌握树的应用技能。

四、教学过程1. 树的基本概念和特点1.树的定义：树是n（n>=0）个结点的有限集。

当n=0时，称为空树。

在任意一棵非空树中，有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

2.树的基本术语：结点、父结点、子结点、兄弟结点、根结点、叶子结点、深度、高度、层数等；3.树的特点：每个结点有零个或多个子结点；没有父结点的结点称为根结点；每个非根结点有且仅有一个父结点；除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

2. 树的存储结构和基本操作1.树的存储结构：链式存储结构、顺序存储结构；2.树的基本操作：–创建树：按照给定的结点序列，创建一棵树；–插入结点：在树中插入一个新结点；–删除结点：在树中删除一个指定结点；–查找结点：在树中查找一个指定结点。

3. 树的遍历方式及其应用1.树的遍历方式：–前序遍历：先访问根结点，再访问左子树，最后访问右子树；–中序遍历：先访问左子树，再访问根结点，最后访问右子树；–后序遍历：先访问左子树，再访问右子树，最后访问根结点；–层次遍历：按照从上到下、从左到右的顺序遍历每个结点。

二叉树的顺序存储及基本操作

二叉树的顺序存储及基本操作二叉树的顺序存储是将树中的节点按照完全二叉树从上到下、从左到右的顺序依次存储到一个一维数组中，采用这种方式存储的二叉树也被称为完全二叉树。

一、在使用顺序存储方式时，可以使用以下公式来计算一个节点的左右子节点和父节点：
1. 左子节点：2i+1（i为父节点的在数组中的下标）
2. 右子节点：2i+2
3. 父节点：(i-1)/2（i为子节点在数组中的下标）
二、基本操作：
1. 创建二叉树：按照上述公式将节点存储到数组中。

