2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58.将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6) B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6) D.f(x)=sin(8x−π3)9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.5210.已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC ．现有以下结论： ①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．bc．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23 (Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2，其中n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x 22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.(5)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.275【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x 2+2)(x −1x )6的展开式的常数项须6−2r ＝0或者6−2r ＝−2⇒r ＝3或者r ＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.将函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（ ） A.f(x)=sin(2x +π6) B.f(x)=sin(2x −π3) C.f(x)=sin(8x +π6) D.f(x)=sin(8x −π3)【解答】函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象， 9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A.3 B.32C.5D.52【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x ＝−1， 设M(x, y)，N(x ′, y ′)，由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x ′+p ＝x +x ′+2＝5， 中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32， 10.已知a =212,b =313,c =ln 32，则（ ） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c ＝ln 32<(1) ∴c <a <b ．故选：C．11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等． 设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f m ax ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大． 由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)，代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ，解得{a 1=3q =3 ，∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________． 【解答】∵平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴b →⋅(a →−b →)=b ¯⋅a →−b →2=0，∴a →⋅b →=b →2． 设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3， 求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________． 【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ， 取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′， 可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)， 化为c 2＝3a 2，则e =ca =√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ． (Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB ＝3sinC ，求△ABC 的周长 【解答】（1）∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13．（2）∵△ABC 的面积为√2，即12bcsinA =16bc =√2， ∴bc ＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．，其中n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB=√3，由(Ⅰ)得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC=√3，EC＝1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)， 设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 【解答】 （1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1， 欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1， 令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0， 因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立， 所以当a <−1时，任意x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2． 已知椭圆C:x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l:x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ．(Ⅰ)求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标 【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB 的方程：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1＝0，因为△＝4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2， 所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|＝|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m 2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t =2√2t+1t≤√2，当且仅当t ＝1时，即m ＝0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y2 2−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【解答】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。
2020年四川省成都市高考数学一模试卷(理科)
2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.若复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A．﹣3i B．﹣3+i C．3+i D．3﹣i2.已知集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，若A∪B＝{﹣l，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣l或0 B．0或1 C．﹣l或2 D．l或23.若，则tan2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A．72.5 B．75 C．77.5 D．805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则＝（）A．B．C．D．6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n7.的展开式的常数项为（）A．25 B．﹣25 C．5 D．﹣58.将函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．5 D．10.已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a11.已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．若关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣e，0）∪（0，+∞）D．（﹣e，0）∪（0，e）12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P ﹣ABC．现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为（0，4﹣2）；④三棱锥P﹣ABC体积的最大值为．则正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题）13.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14.设正项等比数列{a n}满足a4＝81，a2+a3＝36，则a n＝．15.已知平面向量，满足||＝2，||＝，且⊥（﹣），则向量与的夹角的大小为．16.已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长18.某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工男性员工合计100（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E分别为BC的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面P AE；（Ⅱ）若AB＝2．P A＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．20.已知函数f（x）＝（a﹣1）lnx+x+，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明∀x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．21.已知椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．（Ⅰ）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+（y﹣2）2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，点M（3，），射线≥0）与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f（x）＝|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥4﹣|2x+l|；（Ⅱ）若＝2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+|﹣f（x）．2020年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】由已知可得复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】解：∵复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝﹣3﹣i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝﹣3+i．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算2.【分析】因为A∪B＝{﹣l，0，1，2}，A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，根据元素的互异性m≠﹣1，0，求出m即可．【解答】解：集合A＝{﹣l，0，m），B＝{l，2}，A∪B＝{﹣l，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．【知识点】并集及其运算3.【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则tanθ＝，则tan2θ＝＝﹣，故选：C．【知识点】二倍角的正弦4.【分析】由频率分布直方图求出[50，70）的频率为0.4，[70，80）的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】解：由频率分布直方图得：[50，70）的频率为：（0.010+0.030）×10＝0.4，[70，80）的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+＝72.5．故选：A．【知识点】频率分布直方图5.【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】解：依题意，＝＝，又＝3，∴＝×3＝，故选：D．【知识点】等差数列6.【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用7.【分析】求出（x﹣）6的通项公式，考虑r＝3，r＝4时的系数，相加求和即可得到所求值．【解答】解：（x﹣）6的通项公式为T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣1）r x6﹣2r，r＝0，1，2， (6)则（x2+2）（x﹣）6的展开式的常数项须6﹣2r＝0或者6﹣2r＝﹣2⇒r＝3或者r＝4：∴常数项为（﹣1）4+2×（﹣1）3＝15﹣40＝﹣25．故选：B．【知识点】二项式定理8.【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数y＝sin（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（2x﹣）的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（2x+）的图象，故选：A．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x＝﹣1，设M（x，y），N（x'，y'），由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x'+p＝x+x'+2＝5，中点的横坐标为，线段MN的中点到y轴的距离为：，故选：B．【知识点】抛物线的简单性质10.【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，∴1＜a＜b．c＝ln＜1．∴c＜a＜b．故选：C．【知识点】对数值大小的比较11.【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．的函数单调性及图象，然后根据f（2﹣x）＝f（2+x）可知函数f（x）关于x＝2对称．即可画出函数y＝f（x）的大致图象．一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1．很明显是恒过定点（2，e﹣1）．则只要考查斜率k的变动情况，当k＝e时，y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好在（1，﹣1）处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x＞2时也同理可得．【解答】解：由题意，当x≤2时，f（x）＝（x﹣1）e x﹣1．f′（x）＝xe x．①令f′（x）＝0，解得x＝0；②令f′（x）＜0，解得x＜0；③令f′（x）＞0，解得0＜x≤2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．且f（1）＝﹣1；x→﹣∞，f（x）→0．又∵函数f（x）在R上满足f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f（x）的大致图象如下：关于x的方程f（x）﹣kx+2k﹣e+1＝0可转化为f（x）＝k（x﹣2）+e﹣1．而一次函数y＝k（x﹣2）+e﹣1很明显是恒过定点（2，e﹣1）．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y＝f（x）与y＝k（x﹣2）+e﹣1正好相切．∴当0＜k＜e时，有三个交点．同理可得当﹣e＜k＜0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：（﹣e，0）∪（0，e）．故选：D．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.【分析】根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．【解答】解：折起后，△CP3A≌△CP A，故AP⊥PC．同理，AP⊥PB，所以AP⊥平面PBC，①正确；当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，PB＝PC＝1，BC＝，所以PB2+PC2＝BC2，又AP⊥平面PBC，所以P A，PB，PC两两垂直，所以三棱锥P﹣ABC的外接球与以P A，PB，PC为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r，所以（2r）2＝22+12+12＝6，S＝4πr2＝6π．即三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π，②正确；因为P2B＝P2C＝x，所以PB＝PC＝2﹣x，而BC＝，故2（2﹣x）＞，解得x＜4﹣2，③正确；因为△PBC的面积为S＝＝设f（x）＝x4﹣8x3+8x2，f′（x）＝4x3﹣24x2+16x＝4x（x2﹣6x+4）当0＜x＜3﹣时，f′（x）＞0，当3﹣＜x＜4﹣2时，f′（x）＜0f max＝f（3﹣）＞f（1）＝1，所以S＞．V P﹣ABC＝V A﹣PBC＝＞，④错误．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6故答案为：6．【知识点】简单线性规划14.【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到a n．【解答】解：依题意，解得，∴a n＝＝3•3n﹣1＝3n，故答案为：3n．【知识点】等比数列的通项公式15.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量与的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量，满足||＝2，＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝•﹣＝0，∴＝．设向量与的夹角的大小为θ，则2••cosθ＝3，求得cosθ＝，故θ＝，故答案为：．【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、数量积表示两个向量的夹角16.【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），化为c2＝3a2，则e＝＝．故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A＝bc，∴cos A＝，∴在△ABC中，sin A＝＝．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，即bc sin A＝bc＝，∴bc＝6，又∵sin B＝3sin C，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝6，∴a＝，∴△ABC的周长为2+3+．【知识点】余弦定理18.【分析】（Ⅰ）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题，2×2列联表如下：属于“追光族”属于“观望族”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100∵K2＝＝＝≈2.778＜3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（Ⅱ）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝1×+2×+3×＝．【知识点】离散型随机变量及其分布列、独立性检验、离散型随机变量的期望与方差19.【分析】（Ⅰ）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面P AE；（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可【解答】解：（Ⅰ）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE；（Ⅱ）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，P A＝1，所以PB＝，由（Ⅰ）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，P A两两互相垂直，以P为坐标原点，的方向分别为xyz轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0），设平面CDP的一个法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2），所以cos＜＞＝＝﹣，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面垂直的判定20.