第3讲MATLAB数据建模方法(上)常用方法
利用Matlab进行数据预测和建模
利用Matlab进行数据预测和建模引言：
在当今信息时代，数据的达成速度越来越快，数据的确保来自于不同的途径。
但是对于用户来说，如何将这些数据转变为有价值的信息是一个巨大的挑战。数据预测和建模是一种有效的方式来解决这个问题。本文将介绍如何利用Matlab进行
数据预测和建模的方法和技巧。
一、数据预处理
在进行数据预测和建模之前，首先需要进行数据预处理。数据预处理是一个重
要的步骤，它包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。在Matlab中，有许多
工具可以帮助我们完成这些任务。例如，Wiener滤波器可以用来降噪，空值可以
使用插值法来填充，异常值可以通过统计方法进行识别和修复。
二、数据可视化
在进行数据预测和建模之前，我们需要对数据进行可视化分析，以了解数据的
特征和趋势。Matlab提供了丰富的绘图函数，可以方便地绘制各种图表。例如，
绘制折线图可以显示数据的变化趋势，绘制散点图可以显示数据之间的关系。此外，Matlab还提供了交互式绘图工具，可以通过交互操作来进一步分析数据。
三、数据预测
数据预测是根据已有的数据，来预测未来的走势。利用Matlab进行数据预测
主要有两种方法：基于统计模型的预测和基于机器学习的预测。
1. 基于统计模型的预测
在Matlab中，我们可以使用统计工具箱中的函数来构建各种统计模型，如线
性回归模型、ARMA模型、时间序列模型等。这些模型可以通过最小二乘法、极
大似然估计等方法来求解，从而得到模型的参数。利用这些参数，我们可以对未来的走势进行预测。
2. 基于机器学习的预测
Matlab提供了强大的机器学习工具箱，可以用来构建各种机器学习模型。例如，我们可以使用神经网络模型来进行预测，也可以使用支持向量机模型来进行分类。这些模型可以通过训练数据进行学习，然后利用学习得到的模型对未知数据进行预测。
MATLAB数学建模教程
MATLAB选修课讲义
第一讲：矩阵运算
第二讲：函数作图
第三讲：符号演算
第四讲：简单编程
第五讲：数值计算
第六讲：综合实例
1
第一讲：矩阵运算
1．基本操作
启动退出终止(Alt+. 或Ctrl +C)
翻页召回命令
分隔符，禁显符；续行符…注释符％
设置显示格式format 常用：short，short g，long 清除变量clear
关闭图形close
清除图形clf
演示Demo
帮助help
2．基本常数
2
pi I j inf eps NaN exp(1)
3．算术运算
+ - * /, \, ^ sqrt .*./.^
4．内部函数（一般都有数组运算功能）
sin(x) tan(x) asin(x) atan(x)
abs(x) round(x) floor(x) ceil(x)
log(x) log10(x) length(v) size(A) sign(x) [y, p]=sort(x)
5．矩阵运算（要熟练掌握）
(1)矩阵生成:
手工输入：[1 2 3; 4 5 6]
输入数组: linspace(a, b, n)
命令输入：zeros(m,n) ones(m,n) eye(n)
3
magic(n) rand(m, n)
diag(A) diag ( [a11 a22 . . . a nn] ) (2)矩阵操作
赋值A(i, j) =2 A(2, :)=[1 2 3]
删除A( [2,3], :)=[ ] 添加A(6,8)=5
定位find(A>0) 定位赋值A(A<0)= -1
由旧得新B=A([2,3,1], :) B=A([1,3],[2,1])
数据建模常规方法的MATLAB实现
0
0
? rx(1990)[1? x(1990) / xm ]=274.5
5
10
15
20
1790年为零点
与实际数据 (2000 年为281.4 )比较 误差不到 3%
第十四页，编辑于星期一：二十点 四十九分。
模型应用
预报美国 2010 年的人口
加入 2000年人口数据后重新估计模型参数
r=0.2490, xm=434.0
hold on end
第十九页，编辑于星期一：二十点 四十九分。
x增加先快后慢
第十二页，编辑于星期一：二十点 四十九分。
阻滞增长模型 (Logistic 模型 )
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口
预报，必须先估计模型参数 r 或 r, x m .
根据统计数据利用 线性最小二乘法 作拟合
dx ? rx (1 ?
x
)
dt
xm
y ? dx/ dt ?
