傅立叶光学
傅里叶光学简介
L1
O
F S+1
A B
S0
C
S-1
阿贝成象原理
I’
1
C’
通过衍射屏的光发生夫
琅禾费衍射，在透镜后
B’
焦平面上得到傅里叶频
A’
2
谱 (S+1, S0, S-1)
虚物
2 频谱图上各发光点发出的球面波在象平面上相干叠
加而形成象A’，B’，C’ 。
第一步是信息分解 第二步是信息合成
频 ❖ 第一步夫琅禾费衍射起分频作用将各 谱 语 种空间频率的平面波分开在L后焦面上形 言 成频谱 描 述 ❖ 第二步干涉起综合作用
傅里叶光学的应用
（1）光学信息处理的特点
✓ 高速 处理 并行传输 并行处理 响应 光开关 10-15s 光传输速度 3×108 m/s 电开关 10-9s 电传输速度 105 m/s
✓ 抗干扰能力强 ✓ 大容量 传输容量大 光纤
存储容量大 全息存储
（2）信息光学的应用
✓ 新型成像系统
✓ 图像处理、图像识别
傅里叶变换+线性系统理论
➢空间频率
照片的二维平面 上光振幅有一定 的强弱分布
➢空间频率
空间频率：单位长度光振幅变化的次数。 反映了光强分布随空间变量作周期性变化的频繁程 度，它同光振动本身的时间频率完全是两回事。时 间是一维的，空间可以是一维、二维、三维。
➢ 数学上的傅立叶变换
数学上可以将一个复杂的周期性函数作 傅立叶级数展开，这一点在光学中体现 为：一幅复杂的图像可以被分解为一系 列不同空间频率的单频信息的合成，即， 一个复杂的图像可以看作是一系列不同 频率不同取向的余弦光栅之和。
✓透镜的发明 ✓望远镜、显微镜的发明 ✓Snell折射定律、费马原理 ✓微粒说、波动说
傅里叶光学解析
20世纪上半叶
20世纪40年代至 60年代 20世纪60年代以来
1、傅里叶光学的发展历史
5）现代光学发展的三件大事
✓ 1948年，全息术的诞生，物理学家第一次精确地拍摄下一张立体的物体 像，它几乎记录了光波所携带的全部信息 (这正是“全息”名称的来历)！ ✓ 1955年，科学家第一次提出“光学传递函数”的新概念，并用它来评价 光学镜头的质量。 ✓ 1960年，一种全新的光源-激光器诞生了，它的出现极大地推动了相关学 科的发展。
2、傅里叶光学的研究内容和研究方法
1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的 传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： ✓光在空间的传播（衍射和干涉问题） ✓光学成像（相干与非相干成像系统） ✓全息术（包括计算全息） ✓光学信息处理（相干滤波、相关识别等） ✓光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法：
傅里叶光学 Fourier Optics
薛常喜 光电工程学院
1、傅里叶光学的发展历史
1）光学是一门古老的学科，主要研究光波的本性、光 波
的传播以及光与物质的相互作用。 2）光学的发展历史可以追溯到公元前5世纪，到目前 已经
有2000多年的历史，并逐渐在物理学中形成了一门 独立
的基础学科。 3）光学的发展历史可以看成是人们对光本性认识的历
史，以及人们利用光学技术推动社会不断进步的历 史。 4）在整个发展历史中，光学也从经典光学发展到现代
光学的发展历程
第一阶段：17世纪 中叶之前
经典光学的早期发 展阶段
【几何光学】
傅里叶光学的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 深入理解傅里叶光学的基本原理和概念。
2. 通过实验验证傅里叶变换在光学系统中的应用。
3. 掌握光学信息处理的基本方法，如空间滤波和图像重建。
4. 理解透镜的成像过程及其与傅里叶变换的关系。
二、实验原理傅里叶光学是利用傅里叶变换来描述和分析光学系统的一种方法。
根据傅里叶变换原理，任何光场都可以分解为一系列不同频率的平面波。
透镜可以将这些平面波聚焦成一个点，从而实现成像。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：将空间域中的函数转换为频域中的函数。
2. 光学系统：利用透镜实现傅里叶变换。
3. 空间滤波：在频域中去除不需要的频率成分。
4. 图像重建：根据傅里叶变换的结果恢复原始图像。
三、实验仪器1. 光具座2. 氦氖激光器3. 白色像屏4. 一维、二维光栅5. 傅里叶透镜6. 小透镜四、实验内容1. 测量小透镜的焦距实验步骤：（1）打开氦氖激光器，调整光路使激光束成为平行光。
（2）将小透镜放置在光具座上，调节光屏的位置，观察光斑的会聚情况。
（3）当屏上亮斑达到最小时，即屏处于小透镜的焦点位置，测量出此时屏与小透镜的距离，即为小透镜的焦距。
2. 利用夫琅和费衍射测光栅的光栅常数实验步骤：（1）调整光路，使激光束通过光栅后形成衍射图样。
（2）测量衍射图样的间距，根据dsinθ = kλ 的关系式，计算出光栅常数 d。
3. 傅里叶变换光学系统实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在光栅后放置傅里叶透镜，将光栅的频谱图像投影到屏幕上。
（3）在傅里叶透镜后放置小透镜，将频谱图像聚焦成一个点。
（4）观察频谱图像的变化，分析透镜的成像过程。
4. 空间滤波实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在傅里叶透镜后放置空间滤波器，选择不同的滤波器进行实验。
（3）观察滤波后的频谱图像，分析滤波器对图像的影响。
五、实验结果与分析1. 通过测量小透镜的焦距，验证了透镜的成像原理。
第十四章傅里叶光学
E ( x1 , y1 )
2、点物在距透镜有限远的光轴上 、 设点物S位于距透镜为 l 的光轴上， 设点物 位于距透镜为 的光轴上， 则投射到透镜上的光波就是从S点 则投射到透镜上的光波就是从 点 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 它在透镜前平面上的场分布为
