高三期中调研数学试题考试
2025届南京协同体七校高三上学期期中联考数学试题
南京市协同体七校2024-2025学年第一学期期中联合考试高三数学试题考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1.本试卷所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.2.答题务必将自己妵名，准考证信息用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷答题卡上，第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小輀，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2log 2,2A x x B x x =<=>∣∣，则A B ∪=（ ）A.()0,2B.()0,∞+C.()2,∞+D.(),2∞−2.若21i z −=，则z =（ ） B.1 C.22D.12 3.已知向量()()()0,4,3,6,1,6a b c ===− ，若c a b λµ=+ ，则λµ+=（ ） A.73 B.53C.13−D.23− 4.已知0,0m n >>，且1m n +=，则14m n +的最小值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.35.已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（ ）A. B.96π C. D.192π6.已知函数()224,,1,x x a f x x x a+ = +> 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.(]1,3− B.(],3∞− C.[)3,∞+ D.][(),13,∞∞−−∪+7.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A 为“第一次出现偶数点”，事件B 为“两次出现的点数和为9”，则下列结论中正确的是（ ） A.()19P AB =B.()()()P A B P A P B ∪=+C.()13P A B =∣D.A 与B 相互独立8.已知()f x 是定义在R 上的周期函数，周期1T =，且当[)0,1x ∈时()2f x x =，若()g x kx b =+，则下列结论中一定正确的是（ ）A.1k =时，()()f x g x =可以有三个解B.12k =时，()()f x g x =可以有三个解 C.1k =−时，()()f x g x =可以有一个解 D.12k =−时，()()f x g x =可以有四个解 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y kx k =−与抛物线C 交于,P Q 两点，分别过,P Q 两点作抛物线准线的垂线,PM QN ，垂足分别是,M N ，下列说法正确的是（ ）A.直线l 过抛物线C 的焦点B.当1k =时，,P Q 两点横坐标的和为5C.当1k =时，直线l 截抛物线所得的弦长为8D.以MN 为直径的圆与直线l 相切10.已知正方体1111ABCD A B C D −，点P 满足][1,0,1,0,1BP BC BB λµλµ =+∈∈ ，则下列说法正确的是（ ）A.存在唯一一点P ，使得过1,,D B P 的平面与正方体的截面是菱形B.存在唯一一点P ，使得AP ⊥平面11B D CC.存在无穷多个点P ，使得AP ∥平面1A CDD.存在唯一一点P ，使得11D P BC ⊥11.如果X 服从二项分布(),B n p ，当10np >且()110n p −>时，可以近似的认为X 服从正态分布()2,N µσ，据统计高中学生的近视率0.6P =，某校有600名高中学生.设X 为该校高中学生近视人数，且X 服从正态分布()2,N µσ，下列说法正确的是（ ）（参考数据：()0.682,(22)0.9545P X P X µσµσµσµσ−<<+≈−<<+≈）A.变量X 服从正态分布()360,144NB.()3720.159P X ≈C.()(384)348P X P X <=>D.(384)0.9773P X <≈第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列{}n a 中，()*21n a n n =−∈N ，则20S =__________.13.已知函数()π2sin 06yx ωω =−> 在区间π0,2上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围是__________.__________. 14.已知e 为自然对数的底数，若函数ln y x ax =+的最大值与函数e x y x =−的最小值相等，则实数a 的值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知5,3,cos 2c b c b a C ===−. （1）求A ∠；（2）若D 是BC 中点，求AD 的长度.16.（本题满分15分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为51413,35,,,n S S a a a =成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m n <，且1111,,m na a a 成等差数列，求出所有的正整数,m n . 17.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，AB ∥,DC AC BD ⊥，3,24PA AC DC AB ====.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求二面角D PC B −−的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()()211ln ,2f x x a x a x a =−++∈R . （1）若1a =−，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()()1y f x a x =++的最小值为0，求a 的值.19.（本题满分17分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22,,3A B 分别是椭圆C 的上下顶点，过A 作两条互相垂直的直线,AP AQ ，分别交椭圆C 于,P Q 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线PQ 恒过定点；（3）求APQ 面积的最大值.南京市协同体七校2024—2025学年第一学期期中联合考试高三数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.D8.B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD 10.BD 11.ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.400 13.713,33 14.21e − 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）解：（1）方法一： 因为cosC 2c b a =−， 由正弦定理得：1sin sin cos sin 2B A C C =−， 又sin sin cos cos sin B A C A C =+， 所以1cos 2A =−，又因为在ABC 中，所以2π3A =. 方法二：因为cosC ,5,32c b a b c =−==， 由余弦定理得：225935252a a a +−=−×， 解得249a =，所以259491cos 2532A +−==−××， 又因为在ABC 中，所以2π3A =. （2）方法一：在ABC 中，D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+ ，222111111119||9352542442244AD AB AB AC AC =++=×+×××−+×= ，AD = ，即AD. 方法二：由（1）方法二，知7a =，又D 是BC 中点，72BD CD ==， 在ABD 中由余弦定理有：22792cos 722AD ADB AD ∠ +−=×， 在ABD 中由余弦定理有：227252cos 722AD ADC AD ∠ +− =×， 因为πADB ADC ∠∠+=，所以cos cos ADB ADC ∠∠=−， 即22227792522772222AD AD AD AD +−+−=−××， 解得AD =，即AD . 16.（本题满分15分）解：（1）51545352S a d ×=+=，所以127a d +=… 又因为1413,,a a a 成等比数列，所以24113a a a =×，()()221111312,96a d a a d d a d +=×+=又因为0d ≠，所以132d a =所以13,2a d == 所以21na n =+ （2）由题意：1211m na a a =+ 所以21121321m n =+++ 方法一：2242163n m n +=++ 所以63921622n m n n ++==−++， 因为m n <且*,m n ∈N ，所以2,7m n == 方法二：2111213213m n =+>++， 所以，52m <， 又*m ∈N ，所以1m =或2m =，当1m =时，1n =，与m n <矛盾，当2m =时，7n =，符合条件，所以2,7m n == 17.（本题满分15分）（1）证明：因为PA ⊥面,ABCD BD ABCD ⊂，所以PA BD ⊥又因为,,,AC BD PA AC A PA PAC AC PAC ⊥∩=⊂⊂，所以BD PAC ⊥又因为BD PBD ⊂，所以平面PAC ⊥平面PBD（2）法一：作AE DC ⊥交DC 于E ，以点A 为坐标原点AE 为x 轴，AB 为y 轴如图建立 空间直角坐标系，设AC BD M ∩=，因为AB ∥DC ，所以ABM CDM ∽，又2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AM MC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BM DM == 所以ππ,36BAC EAC ∠∠==， 故()3330,0,3,,,022P C，()35,,0,0,2,022D B −.所以()333331,,3,0,4,0,,,02222PC DC BC =−==−设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以1111330240x y z y +−= = ，所以(1n =设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222223302102x y z x y +−=−=， 所以(2n =所以sin θ=法二：设AC BD O ∩=，又因为AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OC 为 y 轴如图建立空间直角坐标系，因为AB ∥DC ，所以ABO CDO ∼ ，又因为2,4,3AB DC AC ===， 所以1,2AO OC ==， 又因为AC BD ⊥， 所以3,23BO DO ==故()()0,1,3,0,2,0P C −，()()3,0,0,3,0,0D B −所以()0,3,3PC =− ，()23,2,0CD =− ，)2,0BC =设面PDC 一个法向量为()1111,,n x y z =所以111133020y z y −= −+= ，所以(1n = 设面PBC 一个法向量为()2222,,n x y z =所以222233020y z y −= +=，所以(22,n =所以sin θ=18.