?x
,
h=[0,0.02,-0.12,0,-2.09,0,-0.58,-0.08,0,0; % 测量高度矩阵
0.02,0,0,-2.38,0,-4.96,0,0,0,-0.1;
0,0.1,1,0,-3.04,0,-0.53,0,0.1,0;
0,0,0,3.52,0,0,0,0,0,0;
-0.43,-1.98,0,0,0,0.77,0,2.17,0,0;
matlab建模教程
matlab建模教程
Matlab是一种强大的数学建模和仿真平台，广泛应用于科学、工程和金融领域。本教程将介绍如何使用Matlab进行建模，
并详细解释每个步骤。
首先，我们需要了解什么是建模。建模是根据实际问题或系统的特性创建数学模型的过程。这些数学模型可以帮助我们理解系统的行为并预测未来的结果。使用Matlab进行建模可以简
化模型的创建和分析过程。
在Matlab中，我们可以使用一个称为“脚本”的文件来编写和
运行建模代码。脚本是一系列Matlab命令的集合，这些命令
可以被连续执行以创建所需的模型。为了方便起见，我们可以在Matlab编辑器中创建和编辑脚本。
建模的第一步是定义问题。要定义问题，我们需要确定所建模型的目标、输入和输出。例如，如果我们想建立一个温度预测模型，我们需要明确模型的输入是什么（例如，环境条件）和输出是什么（例如，预测的温度值）。
接下来，我们需要收集数据。收集数据是为了分析和验证我们的模型。在Matlab中，我们可以使用数据存储和处理工具，
如表格和数据数组，来导入和处理数据。
一旦我们有了数据，我们就可以开始建立模型。在Matlab中，我们可以使用数学方程、统计方法和机器学习算法等多种方法来建立模型。例如，我们可以使用线性回归来拟合数据，或者
使用神经网络进行分类。
建立模型后，我们可以使用Matlab的可视化工具来分析模型
的输出。Matlab提供了各种绘图函数，如plot和scatter，来绘制图形并展示模型的结果。我们可以使用这些图形来比较实际数据与模型的预测结果。
最后，我们可以优化我们的模型。通过调整模型的参数和改进算法，我们可以提高模型的性能和准确性。在Matlab中，我
第3讲MATLAB数据建模方法(上)常用方法
第3讲MATLAB数据建模方法(上)：常用方法
作者：卓金武, MathWorks 中国
以数据为基础而建立数学模型的方法称为数据建模方法，包括回归、统计、机器学习、深度学习、灰色预测、主成分分析、神经网络、时间序列分析等方法，其中最常用的方法还是回归方法。本讲主要介绍在数学建模中常用几种回归方法的MATLAB实现过程。
根据回归方法中因变量的个数和回归函数的类型（线性或非线性）可将回归方法分为:一元线性、一元非线性、多元回归。另外还有两种特殊的回归方式，一种在回归过程中可以调整变量数的回归方法，称为逐步回归，另一种是以指数结构函数作为回归模型的回归方法，称为Logistic回归。本讲将逐一介绍这几个回归方法。
3.1 一元回归
3.1.1 一元线性回归
【例3-1】近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额（单位：亿元）的数据见表3-1，请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
表3-1 商品零售总额与职工工资总额
回归方法建立他们之间的回归模型了，具体实现的MATLAB代码如下：
（1）输入数据
（2）采用最小二乘回归
据的散点图，这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后，再用线性回归的方法进行回归，这样也更符合我们分析数据的一般思路。
图3-1 职工工资总额和商品零售总额关系趋势图
（3）采用LinearModel.fit函数进行线性回归
运行结果如下：
（4）采用regress函数进行回归
运行结果如下：
只要根据自己的需要选用一种就可以了。函数LinearModel.fit 输出的内容为典型的线性回归的参数。关于regress ，其用法多样，MATLAB 帮助中关于regress 的用法，有以下几种：
matlab数学建模常用模型及编程
matlab数学建模常用模型及编程
摘要：
一、引言
二、MATLAB 数学建模的基本概念
1.矩阵的转置
2.矩阵的旋转
3.矩阵的左右翻转
4.矩阵的上下翻转
5.矩阵的逆
三、MATLAB 数学建模的常用函数
1.绘图函数
2.坐标轴边界
3.沿曲线绘制误差条
4.在图形窗口中保留当前图形
5.创建线条对象
四、MATLAB 数学建模的实例
1.牛顿第二定律
2.第一级火箭模型
五、结论
正文：
一、引言