x12 + y12 ~ E ( x1 , y1 ) = A exp ik 2l
由于不考虑透镜的有限孔径大小， 由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
2 2 x1 + y1 tl (x1 , y1 ) = exp − ik 2f
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为
E ′(x1 , y1 ) = tl ( x1 , y1 ) ⋅ E ( x1 , y1 ) k 2 2 = A ⋅ t (x1 , y1 ) exp− j x1 + y1 2f
(
)
{
}
所以
~ (x , y ) = A exp jk E jλ f 2 f
x y d0 2 2 1 − x + y ⋅ T , λf λf f
(
)
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换， 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到 有一个位相弯曲。 物体紧靠透镜结论与前面一致， 有一个位相弯曲。当 d 0 = 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致， 当 时 d 0 = f，式子变为 x y
tl ( x1 , y1 ) f
但是这种FT关系不是准确的。 但是这种 关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 关系不是准确的
jk 2 exp x + y2 2 f
傅里叶光学(高等物理光学)
第一章光场的表示和Fourier分析1.1 Maxwell方程与标量波1.2 平面波和球面波1.3 二维Fourier变换的定义和物理意义1.4 卷积和相关1.5 Fourier变换的基本性质1.6 可分离变量的Fourier变换1.7 一些常用函数和它们的Fourier变换17空间频率概念的引入f (2j eU )y ,x (U π=/1/1==f f y x λcos =X9112. ( f x , f y )的物理意义方向余弦为(cos α, cos β) 的单色平面波在xoy平面上的复振幅分布是以2π为周期的分布，该复振幅分布可用沿x，y 方向的空间频率( f x , f y ) 来描述3.根据波叠加原理，任何复杂的光场分布可以分解为许多不同方向传播的平面波的叠加，或分解为许多不同空间频率的波的叠加.此式表示一个在xy 平面上沿x方向的空间频率为f x ，沿y方向的空间频率为f y 作周期的复振幅函数，它代表一个传播方向为( cos α＝λf x ，cos β＝λf y )的平面波.)(20),(y f x f j y x eU y x U +=π)cos cos (0),(βαy x jk e U y x U +=四、球面波的复振幅1、定义：点光源发出的单色光波等相位面是球面波1215近轴条件：只考虑xoy 平面上与S 点张角不大的范围.3、近轴条件下球面波的复振幅(1)171.3 Fourier变换的定义和物理意义一、广义变换∫∞∞−=dxx k x f I f ),()()(αα把函数f (x)在x 空间变换成α空间的I f (α)的函数，I f (α) 叫函数f (x) 的以k (α,x) 为核的积分变换.变换Fourier e x k x j −−=−παα2),(拉普拉斯变换−−−x e α梅林变换−−−1αx 阶汉克尔变换n xJ n −−)(α18二、一维Fourier变换1、定义t j eπν2基元函数代表频率为ν的简谐振荡.F (ν)= F {f ( t )}=∫∞∞−−dte tf t j πν2)({}dve v F v F tf vt j π21)()()(∫∞∞−−==F 2、物理意义：1) f (t)可分解为许多基元函数的线性组合;2) F (ν)权重因子.1921四、存在条件(函数g(x,y)存在FT的条件)1、g(x,y)在整个xy平面绝对可积∫∫∞<dxdy y x g |),(|五、广义Fourier变换g (x ,y)＝),(lim y x g n n ∞→G (f x ,f y )＝),(lim y x n n f f G ∞→2、在任一有限区域里，g(x,y) 必须只有有限个间断点和有限个极大和（或）极小点;3、g(x,y)必须没有无限大间断点.23若g(x,y) 为实函数，G( f x , f y ) 是厄米函数，则G (-f x ,-f y ) = ( f x , f y )即振幅|G (-f x ,-f y ) | = |G( f x , f y )|幅角φ(-f x ,-f y ) = -φ( f x , f y )其中( f x , f y )是G( f x , f y )的共轭复数，G ( f x , f y )是中心对称的函数.傅立叶变换并不改变函数的奇偶性,通常该性质称为傅立叶变换的对称性.∗G ∗G24一、卷积（Convolution）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(−∫=∗=∞∞−展宽：卷积运算的宽度是原来两个函数宽度之和.设f (x) 宽度为b 1, h (x) 的宽度为b 2,则g (x) 的宽度是：b = b 1＋b 2 .1.4 卷积和相关卷积运算的几何解释：先反转h (α)，每平移一个距离x，计算f (α)h (x -α)相乘，∫∞∞−−da a x h a f )()(求面积；再绘成g(x) 随x 变化的图形；积分252627)}()({)}()({)()}()({x h x v b x h x u a x h x bv x au ∗+∗=∗+4)结合性：)()()()()()()()}()({x v x h x u x h x v x u x h x v x u ∗∗=∗∗=∗∗)()()(x u x v x h ∗∗=卷积的次序是无关紧要的.2. 