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等差数列典型例题(含答案)

等差数列典型例题(含答案)

等差数列试题精选一、选择题:(每小题5分,计50分)1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=则432,3,1S a a ==( ) (A )12 (B )10 (C )8 (D )62.已知{a n }为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =( )A .8B .7C .6D .54.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若42=S ,204=S ,则该数列的公差d=( ) A .7 B. 6 C. 3 D. 2 5.等差数列{}n a 中,已知31a 1=,4a a 52=+,33a n =,则n 为( ) (A )48 (B )49 (C )50 (D )516.等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5935,95S Sa a 则( ) A .1 B .-1 C .2 D .21 8.已知等差数列{a n }满足α1+α2+α3+…+α101=0则有( )A .α1+α101>0B .α2+α100<0C .α3+α99=0D .α51=51 9.如果1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A )1a 8a >45a a (B )8a 1a <45a a (C )1a +8a >4a +5a (D )1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )(A )13项 (B )12项 (C )11项 (D )10项 二、填空题:(每小题5分,计20分)11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足,则=+++1721a a a _____________.12.已知{a n }为等差数列,a 3 + a 8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = __________13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题:(15、16题各12分,其余题目各14分)14.等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a (Ⅰ)求通项n a ; (Ⅱ)若S n =242,求n.15.已知数列{}n a 是一个等差数列,且21a =,55a =-。

经典等差数列练习题(含答案)

经典等差数列练习题(含答案)

经典等差数列练习题(含答案)等差数列一、选择题:1.2005是数列7,13,19,25,31, ,中的第()项.A.332B.333C.334D.3352.已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有()A.13项B.14项C.15项D.16项3.已知等差数列的通项公式为a n3na,a为常数,则公差d=()4.首项为24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是()A.d 8 8D.8B.d3C. d3 d33 3 3()A.第22项B.第21项C.第20项D.第19项6. 已知数列a,-15,b,c,45 是等差数列,则a+b+c 的值是( )A.-5 B .0 C .5 D .10( ) A.45 B .48 C .52 D .558.已知等差数列的首项a1和公差d是方程x2-2x-3=0 的两根,且知d>a1,则这个数列的第30项是( )A.86 B.85 C.84D.83()A.3B.2C.1D.-110、若x≠y,且两个数列:x,a1,a2,y 和x,b1,b2,b3,y 各成等差数列,那么a1x()(A) 3(B) 4(C) 2 (D)值不确定y b3 4 3 3二填空题1.等差数列a n中,a29,a533,则a n的公差为______________。

2.数列{a n}是等差数列,a47 ,则s7_________3.等差数列a n中,a3a524,a23,则a621.4.在等差数列{a n}中,若a4a6a8a10 a12 120,则2a10a12 .5.在首项为31,公差为-4的等差数列中,与零最接近的项是6.如果等差数列a n的第5项为5,第10项为5,则此数列的第1个负数项是第项.7.已知{a n}是等差数列,且a4a7a1057,a4a5a6a14 77,若ak13,则k=8.在△ABC中,A,B,C成等差数列,则tan A tan C3tan A tanC.三、解答题:2 22 21.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。

等差数列练习题(有答案) 百度文库

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A.a1=22B.d=-2
C.当n=10或n=11时,Sn取得最大值D.当Sn>0时,n的最大值为21
29.已知数列 是递增的等差数列, , . ,数列 的前 项和为 ,下列结论正确的是()
A. B.
C.当 时, 取最小值D.当 时, 取最小值
30.等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则下列结论正确的是()
一、等差数列选择题
1.设等差数列 、 的前 项和分别是 、 .若 ,则 的值为()
A. B. C.1D.2
2.等差数列 中, ,公差 ,则 =()
A.200B.100C.90D.80
3.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为()
A.a8=34B.S8=54C.S2020=a2022-1D.a1+a3+a5+…+a2021=a2022
25.设d为正项等差数列 的公差,若 , ,则()
A. B. C. D.
26.在数列 中,若 为常数 ,则称 为“等方差数列” 下列对“等方差数列”的判断正确的是()
A.若 是等差数列,则 是等方差数列
【详解】
由题知,只需 ,
,A正确;
,B正确;
,C正确;
,所以 ,D错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,解题方法是由已知确定 的范围,由通项公式写出各项(用 表示)后,可判断.
26.BCD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可.

(完整版)等差数列典型例题及分析

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第四章 数列[例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n -5)是该数列的前几项之和.正解:(1)a n =3n -2;(2) 1+4+…+(3n -5)是该数列的前n -1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

正解: ①当1=n 时,111==S a 当2≥n 时,34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合,∴34-=n a n ②当1=n 时,311==S a 当2≥n 时,nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ,S 10=10 ,S 30=70,则S 40等于 。

正解:由题意:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 =1204023940401=⨯⨯+d a 。

[例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25-5n ,求数列{}||n a 的前n 项和;正解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n 项和的公式吗?[例7]已知:nn a -+=12lg 1024 (3010.02lg =)+∈N n (1) 问前多少项之和为最 大?(2)前多少项之和的绝对值最小? 解:(1) ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n∴3402=n (2) 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令:0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得:99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列,中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根,求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。

经典等差数列性质练习题(含答案)

经典等差数列性质练习题(含答案)