【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（Ⅱ）欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，设新函数h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），利用其单调性求出h（x）≤h（1）＝0，进而得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝＝＝，因为x＞0，a∈R，所以当a≥0时，x+a＞0，所以函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，0＜﹣a＜1，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣1时，f′（x）＝≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，﹣a＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当a＜﹣1时，由（Ⅰ）得，函数f（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为f（﹣a）＝（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，欲证明不等式f（x）＞﹣a﹣a2成立，即证明﹣a﹣a2＜（a﹣1）ln（﹣a）﹣a﹣1，即证明a2+（a﹣1）ln（﹣a）﹣1＞0，因为a＜﹣1，所以只需证明ln（﹣a）＜﹣a﹣1，令h（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），则h′（x）＝＝≤0，所以函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，则有h（x）≤h（1）＝0，因为a＜﹣1，所以﹣a＞1，所以h（﹣a）＝ln（﹣a）+a+1＜0，即当a＜﹣1时，ln（﹣a）＜﹣a﹣1成立，所以当a＜﹣1时，任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a﹣a2．【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性21.【分析】（Ⅰ）由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），设直线AB的方程：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立（m2+2）y2+2my﹣1＝0，因为△＝4m2+4（m2+2）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以|y1﹣y2|＝＝，所以四边形OAHB的面积S＝|OH|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝，令t＝≥1，S＝＝≤，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0，所以四边形OAHB的面积的取值范围为（0，，]（Ⅱ）B（x2，y2），D（2，y1），k BD＝，所以直线BD的方程：y﹣y1＝（x﹣2），令y＝0，得x＝＝由（Ⅰ）得，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x＝＝＝，所以直线BD过定点E（，0）．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线≥0）的距离h＝，代入三角形面积公式求△MAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：（x﹣2）2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ；（Ⅱ）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝4||＝．又∵M（3，）到射线≥0）的距离h＝．∴△MAB的面积S＝．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；（II）根据绝对值的性质求出|x+|﹣f（x）≤，m+n，证明即可．【解答】解：（I）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，当x≤时，不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4，解得x，故x；当﹣＜x＜3时，不等式2x+1﹣x+3≥4，解得x≥0，故0≤x＜3；当x≥3时，不等式2x+1+x﹣3≥4，解得x≥0，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）；（II）因为f（x）＝|x﹣3|，所以|x+|﹣f（x）＝||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|＝，当且仅当（x+）（x+3）≥0，且|x+|≥|x﹣3|时，取等号，又＝2（m＞0，n＞0），所以（m+n）（）≥（1+2）2＝9，当且仅当m＝2n时，取得等号，故m+n，所以m+n≥|x+|﹣f（x）成立．【知识点】绝对值不等式的解法、不等式的证明。
2020届四川省成都市高三上学期第一次诊断性检测数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都市高三上学期第一次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i +D ．3i -【答案】B【解析】由题意得复数z 1与23z i =--的实部相等，虚部互为相反数，则z 1可求． 【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2．已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A ．1-或0 B ．0或1 C ．1-或2 D ．1或2 【答案】D【解析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】Q 集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D 【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题．3．若sin )θπθ=-，则tan 2θ=( )A．5-B．5C．52-D．5【答案】C【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tanθ，再利用倍角公式求得tan2θ的值．【详解】Q sin5cos(2)θπθ=-，∴sin5cosθθ=，得tan5θ=，222tan255tan21tan215θθθ∴===---.故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题．4．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A．72.5B．75C．77.5D．80【答案】A【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A ．95 B ．59 C ．53D ．275【答案】D【解析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论. 【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题． 6．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A ．若//m α，//n β，且//αβ，则//m nB ．若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m nC ．若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥D ．若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C【解析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 7．261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A ．25 B ．25-C ．5D ．5-【答案】B【解析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出． 【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r ()-r x -=r 6C ()1r - ()6-2rx ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B 【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( )A ．()sin(2)6f x x π=+ B ．()sin(2)3f x x π=-C ．()sin(8)6f x x π=+D ．()sin(8)3f x x π=-【答案】A【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可. 【详解】 函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( )A ．3B ．32C ．5D ．52【答案】B【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可. 【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题． 10．已知122a =，133b =，3ln 2c =，则( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】C【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c ＜1． 【详解】∵122a ==133b =∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．11．已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1x f x x e =--.若关于x 的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,0)(2,)-+∞UB ．(2,0)(0,2)-UC ．(,0)(,)e e -⋃+∞D ．(,0)(0,)e e -⋃【答案】D【解析】根据f （2﹣x ）＝f （2+x ）可知函数f （x ）关于x ＝2对称，利用当2x ≤时()(1)1x f x x e =--，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．由题意转化为y ＝k （x ﹣2）+e﹣1与f （x ）有三个交点，直线恒过定点（2，e ﹣1），再根据数形结合法可得k 的取值范围． 【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣1．f ′（x ）＝xe x ．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2． ∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切．∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题．12．如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23P P 上滑动，且22P B P C x ==，现将1APB ∆，3AP C ∆分别沿AB ，AC 折起使点13,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥P ABC -.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,422)-； ④三棱锥P ABC -体积的最大值为13.则正确的结论的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意得,折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足P A ⊥PB 、P A ⊥PC ，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P ﹣ABC 的外接球的直径等于以P A 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1，得外接球的半径R ＝2，由此得三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积，故②正确；由题意得(0,2)x ∈，BC =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得(0,4-，故③正确；由等体积转化P ABC A PBC V V --=计算即可，故④错误. 【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足P A ⊥PB 、P A ⊥PC ，在①中，由P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，且PB I PC P =，所以AP ⊥平面PBC 成立，故①正确；在②中，当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的外接球直径等于以P A 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1x =，得外接球的半径R =，所以外接球的表面积为22446S R πππ==⨯=⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P 的边长为2，所以(0,2)x ∈，BC =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得2x -+2x ->，解得(0,4x ∈-，故③正确；在④中，正方形123APP P 的边长为2，且22PB PC x ==，则2PB PC x ==-， 所以()()222111sin 223263P ABCA PBCx VV CP BP CPB AP x ---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,4-上递减，无最大值，故④错误. 故选：C【点睛】本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题．二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】6【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z最大．由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6. 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14．设正项等比数列{}n a 满足481a =，2336a a +=，则n a =_______. 【答案】3n【解析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，481a =，2336a a +=，得312118136a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩，∴a n ＝11n a q -⋅＝3•3n ﹣1＝3n . 故答案为：3n 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15．已知平面向量a r ，b r 满足||2a =r，||b =r ()b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与b r的夹角的大小为_______. 【答案】6π 【解析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a r 与b r的夹角即可． 【详解】∵平面向量a r ，b r满足||2a =r，||b =r 且()b a b ⊥-r r r，∴2()0b a b b a b ⋅-=⋅-=r r r r r r ，∴2b a b ⋅=r r r ．设向量a r 与b r 的夹角的大小为θ，则•cosθ，求得 cosθ，∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．16．已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______.【答案】3【解析】取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值． 【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca＝3． 故答案为：3．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）13；（2）2632+【解析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A 的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc b ＝3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长． 【详解】（1）∵2223b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝3，∴在△ABC 中，sin A ＝13．（2）∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，又sin B ＝3sin C b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=，所以周长为2abc ++=+.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）分布列见解析，()910E X =【解析】（1）根据题意，列出列联表，计算K 2，查表判断即可；（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C P X C ⋅===；21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为 X123P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（233【解析】（1）根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面P AE ；（2）以P 为坐标原点，,,PE PQ PA u u u r u u u r u u u r的方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP 与平面CDP 的法向量计算即可. 【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形，因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面P AE ，所以BC ⊥平面P AE ； （2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，P A ＝1，所以PB ＝3，由（1）得BC ⊥PE ，又因为E 为BC中点，所以PB ＝PC ＝3，EC ＝1，所以PE ＝2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，P A 两两互相垂直，以P 为坐标原点，,,PE PQ PA u u u r u u u r u u u r的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，0），A （0，0，1），B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，2，1）， 设平面BAP 的一个法向量m u r ＝（x ，y ，z ），又PA u u u r ＝（0，0，1），PB u u u r＝（2，﹣1，0），由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得2x ﹣y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m u r ＝（1，2，0）， 设平面CDP 的一个法向量n r ＝（a ，b ，c ），又PC uuu r ＝（2，1，0），PD u u u r＝（0，2，1）， 由00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n r ＝（1，﹣2，22）， 所以33cos ,33311m n ==-⋅u r r，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为33．【点睛】本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题． 20．已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >--【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；【解析】（1）求出导数，讨论a 的取值范围，求出单调区间；（2）由（1）得函数函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，根据题意转化为2(1)ln()10a a a +--->在1a <-恒成立即可. 【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈， 当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=…，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增；综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增.