（本题满分17分）解：（1）当1a =−时，()()()2111ln ,1,22f x x x f f x x x =−′==−，所以()10f ′=， 所以切线方程为12y = （2）()()()()()()2111,0x a x a x x a a f x x a x x x x−+′+−−=−++==> 若0a ，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增； 若01a <<，则()0,x a ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，(),1x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，()1,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a =，则()0,x ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增若1a >，则()0,1x ∈时()()0,f x f x ′>单调递增，()1,x a ∈时()()0,f x f x ′<单调递减，(),x a ∞∈+时()()0,f x f x ′>单调递增（3）令()()()211ln 2h x f x a x x a x =++=+， ()()2,0,a x a h x x x x x′+=+=> 当0a 时，()0h x ′ ，故无最小值所以0a <，由()0h x ′=得x =所以(x ∈时()()0,h x h x ′<单调递减，)x ∞∈+时()()0,h x h x ′>单调递增单增，所以min 1()02h x h a a ==−+=，所以()ln 1,e a a −==−. 19.（本题满分17分）（1）解：因为22,cb a ==，又222a bc =+解得：3,,a b c === 故椭圆的标准方程为：2219x y += （2）证明：方法一：当PQ x ⊥轴时，,AP AQ 不可能垂直，故可设直线PQ 方程为：y kx n =+ 由2219y kx n x y =+ += ，得()2221918990k x knx n +++−=， 设()()1122,,,P x y Q x y 则：21212221899,1919kn n x x x x k k−−+==++， 所以，()()1122,1,,1PA x y PQ x y =−=− ，又因为PA PB ⊥，所以0PA PQ ⋅=即()()1212110x x y y +−−=即：()()1212110x x kx n kx n ++−+−=， 所以，()()221212121(1)0x x k x x k n x x n ++−++−= 代入可得：222222222222229999818(1)9(1)019191919n n k k n k k n n k n k k k k−−−+−+−+++=++++， 整理：210280n n −−=，所以：1n =（舍）或45n =−， 所以直线PQ 的方程为：45y kx =−，令0x =，得45y =−， 所以直线PQ 过定点40,5 −， 方法二： 显然,AP AQ 均不可能与坐标轴垂直，故可设():10AP y kx k =+≠ 由22119y kx x y =+ += ，得()2219180k x kx ++= 设()()1122,,,P x y Q x y所以：211221819,1919k k x y k k −−==++， 因为,AP AQ 互相垂直，同理得22222189,99k k x y k k−==++ 所以直线PQ 的斜率为：2110PQ k k k−=， 直线PQ 的方程为：222219118191019k k k y x k k k −− −=+ ++， 令0x =得()()222291194195519k k y k k −−=+=−++，即直线PQ 过定点40,5 − . （3）方法一：由（2）知：()227281190525k x kx +−−= ()()1212227281,5192519k x x x x k k +==−++， 所以APQ 面积121925S x x =×− ()()22121228125142519k x x x x k +=+−=+ 1t = ，所以22125t k −=代入可得： 281818127169162489t S t t t===++此时4,3t k ==，所以APQ 面积的最大值是278 方法二：由（2）知()2219180k x kx ++=，所以AP =因为,AP AQ互相垂直，同理得AQ = 所以APQ 面积12S AP AQ ==()242221162116299829982k k k k k k k k + + =++++ 令21116227,162162649644889t k t S k t t t+==×=×=++ ， 此时83t =，解得3k =±或13k =±， 所以APQ 面积的最大值是278.。
2025届江苏南通市启东、通州联考高三11月期中联考数学试题
2024-2025学年（上）高三年级期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设112z i =+，2i z =，则12z z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 若集合{}1,0,1,2A =−，02x B x x =≥ − ，则A B = （ ） A. {}1,0− B. {}0,1C. {}1,2D. {}1,0,1− 3. 已知向量a ，b 满足1a =3，(a b += ，则a b −= （ ） A. 2B. C. 4 D. 164. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()21f x x ax =−++，若()f x 在()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A. (],2−∞−B. [)2,−+∞C. (],1−∞−D. [)1,−+∞ 5. 从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（ ）A. 15B. 40C. 55D. 706. 一个正四棱台油槽可以装汽油190L （1L=1000cm 3），若它的上、下底面边长分别为60cm 和40cm ，则它的深度为（ ）A. 25cmB. 75cmC. 100cmD. 150cm 7. 当[0,2π]x ∈时，函数sin y x =与π()2sin()(6)f x x ωω+=−∈N 的图象有4个交点，则ω的值为（ ）A 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()62f x f x +=，当(]0,6x ∈时，()24f x x x =−，则()251k f k ==∑（ ）A. -7B. 25C. 57D. 102二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在5123x x +的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. x 的系数为10B. 第4项的二项式系数为10C. 没有常数项D. 各项系数的和为32 10. 在长方体1111ABCD A B C D −中，12AA =，AB AD ==P 是底面ABCD 上的一点，且1D P ∥平面11A C B ，则（ ）A. 1D B AC ⊥B. 1D B ⊥平面11A C BC. 1D PD. 1A P PB +11. 如图，函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象，则（ ） A. π()2sin(2)3f x x =+ B. 将()f x 图象向右平移2π3后得到函数2sin 2y x =的图象 C. ()f x 区间7π13π[,]1212上单调递增 D. ()f x 在区间π[,]3t t +上的最大值与最小值之差的取值范围为[1, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..在12. 如果随机变量()2~5,X N σ，且()30.3P X ≤=，那么()37P X ≤≤=________. 13. 如图，在半径为2、圆心角为60 的扇形的弧PQ 上任取一点A ，作扇形的内接平行四边形ABCP ，使点B 在OQ 上，点C 在OP 上，则该平行四边形面积的最大值为________.14. 已知函数2()ln f x a x x b =−+，若(0,1)x ∈，()(1)0f x f x +<，则正整数a 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数32()1()f x x ax x a =+−−∈R .（1）若1a =−，求()f x 的极值；（2）若函数()f x 的图象关于点(1,(1))f −−对称，求a 的值.16. 在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()cos 2sin sin 2b b A C a B C −+=. （1）求B ；（2）若四边形ABDC 内接于圆O ，π6ACB ∠=，2AB =，求ABD △面积的最大值. 17. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了()ππ 3.14159≈⋅⋅⋅的前6个数字（1，1，3，4，5，9）设置个人银行储蓄卡密码.（1）求密码中两个1不相邻的概率；（2）若密码的前三位出现1的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.18. 在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，BC CD ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA PD AB ===，1BCCD ==.（1）求证：PD AB ⊥；（2）求PB 与平面PAD 所成角正弦值； （3）若线段PC 上存在一点E ，使得截面ABE 将四棱锥P ABCD −分成体积之比为5:7的上下两部分，求点P 到截面ABE 的距离.19. 已知函数()f x 及其导函数ff ′(xx )的定义域都为RR ，设直线l ：y kx m =+是曲线y kx m =+的任意一条切线，切点横坐标为0x ，若()f x kx m ≥+，当且仅当0x x =时“=”成立，则称函数()f x 满足“性质P ”. （1）判断2y x 是否满足“性质P ”，并说明理由； （2）若ff ′(xx )单调增函数，证明：()f x 满足“性质P ”； （3）若函数()2e ex x g x ax −=+−满足“性质P ”，求实数α取值范围.的是的。
福建省部分校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
