理论力学-哈工大版 课件

●第二种表示法：将质点系的受力分成外力与内力： 内力的合力Fi (i) ,再虚加上惯性力。则有：
(e) 单个质点：每个质点的所有力分为外力的合力 Fi 、
(e) (i) FIi Fi Fi 0
i 1,2 , , n
整个质点系：
因内力成对出现，其矢量和及对任意点之矩矢量和恒为零，则
i
y
O
i
－－刚体对转轴z的惯性积.
xi yi
M Ix J xz J yz
同理
2
x
M Iy J yz J xz
2
t FIi
n FIi
M
M z FIt i M z FIni mi ri ri Iz z 2 mi ri J z
v FT l sin 2 2.1m/s m
mg FT 1.96 N cos
应用静力学写平衡方程的方法求解动力学问题，这 种方法称为动静法。
§ 13-2
质点系的达朗贝尔原理
●第一种表示法：将质点系的受力分成主动力与约束力 单个质点：每个质点的所有力分为主动力的合力Fi、约 束力的合力FNi,再虚加上惯性力。则有：
ri
M Iz I z α
x M IO M Ix i M Iy j M iz k
t FIi
O
zi
yi
xi
n FIi
y

定轴转动刚体惯性力系向转动轴上任一点简化小结：
τ n 主矢: FIR ＝－ m aC ＝－ m( aC aC )
主矩:
M Ix I xz I yz M Iy I yz I xz
Fie FI i 0
mO Fi
e
o
m F 0
Ii
在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的 惯性力与作用于该系上的外力将组成一平衡力系。 --质点系达朗贝尔原理的另一种表达
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
物体运动的惯性，称这个力
为惯性力。
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
解 : FI ma
a M IO J J R
M
B
0 mgl2 FI l2 Pl3 M IO FA l1 l2 0

Fy 0 FA FB mg P FI 0
FA mgl2 Pl3 a J ml2 l1 l2 l1 l2 R
FB
mgl1 Pl1 l2 l3 a J ml1 l1 l2 l1 l2 R
静约束力 附加约束力为
a J a J FA ml1 ml2 FB l1 l2 R l1 l2 R
例13-6 已知：均质圆盘 m1 , R, 纯滚动.均质杆 l 2 R, m2 . 求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
B
解:
刚好离开地面时,地面约束力为零.
研究 AB 杆
M A 0 m2 aR sin 30 m2 gR cos 30 0
a 3g
1 2 a 研究整体 FIA m1a, M IA m1R 2 R M D 0 FR FIA R MIA FIC R sin 30 m2 gR cos30 0
Fx FNx FIx Fx 0 F y FNy FIy F y 0 Fz FNz FIz Fz 0
i i i
注：对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等于ma
的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生改变的物体上。
例如，人推车前进，这 个力向后作用在人手上。正 是通过这个力，我们感到了
只简化为一个力
FIR maC
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力， 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与 加速度方向反向。
注意：实际应用时，用向质心的简化结果。
2.刚体定轴转动
z
y
ri
Oiຫໍສະໝຸດ xi yit FIi n FIi
O
zi
yi
xi
n FIi
y
x
t Ii
t FIi
§ 13-3
刚体惯性力系的简化
i
无论刚体作何种运动，惯性力系的主矢均为：
FIR FiI mi ai mac
１.刚体平移
（1）惯性力系向非质心点O 简化
aC aC
C
FIi
ri
O
rC
M IO ri FIi ri (mi aC ) ( mi ri ) aC mrC aC （2）惯性力系向质心简化 M IC 0
FR、MO分别为主动力的主矢与主矩； FIR、MIO分别为惯性力向O简化的主矢 与主矩（ FIR无Z向分力）
F 0 F 0
x
FA x FB x FR x FI x 0
y
FA y FB y FR y FI y 0
F 0
z
x
FBz FR z 0
M
主矩：
M Ix M Iy 0 M I M Iz I z α
惯 I xz 性 积 I yz
m x z m y z
i
i i i
i i
2)如果刚体有质量对称平面S，并且与转轴z垂直，其交点O 恰好是质心，即ac=0,则惯性力系向O简化为在对称面内的一 个力偶。此时，转轴称为中心惯性主轴。
第十三章
达朗贝尔原理(动静法)
（D’Alembert’s principle） (Method of dynamic equilibrium )
§ 13-1
惯性力(Inertial force )
N F FN ma 0 令 F ma 惯性力 I 有 FF F 0 N I
M IC 0
M IC J C
aC
FIR
M IC J C
M IC
C

例13-3 已知:如图所示均质杆的质量为m ,长为l ,绕定轴O 转动的角 速度为 ,角加速度为 . 求:惯性力系向点Ｏ 简化的结果(方向在图上画出).
解:
l F m 2
t IO
n FIO
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
整个质点系： Fi FN i FI i 0 F1 m1
mO Fi mO FN i mO FI i 0
FI1
对于整个质点系来说，在运 FN1 FNi 动的任意瞬时，虚加于质点系上 a1 mi 各质点的惯性力与作用于该质系 FN2 F ai 上的主动力、约束力将组成一平 Ii FI2 F m2 衡力系—质点系达朗贝尔原理。 i a2 F2
解:
FI me
2
F
x
0, Fx FI sin 0
0, Fy (m1 m2 ) g FI cos 0
A
F
因
y
M
0, M m2 ge sin FI h sin 0
t , 得
Fy m1 m2 g m2e 2 cos t
解:
FI1 m1a, FI 2 m2 a
FIit mi r mi a ,
v2 FIin mi r
M
由
O
0,
m1g m1a m2 g m2ar mi ar 0
i
m ar m ar mar
i
解得
m1 m2 a g m1 m2 m
F
x
0 F Fs m1 m2 a 0
3 3 F m1 m2 3 g Fs m1 g 2 2
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
M Ix mi ri cos i zi (mi ri sin i zi )
2
MIx m i x i z i2 m i y i z i
J yz m i y iz
J x z m i x i z
i
xi yi cos i , sin i ri ri
t i
x
n Ii n i

2
F mi a mi ri
F mi a mi ri
M Ix M x FIi M x FIit M x FIin
mi ri cos i zi (mi ri 2 sin i zi )
0 FB y OB FA yOA M x M I x 0
M
y
0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
1 M y FRxOB M Iy FIxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB


1 M y FRxOA M Iy FIxOA FBx AB