性质：1)平滑性：g (x)的变化率<< f (x)、h (x)的最大变化率；2)对易性：f (x) * h (x)= h (x) * f(x)；3)线性性质：30二、相关（correlation）1. 定义：αααd x h f x h x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★令：x −=αβ得：βββd h x f )()(*∫∞∞−+ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(*−−∫∫=∞∞−＝★ηξηξηξ′′′′∫∫+′+′∞∞−d d h y x f ),(),(*＝与卷积运算的区别：没有反转，只有平移.)(αh )(α−h31相关运算示意图322.性质：1)尖峰化：相关运算是两个信号之间存在相似性的量度.34若f (x) = h (x),则：αααd x f f x f x f x g )()()()()(*−∫==∞∞−★ηξηξηξ∫∫−−=∞∞−d d y x f f y x f y x f ),(),(),(),(*★ηξηξηξ′∫∫′′′+′+′=∞∞−d d f y x f ),(),(*3. 自相关函数：1)定义：3538六、自相关定理七、Fourier积分定理对函数相继进行正FT变换和逆FT，得到原函数.八、FT的FT对函数相继进行FT，所得的函数形式不变，仅将坐标反向.F {g (x,y )☆g (x,y )}=|G (f x , f y )|2F {|G (f x , f y )|2}= g (x,y )☆g (x,y )F –1{F {g (x,y )}}= F {F –1{g (x,y )}}=g (x,y )F {F {g (x,y )}}=g (-x,-y )自相关函数的FT是原函数的功率谱，信号的自相关和功率谱之间存在FT关系.F {g (x,y )☆h (x,y )}= (f x , f y )·H (f x , f y )——互相关定理∗G 两函数的互相关与其互谱密度之间存在FT关系.41结论：在极坐标中可分离变量函数g (r ,θ)=g r (r )g θ(θ)它的频谱在极坐标中也是可分离变量函数，关于φ的函数是exp(j k φ)，关于ρ的函数是G k (ρ) 它为g r (r ) 的k 阶汉克尔变换.=ρ45464748491.7、一些常用函数和它们的FT50。
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅里叶光学
~ U 2 ( x, y ) z
17
透镜的透射函数
由图中可以得出 D1 R 1 R 1 ( x 2 y 2 ) , 将 略去 x2y2 展开 D 1 , 2R 1 D 2 R 2 R 2 (x 2 y 2 ) x2y D2 2R 2
2
2 2 1 1 nd 0的影响，有 L ( x , y ) ( n 1)( （ ) x 2 y 2〕 2R 1 2R 2
透镜的傅立叶变换性质
2）当衍射屏置于透镜前一定距离时
E ( x2 , y2 ) E ( x1 , y1 ) E (x, y) E (u , v )
Light beam
f
L1
P
d0
F
从P到L1是菲涅尔衍射，所以有：
eikd0 ik 2 2 E ( x1, y1 ) E ( x , y ) exp{ [( x x ) ( y y ) 2 2 1 2 1 2 ]}dx2 dy2 id 0 2d 0 (3)
F
(1)
20
透镜的傅立叶变换性质
E ( x, y ) 是 E ' ( x1 , y1) 的菲涅耳衍射
eikf ' ik 2 2 E ( x, y ) E ( x , y ) exp{ [( x x ) ( y y ) 1 1 1 1 ]}dxdy i f 2f
23
透镜的傅立叶变换性质
从L1平面经过透镜到F面，由公式（2）给出。
x2 y2 ik[ f ] 2f
E ( x, y )
e
if e
x2 y2 ik[ f ] 2f
ik E ( x1 , y1 ) exp[ f ( xx1 yy1 )]dx1dy1 E ( x1 , y1 ) ( 2 )
傅里叶光学
补充读物傅里叶光学和数字图象处理光学与电通讯和电信息理论相互结合，逐渐形成了傅里叶光学。
傅里叶光学的数学基础是傅里叶变换，它的物理基础是光的衍射理论。
一、空间频率和复振幅设一维简谐波以相速度u 沿x 轴正方向传播，)(cos ),(0ϕωξ+−=x k t A t x简谐振动的时间周期性：时间周期T ，时间频率ν，时间角频率ω .简谐波还具有空间周期性？波速u ：(单位时间内振动状态的传播距离称为波速，相速)πλωλνλ2===T u . 空间周期性：空间周期：波长λ (表示振动在一个周期T 内所传播的距离，两个相邻的振动相位相同的点之间距离。
)空间频率：1/λ空间角频率：波数2π/λ若两个单色波沿其传播方向有不同的空间频率，意味着它们有不同的波长。
时间周期性和空间周期性的联系(对单色光)：λ ＝ uT 沿空间任意k 方向传播的单色平面波，复振幅 )(i 00e )(~ϕ−⋅=r k r A E ])cos cos cos ([i 0e ϕγβα−++=z y x k A ,其中α , β 和γ 为传播矢量k 的方位角。
在多数情况下，若不考虑光波随时间的变化，可以只用复振幅表示光波以简化计算。
二、空间频率概念的推广（二维）通常，要处理一个二维的复振幅分布或光强分布，如分析平面上的衍射花样，这时要推广空间频率。