2. 遍历二叉树：可采用递归或非递归方式，进行前序、中序、后序、层次遍历。

3. 插入节点：先将节点插入到数组末尾，然后通过比较节点和其父节点的大小，进行上浮操作直到满足二叉树的性质。

4. 删除节点：先将待删除节点和最后一个节点交换位置，然后通过比较交换后的节点和其父节点的大小，进行下沉操作直到满足二
叉树的性质。

5. 查找节点：根据节点值进行查找，可采用递归或非递归方式。

6. 修改节点：根据节点值进行查找，然后进行修改操作。

统计以孩子兄弟表示法表示的树的算法

统计以孩子兄弟表示法表示的树的算法一、引言孩子兄弟表示法（Child-Sibling Representation）是一种树的存储结构。

在这种表示法中，每个节点都有两个指针，一个指向它的第一个孩子节点，另一个指向它的兄弟节点。

这种表示法可以高效地表示树的结构，对于树的遍历和操作也非常方便。

而统计以孩子兄弟表示法表示的树的算法，可以帮助我们更好地理解树的结构和特性。

二、深度与广度的评估1. 深度以孩子兄弟表示法表示的树的算法涉及树的结构和遍历，需要深入理解树的节点、孩子节点和兄弟节点之间的关系。

在文章中，我将从树的基本概念开始，逐步深入探讨孩子兄弟表示法的实现和应用，并结合具体的算法示例进行解析，以便深入理解树的每个节点间的关联。

2. 广度除了对树的结构和遍历方法进行深入解析外，我还会探讨孩子兄弟表示法在实际应用中的广泛性和灵活性。

比如在数据结构中的应用、在编程中的实践等方面，通过多个具体案例展示树的表示法和算法的适用范围，以及在不同场景下的应用效果，帮助读者全面了解树的多样化运用。

三、文章撰写以孩子兄弟表示法表示的树的算法涉及树的节点、孩子节点和兄弟节点的关系，是树数据结构的一种重要表现形式。

我们需要了解树的基本概念。

树由根节点和若干棵子树组成，每个子树也是一颗树。

在孩子兄弟表示法中，每个节点都包含指向它的第一个孩子节点和指向它的兄弟节点的指针。

树的遍历是树算法中的重要部分，对于以孩子兄弟表示法表示的树来说，深度优先搜索和广度优先搜索是常用的遍历方法。

深度优先搜索采用先序遍历的方式，从根节点开始，依次遍历子树的根节点、第一个孩子节点、孩子节点的第一个孩子节点，直到遍历完整个子树。

而广度优先搜索则是逐层遍历，从上到下、从左到右依次访问树的每个节点。

在实际应用中，以孩子兄弟表示法表示的树的算法可以应用于很多领域。

比如在数据库中，使用树形结构来实现对数据的组织和管理；在编程中，可以利用树的结构特性来实现数据搜索、排序和存储等功能。

数据结构第七章树和森林

7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻，也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币，并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构链式存储结构不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此，树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。

数据结构-二叉树的存储结构和遍历

return(p); }
建立二叉树
以字符串的形式“根左子树右子树”定义一棵二叉树
1）空树 2）只含一个根结点的二叉树 A 3）
B C
A
以空白字符“ ”表示
以字符串“A ”表示
D
以下列字符串表示 AB C D
建立二叉树 A B C C
T
A ^ B ^ C^ ^ D^
D
建立二叉树
Status CreateBiTree(BiTree &T) {
1 if (!T) return;
2 Inorder(T->lchild, visit); // 遍历左子树 3 visit(T->data); } // 访问结点 4 Inorder(T->rchild, visit); // 遍历右子树
后序（根）遍历
若二叉树为空树，则空操
根
左子树
右子树
作；否则，（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。
统计二叉树中结点的个数
遍历访问了每个结点一次且仅一次
设置一个全局变量count=0
将visit改为:count++
统计二叉树中结点的个数
void PreOrder (BiTree T){ if (! T ) return; count++; Preorder( T->lchild); Preorder( T->rchild); } void Preorder (BiTree T,void( *visit)(TElemType& e)) { // 先序遍历二叉树 1 if (!T) return; 2 visit(T->data); // 访问结点 3 Preorder(T->lchild, visit); // 遍历左子树 4 Preorder(T->rchild, visit);// 遍历右子树 }

数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7

第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。

树形结构的特点是结点之间具有层次关系。

本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。

重点提示：●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1．树的定义：树是n（n>=0）个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：①有且仅有一个特定的称为根的结点；②其余的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1，T2，…，T m，其中每个子集本身又是一棵树，并称为根的子树。

要点：树是一种递归的数据结构。

2．结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。

3．树的度：一棵树的度指该树中结点的最大度数。

如图7-1所示的树为3度树。

4．分支结点：度大于0的结点为分支结点或非终端结点。

如结点a、b、c、d。

5．叶子结点：度为0的结点为叶子结点或终端结点。

如e、f、g、h、i。

6．结点的层数：树是一种层次结构，根结点为第一层，根结点的孩子结点为第二层，…依次类推，可得到每一结点的层次。

7．兄弟结点：具有同一父亲的结点为兄弟结点。

如b、c、d；e、f；h、i。

8．树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度或高度。

9．有序树：若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。

10．森林：是m棵互不相交的树的集合。

7-1-2 树的存储结构1．双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。

（1）存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的，因此对每个元素，将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点，再将这些结点存储在向量中。

（2）存储示意图:-1 data:parent:（3）注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标，而不是存放结点值。

下面的存储是不正确的：-1 data:parent:2．孩子链表表示法（1）存储思想：将每个数据元素的孩子拉成一个链表，链表的头指针与该元素的值存储为一个结点，树中各结点顺序存储起来，一般根结点的存储号为0。

