北师大版初中数学代数难题归纳

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北师大版七年级数学上册字母表示数和代数式专题复习(含答案)

北师大版七年级数学上册字母表示数和代数式专题复习一、选择题1.某商品打八折后价格为a元，则原价为()A. a元B. 20%a元C. 54a元 D. 45a元2.一辆汽车在a秒内行驶m6米，则它在2分钟内行驶()A. m3米 B. 20ma米 C. 10ma米 D. 120ma米3.某商品原价每件x元，后来店主将每件增加10元，再降价25﹪，则现在的单价是()A. (25﹪x+10)元B. ﹝(1−25﹪)x+10﹞元C. 25﹪(x+10)元D. (1−25﹪)(x+10)元4.一块地有a公顷，平均每公顷产粮食m千克；另一块地有b公顷，平均每公顷产粮食n千克，则这两块地平均每公顷的粮食产量为()A. m+n2B. a+b2C. am+bna+bD. am+bmm+n5.用18米长的铝合金做成一个长方形的窗框(如图)，设长方形的窗框的横条长度为x米，则长方形窗框的面积为()A. x(18−3x2)平方米 B. x(x−9)平方米C. x(18−x)平方米D. x(18−2x3)平方米6.工人师傅要把一根质地均匀的圆柱形木料锯成若干段，按如图的方式锯开，每锯断一次所用的时间相同．若锯成6段需要时间10分钟，则锯成n(n≥2，且n为整数)段所需的时间为()n分钟 B. 2n分钟 C. (2n+2)分钟 D. (2n−2)分钟A. 537.小慧家购买一套价格为12万元的住房．按要求，需首期(第一年)付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为0.4%，小慧列表推算如下：第一年第二年第三年…应还款(万元)30.5+9×0.4%0.5+8.5×0.4%…剩余房款(万元)98.58…若第n年小慧家仍需还款，则第n年(n>1)应还款()．A. 0.5+[9−0.5(n+1)]×0.4%B. 0.5+(9−0.5n)×0.4%C. 0.5+[9−0.5(n−1)]×0.4%D. 0.5+[9−0.5(n−2)]×0.4%8.我们知道，式子|x−3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子|x−2|+2|x+1|的最小值是()A. 2B. 3C. 4D. 59.如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则x+y的值为()A. −5B. −4C. 1D. 510.甲乙两个超市为了促销一种定价相等的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买同样数量的这种商品最合算()A. 甲B. 乙C. 相同D. 不能确定11.若x2−3y−5=0，则6y−2x2−6的值为()A. 4B. −4C. 16D. −1612.若分式|x|−23x−2的值是负数，则x的取值范围是()．A. 23<x<2 B. x>23或x<−2C. −2<x<2且x≠23D. 23<x<2或x<−2二、填空题13.一种商品每件成本是a元，原来按成本增加20%定出价格进销售，一段时间后，由于库存积压减价，按原价的9折出售，则现在每件售价为______元．14.已知a是两位数，b是一位数，把a接写在b的后面，就成为一个三位数，这个三位数可表示为．15.一个两位数，个位数字是x，十位数字比个位数字大3，则这个两位数是______．16.若x2−3y−5=0，则6y−2x2−6=______．17.已知当x=2时，ax5+bx5+cx5+5=9，则当x=−2时，ax5+bx5+cx5+5的值是_____．18.若2a−b=2，则6+4b−8a=______．三、解答题19.如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分长四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．(1)图②中的大正方形的边长为_____；阴影部分的正方形的边长为_____；(2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积．20.如图，已知长方形的长为a，宽为2，两个半圆的直径都是2，用含a的式子表示阴影部分的面积．21.用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板，用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现有A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板，其中A型钢板有x块(x为整数)．(1)用含x的代数式分别表示可制成C型钢板和D型钢板的数量；(2)出售C型钢板每块利润为100元，出售D型钢板每块利润为120元．现将这些C型钢板与D型钢板全部售出，则所得的总利润为多少？22.已知当x=2，y=−4时，代数式ax+12by的值为2016.求当x=−1.y=−12时，代数式3ax−24by3+2015的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：a÷80%=54a(元)．2.【答案】B【解答】解：汽车每秒行驶路程为m6a米，故2分钟内行驶距离为120× m 6a =20ma米．故选B．3.【答案】D【解答】解：由题意可得，现在的单价是：(x+10)(1−25%)，故选D．4.【答案】C【解答】解：两块地的总产量为ma+nb(千克)，所以，这两块地平均每公顷的粮食产量为：am+bna+b (千克)．故选：C．5.【答案】A【解答】解：窗框的另一边是18−3x2米，根据长方形的面积公式，得：窗框的面积是x(18−3x2)平方米．故选A．6.【答案】D【解答】解：∵锯成6段需要锯5次，需要时间10分钟，∴每锯断一次所用的时间是2分钟，∵锯成n段需要锯(n−1)次，∴需要时间2(n−1)=2n−2(分钟)．故选D．7.【答案】D【解答】解：根据还款规律，首付3万元后，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和可得，第n年小慧家需还款：0.5+[9−0.5(n−2)]×0.4%．故选D．8.【答案】B【解答】解：根据题意，可知当−1≤x≤2时，|x−2|+2|x+1|有最小值。