数学建模是一种将现实世界中的问题抽象成数学问题，然后通过数学方法来求解的过程。在数学建模中，MATLAB 作为一种强大的数学软件，被广泛应用于各种数学问题的求解和模拟。本文将介绍MATLAB 数学建模中的常用模型及编程方法。
二、MATLAB 数学建模的基本概念
在使用MATLAB 进行数学建模之前，我们需要了解一些基本的概念，如矩阵的转置、旋转、左右翻转、上下翻转以及矩阵的逆等。
1.矩阵的转置
矩阵的转置是指将矩阵的一行和一列互换，得到一个新的矩阵。矩阵的转置运算符是单撇号(’)。
2.矩阵的旋转
利用函数rot90(a,k) 将矩阵a 旋转90 的k 倍，当k 为1 时可省略。
3.矩阵的左右翻转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。matlab 对矩阵a 实施左右翻转的函数是fliplr(a)。
4.矩阵的上下翻转
matlab 对矩阵a 实施上下翻转的函数是flipud(a)。
5.矩阵的逆
对于一个方阵a，如果存在一个与其同阶的方阵b，使得：
a·bb·a=|a|·|b|·I，则称矩阵b 是矩阵a 的逆矩阵。其中，|a|表示矩阵a 的行列式，I 是单位矩阵。在MATLAB 中，我们可以使用函数inv(a) 来求解矩阵
Matlab技术数据分析与建模方法
Mat1ab技术数据分析与建模方法
在当今科技发展的时代背景下，数据分析和建模成为了各个领域中非常重要的一部分。无论是在工程、科学、金融还是医学领域，人们都需要利用大量的数据来提取有用的信息并作出合理的预测和决策。Mauab作为一种功能强大的数学软件和编程语言，被广泛用于数据分析和建模。本文将重点介绍Mauab中常用的数据分析与建模方法。
一、数据可视化与预处理
在进行数据分析之前，首先需要对原始数据进行可视化和预处理。Mauab提供了丰富的图形绘制函数，可以方便地绘制二维和三维的数据图形。比如，使用PkH函数可以绘制折线图，使用SCatter函数可以绘制散点图，使用bar函数可以绘制柱状图等等。通过可视化数据，我们可以更清晰地了解数据的特点和变化趋势，从而为后续的分析工作提供指导。
另外，MatIab还提供了多种数据预处理的函数和工具箱，帮助我们对数据进行清洗、去噪、归一化等操作。比如，使用imread函数可以读取和处理图像数据，使用fft函数可以进行频域分析，使用WaVe1et函数可以进行小波变换等等。这些预处理的操作可以提高数据的质量和可靠性，为后续的分析工作打下良好的基础。
二、统计分析与机器学习
统计分析是数据分析的重要组成部分，可以帮助我们从数据中提取统计规律和结构信息。MatIab提供了丰富的统计工具箱和函数，包括假设检验、方差分析、回归分析、聚类分析等等。比如，使用anova1函数可以进行一元方差分析，使用anova2函数可以进行二元方差分析，使用regress函数可以进行多元线性回归分析等等。通过对数据进行统计分析，我们可以深入了解数据的内在规律，并根据分析结果作出相应的决策和预测。
MATLAB经典数学建模教程
第 1 节Matlab 基本知识
一、Matlab 的主要功能
Matlab是一种功能非常强大的工程语言，诞生于20世纪70年代，1984年正式推向市场。2002年8月，Matlab6.5开始发布。是进行科学研究和产品开发必不可少的工具。
●数值和符号计算
矩阵(数组)的四则运算（Matrix＋Laboratory）、数值差分、导数、积分、求解微分方程、微分方程的优化等
●数字图像、数字信号处理
●工程和科学绘图
●控制系统设计
●财务工程
●建模、仿真功能
二、Matlab 的界面
1.命令窗口（Command Window）：
Matlab各种操作命令都是由命令窗口开始，用户可以在命令窗口中输入Matlab命令，实现其相应的功能。此命令窗口主要包括文本的编辑区域和菜单栏（如：四则运算；“;”禁止显示变量的值；↑↓遍历以前的命令）。在命令窗口空白区域单击鼠标右键，打开快捷菜单，各项命令功能如下：
Evaluate Selection :打开所选文本对应的表达式的值。
Open Selection :打开文本所对应的MatLab文件。
Cut :剪切编辑命令。
Paste :粘贴编辑命令。
2. M-文件编辑/调试（Editor/Debugger）窗口
Matlab Editor/Debugger窗口是一个集编辑与调试两种功能于一体的工具环境。
M-文件（函数文件）
●什么是M-文件：它是一种和Dos环境中的批处理文件相似的脚本文件，对于简单问题，
直接输入命令即可，但对于复杂的问题和需要反复使用的则需做成M－文件（Script File）。
【数学建模】第3讲_MATLAB作图
返回