数据结构入门-树的遍历以及二叉树的创建

数据结构⼊门-树的遍历以及⼆叉树的创建树定义：1. 有且只有⼀个称为根的节点2. 有若⼲个互不相交的⼦树，这些⼦树本⾝也是⼀个树通俗的讲：1. 树是有结点和边组成，2. 每个结点只有⼀个⽗结点，但可以有多个⼦节点3. 但有⼀个节点例外，该节点没有⽗结点，称为根节点⼀、专业术语结点、⽗结点、⼦结点、根结点深度：从根节点到最底层结点的层数称为深度，根节点第⼀层叶⼦结点：没有⼦结点的结点⾮终端节点：实际上是⾮叶⼦结点度：⼦结点的个数成为度⼆、树的分类⼀般树：任意⼀个结点的⼦结点的个数都不受限制⼆叉树：任意⼀个结点的⼦结点个数最多是两个，且⼦结点的位置不可更改⼆叉数分类：1. ⼀般⼆叉数2. 满⼆叉树：在不增加树层数的前提下，⽆法再多添加⼀个结点的⼆叉树3. 完全⼆叉树：如果只是删除了满⼆叉树最底层最右边的连续若⼲个结点，这样形成的⼆叉树就是完全⼆叉树森林：n个互不相交的树的集合三、树的存储⼆叉树存储连续存储(完全⼆叉树)优点：查找某个结点的⽗结点和⼦结点(也包括判断有没有⼦结点)速度很快缺点：耗⽤内存空间过⼤链式存储⼀般树存储1. 双亲表⽰法：求⽗结点⽅便2. 孩⼦表⽰法：求⼦结点⽅便3. 双亲孩⼦表⽰法：求⽗结点和⼦结点都很⽅便4. ⼆叉树表⽰法：把⼀个⼀般树转化成⼀个⼆叉树来存储，具体转换⽅法：设法保证任意⼀个结点的左指针域指向它的第⼀个孩⼦，右指针域指向它的兄弟，只要能满⾜此条件，就可以把⼀个⼀般树转化为⼆叉树⼀个普通树转换成的⼆叉树⼀定没有右⼦树森林的存储先把森林转化为⼆叉树，再存储⼆叉树四、树的遍历先序遍历：根左右先访问根结点，再先序访问左⼦树，再先序访问右⼦树中序遍历：左根右中序遍历左⼦树，再访问根结点，再中序遍历右⼦树后续遍历：左右根后续遍历左⼦树，后续遍历右⼦树，再访问根节点五、已知两种遍历求原始⼆叉树给定了⼆叉树的任何⼀种遍历序列，都⽆法唯⼀确定相应的⼆叉树，但是如果知道了⼆叉树的中序遍历序列和任意的另⼀种遍历序列，就可以唯⼀地确定⼆叉树已知先序和中序求后序先序：ABCDEFGH中序：BDCEAFHG求后序：这个⾃⼰画个图体会⼀下就可以了，⾮常简单，这⾥简单记录⼀下1. ⾸先根据先序确定根，上⾯的A就是根2. 中序确定左右，A左边就是左树(BDCE)，A右边就是右树(FHG)3. 再根据先序，A左下⾯就是B，然后根据中序，B左边没有，右边是DCE4. 再根据先序，B右下是C，根据中序，c左下边是D，右下边是E，所以整个左树就确定了5. 右树，根据先序，A右下是F，然后根据中序，F的左下没有，右下是HG，6. 根据先序，F右下为G，然后根据中序，H在G的左边，所以G的左下边是H再来⼀个例⼦，和上⾯的思路是⼀样的，这⾥就不详细的写了先序：ABDGHCEFI中序：GDHBAECIF已知中序和后序求先序中序：BDCEAFHG后序：DECBHGFA这个和上⾯的思路是⼀样的，只不过是反过来找，后序找根，中序找左右树简单应⽤树是数据库中数据组织⼀种重要形式操作系统⼦⽗进程的关系本⾝就是⼀棵树⾯向对象语⾔中类的继承关系哈夫曼树六、⼆叉树的创建#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct Node{char data;struct Node * lchild;struct Node * rchild;}BTNode;/*⼆叉树建⽴*/void BuildBT(BTNode ** tree){char ch;scanf("%c" , &ch); // 输⼊数据if(ch == '#') // 如果这个节点的数据是#说明这个结点为空*tree = NULL;else{*tree = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));//申请⼀个结点的内存 (*tree)->data = ch; // 将数据写⼊到结点⾥⾯BuildBT(&(*tree)->lchild); // 递归建⽴左⼦树BuildBT(&(*tree)->rchild); // 递归建⽴右⼦树}}/*⼆叉树销毁*/void DestroyBT(BTNode *tree) // 传⼊根结点{if(tree != NULL){DestroyBT(tree->lchild);DestroyBT(tree->rchild);free(tree); // 释放内存空间}}/*⼆叉树的先序遍历*/void Preorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{printf("%c ",node->data );Preorder(node->lchild);Preorder(node->rchild);}}/*⼆叉树的中序遍历*/void Inorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{Inorder(node->lchild);printf("%c ",node->data );Inorder(node->rchild);}}/*⼆叉树的后序遍历*/void Postorder(BTNode * node){if(node == NULL)return;else{Postorder(node->lchild);Postorder(node->rchild);printf("%c ",node->data );}}/*⼆叉树的⾼度树的⾼度 = max(左⼦树⾼度，右⼦树⾼度) +1*/int getHeight(BTNode *node){int Height = 0;if (node == NULL)return 0;else{int L_height = getHeight(node->lchild);int R_height = getHeight(node->rchild);Height = L_height >= R_height ? L_height +1 : R_height +1; }return Height;}int main(int argc, char const *argv[]){BTNode * BTree; // 定义⼀个⼆叉树printf("请输⼊⼀颗⼆叉树先序序列以#表⽰空结点:");BuildBT(&BTree);printf("先序序列：");Preorder(BTree);printf("\n中序序列：");Inorder(BTree);printf("\n后序序列：");Postorder(BTree);printf("\n树的⾼度为：%d" , getHeight(BTree));return 0;}// ABC##DE##F##G##。