（2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立，即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-Q ，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤Q ， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因为1,1a a <-∴->， 则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立 则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等问题，属于中档题．21．已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ． （1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）由题意设直线AB 的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围；（2）由（1）得B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点． 【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=， 因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则1z y y -===所以四边形OAHB的面积12121||2S OH y y y y =⋅-=-=，2,1,11t t St tt=∴∴==++…因为12tt+…（当且仅当t=1即m=0时取等号），所以0S<…所以四边形OAHB的面积取值范围为；（2）()()221,,2,B x y D yQ，所以直线BD的斜率1222y ykx-=-，所以直线BD的方程为1212(2)2y yy y xx--=--，令y=0，可得212121212122,x y zy my y y yxy y y y-+-==--L L①由（1）可得121212122221,,222my y y y y y my ym m+=-=-∴+=++化简①可得()()112121212123222zsy y y y y yxy y y y++--===--则直线BD过定点3,02E⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线1C：22(2)4x y+-=上的动点，将OP 绕点O顺时针旋转90︒得到OQ，设点Q的轨迹为曲线2C.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C，2C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点(3,)2Mπ，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C，2C分别相交于异于极点O的,A B两点，求MAB∆的面积.【答案】（1）曲线1C：4sinρθ=，曲线2C：4cosρθ=；（2【解析】（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，2π）到射线()06πθρ=≥的距离h ＝3sin 3π=，即可求得△MAB 的面积．【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos1).66AB ππρρ∴=-=-=又Q 点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin32h π==MAB ∴∆的面积1922S AB h -=⋅= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．23．已知函数() 3.f x x =- （1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+-【答案】（1）2(,][0,)3-∞-⋃+∞；（2）见解析.【解析】（1）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x +1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可； （2）由基本不等式得m n +的最小值92，转化为|x +32|﹣f （x ）≤92恒成立即可．【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-；②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<； ③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞. （2）() 3.f x x =-Q 3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n+=>>Q ，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．。
石室中学高2020届一诊模拟考试(理科)
石室中学高2020届一诊模拟考试（理科数学）一．选择题：1.已知集合{}|1A x N x =∈>，{}|5B x x =<，则A B =（A ）{}|15x x <<（B ）{}|1x x >（C ）{}2,3,4（D ）{}1,2,3,4,52.设i 为虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭．．复数为 （A ）1i -（B ）1i --（C ）1i -+（D ）1i +3.若等边ABC ∆的边长为4，则AB AC ⋅=（A ）8（B ）8-（C ）D ）-4.在()()621x x y --的展开式中33x y 的系数为（A ）50（B ）20（C ）15（D ）20-5.若等比数列{}n a 满足：1531231,4,7a a a a a a ==++=，则该数列的公比为 （A ）2-（B ）2（C ）2±（D ）126.若实数,a b 满足a b >，则（A ）e e a b >（B ）sin sin a b >（C ）11e e e ea ba b+>+（D ）))a b >7.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2AA AB ==，点,E F 分别为棱11,BB CC 上两点，且1111,42BE BB CF CC ==，则 （A ）1D E AF ≠，且直线1,D E AF 异面（B ）1D E AF ≠，且直线1,D E AF 相交 （C ）1D E AF =，且直线1,D E AF 异面（D ）1D E AF =，且直线1,D E AF 相交8.设函数()219ln 2f x x a x =-，若()f x 在点(3,(3))f 的切线与x 轴平行，且在区间[]1,1m m -+上单调递减，则实数m 的取值范围是（A ）2m ≤（B ）4m ≥（C ）12m <≤（D ）03m <≤9.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为 （A ）18（B ）320（C ）950（D ）72010.函数11()e x f x x-=-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）11.设圆C ：22230x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（A ）10B ）3C ）4（D ）612.设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ○1()f x 是偶函数；○2()f x 的最小正周期为π； ○3()f x 的最小值为0；○4()f x 在[0,2]π上有3个零点. 其中所有正确结论的编号是（A ）○1○2（B ）○1○2○3（C ）○1○3○4（D ）○2○3○4二．填空题：13.若等差数列{}n a 满足：1231,5a a a =+=，则n a =．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为．15.已知双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于,A B 两点，若1210,F B F B F A AB λ⋅==，则λ=．16.若函数()()()2e 121x a xf x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥‚‚‚恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三．解答题：17.（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次消费次第 第1次第2次 第3次 第4次 5≥次 收费比率10.95 0.900.850.80该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计,: （Ⅰ）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润； （Ⅱ）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元, 求X 的分布列和数学期望()E X .18.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2)cos 2B AC +=． （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的取值范围. 19.（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且060ADC ∠=，11AA CD ==1AD =（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角1D AD C --的余弦值.20.（12分）设椭圆22:182x y C +=，过点(21)A ，的直线,AP AQ 分别交C 于不同的两点,P Q ，直线PQ 恒过点(4,0)B ．（Ⅰ）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线,AP AQ 分别与x 轴相交于,M N 两点,在x 轴上是否存在定点G ,使得GM GN ⋅为定值？若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由．21.（12分）设函数2()sin f x x x =-π，[0,]2x π∈，22()cos (),()22x m g x x x m R π=++-∈π．（Ⅰ）证明：()0f x ≤；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，不等式()4g x π≥恒成立，求m 的取值范围.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线cos :sin x t l y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线22:2x m C y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）相交于不同的两点,A B ．（Ⅰ）当4απ=时,求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若2MA MB MA MB =-,其中M ,求直线l 的倾斜角．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数()11f x x ax =++-.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（Ⅱ）当1x ≥时，不等式()3f x x b ≤+成立，证明：0a b +≥.。
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【答案】B【考点】复数的运算【解析】由已知可得复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2. 已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【答案】D【考点】并集及其运算【解析】因为A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，A，B本身含有元素−1，0，1，2，根据元素的互异性m≠−1，0，求出m即可．【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3. 若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4. 某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【答案】A【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布直方图求出[50, 70)的频率为0.4，[70, 80)的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.4×10=72.(5)5. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.9 5B.59C.53D.275【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7. (x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】求出(x−1x)6的通项公式，考虑r＝3，r＝4时的系数，相加求和即可得到所求值．【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项须6−2r＝0或者6−2r＝−2⇒r＝3或者r＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8. 将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6)B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6)D.f(x)=sin(8x−π3)【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin(2x−π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x+π6)的图象，9. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.52【答案】B【考点】抛物线的性质【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x＝−1，设M(x, y)，N(x′, y′)，由抛物线的性质得，MF+NF＝x+x′+p＝x+x′+2＝5，中点的横坐标为32，线段MN的中点到y轴的距离为：32，10. 已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c<(1)【解答】∵a=√2=√86，b=√33=√96，∴1<a<b．c＝ln32<(1)∴c<a<b．故选：C．11. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−(1)的函数单调性及图象，然后根据f(2−x)＝f(2+x)可知函数f(x)关于x＝2对称．即可画出函数y＝f(x)的大致图象．一次函数y＝k(x−2)+e−(1)很明显是恒过定点(2, e−1)．则只要考查斜率k的变动情况，当k＝e时，y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好在(1, −1)处相切，再根据数形结合法可得k的取值范围，当x>2时也同理可得．【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12. 如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当B，C分别为P1P2，P2P3的中点时，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13． 则正确的结论的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假． 【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2， 所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与 以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等． 设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×(√22=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f max ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．【答案】 6【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ， 平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大．由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)， 代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________． 【答案】 3n【考点】等比数列的通项公式 【解析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ， 解得{a 1=3q =3， ∴ a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________． 【答案】 π 【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a→与b→的夹角的大小．【解答】∵平面向量a→，b→满足|a→|＝2，b→=√3，且b→⊥(a→−b→)，∴b→⋅(a→−b→)=b⋅a→−b→2=0，∴a→⋅b→=b→2．设向量a→与b→的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3，求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y＝kx与双曲线C:x2a −y2b=1(a>0, b>0)相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为________．【答案】√3【考点】双曲线的离心率【解析】取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′，可得四边形AF′BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．【解答】设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′，可得四边形AF′BF为平行四边形，可得|AF′|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m−m＝2a，即m＝a，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得(2b)2+(2c)2＝2(a2+9a2)，化为c2＝3a2，则e=ca=√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23bc．(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长【答案】（1）∵b2+c2−a2=4√23bc，∴由余弦定理可得2bccosA=4√23bc，∴cosA=2√23，∴在△ABC中，sinA=√1−cos2A=13．（2）∵△ABC的面积为√2，即12bcsinA=16bc=√2，∴bc＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA 的值．(Ⅱ)利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得√2b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．【解答】（1）∵b2+c2−a2=4√23bc，∴由余弦定理可得2bccosA=4√23bc，∴cosA=2√23，∴在△ABC中，sinA=√1−cos2A=13．（2）∵△ABC的面积为√2，即12bcsinA=16bc=√2，∴bc＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X 的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．【答案】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列独立性检验【解析】(Ⅰ)根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X ＝0)=C 30C 73C 03=724，P(X ＝1)=C 31C 72C 103=2140，P(X ＝2)=C 32C 71C 103=740，P(X ＝3)=C 33C 103=1120，∴ X 的分布列为：∴ E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P −ABCD 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60∘，E 分别为BC 的中点．(Ⅰ)证明：BC ⊥平面PAE ；(Ⅱ)若AB ＝2．