足球联赛球队实力分析

足球联赛球队实力分析

足球联赛球队实力分析

下面介绍一个令众多球迷感兴趣的排序问题，从中可以体会到比赛规则的更新所起到的重要作用．足球运动诞生100多年来，各个方面都发生了新的变化．比赛规则的变化，在这个过程中起到了无可替代的导向作用．规则的变化推动了足球观念的创新，历史上三次足球技术革新所带来的巨大冲击至今仍然可以感受到．

95万宝路全国足球甲级队A组联赛，12支甲A球队的座次排定．是在三分制规则下确定的．如果比赛规则的记分制不同，那么最后的排序一般来说是不同．比如三分制下8―11名的顺序是：三星、八一、全兴、海牛；二分制下8—11名的顺序是：八一、海牛、三星、全兴．显然结果不一样，这是因为比赛的记分制不一样．

因此我们认为这不应是各队实力的排列，当然不否认其中包含着各队实力排列的成分．

下面从另一种角度，用定量的标准对95全国足球甲A12支球队在九五联赛的实力进行分析．假设用图中的点表示各球队，两队间的比赛用线表示，作95万宝路全国足球甲级A组联赛图，如图6.13．

在三分制下，定义图6.13的邻接矩阵为

其中

)

(ij a A =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧→

→↔←→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=—是到从j i a ij ,6,4,3,2,1,0

图6.13邻接矩阵如下：

若用S 表示图6.13的得分向量，则

T

s s s S ),,,(1221Λ=

那么

于是

记 称为一级得分向量，进一步计算，

称为二级得分向量．

因为各队的二级得分是与他们比赛各队得分的加权和，因此，可以用二级得分向量

作为各队实力排列的依据，算出

由于所用的加权系数是在三分制下进行的，

因此考虑如果 时， 收敛于 (极限得分向量)，那么用

作为实力排列的依据是较合理的。

因为A 是素阵，由Perron —Frobenius 定理：

素阵A 的最大特征根为正单根λ,λ对应正特征向量 ，且有 算出A 的最大特征根A=27.159，对应特征向量

e A S ⋅=T

e )1,,1,1(Λ=)

24,22,27,23,42,40,22,27,17,46,28,42(=S S

S =)1()

1()2(AS S =,

587,725,714,1150,1126,509,738,520,1261,657,1157()2(=S ∞→k )(k S (*)S (*)

S (*)S *

lim S e A k

k k =∞→λ0.4811)

0.4788,0.6298,0.5702,0.9185,0.8933,

0.4314,,5974.0,4270.0,1,5367.0,9148.0((*)=S

这样根据95万宝路全国足球甲级队A组联赛情况，在三分制比赛规则下，各队的实力分，加权得分，积分和联赛名次如下表