等差数列基础习题选(附有详细解答)一.选择题(共26小题)1.已知等差数列{a n}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为()A.B.1 C.D.﹣12.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5,则此数列是()A.以7为首项,公差为2的等差数列B.以7为首项,公差为5的等差数列C.以5为首项,公差为2的等差数列D.不是等差数列3.在等差数列{a n}中,a1=13,a3=12,若a n=2,则n等于()A.23 B.24 C.25 D.264.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=6,a4=8,则公差d=()A.一1 B.2 C.3 D.一25.两个数1与5的等差中项是()A.1 B.3 C.2 D.6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是()A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣57.(2012•福建)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1 B.2 C.3 D.48.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=()A.0 B.8 C.3 D.119.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则它们的公共项的个数为()A.25 B.24 C.20 D.1910.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若满足a n=a n﹣1+2(n≥2),且S3=9,则a1=()A.5 B.3 C.﹣1 D.111.(2005•黑龙江)如果数列{a n}是等差数列,则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8<a4+a5D.a1a8=a4a5 12.(2004•福建)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=()A.1 B.﹣1 C.2 D.13.(2009•安徽)已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()14.在等差数列{a n}中,a2=4,a6=12,,那么数列{}的前n项和等于()A.B.C.D.15.已知S n为等差数列{a n}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为()A.6 B.7 C.8 D.916.已知数列{a n}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则s6的值为()A.30 B.35 C.36 D.24 17.(2012•营口)等差数列{a n}的公差d<0,且,则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是()A.5 B.6 C.5或6 D.6或718.(2012•辽宁)在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58 B.88 C.143 D.17619.已知数列{a n}等差数列,且a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则a4=()A.﹣1 B.0 C.1 D.220.(理)已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n,第k项满足4<a k<7,则k=()A.6 B.7 C.8 D.921.数列a n的前n项和为S n,若S n=2n2﹣17n,则当S n取得最小值时n的值为()A.4或5 B.5或6 C.4 D.522.等差数列{a n}中,a n=2n﹣4,则S4等于()A.12 B.10 C.8 D.423.若{a n}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{a n}的前10项和为()A.230 B.140 C.115 D.9524.等差数列{a n}中,a3+a8=5,则前10项和S10=()A.5 B.25 C.50 D.10025.设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于()A.1 B.2 C.3 D.426.设a n=﹣2n+21,则数列{a n}从首项到第几项的和最大()A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项27.如果数列{a n}满足:= _________ .28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f(1)=2,则f(100)= _________ .29.等差数列{a n}的前n项的和,则数列{|a n|}的前10项之和为_________ .30.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式:(Ⅱ)若数列{a n}和数列{b n}满足等式:a n==(n为正整数),求数列{b n}的前n项和S n.参考答案与试题解析一.选择题(共26小题)1.已知等差数列{a n}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为()A.B.1 C.D.﹣1考点:等差数列.专题:计算题.分析:本题可由题意,构造方程组,解出该方程组即可得到答案.解答:解:等差数列{a n}中,a3=9,a9=3,由等差数列的通项公式,可得解得,即等差数列的公差d=﹣1.故选D点评:本题为等差数列的基本运算,只需构造方程组即可解决,数基础题.2.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5,则此数列是()A.以7为首项,公差为2的等差数列B.以7为首项,公差为5的等差数列C.以5为首项,公差为2的等差数列D.不是等差数列考点:等差数列.专题:计算题.分析:直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项,再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.解答:解:因为a n=2n+5,故选A.点评:本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.3.在等差数列{a n}中,a1=13,a3=12,若a n=2,则n等于()A.23 B.24 C.25 D.26考点:等差数列.专题:综合题.分析:根据a1=13,a3=12,利用等差数列的通项公式求得d的值,然后根据首项和公差写出数列的通项公式,让其等于2得到关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.解答:解:由题意得a3=a1+2d=12,把a1=13代入求得d=﹣,则a n=13﹣(n﹣1)=﹣n+=2,解得n=23故选A点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.4.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=6,a4=8,则公差d=()A.一1 B.2 C.3 D.一2考点:等差数列.专题:计算题.分析:根据等差数列的前三项之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的;两项,根据等差数列的通项公式,得到数列的公差.解答:解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,∴a2=2∵a4=8,∴8=2+2d∴d=3,故选C.点评:本题考查等差数列的通项,这是一个基础题,解题时注意应用数列的性质,即前三项的和等于第二项的三倍,这样可以简化题目的运算.5.两个数1与5的等差中项是()A.1 B.3 C.2 D.考点:等差数列.专题:计算题.分析:由于a,b的等差中项为,由此可求出1与5的等差中项.解答:解:1与5的等差中项为:=3,故选B.点评:本题考查两个数的等差中项,牢记公式a,b的等差中项为:是解题的关键,属基础题.考点:等差数列.专题:计算题.分析:设等差数列{a n}的公差为d,因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以,结合公差为整数进而求出数列的公差.解答:解:设等差数列{a n}的公差为d,所以a6=23+5d,a7=23+6d,又因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以,因为数列是公差为整数的等差数列,所以d=﹣4.故选C.点评:解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式,并且结合正确的运算.7.(2012•福建)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1 B.2 C.3 D.4考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:设数列{a n}的公差为d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得d的值.解答:解:设数列{a n}的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2,故选B.点评:本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.8.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=()A.0 B.8 C.3 D.11考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:先确定等差数列的通项,再利用,我们可以求得的值.解答:解:∵为等差数列,,,∴∴b n=b3+(n﹣3)×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3,9.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则它们的公共项的个数为()A.25 B.24 C.20 D.19考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:(法一):根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数求解,(法二)由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解方法来求解.解答:解法一:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n},则a1=11∵数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4,∴{a n}的公差d=3×4=12,∴a n=11+12(n﹣1)=12n﹣1.又∵5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别是302与399,∴a n=12n﹣1≤302,即n≤25.5.又∵n∈N*,∴两个数列有25个相同的项.故选A解法二:设5,8,11,与3,7,11,分别为{a n}与{b n},则a n=3n+2,b n=4n﹣1.设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同,即3n+2=4m﹣1,∴n= m﹣1.又m、n∈N*,可设m=3r(r∈N*),得n=4r﹣1.根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评:解法一利用了等差数列的性质,解法二利用了不定方程的求解方法,对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若满足a n=a n﹣1+2(n≥2),且S3=9,则a1=()A.5 B.3 C.﹣1 D.1考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:根据递推公式求出公差为2,再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值.解答:解:∵a n=a n﹣1+2(n≥2),∴a n﹣a n﹣1=2(n≥2),∴等差数列{a n}的公差是2,由S3=3a1+=9解得,a1=1.故选D.点评:本题考查了等差数列的定义,以及前n项和公式的应用,即根据代入公式进行求解.11.(2005•黑龙江)如果数列{a n}是等差数列,则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8<a4+a5D.a1a8=a4a5解答:解:∵a1+a8﹣(a4+a5)=2a1+7d﹣(2a1+7d)=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评:本题主要考查等差数列通项公式,来证明等差数列的性质.12.(2004•福建)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=()A.1 B.﹣1 C.2 D.考点:等差数列的性质.专题:计算题.分析:充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题.解答:解:设等差数列{a n}的首项为a1,由等差数列的性质可得a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,∴====1,故选A.点评:本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,已知等差数列{a n}的前n项和为S n,则有如下关系S2n﹣1=(2n﹣1)a n.13.(2009•安徽)已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.﹣1 B.1 C.3 D.7考点:等差数列的性质.专题:计算题.分析:根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值,进而求得数列的公差,最后利用等差数列的通项公式求得答案.解答:解:由已知得a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=a4﹣a3=﹣2.∴a20=a3+17d=35+(﹣2)×17=1.故选B点评:本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4.14.在等差数列{a n}中,a2=4,a6=12,,那么数列{}的前n项和等于()A.B.C.D.分析:求出等差数列的通项,要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列,利用错位相减法求出数列的前n项的和.解答:解:∵等差数列{a n}中,a2=4,a6=12;∴公差d=;∴a n=a2+(n﹣2)×2=2n;∴;∴的前n项和,=两式相减得=∴故选B点评:求数列的前n项的和,先判断通项的特点,据通项的特点选择合适的求和方法.15.已知S n为等差数列{a n}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为()A.6 B.7 C.8 D.9考点:等差数列的性质.专题:计算题.分析:由a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①,根据等差数列的前n项和公式可得,,联立可求d,a1,代入等差数列的通项公式可求解答:解:等差数列{a n}中,a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得,所以 a1+a7=6②②﹣①可得d=2,a1=﹣3所以a7=9故选D点评:本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用,属于基础试题.考点:等差数列的性质.专题:计算题.分析:利用等差中项的性质求得a3的值,进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值,代入等差数列的求和公式中求得答案.解答:解:a1+a3+a5=3a3=15,∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评:本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质.17.(2012•营口)等差数列{a n}的公差d<0,且,则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是()A.5 B.6 C.5或6 D.6或7考点:等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:由,知a1+a11=0.由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n.解答:解:由,知a1+a11=0.∴a6=0,故选C.点评:本题主要考查等差数列的性质,求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.18.(2012•辽宁)在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58 B.88 C.143 D.176考点:等差数列的性质;等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16,再由S11=运算求得结果.解答:解:∵在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,∴a1+a11=a4+a8=16,∴S11==88,故选B.点评:本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n项和公式的应用,属于中档题.19.已知数列{a n}等差数列,且a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则a4=()A.﹣1 B.0 C.1 D.2分析:由等差数列得性质可得:5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4,再由等差中项可知:a4=2a5﹣a6=0解答:解:由等差数列得性质可得:a1+a9=a3+a7=2a5,又a1+a3+a5+a7+a9=10,故5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4.再由等差中项可知:a4=2a5﹣a6=0故选B点评:本题考查等差数列的性质及等差中项,熟练利用性质是解决问题的关键,属基础题.20.(理)已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n,第k项满足4<a k<7,则k=()A.6 B.7 C.8 D.9考点:等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:先利用公式a n=求出a n,再由第k项满足4<a k<7,建立不等式,求出k的值.解答:解:a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9,∴a n=2n﹣9.∵4<a k<7,∴4<2k﹣9<7,∴<k<8,又∵k∈N+,∴k=7,故选B.点评:本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式a n=的合理运用,属于基础题.21.数列a n的前n项和为S n,若S n=2n2﹣17n,则当S n取得最小值时n的值为()A.4或5 B.5或6 C.4 D.5考点:等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数,把关系式配方后,又根据n为正整数,即可得到S n取得最小值时n的值.解答:解:因为S n=2n2﹣17n=2﹣,又n为正整数,所以当n=4时,S n取得最小值.故选C点评:此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力,是一道基础题.22.等差数列{a n}中,a n=2n﹣4,则S4等于()A.12 B.10 C.8 D.4分析:利用等差数列{a n}中,a n=2n﹣4,先求出a1,d,再由等差数列的前n项和公式求S4.解答:解:∵等差数列{a n}中,a n=2n﹣4,∴a1=2﹣4=﹣2,a2=4﹣4=0,d=0﹣(﹣2)=2,∴S4=4a1+=4×(﹣2)+4×3=4.故选D.点评:本题考查等差数列的前n项和公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意先由通项公式求出首项和公差,再求前四项和.23.若{a n}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{a n}的前10项和为()A.230 B.140 C.115 D.95考点:等差数列的前n项和.专题:综合题.分析:分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式,得到①和②,联立即可求出首项和公差,然后利用求出的首项和公差,根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和.解答:解:a3=a1+2d=4①,a8=a1+7d=19②,②﹣①得5d=15,解得d=3,把d=3代入①求得a1=﹣2,所以S10=10×(﹣2)+×3=115故选C.点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道基础题.24.等差数列{a n}中,a3+a8=5,则前10项和S10=()A.5 B.25 C.50 D.100考点:等差数列的前n项和;等差数列的性质.专题:计算题.分析:根据条件并利用等差数列的定义和性质可得 a1+a10=5,代入前10项和S10 =运算求得结果.解答:解:等差数列{a n}中,a3+a8=5,∴a1+a10=5,∴前10项和S10 ==25,故选B.点评:本题主要考查等差数列的定义和性质,以及前n项和公式的应用,求得a1+a10=5,是解题的关键,属于基础题.25.设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于()A.1 B.2 C.3 D.4考点:等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:由S1,S2,S4成等比数列,根据等比数列的性质得到S22=S1S4,然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后,代入即可得到首项和公差的关系式,根据公差不为0,即可求出公差与首项的关系并解出公差d,然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后,把公差d的关系式代入即可求出比值.解答:解:由S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1+d)2=a1(4a1+6d).∵d≠0,∴d=2a1.∴===3.故选C点评:此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道综合题.26.设a n=﹣2n+21,则数列{a n}从首项到第几项的和最大()A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项考点:等差数列的前n项和;二次函数的性质.专题:转化思想.分析:方法一:由a n,令n=1求出数列的首项,利用a n﹣a n﹣1等于一个常数,得到此数列为等差数列,然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式,得到前n项的和与n成二次函数关系,其图象为开口向下的抛物线,当n=﹣时,前n项的和有最大值,即可得到正确答案;方法二:令a n大于等于0,列出关于n的不等式,求出不等式的解集即可得到n的范围,在n的范围中找出最大的正整数解,从这项以后的各项都为负数,即可得到正确答案.解答:解:方法一:由a n=﹣2n+21,得到首项a1=﹣2+21=19,a n﹣1=﹣2(n﹣1)+21=﹣2n+23,则a n﹣a n﹣1=(﹣2n+21)﹣(﹣2n+23)=﹣2,(n>1,n∈N+),所以此数列是首项为19,公差为﹣2的等差数列,则S n=19n+•(﹣2)=﹣n2+20n,为开口向下的抛物线,当n=﹣=10时,S n最大.所以数列{a n}从首项到第10项和最大.方法二:令a n=﹣2n+21≥0,解得n≤,因为n取正整数,所以n的最大值为10,所以此数列从首项到第10项的和都为正数,从第11项开始为负数,则数列{a n}从首项到第10项的和最大.故选A点评:此题的思路可以先确定此数列为等差数列,根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值;也可以直接令a n≥0,求出解集中的最大正整数解,要求学生一题多解.二.填空题(共4小题)27.如果数列{a n}满足:= .考点:数列递推式;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:根据所给的数列的递推式,看出数列是一个等差数列,根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项,根据等差数列的通项公式写出数列,进一步得到结果.解答:解:∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列,∵a1=3,∴=,∴数列的通项是∴故答案为:点评:本题看出数列的递推式和数列的通项公式,本题解题的关键是确定数列是一个等差数列,利用等差数列的通项公式写出通项,本题是一个中档题目.28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f(1)=2,则f(100)= 101 .考点:数列递推式;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:由f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,f(1)=2,依次令n=1,2,3,…,总结规律得到f(n)=n+1,由此能够求出f(100).解答:解:∵f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,f(1)=2,∴f(2)=f(1)+1=2+1=3,f(3)=f(2)+1=3+1=4,f(4)=f(3)+1=4+1=5,…∴f(n)=n+1,∴f(100)=100+1=101.故答案为:101.点评:本题考查数列的递推公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.29.等差数列{a n}的前n项的和,则数列{|a n|}的前10项之和为58 .考点:数列的求和;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:先求出等差数列的前两项,可得通项公式为a n=7﹣2n,从而得到n≤3时,|a n|=7﹣2n,当n>3时,|a n|= 2n﹣7.分别求出前3项的和、第4项到第10项的和,相加即得所求.解答:解:由于等差数列{a n}的前n项的和,故a1=s1=5,∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3,故公差d=﹣2,故a n=5+(n﹣1)(﹣2)=7﹣2n.当n≤3时,|a n|=7﹣2n,当n>3时,|a n|=2n﹣7.故前10项之和为 a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58,故答案为 58.点评:本题主要考查等差数列的通项公式,前n项和公式及其应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.30.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式:(Ⅱ)若数列{a n}和数列{b n}满足等式:a n==(n为正整数),求数列{b n}的前n项和S n.考点:数列的求和;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:(1)将已知条件a3a6=55,a2+a7=16,利用等差数列的通项公式用首项与公差表示,列出方程组,求出首项与公差,进一步求出数列{a n}的通项公式(2)将已知等式仿写出一个新等式,两个式子相减求出数列{b n}的通项,利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n.解答:解(1)解:设等差数列{a n} 的公差为d,则依题设d>0由a2+a7=16.得2a1+7d=16①由a3•a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得(16﹣3d)(16+3d)=220.即256﹣9d2=220∴d2=4,又d>0,∴d=2,代入①得a1=1∴a n=1+(n﹣1)•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1(2)令c n=,则有a n=c1+c2+…+c n,a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1,由(1)得a1=1,a n+1﹣a n=2∴c n+1=2,c n=2(n≥2),即当n≥2时,b n=2n+1又当n=1时,b1=2a1=2∴b n=<BR>于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6,即S n=2n+2﹣6点评:求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项,利用通项的特点,然后选择合适的求和的方法.。

高考数学-等差数列典型例题

高考数学-等差数列典型例题

高考数学-等差数列典型例题【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数?解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中a 1=7,d =7,a n =98.代入a n =a 1+(n -1)d 中,有98=7+(n -1)·7解得n =14答 100以内有14个能被7整除的自然数.【例2】 在-1与7之间顺次插入三个数a ,b ,b 使这五个数成等差数列,求此数列.解 设这五个数组成的等差数列为{a n }由已知:a 1=-1,a 5=7∴7=-1+(5-1)d 解出d =2所求数列为:-1,1,3,5,7.【例3】 53122在等差数列-,-,-,-,…的相邻两项之间12插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.解 d =312 (5) d =d =34原数列的公差-=,所以新数列的公差′,期通项为--3212a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n【例4】 在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个? 解 设a n =3n ,b m =4m -3,n ,m ∈N令,则=-=为使为整数,令=,a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ⇒-433m得n =4k -1(k ∈N),得{a n },{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n =12n -3(n ∈N).则在[1000,2000]内{c n }的项为84·12-3,85·12-3,…,166·12-3 ∴n =166-84+1=83 ∴共有83个数.【例5】 三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数. 解 设三个数分别为x -d ,x ,x +d .则-+++-+++(x d)x (x d)=15(x d)x (x d)=83222⎧⎨⎩ 解得x =5,d =±2∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.【例6】 已知a 、b 、c 成等差数列,求证:b +c ,c +a ,a +b 也成等差数列. 证 ∵a 、b 、c 成等差数列∴2b=a +c∴(b +c)+(a +b)=a +2b +c=a +(a +c)+c=2(a +c)∴b +c 、c +a 、a +b 成等差数列.说明 如果a 、b 、c 成等差数列,常化成2b =a +c 的形式去运用;反之,如果求证a 、b 、c 成等差数列,常改证2b=a +c .本例的意图即在让读者体会这一点.【例7】 a b a b 若、、成等差数列,且≠,求证:、、、不111a b cc 可能是等差数列.分析 直接证明a 、b 、c 不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,这时往往用反证法.证 假设a 、b 、c 是等差数列,则2b=a +c又∵、、成等差数列,∴,即=+.111211a b c b a c=+2ac b(a c) ∴2ac =b(a +c)=2b 2,b 2=ac .又∵ a 、b 、c 不为0,∴ a 、b 、c 为等比数列,又∴ a 、b 、c 为等差数列,∴ a 、b 、c 为常数列,与a ≠b 矛盾,∴ 假设是错误的.∴ a 、b 、c 不可能成等差数列.【例8】 解答下列各题:(1)已知等差数列{a n },a n ≠0,公差d ≠0,求证:①对任意k ∈N ,关于x 的方程a k x 2+2a k+1x +a k+2=0有一公共根;②若方程的另一根为,求证数列是等差数列;在△中,已知三边、、成等差数列,求证:、、也成等差数列.x (2)ABC a b c k {}cot cot cot 11222+x A B C k分析与解答(1)a k x 2+2a k+1x +a k+2=0∵{a n }为等差数列,∴2a k+1=a k +a k+2∴a k x 2+(a k +a k+2)x +a k+2=0∴(a k x +a k+2)(x +1)=0,a k ≠0∴=-或=- x 1x k a a x a a a a a a d k kk k kk k k k ++++=-=-=-22211112 ∵{a n }为等差数列,d 为不等于零的常数∴方程有一公共根-,数列是等差数列1{}11+x k(2)由条件得 2b=a +c∴4RsinB =2RsinA +2RsinC ,2sinB =sinA +sinC∴∵++=π∴∴4sin B 2cos B 2=2sin A +C 2cos A C 2A B C sin A +C 2=cos B 22sin B 2=cos A 2--C 分析至此,变形目标需明确,即要证2cot B 2=cot A 2cot C 2+ 由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有cot cot cos sin cos sin sin sin sin sin (cos cos )()cos sin sin cot A C A A C C A C A C A C A C A C B B B B 222222222212222222222+=+=+=+-+--=--=将条件代入 ∴、、成等差数列.cot A 2cot B 2cot C 2【例9】 若正数a 1,a 2,a 3,…a n+1成等差数列,求证:1111223111a a a a a a n a a n n n ++++++=+-+… 分析11111a a a a a a a a d n n n n n n n n +=--=--++++ 证明 设该数列的公差为d ,则a 1-a 2=a 2-a 3=…=a n -a n+1=-d∴a 1-a n+1=-nd∴-左式…d =a =a 11---+--++--+++a n a a a a a a a a a a a n n n n n 1212232311 =--=--=+=++++a a d a a a a nn a a n n n n 11111111右式 ∴ 原等式成立.【例10】 设x ≠y ,且两数列x ,a 1,a 2,a 3,y 和b 1,x ,b b y b 234,,,均为等差数列,求.b b a a 4321-- 分析解 d =y x51(1)=y x52(2)可采用=由a a m na ab b m n----------21433264 (2)(1)÷,得b b a a 432183--=。

