《用配方法解二次函数的相关问题》练习教学内容

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初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

《二次函数的图象和性质》教学设计执教者学情分析一、学生的年龄特点和认知特点初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.二、学生已具备的基本知识与技能学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.效果分析这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。

通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数图像的性质。

真正的形成往往来源于真实的自主探究。

只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。

在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。

首先，要设计适合学生探究的素材。

教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。

当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。

但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。

如果牵强的引出来，不一定是好事。

其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。

探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。

只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。

要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。

结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。

二次函数整章教案

二次函数整章教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义及其一般形式；2. 掌握二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等；3. 学会使用配方法、公式法求解二次方程；4. 能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

二、教学内容1. 二次函数的定义与一般形式1.1 二次函数的定义1.2 二次函数的一般形式2. 二次函数的性质2.1 开口方向2.2 对称轴2.3 顶点坐标3. 求解二次方程3.1 配方法3.2 公式法4. 二次函数的实际应用4.1 线性增长与减少4.2 抛物线与坐标系三、教学重点与难点1. 重点：二次函数的定义、性质及实际应用；2. 难点：二次方程的求解方法，特别是配方法的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像与性质；3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

五、教学步骤1. 引入二次函数的概念，引导学生了解二次函数的一般形式；2. 探究二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点坐标等；3. 讲解配方法求解二次方程，引导学生掌握求解二次方程的方法；4. 介绍公式法求解二次方程，让学生理解公式法的基本原理；5. 运用实例分析，让学生学会将二次函数应用于实际问题中。

本教案为二次函数整章教案的第一个部分，后续章节将依次介绍二次函数的图像、二次函数的变换、二次函数与几何图形的关系、二次函数在实际问题中的应用等内容。

六、教学评价1. 通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生对二次函数定义、性质的掌握情况；2. 结合课后练习，评估学生运用配方法、公式法求解二次方程的能力；3. 鼓励学生参与实例分析，评价其在实际问题中运用二次函数解决问题的能力；4. 综合评价学生对本章内容的掌握程度，为后续教学提供参考。

七、教学拓展1. 介绍二次函数在数学领域的其他应用，如最小二乘法、插值法等；2. 引导学生探究二次函数与其他数学概念的联系，如导数、积分等；3. 组织学生进行二次函数相关的课题研究，提高学生的探究能力。

《用配方法解一元二次方程(第2课时)》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品

用配方法解一元二次方程【知识与技能】掌握用配方法解一元二次方程.【过程与方法】理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法. 【情感态度】在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣.【教学重点】用配方法解一元二次方程.【教学难点】用配方法解一元二次方程的方法和技巧.一、情境导入，初步认识问题要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？思考如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为，由题意可列出的方程为，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的.二、思考探究，获取新知【教学说明】让学生阅读第6~7页探究内容，再完成下面的“想一想”.想一想1.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？谈谈你的看法.（1）x2+10x+( )=(x+ )2;(2)x2-3x+( )=(x- )2;(3)x2-23x+( )=(x- )2;(4)x2+12x+( )=(x+ )2.2.利用上述想法，试试解下列方程：(1)x2+10x+3=0; (2)x2-3x+1=0;(3)x2-23x=4; (4)x2+12x-7=0.1.依次填入：（1）25；5；（2）94，32；（3）19；13；（4）116，14.2.解：（1）原方程可化为：x2+10x=-3,配方，得x2+10x+25=-3+25,即（x+5）2=22,∴x+5=22即x122222试一试 1.请说说用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法是怎样的？与同伴交流.2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1时，还能用配方法解这个一元二次方程吗？谈谈你的看法，并尝试解方程12x2+x-3=0.【教学说明】让学生独立思考后，相互交流看法.理解并掌握用配方法解一元二次方程的思维方法.然后选取学生代表发言，最后师生共同总结，完善认知.三、典例精析，掌握新知例（教材第7页例1）解下列方程（1）x2-8x+1=0;（2）2x2+1=3x;（3）3x2-6x+4=0.分析：对于（2）、（3）中的方程，可先将未知数的项放在等号左边，常数项移至等号的右边后，再根据等式性质将二次项系数化为1，从而转化为形如x2+mx=n的方程，利用配方法可求出方程的解.【教学说明】让学生自主探究，独立完成，同时选三名同学上黑板演算，教师巡视，针对学生可能出现的问题，教师应适时予以点拨：（1）二次项系数不是1时，怎么办？（2）配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？（3）配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？（4）配方过程中还需注意哪些问题等等.最后师生共同评析，加深用配方法解一元二次方程的理解.【归纳结论】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+n）2=p(Ⅱ)的形式，那么就有：（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根x1=-n-p , x2=-n+p;(2)当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=-n;(3)当p<0时，因为对任意实数x,都有（x+n）2≥0,所以方程（Ⅱ）无实数根.【试一试】师生共同完成教材第9页练习.【教学说明】第1题老师可让学生口答，第2题教师可选几名学生板演，师生共同完成后，老师仍要向学生强调方程无实数根的情况.四、运用新知，深化理解1.将二次三项式x2-4x+2配方后，得（）A.（x-2）2+2B.(x-2)2-2C.(x+2)2+2D.(x+2)2-22.已知x2-8x+15=0，左边化成含x的完全平方式，其中正确的有（）A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-113.若代数式2221x xx---的值为0，则x的值为 .4.方程x2-2x-3=0的解为 .5.要使一块长方形场地的长比宽多3m，其面积为28m2，试求这个长方形场地的长与宽各是多少？【教学说明】通过上述几道题目的练习，可进一步巩固对本节知识的理解和领悟.【答案】1.B2.B3.x=24.x1=-1,x2=35.长与宽分别为7m和4m.五、师生互动，课堂小结1.通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意的地方？2.用配方法解一元二次方程涉及哪些数学思想方法？【教学说明】让学生通过对上述问题的回顾与思考，反思学习体会，完善知识体系.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信心.2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+(2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程） [生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）．所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°． [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件） [例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题． [生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中D CA BD CABDC AB把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷．（课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ，所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3．练习1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．D CABⅤ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题．（二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ．又∵DE ∥AP ，∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线E D C A B PC．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习计算： (1) x x x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1．计算：(1))1)(1(y x x y x y +--+(2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）b a ab - （3）3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

