第四章平面图形的几何性质

A
可为“ 可为“+”、“-”、“0”。
mm 和 cm 4 。 常用单位为： 常用单位为：
两坐标轴中有一个为平面图形的对称轴， 若 z、y 两坐标轴中有一个为平面图形的对称轴，则其惯性积
4
Ι zy 恒等于零。 恒等于零。
3、惯性半径 、 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长 度平方的乘积， 度平方的乘积，即
2
Iz =
∫A y
A
2
dA
——图形对 轴的惯性矩 图形对z轴的惯性矩 图形对
I y = ∫ z dA
2
单位： 单位：cm4 、mm4 。 均为“ 。 均为“+”。
——图形对 轴的惯性矩 图形对y轴的惯性矩 图形对
（1）矩形截面的惯性矩 取宽为 b，高为 dy 的狭长条为微面 积 dA = bdy 。 由惯性矩定义得
2.静矩与形心坐标的关系 静矩与形心坐标的关系
yC
∫ = ∫ =
yd A S z A = A A zd A A = Sy A
zC
A
S z = y C A , S y = zC A
若截面对某一轴的静矩为零，则该轴必通过截面的形 若截面对某一轴的静矩为零， 反之，若某一轴通过截面形心， 心；反之，若某一轴通过截面形心，则截面对该轴的 静矩为零。 静矩为零。
2
同理： 同理：
Ι y1 = Ι y + b A
2
注意： 注意：
I z ， I y 是平面图形对其形心轴的惯性矩。 是平面图形对其形心轴的惯性矩。
2.组合图形的惯性矩 组合图形的惯性矩
Ιz = Ιy =
∑ ∑
i =1 i =1 n
n
Ι zi Ι yi
【例 4-2】求图示Ｔ形截面对其形心轴 zC 的惯性矩。 求图示 的惯性矩。 ：设 【解】 设Ⅰ、Ⅱ两矩形的形心坐标 z Ι 、 zΠ 与 ： T 形截面形心坐标 z C 的间距分别为 aΙ 、 aΠ 。因 此可得： 此可得：
【 例 4 -3】 求图 4-6 所示工字形截面对其形心轴 z 的惯性矩 I z 。 解：工字形截面的形心轴 z 也是面积 2 的大矩形及Ⅰ 40× 为 40×80 mm 的大矩形及Ⅰ、Ⅱ两个 小矩形的形心轴， 小矩形的形心轴，故
40mm × (80mm) ( 40mm − 10mm ) × ( 60mm ) Iz = − 12 12 = 116.7 ×104 mm 4 = 116.7cm 4
bh 3 Ι z = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 bdy = A −h / 2 12
h/2
同理可得
hb Ιy = 12
3
（2）常见简单截： dA 对 z 轴、y 轴的惯性积。 轴的惯性积。
整个平面图形对 z 轴、y 轴的惯性积 为：
Ι zy = ∫ zydA
下图各截面的y轴均为截面的对称轴， 点为截面的形心 点为截面的形心， 下图各截面的 轴均为截面的对称轴，O点为截面的形心，y 轴均为截面的对称轴 轴和z轴均通过截面形心 因此y轴和 轴均为形心主惯性轴。 轴均通过截面形心， 轴和z轴均为形心主惯性轴 轴和 轴均通过截面形心，因此 轴和 轴均为形心主惯性轴。
4.1 静矩和形心
1.静矩的概念 静矩的概念
y dA
——dA对z轴的静矩 对 轴的静矩
zdA
——dA对y轴的静矩 对 轴的静矩
Sz =
∫A y d A
——图形对 轴的静矩 图形对z轴的静矩 图形对
S y = ∫ zd A
A
——图形对 轴的静矩 图形对y轴的静矩 图形对
单位： 可为“ 、 单位：cm3 、mm3 。可为“+”、“-”、“0”。 、 。
2
Ι z1 = ∫ y dA A 2 Ι y1 = ∫ z1 dA A
2 1
Ι z1 = ∫ ( y + a ) dA = ∫ ( y + 2 ya + a )dA
2 2 2 A A
= ∫ y dA + 2a ∫ ydA + a
2 A A
2
dA ∫
A
Ι z1 = Ι z + a A
a = 30mm − 10mm = 20mm Ⅰ aⅡ = 50mm − 30mm = 20mm