PA ＝1，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）如图，连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60∘，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ， 又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ， 所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ， 又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB =√3，由(Ⅰ)得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC =√3，EC ＝1，所以PE =√2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)，设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)，所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面PAE ； (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可 【解答】（1）如图，连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60∘，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ， 又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ， 所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ， 又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB =√3，由(Ⅰ)得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC =√3，EC ＝1，所以PE =√2， 如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)，设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)， 设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)， 所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333， 即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．【答案】（1）f′(x)=a−1x +1−ax2=x2+(a−1)x−ax2=(x−1)(x+a)x2，因为x>0，a∈R，所以当a≥0时，x+a>0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a<0时，0<−a<1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a＝−1时，f′(x)=(x−1)2x2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a<−1时，−a>1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a<−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a−1)ln(−a)−a−1，欲证明不等式f(x)>−a−a2成立，即证明−a−a2<(a−1)ln(−a)−a−1，即证明a2+(a−1)ln(−a)−1>0，因为a<−1，所以只需证明ln(−a)<−a−1，令ℎ(x)＝lnx−x+1(x≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0，因为a<−1，所以−a>1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a+1<0，即当a<−1时，ln(−a)<−a−1成立，所以当a<−1时，任意x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；(Ⅱ)欲证明不等式f(x)>−a−a2成立，即证明−a−a2<(a−1)ln(−a)−a−1，设新函数ℎ(x)＝lnx−x+1(x≥1)，利用其单调性求出ℎ(x)≤ℎ(1)＝0，进而得证．【解答】（1）f′(x)=a−1x +1−ax2=x2+(a−1)x−ax2=(x−1)(x+a)x2，因为x>0，a∈R，所以当a≥0时，x+a>0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a<0时，0<−a<1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a＝−1时，f′(x)=(x−1)2x2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a<−1时，−a>1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a<−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a−1)ln(−a)−a−1，欲证明不等式f(x)>−a−a2成立，即证明−a−a2<(a−1)ln(−a)−a−1，即证明a2+(a−1)ln(−a)−1>0，因为a<−1，所以只需证明ln(−a)<−a−1，令ℎ(x)＝lnx−x+1(x≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0，因为a<−1，所以−a>1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a+1<0，即当a<−1时，ln(−a)<−a−1成立，所以当a<−1时，任意x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标【答案】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB的方程：x＝my+1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，与抛物线联立(m2+2)y2+2my−1＝0，因为△＝4m2+4(m2+2)>0，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m ，所以|y1−y2|=√(y1−y2)2−41yy2=2√2√1+m22+m2，所以四边形OAHB的面积S=12|OH|⋅|y1−y2|＝|y1−y2|=2√2⋅√1+m22+m2，令t=√1+m2≥1，S=2√2t1+t2=2√2t+1t≤√2，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0<S≤√2，所以四边形OAHB的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y22−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由题意设直线AB的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，B，D的坐标，设直线BD的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD过定点．【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB的方程：x＝my+1，A(x1, y1)，B(x2, y2)，与抛物线联立(m2+2)y2+2my−1＝0，因为△＝4m2+4(m2+2)>0，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以|y1−y2|=√(y1−y2)2−41yy2=2√2√1+m22+m2，所以四边形OAHB的面积S=12|OH|⋅|y1−y2|＝|y1−y2|=2√2⋅√1+m22+m2，令t=√1+m2≥1，S=2√2t1+t2=2√2t+1t≤√2，当且仅当t＝1时，即m＝0时取等号，所以0<S≤√2，所以四边形OAHB的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y22−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O 顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【答案】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴ △MAB 的面积S =12|AB|⋅ℎ=9−3√32．【考点】圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)由题意，点Q 的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1−ρ2|，再求出M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sin π3=3√32，代入三角形面积公式求△MAB 的面积． 【解答】（1）由题意，点Q 的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆， 则曲线C 2：(x −2)2+y 2＝4，∵ ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， ∴ 曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2， ∴ |AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sin π6−cos π6|=2(√3−1)．又∵ M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sin π3=3√32．∴ △MAB 的面积S =12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x +l|；(Ⅱ)若1m +4n =2(m >0, n >0)，求证：m +n ≥|x +32|−f(x)． 【答案】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号，故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 【解析】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4，分段讨论求出即可；(II)根据绝对值的性质求出|x +32|−f(x)≤92，m +n ≥92，证明即可． 【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4， 当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23； 当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3； 当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3； 综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号， 又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号， 故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。
成都石室中学高2020届高考适应性考试(一)理科数学简答
成都石室中学高2020届高考适应性考试（一）理科数学简答C AD C D A B D C A B C 13. 4914. 1 15.4π 16. 8 17. 解：（Ⅰ）抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人， 青年员工20804400⨯=人 ………………3分 （Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 4分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==，25285(X=2)14C P C == ……………… 10分()0122828144E X =⋅+⋅+⋅= ……………… 12分 18. 解：（Ⅰ）由12n n S a a =-，当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得12n n a a -=，…………3分因为14n n nb S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，……4分 所以数列{}n a 是公比为2，11a =的等比数列，{}n a 的通项公式为12n n a -=.…………6分（Ⅱ）由1221n n n S a a =-=-，得11232n n n b -=++，……7分 即()()11122121n n n n b --=++1112121n n -=-++，………………9分 所以011211111111212121212121n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112212n =-<+. ……………………12分19. 解：（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，得BD =分 则222AD DB AB +=，即AD DB ⊥， ……………4分而11,AD DD BD DD D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD ． ………6分（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD ⊥，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥平面ABCD ，故1D O ⊥平面ABCD ．由等腰梯形可得CB DC =，则CO BD ⊥. ……………8分以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()()()13,2,0,3,0,0,0,1,0,3,0,0,0,0,1A B C D D ---， 则()()()1123,2,0,3,0,1,3,1,0AB BB DD BC ====-u u u r u u u u r u 设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =r ，则100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，3030x y x z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则3,3y z ==-，有()1,3,3n =-r ，所以，21cos ,7n AB n AB n AB ⋅<>==⋅r r u u u r r u u u r ， 即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217．……………12分 20. 解：（Ⅰ）()222144(0)a ax x a f x a x x x x-+-'=--=> 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增；……………1分当0a >时，若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()0f x '≤，()f x 在()0,∞+单调递减；……………2分 若21160a ∆=->，即104a <<时，240ax x a -+-=，2111160a x --=>，2211160a x +-=> 当10x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当12x x x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；……………4分综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递增；当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减； 当104a <<时，()f x 在211160,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和21116,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， ()f x 在2211161116,22a a a a ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤或14a ≥时，()f x 在()0,∞+是单调函数，不可能有三个不同的零点；……………6分当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()20f =，又124x x =，有122x x <<()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=……………7分23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()34820h a a -'=<, 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a >……………10分 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点004,2,x x ……………12分 21. 解：（Ⅰ）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a = 所以椭圆方程为：22184x y +=.……………4分 （Ⅱ）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ， 则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+， 由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++ ()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，……………6分 由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=， 所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，…………8分 又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+，……………11分 4OP OM ⋅=u u u r u u u u r ……………12分22. 解：（Ⅰ） 2y kx x y k =--=⎧⎪⎨⎪⎩(k 为参数，0k ¹)，……………… 2分 消去参数k ，得曲线C 的普通方程为()22y y x -=-……………… 4分整理得()()22110x y x +-=?……………… 5分 （Ⅱ）曲线C 的极坐标方程为2sin r q =，02<<r ……………… 8分 由4sin 5q =，得点Q 的极径85r =.……………… 10分23. 解：（Ⅰ）当1a =时，不等式为123x x -<，……………1分 平方得224489x x -+<， 则4241740x x -+<，得2144x <<，…………4分 即122x -<<-或122x <<， 所求不等式的解集112,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；……………5分 （Ⅱ）因为()()111121a a f x ax x ax x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-≥---=-+≥- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………8分 又()()()222212x g a x x x a x a ≤----==---，所以()()f x g x ≥．……………10分。
【附28套精选模拟试卷】四川省成都石室中学2020届高三上学期“一诊”模拟数学(理)试题及答案