二次函数配方法的步骤

二次函数配方法的步骤介绍二次函数是数学中的一个重要概念，它具有很多实际应用。

在解决与二次函数相关的问题时，一种常用的方法是配方法。

通过配方法，我们可以将二次函数转化为简单的形式，从而更方便地进行求解。

本文将介绍二次函数配方法的步骤。

步骤一：确定二次函数的形式首先，我们需要确定给定的二次函数的形式。

一般而言，二次函数的一般形式可以表示为：f(x)=ax2+bx+c。

其中，a、b和c分别表示二次项的系数、一次项的系数和常数项。

步骤二：计算二次项系数的平方根我们接下来计算二次项系数a的平方根，即 $\\sqrt{a}$。

如果 $\\sqrt{a}$ 是有理数，那么我们可以写作 $\\sqrt{a}=k$，其中k是一个整数。

如果$\\sqrt{a}$ 是无理数，则我们将其保留为 $\\sqrt{a}$。

步骤三：配方法根据步骤二计算得到的 $\\sqrt{a}$ 的不同情况，我们进行不同的配方法。

情况一：$\\sqrt{a}$ 是有理数如果 $\\sqrt{a}$ 是有理数，我们可以令变量x的新值为 $x = k \\cdot x_1$。

其中x1表示新的变量。

通过代入 $x = k \\cdot x_1$，我们可以将原始二次函数转化为新的二次函数。

新的二次函数将不再含有二次项的系数a。

情况二：$\\sqrt{a}$ 是一个无理数对于 $\\sqrt{a}$ 是一个无理数的情况，我们需要通过其他方法进行配方法。

首先，我们可以通过完成平方的方法将二次函数转化为一个完全平方的形式。

具体来说，我们需要添加一个恰当的常数项使得f(x)可以表示为两个平方的和。

这可以通过计算b2−4ac来决定。

步骤四：继续求解在完成配方法后，我们得到的新二次函数将更加简单。

我们可以根据需要进行进一步求解。

通过配方法，我们可以将原始的复杂二次函数转化为更容易求解的形式。

结论二次函数配方法是一种常用的数学方法，可以将复杂的二次函数转化为更简单的形式。

《二次函数的应用》教案-03 (3)