6. 改变视角view （1）view(a,b) 命令view(a,b)改变视角到(a,b),a是方位角,b为仰角. 缺省视角为（-37.5，30）. （2）view（[x，y，z]） view用空间向量表示的，三个量只关心它们的比例，与数 值的大小无关，x轴view（[1，0，0]），y轴view（[0，1， 0]），z 轴view（[0，0 ，1]）. 例 画出曲面Z=(X+Y)2在不同视角的网格图. 解 x=-3:0.1:3; y=1:0.1:5; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(X+Y).^2; 返回 subplot(2,2,1)， mesh(X,Y,Z) subplot(2,2,2)， mesh(X,Y,Z)，view(50,-34) subplot(2,2,3)， mesh(X,Y,Z)，view(-60,70) subplot(2,2,4)， mesh(X,Y,Z)，view([0，1，1])
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
2.符号函数(显函数、隐函数和参数方程)画图
(1) ezplot
ezplot(‘f(x)’,[a,b])
表示在a<x<b绘制显函数f=f(x)的函数图.
ezplot(‘f(x,y)’,[xmin,xmax,ymin,ymax])
表示在区间xmin<x<xmax和 ymin<y<ymax绘制
数学建模 第3讲 MATLAB的具体实例
计算结果：
a = 0.0030 a = 0.0060 a = 0.0080 a = 0.0100 a = 0.0200 a = 0.0400 x = 0.4949 x=0 x = 0.0000 x=0 x=0 x = 0.0000 0.1200 0.2400 0.3200 0.4000 0.8000 0.9901 0.2000 0.4000 0.5333 0.5843 0.1882 0.0000 0.0545 0.1091 0.1271 0 0 0 0.1154 0.2212 0.0000 0 0 0 Q = 0.1266 Q = 0.2019 Q = 0.2112 Q =0.2190 Q =0.2518 Q =0.2673
3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型 : 目标函数 MAX
n
(r p ) x
i i i 0
i i
n
i
MINmax{ q ix i} 约束条件
(1 p)x =M
i0
xi≥0
4. 模型简化：
i=0,1,…n
a． 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限 a，使最大的一个 风险 q ix i/M≤a，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。 模型 1 固定风险水平，优化收益 目标函数： 约束条件： Q=MAX
数学建模培训Matlabppt课件
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
介绍Matlab中用于求解非线性规划问题的函数，如`fmincon`。
非线性规划问题实例
通过具体实例展示如何使用Matlab求解非线性规划问题，包括目 标函数和约束条件的定义、求解过程及结果分析。
整数规划问题求解
01
整数规划问题描述
解释整数规划问题的概念、数学表达式 和约束条件，以及整数规划的分类和特 点。
图形可视化 介绍如何使用Matlab的绘图功能进行 数据可视化，包括二维图形、三维图 形和图像处理等。
CHAPTER 03
数学建模常用方法
线性规划模型
线性规划基本概念
01
目标函数、约束条件、可行域、最优解等。
Matlab实现线性规划
02
使用`linprog`函数求解线性规划问题，包括输入参数设置、输
02
Matlab中整数规划 函数
讲解Matlab中用于求解整数规划问题 的函数，如`intlinprog`。
03
整数规划问题实例
通过具体实例演示如何使用Matlab求 解整数规划问题，包括目标函数和约束 条件的设置、求解过程及结果分析。
多目标规划问题求解
多目标规划问题描 述
Matlab中多目标 规划函数
在数学建模竞赛中，Matlab可用于实现模型的建立、求解和结果展示等过程，提高解题效率和准确性。
如何用MATLAB进行数学建模
如何用MATLAB进行数学建模下面是一个关于如何用MATLAB进行数学建模的文章范例：
MATLAB是一种强大的数学软件工具，广泛应用于各种数学建模问题的解决。通过合理利用MATLAB的功能和特性，可以更加高效地进行数学建模，并得到准确的结果。本文将介绍如何使用MATLAB进行数学建模，并给出一些实际例子。