四川省成都石室中学2020届高三上学期“一诊”模拟数学（理）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M，},{2aaN=则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1B．0 C．－1 D．1或－12.复数ii(113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A．(1,1)B．(1,1)-C．(1,1)-D．(1,1)--3.已知函数,,)21(,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=xxxxfx则=-)]4([ff（）A．4-B．41-C．4D．64.函数ln||||x xyx=的图像可能是（）5.实数yx,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0224yxyxyx,则yx-2的最小值为（）A．16B．4C．1D．126.下列说法中正确的是（）A．“5x>”是“3x>”必要条件B．命题“x R∀∈，210x+>”的否定是“x R∃∈，210x+≤”C．Rm∈∃，使函数)()(2Rxmxxxf∈+=是奇函数D．设p，q是简单命题，若p q∨是真命题，则p q∧也是真命题7.阅读程序框图，若输入4m=，6n=，则输出ia,分别是（）A．12,3a i==B．12,4a i==C．8,3a i==D．8,4a i==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=xxf的图像关于直线32π=x对称,它的周期是π,则（）A．)(xf的图象过点)21,0(B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a ρ、b ρ满足(1,0),(2,4)a b ==r r，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-u r,(2,0)n =r ，且m u r 与n r 所成角为3π.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.学根据上表：（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．20. (本小题满分13分)已知()||,=-+∈R f x x x a b x . （Ⅰ）当1,0a b ==时,判断()f x 的奇偶性,并说明理由； （Ⅱ）当1,1a b ==时,若5(2)4xf =,求x 的值； （Ⅲ）若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.21. (本小题满分14分)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f （Ⅰ）a e =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1=a 时，设函数xx f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，求证：42121)(x x x x +<一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6[ 7 8[ 9 10 答案CACBDBABC[A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 5 ； 12. -5 ；13. -1 ；14. 3 ； 15. ①③④ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-（舍）……………5分 所以2(1)22n a n n =+-⨯= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯Q 2cos22x π=-+其最小正周期为212ππ=，故首项为1；……………………………………………………7分 因为公比为3，从而13n n b -= ……………………………………………………………8分所以123n n n a b n --=-，故()()()011234323n n S n -=-+-++-L()2213213n n n +-=--211322n n n =++-⋅………………………………………………12分 17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）Θ (sin ,cos )m b A a a B =-u r 与向量(2,0)n =r 所成角为3π，∴3sin cos 1=-B B ∴1cos sin 3=+B A ，∴21)6sin(=+πB又Θπ<<B 0，∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B …………6分 （Ⅱ）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +πΘ30π<<A ，∴3233πππ<+<A 所以C A sin sin +的范围为3(,1]2. ……… …12分18. (本小题满分12分)解（I ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=………………………………………………………4分 （II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，54121(0)(1)(1),2348P ξ==--=g1344112121(1)(1)(1)(1),223238P C ξ==--+-=g g g g 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-=g g g g g33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=g g g g g g4334121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=g g g g4121(5)(),2324P ξ===g ……………………………………………………………10分所以随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3 4 5P14818 724 13 316 124 故117131801234548824316243E ξ=+++++=g g g g g g ………………………12分19. (本小题满分12分)解： （Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点.又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . …………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. …………5分Θ2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-u u u r，1(2,2,1)AC =-u u u u r设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩取1=y ，得)2,1,2(-=n . …………………… …6分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………7分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v .……………8分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-u u u r，1(1,0,1)DC =u u u u r . ………………………9分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r . ………………………10分即2112(2)12λ=-+⋅，解得1λ=，舍去3λ=. ……………………11分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………………12分 20. (本小题满分13分)解（Ⅰ）当1,0a b ==时,()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数∵(1)2,(1)0f f -=-=,∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数,也不是偶函数 ………………………………………………3分 （Ⅱ）当1,1a b ==时,()|1|1f x x x =-+, 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ 解得12121222222xx x +-===或（舍），或 所以2212log log (12)12x +==+-或1x =- ………………………………………………8分 （Ⅲ）当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||b x a x --<；即b b x a x x x+<<- 故(]max min ()(),0,1bb x a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1bx g b x +==+; 对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x-==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +- ②当10b -≤<,在(]0,1上,()2bh x x b x=-≥-, 当x b =-时,min ()2bx b x-=-,此时要使a 存在,必须有1210b b b ⎧+<-⎪⎨-≤<⎪⎩ 即1223b -≤<-,此时a 的取值范围是(1,2)b b +-综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-; 当1223b -≤<-时,a 的取值范围是(1,2)b b +-;当2230b -≤<时,a 的取值范围是∅ ………………………………………………13分 21. (本小题满分14分)解（Ⅰ）32y x =-………………………………………………3分（Ⅱ）x ax x x f +=)ln(2)(',2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立设x ax x u -+=1ln 2)(,2,012)('==-=x xx u ，2>x 时，单调减，2<x 单调增， 所以2=x 时，)(x u 有最大值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以20ea ≤<. ………………………………………………8分 （Ⅲ）当1=a 时，x x x x f x g ln )()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1,0(e上是减函数.因为11211<+<<x x x e，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+即)ln(ln 211211x x x x x x ++<,同理)ln(ln 212212x x x x x x ++<. 所以)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,421221≥++x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号. 又1),1,1(,2121<+∈x x ex x ，0)ln(21<+x x ,所以)ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++,所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+，所以：42121)(x x x x +<. ………………………………………………14分高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合20x A xx ⎧-⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2,3B =，则A B I =（ ）. A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3} 2.已知21zi i=--，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）.A ．132 B ．164 C ．364 D ．3324.命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．03a <<B ．0a <或3a ≥ C. 0a <或3a > D. 0a ≤或3a ≥ 5.函数lg xy x=的图像大致是（ ）.A ．B ． C. D ． 6.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan()4πα+=（ ）.A ．17-B ．7 C. 17D ．-7 7.已知向量满足a r 、b r ，满足2a =r ，1b =r ，()0a b b -•=r r r，那么向量a r 、b r 的夹角为（ ）.A ．30°B ．45° C.60° D ．90°8.已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点1F 作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率为（ ）.A ．3B ．51+ C. 2 D ．23+ 9.函数()cos 2f x x =的周期是T ，将()f x 的图像向右平移4T个单位长度后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）.A ．最大值为1，图像关于直线2x π=对称 B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 C.在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 10.在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为AB 中点，则线段CM 的长为（ ）. A ．2 B ．3 C.32 D ．2211.过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A B 、两点若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF =（ ）.A ．1B ．2 C.3 D ．412.在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且满足=b c ，1cos cos bBa A-=，若点O 是ABC∆外一点，(0)AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =，则平面四边形OACB 面积的最大值是（ ）.A ．4534+ B ．8534+ C.3 D ．452+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图所示的程序框图，输出的S = ．14.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．15.若非负实数,x y 满足：125y x x y ≥-⎧⎨+≤⎩，（2,1）是目标函数3(0)z ax y a =+>取最大值的最优解，则a 的取值范围为 ．16.若直角坐标系内A B 、两点满足：（1）点A B 、都在()f x 的图像上；（2）点A B 、关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”，点对(,)A B 与(,)B A 可看作一个“姊妹点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有 个． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，，12n n a S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT .18. 如图，在三棱柱111ABC AB C -中，AB ⊥平面11BB C C .且四边形11BB C C 是菱形，160BCC ∠=︒.（1）求证：1AC B C ⊥；（2）若1AC AB ⊥,三棱锥1A BB C -的体积为63，求ABC ∆的面积. 19. 二手经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手汽车当使用年数为9年时售价大约为多少？（b$、ˆa 小数点后保留两位有效数字）.（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑.参考数据：61187.4i ii x y==∑，6147.64i i i x z ==∑，621139i i x ==∑，621() 4.18i i x x =-=∑，621()13.96i i y y =-=∑，621()1.53ii z z =-=∑，ln1.460.38≈，ln0.71180.34≈-.20. 已知O 为坐标原点，圆22:(1)16M x y ++=，定点(1,0)F ，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的焦点分别为12B B 、，直线1B P 和2B P 分别与x 轴相交于C D 、两点，请问线段长之积OC OD •是否为定值？如果还请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C 坐标为（-1,0），设过点C 的直线l 与E 相交于A B 、两点，求ABD ∆面积的最大值.21. 已知函数，2()ln f x x a x =-+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当4a =时，记函数()()g x f x kx =+，设1212()x x x x <、是方程()0g x =的两个根，0x 是12x x 、的等差中项. ()g x '为函数()g x 的导函数，求证：()0g x '<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是6cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，且27AB =，求直线的倾斜角α的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x x =+-.（1）求关于x 的不等式()3f x <的解集；（2）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围.文科数学答案一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案AACBDCCABCAB二、填空题：13．88； 14．64+4π； 15．[6,)+∞； 16．2 三、解答题：17.解：（1）∵12n n a S +=+∴12(2)n n a S n =-+≥.两式作差得：11n n n n n a a S S a +--=-=， 所以：12n n a a +=，即12(2)n n na a n a +=≥. 又当1n =时：2124a S =+=，∴212a a =成立； 所以数列{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，∴1.12()n n n a a q n N -==∈.(2)由（1）可得：2log n n b a n ==，11111(1)1n n b b n n n n +==-++， ∴111111()()...()12231n T n n =-+-++-+, 1111nn n =-=++. 18.解：（1）证明：连结1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥. 因为四边形11BB C C 是菱形，所以11B C BC ⊥, 又因为1AB BC B =I ，所以1B C ⊥平面1ABC . 因为1AC ⊂平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）由AB ⊥平面11BB C C ，1BC BB =可知1AC AB =. 设菱形11BB C C 的边长为a ，因为160BCC ∠=︒，所以22221112cos1203B C BC BB BC BB a =+-••︒=.因为1AC AB ⊥，所以222113AC AB B C a +==，所以162AC AB a ==. 因为AB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂侧面11BB C C ，所以AB ⊥BC , 所以在Rt ABC ∆中，2222AB AC BC a =-=. 因为1111126sin12033223A BBC BB C V S AB a a a -∆==---︒-=, 解得：2a =，所以222AB a ==，2BC a ==. 所以1122222ABC S BC AB ∆=•=⨯⨯=. 19.解：（1）由已知： 4.5x =,2z =,6147.64i ii x z==∑，621()4.18ii x x =-=∑，621()1.53ii z z =-=∑，所以12211()()47.646 4.52 6.36 6.36()0.994.18 1.53 6.3954 6.40()()niii n niii i x x z z r x x z z ===---⨯⨯===-≈⨯--∑∑∑.z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高.（2）11222211()()47.646 4.52 6.36ˆ0.361396 4.517.5()nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====----⨯⨯====-≈--⨯--∑∑∑∑.ˆˆ20.36 4.5 3.62ay bx =-=+⨯=. 所以z 关于x 的线性回归直线方程为ˆ0.36 3.62ln z x y =-+=. 所以y 关于x 的回归方程为：0.36 3.62ˆx y a -+=，当9x =时，0.38ˆ 1.46ya =≈，所以预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价大约为1.46万元.（3）令ˆ0.7118y≥，即0.36 3.63ln0.71180.340.7118x e e e -+-≥== ,所以0.36 3.620.34x -+≥-，解得：1x ≤ .因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年.20.解：（1）依题意可得：圆M 的圆心坐标为(1,0)M -半径为4r =，QN QF =,则4QN QM QF QM R MF +=+==> .根据椭圆定义，E 是以(1,0)M -,(1,0)F 为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为：22221(0)x y a b a b+=>>,∴24,22,a c ==即2,1a c ==，∴223b a c =-=.∴E 的方程为：22143x y +=. （2）证明：设00(,)P x y 直线1B P 方程为：0033y y x x +=-， 令0y =得：0033C x x y =+，同理可得：0033D x x y =-，所以200200333333C D x x x OC OD x x y y y •=•=•=-+-. 因为点P 是E 上且不在坐标轴上的任意一点，所以2200143x y += 即22200031244(3)x y y =-=-,所以2200220034(3)433x y OC OD y y -•===--，因此OC OD •的定值为4. （3）当点C 的坐标为（-1,0）时，点(4,0)D -，3CD =, 设直线l 的方程为：1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ,联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 并整理得：22(34)690m y my +--=.解得：221222361361,3434m m m m y y m m -+++==++, 所以212212134m y y m +-=+.所以ABD ∆的面积,2212222213121181181223434311m m S CD y y m m m m ++=•-=-==+++++.∵20m ≥，211m +≥，∴13y x x=+在[1,)+∞上为增函数, ∴22113131411m m ++≥⨯+=+，所以∴18942S ≤=，所以当0m =即直线AB 的方程为：1x =-时，ABD ∆面积的最大值是92. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞,又22()2a x af x x x x-=-=- ,当0a ≤时；在()0,+∞上()f x 为减函数； 当0a >时；()0f x '=得：12a x =或22ax =-（舍）. 在(0,)2a 上()0f x '>，()f x 是增函数；在()2a+∞，上()0f x '<，()f x 是减函数； （2）∵2()4ln g x x x kx =-+，∴4()2g x x k x'=-+. 又1202x x x +=,2111122222()4ln 0()4ln 0g x x x kx g x x x kx ⎧=-+=⎨=-+=⎩. 