高三数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何初步。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,5,,1,23A a B a ==+，且B A ⊆，则a =（）A ．1−B ．1C ．3−D ．32．命题“()20,1,sin 21x x x x ∀∈>−+−”的否定为（ ）A ．()20,1,sin 21x x x x ∃∉≤−+−B ．()20,1,sin 21x x x x ∃∈≤−+−C ．()20,1,sin 21x x x x ∀∉>−+−D ．()20,1,sin 21x x x x ∀∈≤−+−3．函数()()22log log eesin xxf x x −=−⋅在区间[],ππ−上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．若()20.5:90,:log 11p x q x −≤−>−，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在长方体1111ABCD A B C D −中，已知122AA AD CD ==，点E 是线段CD 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（）A B ．89C ．25D 6．当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有()010lgxf x A =（其中0A 为常数），某挖掘机的声音约为90分贝，普通室内谈话的声音约为50分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）A ．4eB ．410C ．95D ．35107．如图，在圆锥PO 中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO ，可得一个圆锥1PO 和一个圆台1O O ，若圆锥1PO 的体积是圆锥PO 体积的18，则圆锥1PO 与圆台1O O 的侧面积的比值为（ ）A ．12B ．14C ．23D ．138．已知函数()()sin 2cos ,0,0f x x ax ax x x f x =−−∀≥≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4 +∞B ．10,4C ．1,3 +∞D ．10,3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知()22i i z +=，则下列说法正确的是（ ）A ．z 在复平面内对应的点的坐标为21,55−B ．21i 55z =−−C.z 在复平面内对应的点与点21,55−关于原点对称 D ．z = 10．如图，这是函数()()sin 0,0,02f x A x b A πωϕωϕ=++>><<的部分图象，则（ ）A ．()2sin 216f x x π=++B ．()2sin 213f x x π=++C ．()512cos 26f x x π=−+D ．()12cos 23f x x π=−+11．已知1,1m n >>，且3m n +=，则（ ）A ．333log log 2log 4m n +≤−B ．222e ln ln 2e e e m nmn≥−C ．2182113m n +≥−−D ．229m n +≥12．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅．这个数列的前两项均是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和．人们把这样的一列数组成的数列{}n F 称为斐波那契数列．现将数列{}n F 中的各项除以3所得余数按原顺序构成的数列记为{}n G ，则下列说法正确的是（ ）A ．2024202611i i F F ==−∑B ．20242202320241ii FF F ==∑C ．20240G =．D ．202412277ii G==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向是,a b 的夹角为3π，且()1,22a a a b =⋅−=−，则b = ______．14．若1tan 42πθ+=−，则tan θ=______． 15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S =，且5436a a a =+，则满足41n S <的n 的最大值为______．16．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()()()421,84,01f x f x f f x f x f ++=−=−=，则()20251k f k ==∑______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 2c aA b−=．（1）求B ；（2）若3,c b==ABC △的面积．18．（12分）设函数()23ln f x x x x =−+． （1）求()f x 在(]0,1上的最大值； （2）设函数()()33ln g x f x x x =−+，关于x 的方程()21g x m =−有3个不同的根，求m 的取值范围． 19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =−，数列{}n b 为等差数列，34521b b b ++=，611b =．（1）求{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列n n b a的前n 项和n T ．20．（12分）如图．在三棱锥P ABC −中．,2,AB BC AB BC PBC ⊥=△为等边三角形，,,BP AP BC 的中点分別为,,,D E O且AD =．（1）证明：平面ABC ⊥平面PBC ：（2）若F 为AC 的中点．求点C 到平面BEF 的距离．21．（12分）近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a 万元()0a >，现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x ∈N 且100500x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加()0.2%x ，技术人员的年人均投入调整为31000x a m−万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？（2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m ，满足以上两个条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 22．（12分）已知函数()()414ln 2x f x ea x −=−．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点11,22f处的切线方程； （2）当0a >时，若关于x 的不等式．()()ln 2x a a f a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学考试参考答案1．D 【解析】 本题考查集合间的基本关系，考查数学运算的核心素养．若235a +=，则1a =，此时21a =，不满足互异性；若223a a =+，则解得3a =或1a =−，显然，3a=符合题意，而当1a =−时，21a =，不满足互异性．2．B 【解析】 本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养．全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题的否定为()20,1,sin 21x x x x ∃∈≤−+−．3．C 【解析】 本题考查函数的图象与性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养． 因为()()()()()2222log log log log eesin e esin xxxxf x x x f x −−−−−=−⋅−=−−⋅=−，所以()f x 为奇函数，A ，B 错误．又当01x <<时，22log 0log x x <<−，所以22log log eexx−<，sin 0x >，从而()()22log log eesin 0xxf x x −=−⋅<，C 正确，D 错误．4．B 【解析】 本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养．由290x −≤，得33x −≤≤，由()0.5log 11x −>−，得13x <<，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．A 【解析】 本题考查异面直线所成的角，考查直观想象的核心素养．设2ADCD ==，则14AA =，易知11//AD BC ，所以异面直线1D E 与BC ，所成的角为 1AD E ∠．经计算可知11D EAD AE=，所以1cos AD E∠=．6．B 【解析】 本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养．设该挖掘机的声音强度为1x ，普通室内谈话的声音强度为2x ，由题意知12010lg 90,10lg 50,x A x A==化简得91052010,10,x A x A = = 所以41210x x = 7．D 【解析】 本题考查旋转体的体积与侧面积，考查直观想象的核心素养．设圆锥1,PO PO 的底面圆半径分别为,r R ，它们的母线长分别为,l L ，因为1318PO PO V r V R ==，所以12r R =，从而12l L =，即2,2R r L l==．所以111223CO PO S rl S r l rl πππ==⋅⋅−侧侧． 8．C 【解析】 本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养．()0,0x f x ∀≥≤等价于sin 2cos x ax x ≤+．记()sin 2cos x g x ax x=−+，即()0g x ≤在[)0,+∞上恒成立．()()222cos 111132cos 332cos x g x a a x x +=−=−−+− + +′．当103a −≤，即13a ≥时，()()0,g x g x ′≤在[)0,+∞上单调递减，所以当0x ≥时，()()00g x g ≤=，即()0f x ≤恒成立；当103a <<时，记()sin 3x h x ax =−，则()cos 3x h x a =′−，存在00,2x π ∈，使得()00h x ′=，当()00,x x ∈时，()()0,h x h x ′>单调递增，所以()()00h x h >=，即sin 3xax >，所以当()00,x x ∈时，sin sin 2cos 3x xax x ≥>+，即()0f x >，不符合题意；当0a ≤时，102f a ππ=−>，不符合题意． 综上，a 的取值范围是1,3+∞．9．BCD 【解析】 本题考查复数的运算与几何意义，考查数学运算的核心素养．由题可得()22i 121i 2i 4i 55z −−−===−++−，即z 在复平面内对应的点的坐标为21,55−，与点21,55−关于原点对称，A 错误，C 正确；21i 55z =−−，B 正确；z =，D 正确．10．BC 【解析】 本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象与数学运算的核心素养．因为3,1,A b A b += −+=−所以2,1.A b = = 又1741234T πππ−，所以T π=，则2ω=，故()()2sin 21f x x ϕ=++．将点,13π的坐标代入()()2sin 21f x x ϕ=++，得3πϕ=，则()2sin 213f x x π =++ ，B 正确；若()2sin 216f x x π =++ ，则23f π=，A 错误；而512cos 212cos 22sin 216323x x x ππππ−+=−++=++，C 正确；若()12cos 23f x x π=−+，则()00f =，D 错误．11．ABC 【解析】 本题考查不等式，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．因为22m n mn +≤，所以()233333log log log log 2log 42m n m n mn + +=≤=− ，当且仅当m n =时，等号成立，A 正确；易知e e mn+≥，即22e e 2e emn m n+≥，所以22e 2e e e m n mn ≥−，1222222e 2e e 2e e 0e m n mn ≥−>−>，故222e ln ln 2e e e m nmn≥− ，B 正确； 因为2122,32112122m n m n m n +=++=−−−−，所以21223m n −+−=， ()2112214442212242113212232122n m m n m n m n m n −−+=+−+−=++ −−−−−−，因为444242122n m m n −−+≥=−−，所以1444284321223n m m n −− ++≥−− ，当且仅当57,44m n ==时，等号成立，C 正确；()2222929m n m n mn mn +=+−=−<，D 错误． 12．ACD 【解析】 本题考查数学文化与数列的求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养．对于A ，因为21n n n F F F ++−=，所以321432543202620252024,,,,F F F F F F F F F F F F −=−=−=⋅⋅⋅−=，上式两边分别相加得2026201224i i F F F =−=∑，又121F F ==，所以2024202611i i F F ==−∑，A 正确． 