北师大版七年级数学上册代数式求值专题(含竞赛题)

简单带入求值计算题一、与课本衔接基础题选择题1、已知a-b=-3,c+d=2, 则（b+c) - (a-d) 为（）。

A. -1B. -5C. 5D. 12、已知a 2-2b-1=0. 则多项式2a 2-4b+2的值等于（）。

A.1B. 4C.-1D. -43、当x=-3时，多项式ax 5+bx 3+cx-5的值是7, 那么当x=3时，它的值是（）。

A. -3B. -7C. 7D. -17 4、已知代数式24)35(2dx x cx bx ax x +++, 当x=1时，值为1.那么该代数式当x=一1时的值是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 2填空题1、若多项式2x 2+3x+7的值为10, 则多项式6x 2+9x-7的值为。

2、已知a 2+2ab=-8,b 2+2ab=14, 则a 2+4ab+b 2= :a 2-b 2= 。

3、若x+y=7,y+z=8,z+x=9, 则x+y+z = 。

4、已知x 2+x+1=0, 则x 2000+x 1999+x 1998的值为。

5、当x=1时，代数式px+qx 的值为2003, 则x=-1时，px+qx 。

6、已知当x=-2时，代数式ax 3+bx+1的值为6, 那么当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值是多少。

7、已知2x+y=10xy, 求代数式yxy x y xy x +-++4224= 。

8、a 2+6a+36=0,则a 3= 。

答案：选择题1、C ；2、B ；3、D ；4、B填空题1、2；2、0,0；3、12；4、0；5、-2001；6、-4；7、27 8、216 a 2+6a=-36 a 2=-6a-36a 3=a •a 2=a(-6a-36)=-6(a2+6a) =-6×36=216二、拔高题（竞赛题）1、已知x-2y=2,求8463---+y x y x 的值2、已知x 1-y 1=3,则y xy x y xy x ---+2232的值3、已知a 4+a 3+a 2+a+1=0,求a 5的值。

初三代数上学期难题集答案及解析

初三代数上学期难题集粹参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2011•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）2．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）3．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE 全等的理由是（）4．在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）5．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）6．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）8．（2005•南通）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC 于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）9．（2010•益阳）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（）10．（2009•荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）11．如图，将书页斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD=（）∠∠（∠∠∠BD=×12．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，AD是△ABC的角平分线，若∠ACB=40°，∠BAE=30°，则∠DAB等于（）DAB=∠BAC=13．如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN 等于（）14．（2003•烟台）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）二．填空题（共2小题）15．如图所示，已知∠O=35°，CD为OA的垂直平分线，则∠ACB的度数为70°．16．（2009•黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于70°或20°．B==C=三．解答题（共7小题）17．已知x+=4，求x﹣的值．），，=14﹣=18．（2006•湖北）如图，点A、E、F、C在同一条直线上，现有下面四个关系：（1）AD=BC，（2）AE=CF，（3）∠B=∠D，（4）AD∥BC，请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学证明题，写出已知，求证并加以证明．19．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD．20．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D在∠BAC 的平分线上．21．在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC 的面积．AC=5=515=22．（2003•湘潭）如图，107国道OA和302国道OB在甲市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA，OB的距离相等，且使PC=PD，试确定出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）23．（2009•广安）为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，…请你根据①②步骤解答下列问题：（1）找出图中∠FEC的余角；（2）计算EC的长．=12。