《二次函数的应用》教案教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：一、复习：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质？并指出顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x轴两交点间的距离？2.各类二次函数顶点位置与a、b、c的关系？(顶点在x轴上、y轴上、原点、经过原点)3.求二次函数y＝－2x2＋10x＋1的最大(或最小)值？思考：如何求下列函数的最值：(1) y＝－2x2＋10x＋1(3≤x≤4)(2)y=2x2＋4x＋5(3)y＝1100－5x2(4) y=x2＋1 x22利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

二、例题讲解例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？分析：设经过t时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 。

因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。

解:设经过t 时后，A ，B AB 两船分别到达A ’，B ’，两船之间距离为S=A ’B ’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2=169t 2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0）当t=1013 时，被开方式169（t-1013 ）2+576有最小值576。

二次函数配方法

二次函数配方法二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

在解二次函数的问题时，我们经常会用到配方法。

配方法是一种将二次函数转化为完全平方的方法，通过这种方法可以更加简洁地解决二次函数相关的问题。

本文将介绍二次函数配方法的基本原理和具体应用，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一方法。

首先，我们来看一下二次函数的一般形式，$y=ax^2+bx+c$。

其中，$a$、$b$、$c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

在配方法中，我们的目标是将二次函数转化为完全平方的形式，即$(x+p)^2+q$。

这样做的好处是可以更加方便地求解函数的顶点、焦点、对称轴等重要性质。

接下来，我们以一个具体的例子来说明配方法的应用。

假设我们要求解二次函数$y=x^2+6x+5$的顶点坐标。

首先，我们可以通过配方法将这个二次函数转化为完全平方的形式。

具体步骤如下：1. 首先，我们将一次项系数的一半平方，即$(6/2)^2=9$。

2. 然后，我们在函数中加上并减去这个平方数，即$y=x^2+6x+9-9+5$。

3. 接着，我们将前三项合并成一个完全平方，即$y=(x+3)^2-4$。

通过以上步骤，我们成功地将原来的二次函数转化为完全平方的形式。

这样一来，我们就可以轻松地求得函数的顶点坐标为$(-3,-4)$。

可以看到，通过配方法，我们可以更加简洁地解决二次函数相关的问题。

除了求解顶点坐标，配方法还可以应用于求解二次函数的焦点、对称轴等问题。

通过将二次函数转化为完全平方的形式，我们可以更加清晰地看到函数的性质，从而更好地理解和应用二次函数。

总的来说，二次函数配方法是解决二次函数相关问题的重要工具之一。

通过将二次函数转化为完全平方的形式，我们可以更加方便地求解函数的各种性质，从而更好地理解和应用二次函数。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地掌握二次函数配方法，提高数学解题的效率和准确性。

二次函数配方法练习

二次函数配方法（练习）学习目标：能熟练地利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。

学习重点：利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。

学习难点：利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。

学习过程：一、课前热身1、写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：⑴ y=2x 2 (2) y ＝－12 x 2－1 （3） y ＝－12(x ＋1)2⑷ y ＝－12 (x -1)2－1 (5) y=12(x -6)2 ＋32、将二次函数2(2)3y x =--化成一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c ，结果是二、新授引入：当一个二次函数所给的关系式是顶点式的时候，我们都可以很熟练的求出它们的开口方向，对称轴，顶点坐标。

那么当一个二次函数所给的关系式是一般形式时，我们又如何求它的开口方向，对称轴，顶点坐标呢？例如：如何求二次函数241y x x =-+的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？通过课前热身2我们可以发现，其实241y x x =-+可以转化成2(2)3y x =--。

也就是把一般形式转化成了顶点式。

那么如何把一个二次函数的一般式转化成顶点式，这就是本节课所要探索的主要内容。

三、探索过程：1、用配方法解一元二次方程2410x x -+=2222212414212322,2x x x x x x x -=--+=-+=-=∴==+…………………①常数项移到方程右边………②两边加上一次项系数一半的平方（x-2)?………………③写成完全平方形式④直接开平方……⑤求出结果在刚才的配方法解方程里其实已经告诉我们如何把一般式转化成顶点式。

2．把下列二次函数化成顶点式，并求出它们的开口方向，对称轴，顶点坐标。

（1）261y x x =+- （2）2241y x x =-+-四、巩固练习：求下列二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。

（1）221y x x =+- （2）2241y x x =-+（3）2y 3x 2x?=+ （4）2y x 2x =--(5)2y 2x 8x 8=-+- (6)21432y x x =-+。