(完整版)等差数列经典题型

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等差数列 第三课时 前N 项和1、在等差数列{a n }中,已知d =2,a n =11, S n =35,求a 1和n .2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7, S 15=75, T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和,求T n .(1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ;(2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =7n +2n +3,求a 5b 5的值.3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A.2B.3C.4D.54、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.295、等差数列{a n }中, S 10=4S 5,则a 1d 等于( ) A.12 B.2 C.14 D.46、已知等差数列{a n}中,a23+a28+2a3a8=9,且a n<0,则S10为()A.-9B.-11C.-13D.-157、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9, S6=36.则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.278、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为()A.765B.665C.763D.6639、一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n=33,则该数列的公差是()A.3B.-3C.-2D.-110、设{a n}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+…+a99=______.11、在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.12、已知两个等差数列{a n }、{b n },它们的前n 项和分别是S n 、S ′n ,若S n S ′n =2n +33n -1,则a 9b 9=______.13、已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)若数列{b n }是等差数列,且b n =S nn +c,求非零常数c .14、已知等差数列{a n }的前三项为a -1,4,2a ,记前n 项和为S n . (1)设S k =2 550,求a 和k 的值;(2)设b n =S nn ,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n -1的值.14、已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2-3n,求通项公式a n.15、已知数列{a n}的前n项和S n=3n+b,求a n..16、在等差数列{a n}中,a1=25, S17=S9,求S n的最大值.17、等差数列{a n}中,a1<0, S9=S12,该数列前多少项的和最小?18、已知{a n}为等差数列,求{|a n|}的前n项和19、已知等差数列{a n}中,记S n是它的前n项和,若S2=16, S4=24,求数列{|a n|}的前n项和T n.20、数列{a n}中,a1=8,a4=2,且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*).21、(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设S n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求S n.22、设数列{a n}是等差数列,且a2=-8,a15=5, S n是数列{a n}的前n项和,则()A.S9<S10B.S9=S10C.S11<S10D.S11=S1023、已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k为()A.9B.8C.7D.624、设S n是等差数列{a n}的前n项和,若S3S6=13,则S6S12等于()A.310 B.13 C.18 D.1925、.数列{a n}的前n项和S n=3n-2n2(n∈N*),则当n≥2时,下列不等式成立的是()A.S n>na1>na nB.S n>na n>na1C.na1>S n>na nD.na n>S n>na126、设{a n}是等差数列, S n是其前n项和,且S5<S6, S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值27、数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2-n(n∈N*),则通项a n=______.28、等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和S n取得最大值的自然数n 是______.29、在等差数列{a n}中,已知前三项和为15,最后三项和为78,所有项和为155,则项数n=______.30、已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n},求证:{a n}为等差数列;(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{b n},求{b n}的前n项和.31、设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=12,且S12>0, S13<0.(1)求公差d的范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由.32.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若S7=35,则a4等于( ).A.8 B.7 C.6 D.533.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a5a3=59,则S9S5等于( ).A.1 B.-1 C.2 D.1 234.已知某等差数列共20项,其所有项和为75,偶数项和为25,则公差为( ).A.5 B.-5 C.-2.5 D.2.535.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9=72,则a2+a4+a9=________.36.在等差数列{a n}中,已知前三项和为15,最后三项和为78,所有项和为155,则项数n=________.37.设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=12,且S12>0,S13<0.(1)求公差d的范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由.38.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若S3S6=13,则S6S12等于( ).A.310B.13C.18D.1939.已知数列{a n}满足a n=26-2n,则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ).A.11或12 B.12C.13 D.12或1340.等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________.41.在等差数列{a n }中,a 1>0,公差d <0,a 5=3a 7,前n 项和为S n ,若S n 取得最大值,则n =________.42.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前n 项和,求T n .。

(完整版)等差数列练习题有答案

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数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的n S n a 形式表示为。

11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件,确定数列的通项公式。

{}na 分析:(1)可用构造等比数列法求解;(2)可转化后利用累乘法求解;(3)将无理问题有理化,而后利用与的关系求解。

n a n S 解答:(1)(2)……累乘可得,故(3)二、等差数列及其前n 项和(一)等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法:第一种是利用定义,,第二种是利用等差中项,即。

1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判断。

(1)通项法:若数列{}的通项公式为n 的一次函数,即=An+B,则{}是等差数列;n a n a n a (2)前n 项和法:若数列{}的前n 项和是的形式(A ,B 是常数),则{}是等差数列。

n a n S 2n S An Bn =+n a 注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{}的前n 项和为,且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A (1)求证:{}是等差数列;1nS (2)求的表达式。

n a 分析:(1)与的关系结论;1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→(2)由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答:(1)等式两边同除以得-+2=0,即-=2(n≥2).∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项,以2为公差的等差数列。

等差数列经典例题 百度文库

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一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24B .36C .48D .642.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .803.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13 B .14 C .15 D .16 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8B .10C .12D .145.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .456.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤B .6斤C .9斤D .12斤7.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .38.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4D .-49.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .13910.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .22011.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019B .4040C .2020D .403812.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121B .161C .141D .15113.已知数列{}n a 中,132a =,且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈,若对于任意*n N ∈,都有n a nλ≥成立,则实数λ的最小值是( ) A .2B .4C .8D .1614.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .4515.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2416.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46517.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .618.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1019.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为( ) A .54钱 B .43钱 C .23钱 D .53钱 20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .80二、多选题21.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列22.题目文件丢失!23.题目文件丢失!24.题目文件丢失!25.若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( ) A .2- B .1- C .1 D .226.已知数列{}2nn a n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列27.记n S 为等差数列{}n a 前n 项和,若81535a a = 且10a >,则下列关于数列的描述正确的是( ) A .2490a a += B .数列{}n S 中最大值的项是25S C .公差0d >D .数列{}na 也是等差数列28.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列29.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214-D .{}n a 为单调递增数列30.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);B .2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈);C .()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ; D .{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题1.B 【分析】利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选:B 2.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 3.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 4.C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =⨯=. 故选:C 5.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 6.C 【分析】根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 7.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=;8.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.9.B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ,解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选:B. 10.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 11.B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯12.B 【分析】由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即127a =所以231223161S a == 故选:B 13.A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+,由等差数列的定义得出22n n n a +=,从而得出()22nn n λ+≥,求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值,即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时,11122n n n a a -=+,所以11221n n n n a a --=+,而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列,故22nn a n =+,从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立,即()22n n n λ+≥恒成立,所以()max 22nn n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,所以2λ≥,即实数λ的最小值是2 故选:A 14.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=,解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 15.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 16.B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==,2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项,2为公差的等差数列,所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=, 故选:B 17.C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩,所以122222a d d +=⎧⎨=⎩,所以101a d =⎧⎨=⎩,所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=, 故选:C. 18.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 19.C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩,解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩,所以戊所得为223a d +=, 故选:C . 20.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题二、多选题21.BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对; 故选:BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.22.无 23.无 24.无25.ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立,当n 为偶数时有12a n<-恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:12+a n-<恒成立,由12+n 递减,且1223n<+≤,所以2a -≤,即2a ≥-,当n 为偶数时有:12a n <-恒成立, 由12n -第增,且31222n≤-<, 所以32a <, 综上可得:322a -≤<, 故选:ABC .【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题,考查了分类讨论思想,有一定的计算量,属于中当题. 26.ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解【详解】 因为1112a =+,1(1)2nn a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得15d =-. 故选ACD27.AB【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项.【详解】依题意,等差数列{}n a 中81535a a =,即()()1137514a d a d +=+, 1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项,24912490a a a d +=+=,所以A 选项正确. 对于C 选项,1492a d =-,10a >,所以0d <,所以C 选项错误. 对于B 选项,()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭,令0n a ≥得51510,22n n -≤≤,由于n 是正整数,所以25n ≤,所以数列{}n S 中最大值的项是25S ,所以B 选项正确. 对于D 选项,由上述分析可知,125n ≤≤时,0n a ≥,当26n ≥时,0n a <,且0d <.所以数列{}na 的前25项递减,第26项后面递增,不是等差数列,所以D 选项错误. 故选:AB【点睛】等差数列有关知识的题目,主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值,可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.28.BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误;对于B 选项,()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n -是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2n a 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++, 由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==, 此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题.29.AD【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解:当1n =时,11154a S ==-=-,当2n ≥时,2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,当1n =时,14a =-满足上式,所以26n a n =-,由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列, 因为公差大于零,所以{}n a 为单调递增数列,所以A ,D 正确,B 错误, 由于225255()24n S n n n =-=--,而n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,n S 取最小值,且最小值为6-,所以C 错误,故选:AD【点睛】此题考查,n n a S 的关系,考查由递推式求通项并判断等差数列,考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题,属于基础题30.AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列.【详解】A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差数列,故正确;D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2n S An Bn =+,所以{}n a 不为等差数列.故错误.故选:AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.。