【精品】北师大初中数学中考冲刺：代数综合问题--知识讲解(基础).doc

中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础； (2)认识综合题的结构是解综合题的前提； (3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键； (4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心． * 审题(读题、断句、找关键)； * 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式) * 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合； * 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合1．已知方程组2323,342 1.x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,0.x y >⎧⎨<⎩求a 的取值范围．【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【答案与解析】解：23233421x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩①②①×3－②×2得：y ＝13a －4 ①×4－②×3得：x ＝18a －5 由题意令x ＞0，y ＞0得：1850,1340.a a ->⎧⎨-<⎩∴541813a <<. 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．2．m 为何值时，222(2)21x m x m m --+++是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解．【答案与解析】解：解法1：待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x 2-2(m-2)x+m 2-4m+4 所以m 2+2m+l ＝m 2-4m+4，12m =；解法2：配方法原式＝22222(2)(2)(2)21x m x m m m m --+---+++．＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，12m =；解法3：判别式法因为是完全平方式，所以方程222(2)210x m x m m --+++=有两等根， △＝[-2(m-2)]2－4(m 2+2m+1)＝0，12m =；解法4：因为是完全平方式，所以令222(2)21y x m x m m =--+++，所以抛物线顶点在x 轴上，2404ac b a-=， 224(21)4(2)04m m m ++--=，630m -=，12m =．【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出1l ，2l 中变量y 随x 变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．【答案与解析】解：(1)1:l y 的值随x 的增大而增大； 2:l y 的值随x 的增大而减小．(2)设直线1l ，2l 的函数表达式分别为11y a x b =+，22y a x b =+，由题意得11111a b b +=⎧⎨=-⎩，2222130a b a b +=⎧⎨+=⎩．解得：1121a b =⎧⎨=-⎩，221232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线1l ，2l 的函数表达式分别为21y x =-，1322y x =-+． ∴所求的方程组为211322y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩．【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．举一反三：【变式】已知：如图，平行于x 轴的直线y ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 和函数xy 1=的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P(2，0)．(1)若a ＞0，且91tan =∠POB ，求线段AB 的长； (2)在过A ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中，已知线段38=AB ，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式； (3)已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离．【答案】解：（1）设第一象限内的点B （m,n ），则1tan 9n POB m ∠==，得m=9n ，又点B 在函数1y x=的图象上，得1n=，所以m=3（－3舍去），点B 为1(3,)，B （1,a a），则183AB a a =-=,所以03832=-+a a ，解得 313=-=a a 或 .当a =－3时，点A （―3，―3），B 1(,3)3--，因为顶点在y = x 上，所以顶点为55(,)33--，所以可设二次函数为255()33y k x =+-，点A 代入，解得34k =-, 所以所求函数解析式为2355()433y x =-+- .同理，当13a =时，所求函数解析式为2355()433y x =--+；（3）设A （a , a ），B （1,a a），由条件可知抛物线的对称轴为122a x a =+ .设所求二次函数解析式为：91(2)()25y x x a a ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦. 点A(a,a)代入，解得31=a ，1362=a ，所以点P 到直线AB 的距离为3或613 [4．（门头沟区期末）已知：关于x 的方程mx 2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m 为正整数，求m 的值；（3）在（2）的条件下，令y=mx 2+（3m+1）x+3，如果当x 1=a 与x 2=a+n （n ≠0）时有y 1=y 2，求代数式4a 2+12an+5n 2+16n+8的值．【思路点拨】（1）注意对m 的取值进行分类讨论：即当m=0和m ≠0时；（2）先解方程，由于方程有两个不同的整数根，且m 为正整数，得m 的值；（3）由（2）得函数解析式，利用函数的对称性，得a 与n 的关系，然后再利用整体代入的方法计算．【答案与解析】（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=﹣3；当m ≠0时，∵△=（3m+1）2﹣12m=9m 2﹣6m+1=（3m ﹣1）2．∵（3m ﹣1）2≥0，∴不论m 为任何实数时总有两个实数根，综上所述，不论m 为任何实数时，方程 mx 2+（3m+1）x+3=0总有实数根；（2）解：当m ≠0时，解方程mx 2+（3m+1）x+3=0得 x 1=﹣3，x 2=，∵方程mx 2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m 为正整数， ∴m=1；（3）解：∵m=1，y=mx 2+（3m+1）x+3，∴y=x 2+4x+3，又∵当x 1=a 与x 2=a+n （n ≠0）时有y 1=y 2，∴当x 1=a 时，y 1=a 2+4a+3，当x 2=a+n 时，y 2=（a+n ）2+4（a+n ）+3， ∴a 2+4a+3=（a+n ）2+4（a+n ）+3，化简得 2an+n 2+4n=0，即 n （2a+n+4）=0，又∵n ≠0， ∴2a=﹣n ﹣4，∴4a 2+12an+5n 2+16n+8=（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8=24．【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝，求m的值和此时方程的两根．【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根.（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1.∵|x1－x2|＝∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0.解得：m1=－3，m2=1.当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1，x2=.当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－，x2=－2.类型三、以代数为主的综合题5．（2017•曲靖一模）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+bx+c 过A（1，0），B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是以BN 为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．【答案与解析】解：（1）由题意点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x=2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，线段MN取最大值，最大值为．（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．当m=时，点N的坐标为（，），∴PB==，PN=，BN==．△PBN 为等腰三角形分三种情况： ①当PB=BN 时，即=，解得：n=±，此时点P 的坐标为（2，﹣）或（2，）； ②当PN=BN 时，即=，解得：n=，此时点P 的坐标为（2，）或（2，）．综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使△PBN 是等腰三角形，点P 的坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，）或（2，）．【总结升华】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质. 举一反三：【变式】如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．【答案】解：（1）根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=.0405,)1(4)1(022c a c a解得 ⎩⎨⎧-==.5,1c a∴二次函数的表达式为542--=x x y ．（2）令y =0，得二次函数542--=x x y 的图象与x 轴的另一个交点坐标C （5, 0）. 由于P 是对称轴2=x 上一点，连结AB ，由于2622=+=OB OA AB ，要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC .因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点. 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得⎩⎨⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,1b k所以直线BC 的解析式为5-=x y因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组⎩⎨⎧-==5,2x y x 的解，解得⎩⎨⎧-==.3,2y x所求的点P 的坐标为（2，-3）.。