两式相减得：121212124(ln ln )()()()0x x x x x x k x x --+-+-=,1212124(ln ln )()x x k x x x x -=+- .004()020g x x k x '<⇔-+<, 1212124(ln ln )80x x x x x x -⇔-<+-,11122121222(1)2()ln1x x x x x x x x x x --⇔<=++令12xt x =，即(0,1)t ∈,即证2(1)4ln 211t t t t -⇔<=-++. 令4()ln 2(01)1h t t t t =+-<<+,∴22214(1)()(1)(1)t h t t t t t -'=-=++. 当(0,1)t ∈时，()0h t '>，()h t 为增函数，∴()(1)0h t h <=. ∴4ln 21t t <-+成立，所以原不等式成立. 22.解析：（1）由6cos ρθ=得26cos ρθ=． ∵222x y ρ+=，cos x ρθ=,cos y ρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即223=9x y -+（）； （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 2)(sin )9t t αα-+=.化简得24cos 50t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、，则12124cos ,5.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =- ,221212()416cos 2027t t t t α=+-=+=.∴2216cos 8,cos 2αα==±, ∵[0,)απ∈∴4πα=或34π． 23.解：（1）()2f x <，即23x x +-<，原不等式可化为：0223x x ≤⎧⎨-+<⎩或0223x <<⎧⎨<⎩或2223x x ≥⎧⎨-<⎩，解得：102x -<≤或02x <<或522x ≤<， ∴不等式的解集为：1522x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； （2）()2(2)2f x x x x x =+-≥-=,故若关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，则2a >， ∴a 的范围是(2,)+∞.高考模拟数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．函数23log (21)y x =-的定义域是A ．[1，2]B ．[1,2)C ．1(,1]2D ．1[,1]22．“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如右图所示，则(2)y f x =--的图象为4．已知圆22:68210C x y x y ++++=，抛物线28y x =的准线为，设抛物线上任意一点P 到直线的距离为m ，则||PC m +的最小值为A ．5 B.41 C.41-2 D.4 5．2020年西安地区特长生考试有8所名校招生，若某3位同学恰好被其中的2 所名校录取，则不同的录取方法有A ．68种B ．84种C ．168种D ．224种 6．右图是计算10181614121++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条 件是A ．5>kB ．5<kC ．5≥kD ．6≤k7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有A ．201320140,0S S ><且B ．201320140,0S S <>且C ．201320140,0a a ><且D ．201320140,0a a <>且8．已知O,A,M,B 为平面上四点，且(1)OM OB OA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，实数(1,2)λ∈，则A. 点M 在线段AB 上B. 点B 在线段AM 上C. 点A 在线段BM 上D. O,A,M,B 一定共线9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中120,1A b ==o ，且ABC ∆面积为3,则sin sin a bA B+=+A ．21B ．2393C ．221 D. 2710．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80, 3.43-=-==．定义{}[]x x x =-，给出如下命题：① 使[]31=+x 成立的x 的取值范围是23x ≤<； ② 函数{}y x =的定义域为R ，值域为[]0,1；③ 23201420132013201320132014201420142014⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭L 1007；④ 设函数(){}()010x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩ ，则函数()1144y f x x =--的不同零点有3个.其中正确的命题有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置） 11．复数3i+41+2i的虚部是__ ___．12．若 11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是__ ___．13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．14．在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，…，依此类推，在凸n 边形n A A A Λ21中，不等式12111nA A A ++L +≥__ ___成立.15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为2,2212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (为参数)，圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C 到直线的距离为_________．B ．（几何证明选讲）如右图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =,则CE =_________．C ．（不等式选讲）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=672sin cos 22πx x x f . (Ⅰ)求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求实数a 的最小值. 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211,(1),1,2,.2n n a S n a n n n ==--=L (Ⅰ)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n S nn 1是等差数列，并求n S ； （Ⅱ）设233nn S b nn +=，求证：125.12n b b b ++L +< 18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点D 在棱AB 上．(Ⅰ) 若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ； （Ⅱ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）某市公租房的房源位于C B A ,,三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中 (Ⅰ)恰有2人申请A 片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列和期望.20．（本小题满分13分）已知函数()x e f x x=的定义域为(0,)+∞.（I ）求函数()f x 在[]1(0)m m m +>，上的最小值；（Ⅱ）对(0,)x ∈+∞任意，不等式2()1xf x x x λ>-+-恒成立，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形.（I ）求椭圆方程；（Ⅱ）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OP OM •为定值；（III ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.数学（理科） 参考答案与评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CABBCAABDC二、填空题11．-1； 12．2； 13．23； 14．; 15．A. 322； B ．512； C ．[3,1]-．三、解答题16．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666f x x x x x x πππ=--=+-- 311+sin 2cos 21+sin(2)226x x x π=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2.要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6x π+=22()62x k k Z πππ∴+=+∈ ，解得,6x k k Z ππ=+∈.故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. ………6分 （Ⅱ）由题意，3()sin(2)162f A A π=++=，化简得 1sin(2).62A π+=()π,0∈A Θ，132(,)666A πππ∴+∈，∴5266A ππ+=， ∴.3π=A在ABC ∆中，根据余弦定理，得bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π.由2=+c b ，知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a . ∴当1==c b 时，实数a 取最小值.1 ………12分17. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)证明：由)1(2--=n n a n S n n 知，当2≥n 时：)1()(12---=-n n S S n S n n n ，即)1()1(122-=---n n S n S n n n ，∴1111=--+-n n S n nS n n ，对2≥n 成立.又⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∴=+n S n n S 1,11111是首项为1，公差为1的等差数列. 1)1(11⋅-+=+n S n n n ，∴12+=n n S n . ………6分 （Ⅱ）)3111(21)3)(1(1323+-+=++=+=n n n n nn S b n n ，………8分 ∴)311121151314121(2121+-+++-+⋯+-+-=+⋯⋯++n n n n b b b n =125)312165(21<+-+-n n . ………12分 18．（本小题满分12分）解 (Ⅰ) 证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ． 因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，D 是AB 中点，所以 侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE// AC 1．因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ，所以 AC 1∥平面B 1CD ．……… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知AC ⊥BC ，如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ． 则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A 1 (0, 4, 4)，B 1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（0a >，0b >），因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =，即13BD BA =u u u r u u u r ．所以2a =，43b =，4(1,,0)3BD =-u u u r ，1(3,0,4)CB =u u u r, ,4(2,,0)3CD =u u u r ．平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =u u r ． 设平面B 1 CD 的法向量为2(,,1)n x y =u u r，由120CB n ⋅=u u u r u u r，20CD n ⋅=u u u r u u r ， 得 3404203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以 43x =-，2y =，24(,2,1)3n =-u u r .所以 12123cos 61n n n n θ⋅==u u r u u r u u r u u r ． 所以二面角1B CD B --的余弦值为36161．……… 12分19. （本小题满分12分）解 (Ⅰ)所有可能的申请方式有43种, 恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242•C 种,从而恰有2人申请A 片区房源的概率为278324224=•C ， ……… 5分 （Ⅱ）ξ的所有可能值为321，，， 27133)1(4===ξP ,27143)()2(42224341223=+==C C C C C P ξ，943)3(4122413===C C C P ξ，综上知, ξ的分布列为从而有2765943271422711=⨯+⨯+⨯=ξE . ……… 12分20. （本小题满分13分）……… 1分……… 3分（I ）, ……… 5分……… 7分……… 9分，……… 13分21．（本小题满分14分）解：（I ）222,,2c b a c b a +===，22=∴b ，∴椭圆方程为12422=+y x ,………4分（Ⅱ）)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，则),2(),,(011y OM y x OP ==→→,直线CM ：042y y y x -=-，即00214y x y y +=，代入椭圆4222=+y x 得042121)81(2020220=-+++y x y x y ,8)8(2,8)8(4)2(2020120201+--=∴+-=-y y x y y x Θ，882001+=∴y y y ，)88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP ，48324888)8(42020********=++=+++--=⋅∴→→y y y y y y OM OP （定值）,………10分 （III ）设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥,, ………14分高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2020届四川省成都市一诊数学(理科)试卷及答案
90) ，[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 ( )
第 6页（共 19页）
A．72.5
B．75
C．77.5
D．80
【解答】解：由频率分布直方图得：
[50 ， 70) 的频率为： (0.010 0.030) 10 0.4 ，
[70 ， 80) 的频率为： 0.040 10 0.4 ，
③ x 的取值范围为 (0, 4 2 2) ；
④三棱锥 P ABC 体积的最大值为 1 ． 3
第 2页（共 19页）
则正确的结论的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
x y 40
13．（5
分）已知实数
x
，
B． 5 3
C． 5 2
D． 5 2
4．（5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名
同学的得分都在[50 ，100] 内，按得分分成 5 组：[50 ， 60) ，[60 ， 70) ，[70 ，80) ，[80 ，
90) ，[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 ( )
2020 年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若复数 z1 与 z2 3 i(i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1 (
)
A． 3i
B． 3 i
2020届四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学(理科)(解析版)
2020年四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，∴A∩B={x∈N|1＜x＜5}={2，3，4}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由iz=1+i，得，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：如图，根据题意，，∴=．故选：A．根据题意进行数量积的计算即可．本题考查了向量数量积的计算公式，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：（x-y）6的通项为，故（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为．故选：B．先求得（x-y）6的通项，进而求出展开式中x3y3的系数．本题考查利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1，a5=4a3，∴q2=4，解得q=±2．当q=2时，成立；当q=-2时，a1+a2+a3=1-2+（-2）2=3≠7，不成立，舍去．∴q=2．故选：B．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：对于A，∵e-2＜e1，∴A错误；对于B：，∴B错误；对于C：为偶函数，且当x∈（0，+∞）时，单调递增，故C正确；对于D，反例a=2，b=-1，可得=＜0，=＞0，．所以D不正确，故选：C．利用反例判断A、B、D不正确，函数的单调性以及函数的极限判断C的正误即可．本题考查没听到真假的判断与应用，考查指数函数三角函数，以及函数奇偶性、单调性的应用，是基本知识的考查．7.【答案】A【解析】解：∵，如图，取点M为BC的中点，则AD1∥MF，故AEFD1共面，点E在面AEFD1面外，故直线D1E，AF异面．故选：A．作图，通过计算可知D1E≠AF，取点M为BC的中点，则AEFD1共面，显然点E不在面AEFD1内，由此直线D1E，AF异面．本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：，∴a=1，因为x＞0，所以当0＜x＜3时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，3]上递减，所以，∴1＜m≤2．故选：C．求出导函数，利用切线的斜率，求出a，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，两人后4局的比赛输赢情况只能为：①输赢赢赢，②赢输赢赢，故P=+=，根据题意，后4局输赢情况只能为：①输赢赢赢②赢输赢赢，根据相互独立事件的概率乘法计算即可．本题考查了相互独立事件的概率乘法，考查了分步乘法原理，主要考查分析解决问题的能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=，有e x-1-x≠0，则有x≠1，即函数的定义域为{x|x≠1}，设t=e x-1-x，其导数t′=e x-1-1，易得在区间（-∞，1）上，t′＜0，t=e x-1-x为减函数，在区间（1，+∞）上，t′＞0，t=e x-1-x为增函数，则t=e x-1-x有最小值t x=1=e0-1=0，则有t≥0，对于f（x）=，必有f（x）＞0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}且f（x）＞0，分析选项可得意D符合；故选：D．根据题意，先分析函数的定义域，进而设t=e x-1-x，求出其导数，分析t的最小值，分析可得f（x）＞0，据此分析选项即可得答案．本题考查函数的图象分析，注意分析函数值的符号，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：化圆C：x2+y2-2x-3=0为（x-1）2+y2=4，连接AC，BC，设∠CAB=θ（0＜θ＜），连接PC与AB交于点D，∵AC=BC，△PAB是等边三角形，∴D是AB的中点，得PC⊥AB，在圆C：（x-1）2+y2=4中，圆C的半径为2，|AB|=4cosθ，|CD|=2sinθ，∴在等边△PAB中，|PD|=|AB|=，∴|PC|=|CD|+|PD|==≤4．故选：C．化圆的一般方程为标准方程，画出图形，设∠CAB=θ（0＜θ＜），连接PC与AB交于点D，把|PD|、|CD|用含有θ的代数式表示，再由三角函数求最值．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为函数f（x）定义域为R，而且f（-x）=cos|2x|+|sin x|=f（x），所以f（x）是偶函数，①正确；因为函数y=cos|2x|的最小正周期为π，y=|sin x|的最小正周期为π，所以f（x）的最小正周期为π，②正确；f（x）=cos|2x|+|sin x|=cos2x+|sin x|=1-2sin2x+|sin x|=-2（|sin x|-）2+，而|sin x|∈[0，1]，所以当|sin x|=1时，f（x）的最小值为0，③正确；由上可知f（x）=0可得1-2sin2x+|sin x|=0，解得|sin x|=1或|sin x|=-（舍去）因此在[0，2π]上只有x=或x=，所以④不正确．根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假．本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题．13.【答案】n【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a2+a3=5，∴2+3d=5，解得d=1．则a n=1+n-1=n．故答案为：n．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】0.4【解析】解：不买猪肉的30人，不买肉的10人，故买了猪肉的70人，猪肉和其它肉都买的30人，故只有买猪肉的40人，所以答案为0.4．故答案为：0.4．根据题意，利用集合思想，得到只有买猪肉的40人，即可算出答案．本题主要考查集合元素关系的求解，根据条件建立方程是解决本题的关键．15.【答案】1【解析】解：双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，BO=c=OF2，双曲线C：x2-=1的渐近线y=x，∴∠BOF2=60°，∴△BF2O为等边三角形，故∠BF2O=60°，所以F2B∥OA，∴A为F1B的中点，即λ=1．故答案为：1．通过双曲线的渐近线的斜率，判断三角形的形状，然后转化求解λ的值即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．16.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）【解析】解：当a≤0时，不满足题意，当0＜a＜2时，要使函数函数f（x）恰有2个零点，即⇒，当a=2时，满足题意，当a＞2时，a2＞2a＞4，要使函数函数f（x）恰有2个零点，即e-a≤0．所以a≥e，综上所述：实数a的取值范围是[，1）∪{2}∪[e，+∞）．故答案为：[，1）∪{2}∪[e，+∞）．分四种情况讨论当a≤0时，当0＜a＜2时，当a=2时，当a＞2时，图象使得符合函数f（x）有两个零点．本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