等差数列典型例题及详细解答

等差数列典型例题及详细解答

1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d __表示. 2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 3.等差中项 如果A =a +b2,那么A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n a 1+a n2或S n =na 1+n n -12d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最__大__值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最__小__值. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( × ) (5)数列{a n }满足a n +1-a n =n ,则数列{a n }是等差数列.( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列.( √ )1.(2015·重庆)在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6等于( ) A .-1 B .0 C .1 D .6 答案 B解析 由等差数列的性质,得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,选B.2.(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12 D .14 答案 C解析 由题意知a 1=2,由S 3=3a 1+3×22×d =12,解得d =2,所以a 6=a 1+5d =2+5×2=12,故选C.3.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( ) A .58 B .88 C .143 D .176 答案 B 解析 S 11=11a 1+a 112=11a 4+a 82=88.4.设数列{a n }是等差数列,若a 3+a 4+a 5=12,则a 1+a 2+…+a 7等于( ) A .14 B .21 C .28 D .35 答案 C解析 ∵a 3+a 4+a 5=3a 4=12,∴a 4=4, ∴a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28.5.(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列,且a 7+a 8+a 9=3a 8>0,所以a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,所以a 9<0.故当n =8时,其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中,若a 1=-2,且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ,则数列{a n }前10项的和为( ) A .2 B .10(2)已知在等差数列{a n }中,a 2=7,a 4=15,则前10项和S 10等于( ) A .100 B .210 C .380 D .400答案 (1)C (2)B解析 (1)由2a n +1=1+2a n 得a n +1-a n =12,所以数列{a n }是首项为-2,公差为12的等差数列,所以S 10=10×(-2)+10×10-12×12=52.(2)因为a 2=7,a 4=15,所以d =4,a 1=3, 故S 10=10×3+12×10×9×4=210.思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5等于( )A .5B .7C .9D .11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )B .1C .2D .3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=2a 3, ∴a 1+a 3+a 5=3a 3=3,得a 3=1, ∴S 5=5a 1+a 52=5a 3=5.故选A.(2)∵S n =n a 1+a n2,∴S n n =a 1+a n 2,又S 33-S 22=1,得a 1+a 32-a 1+a 22=1,即a 3-a 2=2,∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),b n =1a n -1(n ∈N *),所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=12-1a n-1-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1=-52. 所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知b n =n -72,则a n =1+1b n =1+22n -7.设f (x )=1+22x -7,则f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上为减函数.所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3. 引申探究例2中,若条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),探求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n +1n +1=a nn+1, 即a n +1n +1-a n n =1,又a 1=35, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=35为首项,1为公差的等差数列,∴a n n =35+(n -1)·1=n -25, ∴a n =n 2-25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2后,可递推得出a n +2-a n +1=a n +1-a n =a n -a n -1=a n -1-a n -2=…=a 2-a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,得a n +1-a n =p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)若{a n }是公差为1的等差数列,则{a 2n -1+2a 2n }是( )A .公差为3的等差数列B .公差为4的等差数列C .公差为6的等差数列D .公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( )A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n -1+2a 2n -(a 2n -3+2a 2n -2) =(a 2n -1-a 2n -3)+2(a 2n -a 2n -2) =2+2×2=6,∴{a 2n -1+2a 2n }是公差为6的等差数列. (2)由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n }是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n=n ,即a n =1n.题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,即a 5=5,a 2+a 8=2a 5=10.(2)∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列,且S 10=10,S 20=30,S 20-S 10=20, ∴S 30-30=10+2×10=30,∴S 30=60. 命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值. 解 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,∴d =-53.方法一 由a n =20+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-53n +653. 得a 13=0.即当n ≤12时,a n >0,当n ≥14时,a n <0. ∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130.方法二 S n =20n +n n -12·⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-56n 2+1256n=-56⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2522+3 12524.∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 方法三 由S 10=S 15得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. ∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 引申探究例4中,若条件“a 1=20”改为a 1=-20,其他条件不变,求当n 取何值时,S n 取得最小值,并求出最小值.解 由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0, ∴a 13=0.又a 1=-20,∴a 12<0,a 14>0, ∴当n =12或13时,S n 取得最小值, 最小值S 12=S 13=13a 1+a 132=-130.思维升华 (1)等差数列的性质:①项的性质:在等差数列{a n }中,a m -a n =(m -n )d ⇔a m -a nm -n=d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差.②和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则a .S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);b .S 2n -1=(2n -1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法:①函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. ②邻项变号法:a .当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ;b .当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是( ) A .5 B .6 C .7 D .8(2)设数列{a n }是公差d <0的等差数列,S n 为前n 项和,若S 6=5a 1+10d ,则S n 取最大值时,n 的值为( )A .5B .6C .5或6D .11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,则前n 项和S n 的最大值为________. 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6=4,2a 7=-2,a 6=2>0,a 7=-1<0;又数列{a n }是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S n 取最大值时,n =6,选B.(2)由题意得S 6=6a 1+15d =5a 1+10d ,所以a 6=0,故当n =5或6时,S n 最大,选C. (3)因为等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,代入求和公式得,S n =na 1+n n -12d =20n -n n -12×2=-n 2+21n =-⎝⎛⎭⎪⎫n -2122+⎝ ⎛⎭⎪⎫2122,又因为n ∈N *,所以n =10或n =11时,S n 取得最大值,最大值为110.6.等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 7+a 9)=54,则此数列前10项的和S 10等于( ) A .45 B .60 C .75D .90(2)在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10,则S 110=________.(3)等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A .S 4 B .S 5 C .S 6 D .S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和,可以通过求解基本量a 1,d ,代入前n 项和公式计算,也可以利用等差数列的性质:a 1+a n =a 2+a n -1=…;(2)求等差数列前n 项和的最值,可以将S n 化为关于n 的二次函数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项. 解析 (1)由题意得a 3+a 8=9, 所以S 10=10a 1+a 102=10a 3+a 82=10×92=45.(2)方法一 设数列{a n }的公差为d ,首项为a 1,则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+10×92d =100,100a 1+100×992d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1 099100,d =-1150.所以S 110=110a 1+110×1092d =-110.方法二 因为S 100-S 10=a 11+a 100×902=-90,所以a 11+a 100=-2, 所以S 110=a 1+a 110×1102=a 11+a 100×1102=-110.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0,a 6<0,所以S n 的最大值为S 5. 答案 (1)A (2)-110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时,要注意到n ∈N *; (2)利用等差数列的性质求S n ,突出了整体思想,减少了运算量.[方法与技巧]1.在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a 1,d 的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量.4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a ,a +d ,a +2d ;(2)a -d ,a ,a +d ;(3)a -d ,a +d ,a +3d 等,可视具体情况而定. [失误与防范]1.当公差d ≠0时,等差数列的通项公式是n 的一次函数,当公差d =0时,a n 为常数. 2.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.v1.0 可编辑可修改A 组 专项基础训练 (时间:35分钟)1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( ) A .63 B .45 C .36 D .27 答案 B解析 由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列. 即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6), 得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,故选B.2.(2015·北京)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( ) A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0 C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3 D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ,若a 1+a 2>0,a 2+a 3=a 1+d +a 2+d =(a 1+a 2)+2d ,由于d 正负不确定,因而a 2+a 3符号不确定,故选项A 错;若a 1+a 3<0,a 1+a 2=a 1+a 3-d =(a 1+a 3)-d ,由于d 正负不确定,因而a 1+a 2符号不确定,故选项B 错;若0<a 1<a 2,可知a 1>0,d >0,a 2>0,a 3>0,所以a 22-a 1a 3=(a 1+d )2-a 1(a 1+2d )=d 2>0,所以a 2>a 1a 3,故选项C 正确;若a 1<0,则(a 2-a 1)·(a 2-a 3)=d ·(-d )=-d 2≤0,故选项D 错.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列,且前n 项和为S n , ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.∴S m -1m -1+S m +1m +1=2S m m ,即-2m -1+3m +1=0,解得m =5,经检验为原方程的解,故选C.4.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列,且b n =a n +1-a n (n ∈N *),若b 3=-2,b 10=12,则a 8等于( )A .0B .3C .8D .11答案 B解析 设{b n }的公差为d ,∵b 10-b 3=7d =12-(-2)=14,∴d =2. ∵b 3=-2,∴b 1=b 3-2d =-2-4=-6. ∴b 1+b 2+…+b 7=7b 1+7×62d=7×(-6)+21×2=0.又b 1+b 2+…+b 7=(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 8-a 7)=a 8-a 1=a 8-3=0, ∴a 8=3.故选B.5.已知数列{a n }满足a n +1=a n -57,且a 1=5,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A .7 B .8 C .7或8 D .8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5,公差为-57的等差数列,所以a n =5-57(n -1)=40-5n7,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n 取得最大值时,n =7或8,故选C. 6.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N *),则a 10=________. 答案 14解析 由已知得1a 10=1a 1+(10-1)×13=1+3=4, 故a 10=14.7.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n =________. 答案 2n -1解析 设等差数列的公差为d , ∵a 3=a 22-4,∴1+2d =(1+d )2-4, 解得d 2=4,即d =±2.由于该数列为递增数列,故d =2. ∴a n =1+(n -1)×2=2n -1.8.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 答案 130解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0得n ≥5,∴n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.9.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n =2n ,∴S n =12n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12n -1=n -1-n 2n n -1=-12n n -1.当n =1时,a 1=12不适合上式.故a n=⎩⎪⎨⎪⎧12,n =1,-12n n -1,n ≥2.10.等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大解 方法一 由S 3=S 11得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,则d =-213a 1.从而S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1,又a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大. 方法二 由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n =3+112=7对称.由方法一可知a =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大. 方法三 由方法一可知,d =-213a 1.要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≤0,解得≤n ≤,故当n =7时,S n 最大. 方法四 由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0, 即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0, 所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大.B 组 专项能力提升 (时间:20分钟)11.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,(n +1)S n <nS n +1(n ∈N *).若a 8a 7<-1,则( ) A .S n 的最大值是S 8 B .S n 的最小值是S 8 C .S n 的最大值是S 7 D .S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n <S n +1n +1,即n a 1+a n 2n <n +1a 1+a n +12n +1,所以a n <a n +1,所以等差数列{a n }为递增数列.又a 8a 7<-1,所以a 8>0,a 7<0,即数列{a n }前7项均小于0,第8项大于零,所以S n 的最小值为S 7,故选D.12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-3,a k +1=32,S k =-12,则正整数k =________.答案 13解析 S k +1=S k +a k +1=-12+32=-212,又S k +1=k +1a 1+a k +12=k +1⎝⎛⎭⎪⎫-3+322=-212,解得k =13.13.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________.答案1941解析 ∵{a n },{b n }为等差数列, ∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6. ∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 6b 6=1941. 14.已知数列{a n }是首项为a ,公差为1的等差数列,b n =1+a n a n,若对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8成立,则实数a 的取值范围为________. 答案 (-8,-7)解析 依题意得b n =1+1a n,对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8,即数列{b n }的最小项是第8项,于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列,因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0,a 9>0,即⎩⎪⎨⎪⎧a +7<0,a +8>0,由此解得-8<a <-7,即实数a 的取值范围是(-8,-7).15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22. (1)求通项a n ; (2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =S nn +c,求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列, 所以a 3+a 4=a 2+a 5=22.又a 3·a 4=117, 所以a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两实根, 又公差d >0,所以a 3<a 4, 所以a 3=9,a 4=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =9,a 1+3d =13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4.所以通项a n =4n -3. (2)由(1)知a 1=1,d =4, 所以S n =na 1+n n -12×d =2n 2-n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫n -142-18.所以当n =1时,S n 最小, 最小值为S 1=a 1=1. (3)由(2)知S n =2n 2-n , 所以b n =S nn +c =2n 2-nn +c,所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c .因为数列{b n }是等差数列, 所以2b 2=b 1+b 3, 即62+c ×2=11+c +153+c, 所以2c 2+c =0,所以c =-12或c =0(舍去),经验证c =-12时,{b n }是等差数列,故c =-12.。