八年级北师大版数学知识点

八年级北师大版数学知识点八年级数学是初中数学学科的重要部分，也是打牢数学基础的关键时期。

北师大版数学教材的特点是内容全面，注重实际应用，贴近生活，教材内容分七个模块，共计15个章节。

本文将针对北师大版八年级数学教材中的主要知识点进行总结和归纳。

一. 知识点1：有理数的加减乘除有理数是整数与分数的集合，包括正数、负数和零。

教材中重点介绍了有理数的加减乘除规则，如异号相减、同号相加等。

特别要注意有理数加减乘除中的分数的变换，以及在加减乘除中的运用。

二. 知识点2：代数式代数式是由数、字母、运算符合组成的符号组合。

教材中主要讲解了代数式的基础知识，如字母、系数、次数及代数式的加减、乘法和因式分解等。

代数式的运用也贯穿于整个初中数学学科，是学习初中数学的基础。

三. 知识点3：线性方程线性方程是代数式的一种形式，一个一次方程包含一个未知数和一个一次项。

学习线性方程要掌握解一元一次方程的方法、应用及注意事项。

此外，线性方程重要的应用之一就是应用题的解法。

四. 知识点4：平面图形的初步认识初中数学中的平面图形是指二维平面内的几何图形，如点、线、角、多边形等。

学习平面图形的初步认识要掌握其中各个图形的性质和计算方法，如点、线、角的分类和计算面积、周长等。

同时，要学会应用图形进行解题的方法。

五. 知识点5：三角形及其相似性三角形是初中数学中的重要图形，也是平面图形中的重要分支。

教材中主要讲解了三角形的性质及其相似性，如边的比例定理、角的对应定理和相似三角形的面积比定理等。

学习三角形及其相似性，对于解题和应用题的解法都有重要的帮助。

六. 知识点6：比例、直线图与简单的统计图比例是初中数学中的一种关系，通常用一组数的比或两组数之比来描述。

教材中主要讲解了比例的基础知识及其应用，如比例的概念、比例例题的解析和直线图及简单的统计图等。

掌握比例的知识可帮助解决实际生活中的问题，例如商业中的利润率计算等。

七. 知识点7：两点间的距离和中点公式两点间的距离和中点公式是初中数学中重要的定理之一，也是空间几何的基础。

北师大版初中数学知识点总结

北师大版初中数学知识点总结一、数与代数A：数与式1. 有理数：（1）概念：我们把正整数、0、负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数。