二叉树的各种基本运算的实现实验报告

二叉树的各种基本运算的实现实验报告
一、实验目的
实验目的为了深入学习二叉树的各种基本运算，通过操作实现二叉树的建立、存储、查找、删除、遍历等各种基本运算操作。

二、实验内容
1、构造一个二叉树。

我们首先用一定的节点来构建一棵二叉树，包括节点的左子节点和右子节点。

2、实现查找二叉树中的节点。

在查找二叉树中的节点时，我们根据二叉树的特点，从根节点开始查找，根据要查找的节点的值与根节点的值的大小的关系，来决定接下来查找的方向，直到找到要查找的节点为止。

3、实现删除二叉树中的节点。

在删除二叉树节点时，我们要做的是找到要删除节点的父节点，然后让父节点的链接指向要删除节点的子节点，有可能要删除节点有一个子节点，有可能有两个极点，有可能没有子节点，我们要根据每种情况进行处理，来保持二叉树的结构不变。

4、对二叉树进行遍历操作。

二叉树的遍历有多种方法，本实验使用的是先序遍历。

首先从根节点出发，根据先序遍历的顺序，先访问左子树，然后再访问右子树，最后访问根节点。

三、实验步骤
1、构建二叉树：
我们用一个数组代表要构建的二叉树，第一项为根节点，第二项和第三项是根节点的子节点。

树的存储结构、遍历;二叉树的定义、性质、存储结构、遍历以及树、森林、二叉树的转换

树和二叉树树与二叉树是本书的重点内容之一，知识点多且比较零碎。

其中二叉树又是本章的重点。

在本章中我们要了解树的定义、熟悉树的存储结构、遍历；二叉树的定义、性质、存储结构、遍历以及树、森林、二叉树的转换。

哈夫曼树及哈夫曼编码等内容。

算法的重点是二叉树的遍历及其应用。

6.1 树的定义一、树的定义树：树是n(n>0)个结点的有限集合T。

一棵树满足下列条件：（1）有且仅有一个称为根的结点；（2）其余结点可分为m(m>=0)棵互不相交的有限集合T1,T2,T3,…Tm，其中每个集合又是一棵树，并称之为根的子树。