一、数学建模的基本步骤
数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并利用数学方法对其进行求解和分析的过程。在使用MATLAB进行数学建模之前，我们需要明确问题的具体要求，然后按照以下基本步骤进行操作：
1. 理解问题：深入了解问题背景、影响因素以及目标要求，确保对问题有一个清晰的认识。
2. 建立模型：根据问题的特性，选择合适的数学模型，并将问题转化为相应的数学表达式。
3. 编写MATLAB代码：利用MATLAB的计算功能和算法库，编写用于求解数学模型的代码。
4. 数据处理和结果分析：在获得计算结果后，根据需要进行数据处理和结果分析，评估模型的准确性和可行性。
二、MATLAB的数学建模工具
MATLAB提供了一系列用于数学建模的工具箱和函数，这些工具
可以帮助我们快速构建数学模型，并进行求解。下面是一些常用的数
学建模工具：
1. 符号计算工具箱：MATLAB的符号计算工具箱可以实现符号运算，用于建立和求解复杂的数学表达式。
2. 优化工具箱：优化工具箱可以用于求解多种优化问题，如线性规划、非线性规划、整数规划等。
3. 数值解工具箱：数值解工具箱提供了各种数值方法和算法，用于
求解微分方程、积分方程、差分方程等数学问题。
MATLAB中常见的自动化建模方法介绍
MATLAB中常见的自动化建模方法介绍
随着科技的不断进步，自动化建模在各个领域中变得越来越重要。MATLAB
作为一种强大的数学建模与仿真工具，为研究人员和工程师们提供了许多自动化建模方法。本文将介绍几种常见的MATLAB中的自动化建模方法，包括系统辨识、
机器学习和优化方法。
一、系统辨识
系统辨识是在无法直接获得系统模型的情况下，通过对系统输入和输出数据的
观测来估计系统模型。MATLAB提供了多种用于系统辨识的函数和工具箱，其中
最常用的是System Identification Toolbox。
System Identification Toolbox提供了参数估计、模型结构选择和模型验证等功能。在MATLAB中，使用系统辨识工具箱进行模型辨识一般包括以下步骤：收集
系统输入和输出数据、选择适当的模型结构、参数估计和模型验证。通过这些步骤，研究人员可以获得一个能够准确描述系统动态特性的模型。
二、机器学习
机器学习是一种通过让计算机从数据中学习，并且在新的数据上做出预测或决
策的方法。在MATLAB中，有多种机器学习算法可供选择，包括支持向量机（SVM）、人工神经网络（ANN）和决策树等。
支持向量机是一种基于统计学习理论的二分类器，其主要思想是通过在高维特
征空间中找到一个最优超平面来实现数据分类。MATLAB中的Support Vector Machines Toolbox提供了一系列用于支持向量机模型的训练和应用的函数。
人工神经网络是一种模拟人脑神经元网络的算法，它可以通过学习样本数据来
进行分类、回归、聚类等任务。MATLAB中的Neural Network Toolbox提供了一系列用于构建、训练和应用神经网络的函数和工具。
数学建模第三讲：Matlab教程和入门
n 退出MATLAB
n 关闭MATLAB桌面
n 在命令窗口执行quit或exit命令
n MATLAB缺省桌面（见下页）
2020-2-12
Application of Matlab Language
21
2.2 命令窗口 （续）
n 简单计算（续）
【例2.2-2】计算sin(454 ) >>sin(45*pi/180)
ans= 0.7071
l Matlab中正弦函数sin就是常见的正弦函数。 l 它的参数值是以“弧度”为单位的。
l pi也是Matlab的预定义变量。 l pi=3.14159…
l Matlab对字母大小写是敏感的。
n 可以方便地与Fortran、C等语言接口
n 编程易、效率高
n Matlab以数组为基本计算单元 n 具有大量的算法优化的功能函数
2020-2-12
Application of Matlab Language
15
Matlab 的安装
q 购买（下载）Matlab 软件 q 插入光盘，自动运行； 或点击安装程序 setup.exe
目前，Matlab软件支持多种系统平台，如常见的WindowsNT/XP、UNIX、 Linux等。
matlab常用算法大全(数学建模)
本文总结了matlab常用的几个算法，希望对数学建模有帮助。
利用matlab编程FFD算法完成装箱问题：
设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。
建立box_main.m
function[box_count,b]=box_main(v) vmax=100;