（2）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

（3）相反数与绝对值：相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

绝对值：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

（4）有理数的运算：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法运算性质：a-b-c=a-(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法运算性质：a÷b÷c=a÷(b×c)（b≠0，c≠0）乘方运算：a^n=a×a×…×a（n是正整数）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10^n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法（其中n是正整数）。

2. 实数：（1）平方根与算术平方根：平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

算术平方根：一个正数的正的平方根叫做这个正数的算术平方根。

（2）无理数：无限不循环小数叫做无理数。

（3）实数的运算：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法运算性质：a-b-c=a-(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法运算性质：a÷b÷c=a÷(b×c)（b≠0，c≠0）乘方运算：a^n=a×a×…×a（n是正整数）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10^n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法（其中n是正整数）。

二、数与代数B：方程与不等式1. 方程的解与解方程：把未知数的值代入方程，若左右两边相等，则未知数的值是方程的解；解方程就是求出使方程左右两边相等的未知数的值。

七年级数学上册代数式复习(北师大版)

2 2 2 2

2
2

2
x 5xy 2y
2
2
2
2
原式 0.5 5 0.5 1 2 1 0.25 2.5 2 4.75
四.代数式应用:
1.某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款。八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x（x≥10）本。 (1).用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额. (2).若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？
小时． 1 1 甲的工作效率为 , 乙的工作效率为 a b 间为
1 1 合作的工作效率为 a b 1 合作的工作时间为 1 1 a b
(7)第12届电视剧飞天奖今年有a部作品参
赛，比去年增加了40%，还多2部，则去年参赛的作品有部．
设:去年参赛的作品有x部．则:
(1+40%)x+2=a ,
6 . 求代数式 2 x x 3 xy 2 y 2 x 2 xy 2 y2 的值 ,其中
2

2
2

由2 x 1 y 1 0 得：x 0.5, y 1
2
2 x 1
2
2
y 1 0
2 2
2x x 3xy 2y 2 x xy 2y 2x x 3xy 2y 2x 2xy 4y
(1+40%)x=a-2
a 2 x 1 40%

初中数学知识点总结北师大版

初中数学知识点总结北师大版初中数学知识点总结（北师大版）一、数与代数1. 有理数- 整数与分数- 正数、负数、零- 有理数的加法、减法、乘法、除法- 绝对值与有理数的大小比较2. 整数的性质- 素数与合数- 奇数与偶数- 整数的因数与倍数- 质因数分解3. 代数表达式- 单项式与多项式- 同类项与合并同类项- 代数式的加减运算4. 一元一次方程- 方程的概念与解法- 列方程解应用题5. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解与无穷多解、无解6. 不等式与不等式组- 不等式的性质与解集- 一元一次不等式与解应用题- 一元一次不等式组的解法7. 函数的概念与性质- 函数的定义与表示方法- 函数的图像与性质- 一次函数与反比例函数二、几何1. 图形初步- 点、线、面、体- 直线、射线、线段- 角的概念与分类2. 平面图形- 平行线与垂线- 三角形的分类与性质- 四边形的分类与性质- 圆的性质与圆周角3. 几何图形的计算- 三角形、四边形的面积计算- 圆的周长与面积计算- 体积的计算（长方体、立方体）4. 相似与全等- 全等三角形的判定与性质- 相似三角形的判定与性质- 相似多边形5. 解析几何初步- 坐标系的概念与应用- 直线与坐标轴的交点- 点与线的坐标关系三、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读（条形图、折线图、饼图）2. 概率- 随机事件的概率- 等可能事件的概率- 概率的加法公式四、综合应用题1. 数列的基本概念- 等差数列与等比数列- 数列的通项公式与求和公式2. 应用题的解题策略- 列方程解应用题- 利用函数关系解应用题- 利用图形解应用题3. 数学思想方法的应用- 转化与化归- 分类与整合- 归纳与演绎以上总结了北师大版初中数学的主要知识点。

在学习过程中，应注重理论与实践相结合，通过大量的练习题来巩固知识点，并培养解决实际问题的能力。

同时，要注意数学思维的培养，提高逻辑推理和抽象思维的能力。

北师大版数学七年级整式的加减代数式经典题型

暑假补习第一讲（代数式）一、用字母代替数1．用代数式表示：(1)比m 多1的数______. (2)比n 少2的数______．（3)3与y 的差的相反数______. （4）a 与b 的和的倒数______．(5）x 与4的差的32______。