【附加15套高考模拟试卷】四川省石室中学2020届高三一诊模拟数学(理)试题含答案
四川省石室中学2020届高三一诊模拟数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是一个几何体的三视图，分别为直角三角形，半圆，等腰三角形，该几何体由一平面将一圆锥截去一部分后所得，且体积为，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳B ．天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高C ．北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降D ．厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大3．定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则1(lg9lg 2)3294100*(log 8?log 3) 的值为（ ）A ．1316 B ．92 C ．4D ．64．已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．50,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．52⎡⎢⎣⎦C ．5522⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．51,2⎛ ⎝⎭ 5．已知函数()32sin f x x x =-+，若(23a f =，()2b f =--，()2log 7c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30o ，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．13C ．12D ．37．函数f(x)=ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 （ ） A ．(3，4)B ．(2，e)C ．(1，2)D ．(0，1)8．已知双曲线221:14x C y -=，双曲线22222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2,O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线C 1,C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是 （ ） A ．32B ．4C ．8D ．169．已知锐角ABC △3BC ，且3,4AB AC ==,则BC =（ ） A 37B ．6C ．5D 1310．已知平面向量()2,a x =-v，()1,3b =r ，且()ab b -⊥r r r ，则实数x 的值为（ ）A ．23-B ．23C ．43D ．6311．将向量1a u r =(1x ，1y )，2a u u r =(2x ，2y )，…n a u u r =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a u u r }，并定义向量列{n a u u r}的前n 项和12n n S a a a u u r u r u u r u u r=++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。
四川省成都市2020届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题及答案word完整版
成都市2020届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 1与z 2＝－3－i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3＋i D ．3－i2．已知集合A ＝{－1，0，m }，B ＝{1，2}。
若A ∪B ＝{－1，0，1，2}，则实数m 的值为( ) A ．－1或0 B ．0或1 C ．－1或2 D ．1或2 3．若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan2θ＝( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.524．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果显示这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A ．72.5B ．75C ．77.5D ．805．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝3a 3，则S 9S 5＝( )A.95B.59C.53D.2756．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n D ．若m ⊥α，n ∥β，且α⊥β，则m ⊥n7．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为( )A ．25B ．－25C ．5D ．－58．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图像向左平移π6个单位长度，得到函数f (x )的图像，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫8x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫8x －π3 9．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点。
2020年四川省成都市高考数学一诊考试(理科)试题Word版含解析
2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA=（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．35．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣207．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣311．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣112．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an }满足al=﹣2，an+1=2an+4．（I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an |}的前n项和Sn．18．（12分）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D 的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G 为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F 且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；（I）若直线l1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A=（）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]【分析】求出集合A，利用补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，A={x|﹣1≤x≤2}，则∁U故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”．故选：A．【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，属于基础题．4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，∴|PF1|=13，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，∵c=6，∴e==，故选C．【点评】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由α的范围和三角函数值的符号判断出cosα﹣sinα的符号，由条件、平方关系、二倍角的正弦函数求出cosα﹣sinα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，∵sin2α=﹣，∴cosα﹣sinα=﹣===，故选B．【点评】本题考查二倍角的正弦函数，平方关系，以及三角函数值的符号，属于基础题．6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣20【分析】利用二项式定理的展开式即可得出．【解答】解：（x+1）5（x﹣2）=（x﹣2）的展开式中x2的系数=﹣2=﹣15．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π【分析】由四棱锥的三视图知该四棱锥是四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，从而该四棱锥的外接球就是以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出该四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由四棱锥的三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，∴该四棱锥的外接球就是以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴该四棱锥的外接球的半径R==，∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四棱锥、几何体的三视图的性质及构造法的合理应用．8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x+）的图象；再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin（x﹣+）=2sin（x+）的图象的图象的图象，令x+=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z．令k=0，可得g（x）图象的一条对称轴方程是x=，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A【点评】本题考查了圆的有关性质以及向量的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣1【分析】由f（x）是偶函数说明函数图象关于y轴对称，由f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），得到x=﹣1是函数的对称轴，画出函数f（x）的图象，只要找出函数f（x）的图象与y=|cosπx|在[﹣，]上内交点的情况，根据对称性即可求出答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∴x=﹣1是函数的对称轴，分别画出y=f（x）与y=|cosπx|在[﹣，]上图象，交点依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，∴x1+x7=﹣2，x2+x6=﹣2，x3+x5=﹣2，x4=﹣1，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=﹣2×3﹣1=﹣7，故选：A【点评】本题考查了函数与方程的综合应用以及函数图象的对称性与奇偶性等知识点，数形结合是解决本题的关键，属中档题12．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8【分析】利用曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，求出t的值，则tln的值可求．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），y′=•t，x=，y′=，∴切线方程为y﹣2=（x﹣）设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=﹣1，代入﹣1﹣2=（ln﹣1﹣），解得t=4，∴tln=4lne2=8．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ﹣2 ．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===+i的虚部为﹣1，则=﹣1，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积==．故答案为．【点评】此题考查了梯形的面积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．【分析】由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率，数形结合得到的最小值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率联立，解得A（1，），∴的最小值为=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC 中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD 中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，求∠ACB 的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4． （I ）证明数列{a n +4}是等比数列； （Ⅱ）求数列{|a n |}的前n 项和S n ．【分析】（I ）数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，a n+1+4=2（a n +4），即可得出．（II ）由（I ）可得：a n +4=2n ，可得a n =2n ﹣4，当n=1时，a 1=﹣2；n ≥2时，a n ≥0，可得n ≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n ．【解答】（I ）证明：∵数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，∴a n+1+4=2（a n +4），∴数列{a n +4}是等比数列，公比与首项为2．（II ）解：由（I ）可得：a n +4=2n ，∴a n =2n ﹣4，∴当n=1时，a 1=﹣2；n ≥2时，a n ≥0， ∴n ≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n =2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n ﹣4） =﹣4（n ﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．∴S n =2n+1﹣4n+2．n ∈N *．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•云南一模）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D 的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，甲校的合格率P1乙校的合格率P==96%．2可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=0+1×+2×+3×=．【点评】本题主要考查了超几何分布列的性质及其数学期望、频率分布直方图的性质、茎叶图的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G 为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）若λ=2，证明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可证明：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的一个法向量，利用直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，建立方程，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，∵G为BD中点，∴DG=2GH．图2中，∵=2，∴△PDH中，GR∥PD，∴GR⊥平面PEF；（Ⅱ）解：由题意，建立如图所示的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），∵=λ，∴R（，，0），∴=（，﹣，0），∵=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣4），设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（2，2，1），∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，∴=，∴λ=，∴存在正实数λ=，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F 与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．且斜率为k的直线l1（I）若直线l的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．【分析】（I ）由题意，直线l 1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）直线y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得k AM =k MN ，A ，M ，N 三点共线．【解答】解：（I ）由题意可知：右焦点F （1，0），E （5，0），M （3，0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由直线l 1的倾斜角为，则k=1，直线l 1的方程y=x ﹣1，即x=y+1， 则，整理得：9x 2+8﹣16=0．则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，△ABM 的面积S ，S=•丨FM 丨•丨y 1﹣y 2丨=丨y 1﹣y 2丨==，∴△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）证明：设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1）， 则，整理得：（4+5k 2）x 2﹣10k 2x+5k 2﹣20=0．则x 1+x 2=，x 1x 2=，直线BN ⊥l 于点N ，则N （5，y 2）， 由k AM =，k MN =，而y 2（3﹣x 1）﹣2（﹣y 1）=k （x 2﹣1）（3﹣x 1）+2k （x 1﹣1）=﹣k[x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+5]， =﹣k （﹣3×+5），=0， ∴k AM =k MN ，∴A ，M ，N 三点共线．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于a＞，令h（x）=，x≥0，唯一转化为求出a＞h（x），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的最小值min即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=（x+1）ln（x+1）+（1﹣a）x+2﹣a，（x＞0），∴g′（x）=ln（x+1）+2﹣a，当2﹣a≥0即a≤2时，g′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，此时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，当2﹣a＜0即a＞2时，由g′（x）＞0，得x＞e a﹣2﹣1，由g′（x）＜0，得0＜x＜e a﹣2﹣1，此时，g（x）在（0，e a﹣2﹣1）递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）递增，综上，a≤2时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间；a＞2时，g（x）在（0，e a﹣2﹣1）递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）递增，（Ⅱ）由f（x）＜0，得（x+1）a＞xln（x+1）+x+2，当x≥0时，上式等价于a＞，令h（x）=，x≥0，，由题意，存在x≥0，使得f（x）＜0成立，则只需a＞h（x）min∵h′（x）=，令u （x ）=ln （x+1）+x ﹣，显然u （x ）在[0，+∞）递增，而u （0）=﹣＜0，u （1）=ln2﹣＞0，故存在x 0∈（0，1），使得u （x 0）=0，即ln （x 0+1）=﹣x 0，又当x 0∈[0，x 0）时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减，当x ∈[x 0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，故x=x 0时，h （x ）有极小值（也是最小值），故h （x ）min =，故a ≥=，x 0∈（0，1），而2＜＜3，故a 的最小整数值是3．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α≠）的直线l 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ﹣4sin θ=0．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P （1，0）．若点M 的极坐标为（1，），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t ，能求出直线l 的普通方程；由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l 的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法及应用，考查两点间距离公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，涉及基本不等式的性质与应用，关键是正确求出函数f（x）的最小值。