沿k 方向传播的单色平面波，0z z =平面的复振幅分布为 γcos i 000e ),(~z k A y x E =)cos cos (i e βαy x k +对于沿一定方向传播的平面波，γcos i 0e z k ＝常数，则A y x E =),(~0)cos cos (i e βαy x k +x, y 平面上各点复振幅的差别仅来源于不同的(x, y )处有不同的相位差。
x y 平面上的相位分布？k 方向传播的平面波的波面如上图示，0z z =平面与任一波面的交线(虚线)上，各点的位相＝该波面的相位值；交线族 ＝ 等相位线族，其方程为 =+)cos cos (2βαλπy x 常数 故，0z z =平面上复振幅分布的特点：等位相线是一组平行线, 呈周期分布(周期为π2)。
傅里叶光学
傅里叶光学
傅里叶光学的原理是根据傅里叶分析的原理，利用光的波动特性，将一个复杂的光波分解成多个简单的光波，然后利用这些简单的光波来描述复杂的光波的特性。
这种分析方法可以用来研究光的传播，衍射，折射，反射和其他光学相关的现象，可以研究光的空间分布，特性，调制，幅度，相位等特性。
傅里叶光学是一种基于傅里叶变换的光学理论，它用来描述光线的行为，其中光线的行为可以用傅里叶变换的形式表示。
它是由法国物理学家和数学家约瑟夫·傅里叶发现的，他在1822年发表了一篇论文，提出了“傅里叶光学”的概念，并且将其用于描述光线的行为。
傅里叶光学的基本原理是，光线可以用一系列的正弦函数来表示，这些正弦函数的频率和振幅可以用傅里叶变换来表示。
换句话说，傅里叶光学可以用来描述光线如何传播，如何反射，如何折射，以及如何在介质中传播，等等。
傅里叶光学的原理被广泛应用于光学，以及其他科学和工程领域。
它可以用来解释和模拟光线在不同环境中的传播特性，以及光线在介质中的反射、衍射和折射等现象。
傅里叶光学全
1 傅里叶变换()()()[])}y ,x (f {F dxdy ey ,x f f ,f F y f x f i 2y x y x ==⎰⎰∞∞-+-π式中fx 和fy 称为空间频率，()y x f f F ,称为F(x,y)的傅里叶谱或空间频谱。
()y x f f F ,和F(x,y)分别称为函数f （x,y ）的振幅谱和相位谱，而)fy fx (，F 称为f （x ，y ）的功率谱。
2 逆傅里叶变换)},({),(),(1)(2[fy fx F F fxfy efy fx F y x f y f x f i y x -∞∞-+==⎰π3 函数f(x,y)存在傅里叶变换的充分条件是：①f(x,y ）必须在xy 平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续结点②f(x,y)在xy 平面域内绝对可积 ③f(x,y)必须没有无穷大间短点4 物函数f （x ，y ）可看做是无数振幅不同，方向不同的平面线性叠加的结果5 sinc 函数常用来描述单缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样6 在光学上常用矩形函数不透明屏上矩形孔，狭缝的透射率7 三角状函数表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数8 高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束，又是用于光学信息处理的“切趾术”9 δ函数表示某种极限状态。
可用来描述高度集中的物理量。
如点电荷、点光源、瞬间电脉冲等，所以δ函数又称为脉冲函数。
δ函数只有通过积分才有定值10 在光学上，单位光通量间隔为1个单位的点光源线阵之亮度可 用一个一维梳状函数表示：∑∞-∞=-=n n x )(δ）（x comb 11 一维梳状函数表示点光源面阵或小孔面阵的透过率函数，亦可作为二维函数的抽样函数12 像平面上的强度分布是物的强度分布与单位强度点光源对应的强度分布的卷积，这就是卷积在光学成像中的物理意义 13 卷积运算的两个效应①展宽效应②平滑化效应 14 相关函数是两函数图象重叠程度的描述 15.傅里叶变换的基本定理①线性定理：反映了波的叠加定理。
物理光学A---第六章 傅里叶光学
频 谱 面
物 面 高频信息
阿贝成像原理的意义在于:它以一种新的 频谱语言来描述信息,它启发人们用改造频谱 的方法来改造信息.
3.空间滤波和光学信息处理
(1)
x
阿贝-波特空间实验
光
x
a / d 1/ 3
光 栅
栅 的
频
谱
频 谱 面
像 面
光栅的像是一 条条直条纹
光栅的夫琅和费衍射图样,记 录下光栅的空间频率信息.
x
光 栅 的 频 谱
I ( x)
傅氏面上的光阑 只让零级通过. 它是一个低通滤 波器.
屏幕上光 强分布
屏上无条纹
控制频谱就控制了像面
x
光 栅 的 频 谱
傅氏面上的光 阑让零级和正 负一级通过.
屏幕上光 强分布,是 基频和直 流成分
屏上有细小 的 亮 条 纹.．
2 cos( 2 5 p0 x) 5
上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频 率的简谐波,这些简谐波的频率为
1 3 5 p , , , , d d d
这里p称为空间频率. P0是p的基频.
有时称P0=1/d是矩形波函数的频率,但这 不是严格意义上的频率, 只有简谐波(正弦波 和余弦波)的频率才是严格意义上的频率. 透过率函数也可用复数傅里叶级数表示:
失网 格 的 像 灰 尘 消
(3)
调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是 由不同取向的透射光栅片组成.频谱面上(除 零级外)干涉主极大呈彩色.物面上不同的部 分的频谱在不同方向上. 将一个方向的频谱, 只保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对应的 象面上,就显示出该频率的颜色来.