对于B ，因为12n n n F F F ++=−，所以21211n n n n nF F F F F ++++=−，所以222223221343324544320242025202420242023,,,,F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F =−=−=−⋅⋅⋅=−，上式两边分别相加得222232024202520241F F F F F ++⋅⋅⋅+=−，所以202421202420251i FF F ==∑，B 错误．对于C ，由题意知123456789101,1,2,0,2,2,1,0,1,1,G G G G G G G G G G ==========⋅⋅⋅，所以数列{}n G 是最小正周期为8的数列，故202480G G ==，C 正确． 对于D ，()20241253112022102277ii G ==×+++++++=∑，D 正确．13．3【解析】 本题考查平面向量的夹角与模，考查数学运算的核心素养．因为()212||21222a ab a a b b ⋅−=−⋅=−×=− ，所以3b = ．14．3−【解析】 本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．因为tan 11tan 41tan 2πθθθ++==−−，所以tan 3θ=−． 15．4【解析】 本题考查等比数列的性质与求和，考查数学运算的核心素养．设公比为q ，因为5436a a a =+，所以260q q −−=，解得3q =．又由313S =，即1113913a a a ++=，解得11a =，所以312n n S −=．由31412n −<，得383n <，所以n 的最大值为4． 16．2024【解析】 本题考查抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养． 由()()84f x f x −=−可知()f x 的图象关于直线2x =对称，从而()()401f f ==．又()()()421f x f x f ++=，令x =，得()()()21042f f f =+=，则()()()()()()()()152637482f f f f f f f f +=+=+=+=．由()()42f x f x ++=，得()()482f x f x +++=，可推出()()8f x f x +=，故()f x 的最小正周期为8，则()()()2152,10f f f ===．因为202582531=×+，所以()()()()()2025125312812024k f k f f f f = =++⋅⋅⋅++= ∑．17．解：（1）因为2cos 2c aA b −=，所以222222b c a c a bc b +−−=，整理得222a c b ac +−=，所以2221cos222a cb ac B ac ac +−===， 又因为()0,B π∈，所以3B π=．（2）因为2222cos ,3,b a c ac B c b =+−==，所以21393a a +−，即2340a a −−=，解得4a =．所以ABC △的面积11sin 3422S ac B ==××=． 评分细则：第一问另解： 因为2cos 2c aA b−=，所以2cos 2b Ac a =−． 由正弦定理得()2cos sin 2sin sin A B A B A =+−，整理得2sin cos sin 0A B A −=． 因为sin 0A >，所以1cos 2B =． 又因为()0,B π∈，所以3B π=．18．解：（1）因为()23ln f x x x x =−+，所以()()()211123x x f x x x x=′−−=−+．令()0f x ′<，解得112x <<，令()0f x ′>，解得102x <<或1x >， 所以()f x 在10,2 上单调递增，在1,12上单调递减． 所以()f x 在(]0,1上的最大值为15ln 224f=−−． （2）()264ln g x x x x =−+，它的定义域是()0,+∞，且()()()221426x x g x x x x=′−−=−+，当()()0,12,x ∈+∞ 时，()0g x ′>，当()1,2x ∈时，()0g x ′<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增．因为方程()21g x m =−有3个不同的根，()()15,24ln28g g =−=−， 所以4ln28215m −<−<−，解得72ln222m −<<−，即m 的取值范围为72ln2,22−−． 评分细则：【1】第一问，写出()()()211123x x f x x x x=′−−=−+，得2分，正确写出单调区间，累计得4分，第一问都正确，累计得5分． 【2】第二问，写出()()()22142x x g x x x x=′−−=−+，累计得7分，正确写出单调区间，累计得9分，正确计算出两个极值，累计得10分，直至求出正确答案，累计得12分． 【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分． 19．解：（1）当1n =时，1122a a =−，解得12a =． 当2n ≥时，1122,22n n n n S a S a −−=−=−，两式相减得122n n n a a a −=−，即()122nn an a −=≥，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2n n a =． 设等差数列{}n b 的公差为d ，由34521b b b ++=，可得47b =，又611b =，所以7211d +=，解得2d =，故21nb n =−． （2）令n n nb c a =，则由（1）可知212n n n c −=，则23135212222n n n T −=+++⋅⋅⋅+，① 234111352122222nn n T +−=+++⋅⋅⋅+，② ①-②，得21111111111211121323122222222222n n n n n n n n n T −+−++−−+ =+++⋅⋅⋅+−=+−−=− ， 所以2332n nn T +=−． 评分细则：【1】第一问，写出12a =，得1分，写出2n n a =，累计得4分，写出47b =，累计得5分，求出21n b n =−，累计得6分．【2】第二问，求出212n nn c −=，累计得7分，求出11323222n n n T ++=−，累计得11分，直到给出正确结论得12分．20．（1）证明：因为PBC △为等边三角形，,D O 分别是BP BC ⋅的中点，且BC =，所以DO BD ==，所以AD =．又2AB =，所以222AB BD AD +=，即AB BD ⊥． 因为,AB BC BC BD B ⊥= ，所以AB ⊥平面PBC ． 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBC ．（2）解：连接PO ，由已知可得PO BC ⊥，又由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ．因为F 为AC 的中点，所以点C 到平面BEF 的距离等于点A 到平面BEF 的距离．在直角ABC △中，可知2ACBF ==，在直角ABP △中，可知2APBE ==因为EF 是ACP △的中位线，所以2PC EF BEF==△的面积12BEFS =△设点A 到平面BEF 的距离为d ，则三棱锥A BEF −的体积A BEF V −=．又ABF △的面积122ABF S =×=△点E 到平面ABF 的距离为2OP =，所以三棱锥E ABF −的体积13E ABF V −==d =，即点C 到平面BEF ．评分细则：【1】第一问中，求出AD =，得2分，证出AB BD ⊥，累计得4分，证出平面ABC ⊥平面PBC ，累计得5分．【2】第二问中，证出PO ⊥平面ABC ，累计得6分，计算出BEF S =△，累计得9分，计算出E ABF V −=累计得11分，直至正确求出点C 到平面BEF 的距离，累计得12分． 21．解：（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为211000x a+万元， 则()21000110001000x x a −+≥0a >，所以2201000x x −≤，解得0500x ≤≤, 因为x ∈N 且100500x ≤≤，所以100500x ≤≤，故5001000900x ≤−≤，即要使这()1000x −名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500．（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得()231000110001000x x x a x m a−+≥−，上式两边同除以ax ，得1000231110001000x x m x −+≥−，整理得100011000x m x ≤++． 由条件②技术人员年人均投入不减少，得31000x a m a−≥，解得311000xm ≥+． 假设存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，即()310001110050010001000x xm x x +≤≤++≤≤恒成立． 设()21000110001110001000x f x x x x =++=++，易知()f x 在(]0,1000上单调递减，因为x ∈N 且100500x ≤≤，所以()f x 在[]100,500上单调递减，则min 1000500()1 3.55001000f x =++=，当500x =时，等号成立，所以 3.5m ≤．又因为100500x ≤≤，当500x =时，max31 2.51000x+=，所以 2.5m ≥， 所以2.5 3.5m ≤≤，即存在这样的m 满足条件，m 的取值范围为[]2.5,3.5． 评分细则：【1】第一问，写出调整后研发人员的年人均投入为211000x a+万元，得1分，写出0500x ≤≤，累计得3分，写出调整后的研发人员的人数最少为500，累计得5分． 【2】第二问，求出()231000110001000x x x a x m a−+≥−，累计得6分，求出311000x m ≥+，累计得8分，写出()310001110050010001000x xm x x +≤≤++≤≤恒成立，累计得9分，直到给出正确结论得12分．22．解：（1）当1a =时，()()41e 4ln 2x f x x −=−，所以()4,144e x f x x−′=−， 114e 8,e 22f f=−=′，所以切线方程为()1e 4e 82y x−=−−， 即()4e 8e 4y x =−−+．（2）()f x 的定义域为()()()0,,ln 2f x a a a +∞≥+，即()()41e 4ln 2ln 20x a x a a a −−−−≥．设()()()41e4ln 2ln 2x g x a x a a a −=−−−，则()4144e x ag x x−=′−． 因为0a >，所以()g x ′在()0,+∞上为增函数，当0x →时，()g x ′→−∞，当x →+∞时，()g x ′→+∞，所以存在唯一的00x >，使()0410044e 0x ag x x −−′==， 且当()00,x x ∈时，()0g x ′<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x ′>．由()0410044e 0x a g x x −−′==，得0410e x a x −=，则()()00ln 2ln 241a x x =+−． 所以()()()()000414141min 000()e4ln 2ln 2e e 4ln 21ln 2x x x g x a x a a a x x a −−− =−−−=−++()0412000e 15ln 240x x x x − =−−≥ ．因为()()20000000115ln 245ln 240x x x x x x x −−=−−≥，所以()00015ln 240x x x −−≥．设()()15ln 24h x x x x=−−，易知它在()0,+∞上为减函数，注意到102h=，所以0102x <≤．又0410e x a x −=，设()411e 02x u x x x −=<≤，则()()4141e 0x u x x −=′+>，可知()u x 在10,2上单调递增，则e 0,2a ∈，即实数a 的取值范围是e 0,2．分评分细则：【1】第一问，写出()4144e x f x x−′=−，得2分，正确求出曲线()y f x =的切线方程，累计得4分．【2】第二问，写出()4144e x ag x x−=′−，累计得6分，推导出()()00ln 2ln 241a x x =+−，累计得8分，推出()0412000e15ln 240x x x x − −−≥，累计得9分．证出()()4141e 0x u x x −=′+>，累计得11分，求出实数a 的取值范围是e 0,2，累计得12分．【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．。