有关树的一些基本概念：1）结点的度：树中每个结点具有的子树数目或后继结点数。

如图中结点A的度为2，B的度为32) 树的度：所有结点的度的最大值为树的度。

（图中树的度为3）3) 分支结点：即：树中所有度大于0的结点。

4) 叶子结点：即：树中度为零的结点，也称为终端结点。

5) 孩子结点：一个结点的后续结点称为该结点的孩子结点。

6) 双亲结点：一个结点为其后继结点的双亲结点。

7) 子孙结点：一个结点的所有子树中的结点为该结点的子孙结点。

8) 祖先结点：从根结点到一个结点的路径上所有结点（除自己外）称为该结点的祖先结点。

（如Ａ和Ｂ为Ｄ结点的祖先结点）9) 兄弟结点：具有同一父亲的结点互相为兄弟结点。

（如Ｂ和Ｃ为兄弟结点）10) 结点的层数：从根结点到该结点的路径上的结点总数称为该结点的层数（包括该结点）。

11) 树的深度（高度）：树中结点的最大层数为树的深度。

（图中树的深度为4）12) 森林：0个或多个互不相交的树的集合。

上图中：树的度为3，树的深度为4。

结点A，B，C，D，E，F，G，H，I，J的度分别为：2, 3, 2, 0 ,2 , 0, 0, 0, 0, 0叶结点有：D, F, G, H, I, JB,C为兄弟，D, E, F为兄弟，F, G为兄弟。

I，J为兄弟。

二、树的表示1. 树的逻辑结构描述Tree=（D，R）其中：D为具有相同性质的数据元素的集合。

树形结构——树和森林

树形结构——树和森林树形结构——树和森林
TT
讨论的问题
1、树的概念 2、树的遍历 3、树的存储方式 4、二叉树
树的概念
树是一种常见的非线性的数据结构。树是一种常见的非线性的数据结构。树的递归定义如下：树是n(n> 个结点的有限集， n(n>0 树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件：有且仅有一个结点没有前件（父亲结点） ⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结点称为树的根；点称为树的根；除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件； ⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件；除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。 ⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。这条路径由根开始，而未端就在该结点上，这条路径由根开始，而未端就在该结点上，且除根以路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（外，路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（儿子结点）子结点）；
树的表示方法
树的表示方法一般有两种：自然界的树形表示法：用结点和边表示树， ⑴自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如上图采用的就是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。
⑵括号表示法：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树括号表示法：按由左而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理：同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。例如图可写成如下形式（r（a（w，x（d（h），e）），b（f），c（s，t（i（m，o， n），j），u）））
1、二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足以下条件： ⑴有一个特定的结点称为根； ⑵ 余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R ，其中 R 是根的余下的结点分为互不相交的子集L 其中R 左子树；L是根的右子树；L 左子树；L是根的右子树；L和R又是二叉树；由上述定义可以看出，由上述定义可以看出，二叉树和树是两个不同的概念 ⑴树的每一个结点可以有任意多个后件，而二叉树中每树的每一个结点可以有任意多个后件，个结点的后件不能超过2 个结点的后件不能超过2； ⑵树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的树的子树可以不分次序（除有序树外）子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子，子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子，右后件为右儿子。右后件为右儿子。

实现二叉链表存储结构下二叉树的先序遍历的非递归算法

实现二叉链表存储结构下二叉树的先序遍历的非递归算法要实现二叉链表存储结构下二叉树的先序遍历的非递归算法，可以使用栈来辅助存储节点。

首先，创建一个空栈，并将树的根节点压入栈中。

然后，循环执行以下步骤，直到栈为空：1. 弹出栈顶的节点，并访问该节点。

2. 若该节点存在右子节点，则将右子节点压入栈中。

3. 若该节点存在左子节点，则将左子节点压入栈中。

注：先将右子节点压入栈中，再将左子节点压入栈中的原因是，出栈操作时会先访问左子节点。

下面是使用Python语言实现的例子：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, value):self.val = valueself.left = Noneself.right = Nonedef preorderTraversal(root):if root is None:return []stack = []result = []node = rootwhile stack or node:while node:result.append(node.val)stack.append(node)node = node.leftnode = stack.pop()node = node.rightreturn result```这里的树节点类为`TreeNode`，其中包含节点的值属性`val`，以及左子节点和右子节点属性`left`和`right`。