轴的惯性矩， Ⅰ、Ⅱ两矩形截面对 zC 轴的惯性矩，由平行移 轴公式（ 12） 轴公式（4-12）得
I ZC Ι = I Z Ι Ι
60mm × (20mm)3 + aΙ AΙ = + (20mm)2 × 20mm × 60mm 12 = 52 × 10 4 mm 4
Ai y C i Ai
∑
i =1

【例 4-1】T 形截面，如图 4-2 所示。求截面的形心位置。 例 形截面， 所示。求截面的形心位置。 【解】 由于 T 形截面关于 y 轴对 ：
轴上， 称,形心必在 y 轴上，因此 z C = 0 ， 只需计算 y C 。 形截面可看做由矩形Ⅰ T 形截面可看做由矩形Ⅰ和矩形 组成， Ⅱ组成，CⅠ、CⅡ 分别为两矩形的形 心。两矩形的截面面积和形心纵坐 标分别为
3
3
4.4 主惯性轴和主惯性矩的概念
主惯性轴（主轴）： 主惯性轴（主轴）： Ι zy = 0 ，z、y 轴为主惯性轴。 、 轴为主惯性轴。 主惯性矩：平面图形对于主惯性轴的惯性矩。 主惯性矩：平面图形对于主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性轴：主惯性轴通过平面图形的形心。 形心主惯性轴：主惯性轴通过平面图形的形心。 形心主惯性矩：平面图形对形心主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性矩：平面图形对形心主惯性轴的惯性矩。
AΙ = AΠ = 25mm × 80mm = 2000mm 2
yCΙ = 12.5mm
由公式（ 由公式（4-6）得
yC
yCΠ = 65mm
2000mm 2 ×12.5mm + 2000mm 2 × 65mm = = 38.75mm 2 2 2000mm + 2000mm
∑Ay = ∑A
i i
Ci
=
组合图形
静矩
S z = ∑ S zi = ∑ Ai y Ci i =1 i =1 n n S y = ∑ S yi = ∑ Ai z Ci i =1 i =1
n n
形心坐标
zC =
Sy A
=
∑ ∑
n
n
i =1 n
Ai z C i Ai
∑
i =1 n
i =1
yC
Sz = = A
2 2
I Z C Π = I Z Π Π + aΠ
20mm × (60mm)3 AΠ = + (20mm)2 × 20mm × 60mm 12 = 84 × 10 4 mm 4
的惯性矩由公式（ 14） Ｔ形截面对形心轴 zC 的惯性矩由公式（4-14）得
I Z C = I Z C Ι + I Z C Π = 52 × 10 4 mm 4 + 84 × 10 4 mm 4 = 136cm 4
I y = A iy
2
或 iy =
或 iz =
Iy A
Iz A
I z = A iz
i y 、i z
2
分别称为平面图形对y轴和 轴的惯性半径 分别称为平面图形对 轴和z轴的惯性半径 轴和
4.3 组合图形的惯性矩
1.平行移轴公式 平行移轴公式
y1 = y + a z1 = z + b
Ι z = ∫ y dA A 2 Ι y = ∫ z dA A
AΙ yCΙ + AΠ yCΠ AΙ + AΠ
故截面形心坐标（ z C ， y C ）=（0，38.75） 故截面形心坐标（ 38.75）
惯性矩、惯性积、 4.2 惯性矩、惯性积、惯性半径
1.惯性矩 惯性矩
y dA ：dA对z轴的惯性矩 对 轴的惯性矩
对 轴的惯性矩 z dA：dA对y轴的惯性矩
2
第四章
平面图形的几何性质
•学习目标：掌握平面图形的形心确定方法、静矩、惯 学习目标：掌握平面图形的形心确定方法、静矩、 学习目标 性矩、惯性积的概念； 性矩、惯性积的概念；熟悉矩形等简单图形对其形心 轴的惯性矩计算公式；掌握平行移轴公式， 轴的惯性矩计算公式；掌握平行移轴公式，并能应用 平行移轴公式计算组合截面的惯性矩； 平行移轴公式计算组合截面的惯性矩；了解主惯性轴 和主惯性矩的概念。 和主惯性矩的概念