2022-2023学年第一学期高三期中调研试卷数学
2022-2023学年第一学期高三期中调研试卷数学一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合 A ={x ∣x 2≤4x },B ={x ∣3x −4>0}, 则 A ∩B = A. [0,+∞) B. [0,43) C. (43,4] D. (−∞,0)2.设复数 z 满足 (1+i)z =2i , 则 |z|= A. 12 B. √22 C. √2 D. 23.在 △ABC 中, 点 N 满足 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 记 BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ , 那么 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. a −2b ⃗B. a +2b ⃗C. a −b ⃗D. a +b ⃗ 4.“ sinα+cosα=1 ”是“ sin2α=0 ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.奇函数 f(x) 在 R 上单调递增, 若正数 m,n 满足 f(2m)+f (1n −1)=0, 则 1m +n 的最 小值为 A. 3 B. 4√2 C. 2+2√2 D. 3+2√26.已知函数 f(x)=√3cosωx −sinωx(ω>0) 的周期为 2π, 那么当 x ∈[0,2π3] 时, ωf(x) 的取值范围是 A. [−√32,√32] B. [−√3,√3] C. [−√32,1] D. [−1,2]7. 古时候, 为了防盗、防火的需要, 在两边对峙着高墙深院的“风火巷”里常有梯子、铜锣、绳索等基本装备. 如图, 梯子的长度为a, 梯脚落在巷中的M点, 当梯子的顶端放到右边墙上的N点时, 距地面的高度是ℎ, 梯子的倾斜角正好是45∘, 当梯子顶端放到左边墙上的P点时, 距地面的高度为 6 尺(1米=3 尺), 此时梯子的倾斜角是75∘. 则小巷的宽度AB等于 ( ）A. 6 尺B. a尺C. (ℎ+2)尺D. ℎ+a2尺8.已知实数a=log23,b=2cos36∘,c=√2, 那么实数a,b,c的大小关系是A. b>c>aB. b>a>cC. a>b>cD. a>c>b二、多项选择题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分. 每小题给出的四个选项中, 都有多个选项是正确的, 全部选对的得 5 分, 选对但不全的得 2 分, 选错或不答的得 0 分. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知非零实数a,b,c满足a>b>c且a+b+c=0, 则下列不等关系一定正确的有( )A. ca >cbB. ca +ac≤−2C. (a−b)a>(b−c)aD. ca ∈(−2,−12)10.已知函数f(x)=cos2x−2cosxcos3x, 则A. f(x)的最大值为 1B. f(π6)=f(−π3)C. f(x)在(−π12,π6)上单调递增D. f(x)的图象关于直线x=π4对称11.在棱长为 2 的正方体中, M,N分别是棱AB,AD的中点, 线段MN上有动点P, 棱CC1上点E满足C1C=3C1E. 以下说法中, 正确的有A. 直线C1P与BE是异面直线B. 直线C1P//平面BDEC. 三棱雉C−C1MN的体积是 1D. 三棱雉C−C1MN的体积是 312.已知函数f(x)=(x2−x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=2对称, 则A. a+b=5B. f(x)的最小值是−3516C. f(x)图象与直线2x+y−8=0相切D. f(x)图象与直线12x−y−48=0相切三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共计 20 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13.命题p:∃x∈R,x2+mx+2≤0, 若“非p”为真命题, 则m的取值范围是14.已知函数f(x)={2x,x≤0,|log2x|,x>0,则函数g(x)=2−f[f(x)]的所有零点之积等于 .15.在△ABC中, 已知B>C,cosA=3132,cos(B−C)=18, 那么tanB=16.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网, 如图是由无数个正方形环绕而成的, 且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上. 设外围第一个正方形A1B1C1D1的边长为 1 , 往里第二个正方形为A2B2C2D2,…, 往里第n 个正方形为A n B n C n D n. 那么第 7 个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过 2 . (本小题第一空 2 分, 第二空 3 分, 参考数据: lg2= 0.301,lg3=0.477).四、解答题: 本大题共 6 小题, 共计 70 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分) 在锐角 △ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 且 2bsinA −√3a =0. (1) 求角 B 的大小;(2) 求 cosAcosBcosC 的取值范围.18.(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 E(cosα,sinα ) (其中 0≤α≤π ), 将向量 OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 逆时针方向旋转 90∘, 得到向量 OF ⃗⃗⃗⃗⃗ , 记 A(1,0),B(0,−1). (1) 求 |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值; (2) 试判断两向量 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BF⃗⃗⃗⃗⃗ 的位置关系. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱雉 P −ABC 中, ∠ACB =90∘,PA ⊥ 底面 ABC . ① 求证: 平面 PAC ⊥ 平面 PBC ;②若 AC =BC =PA,M 是 PB 的中点, 记 AM 与底面 ABC 所成角为 α,AM 与平面 PBC 所成角为 β, 试研究 α 与 β 的等量关系.20.(本小题满分 12 分) 已知首项a1=4的数列{a n}的前n项和为S n, 对任意n∈N∗都有a nS n =n+12n(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 记c n=a n2n , 数列{c n}的前n项和为T n, 有A≤1T1+1T2+⋯+1T n≤B恒成立, 求B−A的最小值.21.(本小题满分 12 分) 给定函数f(x)=(x+1)e x.(1) 判断函数f(x)的单调性, 并求出f(x)的极值;(2) 画出函数f(x)的大致图象;(3) 求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.22.(本小题满分 12 分) 已知函数f(x)=ln(1+x)−(lna)⋅x (实数a>0 ). (1) 若实数a∈N∗, 当x∈(0,+∞)时, f(x)<0恒成立, 求实数a的最小值;(2) 证明: (1+1n )n<3.2022-2023学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、单项选择1 C 2. C 3. A 4. A 5. D 6. B 7. A 8.B2 解: 由于 cos36∘>cos45∘ 可得 2cos36∘>√2 即 b >c . 又由于 log 23>12(log 22+log 24)=32>√2, 所以 a >c . 由于 35<28,5ln3<8ln2,a =log 23<85,b =2cos36∘=2×√5+14>1.6,所以 b >a >c . 选 B 项.二、多项选择9 BD 10. ABD 11. ABC 12. AD12.解: 因为 y =f(x) 图象关于直线 x =2 对称, 当 x =3 时, f(3)=f(1)=0, 于是 9+3a +b =0, 当 x =4 时, f(4)=f(0)=0, 于是 16+4a +b =0, 于是 a =−7,b =12, 所以 a +b =5.f(x)=(x 2−x )(x 2−7x +12)=x(x −1)(x −3)(x −4)=(x 2−4x )(x 2−4x +3), 令 t =x 2−4x,t ≥−4, 则 g(t)=t(t +3)=t 2+3t,t ≥−4, 因为 g(t)=t 2+3t 图象开口向上, 对称轴是 t =−32, 所以 g(t) 的最小值为 −94. 联立方程 {y =x(x −1)(x −3)(x −4)y =8−2x,x =4 是方程组的解, 约分 x −4, 而方程 x(x −1)(x −3)=−2 有三个解, 所以 f(x) 与直线 2x +y −8=0 不能相切. 函数 y =f(x) 在 x =4 处的切线方程为 12x −y −48=0.三、填空题13 (−2√2,2√2) 14. −2 15. −5√79 16. 500729,4 15 解: 由 cosA =3132 得到 cosBcosC −sinBsinC =−3132, 由 cos(B −C)=18 得到cosBcosC +sinBsinC =18, 于是 cosBcosC =−2764,sinBsinC =3564, 于是 tanBtanC =−3527. 在 △ABC 中, tan(B +C)=tanB+tanC 1−tanBtanC =−tanA =−3√731, 于是 tanB +tanC =−2√79. 再由 tanBtanC =−3527, 解方程组得到 tanB =−5√79 或 tanB =√73, 由于 B >C ,取 tanB =−5√79.四、解答题17 解: (1) 由正弦定理, b =2RsinB,c =2RsinC , 代入 2bsinA −√3a =0, 有 2×2RsinBsinA −√3×2RsinA =0 ， 因为 A 是三角形的内角, sinA ≠0, 所以 sinB =√32, 注: 不说明 sinA ≠0, 扣 1 分。
南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期期中联合调研数学试题(含答案)