《二次函数》的复习教学设计

《二次函数》的复习教学设计数学《二次函数》优秀教案篇一一、教材分析本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。

主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。

在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a0和a0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。

二、学情分析本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。

三、教学目标（一）知识与能力目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程；2、能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。

（二）过程与方法目标通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。

（三）情感态度与价值观目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法；2、在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。

四、教学重难点1、重点通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。

2、难点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。

五、教学策略与设计说明本节课主要渗透类比、化归数学思想。

对比一般式和顶点式的区别和联系；体会式子的恒等变形的重要意义。

六、教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）（一)提出问题(约1分钟）教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢？图像又如何？学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。

《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教案、教学设计、导学案、同步练习

《第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质》教案【教学目标】1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．【教学过程】一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2.方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y 1)，(32，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( )A．①②③ B．①③④C．①②④ D．②③④解析：∵－b2a＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(32，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－b2a；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0.【类型三】利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式将抛物线y＝13x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝13(x－2)2－1 B．y＝13(x－2)2＋1C．y＝13(x＋2)2＋1 D．y＝13(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝13x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝13(x－2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO ＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x －h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质《第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质》教案【教学目标】：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

二次函数教案

二次函数教案1. 课程标准本单元主要是讲解二次函数，通过本单元的学习，让学生了解二次函数的定义、图像、性质，以及二次函数的几何意义和应用。

2. 教学目标知识与技能：1. 掌握二次函数概念，能够对二次函数进行定义和分类；2. 能够画出二次函数的图象，并根据函数的式子解读图象；3. 能够判断二次函数的对称轴和顶点；4. 能够解二次方程，特别是关于二次函数的应用题，例如二次函数的最值等问题。

过程与方法：1. 能够灵活使用因式分解、配方法、公式法等方法解决二次方程；2. 能够运用判断对称性的方法快速找到二次函数的对称轴和顶点；3. 能够结合实际问题理解二次函数的应用，并解决相关问题。

情感、态度与价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力；2. 提高学生的自主学习和独立思考能力；3. 培养学生良好的数学态度，懂得乐于思考、勇于探索的重要性。

3. 教学重点和难点重点：1. 二次函数的概念、图像和性质；2. 二次函数的最值及其应用；4. 教学策略1. 采用启发式教学法，引导学生通过自己的思考，由简单问题逐步引导到复杂问题的解决，学生在解决问题中培养探究的兴趣和自我发现的能力。