sort(v,'descend');
n=length(v);
b=zeros(1,n);
for i=1:n
b(i)=vmax;
end
box_count=1;
for i=1:n
for j=1:box_count
if v(i)<=b(j) %可以放入 b(j)=b(j)-v(i);
break;
else%不可放入时
continue;
end
end
if j==box_count
box_count=box_count+1;
end
end
box_count=box_count-1;
end
主程序为：
v=[60 45 35 20 20 20];
[box_count,b]=box_main(v)
结果：
box_count =3 b =5 15 80 100 100 100
所以，使用的箱子数为3, 使用的箱子的剩余空间为5，15 ，80。
“超市大赢家”提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择,车的容量为1000dm3 , 奖品i 占用的空间为wi dm3 ,价值为vi 元, 具体的数据如下:
vi = { 220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, 122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1}
MATLAB中的数学建模方法及应用
MATLAB中的数学建模方法及应用引言
数学建模作为一门重要的学科，已经成为了现代科学研究和工程实践中不可或
缺的一部分。而在数学建模过程中，数值计算和数据分析是关键步骤之一。MATLAB作为一种强大的数学计算软件，在数学建模领域得到了广泛应用。本文
将介绍MATLAB中常用的数学建模方法，并探讨一些实际应用案例。
一、线性模型
线性模型是数学建模中最基础的一种模型，它假设系统的响应是线性的。在MATLAB中，我们可以通过矩阵运算和线性代数的知识来构建和求解线性模型。
例如，我们可以使用MATLAB中的线性回归函数来拟合一条直线到一组数据点上，从而得到一个线性模型。
二、非线性模型
与线性模型相对应的是非线性模型。非线性模型具有更强的表达能力，可以描
述更为复杂的系统。在MATLAB中，我们可以利用优化工具箱来拟合非线性模型。例如，我们可以使用MATLAB中的非线性最小二乘函数来优化模型参数，使得模
型与实际数据拟合程度最好。
三、微分方程模型
微分方程模型在科学研究和工程实践中广泛应用。在MATLAB中，我们可以
使用ODE工具箱来求解常微分方程（ODE）。通过定义初始条件和微分方程的表
达式，MATLAB可以使用多种数值方法来求解微分方程模型。例如，我们可以利
用MATLAB中的欧拉法或者龙格-库塔法来求解微分方程。
四、偏微分方程模型
偏微分方程（PDE）模型是描述空间上的变化的数学模型。在MATLAB中，我们可以使用PDE工具箱来求解常见的偏微分方程模型。通过定义边界条件和初始条件，MATLAB可以通过有限差分或有限元等方法来求解偏微分方程模型。例如，我们可以利用MATLAB中的热传导方程求解器来模拟物体的温度分布。
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第3讲MATLAB数据建模方法(上)：常用方法
作者：卓金武, MathWorks 中国
以数据为基础而建立数学模型的方法称为数据建模方法，包括回归、统计、机器学习、深度学习、灰色预测、主成分分析、神经网络、时间序列分析等方法，其中最常用的方法还是回归方法。本讲主要介绍在数学建模中常用几种回归方法的MATLAB实现过程。
根据回归方法中因变量的个数和回归函数的类型（线性或非线性）可将回归方法分为:一元线性、一元非线性、多元回归。另外还有两种特殊的回归方式，一种在回归过程中可以调整变量数的回归方法，称为逐步回归，另一种是以指数结构函数作为回归模型的回归方法，称为Logistic回归。本讲将逐一介绍这几个回归方法。
3.1 一元回归
3.1.1 一元线性回归
【例3-1】近10年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额（单位：亿元）的数据见表3-1，请建立社会商品零售总额与职工工资总额数据的回归模型。
表3-1 商品零售总额与职工工资总额
回归方法建立他们之间的回归模型了，具体实现的MATLAB代码如下：
（1）输入数据
（2）采用最小二乘回归
据的散点图，这样就可以从图形上判断这些数据是否近似成线性关系。当发现它们的确近似在一条线上后，再用线性回归的方法进行回归，这样也更符合我们分析数据的一般思路。
图3-1 职工工资总额和商品零售总额关系趋势图