2023—2024学年第一学期11月六校联合调研试题高三数学2023．11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x 2－x －2＜0}，则A ∪B ＝()A ．(0，2)B ．(－1，2)C ．(－∞，4]D ．(－1，4]2．若a ，b 是夹角为60°的两个单位向量，λa ＋b 与－3a ＋2b 垂直，则λ＝()A ．18B ．14C ．78D ．743．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为()A ．2B ．5C ．4D ．255．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(t ，－1)，若cos α＝5，则tan(α＋π)＝()6．已知数列{a n }通项公式为a n n 2－2tn ＋2，n ≤7n ＋94，n ＞7，若对任意n ∈N *，都有a n +1＞a n ，则实数t 的取值范围是()7．已知圆C 1：x 2＋y 2＝b 2(b ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)，若在双曲线C 2上存在点P ，使得过点P 所作的圆C 1的两条切线，切点为A ，B ，且∠APB ＝π3，则双曲线C 2的离心率的取值范围是()A ．(1，52]B ．[52，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＋f (x )＝0，f (－x )＝f (x ＋2)；且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3－x 2＋x ．则方程4f (x )－x ＋2＝0所有的根之和为()A ．6B ．12C ．14D ．10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.已知复数z ＝2＋i ，z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R )(i 为虚数单位)，－z 为z 的共轭复数，则下列结论正10．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，则()A ．2a ＋1b 的最小值为4B ．ab 的最大值为18C ．a 2＋b 2的最小值为15D ．2a ＋4b 的最小值为2211．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[－π2，π2]上为单调函数，图象关于直线x ＝2π3对称，则()A ．ω＝34B ．将函数f (x )的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C ．若函数f (x )在区间(a ，14π9)上没有最小值，则实数a 的取值范围是(－2π9，14π9)D ．若函数f (x )在区间(a ，14π)上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是[－4π，0)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．为全面推进乡村振兴，某市开展了“四季村晚”活动，晚会有《茉莉花》、《扬鞭催马运粮忙》、《数幸福》、《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．14．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 3＋a 5＝_____________（用数字作答）．15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为___________．16．如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，AC ⊥AB ，AC ＝2，AA 1＝4，AB ＝6，点E ，F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么C 1E ＋EF ＋FB 1的长度最小值是，此时三棱锥B 1-C 1EF 外接球的表面积为．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 2＋a n ＝2S n ＋2数列{b n }满足b n ＝a n ·3a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ．18.（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝c (a ＋c ).（1）若B ＝π4，求c a的值；（2）若△ABC 是锐角三角形，求3sin B ＋2cos 2C 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知在四棱锥C －ABED 中，DE ∥平面ABC ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝4，AB ＝2DE ，DA ＝DC ，点F 为线段BC 的中点，平面DAC ⊥平面ABC ．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B －AD －C的余弦值．21．（本小题满分12分）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)经过点P (4，6)，且离心率为2．22.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝e x －a3x 3－x 22－2ax ．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）若在[0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；（3）若f (x )的最小值为1，求a 的值．2023—2024学年第一学期11月六校联合调研试题高三数学答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1~4：DBDA5~8：CCBD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．BC10．BCD11．ABD12.ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1214．－36415．2816．82；44π（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分17.（1）2211121+=+=S a a n 时，，02121=--a a ，（舍）或1211-==a a ……………2分2222211212+=++=+≥---n n n n n n S a a S a a n ，时，两式相减得01212=-----n n n n a a a a ，……()0)1(11=--+--n n n n a a a a {}n a 为正项数列，∴11=--n n a a …………4分数列{a n }为等差数列，公差为1.11)1(1+=⨯-+=∴n n a a n ……5分（2）13)1(3+⋅+=⋅=n a n n n a b n 232⋅=n T +333⋅+434⋅+…+13)1(+⋅+n n +0n T 3=0+332⋅+433⋅+…+13+⋅n n +23)1(+⋅+n n …………7分相减得214323)1()333(322++⋅+-++++⋅=-n n n n T =23)21(29+⋅+-n n 4934122-⋅+=+n n n T …………10分18.（1）在△ABC 中，B ＝π4，据余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac又b 2＝c (a ＋c )，故a 2－2ac ＝ac ，即a 2＝(2＋1)ac ，又a ＞0，故a ＝(2＋1)c ，得ca＝2－1.…………4分（2）在△ABC 中，据余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b 2＝c (a ＋c )，故a 2－2ac cos B ＝ac ，又a ＞0，故a －2c cos B ＝c.…………6分据正弦定理a sin A ＝c sin C ，可得sin A －2sin C cos B ＝sin C ，sin[π－(B ＋C )]－2sin C cos B ＝sin C ，sin B cos C ＋cos B sin C －2sin C cos B ＝sin C ，sin(B －C )＝sin C因为A ，B ，C ∈(0，π)，所以B －C ∈(－π，π)，则B －C ＝C 或B －C ＋C ＝π，即B ＝2C 或B ＝π（舍）..…………8分所以3sin B ＋2cos 2C ＝3sin2C ＋cos2C ＋1＝2sin(2C ＋π6)＋1.A ＝π－(B ＋C )＝π－3C因为△ABC 是锐角三角形，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<<-<20220230ππππC C C ，得46ππ<<C ，..…………10分π2＜2C ＋π6＜2π3，故sin(2C ＋π6)∈(32，1)，2sin(2C ＋π6)＋1∈(3＋1，3)故3sin B ＋2cos 2C ∈(3＋1，3)...…………12分19.（1）{}3020100，，，∈X 1201)0(31033===C C X P ，40712021)10(3102317====C C C X P ，402112063)10(3101327====C C C X P ，24712035)30(31037====C C X P 所以X 的分布为X 0102030P12014074021247…………………6分所以21247304021204071012010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………………8分（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.()90193231103)31(107122=⋅⋅+⋅=C M P ∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为9019.…………………12分20.（1）取AC 的中点O ，连接OF 、OD ，∵DE ∥平面ABC ，DE ⊂平面ABED ，平面ABED ∩平面ABC=AB ∴DE ∥AB………………………2分又∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴AB OF AB OF 21//=且∵2AB DE =∴DE OF ∥∴四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，………………3分∵在DAC △中DA DC =且O 为AC 中点，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC .……5分∵AB 、AC ⊂平面ABC ，∴DO ⊥AB ，DO ⊥AC ，∵//EF DO ∴EF ⊥AB ，EF ⊥AC .∵AB ∩AC =A ，AB 、AC ⊂平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC………………6分注：由EF ∥DO 得EF ⊥平面ABC ”者，不扣分，但讲评时需告知学生要求。
江苏省连云港市2023-2024学年高三上学期期中考试 数学试题(含答案)