2. 采用巧妙的教学比喻，帮助学生易于理解记忆。

3. 通过具体的例子和实际问题，使学生对于二次函数的应用有更深层次的理解，增加学生的学习兴趣和积极性。

4. 采用交互式教学，通过小组合作和大家讨论等方式，提高学生在讨论中思考和解决问题的能力，增加课堂氛围，促进教与学的互动。

5. 教学过程第一步：导入学生了解过函数与方程的概念。

让学生回忆函数与方程的区别，并根据课本上单调性的定义谈对单调性的理解。

第二步：概念阐释以前一讲的一次函数为例，让学生了解一次函数的基本形式是y=kx+b，并分析它的图像、对称轴等性质，并挖掘其几何意义与实际应用。

介绍一下二次函数的基本形式及图像，并结合实际问题谈谈它的应用和解决问题的方法。

第三步：图像分析引导学生尝试画出各种二次函数的图像，并分析它们的关系，找出特征和规律，了解二次函数的几何性质，如对称轴、顶点等。

二次函数教案人教版

二次函数教案人教版二次函数教案一、教学目标：1. 知识与技能：了解二次函数的定义及性质，掌握二次函数图像的画法、基本性质以及应用。

2. 过程与方法：通过问题导入、实例分析、归纳总结等方法，培养学生的归纳、分析和解决问题的能力。

3. 情感态度价值观：培养学生的创新意识、合作意识和实际应用能力，激发学生的学习兴趣。

二、教学内容及时间安排：第一课时：二次函数的定义和性质（20分钟）1. 导入新课：通过提问“什么是函数？”，引导学生复习函数的基本概念。

2. 导入二次函数的定义与性质：通过提问“什么是二次函数？”引导学生回顾函数的表达形式，并引入二次函数的定义。

3. 讲授二次函数的性质：培养学生发现问题、归纳总结的能力，总结二次函数的平移、翻折、对称和单调性等性质。

第二课时：二次函数的图像（20分钟）1. 导入新课：通过给出一个实际问题，引导学生思考如何用二次函数描述并解决问题。

2. 讲解二次函数图像的画法：通过学习二次函数的标准式和顶点式，掌握二次函数图像的画法。

3. 导入二次函数图像的性质：通过观察和分析二次函数图像的几个实例，引导学生归纳二次函数图像的基本性质。

第三课时：一元二次方程的求解（20分钟）1. 导入新课：通过给出一个实际问题，引导学生思考如何通过二次函数图像求解一元二次方程。

2. 讲解一元二次方程的求解方法：通过学习配方法和因式分解法，掌握一元二次方程的求解方法。

3. 练习一元二次方程的求解：通过多个实际问题的解答，培养学生运用二次函数的知识解决实际问题的能力。

第四课时：二次函数的应用（20分钟）1. 导入新课：通过给出一个实际问题，引导学生思考如何应用二次函数解决实际问题。

2. 讲解二次函数的应用：通过学习最值问题、最优化问题和开口方向问题等，掌握二次函数的应用。

3. 练习二次函数的应用：通过多个实际问题的解答，培养学生应用二次函数解决实际问题的能力。

三、教学方法：问题导入法、讲解与示范相结合的方法、练习与讨论相结合的方法。

《配方法(第3课时)用配方法解二次项的一元二次方程》教案 (1)

一元二次方程的解法配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教学目标1、理解用配方法解一元二次方程的根本步骤。

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

3、进一步体会化归的思想方法。

重点难点重点：会用配方法解一元二次方程．难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。

教学过程〔一〕复习引入1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做〞．2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的根本步骤是什么?〔二〕创设情境现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?怎样解这类方程：2x2-4x-6=0〔三〕探究新知让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。

让学生进一步体会化归的思想。

〔四〕讲解例题1、展示课本P．14例8，按课本方式讲解。

2、引导学生完成课本P．14例9的填空。

3、归纳用配方法解一元二次方程的根本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。

〔五〕应用新知课本P．15，练习。

〔六〕课堂小结1、用配方法解一元二次方程的根本步骤是什么?2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。

3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。

4、按图1—l的框图小结前面所学解一元二次方程的算法。

〔七〕思考与拓展不解方程，只通过配方判定以下方程解的情况。

(1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0；(3) –x2+2x-5=0；[解] 把各方程分别配方得(1) (x+ )2=0；(2) (x-1)2=6；(3) (x-1)2=-4由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根。