等差数列典型例题

等差数列典型例题

高二数学等差数列典型例题【例1】 在100以内有多少个能被 7个整除的自然数?解•/ 100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中 a 1 =7, d = 7, a n = 98-代入 a n = a 〔 + (n - 1)d 中,有 98= 7+ (n - 1) • 7 解得n = 14答100以内有14个能被7整除的自然数.【例2】 在—1与7之间顺次插入三个数 a , b , b 使这五个数成等差数列,求此数列.解 设这五个数组成的等差数列为 {a n } 由已知:a 〔 = — 1, = 7 ••• 7=— 1 + (5 — 1)d 解出 d = 2 所求数列为:—1 , 1, 3, 5, 7.1 1【例3】 在等差数列一5,— 3?,— 2,—,…的相邻两项之间插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.33 23a n 5 (n 1)n44 4 即a n=3 23n4 4【例4】 在[1000 , 2000]内能被解 设 a n =3n , b m = 4m — 3, n , m € N令a n = b m ,则 3n = 4m — 3n = 一3 为使 n 为整数,令 m = 3k ,3得n = 4k — 1(k € N),得{a n } , {b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n = 12n—3(n € N).则在[1000 , 2000]内{c n }的项为 84 • 12 — 3, 85 • 12— 3,…,166 • 12— 3••• n = 166 — 84+ 仁83 二共有 83 个数.1解原数列的公差d= 321 3 2d =-,期通项为 2 43(-5)=-,所以新数列的公差d3整除且被 4除余1的整数共有多少个?【例5】三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.解设三个数分别为x—d, x, x+ d.r (x —d) + x+ (x + d) = 15则(x —d)2+ x2+ (x + d)2 = 83解得x= 5, d =± 2•所求三个数为3、5、7或7、5、3说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.【例6】已知a、b、c成等差数列,求证:b+ c, c+ a, a+ b也成等差数列.证■/ a、b、c成等差数列• 2b=a + c•- (b + c) + (a+ b) = a+ 2b + c=a+ (a+ c) + c=2(a + c)• b+ c、c+ a、a+ b成等差数列.说明如果a、b、c成等差数列,常化成2b = a+ c的形式去运用;反之,如果求证a、b、c成等差数列,常改证2b=a + c.本例的意图即在让读者体会这一点.1 1 1【例7】若-、一、-成等差数列,且b,求证:a、b、c、不a b c可能是等差数列.分析直接证明a、b、c不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,这时往往用反证法.证假设a、b、c是等差数列,则2b=a+ c1 1 1又•••丄、11成等差数列,a b c2 1 1…,即2ac= b(a+ c).b a c• 2ac= b(a+ c)=2b2, b2= ac.又T a、b、c不为0,• a、b、c为等比数列,又• a、b、c为等差数列,• a、b、c为常数列,与b矛盾,•假设是错误的.• a、b、c不可能成等差数列.【例8】解答下列各题:(1)已知等差数列{a n} , a n丰0,公差d丰0,求证:①对任意k € N,关于x的方程akX2+ 2ak+1 x+ ak+2 = 0 有一公共根;⑵在△ ABC 中,已知三边a 、b 、c 成等差数列,求证:B Ccot 、cot 也成等差数列.2 2分析与解答(1)a k x2+ 2a k+i x + a k+2 = 0 •••{an }为等差数列,••• 2a k+1 = a k + a k+2二 akX 2+(ak + ak+2)x + ak+2= 0•(a k x + a k+2)(x + I =0, ak M 0• x = — 1或 x k = 1 1a k 2a ka ka ka k a k 2 2dd 为不等于零的常数1•方程有一公共根—1,数列{—「}是等差数列1 X k⑵由条件得 2b=a + c• 4Rs inB = 2Rs inA + 2Rsi nC , 2sinB = si nA + si nCB B A +C AC…4sin cos = 2sincos -2 2 2 2B =cos —2 B A C• 2sin 2 =cos 丁分析至此,变形目标需明确,即要证B AC 2cot = cot + cot —2 22I X k 1 ak 2 a k••• {a n }为等差数列,②若方程的另一根为 X k ,求证数列{彳1切是等差数列;A cot —、 2sin A +C2由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有【例10】设x丰y,且两数列x, a「a2,a3,y和b1,x,A C cot cot —2 2Acos—___ 2Asin2Ccos$Csin2Asin —2A C sin—A Csin sin2 21 A C(cos—2 2B2 cos— 2Bsin 2 si n2 2ABC••• cot —、cot -、cot —成等差数列.2 2 2 (将条件代入)A Ccos 2 )B2 cot -2【例9】右正数a〔,a?,83,:.ai a2分析:a2. a3ad…a n+1成等差数列,求证:anan 11a证明..a n -:;a n 1设该数列的公差为d,则ai —a2=a2 —a3 =••• =a n —a n+1 = —d…a1 一a n+1 = _ nda 1 an 1••— d =n左式-占1 W2.a2 a3a2 a3 a n a n 1d弩a1W a n 1a1a n 1nn;a1..a n 1右式'■/ a1 订a n 1【例10】设x 丰y ,且两数列x , a 「a2, a 3, y 和 b 1, x ,a 2 a 1 y x 解由——1 = 3 2 5 1 b 4 b 3 = y x 6 4=52b 2, b 3, y , b 4均为等差数列,求b 4 b 3 a ? a i分析可采用d =a nn(2) 一(1),得b 4 a 2b a a i(1)⑵。

等差数列经典试题(含答案)

等差数列经典试题(含答案)

一、等差数列选择题1.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸2.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13B .14C .15D .163.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .144.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4D .-45.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”.现恰有30人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520),其中年长者年龄介于90至100,其余29人的年龄依次相差一岁,则最年轻者的年龄为( ) A .32B .33C .34D .356.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或207.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .248.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24B .36C .48D .649.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .13910.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .711.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{},n a 则该数列共有( ) A .132项B .133项C .134项D .135项12.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .2 13.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9B .5C .1D .5914.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .915.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1017.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且310179a a a ++=,则19S =( ) A .51B .57C .54D .7218.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .32B .92C .2D .919.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为( ) A .54钱 B .43钱 C .23钱 D .53钱 20.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .85二、多选题21.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为( )A .(1)1()2n n F n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D .()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >23.题目文件丢失!24.题目文件丢失!25.设数列{}n a 满足1102a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .2112a << B .{}n a 是递增数列 C .2020312a <<D .2020314a << 26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2227.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a >B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .0nS <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 28.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .当9n =或10时,n S 取最大值 C .911a a <D .613S S =29.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =30.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =D .15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 2.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解.【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 3.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 4.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.5.D 【分析】设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=,结合等差数列的求和公式得出111429m n =-,再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知,这30个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,[]90,100m ∈,则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=,则111429m n =-,所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤,因为年龄为整数,所以35n =. 故选:D 6.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 7.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 8.B 【分析】利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选:B 9.B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ,解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选:B. 10.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 11.D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为{}n a ,则()8151157n a n n =+-=-,令1572020n a n =-≤,解得:213515n ≤, 所以该数列的项数共有135项. 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列. 12.C 【分析】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则63a b 可得.【详解】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,可得当2n ≥时,()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,()232n b n λ=+故622a λ=,322b λ=,故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时,11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 13.B 【分析】由已知条件,结合等差数列通项公式得1a d =,即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=,即有13424a a a a ++=,得1a d =,∴1999()452a a S d ⨯+==,99a d =,且0d ≠, ∴995S a =. 故选:B 14.D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D . 15.A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A . 16.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 17.B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =,再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=,即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选:B 18.A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ,则423634222a a d --===--, 所以5433322a a d =+=-=. 故选:A 19.C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +, 则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩,解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩,所以戊所得为223a d +=, 故选:C . 20.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C .二、多选题21.BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,,()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥, 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项,12+为公比的等比数列, 所以()()1nF n n +-=⎝⎭11515()n F F n n -+=++, 令1nn n F b-=⎝⎭,则11n n b +=+,所以1n n b b +=-, 所以n b⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列,所以1n n b -+,所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦; 即C 满足条件; 故选:BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题. 22.ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.23.无 24.无25.ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102a << 设()()ln 2f x x x =+-, 则()11122xf x x x-'=-=--, 所以当01x <<时,0f x ,即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数, 即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭,即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=, 所以()112f x << , 即11(2)2n a n <<≥, 所以2112a <<,2020112a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,112n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确; 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+>因此20202020333144a a a ∴<><>,故D 正确 故选:ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用,属于难题. 26.AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化为1100a d +=,②由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,21(20222)212n S n n n n =+-=-,由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.故选:AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题. 27.ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n nN ,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ;【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6nn N上单调递增,1na 在7nn N ,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确;由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0n S <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确; 【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题. 28.AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =,即19a d =-,由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ,可判断C 、D 两选项;当0d >时,10a <,n S 有最小值,故B 错误. 【详解】解:1385a a S +=,111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==,故正确A. 由190a d +=,当0d >时,10a <,n S 有最小值,故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=,所以911a a =,故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-, 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-,故D 正确. 故选:AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质,基础题. 29.ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a+⨯===,故D 正确.故选:ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题. 30.CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案; 【详解】1118S S =,∴0d <,设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上,抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,∴1514S S =且为n S 的最大值,1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=,∴129291529()2902a a S a +===,故选:CD.【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

高中数学等差数列典型题型讲解(含解析)

高中数学等差数列典型题型讲解(含解析)