《傅立叶变换光学》课件
光学设计：傅立叶光学在光学设计 领域也有着广泛的应用，如光学系 统设计、光学器件设计等。
傅立叶变换光学的发展历程
1807年，傅立叶提出傅立 叶变换理论
19世纪末，傅立叶变换在 光学领域得到应用
20世纪初，傅立叶光学理 论逐渐成熟
20世纪中叶，傅立叶光学 在成像、通信等领域得到 广泛应用
21世纪初，傅立叶光学在 生物医学、遥感等领域得 到进一步发展
傅立叶变换光学的应用领域
光学成像：傅立叶光学在光学成像 领域有着广泛的应用，如光学显微 镜、光学望远镜等。
光学测量：傅立叶光学在光学测量 领域也有着广泛的应用，如光学干 涉测量、光学衍射测量等。
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光学通信：傅立叶光学在光学通信 领域也有着广泛的应用，如光纤通 信、光波导通信等。
傅立叶变换在调制和解调中的应用
傅立叶变换在调制中的应用：将信 号从时域转换为频域，便于传输和 处理
傅立叶变换在信号处理中的应用： 通过傅立叶变换，可以对信号进行 滤波、压缩、加密等处理
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傅立叶变换在解调中的应用：将接 收到的信号从频域转换回时域，恢 复原始信号
傅立叶变换在通信系统中的应用： 傅立叶变换在通信系统中广泛应用， 如数字通信、无线通信、卫星通信 等
频谱分析：分析信 号的频率成分和能 量分布
滤波处理：通过傅 立叶变换进行滤波 处理，去除噪声或 提取特定频率成分
信号重构：将处理 后的频谱通过傅立 叶逆变换重构为时 域信号
图像的频谱分析和处理
傅立叶变换：将 图像从空间域转 换到频域
频谱分析：分析 图像的频率成分 和分布
频谱处理：对图 像的频率成分进 行修改和调整
《傅立叶光学》课件
应用实例2
全息术
傅立叶光学在全息术中发挥重要 作用，可用于记录和重现三维物 体的光学信息。
光谱学
傅立叶变换光谱学通过分析光信 号的频谱成分来研究物质的光学 性质。
光计算
光学计算利用傅立叶光学原理， 基于光的干涉和衍射进行信息处 理和计算。
傅立叶光学的未来前景
随着技术的进步和新方法的提出，傅立叶光学在光学系统设计、显微镜技术、 光通信等领域将继续发展并发挥重要作用。
3
光的干涉
当两个或多个波面相遇时，会发生干涉现象，傅立叶光学可以解释干涉引起的明 暗条纹和颜色变化。
应用实例1
光学显微镜
傅立叶光学用于设计和改善 显微镜系统，提高分辨率和 成像质量。
光学通信
傅立叶变换在光纤通信中起 到关键作用，用于调制和解 调光信号。
光学成像
傅立叶光学原理应用于摄影 和图像处理，实现图像的重 建和增强。
《傅立叶光学》PPT课件
傅立叶光学是一门研究光在传播中的衍射和干涉现象的学科，广泛应用于光 学系统的设计和显微镜技术。本课件将介绍傅立叶光学的基本原理及其应用。
引言
傅立叶光学是基于数学家傅立叶的工作，通过分析光的传播和干涉现象来理 解光的性质。它是现代光学的基石，广泛应用于各个领域。
概述傅立叶光学的背景和重要 性
在19世纪初，傅立叶提出了傅立叶级数和傅立叶变换的概念，为光学领域的 发展奠定了基础。傅立叶光学的研究对于理解光的传播和干涉现象至关重要。
傅立叶光学的基本原理
1
傅立叶级数
将任何周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数之和，可以用于分析和处理光的 波信号或光场在频域中的转换，可以实现信号和光场的频谱分析和滤波。
结论
通过掌握傅立叶光学的基本原理和应用，我们可以更好地理解光的传播和干涉现象，并将其应用于各个领域的 光学研究和实践中。
傅里叶光学变换
傅里叶光学变换
傅里叶光学变换是一种将光学信号从时域转换到频域的数学工具。
它通过将光学信号分解为不同的频率成分，可以帮助我们更好地理解和分析光学现象。
傅里叶光学变换基于傅里叶变换的原理，在光学领域广泛应用于光波的传播、衍射和成像等问题。
通过傅里叶光学变换，我们可以把一个光学信号表示为一系列不同频率的正弦波的叠加，这些正弦波的振幅和相位信息可以提供有关原始信号的详细特征。
傅里叶光学变换的数学公式如下：
F(ν) = ∫f(t)e^(-2πiνt)dt
其中，F(ν)表示频率为ν的光学信号的傅里叶变换结果，f(t)表示原始光学信号，e为自然对数的底。
傅里叶光学变换的一个重要应用是光学成像。
通过将光场的复振幅进行傅里叶变换，可以获得物体的光学频谱信息，从而实现对物体的高分辨率成像。
此外，傅里叶光学变换还可以应用于光衍射、光波前传播和信号处理等方面。
通过分析不同频率成分的振幅和相位信息，我们可以了解光场在不同空间位置和时间点的变化规律，从而对光学现象进行更深入的研究。
总之，傅里叶光学变换是光学领域中一种重要的数学工具，它能够帮助我们从频域的角度来理解和分析光学信号的特性和行为，为光学研究和应用提供了有力的支持。
5-第五章傅里叶光学
平面波的复振幅分布与空间频率
14 / 120
2π 2π E ( x) A exp i z0 cos γ exp i x cos α λ λ 2π A 'exp i x cos α λ
~
λ x方向空间周期： d x cos α
参考书
4 / 120
Introduction to Fourier Optics_Third edition, Dec. 2004.