用配方法求解一元二次方程解法(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练

专题2.6 用配方法求解一元二次方程（知识讲解）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法在比较大小中二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程：2+-=．23220x x【答案】1x =2x =- 【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解.2x ⎫=⎪⎭22x = 299288x +=+ 2258x ⎛= ⎝x =∴ 1x 2x =-【点拨】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键.举一反三：【变式1】用配方法解方程：22310x x -+=．【答案】112x =，21x =．【分析】利用配方法得到（x ﹣34）2=116，然后利用直接开平方法解方程即可．解：x 2﹣32x =﹣12， x 2﹣32x +916=﹣12+916，（x ﹣34）2=116x ﹣34=±14，所以x 1=12，x 2=1．【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．【变式2】用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0.【答案】x 11，x 2＝1解：根据配方法解方程即可．移项得，2x 2-4x =1，将二次项系数化为1得，2122x x -=，配方得，x 2-2x +1=12+1，2312x -=（），∴1x -=，∴1211x x =+= 类型二、配方法在代数中的应用2．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：求证：()1不论m 取任何实数，代数式()24419m m -++的值总是正数()2当m 为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．【答案】(1)证明见分析；（2）4.【分析】（1）此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．（2）根据（1）4m 2-4（m+1）+9=（2m -1）2+4得出m 取12时代数式的值最小，最小值是4．解：（1）()24419m m -++ 24449m m =--+2445m m =-+2(21)4m =-+；∴不论m 取任何实数，代数式()24419m m -++的值总是正数．()2由（1）()224419(21)4m m m -++=-+得：12m =时，此代数式的值最小，这个最小值是：4．【点拨】此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式1】我们可以用以下方法求代数式265x x ++的最小值．()22222652333534x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-∴()230x +≥∴()2443x -≥-+∴当3x =-时，265x x ++有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式242x x -+的最小值；(2)求代数式269x x -++的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x 的值；(3)求证：无论x 和y 取任何实数，代数式2221066211x y xy x y +---+的值都是正数．【答案】(1)-2 (2)当3x =时，269x x -++有最大值18 (3)证明见分析【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；（2）由题中所给方法可得()2269318x x x -++=--+，然后问题可求解；（3）由题意可得()()()22222210662113131x y xy x y x y x y +---+=-+-+-+，进而问题可求解．(1) 解：由题意得： ()22222422222222x x x x x -+=-⋅⋅+-+=--，∴()220x -≥∴()2222x --≥-∴当2x =时，242x x -+有最小值2-．(2) 由题意得：()2269318x x x -++=--+，∴()230x --≤∴()231818x --+≤∴当3x =时，269x x -++有最大值18．(3) 由题意得：2221066211x y xy x y +---+ =22222169169x y y x xy y x +-++++--+=()()()2223131x y x y -+-+-+；∴()()()22230,10,30x y x y -≥-≥-≥∴()()()22231311x y x y +-+--+≥，∴无论x 和y 取任何实数，代数式2221066211x y xy x y +---+的值都是正数．【点拨】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∴（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）154；（2）5；（3）当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．解：（1）m2+m+4＝（m+12）2+154，∴（m+12）2≥0，∴（m+12）2+154≥154，则m2+m+4的最小值是154；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∴﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∴﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．类型三、配方法在几何中的应用3．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是________；M m n落（2）若把点Q向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点(,)在第四象限，求a的取值范围；（3）在（2）条件下，当a取何值，代数式2+25m n+取得最小值.【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0【分析】(1)如图，作PA∴x轴于A，QB∴x轴于B，则∴PAO=∴OBQ=90°，证明∴OBQ∴∴PAO(AAS)，从而可得OB=PA，QB=OA，继而根据点P的坐标即可求得答案；(2)利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，再解不等式即可；(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得225=-（），继而根据偶次方a++2m n4的非负性即可求得答案.解：(1)如图，作PM∴x轴于A，QN∴x轴于B，则∴PAO=∴OBQ=90°，∴∴P+∴POA=90°，由旋转的性质得：∴POQ=90°，OQ=OP，∴∴QOB+∴POA=90°，∴∴QOB=∴P，∴∴OBQ∴∴PAO(AAS)，∴OB=PA，QB=OA，∴点P的坐标为(1，3)，∴OB=PA=3，QB=OA=1，∴点Q的坐标为(-3，1)；(2)把点Q(-3，1)向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点M的坐标为(-3+a，1-a)，而M在第四象限，所以-30 10aa+>⎧⎨-<⎩，解得a>3，即a的范围为a>3；(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，∴2225(3)2(1)5m n a a++=-+-+269225a a a=-++-+2816a a=-+24a=-（），∴240a-≥（），∴当a=4时，代数式225m n++的最小值为0.【点拨】本题考查了坐标与图形变换-旋转，象限内点的坐标特征，解不等式组，配方法在求最值中的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.举一反三：【变式1】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∴无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．∴（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．问题：（1）已知：y ＝x 2﹣4x +7，求证：y 是正数．知识迁移：（2）如图，在Rt △ABC 中，∴C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 以2cm/s 的速度移动，点Q 在CB的速度从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ 的面积为S cm 2，运动时间为t 秒，求S 的最大值．【答案】（1）见分析；（2）当t ＝32时，S 【分析】（1）根据例题中的配方求最值；（2）根据三角形的面积公式求出S 和t 的关系式，再利用配方求最值．解：（1）y ＝x 2﹣4x +7＝x 2﹣4x +4+3＝（x ﹣2）2+3．∴（x ﹣2）2≥0．∴y ≥0+3＝3．∴y ＞0．∴y 是正数．（2）由题意：AP ＝2t ，CQ，PC ＝6﹣2t ．（0≤t ∴S ＝12PC •CQ ．＝12（6﹣2t ）2t 2﹣3t ）t ﹣32）2 ∴（t ﹣32）2≥0．∴当t ＝32时，S 【点拨】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．【变式2】已知a 、b 是等腰∴ABC 的两边长，且满足a 2+b 2-8a -4b+20=0，求a 、b 的值．【答案】a=4，b=2．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a、b，计算即可解：a2+b2-8a-4b+20=0，a2-8a+16+b2-4b+4=0，(a-4)2+(b-2)2=0a-4=0，b-2=0，a=4，b=2．【点拨】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．。