2020届四川省成都市高三第一次诊断考试 数学(理)
2020届四川省成都市高三第一次诊断考试数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷(选择题)1至2页，第II 卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 1与z 2＝－3－i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1＝ (A)－3－i (B)－3＋i (C)3＋i (D)3－i2.已知集合A ＝{－l ，0，m}，B ＝{l ，2}。
若A ∪B ＝{－l ，0，1，2}，则实数m 的值为 (A)－l 或0 (B)0或1 (C)－l 或2 (D)l 或23.若sin )θπθ=-，则tan2θ＝(A)3-(B)3 (C)2- (D)24.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。
则这100名同学的得分的中位数为(A)72.5 (B)75 (C)77.5 (D)805.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0，若a 5＝3a 3，则95S S = (A)95 (B)59 (C)53 (D)2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是 (A)若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n (B)若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥n (C)若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n (D)若m ⊥α，n ∥β且α⊥β，则m ⊥n7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为 (A)25 (B)－25 (C)5 (D)－5 8.将函数y ＝sin(4x －6π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为(A)f(x)＝sin(2x ＋6π) (B)f(x)＝sin(2x －3π) (C)f(x)＝sin(8x ＋6π) (D)f(x)＝sin(8x －3π)9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点。
第6天——《小题训练计划》(三)名校模拟—2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷(理科)
2020年高考备考资料——《临考一个月训练计划》第六天——《小题训练计划》（三）——名校模拟2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）一．选择题：1．已知集合{|1}A x N x =∈>，{|5}B x x =<，则(A B =I ) A ．{|15}x x << B ．{|1}x x >C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5} 2．已知复数z 满足1iz i =+，则z 的共轭复数(z = ) A ．1i + B ．1i - CD ．1i --3．若等边ABC ∆的边长为4，则(AB AC =u u u r u u u rg )A ．8B ．8-C ．D ．-4．在6(21)()x x y --的展开式中33x y 的系数为( )A ．50B ．20C ．15D ．20-5．若等比数列{}n a 满足：11a =，534a a =，1237a a a ++=，则该数列的公比为( )A ．2-B ．2C ．2±D ．126．若实数a ，b 满足||||a b >，则( )A ．a b e e >B ．sin sin a b >C ．11a b a b e e e e+>+ D ．))ln a ln b >7．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( )A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交C ．1DE AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交8．设函数21()92f x x alnx =-，若()f x 在点(3，f （3）)的切线与x 轴平行，且在区间[1m -，1]m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．2m „B ．4m …C ．12m <„D ．03m <„9．国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20:20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29:29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20:20，且甲发球的情况下，甲以23:21赢下比赛的概率为( )A ．18B ．320C ．950D ．72010．函数11()x f x e x-=-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为( ) A 10B ．3C ．4D ．2612．设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为π；③()f x 的最小值为0；④()f x 在[0，2]π上有3个零点． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．②③④二．填空题：13．若等差数列{}n a 满足：11a =，235a a +=，则n a = ．14．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 ．15．已知双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于A ，B 两点，若120F B F B =u u u r u u u u r g ，1F A AB λ=u u u r u u u r，则λ= ．16．若函数2,1()(2)(),1x e a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩…恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：1．已知集合{|1}A x N x =∈>，{|5}B x x =<，则(A B =I ) A ．{|15}x x <<B ．{|1}x x >C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解析】：Q 集合{|1}A x N x =∈>，{|5}B x x =<， {|15}{2A B x N x ∴=∈<<=I ，3，4}．故选：C ．2．已知复数z 满足1iz i =+，则z 的共轭复数(z = )A ．1i +B ．1i -C ．2D ．1i --【解析】：由1iz i =+，得21(1)()1i i i z i i i ++-===--，∴1z i =+．故选：A ．3．若等边ABC ∆的边长为4，则(AB AC =u u u r u u u rg )A ．8B ．8-C ．83D ．83-【解析】：如图，根据题意，||||4,,60AB AC AB AC BAC ==<>=∠=︒u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴1||||cos604482AB AC AB AC =︒=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r g ．故选：A ．4．在6(21)()x x y --的展开式中33x y 的系数为( )A ．50B ．20C ．15D ．20-【解析】：6()x y -的通项为66(1)(06,)rr r r C x y r r Z --∈剟， 故6(21)()x x y --的展开式中33x y 的系数为3361(1)20C -⨯⨯-=．故选：B ． 5．若等比数列{}n a 满足：11a =，534a a =，1237a a a ++=，则该数列的公比为( )A ．2-B ．2C ．2±D ．12【解析】：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =Q ，534a a =，24q ∴=，解得2q =±．当2q =时，212317a a a q q ++=++=成立；当2q =-时，212312(2)37a a a ++=-+-=≠，不成立，舍去．2q ∴=．故选：B ． 6．若实数a ，b 满足||||a b >，则( ) A ．a b e e >B ．sin sin a b >C ．11a b a b e e e e+>+D ．22(1)(1)ln a a ln b b +>+【解析】：对于A ，21e e -<Q ，A ∴错误； 对于:sin()sin 26B ππ-<，B ∴错误；对于1:()x xC f x e e =+为偶函数，且当(0,)x ∈+∞时，单调递增，故C 正确； 对于D ，反例2a =，1b =-，可得2(1)(52)0ln a a ln +-=-<，2(1)(21)0ln b b ln +-=+>，22(1)(1)ln a a ln b b +-<+-．所以D 不正确，故选：C ．7．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( )A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交C ．1DE AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交【解析】：Q 22221111117,12D E D B B E AF AC CF D E =+==+=≠，如图，取点M 为BC 的中点，则1//AD MF ，故1AEFD 共面，点E 在面1AEFD 面外，故直线1D E ，AF 异面．故选：A ．8．设函数21()92f x x alnx =-，若()f x 在点(3，f （3）)的切线与x 轴平行，且在区间[1m -，1]m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．2m „B ．4m …C ．12m <„D ．03m <„【解析】：9(),(3)0af x x f x''=-=，1a ∴=， 因为0x >，所以当03x <<时，()0f x '<，即()f x 在(0，3]上递减， 所以0113m m <-⎧⎨+⎩„，12m ∴<„．故选：C ．9．国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20:20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29:29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20:20，且甲发球的情况下，甲以23:21赢下比赛的概率为( )A ．18B ．320C ．950D ．720【解析】：根据题意，两人后4局的比赛输赢情况只能为：①输赢赢赢，②赢输赢赢，故1311113132522225220P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选：B ．10．函数11()x f x e x-=-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】：根据题意，函数11()x f x e x-=-，有10x e x --≠，则有1x ≠，即函数的定义域为{|1}x x ≠，设1x t e x -=-，其导数11x t e -'=-，易得在区间(,1)-∞上，0t '<，1x t e x -=-为减函数，在区间(1,)+∞上，0t '>，1x t e x -=-为增函数，则1x t e x -=-有最小值0110x t e ==-=，则有0t …，对于11()x f x e x-=-，必有()0f x >，则函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠且()0f x >，分析选项可得意D 符合；故选：D ．11．设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为( ) A 10B ．3C ．4D ．26【解析】：化圆22:230C x y x +--=为22(1)4x y -+=，连接AC ，BC ，设(0)2CAB πθθ∠=<<，连接PC 与AB 交于点D ，AC BC =Q ，PAB ∆是等边三角形，D ∴是AB 的中点，得PC AB ⊥，在圆22:(1)4C x y -+=中，圆C 的半径为2，||4cos AB θ=，||2sin CD θ=，∴在等边PAB ∆中，3|||23PD AB θ==， ||||||2sin 23cos 4sin()43PC CD PD πθθθ∴=+=+=+„．故选：C ．12．设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为π；③()f x 的最小值为0；④()f x 在[0，2]π上有3个零点． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．②③④【解析】：因为函数()f x 定义域为R ，而且()cos |2||sin |()f x x x f x -=+=，所以()f x 是偶函数，①正确；因为函数cos |2|y x =的最小正周期为π，|sin |y x =的最小正周期为π，所以()f x 的最小正周期为π，②正确；2219()cos |2||sin |cos2|sin |12sin |sin |2(|sin |)48f x x x x x x x x =+=+=-+=--+，而|sin |[0x ∈，1]，所以当|sin |1x =时，()f x 的最小值为0，③正确；由上可知()0f x =可得212sin |sin |0x x -+=，解得|sin |1x =或1|sin |2x =-（舍去）因此在[0，2]π上只有2x π=或32x π=，所以④不正确．故选：B ．二．填空题：13．若等差数列{}n a 满足：11a =，235a a +=，则n a = n ． 【解析】：设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =Q ，235a a +=， 235d ∴+=，解得1d =．则11n a n n =+-=．故答案为：n ．14．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 0.4 ．【解析】：不买猪肉的30人，不买肉的10人，故买了猪肉的70人，猪肉和其它肉都买的30人，故只有买猪肉的40人，所以答案为0.4．故答案为：0.4．15．已知双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于A ，B 两点，若120F B F B =u u u r u u u u r g ，1F A AB λ=u u u r u u u r，则λ= 1 ．【解析】：双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，2BO c OF ==，双曲线22:13yC x -=的渐近线3y x =，260BOF ∴∠=︒，∴△2BF O 为等边三角形，故260BF O ∠=︒，所以2//F B OA ，A ∴为1F B 的中点，即1λ=．故答案为：1．16．若函数2,1()(2)(),1x e a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩…恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 1[2，1){2}[e U U ，)+∞ ．【解析】：当0a „时，不满足题意，当02a <<时，要使函数函数()f x 恰有2个零点，即2012e a a a->⎧⎨<⎩„⇒112a <„， 当2a =时，满足题意，当2a >时，224a a >>，要使函数函数()f x 恰有2个零点，即0e a -„．所以a e …，综上所述：实数a 的取值范围是1[2，1){2}[e U U ，)+∞．故答案为：1[2，1){2}[e U U ，)+∞．。
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2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）
一．选择题：
1．（5分）已知集合{|1}A x N x =∈>，{|5}B x x =<，则(A B = )
A ．{|15}x x <<
B ．{|1}x x >
C ．{2，3，4}
D ．{1，2，3，4，5}
2．（5分）已知复数z 满足1iz i =+，则z 的共轭复数(z = )
A ．1i +
B ．1i -
C
D ．1i --
3．（5分）若等边ABC ∆的边长为4，则(AB AC = )
A ．8
B ．8-
C ．
D ．-4．（5分）在6(21)()x x y --的展开式中33x y 的系数为( ) A ．50
B ．20
C ．15
D ．20-
5．（5分）若等比数列{}n a 满足：11a =，534a a =，1237a a a ++=，则该数列的公比为(
) A ．2-
B ．2
C ．2±
D ．
1
2
6．（5分）若实数a ，b 满足||||a b >，则( ) A ．a b e e > B ．sin sin a b >
C ．11a b
a b
e e e e +
>+
D ．))ln a ln b >
7．（5分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =
，11
2
CF CC =，则( ) A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交
8．（5分）设函数2
1()92
f x x alnx =
-，若()f x 在点(3，f （3）)的切线与x 轴平行，且在区间[1m -，1]m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．2m …
B ．4m …
C ．12m <…
D ．03m <…
9．（5分）国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20:20时，获胜的一方需超过对方2
分才算取胜，直至双方比分打成29:29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为
1
2
，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20:20，且甲发球的情况下，
甲以23:21赢下比赛的概率为( ) A ．1
8
B ．
320
C ．
950
D ．
720
10．（5分）函数1
1
()x f x e x
-=
-的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
11．（5分）设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为( )
A B ．C ．4
D ．12．（5分）设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为π；
③()f x 的最小值为0；④()f x 在[0，2]π上有3个零点． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．②③④
二．填空题：
13．（5分）若等差数列{}n a 满足：11a =，235a a +=，则n a = ．
14．（5分）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 ．
15．（5分）已知双曲线2
2
:13
y C x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 分别与两
条渐进线交于A ，B 两点，若120F B F B =，1F A AB λ=，则λ= ．
16．（5分）若函数2
,1
()(2)(),1x e a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩
…恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 三．解答题：
17．（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为
X 元，求X 的分布列和数学期望()E X ．
18．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2
)cos 2
B A
C +=． （Ⅰ）求sin B ；
（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且
60ADC ∠=︒，11AA CD ==，1AD =
（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角1D AD C --的余弦值．。