吕乃光，傅里叶光学，第二版，机械工业出版社，2007 吕乃光，周哲海，傅里叶光学 概念.题解，机械工业出版社， 2008 Ronald N. Bracewell, The Fourier transform and its application, Third edition, McGrawHill, 2000
本章内容和组织结构
3 / 120
5.6 相干成像系统分析及相干传递函数 成像系统的普遍模型，成像系统的线性和空间不变性，点扩展函数概 念，扩展物体成像，相干传递函数（CTF）概念。 5.7 非相干成像系统分析及光学传递函数 非相干成像系统的光学传递函数（OTF）概念，CTF与OTF的关系， 典型孔径的OTF。 5.8 阿贝成像理论和阿贝-波特实验 阿贝二次衍射成像理论，阿贝-波特实验及空间滤波概念。 5.9 相干光学信息处理 相干光学信息处理的应用：泽尼克相衬显微镜、激光束去噪、集成电 路瑕疵检查、图像加减、图像识别。 5.10 非相干光学信息处理 非相干光学处理的应用：孔径光阑的高斯切趾及变迹。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换：
31 / 120
E ( x, y) ε(u, v) exp i 2π ux vy dudv
[理学]第六章-傅立叶光学ppt课件
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exp
ik 2f
x12 y12
f
6-4
• 二、2、点物在轴上有限距离处，紧靠透
镜后面的场
E%
'( x1 ,
y1 )
A exp
ik 2l '
x12 y12
,
1 1 1 l' f l
l
l’
6-4
• 二、3、点物在轴外有限距离处，紧靠透
镜后面的场
E% '(x1,
y1 )
A ' exp
第六章 傅立叶光学
• 用傅立叶分析的方法重新研究光
的传播、叠加和成像规律
6-1 平面波的复振幅和空间频率
• 空间周期dx=/cos， dy=/cos
• 空间频率u=1/dx=cos/, v=1/dy=cos/
x
x
k
z
dx y
6-1
• x=/2-, y=/2- • u=sin x /, v=cosy/
(x,y)
C2
-R2
R1
d2 C1
d1
[R12-(x2+y2)]1/2
6-2
• 透镜的透射函数tl
x2 y2
tl (x, y) P(x, y) exp ik
2f
1, 透镜孔径内
n
1
1 R1
1 R2
6-2
• 复杂复振幅分布的分解
E(
x,
y)
E(u,
H (u,v)=HI(u,v)/HI(0,0)
6-7 阿贝成像理论和 阿贝-波特实验
• 成像理论
• 显微相干成像是两次衍射成像 • 物面到焦面，第一次夫琅和费衍射。焦面到
傅里叶变换光学
ei 2
fx
1 2
A1t1
ei 2
fx
A
B C
1 1
x
x
x S1 1
C
1
B
S0
1
z
x1
A
S1
F
z
第一步，物光波（屏函数的平面波）经过透镜在 其焦平面上汇聚成衍射斑，即点光源
第二步，焦平面上的衍射斑作为相干的点光源， 发出的次波在像平面上相干叠加
x
x S1 1
~tP (x, y) exp[ ik(n 1)(1x 2 y)] 二维情况下
§5.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频
谱分析
1．空间频率的概念
在空间上也可以定义周期和频率，空间 周期d的倒数就是空间频率，即有f=1/d。f称 为空间频率。
2．正弦光栅的傅立叶变换
~t (x) t0 t1 cos(2fx 0 )
f1 基频
以简单的平面波入射，透射波为
U2 U1t A1 tn ei2 fnx A1tn ei2 fnx
可以用屏函数表示衍射波（透射波）
t ei2 fnx n
n级平面波
{tn} Fourier 频谱
tn n级平面波的振幅
x
ei2 fnx 的方向
sinn fn
所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。 从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非
相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素， 它们的作用都可以应用变换的方法处理。
§5.1 衍射系统的屏函数
能使波前的复振 幅发生改变的物， 统称为衍射屏。
衍射屏将波的空 间分为前场和后 场两部分。前场 为照明空间，后 场为衍射空间。
现代光学第3章 傅里叶光学基础
18
第3章 傅里叶光学基础
1) 索末菲辐射条件和SR上的积分 对于SR面上的积分，由于基尔霍夫积分定理中积分面 的选择的任意性，可以假定R→∞， 则SR为趋于无限大的 半球壳。考虑到U和G在SR面上都按1/R随R的增大而减小， 所以，R→∞时，在SR面上被积函数趋于零，但同时积分面 的面积SR按R2增大，故不能直接认为SR面上的积分为零。 下面具体讨论SR面上的积分。当R很大时，在SR面上有
(3.1-22)
相应光强分布为
(3.1-23)
33
第3章 傅里叶光学基础
3.1.3 瑞利-索末菲衍射公式
索末菲通过巧妙地选择格林函数G，排除了边界条件
中对U和
同时规定为零的要求，从而克服了基
尔霍夫理论的不自恰性。在解决了SR上的积分之后，式 (3.1-12)简化为
(3.1-24)
34
第3章 傅里叶光学基础
(3.1-3)
5
第3章 傅里叶光学基础
式中: c为光在真空中的速度;
为拉普
拉斯算符。把式(3.1-2)代入式(3.1-3)，得到自由空间单色
光场满足的波动方程为
(3.1-4)
式中: k=2πν/c=2π/λ为波矢量的大小。该式称为亥姆霍兹方 程。这表明自由空间传播的任何单色光波的复振幅必然满 足亥姆霍兹方程。
11
第3章 傅里叶光学基础
于是式(3.1-7)简化为 或
12