用配方法把二次函数一般式转化为顶点式

反思：很荣幸，我被安排到北京密云三中上了一节“同课异构”的课，从中展示我数学科组多年来开展的教学改革的成果。

接到任务后，我精心准备，用心请教，按照阳光课堂的精神要求，即“教育是一种相互感染、相互呵护、相互促进的，充满生机与活力的教育”，认真开展了工作。

这节课取得了预期效果，得到了较好评价，再次说明我们数学科组开展的教学改革，它是充满生机与活力的。

当然，这节课既有优点，也有许多不足之处。

优点是我能够认真落实“初学---深学---拓学”的模式，整个教学过程嵌入了“群学、组学、独学”的活动，发挥了教师主导型，体现了学生主体性，努力做到“以阳光之心育阳光之人”。

缺点是教学过程中语言还不够简练，教态不够自然，影响了部分学生的学习兴趣。

相比较这节课的优点与缺点，我更想谈一下我整个备课的过程，从中总结经验，以便以后更好地开展异地教学工作。

记得当我接受这一节课的时候，我首先考虑三个方面，按照三方面的要求依次做好准备。

首先是了解教学内容，以便备课；其次是了解学生，以便开展教学活动；最后是落实我数学科组的教学模式，以便展示阳光教育理念。

在了解教学内容方面，我不仅与组办方沟通，而且与三中教师沟通，熟悉情况。

在整个备课的过程当中，我用心请教了我数学组的许多有经验的老师，并借用初三（8）班上了一节试讲课，采纳了许多意见，特别是教学的重点与次重点，教学容量的控制，教学内容在细节上的把握，最终敲定教学内容。

在了解学生方面，经过我沟通与了解，我知晓了三中学生的特点：成绩是中上水平，学生不乐于发言，往往做完题目就不愿意多交流，自顾自个。

鉴于此，我带了一些奖品，通过转盘的形式加以奖励。

通过奖励规则，我强调了两个方面内容：一是询问喜欢的奖品，学生举手示意，要求学生做完题后举左手，右手继续做题，不浪费时间，老师会过去批改，同时勇于发言；二是四人小组参与抽奖，只需派一个代表，让学生课前讨论中意的礼物，要求学生善于小组讨论。