(6)a 与b 和的平方______．(7）a 与b 平方的和______。

（8)被5除商m 余1的数______．（9)5除以x 与2和的商______。

(10)除以a 2＋b 的商是5x 的数______．（11）与b ＋3的和是5x 的数______。

(12)与6y 2的差是x ＋3的数______．(13）与3x 2－1的积是5y 2＋7的数______．2．某工厂第一年的产量是a ，以每年x ％的速度增加，第二年的产量是______，第三年的产量是_________． 3．一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，如果把它的十位与个位数字交换，则新两位数与原两位数的差是________．4．一种商品的成本价m 元，按成本增加25％出售时的售价为__________元． 5．某商品每件成本a 元，按高于成本20％的定价销售后滞销，因此又按售价的九折出售，则这件商品还可盈利________元． 6．下图中阴影部分的面积为________．7．下列各式中,符合代数式书写格式的有( ）．,5)(,322,,3,3÷+⨯⨯y x x b a a a a ＋b 厘米．(A ）1个 (B ）2个 (C)3个（D ）4个8．甲、乙两地距离是m 千米,一汽车从甲地开往乙地，汽车速度为a 千米/时,现走了一半路程，它所行的时间是（）．（A ）ma 21(B)am 2 (C)am2 （D)a m +219．一个长方形的周长为c 米，若该长方形的长为a 米),2(c a <求这个长方形的面积．10．当x ＝－3,31=y 时,求代数式x 2y 2＋2x ＋｜y －x ｜的值．二、单项式和多项式1。

北师大版七年级数学下册全部知识点归纳(新)

北师大版七年级数学下册全部知识点归纳
第一章有理数
•有理数的概念
•有理数的比较
•有理数的四则运算
•有理数的拓展
第二章代数式
•代数式的概念
•代数式的基本性质
•代数式的加减法
•代数式的乘法
•代数式的应用
第三章一次方程与不等式
•一次方程的解法
•一元一次方程的应用
•不等式的概念
•不等式的解法
•不等式组的解法
•不等式的应用
第四章图形的认识
•图形的基本概念
•直线和角的性质
•三角形的性质
•四边形的性质
•圆的性质
第五章数系的拓展
•无理数的概念
•无理数的运算
•实数的概念和性质
•实数的有理数部分和无理数部分
•实数的换底公式
第六章平面几何
•平面几何基本概念
•平面内角和定理
•同位角、同旁内角、同旁外角
•平行线及其性质
•相交线和同位角
第七章运算的性质
•乘法分配律
•加法逆元和乘法逆元
•加法交换律和结合律
•乘法交换律和结合律
•分配律和合并同类项
第八章统计与概率
•统计的基本概念
•统计图形
•数据分析和统计应用
•概率的基本概念
•事件与概率
第九章空间几何
•空间几何基本概念
•空间几何中点和距离
•空间几何连线
•空间几何角与面
第十章函数与方程
•函数的概念
•同解方程组
•二元一次方程组
•一元二次方程
•解法及应用
以上是北师大版七年级数学下册全部知识点的归纳，希望能够对参加中考或者其他考试的同学有所帮助。