连云港市2022~2023学年第一学期期中调研考试高三数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设m 为实数，{}1,3A m =--，{}21,3B m m =--.若{}3A B =-，则m =（ ）A.1B.-1C.0D.0或-12.“21a <”是“2a <”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设123i z =+，2i z m =-（m ∈R ），若120z z <，则m =（ ） A.23-B.23 C.32-D.324.连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用0e D I I KD =-表示其总衰减规律，其中K 是平均消光系数，D （单位：米）是海水深度，D I （单位：坎德拉）和0I （单位：坎德拉）分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海区5米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数K 的值约为（参考数据：ln20.7≈，ln5 1.6≈）（ ） A.0.2B.0.18C.0.16D.0.145.已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（ ） A.5B.15C.-5D.15-6.若12a ⎛= ⎪⎝⎭，3log 2b =，3c =，则（ ）A.b c a <<B.a b c <<C.a c b <<D.c a b <<7.设a ，b ，c 都是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则()()c a c b -⋅-的最大值为（ ）A.32 B.32+ C.32D.32+8.若函数()sin f x x x ωω=在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极值点，则正数ω的取值范围是（ ） A.511,33⎛⎫⎪⎝⎭B.51117,5,333⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C.51117,5,333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.51117,5,333⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省德州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(含答案解析)
山东省德州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________x．B．．D ．．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为30DAB =︒，则1AC 的长为（）A ．53+B ．5-C ．53+D ．5．若π5sin α⎛⎫-=，则5πsin 2α⎛⎫+的值为（A ．3872πcmB ．872π4C ．3432πcm 2D ．432πcm 8．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数[],a b 上是单调递增函数，且()f x 在[],a b 上的值域为[ka 二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题(1)求S 关于x 的函数关系式；(1)求证：⊥AE 平面ABCD ；(2)求平面PBA 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．22．已知函数()()2e lnf x ax x =-有两个极值点对数的底数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若()1212eln e 2ln ln ln x x x x λ≥⋅+-恒成立，求λ的取值范围．参考答案：故选：C.5．D【分析】根据诱导公式可得cos 【详解】由π5sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得即π5cos 65α⎛⎫+=-⎪⎝⎭所以5ππsin 2=sin 263αα⎛⎫⎛++ ⎪ ⎝⎭⎝故选:D 6．C【分析】根据给定条件，求出数列【详解】依题意，52n a n =-，显然数列因此22805805(n S n n n n +++==取等号，【详解】如图，作出函数()y f x =的图象，对于选项A ：令()10f x x --=，可得()1f x x =+，则函数()1y f x x =--的零点个数即为()y f x =与1y x =+的交点个数；由图象可知()y f x =与1y x =+有三个交点，即函数()1y f x x =--有三个零点，故A 正确；对于选项B ：令()0=-=y f x t ，可得()f x t =，则函数()y f x t =-的零点个数即为()y f x =与y t =的交点个数；若函数()y f x t =-有两个零点，由图象可知{}(]03,7t ∈ ，故B 正确；对于选项C ：若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根，则()y f x =与y t =有四个交点，不妨设1234x x x x <<<，由图象可得：(]1,3t ∈，且12342,6+=-+=x x x x ，所以12344x x x x +++=，故C 错误；对于选项D ：因为()()2320f x f x -+=，解得()1f x =或()2f x =，结合图象可知：()1f x =有三个根，()2f x =有四个根，所以关于x 的方程()()2320f x f x -+=有7个不等实数根，故D 正确；故选：ABD.11．BD【分析】根据等比数列基本量的计算可得2q =，11a =，进而根据求和公式即可判断AB,根据等差等比数列的定义即可求解CD.，因为方程()2f x x =恰好只有一个实数根，即结合图象可得0m <或11m e=+，故结合图象可得021a <<，即102a <<，故60,0,P ⎛⎫60,,0A ⎛⎫-6,B ⎛-由图可知，当02a <<时，直线y a =与函数()2eln x g x x=的图象有两个交点，且当10x x <<或2x x >时，()ln 2e 0x f x a x '=-⋅>；【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.。
期中考试高三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 2)B. y = 1/xC. y = x²D. y = log₂(x + 1)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = 1，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. |x| ≥ 2C. |x| < 2D. |x| ≤ 24. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 9，则d的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 下列复数中，实部为0的是（）A. 2 + 3iB. 4 - 5iC. -1 + 2iD. 0 + 5i6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1C. √2/2D. 07. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16...B. 1, 3, 9, 27, 81...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...D. 1, 2, 4, 8, 16...8. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -29. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 1210. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x²≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² ≤ 0D. 对于任意实数x，x³ ≤ 0二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = -x² + 2x + 1，则f(x)的顶点坐标为______。
12. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 5，a5 = 15，则d的值为______。
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高三期中调研数学试题考试一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则U ð(M ∪N ) = ▲ ．2．()πcos 6f x x w 骣÷ç=-÷ç÷ç桫的最小正周期为π5，其中0w >，则ω= ▲ ．3．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -= ▲ ．4．已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =_ ▲ ．5．已知向量a 与b 的夹角为60，||2,||3a b == ，则 ||a b -= ▲ ．6．数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556， 若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ▲ .7．已知π1sin()64a -=，则πsin(2)6+a = ▲ ．8.设向量(1,0),(sin θ,cos θ),0θπa b ==≤≤,则a b + 的最小值为 ▲ ．9．若1cos cos 2t x +=，则函数2cos sin y t x =-的值域是_ ▲ ．10．已知数列{}n a 对于任意*,p q ÎN ，有p q p q a a a ++=，若125a =，则100a = ▲ ．11.设实数a b c 、、满足22100a bc a --+=,2212150b bc c a ++--=.则a 的取值范围是__▲__.12．已知a 为参数，函数2283()()3()3x a x a f x x a x a -+--=+--是偶函数．则a 可取值的集合是 ▲ ．13．在ABC ∆中，已知三内角A B C ∠∠∠、、成等差数列，其对边分别为a b c 、、，且c a -等于边AC 上的高h .则sin 2C A-= ▲ ．14．设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题6小题,共90分）15．（本小题14分）已知集合{}21|1,|()(2)03x A x B x x a x a x 禳-镲==+-睚镲+镲铪≥≤.（1）求集合A ；（2）若A B = ,求实数a 的取值范围．16．（本小题14）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233342b c a bc +-=．（1）求sin A 的值；（2）求ππsin()sin()441cos 2A B C A+++-的值．17．（本小题15分）. 在ABC D 中，内角A B C ,,的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =． （Ⅰ）若32BA BC?，求a c +的值； （Ⅱ）求cos cos sin sin A CA C+的值.18．（本小题15分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开始．．．．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g （x ），其余工人加工完H 型装置所需时间为h （x ）（单位：小时，可不为整数）. （1）写出g （x ），h （x ）的解析式；（2）比较g （x ）与h （x ）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f （x ）的解析式； （3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？19. （本小题16）已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设2n n n c a b = ，证明：当且仅当n ≥3时，1n n c c +<.20. （本小题16分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >的解集为(1,3)-. （1）若函数()()g x xf x =在区间(,)3a -∞内单调递减，求a 的取值范围； （2）当1a =-时，证明方程3()21f x x =-仅有一个实数根.（3）当x ∈［0,1］时，试讨论|()(21)31|3f x a x a +-++≤成立的充要条件.泰兴市2011年秋学期高三期中调研考试数学参考答案一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则U ð(M ∪N ) ={}4． 