在落实我数学科教学模式方面，我的最大感受是：最大限度地调动孩子积极性，尽可能地挤时间让孩子练题，不时对孩子好的行为加以表扬肯定，有意地对一些不良行为加以制止。

初中数学《配方法》教案维语

初中数学《配方法》教案维语第一章：配方法的引入1.1 学习目标理解配方法的概念和意义。

学会使用配方法将二次项系数化为1。

1.2 教学内容引入配方法的必要性，通过举例让学生感受到配方法在解决二次方程中的作用。

讲解配方法的步骤和技巧，如何将一般形式的二次方程转化为完全平方形式。

1.3 教学活动通过实际例子，让学生尝试解决二次方程，引导学生发现配方法的必要性。

讲解配方法的步骤，让学生跟随老师一起完成一个配方法的例子。

学生分组练习，老师巡回指导，解答学生的疑问。

1.4 作业布置请学生完成课后练习，选择几个配方法的题目进行练习。

第二章：配方法的应用2.1 学习目标学会使用配方法解决实际问题，如面积、体积计算等。

2.2 教学内容通过实际问题引入配方法的应用，讲解如何将实际问题转化为二次方程。

举例讲解如何使用配方法解决面积和体积计算问题。

2.3 教学活动老师展示一个实际问题，引导学生思考如何使用配方法解决。

讲解配方法在解决实际问题中的应用，引导学生跟随老师一起解决一个实际问题。

学生分组练习，老师巡回指导，解答学生的疑问。

2.4 作业布置请学生完成课后练习，选择几个配方法在实际问题中应用的题目进行练习。

第三章：配方法的拓展3.1 学习目标理解配方法与完全平方公式的关系。

学会使用完全平方公式进行配方法。

3.2 教学内容讲解配方法与完全平方公式的联系，引导学生理解两者的相互转化。

举例讲解如何使用完全平方公式进行配方法。

3.3 教学活动老师通过一个例子，引导学生发现配方法与完全平方公式的关系。

讲解如何使用完全平方公式进行配方法，让学生跟随老师一起完成一个例子。

学生分组练习，老师巡回指导，解答学生的疑问。

3.4 作业布置请学生完成课后练习，选择几个使用完全平方公式进行配方法的题目进行练习。

第四章：配方法的综合应用4.1 学习目标学会综合运用配方法解决复杂问题。

4.2 教学内容通过复杂问题引入综合运用配方法的概念，讲解如何将配方法与其他数学技巧结合使用。

人教版九年级数学上册第22章二次函数全章复习1优秀教学案例

4.反思与评价提高学习效果：本案例强调学生的反思与评价，引导学生对所学知识进行总结和反思，提高他们的数学思维能力。同时，教师及时给予评价和反馈，帮助学生了解自己的学习情况，为下一步的学习提供明确的指导和建议。
5.教学策略灵活多样：本案例结合学科特点和学生的实际情况，采用多种教学策略，如情景创设、问题导向、小组合作等，使教学过程丰富多样，提高学生的学习兴趣和参与度。同时，教师注重个体差异，针对不同程度的学生制定不同的教学策略，使他们在学习过程中都能得到有效的提升。
3.注重学生的个体差异，针对不同程度的学生制定不同的评价标准；
4.鼓励学生自我评价和相互评价，培养他们的自我意识和团队精神；
5.定期进行课堂评价和学业评价，及时调整教学策略，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些与二次函数相关的实际问题，如抛物线运动的轨迹、物体运动的最高点等，激发学生的学习兴趣；
在二次函数的复习中，我首先引导学生回顾二次函数的基本概念、性质和图象，使他们能够清晰地了解二次函数的构成和特点。接着，我通过设计一些具有代表性的例题，让学生掌握二次函数的求解方法和应用技巧。同时，我还注重培养学生的数学思维能力，引导他们从不同的角度去分析和解决问题。
在教学过程中，我充分关注学生的个体差异，针对不同程度的学生制定不同的教学策略，使他们在复习过程中都能得到有效的提升。对于学有余力的学生，我引导他们深入研究二次函数的拓展问题，提高他们的学科素养；对于基础薄弱的学生，我则耐心地帮助他们巩固基础知识，提高他们的学习信心。
2.通过展示二次函数图象，让学生观察和分析图象的形状、变化规律，引导他们发现二次函数的性质；
3.教授二次函数的求解方法，如配方法、公式法等，并通过例题让学生掌握求解技巧；

初中数学《配方法》教案维语

初中数学《配方法》教案维语一、教学目标1. 让学生理解配方法的含义和作用，掌握配方法的基本步骤。

2. 培养学生运用配方法解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：配方法的基本步骤和运用。

2. 教学难点：理解配方法背后的数学原理。

三、教学方法与手段1. 采用情境教学法，通过生活实例引入配方法的概念。

2. 使用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生形象地理解配方法。

3. 组织小组讨论和上台展示，激发学生的合作意识和竞争意识。

四、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决。

2. 讲解配方法：介绍配方法的基本步骤和原理。

3. 示例讲解：通过具体例题，展示配方法的操作过程。

4. 练习巩固：学生独立完成练习题，巩固配方法的应用。

5. 拓展提高：引导学生运用配方法解决更复杂的问题。

6. 总结评价：对学生的学习情况进行总结，给予鼓励和指导。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固配方法的应用。

2. 收集生活中的数学问题，尝试运用配方法解决。

3. 准备下一节课的小组讨论和展示。

六、教学内容与要求1. 教学内容：配方法在解决一次函数图像中的应用。

2. 教学要求：学生能理解一次函数图像的特点，并能运用配方法求解一次函数图像的交点。

七、教学过程1. 导入新课：通过一个一次函数图像的实际问题，引导学生思考如何解决。

2. 讲解一次函数图像：介绍一次函数图像的特点和配方法在解决一次函数图像中的应用。

3. 示例讲解：通过具体例题，展示配方法在解决一次函数图像中的应用过程。

4. 练习巩固：学生独立完成练习题，巩固配方法在解决一次函数图像中的应用。

5. 拓展提高：引导学生运用配方法解决更复杂的一次函数图像问题。

八、教学评价1. 对学生的学习情况进行总结，给予鼓励和指导。

2. 评价学生对一次函数图像的理解和配方法的应用能力。

九、教学内容与要求1. 教学内容：配方法在解决二次函数图像中的应用。