高中数学等差数列典型题型讲解(含解析)一.选择题(共26小题)1.已知等差数列{a n}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为()A.B.1C.D.﹣12.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5,则此数列是()A.以7为首项,公差为2的等差数列B.以7为首项,公差为5的等差数列C.以5为首项,公差为2的等差数列D.不是等差数列3.在等差数列{a n}中,a1=13,a3=12,若a n=2,则n等于()A.23 B.24 C.25 D.264.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=6,a4=8,则公差d=()A.一1 B.2C.3D.一25.两个数1与5的等差中项是()A.1B.3C.2D.6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是()A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣57.(2012•福建)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.48.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=()A.0B.8C.3D.119.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则它们的公共项的个数为()A.25 B.24 C.20 D.1910.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若满足a n=a n﹣1+2(n≥2),且S3=9,则a1=()A.5B.3C.﹣1 D.111.(2005•黑龙江)如果数列{a n}是等差数列,则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8<a4+a5D.a1a8=a4a5 12.(2004•福建)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=()A.1B.﹣1 C.2D.13.(2009•安徽)已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.﹣1 B.1C.3D.714.在等差数列{a n}中,a2=4,a6=12,,那么数列{}的前n项和等于()A.B.C.D.15.已知S n为等差数列{a n}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为()A.6B.7C.8D.916.已知数列{a n}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则s6的值为()A.30 B.35 C.36 D.24 17.(2012•营口)等差数列{a n}的公差d<0,且,则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是()A.5B.6C.5或6 D.6或718.(2012•辽宁)在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58 B.88 C.143 D.17619.已知数列{a n}等差数列,且a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则a4=()A.﹣1 B.0C.1D.220.(理)已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n,第k项满足4<a k<7,则k=()A.6B.7C.8D.921.数列a n的前n项和为S n,若S n=2n2﹣17n,则当S n取得最小值时n的值为()A.4或5 B.5或6 C.4D.522.等差数列{a n}中,a n=2n﹣4,则S4等于()A.12 B.10 C.8D.423.若{a n}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{a n}的前10项和为()A.230 B.140 C.115 D.9524.等差数列{a n}中,a3+a8=5,则前10项和S10=()A.5B.25 C.50 D.10025.设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于()A.1B.2C.3D.426.设a n=﹣2n+21,则数列{a n}从首项到第几项的和最大()A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项二.填空题(共4小题)27.如果数列{a n}满足:=_________.28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f(1)=2,则f(100)=_________.29.等差数列{a n}的前n项的和,则数列{|a n|}的前10项之和为_________.30.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式:(Ⅱ)若数列{a n}和数列{b n}满足等式:a n==(n为正整数),求数列{b n}的前n项和S n.参考答案与试题解析一.选择题(共26小题)1.已知等差数列{a n}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为()A.B.1C.D.﹣1考点:等差数列.专题:计算题.分析:本题可由题意,构造方程组,解出该方程组即可得到答案.解答:解:等差数列{a n}中,a3=9,a9=3,由等差数列的通项公式,可得解得,即等差数列的公差d=﹣1.故选D点评:本题为等差数列的基本运算,只需构造方程组即可解决,数基础题.2.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5,则此数列是()A.以7为首项,公差为2的等差数列B.以7为首项,公差为5的等差数列C.以5为首项,公差为2的等差数列D.不是等差数列考点:等差数列.专题:计算题.分析:直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项,再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.解答:解:因为a n=2n+5,所以a1=2×1+5=7;a n+1﹣a n=2(n+1)+5﹣(2n+5)=2.故此数列是以7为首项,公差为2的等差数列.故选A.点评:本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.3.在等差数列{a n}中,a1=13,a3=12,若a n=2,则n等于()A.23 B.24 C.25 D.26考点:等差数列.专题:综合题.分析:根据a1=13,a3=12,利用等差数列的通项公式求得d的值,然后根据首项和公差写出数列的通项公式,让其等于2得到关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.解答:解:由题意得a3=a1+2d=12,把a1=13代入求得d=﹣,则a n=13﹣(n﹣1)=﹣n+=2,解得n=23故选A点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.4.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=6,a4=8,则公差d=()A.一1 B.2C.3D.一2考点:等差数列.专题:计算题.分析:根据等差数列的前三项之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的;两项,根据等差数列的通项公式,得到数列的公差.解答:解:∵等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,∴a2=2∵a4=8,∴8=2+2d∴d=3,故选C.点评:本题考查等差数列的通项,这是一个基础题,解题时注意应用数列的性质,即前三项的和等于第二项的三倍,这样可以简化题目的运算.5.两个数1与5的等差中项是()A.1B.3C.2D.考点:等差数列.专题:计算题.分析:由于a,b的等差中项为,由此可求出1与5的等差中项.解答:解:1与5的等差中项为:=3,故选B.点评:本题考查两个数的等差中项,牢记公式a,b的等差中项为:是解题的关键,属基础题.6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是()A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5考点:等差数列.专题:计算题.分析:设等差数列{a n}的公差为d,因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以,结合公差为整数进而求出数列的公差.解答:解:设等差数列{a n}的公差为d,所以a6=23+5d,a7=23+6d,又因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以,因为数列是公差为整数的等差数列,所以d=﹣4.故选C.点评:解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式,并且结合正确的运算.7.(2012•福建)等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.4考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:设数列{a n}的公差为d,则由题意可得2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得d的值.解答:解:设数列{a n}的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得d=2,故选B.点评:本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.8.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则=()A.0B.8C.3D.11考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:先确定等差数列的通项,再利用,我们可以求得的值.解答:解:∵为等差数列,,,∴∴b n=b3+(n﹣3)×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3,∴a8=11.故选D点评:本题考查等差数列的通项公式的应用,由等差数列的任意两项,我们可以求出数列的通项,是基础题.9.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则它们的公共项的个数为()A.25 B.24 C.20 D.19考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.最小公倍数求解,(法二)由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解方法来求解.解答:解法一:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n},则a1=11∵数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4,∴{a n}的公差d=3×4=12,∴a n=11+12(n﹣1)=12n﹣1.又∵5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别是302与399,∴a n=12n﹣1≤302,即n≤25.5.又∵n∈N*,∴两个数列有25个相同的项.故选A解法二:设5,8,11,与3,7,11,分别为{a n}与{b n},则a n=3n+2,b n=4n﹣1.设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同,即3n+2=4m﹣1,∴n=m﹣1.又m、n∈N*,可设m=3r(r∈N*),得n=4r﹣1.根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评:解法一利用了等差数列的性质,解法二利用了不定方程的求解方法,对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若满足a n=a n﹣1+2(n≥2),且S3=9,则a1=()A.5B.3C.﹣1 D.1考点:等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:根据递推公式求出公差为2,再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值.解答:解:∵a n=a n﹣1+2(n≥2),∴a n﹣a n﹣1=2(n≥2),∴等差数列{a n}的公差是2,由S3=3a1+=9解得,a1=1.故选D.点评:本题考查了等差数列的定义,以及前n项和公式的应用,即根据代入公式进行求解.11.(2005•黑龙江)如果数列{a n}是等差数列,则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8<a4+a5D.a1a8=a4a5考点:等差数列的性质.分析:用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系.解答:解:∵a1+a8﹣(a4+a5)=2a1+7d﹣(2a1+7d)=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评:本题主要考查等差数列通项公式,来证明等差数列的性质.12.(2004•福建)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=()A.1B.﹣1 C.2D.考点:等差数列的性质.专题:计算题.分析:充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题.解答:解:设等差数列{a n}的首项为a1,由等差数列的性质可得a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,∴====1,故选A.点评:本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,已知等差数列{a n}的前n项和为S n,则有如下关系S2n﹣1=(2n﹣1)a n.13.(2009•安徽)已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.﹣1 B.1C.3D.7考点:等差数列的性质.专题:计算题.分析:根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值,进而求得数列的公差,最后利用等差数列的通项公式求得答案.解答:解:由已知得a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=a4﹣a3=﹣2.∴a20=a3+17d=35+(﹣2)×17=1.故选B点评:本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4.14.在等差数列{a n}中,a2=4,a6=12,,那么数列{}的前n项和等于()A.B.C.D.考点:数列的求和;等差数列的性质.专题:计算题.分析:求出等差数列的通项,要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列,利用错位相减法求出数列的前n项的和.∴公差d=;∴a n=a2+(n﹣2)×2=2n;∴;∴的前n项和,=两式相减得=∴故选B点评:求数列的前n项的和,先判断通项的特点,据通项的特点选择合适的求和方法.15.已知S n为等差数列{a n}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为()A.6B.7C.8D.9考点:等差数列的性质.专题:计算题.分析:由a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①,根据等差数列的前n项和公式可得,,联立可求d,a1,代入等差数列的通项公式可求解答:解:等差数列{a n}中,a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得,所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2,a1=﹣3所以a7=9故选D点评:本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用,属于基础试题.16.已知数列{a n}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则s6的值为()A.30 B.35 C.36 D.24考点:等差数列的性质.专题:计算题.分析:利用等差中项的性质求得a3的值,进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值,代入等差数列的求和公式中求得答案.解答:解:a1+a3+a5=3a3=15,∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评:本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质.17.(2012•营口)等差数列{a n}的公差d<0,且,则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是()A.5B.6C.5或6 D.6或7考点:等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:由,知a1+a11=0.由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n.解答:解:由,知a1+a11=0.∴a6=0,故选C.点评:本题主要考查等差数列的性质,求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.18.(2012•辽宁)在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58 B.88 C.143 D.176考点:等差数列的性质;等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16,再由S11=运算求得结果.解答:解:∵在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,∴a1+a11=a4+a8=16,∴S11==88,故选B.点评:本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n项和公式的应用,属于中档题.19.已知数列{a n}等差数列,且a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则a4=()A.﹣1 B.0C.1D.2专题:计算题.分析:由等差数列得性质可得:5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4,再由等差中项可知:a4=2a5﹣a6=0解答:解:由等差数列得性质可得:a1+a9=a3+a7=2a5,又a1+a3+a5+a7+a9=10,故5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4.再由等差中项可知:a4=2a5﹣a6=0故选B点评:本题考查等差数列的性质及等差中项,熟练利用性质是解决问题的关键,属基础题.20.(理)已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n,第k项满足4<a k<7,则k=()A.6B.7C.8D.9考点:等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:先利用公式a n=求出a n,再由第k项满足4<a k<7,建立不等式,求出k的值.解答:解:a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9,∴a n=2n﹣9.∵4<a k<7,∴4<2k﹣9<7,∴<k<8,又∵k∈N+,∴k=7,故选B.点评:本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式a n=的合理运用,属于基础题.21.数列a n的前n项和为S n,若S n=2n2﹣17n,则当S n取得最小值时n的值为()A.4或5 B.5或6 C.4D.5考点:等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数,把关系式配方后,又根据n为正整数,即可得到S n取得最小值时n的值.解答:解:因为S n=2n2﹣17n=2﹣,又n为正整数,所以当n=4时,S n取得最小值.故选C点评:此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力,是一道基础题.22.等差数列{a n}中,a n=2n﹣4,则S4等于()A.12 B.10 C.8D.4考点:等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:利用等差数列{a n}中,a n=2n﹣4,先求出a1,d,再由等差数列的前n项和公式求S4.解答:解:∵等差数列{a n}中,a n=2n﹣4,∴a1=2﹣4=﹣2,a2=4﹣4=0,d=0﹣(﹣2)=2,∴S4=4a1+=4×(﹣2)+4×3=4.故选D.点评:本题考查等差数列的前n项和公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意先由通项公式求出首项和公差,再求前四项和.23.若{a n}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{a n}的前10项和为()A.230 B.140 C.115 D.95考点:等差数列的前n项和.专题:综合题.分析:分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式,得到①和②,联立即可求出首项和公差,然后利用求出的首项和公差,根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和.解答:解:a3=a1+2d=4①,a8=a1+7d=19②,②﹣①得5d=15,解得d=3,把d=3代入①求得a1=﹣2,所以S10=10×(﹣2)+×3=115故选C.点评:此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道基础题.24.等差数列{a n}中,a3+a8=5,则前10项和S10=()A.5B.25 C.50 D.100考点:等差数列的前n项和;等差数列的性质.专题:计算题.分析:根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5,代入前10项和S10 =运算求得结果.解答:解:等差数列{a n}中,a3+a8=5,∴a1+a10=5,∴前10项和S10 ==25,故选B.点评:本题主要考查等差数列的定义和性质,以及前n项和公式的应用,求得a1+a10=5,是解题的关键,属于基础题.25.设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于()A.1B.2C.3D.4考点:等差数列的前n项和.专题:计算题.分析:由S1,S2,S4成等比数列,根据等比数列的性质得到S22=S1S4,然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后,代入即可得到首项和公差的关系式,根据公差不为0,即可求出公差与首项的关系并解出公差d,然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后,把公差d的关系式代入即可求出比值.解答:解:由S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1+d)2=a1(4a1+6d).∵d≠0,∴d=2a1.∴===3.故选C点评:此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道综合题.26.设a n=﹣2n+21,则数列{a n}从首项到第几项的和最大()A.第10项B.第11项C.第10项或11项D.第12项考点:等差数列的前n项和;二次函数的性质.专题:转化思想.分析:方法一:由a n,令n=1求出数列的首项,利用a n﹣a n﹣1等于一个常数,得到此数列为等差数列,然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式,得到前n项的和与n成二次函数关系,其图象为开口向下的抛物线,当n=﹣时,前n项的和有最大值,即可得到正确答案;方法二:令a n大于等于0,列出关于n的不等式,求出不等式的解集即可得到n的范围,在n的范围中找出最大的正整数解,从这项以后的各项都为负数,即可得到正确答案.解答:解:方法一:由a n=﹣2n+21,得到首项a1=﹣2+21=19,a n﹣1=﹣2(n﹣1)+21=﹣2n+23,则a n﹣a n﹣1=(﹣2n+21)﹣(﹣2n+23)=﹣2,(n>1,n∈N+),所以此数列是首项为19,公差为﹣2的等差数列,则S n=19n+•(﹣2)=﹣n2+20n,为开口向下的抛物线,当n=﹣=10时,S n最大.所以数列{a n}从首项到第10项和最大.方法二:令a n=﹣2n+21≥0,解得n≤,因为n取正整数,所以n的最大值为10,所以此数列从首项到第10项的和都为正数,从第11项开始为负数,则数列{a n}从首项到第10项的和最大.故选A点评:此题的思路可以先确定此数列为等差数列,根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值;也可以直接令a n≥0,求出解集中的最大正整数解,要求学生一题多解.二.填空题(共4小题)27.如果数列{a n}满足:=.考点:数列递推式;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:根据所给的数列的递推式,看出数列是一个等差数列,根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项,根据等差数列的通项公式写出数列,进一步得到结果.解答:解:∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列,∵a1=3,∴=,∴数列的通项是∴故答案为:点评:本题看出数列的递推式和数列的通项公式,本题解题的关键是确定数列是一个等差数列,利用等差数列的通项公式写出通项,本题是一个中档题目.28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f(1)=2,则f(100)=101.考点:数列递推式;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:由f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,f(1)=2,依次令n=1,2,3,…,总结规律得到f(n)=n+1,由此能够求出f(100).解答:解:∵f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,f(1)=2,∴f(2)=f(1)+1=2+1=3,f(3)=f(2)+1=3+1=4,f(4)=f(3)+1=4+1=5,…∴f(n)=n+1,∴f(100)=100+1=101.故答案为:101.点评:本题考查数列的递推公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.29.等差数列{a n}的前n项的和,则数列{|a n|}的前10项之和为58.考点:数列的求和;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:先求出等差数列的前两项,可得通项公式为a n=7﹣2n,从而得到n≤3时,|a n|=7﹣2n,当n>3时,|a n|= 2n﹣7.分别求出前3项的和、第4项到第10项的和,相加即得所求.解答:解:由于等差数列{an}的前n项的和,故a1=s1=5,∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3,故公差d=﹣2,故a n=5+(n﹣1)(﹣2)=7﹣2n.当n≤3时,|a n|=7﹣2n,当n>3时,|a n|=2n﹣7.故前10项之和为a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58,故答案为58.点评:本题主要考查等差数列的通项公式,前n项和公式及其应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.30.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式:(Ⅱ)若数列{a n}和数列{b n}满足等式:a n==(n为正整数),求数列{b n}的前n项和S n.考点:数列的求和;等差数列的通项公式.专题:计算题.分析:(1)将已知条件a3a6=55,a2+a7=16,利用等差数列的通项公式用首项与公差表示,列出方程组,求出首项与公差,进一步求出数列{a n}的通项公式(2)将已知等式仿写出一个新等式,两个式子相减求出数列{b n}的通项,利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n.解答:解(1)解:设等差数列{a n} 的公差为d,则依题设d>0由a2+a7=16.得2a1+7d=16①由a3•a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得(16﹣3d)(16+3d)=220.即256﹣9d2=220∴d2=4,又d>0,∴d=2,代入①得a1=1∴a n=1+(n﹣1)•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1(2)令c n=,则有a n=c1+c2+…+c n,a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1,由(1)得a1=1,a n+1﹣a n=2∴c n+1=2,c n=2(n≥2),即当n≥2时,b n=2n+1又当n=1时,b1=2a1=2∴b n=<BR>于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6,即S n=2n+2﹣6点评:求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项,利用通项的特点,然后选择合适的求和的方法.。