`preorderTraversal`函数为非递归的先序遍历实现，输入参数为二叉树的根节点。

函数中使用了一个栈`stack`来存储节点，以及一个列表`result`来存储遍历结果。

在函数中，先判断根节点是否为None。

如果是，则直接返回空列表。

然后，创建一个空栈和结果列表。

接下来，用一个`while`循环来执行上述的遍历过程。

循环的条件是栈`stack`不为空或者当前节点`node`不为None。

第六章树与二叉树教案二叉树的类型定义存储结构遍历哈夫曼树与哈夫曼编码

或 2k-1 ≤ n < 2k
即 k-1 ≤ log2 n < k
因为 k 只能是整数，因此， k =log2n + 1
问题：
一棵含有n个结点的二叉树，可能达到的最大深度和最小深度各是多少？
1
答：最大n,
2
最小[log2n] + 1
第六章树和二叉树教案
二叉树的类型定义存储结构遍历哈夫曼树与哈夫曼编码
树是常用的数据结构
•家族 •各种组织结构 •操作系统中的文件管理 •编译原理中的源程序语法结构 •信息系统管理 •。。。。
2
6.1 树的类型定义 6.2 二叉树的类型定义
6.2.3 二叉树的存储结构 6.3 二叉树的遍历
二叉树上每个结点至多有两棵子树，则第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1 。
性质 2 ：
深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k≥1）。
证明：
基于上一条性质，深度为 k 的二叉
树上的结点数至多为
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
（等比数列求和）
k
k
(第i层的最大结点数) 2i1 2k
i 1
i 1
性质 3 ：
对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点（0度节点）、n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。
证明：
设二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又二叉树上分支总数 b = n1+2n2
而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1 。

数据结构5树资料

2018/10/13 第5章树和二叉树 8/112
3.树的术语:

结点(node)
数据元素。

结点的度(degree)
结点的子树个数。
树中所有结点度的最大值。度不为0的结点。度为0的结点。某结点子树的根结点。
树的度(degree) 分支(branch)结点

叶(leaf)结点孩子(child)结点
2018/10/13 第5章树和二叉树
同构型
19/112
A
异构型
B
C
D
E
F
G
H
I
J
孩子表示法－－ c语言描述 (同构型)
typedef struct TreeNode
{ DataType data;
struct TreeNdoe *Son[MAXSON];
} nodetype;
2018/10/13 第5章树和二叉树 20/112

a b d i e j f c g h
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第5章树和二叉树
2/112
除根以外的其它结点划分为m (m 0)个互不相交的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每个集合又是一棵树，并且称之为根的子树(SubTree)。

每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可以有0个或多个直接后继。
B E F C G H D I J
E，F，B，G，C，H，I，J， D，A
第5章树和二叉树 26/112
2018/10/13
3.层序遍历
按层次顺序（1,2,…）遍历，同一层按从左到右的顺序。
A B E F C G H D I J
遍历序列： A，B，C，D，E，F，G，H，I，J

《数据结构》树的基本操作

实验四一、实验目的及要求掌握树的动态存储结构--二叉链表，掌握树的两种遍历方法，会运用两种遍历的方法求解有关问题。

二、实验环境硬件：计算机软件：Microsoft Visual C++ 三、实验内容1. 以二叉链表作存储结构，建立一棵树；2. 输出其先根、后根遍历序列；3. 统计其叶子结点数；4. 求出它的深度。