北师大版初中数学总复习知识点总结

北师大版初中数学总复习知识点总结一、代数1.认识代数及其应用：代数表达式的含义和性质，代数表达式的算术运算法则。

2.算式的含义和性质：加、减、乘、除的定义和性质，整数、分数、小数的四则运算。

3.平方根和立方根：平方根和立方根的定义和应用。

4.一元一次方程：一元一次方程及其组成部分，一元一次方程的解的性质和求解方法，应用题。

5.代数式与方程的转换：用代数式表示方程。

6.数的性质：整数、分数、小数的大小比较，证明数之间的一些关系。

二、图形1.二维图形及其拼合：认识二维图形及其拼合，拼和成面积图形和拼成周长图形。

2.二维图形的性质：正方形、长方形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的性质。

3.二维图形的度量：线段的度量，角的度量（度、直角、弧度），角与弧的关系等。

4.合同图形和相似图形：合同图形的概念，相似图形的概念、性质和判定条件。

5.坐标系和平面图形：平面直角坐标系、平面直角坐标系中的点与坐标的关系，图像在坐标平面中的位置等。

三、数据与概率1.概率实验及其频率：概率的基本概念，概率实验和试验结果，频率的概念与计算。

2.样本空间和事件：样本空间的概念和表示方法，事件的概念与表示方法，事件间的关系与运算。

3.概率的运算：事件的概率，概率的加法定理，概率的乘法定理，概率的完全事件和独立事件。

4.数据处理和统计：调查数据的收集与整理，频数和比例的概念，数据的图表统计和分析。

四、精通题1.实际问题和应用：根据实际问题化解为数学问题，并运用各种数学方法进行求解。

2.精通题和发布结构：对各种类型的精通题进行分析，归纳各种类型的题目解题方法。

3.解决实际问题的能力：培养学生解决实际问题的能力，思考问题，提出问题，解决问题的方法和策略。

以上就是北师大版初中数学总复习知识点的总结，希望能对你的学习有所帮助。

七年级数学上册第三章 3.2代数式素材北师大版

辽宁省凌海市石山初级中学七年级数学上册第三章 3.2代数式素
材北师大版
倒数与相反数
把要满足的条件用代数方法具体化，这是初学数学时要逐步熟悉和习惯的方法。

下列是与倒数和相反数相关的5问话，你能从中感受到用字母表示数的重要性！
问1 你能找到两个数，它们互为相反数，它们的倒数也互为相反数吗？
分析与解答设这两个数为a与-a，我们可以发现，只要a=0，这两个数满足条件。