等差数列练习题(有答案) 百度文库

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A.24B.36C.48D.64
11.已知等差数列 ,且 ,则数列 的前13项之和为()
A.24B.39C.104D.52
12.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ()
A.60B.120C.160D.240
13.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加()尺
A. B. C. D.
14.在等差数列 中, , ,则 中最大的是()
A. B. C. D.
15.在等差数列 中,若 为其前 项和, ,则 的值是()
A.60B.11C.50D.55
16.已知递减的等差数列 满足 ,则数列 的前n项和取最大值时n=()
A.4或5B.5或6C.4D.5
17.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则必定有()
A.32B.33C.34D.35
8.已知数列 的前 项和 满足 ,则数列 的前10项的和为()
A. B. C. D.
9.数列 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大 ,则该数列的项数是()
A.8B.4C.12D.16
10.已知等差数列 ,其前 项的和为 , ,则 ()
A.4B.5C.7D.8
26.已知数列 ,则前六项适合的通项公式为()
A. B.
C. D.
27.等差数列 的前n项和记为 ,若 , ,则()
A. B.
C. D.当且仅当 时,
28.(多选题)在数列 中,若 ,( , , 为常数),则称 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )

等差数列经典试题(含答案)

等差数列经典试题(含答案)

一、等差数列选择题1.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21SB .20SC .19SD .18S2.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .163.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .804.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .145.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足122527n na a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )A .6-B .2-C .1-D .06.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9197.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 8.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .1629.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .32011.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,则10a 等于( ) A .10BC .64D .412.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .5513.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .6 14.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9B .5C .1D .5915.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13B .26C .52D .5616.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+17.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7218.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1B .(23)n C .21n + D .12n + 19.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24020.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( )A .278B .52C .3D .4二、多选题21.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >22.题目文件丢失!23.题目文件丢失!24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且35a =,73a =,则( ) A .12d =B .12d =-C .918S =D .936S =25.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =- D .24n S n n =-26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2227.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列28.已知数列{}n a 满足:13a =,当2n ≥时,)211n a =-,则关于数列{}n a 说法正确的是( )A .28a =B .数列{}n a 为递增数列C .数列{}n a 为周期数列D .22n a n n =+29.无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++,其中a ,b ,c 为实数,则( )A .{}n a 可能为等差数列B .{}n a 可能为等比数列C .{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D .{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392a d =-. 又10a >,所以0d <,因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭, 所以20S 最大. 故选:B. 2.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 3.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S .【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 4.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 5.A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--,由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--,求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--,所以122527n na a n n +-=--, 又1127a =--,所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项,公差为2的等差数列, 所以()1212327na n n n =-+-=--,所以()()2327n a n n =--, 令()()23270n a n n =--≤,解得3722n ≤≤, 所以230,0a a <<,其余各项均大于0, 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选:A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项,再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项,即可得解. 6.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =,当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-, 故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 7.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C. 8.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=;(2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。

等差数列经典试题(含答案)

等差数列经典试题(含答案)
A. B.
C. D.
24.已知数列 ,则前六项适合的通项公式为()
A. B.
C. D.
25.已知等差数列 的公差不为 ,其前 项和为 ,且 、 、 成等差数列,则下列四个选项中正确的有()
A. B. C. 最小D.
26. 是等差数列,公差为d,前项和为 ,若 , ,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
A.4(b2020-b2019)=πa2018·a2021B.a1+a2+a3+…+a2019=a2021-1
C.a12+a22+a32…+(a2020)2=2a2019·a2021D.a2019·a2021-(a2020)2+a2018·a2020-(a2019)2=0
23.已知数列 :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记 为数列 的前 项和,则下列结论正确的是()
故选:B.
【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.
14.B
【分析】
利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果.
【详解】
由等差数列的性质,可得 , ,
因为 ,
可得 ,即 ,
故数列的前13项之和 .
故选:B.
15.D
【分析】
由等差数列前n项和公式即可得解.
5.A
【详解】
由 .故选A.
6.B
【分析】
利用等差数列性质得到 , ,再利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】
根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为 ,
则 ,故 , ,故 ,
则 .
故选:B.
7.B
【分析】
把已知的两式相加得到 ,再求 得解.

等差数列典型例题(含答案)

等差数列典型例题(含答案)

等差数列试题精选一、选择题:(每小题5分,计50分)1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=则432,3,1S a a ==( ) (A )12 (B )10 (C )8 (D )62.已知{a n }为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =( )A .8B .7C .6D .54.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若42=S ,204=S ,则该数列的公差d=( ) A .7 B. 6 C. 3 D. 2 5.等差数列{}n a 中,已知31a 1=,4a a 52=+,33a n =,则n 为( ) (A )48 (B )49 (C )50 (D )516.等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5935,95S Sa a 则( ) A .1 B .-1 C .2 D .21 8.已知等差数列{a n }满足α1+α2+α3+…+α101=0则有( )A .α1+α101>0B .α2+α100<0C .α3+α99=0D .α51=51 9.如果1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A )1a 8a >45a a (B )8a 1a <45a a (C )1a +8a >4a +5a (D )1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )(A )13项 (B )12项 (C )11项 (D )10项 二、填空题:(每小题5分,计20分)11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足,则=+++1721a a a _____________.12.已知{a n }为等差数列,a 3 + a 8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = __________13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题:(15、16题各12分,其余题目各14分)14.等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a (Ⅰ)求通项n a ; (Ⅱ)若S n =242,求n.15.已知数列{}n a 是一个等差数列,且21a =,55a =-。

等差数列典型例题及详细解答

等差数列典型例题及详细解答

1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d __表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d .3.等差中项如果A =a +b 2,那么A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d .(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n ?a 1+a n ?2或S n =na 1+n ?n -1?2d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最__大__值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最__小__值.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( √ )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( × )(5)数列{a n }满足a n +1-a n =n ,则数列{a n }是等差数列.( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列.( √ )1.(2015·重庆)在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6等于( )A .-1B .0C .1D .6答案 B解析 由等差数列的性质,得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,选B.2.(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A .8B .10C .12D .14答案 C解析 由题意知a 1=2,由S 3=3a 1+3×22×d =12, 解得d =2,所以a 6=a 1+5d =2+5×2=12,故选C.3.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( )A .58B .88C .143D .176答案 B解析 S 11=11?a 1+a 11?2=11?a 4+a 8?2=88. 4.设数列{a n }是等差数列,若a 3+a 4+a 5=12,则a 1+a 2+…+a 7等于( )A .14B .21C .28D .35答案 C解析 ∵a 3+a 4+a 5=3a 4=12,∴a 4=4,∴a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28.5.(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列,且a 7+a 8+a 9=3a 8>0,所以a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,所以a 9<0.故当n =8时,其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中,若a 1=-2,且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ,则数列{a n }前10项的和为( )A .2B .10(2)已知在等差数列{a n }中,a 2=7,a 4=15,则前10项和S 10等于( )A .100B .210C .380D .400答案 (1)C (2)B 解析 (1)由2a n +1=1+2a n 得a n +1-a n =12, 所以数列{a n }是首项为-2,公差为12的等差数列, 所以S 10=10×(-2)+10×?10-1?2×12=52. (2)因为a 2=7,a 4=15,所以d =4,a 1=3,故S 10=10×3+12×10×9×4=210. 思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5等于( )A .5B .7C .9D .11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( ) B .1 C .2 D .3答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=2a 3,∴a 1+a 3+a 5=3a 3=3,得a 3=1,∴S 5=5?a 1+a 5?2=5a 3=5.故选A. (2)∵S n =n ?a 1+a n ?2,∴S n n =a 1+a n 2,又S 33-S 22=1, 得a 1+a 32-a 1+a 22=1,即a 3-a 2=2,∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明 因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),b n =1a n -1(n ∈N *), 所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1 =12-1a n?-1-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1=-52. 所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列. (2)解 由(1)知b n =n -72, 则a n =1+1b n =1+22n -7. 设f (x )=1+22x -7, 则f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上为减函数. 所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3.引申探究例2中,若条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),探求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n +1n +1=a n n +1, 即a n +1n +1-a n n =1,又a 1=35, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=35为首项,1为公差的等差数列, ∴a n n =35+(n -1)·1=n -25, ∴a n =n 2-25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2后,可递推得出a n +2-a n +1=a n +1-a n =a n -a n -1=a n -1-a n -2=…=a 2-a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,得a n +1-a n =p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)若{a n }是公差为1的等差数列,则{a 2n -1+2a 2n }是( )A .公差为3的等差数列B .公差为4的等差数列C .公差为6的等差数列D .公差为9的等差数列 (2)在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( ) A .a n =1n B .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n -1+2a 2n -(a 2n -3+2a 2n -2)=(a 2n -1-a 2n -3)+2(a 2n -a 2n -2)=2+2×2=6,∴{a 2n -1+2a 2n }是公差为6的等差数列.(2)由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n }是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1n.题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________.(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,即a 5=5,a 2+a 8=2a 5=10.(2)∵S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列,且S 10=10,S 20=30,S 20-S 10=20,∴S 30-30=10+2×10=30,∴S 30=60.命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值.解 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d , ∴d =-53. 方法一 由a n =20+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-53n +653. 得a 13=0.即当n ≤12时,a n >0,当n ≥14时,a n <0.∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130. 方法二 S n =20n +n ?n -1?2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-53 =-56n 2+1256n =-56⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2522+3 12524. ∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.方法三 由S 10=S 15得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0.∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.引申探究例4中,若条件“a 1=20”改为a 1=-20,其他条件不变,求当n 取何值时,S n 取得最小值,并求出最小值.解 由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0,∴a 13=0.又a 1=-20,∴a 12<0,a 14>0,∴当n =12或13时,S n 取得最小值,最小值S 12=S 13=13?a 1+a 13?2=-130. 思维升华 (1)等差数列的性质:①项的性质:在等差数列{a n }中,a m -a n =(m -n )d ?a m -a n m -n=d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差.②和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 a .S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);b .S 2n -1=(2n -1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法:①函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.②邻项变号法:a .当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ; b .当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是( )A .5B .6C .7D .8(2)设数列{a n }是公差d <0的等差数列,S n 为前n 项和,若S 6=5a 1+10d ,则S n 取最大值时,n 的值为( )A .5B .6C .5或6D .11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,则前n 项和S n 的最大值为________. 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6=4,2a 7=-2,a 6=2>0,a 7=-1<0;又数列{a n }是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S n 取最大值时,n =6,选B.(2)由题意得S 6=6a 1+15d =5a 1+10d ,所以a 6=0,故当n =5或6时,S n 最大,选C.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,代入求和公式得,S n =na 1+n ?n -1?2d =20n -n ?n -1?2×2 =-n 2+21n =-⎝⎛⎭⎪⎫n -2122+⎝ ⎛⎭⎪⎫2122, 又因为n ∈N *,所以n =10或n =11时,S n 取得最大值,最大值为110.6.等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 7+a 9)=54,则此数列前10项的和S 10等于( )A .45B .60C .75D .90 (2)在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10,则S 110=________.(3)等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A .S 4B .S 5C .S 6D .S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和,可以通过求解基本量a 1,d ,代入前n 项和公式计算,也可以利用等差数列的性质:a 1+a n =a 2+a n -1=…;(2)求等差数列前n 项和的最值,可以将S n 化为关于n 的二次函数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项.解析 (1)由题意得a 3+a 8=9,所以S 10=10?a 1+a 10?2=10?a 3+a 8?2=10×92=45. (2)方法一 设数列{a n }的公差为d ,首项为a 1,则⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1+10×92d =100,100a 1+100×992d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1 099100,d =-1150.所以S 110=110a 1+110×1092d =-110. 方法二 因为S 100-S 10=a 11+a 100?×902=-90, 所以a 11+a 100=-2,所以S 110=a 1+a 110?×1102=a 11+a 100?×1102=-110. (3)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 5>0,a 6<0,所以S n 的最大值为S 5.答案 (1)A (2)-110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时,要注意到n ∈N *;(2)利用等差数列的性质求S n ,突出了整体思想,减少了运算量.[方法与技巧]1.在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a 1,d 的方程组进行求解.2.证明等差数列要用定义;另外还可以用等差中项法,通项公式法,前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列.3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量.4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a ,a +d ,a +2d ;(2)a -d ,a ,a +d ;(3)a -d ,a +d ,a +3d 等,可视具体情况而定.[失误与防范]1.当公差d ≠0时,等差数列的通项公式是n 的一次函数,当公差d =0时,a n 为常数.2.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.A 组 专项基础训练(时间:35分钟)1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )A .63B .45C .36D .27答案 B解析 由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列.即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,故选B.2.(2015·北京)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( )A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ,若a 1+a 2>0,a 2+a 3=a 1+d +a 2+d =(a 1+a 2)+2d ,由于d 正负不确定,因而a 2+a 3符号不确定,故选项A 错;若a 1+a 3<0,a 1+a 2=a 1+a 3-d =(a 1+a 3)-d ,由于d 正负不确定,因而a 1+a 2符号不确定,故选项B 错;若0<a 1<a 2,可知a 1>0,d >0,a 2>0,a 3>0,所以a 22-a 1a 3=(a 1+d )2-a 1(a 1+2d )=d 2>0,所以a 2>a 1a 3,故选项C 正确;若a 1<0,则(a 2-a 1)·(a 2-a 3)=d ·(-d )=-d 2≤0,故选项D 错.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m 等于( )A .3B .4C .5D .6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列,且前n 项和为S n ,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. ∴S m -1m -1+S m +1m +1=2S m m ,即-2m -1+3m +1=0, 解得m =5,经检验为原方程的解,故选C.4.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列,且b n =a n +1-a n (n ∈N *),若b 3=-2,b 10=12,则a 8等于( )A .0B .3C .8D .11 答案 B解析 设{b n }的公差为d ,∵b 10-b 3=7d =12-(-2)=14,∴d =2.∵b 3=-2,∴b 1=b 3-2d =-2-4=-6.∴b 1+b 2+…+b 7=7b 1+7×62d =7×(-6)+21×2=0.又b 1+b 2+…+b 7=(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 8-a 7)=a 8-a 1=a 8-3=0, ∴a 8=3.故选B.5.已知数列{a n }满足a n +1=a n -57,且a 1=5,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A .7B .8C .7或8D .8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5,公差为-57的等差数列,所以a n =5-57(n -1)=40-5n 7,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n 取得最大值时,n =7或8,故选C.6.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N *),则a 10=________. 答案 14解析 由已知得1a 10=1a 1+(10-1)×13=1+3=4, 故a 10=14. 7.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n =________. 答案 2n -1解析 设等差数列的公差为d ,∵a 3=a 22-4,∴1+2d =(1+d )2-4,解得d 2=4,即d =±2.由于该数列为递增数列,故d =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1.8.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 答案 130解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0得n ≥5,∴n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.9.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12. (1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0,得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2, 又1S 1=1a 1=2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n =2n ,∴S n =12n.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12?n -1?=n -1-n 2n ?n -1?=-12n ?n -1?. 当n =1时,a 1=12不适合上式. 故a n =⎩⎪⎨⎪⎧ 12,n =1,-12n ?n -1?,n ≥2.10.等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大 解 方法一 由S 3=S 11得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,则d =-213a 1. 从而S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1, 又a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大. 方法二 由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n =3+112=7对称.由方法一可知a =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大. 方法三 由方法一可知,d =-213a 1. 要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+?n -1?⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≤0,解得≤n ≤,故当n =7时,S n 最大.方法四 由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0,即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0,所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大.B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,(n +1)S n <nS n +1(n ∈N *).若a 8a 7<-1,则( )A .S n 的最大值是S 8B .S n 的最小值是S 8C .S n 的最大值是S 7D .S n 的最小值是S 7 答案 D解析 由条件得S n n <S n +1n +1,即n ?a 1+a n ?2n <?n +1??a 1+a n +1?2?n +1?,所以a n <a n +1,所以等差数列{a n }为递增数列.又a 8a 7<-1,所以a 8>0,a 7<0,即数列{a n }前7项均小于0,第8项大于零,所以S n 的最小值为S 7,故选D.12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-3,a k +1=32,S k =-12,则正整数k =________. 答案 13解析 S k +1=S k +a k +1=-12+32=-212, 又S k +1=k +1??a 1+a k +1?2=k +1?⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+322=-212, 解得k =13.13.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________.答案 1941解析 ∵{a n },{b n }为等差数列,∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6. ∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 6b 6=1941. 14.已知数列{a n }是首项为a ,公差为1的等差数列,b n =1+a n a n,若对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8成立,则实数a 的取值范围为________.答案 (-8,-7)解析 依题意得b n =1+1a n,对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8,即数列{b n }的最小项是第8项,于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列,因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 8<0,a 9>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a +7<0,a +8>0,由此解得-8<a <-7,即实数a 的取值范围是(-8,-7).15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求通项a n ;(2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =S nn +c ,求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列, 所以a 3+a 4=a 2+a 5=22.又a 3·a 4=117, 所以a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两实根, 又公差d >0,所以a 3<a 4, 所以a 3=9,a 4=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =9,a 1+3d =13,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,d =4.所以通项a n =4n -3.(2)由(1)知a 1=1,d =4, 所以S n =na 1+n n -1?2×d =2n 2-n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫n -142-18. 所以当n =1时,S n 最小, 最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n 2-n ,所以b n =S n n +c =2n 2-n n +c, 所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c. 因为数列{b n }是等差数列, 所以2b 2=b 1+b 3,即62+c ×2=11+c +153+c, 所以2c 2+c =0,所以c =-12或c =0(舍去), 经验证c =-12时,{b n }是等差数列, 故c =-12.。