(3.1 -8)
第3章 傅里叶光学基础
在Sε面上，n与r处处反向，有 故
(3.1-9)
13
第3章 傅里叶光学基础
令ε→0，则有
(3.1-10)
14
第3章 傅里叶光学基础
傅立叶光学复习题
傅立叶光学复习题傅立叶光学复习题傅立叶光学是一门研究光的传播和变换的学科，它是光学领域的重要分支之一。
傅立叶光学的理论基础是傅立叶变换，通过将光场分解成不同频率的正弦波，可以更好地理解和描述光的性质和行为。
在这篇文章中，我们将通过一些复习题来回顾傅立叶光学的重要概念和原理。
1. 什么是傅立叶变换？它在光学中有什么应用？傅立叶变换是将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的和的过程。
在光学中，傅立叶变换可以用来将一个光场分解成不同频率的正弦波，从而揭示光场中的频谱信息。
这在光学成像和信号处理等领域中有广泛的应用。
2. 什么是频谱？如何通过傅立叶变换得到光场的频谱信息？频谱是指一个信号或波的频率成分的分布情况。
通过傅立叶变换，我们可以将光场分解成不同频率的正弦波，每个正弦波对应一个频率成分。
通过对这些频率成分的幅度和相位进行分析，我们可以得到光场的频谱信息。
3. 什么是傅立叶光学中的空间频率？在傅立叶光学中，空间频率指的是光场中亮度分布的变化速度。
它可以通过光场的傅立叶变换得到。
空间频率的单位是每米的周期数，常用的单位是线对数。
4. 什么是傅立叶光学中的衍射？它与傅立叶变换有什么关系？衍射是光通过一个孔径或物体边缘时出现的波动现象。
傅立叶变换可以用来描述衍射现象，通过对光场进行傅立叶变换，我们可以得到衍射场的频谱信息，从而理解衍射现象的产生和特性。
5. 傅立叶光学在光学成像中的应用是什么？傅立叶光学在光学成像中有重要的应用。
通过对光场进行傅立叶变换，我们可以得到光场的频谱信息，从而可以设计出更好的成像系统。
例如，通过对光场的频谱进行滤波，可以去除成像中的噪声和干扰，提高图像的清晰度和质量。
6. 傅立叶光学在光学通信中的应用是什么？傅立叶光学在光学通信中也有重要的应用。
通过对光信号进行傅立叶变换，我们可以将信号分解成不同频率的正弦波，从而实现信号的调制和解调。
傅立叶光学的方法可以提高光信号的传输效率和容量，使光通信系统更加高效和可靠。
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忽略透镜的吸收
a( x, y) A2 / A1 1
~ ( x, y) exp[i ( x, y)] exp{[ ( x, y) ( x, y)]} tL i 2 L 1
对于薄透镜，采取傍轴近似，认为镜中的光线平行于光 轴。从图上可以求得经透镜后的位相差
L ( x, y )
波前的相因子
exp[ik (sin1x sin 2 y)]
x y exp[ik ] 2z
2 2
x2 y 2 exp[ik ] 2z
x 2 y 2 xx0 yy0 exp[ik ( ] 2z z
x 2 y 2 xx0 yy0 exp[ik ( ] 2z z
以原点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位
相因子
x2 y2 exp[ik ] 2z
( x, y )
Q
o z
z
以物点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位
相因子
x2 y 2 exp[ikz ik ] 2z
以原点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位
相因子
2 2
Q ( x0 , y0 )
UO ( x, y) A1 (t0 t1 cos 2 fx)
1 1 U O ( x) A1t0 A1t1 ei 2 fx A1t1 e i 2 fx 2 2
x
x
x1
A B C
1 1
S1
1 1
C
B A
S0
z
x1
F
S1
x 2 y 2 A1t0 exp[ik ( BS0 )]exp[ik ( S0 B) ik ] 2z x2 y2 2 fx ( x, y) U exp[ik ( S B) ik U 1 i ] S1 1 2z V 1 x2 y2 2 fx )]exp[ik ( S B) ik A1t1 exp[ik ( BS1 i ] 1 2 2z V
~( x) t t cos(2fx ) t 0 1 0 ~ 平行光正入射 U ( x) A 1 1 ~ ~ ~ U 2 ( x) U1 ( x) t ( x) A1[t0 t1 cos(2fx 0 )]
1 cos( 2fx 0 ) {exp[ i (2fx 0 )] exp[ i (2fx 0 )]} 2
x1
A B C
1 1
xx1 k kx sin 1 z S1
1 1
x
x
C
B A
S0
z
x1
F
S1
z
1 sin 1 ny sin 1 阿贝正弦条件 1 sin sin 1 ny V V xx1 x 2 x 2 fx k kx sin 1 k sin 1 ( f ) z V V V
~ U 2 ( x, y ) ~ 衍射屏函数 t ( x, y) ~ U 1 ( x, y)
~( x, y) t ( x, y) exp[i ( x, y)] t t
t ( x, y) 屏函数的模。模为常数的衍射屏称为位相型
的 ，如透镜、棱镜等。
t ( x, y) 屏函数的幅角即位相。幅角为常数的衍射屏称
第六章 傅立叶变换光学
主要内容 衍射系统的屏函数 夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析 阿贝成像原理
变换光学