（3）采用LinearModel.fit函数进行线性回归
运行结果如下：
（4）采用regress函数进行回归
运行结果如下：
只要根据自己的需要选用一种就可以了。函数LinearModel.fit 输出的内容为典型的线性回归的参数。关于regress ，其用法多样，MATLAB 帮助中关于regress 的用法，有以下几种：
b = regress(y,X)
[b,bint] = regress(y,X) [b,bint,r] = regress(y,X) [b,bint,r,rint] = regress(y,X)
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X) [...] = regress(y,X,alpha) 输入y （因变量，列向量），X （1与自变量组成的矩阵）和（alpha ，是显著性水平, 缺省时默认0.05）。
输出01
ˆˆ(,)b ββ=，bint 是01ββ，的置信区间，r 是残差（列向量），rint 是残差的置信区间，s 包含4个统计量：决定系数2R （相关系数为R ），F 值，F(1,n-2)分布大于F 值的概率p ，剩余方差2s 的值。2s 也可由程序sum(r.^2)/(n-2)计算。其意义和用法如下：2R 的值越接近1，变量的线性相关性越强，说明模型有效；如果满足1(1,2)F n F α--<，则认为变量y 与x 显著地有线性关系，其中1(1,2)F n α--的值可查F 分布表，或直接用MATLAB 命令finv(1-α,1, n-2)计算得到；如果p α<表示线性模型可用。这三个值可以相互印证。2s 的值主要用来比较模型是否有改进，其值越小说明模型精度越高。
3.1.2 一元非线性回归
在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的，此时就应该用非线性回归。用用非线性回归首先要解决的问题是回归方程中的参数如何估计。下面通过一个实例来说明如何利用非线性回归技术解决实例的问题。
【例3-2】 为了解百货商店销售额x 与流通率（这是反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用）y 之间的关系，收集了九个商店的有关数据（见表3-2）。请建立它们关系的数学模型。
表3-2 销售额与流通费率数据
9
25.5 2.2
为了得到x与y之间的关系，先绘制出它们之间的散点图，如图3-2所示的“雪花”点图。由该图可以判断它们之间的关系近似为对数关系或指数关系，为此可以利用这两种函数形式进行非线性拟合，具体实现步骤及每个步骤的结果如下：
（1）输入数据
（2）对数形式非线性回归
运行结果如下：
运行结果如下：
在该案例中，选择两种函数形式进行非线性回归，从回归结果来看，对数形式的决定系数为0.973，而指数形式的为0.993，优于前者，所以可以认为指数形式的函数形式更符合y 与x之间的关系，这样就可以确定他们之间的函数关系形式了。
3.2 多元回归
【例3-3】某科学基金会希望估计从事某研究的学者的年薪Y与他们的研究成果（论文、著作等）的质量指标X1、从事研究工作的时间X2、能成功获得资助的指标X3之间的关系，为此按一定的实验设计方法调查了24位研究学者，得到如表3-3所示的数据（i为学者序
号），试建立Y 与123,,X X X 之间关系的数学模型，并得出有关结论和作统计分析。
表3-3 从事某种研究的学者的相关指标数据
他们之间的变化趋势，如何近似满足线性关系，则可以执行利用多元线性回归方法对该问题进行回归。具体步骤如下：
（1）作出因变量Y 与各自变量的样本散点图
作散点图的目的主要是观察因变量Y 与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式。图7-3分别为年薪Y 与成果质量指标1X 、研究工作时间2X 、获
得资助的指标
3X 之间的散点图。从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此，
有比较好的线性关系，可以采用线性回归。绘制图3-3的代码如下：
Y 与x1的散点图 Y 与x2的散点图 Y 与x3的散点图
图3-3 因变量Y 与各自变量的样本散点图
（2）进行多元线性回归
这里可以直接使用regress 函数执行多元线性回归，具体代码如下：
运行后即得到结果如表3-4所示。
表3-4 对初步回归模型的计算结果
计算结果包括回归系数b=(0123,,,ββββ)=(18.0157, 1.0817, 0.3212, 1.2835)、回归系数的
30
35404550
5530
354045505530
35
40
45
50
55