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15.B
【分析】
由等差数列的通项公式可得 ,再由 ,从而可得结果.
【详解】
解: ,

.
故选:B.
16.B
【分析】
先求得 ,根据 ,求得 ,进而得到 ,结合等差数列的求和公式,即可求解.
【详解】
由题意,等差数列 的前 项和为 ,且 ,可得 ,
因为 ,即 ,解得 ,
当 ,( )时, ,即 ,
即 ,
从而 .
11.A
【分析】
由 和 求出公差 ,再根据 可求得结果.
【详解】
设公差为 ,则 ,
所以 .
故选:A
12.D
【分析】
设该女子第 尺布,前 天工织布 尺,则数列 为等差数列,设其公差为 ,根据 , 可求得 的值.
【详解】
设该女子第 尺布,前 天工织布 尺,则数列 为等差数列,设其公差为 ,
由题意可得 ,解得 .
故选:B.
17.B
【分析】
由已知条件,结合等差数列通项公式得 ,即可求 .
【详解】
,即有 ,得 ,
∴ , ,且 ,
∴ .
故选:B
18.C
【分析】
利用等差数列的前 项和公式可得 ,即可得 ,再利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ,则 ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以

故选:C
【点睛】
对于D选项,由上述分析可知, 时, ,当 时, ,且 .所以数列 的前 项递减,第 项后面递增,不是等差数列,所以D选项错误.
故选:AB
【点睛】
等差数列有关知识的题目,主要把握住基本元的思想.要求等差数列前 项和的最值,可以令 或 来求解.
25.ABD
【分析】
由等差数列的性质直接判断AD选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.
1、由 成等比,即 ;
2、等差数列前n项和公式 的应用.
10.C
【分析】
首先根据数列的通项 与 的关系,得到 , , ,再根据选项,代入前 项和公式,计算结果.
【详解】
由 得, , , .
又 ,

.
故选:C.
【点睛】
关键点睛:本题的第一个关键是根据公式 ,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负.
【详解】
因为 , 是等差数列,且 ,
所以可设 , ,
又当 时,有 , ,

故选: .
9.B
【分析】
由题意结合 成等比数列,有 即可得 ,进而得到 、 ,即可求 .
【详解】
由题意知: , ,又 成等比数列,
∴ ,解之得 ,
∴ ,则 ,
∴ ,
故选:B
【点睛】
思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量
一、等差数列选择题
1.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加()尺
A. B. C. D.
2.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为()
A. B. C. D.
7.已知等差数列 中, ,则 的前n项和 的最大值为()
A. B. C. D.
8.若两个等差数列 , 的前 项和分别为 和 ,且 ,则 ()
A. B. C. D.
9.等差数列 的公差为2,若 成等比数列,则 ()
A.72B.90C.36D.45
10.已知等差数列 的前 项和 满足: ,若 ,则 的最大值为()
23.ACD
【分析】
利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解
【详解】
因为 , ,所以a1=3,an=[1+(n-1)d](n+2n).若d=1,则an=n(n+2n);若d=0,则a2=6.因为a2=6+6d,a3=11+22d,所以若a1,a2,a3成等差数列,则a1+a3=a2,即14+22d=12+12d,解得 .
【详解】
由 .故选A.
4.C
【分析】
利用 得出数列 的通项公差,然后求解 .
【详解】
由 得, , ,
所以 ,
所以 ,故 .
故选:C.
【点睛】
本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用 求解即可.
5.B
【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列 的通项公式可求.
【详解】
因为 , ,所以 ,
C.数列 为周期数列D.
29.公差为 的等差数列 ,其前 项和为 , , ,下列说法正确的有()
A. B. C. 中 最大D.
30.设等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,且满足 , ,则对 描述正确的有()
A. 是唯一最小值B. 是最小值
C. D. 是最大值
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
27.已知等差数列 的前n项和为Sn(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列选项正确的是()
A.a1=22B.d=-2
C.当n=10或n=11时,Sn取得最大值D.当Sn>0时,n的最大值为21
28.已知数列 满足: ,当 时, ,则关于数列 说法正确的是()
A. B.数列 为递增数列
13.在等差数列 中, , ,则 中最大的是()
A. B. C. D.
14.已知数列 的前项和 , ,则 ()
A.20B.17C.18D.19
15.设等差数列 的前 项之和为 ,已知 ,则 ()
A. B. C. D.
16.已知等差数列 的前 项和为 ,且 .定义数列 如下: 是使不等式 成立的所有 中的最小值,则 ()
22.已知数列 满足 , ( ),数列 的前 项和为 ,则()
A. B.
C. D.
23.已知数列 是首项为1,公差为d的等差数列,则下列判断正确的是()
A.a1=3B.若d=1,则an=n2+2nC.a2可能为6D.a1,a2,a3可能成等差数列
24.记 为等差数列 前 项和,若 且 ,则下列关于数列的描述正确的是()
,所以 ,则 ,故选项C正确,选项D错误.
故选:BC.
【点睛】
方法点睛:
由递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法,形如 的数列,求通项时,常用累加法求解;
(2)累乘法,形如 的数列,求通项时,常用累乘法求解;
(3)构造法,形如 ( 且 , , )的数列,求通项时,常需要构造成等比数列求解;
(4)已知 与 的关系求通项时,一般可根据 求解.
故选:D.
13.B
【分析】
设等差数列的公差为d.由已知得 ,可得关系 .再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.
【详解】
设等差数列的公差为d.由 得, ,整理得, .
又 ,所以 ,因此 ,
所以 最大.
故出结果.
【详解】
因为数列 的前项和 ,
所以 .
故选:C.
A.25B.50C.75D.100
17.设等差数列 的公差d≠0,前n项和为 ,若 ,则 ()
A.9B.5C.1D.
18.在等差数列 中,已知前21项和 ,则 的值为()
A.7B.9C.21D.42
19.已知数列 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前 项和为 .若 且 ,则下列判断正确的是()
选项D: 是等差数列,由等差数列性质得 , , 是等差数列,故对;
故选:BCD
【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前 项和公式是解题关键.
22.BC
【分析】
根据递推公式,得到 ,令 ,得到 ,可判断A错,B正确;根据求和公式,得到 ,求出 ,可得C正确,D错.
【详解】
由 可知 ,即 ,
当 时,则 ,即得到 ,故选项B正确; 无法计算,故A错;
A. B.数列 中最大值的项是
C.公差 D.数列 也是等差数列
25.已知数列 为等差数列,则下列说法正确的是()
A. (d为常数)B.数列 是等差数列
C.数列 是等差数列D. 是 与 的等差中项
26.设等差数列 的前 项和为 ,公差为 .已知 , , 则()
A. B.数列 是递增数列
C. 时, 的最小值为13D.数列 中最小项为第7项
【详解】
设10个兄弟由大到小依次分得 两银子,由题意可得
设数列 的公差为 ,其前 项和为 ,
则由题意得 ,即 ,解得 .
所以长兄分得 两银子.
故选:C.
【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得 两银子构成公差 的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和前 项和公式.
3.A
A. B.
C. D.
20.已知等差数列 满足 , ,则 ()
A.10B.9C.8D.7
二、多选题
21.设数列 的前 项和为 ,关于数列 ,下列四个命题中正确的是()
A.若 ,则 既是等差数列又是等比数列
B.若 ( , 为常数, ),则 是等差数列
C.若 ,则 是等比数列
D.若 是等差数列,则 , , 也成等差数列
A. B. C. D.
11.等差数列 中,若 , ,则 ()
A. B. C.2D.9
12.《张丘建算经》卷上第 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织 尺布,现一月(按 天计)共织 尺”,则从第 天起每天比前一天多织()
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