八年级数学竞赛例题专题讲解：多边形的边与角

八年级数学竞赛例题专题讲解：多边形的边与角

阅读与思考

主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理,其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．

多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决,将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略,转化的方法是连对角线或向外补形．

多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的,但外角和却总是不变的,所以,我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”,把内角问题转化为外角问题来处理,这是解多边形相关问题的常用技巧． 例题与求解

【例1】两个凸多边形,它们的边长之和为12,对角线的条数之和为19,那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：设两个凸多边形分别有m ,n 条边,分别引出

(3)2

m m -,(3)2n n -条对角线,由此得

m ,n 方程组．

【例2】凸边形有且只有3个钝角,那么n 的最大值是（ ） A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解题思路：运用钝角、锐角概念,建立关于n 的不等式,通过求解不等式逼近求解．

【例3】凸n 边形除去一个内角外,其余内角和为2570°,求n 的值．

（山东省竞赛试题）

解题思路：利用n 边形内角和公式,以及边数n 为大于等于3的自然数这一要求,推出该角大小,进而求出n 的值．

【例4】如图,凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等,边AB ,BC ,CD ,DE ,EF ,FG 的长分为7,4,2,5,6,2,求该八边形的周长． （全国通讯赛试题）

解题思路：该八边形每一内角均为135°,每一外角为45°,可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．

【例5】如图所示,小华从M 点出发,沿直线前进10米后,向左转20°,再沿直线前进10米后,又向左转20°,…这样走下去,他第一次回到出发地M 时,行走了多少米？

解题思路：试着将图形画完,你也许就知道答案了．

能力训练

A 级

1．如图,凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．

C

D E

F G

H

M

（重庆市竞赛试题）

2．如图,凸四边形ABCD 的四边AB ,BC ,CD 和DA 的长分别为3,4,12和13,∠ABC ＝90°,则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．

3．如图,∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．

4．如图,ABCD 是凸四边形,则x 的取值范围是＿＿＿．.

5．一个凸多边形的每一内角都等于140°,那么,从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）

A ．9条

B ．8条

C ．7条

D ．6条

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

6．—个凸n 边形的内角和小于1999°,那么n 的最大值是（ ）

（全国初中联赛试题）

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

7．如图,是一个正方形桌面,如果把桌面砍下一个角后,桌面还剩（ ）个角． A ．5个

B ．5个或3个

C ．5个或3个或4个

D ．4个

8．—个凸n 边形,除一个内角外,其余1n 个内角的和为2400°,则n 的值是（ ） A ．15

B ．16

C ．17

D ．不能确定

9．如图,在四边形ABCD 中,AB ＝AD ＝8,∠A ＝60°,∠D ＝150°,四边形周长为32,求BC 和DC 的长．

A B C

D E F

G

第1题

A

B

C

D

第2题

A B

D

E

F G

第3题

A

B

C

D

24x

第4题

第7题

10．—个凸n 边形的最小内角为95°,其他内角依次增加10°,求n 的值．

（“希望杯”邀请赛试题）

11．平面上有A ,B ,C ,D 四点,其中任何三点都不在一直线上,求证：在△ABC ,△ABD ,△ACD ,△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°．

（江苏省竞赛试题）

12．我们常见到如图那样图案的地面,它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的,这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：

（1）像上面那样铺地面,能否全用正五边形的材料,为什么？

（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．

（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．

（安徽省中考试题）

A

B C

D

B 级

1．一个正m 边形恰好被正n 边形围住（无重叠、无间隙,如图所示是m ＝4,n ＝8的情况）,若m ＝10,则n ＝＿＿＿＿．

2．如图,六边形ABCDEF 中,∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ,且AB ＋BC ＝11,F A -CD ＝3,则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．

（北京市竞赛试题）

3．如图,延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1,∠B 2,∠B 3,∠B 4,∠B 5,它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交,则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．

（第十二届“希望杯”邀请赛试题）

4．如图,在四边形ABCD 中,AB

＝4BC ＝1,CD ＝3,∠B ＝135°,∠C ＝90°,则∠D ＝（ ） A ．60°

B ．67.5°

C ．75°

D ．不能确定

（重庆市竞赛试题）

5．如图,已知O 是四边形ABCD 内一点,OA ＝OB ＝OC ,∠ABC ＝∠ADC ＝70°,则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）

A ．70°

B ．110°

C ．140°

D ．150°

6．在一个多边形中,除了两个内角外,其余内角之和为2002°,则这个多边形的边数为（ ）

第1题

A B

C

D E

F 第2题

1A 1

B 2

A 2

B 3

B 4

5

B 3

A 4

A 5A 第3题

A

B

C

D

第4题

O

A

B

C

D

第5题