处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光 的相干叠加。这是传统光学的一般方法。 可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇 到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。衍射 障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。 所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。 从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非 相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素， 它们的作用都可以应用变换的方法处理。
C
像平面的光波是三个衍射斑 发出光波的相干叠加
三个衍射斑（点光源）发出的光波在像平面上的复振幅 x 2 y 2 U 0 ( x, y) U S0 exp[ik ( S0 B) ik ] 2z xx1 x2 y2 ( x, y) U exp[ik (S B) ik U 1 ik ] S1 1 2z z
§5.1 衍射系统的屏函数
能使波前的复振
幅发生改变的物， 统称为衍射屏。 衍射屏将波的空 间分为前场和后 场两部分。前场 为照明空间，后 场为衍射空间。
波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别称为
入射场、透射场（或反射场），接收屏上的 复振幅为接收场。
衍射屏( x, y)
照明空间
接收屏( x, y)
x 2 y 2 U 0 ( x, y) U S0 exp[ik ( S0 B) ik ] 2z
x 物光波是正弦光栅的屏函数
S1
A B C
~ U O ( x, y) A1 (t0 t1 cos2fx)
S0 S1
z
设物平面B点的位相为0 U S0 At0 exp[ik ( BS 0 )] 1 衍射斑
0
2
x d0
(n 1)
棱镜中心处的厚度
P ( x, y) k (n 1)x ~ ( x, y) exp[ik (n 1)( x y)] tP 1 2
二维情况下
§5.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频
谱分析
1．空间频率的概念 在空间上也可以定义周期和频率，空间 周期d的倒数就是空间频率，即有f=1/d。f称 为空间频率。 2．正弦光栅的傅立叶变换
透射波实际上变为三列波
k 1 x 2f
sin 1
1
2
kx 2f 1 f 2 k
1
~ U 0 ( x) A1t0
0级波，方向
sin 0 0
+1级波，方向
1 ~ U 1 ( x) A1t1 exp[ i(2fx 0 )] 2
1 ~ U 1 ( x) A1t1 exp[ i ( 2fx 0 )] 2
( x, y )
r0
x y xx0 yy0 exp[ik ( ] 2z z
z
o z
以物点位相为0，xoy平面上点（x，y）的位
相因子
xx0 yy0 x y exp[ikr0 ik ( ] 2z z
2 2
透镜的位相变换函数（透过率函数
透镜的有效口径为D。
D i L ( x , y ) , r a( x, y)e A2 ~ 2 tL exp[i( 2 1 )] D A1 0, r 2
衍射空间
~ U1 ( x, y) 入射场
~ U 2 ( x, y) 透射或反射场
z
~ U ( x, y)
U1 ( x, y ) 入射场 U 2 ( x, y ) 衍射场
U ( x, y ) 接收场
接收场
衍射屏( x, y)
照明空间
接收屏( x, y)
衍射空间
z
U1 ( x, y ) U 2 ( x, y ) 入射场
1 1 ~ exp[ i (2fx 0 )] A1t1 exp[ i (2fx 0 )] U 2 ( x) A1t0 A1t1 2 2
~ ~ ~ ~ U 2 ( x) U 0 ( x) U 1 ( x) U 1 ( x)
1 ~ U 1 ( x) A1t1 exp[ i (2fx 0 )]
1 d /2 tn t ( x) e 2i f n x dx d d / 2
1）周期 f：衍射屏的（空间）频率
以简单的平面波入射，透射波为
U 2 U1t A1 tn ei 2 fn x Atn ei 2 fn x 1
z
第一步，物光波（屏函数的平面波）经过透镜在 其焦平面上汇聚成衍射斑，即点光源 第二步，焦平面上的衍射斑作为相干的点光源， 发出的次波在像平面上相干叠加
x
x
x1
S0
S1
x1 S
1
z
~ ~ ~ ~ U I ( x, y) U 0 ( x, y) U 1 ( x, y) U 1 ( x, y) B z eikr U ( x, y) KU ( x, y) F (0 , ) A r K 近轴条件下 U ( x, y )eikr U ( x, y)eikr r0
衍射场
U ( x, y) 接收场
衍射屏( x, y)
照明空间
接收屏( x, y)
衍射空间
z
U1 ( x, y ) U 2 ( x, y ) 入射场
衍射场
U ( x, y) 接收场
衍射屏的作用是使入射场转换为透射场（或
反射场） 。用函数表示，就是透过率或反射 率函数，统称屏函数。
r1 r2
可得透镜的位相变换函数为
~ ( x, y ) exp[ik x y ] tL 2F
2 2
其相因子为
x2 y2 ik 2F
棱镜的位相变换函数（透过率函数）
薄的楔形棱镜，可以得 到 2 2 P ( x, y ) ( nd ) ( nd 0 n)
x2 y2 2 2 ( x, y) r2 r2 ( x 2 y 2 ) 2r2 2 n 1 1 1 2 x2 y2 F 1 2 L ( x, y) ( )(x y ) k 1 1 2 r1 r2 2F (n 1)( )
为振幅型的 ，如单缝、圆孔等。
相因子判断法
知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而 完全确定接收场。