四、调试过程及实验结果五、总结总的感觉就是树和二叉树的操作基本一致，基本都是依赖于二叉树才建立存储结构的，所以，对于树的操作，关键还是在于对二叉树操作的掌握。

本次程序的编写靠的是我对二叉树的熟悉运用，还有相关树的知识的掌握，再借助百度上的一些别人的程序，本人终于写出了自己的程序，甚是欣慰！课程名称：数据结构班级：一班完成日期：11,27 姓名：王辉东学号：1010431129 指导教师：王群芳实验名称：树的应用实验序号：实验成绩：六、附录（源程序清单）#include<stdio.h>#include<stdlib.h>typedef struct CSNode{char data;struct CSNode *firstchild, *nextsibling;}CSNode, *CSTree;void createtree(CSTree &T)//以二叉树创建树{char ch;ch=getchar();if(ch==' ') T=NULL;else{if(!(T=(CSNode *)malloc(sizeof(CSNode)))) printf("分配空间出错！"); T->data=ch;createtree(T->firstchild);createtree(T->nextsibling);}}void visit(CSTree T)//遍历函数，输出结点{if(T)printf("%c",T->data);elseprintf("树不存在，输出错误！");}void preroot(CSTree T)//先根输出{if(T){visit(T);preroot(T->firstchild);preroot(T->nextsibling);}}void postroot(CSTree T)//后根输出相当于二叉树中序遍历{if(T){postroot(T->firstchild);visit(T);postroot(T->nextsibling);}int n=0;int countleaf(CSTree T){if(T!=NULL){countleaf(T->firstchild);if(T->firstchild==NULL) n++;countleaf(T->nextsibling);}return n;}int depth(CSTree T){int firstdepth,nextdepth;if(!T) return 0;else{firstdepth=depth(T->firstchild);nextdepth=depth(T->nextsibling);}return firstdepth+1>nextdepth?firstdepth+1:nextdepth;}int main(){CSTree T;printf("请输入树的结点，以二叉树的格式创建，空格表示无左右孩子:\n"); createtree(T);printf("\n先根输出树的结点:\n");preroot(T);printf("\n后根输出树的结点:\n");postroot(T);printf("\n树的深度是depth=%d",depth(T));printf("\n树的叶子数目是leaf=%d\n",countleaf(T));while(1);return 0;}。

二叉树的顺序存储结构代码

二叉树的顺序存储结构代码介绍二叉树是一种常用的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

在计算机中，我们通常使用顺序存储结构来表示二叉树。

顺序存储结构是将二叉树的节点按照从上到下、从左到右的顺序依次存储在一个数组中。

本文将详细介绍二叉树的顺序存储结构代码，包括初始化、插入节点、删除节点以及遍历等操作。

二叉树的顺序存储结构代码实现初始化二叉树首先，我们需要定义一个数组来存储二叉树的节点。

假设数组的大小为n，则二叉树的最大节点数量为n-1。

# 初始化二叉树，将数组中所有元素置为空def init_binary_tree(n):binary_tree = [None] * nreturn binary_tree插入节点在二叉树的顺序存储结构中，节点的插入操作需要保持二叉树的特性，即左子节点小于父节点，右子节点大于父节点。

插入节点的算法如下：1.找到待插入位置的父节点索引parent_index。

2.如果待插入节点小于父节点，将其插入到父节点的左子节点位置，即数组索引2*parent_index+1处。

3.如果待插入节点大于父节点，将其插入到父节点的右子节点位置，即数组索引2*parent_index+2处。

# 插入节点def insert_node(binary_tree, node):index = 0 # 当前节点的索引值，初始值为根节点的索引值while binary_tree[index] is not None:if node < binary_tree[index]:index = 2 * index + 1 # 插入到左子节点else:index = 2 * index + 2 # 插入到右子节点binary_tree[index] = node删除节点删除节点需要保持二叉树的特性，即在删除节点后，仍然满足左子节点小于父节点，右子节点大于父节点的条件。

删除节点的算法如下：1.找到待删除节点的索引delete_index。