2．()πcos 6f x x w 骣÷ç=-÷ç÷ç桫的最小正周期为π5，其中0w >，则ω= 10 . 3. 若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=1-. 4.已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =52．5．已知向量a 与b 的夹角为60，||2,||3a b == ，则 ||a b -= 7．6. 数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556， 若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a =57. 7．已知π1sin()64α-=，则πsin(2)6α+=78. 8．设向量(1,0),(sin ,cos ),0πa b θθθ==≤≤,则a b + 的最小值为2.9．若1cos cos 2t x +=，则函数2cos sin y t x =-的值域是31[,]44-.10．已知数列{}n a 对于任意*,p q ∈N ，有q p q p a a a +=+，若521=a ，则=100a 40. 11．设实数abc 、、满足22100a bc a --+=,2212150b bc c a ++--=.则a 的取值范围是[1,5].12．已知a 为参数，函数2283()()3()3x a x a f x x a x a -+--=+--是偶函数．则a 可取值的集合是{}5,2-．13．在ABC ∆中，已知三内角A B C ∠∠∠、、成等差数列，其对边分别为a b c 、、，且c a-等于边AC 上的高h .则sin2C A -=12. 14．设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为)1,e ⎡-+∞⎣.二、解答题（本大题6小题,共90分）15．（本小题14分）已知集合{}21|1,|()(2)03x A x B x x a x a x 禳-镲==+-睚镲+镲铪≥≤.（1）求集合A ；（2）若A B = ,求实数a 的取值范围．解：（1）由2113x x -+≥，得：403x x -+≥ ……………………………………………2分 解得，4x ≥或3x <-，………………………………………………………………4分 所以{}|43A x x x =<-≥或 ………………………………………………………5分（2）①当0a ≥时，{|2}B x a x a ≤≤，=- …………………………………6分因为A B = ，所以0243a a a ≥≥íïïï<ìïï--ïïî，解得02a ≤<， …………………………9分② 当0a <时，{|2}B x a x a ≤≤-，= …………………………………………10分因为A B =∅ ，所以0423a a a ≥í<ïïï-<ìïï-ïïî，解得302a ≤-<， …………………………13分综上所述，实数a 的取值范围为)3,22éê-êë.…………………………………14分16.（本小题14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233342b c a bc +-=．（1）求sin A 的值；（2）求ππsin()sin()441cos 2A B C A+++-的值； 解：（1）由余弦定理得22222cos 23b c a A bc +-==………………………………4分 又0<πA <,故21sin 1cos 3A A =-=． ………………………………7分 （2）原式=ππ2sin()sin(π)441cos 2A A A+-+- 2ππ2sin()sin()442sin A A A+-=……………………………………………………9分 222222(sin cos )(sin cos )22222sin A A A A A+-=……………………………11分222sin cos 72sin 2A A A -==- ……………………………………………………14分17．（本小题15分）在ABC ∆中，内角A B C ,,的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =． （Ⅰ）若32BA BC ⋅= ，求a c +的值；（Ⅱ）求cos cos sin sin A CA C +的值． 解:（Ⅰ）由32BA BC ⋅= ，得3cos 2ac B =．……………………………………………2分因为3cos 4B =，,,a b c 成等比数列，所以22b ac ==．………………………………4分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2222cos 5a c b ac B +=+=，则222()29a c a c ac +=++=，故3a c +=．………………………………………7分 （Ⅱ）由3cos 4B =，得7sin 4B =． ………………………………………………9分由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =，………………………………………12分 于是22cos cos sin cos cos sin sin()sin 147sin sin sin sin sin sin sin 7A C C A C A A CB AC A C B B B +++=====(15分)18．（本小题15分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开始．．．．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g （x ），其余工人加工完H 型装置所需时间为h （x ）（单位：小时，可不为整数）. （1）写出g （x ），h （x ）的解析式；（2）比较g （x ）与h （x ）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f （x ）的解析式； （3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 解：（1）由题知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，（216－x ）人. ∴g （x ）=x64000，h （x ）=3)216(3000⋅-x ，即g （x ）=x 32000，h （x ）=x-2161000（0＜x ＜216，x ∈N *）. ……………………4分 （2）g （x ）－h （x ）=x 32000－x-2161000=)216(3)5432(1000x x x --⋅. ………………………6分∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g （x ）－h （x ）＞0，g （x ）＞h （x ）； 当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g （x ）－h （x ）＜0，g （x ）＜h （x ）.∴f （x ）=**2000,086,,31000,87216,.216x x xx x xíïï< ïïìïï< ïï-ïîN N ≤≤ …………………………………8分（3）完成总任务所用时间最少即求f （x ）的最小值. 当0＜x ≤86时，f （x ）递减，∴f （x ）≥f （86）=8632000⨯=1291000.∴f （x ）min =f （86），此时216－x =130. …………………………………………………………11分 当87≤x ＜216时，f （x ）递增，∴f （x ）≥f （87）=872161000-=1291000.∴f （x ）min =f （87），此时216－x =129.∴f （x ）min =f （86）=f （87）=1291000.…………………………………14分∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129…………………15分19. （本小题16分）已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设2n n n c a b = ，证明：当且仅当n ≥3时，1n n c c +<. 解：(1)由于数列{}n a 的前n 项和222n S n n =+，所以114a S ==.当2n ≥时, 221(22)[2(1)2(1)]4n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=.所以*4()n a n n N =∈……………………………………………………………………4分 因为2n n T b =-,所以11b =.……………………………………………………………6分 又当n ≥2时11(2)(2)n n n n n b T T b b --=-=---, 所以12n n b b -=.所以数列{}n b 是等比数列,其首项为1,公比为12, 所以11()2n n b -=.……………………………………………………………………8分(2)由(1)知221116()2n n n n c a b n -=⋅=⋅,……………………………………………10分所以2(1)121221116(1)()(1)21216()2n n n n n C n C n n +-+-+⋅+==⋅. 由212(1)112n n C n C n得++<<即2210,n n --> 所以12n >+即3n ≥…………………………………………………………14分 又3n ≥时2(1)212n n+<成立,即11n n C C +<由于0n C >恒成立. 因此,当且仅当3n ≥时, 1n n C C +<.……………………………………………16分20. （本小题16分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >的解集为(1,3)-. （1）若函数()()g x xf x =在区间(,)3a -∞内单调递减，求a 的取值范围； （2）当1a =-时，证明方程3()21f x x =-仅有一个实数根.（3）当x ∈［0,1］时，试讨论|()(21)31|3f x a x a +-++≤成立的充要条件. 解：（1）()20(1,3)f x x ->- 的解集为， ∴可设()2(1)(3),0f x x a x x a -=+-<且，因而2()(1)(3)22(1)3f x a x x x ax a x a =+-+=+-- ①()g x x =)(x f =322(1)3ax a x ax +--，………………………………………2分∵()g x 在区间(,)3a- 内单调递减，∴2()34(1)3g x ax a x a ¢=+--在(,)3a - 上的函数值非正，由于0a <，对称轴()2103a x a-=>，故只需34()(1)30333a a g a a a ¢=+--≤，……………………………………4分注意到0a <，∴24(1)90a a +--≥，得a ≤-1或a ≥5（舍去）.故所求a 的取值范围是(],1-∞-. ………………………………………………5分（2）1a =-时，欲证方程()321f x x =-仅有一个实数根，即证方程322440x x x +--= 仅有一个实数根. ……………………………7分 令()h x =32244x x x +--，由()/26240hx x x =+-=，得11x =-，223x =，易知()h x 在(),1-∞-，2(,)3+ 上递增，在2(1,)3-上递减，()h x 的极大值()110h -=-<，………………………9分 故函数()h x 的图象与x 轴仅有一个交点，所以1a =-时，方程()321f x x =-仅有一个实数根，得证. ………………………11分（3）设 2()()(21)311r x f x a x a ax x =+-++=++,(0)1r =，对称轴为12r a=-, 由题意,得102(1)23a r a íïï-<ïìïï=+ïî≤≤或1211()1324(1)23a r a a r a íïï<-ïïïïïï-=-ìïïïï=+-ïïïïî≤≥……………………………14分 解出50a -<≤，故使|()(21)31|3f x a x a +-++≤成立的充要条件是50a -<≤. …………16分 (各题如有其他解法，请相应给分)11。