问2 你能找到两个有理数，它们既互为相反数，又互为倒数吗？
分析与解答设这两个数为a与-a，这两个数的乘积应等于1，即a(-a)=1，显然，有理数a是不存在的。

问3 若两个数互为倒数，它们和的倒数与它们的倒数也互为倒数吗？为什么？
分析与解答设这两个数为a和1/a，相信你按题意计算一下，一定能够得到正确结论。

这种绕口令式的问题在“用字母表示数”的代数思想方法面前便一清二楚了。

问4 两个数乘积的相反数与这两上数的相反数的乘积互为相反数吗？为什么？
分析与解答设这两个数为a与b，余下的工作你一定可以做了。

问5 两个数之和的相反数与这两个数的相反数之和一定相等吗？为什么？
分析与解答设这两个数为a与b，余下的工作你也一定可以做了。

1。

北师大初中数学中考冲刺：代数综合问题--知识讲解(基础)-精编

1．已知方程组 ⎨⎧2x - 3 y = 2 - 3a, ⎩3x - 4 y = 2a + 1. ⎩ y < 0.⎧ ⎩13a - 4 < 0.中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提； (3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键； (4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心． * 审题(读题、断句、找关键)； * 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合⎧ x > 0,的解满足 ⎨ 求 a 的取值范围．【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【答案与解析】解： ⎨2 x - 3 y = 2 - 3a⎩3x - 4 y = 2a + 1①②①×3－②×2 得：y ＝13a －4①×4－②×3 得：x ＝18a －5⎧18a - 5 > 0,由题意令 x ＞0，y ＞0 得： ⎨∴ 5 4 < a < .18 13【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．2．m为何值时，x2-2(m-2)x+m2+2m+1是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解．【答案与解析】解：解法1：待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x2-2(m-2)x+m2-4m+4所以m2+2m+l＝m2-4m+4，m=1 2；解法2：配方法原式＝x2-2(m-2)x+(m-2)2-(m-2)2+m2+2m+1．＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，m=1 2；解法3：判别式法因为是完全平方式，所以方程x2-2(m-2)x+m2+2m+1=0有两等根，△＝[-2(m-2)]2－4(m2+2m+1)＝0，m=1 2；解法4：因为是完全平方式，所以令y=x2-2(m-2)x+m2+2m+1，所以抛物线顶点在x轴上，4ac-b24a=0，4(m2+2m+1)-4(m-2)21=0，6m-3=0，m=．42【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出l，l中变量y随x变化而变化的情况；12由题意得 ⎨⎧a + b = 1 ， ⎨ 2 ⎩b = -1 ⎩3a + b = 0⎪⎪ 2 2 ⎧a = 2 解得： ⎨ ， ⎨ ．⎩ 1⎪b = 2 2 ⎪⎩ 2 2(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．【答案与解析】解：(1) l : y 的值随 x 的增大而增大；1l : y 的值随 x 的增大而减小．2(2)设直线 l ， l 的函数表达式分别为 y = a x + b ， y = a x + b ，1 2 1 1 2 2⎧a + b = 1．1 1 2122⎧ 1 a =- 1 b = -1 3⎪⎩ 2 21 3∴直线 l ， l 的函数表达式分别为 y = 2 x - 1 ， y = - x + ．1 2⎧ y = 2 x - 1⎪ ∴所求的方程组为 ⎨ 1 3 ． y =- x +【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．举一反三：【变式】已知：如图，平行于 x 轴的直线 y ＝a(a ≠0)与函数 y ＝x 和函数 y =点 B ，又有定点 P(2，0)．1x的图象分别交于点 A 和(1)若 a ＞0，且 tan ∠POB =1，求线段 AB 的长；9(2)在过 A ，B 两点且顶点在直线 y ＝x 上的抛物线中，已知线段 A B =83，且在它的对称轴左边时，y 随（当 a =－3 时，点 A （―3，―3），B (- , -3) ，因为顶点在 y = x 上，所以顶点为 (- , - ) ，所以可1( x - 2) ⎢ x - (a + ) + 2⎥ .1 a 点 A(a,a)代入，解得 a = 3 ， a = 6 ，所以点 P 到直线 AB 的距离为 3 或 13着 x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式；(3)已知经过 A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到 y = 【答案】95x 2的图象，求点 P 到直线 AB 的距离．解： 1）设第一象限内的点 B （m,n ），则 tan ∠POB = n 1 1= ，得 m=9n ，又点 B 在函数 y = 的图象上，m 9 x1 1得 n = ，所以 m=3（－3 舍去），点 B 为 (3, ) ，m 31 1 1 8而 AB∥x 轴，所以点 A ( , ) ，所以 AB = 3 - = ．3 3 3 3（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点 A （a ,a ），B （ 1 a 1 8 , a ），则 AB = - a = ,a 3所以 3a 2 + 8a - 3 = 0 ，解得 a = -3或a = 1 3.5 53 3 35 设二次函数为 y = k ( x + )2 - 3 5 3，点 A 代入，解得 k = - ,3 43 5 5所以所求函数解析式为 y = - ( x + )2 - .4 3 3 1 35 5同理，当 a = 时，所求函数解析式为 y = - ( x - )2 + ；3 4 3 31 a 1（3）设 A （a , a ），B （ , a ），由条件可知抛物线的对称轴为 x = + .a 2 2a设所求二次函数解析式为： y = 9 5 ⎡ ⎤ ⎣ ⎦1 2 613 [4．（门头沟区期末）已知：关于 x 的方程 mx 2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论 m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且 m 为正整数，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，令 y=mx 2+（3m+1）x+3，如果当 x 1=a 与 x 2=a+n （n≠0）时有 y 1=y 2，求代数式 4a 2+12an+5n 2+16n+8 的值．【思路点拨】（1）注意对 m 的取值进行分类讨论：即当 m=0 和 m ≠0 时；（2）先解方程，由于方程有两个不同的整数根，且 m 为正整数，得 m 的值；（3）由（2）得函数解析式，利用函数的对称性，得 a 与 n 的关系，然后再利用整体代入的方法计算．【答案与解析】（1）证明：当 m=0 时，原方程化为 x+3=0，此时方程有实数根 x=﹣3；当 m≠0 时，∵△=（3m+1）2﹣12m=9m 2﹣6m+1=（3m ﹣1）2． ∵（3m ﹣1）2≥0，∴不论 m 为任何实数时总有两个实数根，综上所述，不论 m 为任何实数时，方程 mx 2+（3m+1）x+3=0 总有实数根；（2）解：当 m≠0 时，解方程 mx 2+（3m+1）x+3=0 得 x 1=﹣3，x 2=，∵方程 mx 2+（3m+1）x+3=0 有两个不同的整数根，且 m 为正整数，∴m=1；（3）解：∵m=1，y=mx 2+（3m+1）x+3， ∴y=x 2+4x+3，又∵当 x 1=a 与 x 2=a+n （n≠0）时有 y 1=y 2， ∴当 x 1=a 时，y 1=a 2+4a+3，当 x 2=a+n 时，y 2=（a+n ）2+4（a+n ）+3， ∴a 2+4a+3=（a+n ）2+4（a+n ）+3，化简得 2an+n 2+4n=0，即 n （2a+n+4）=0，又∵n≠0， ∴2a=﹣n ﹣4，∴4a 2+12an+5n 2+16n+8 =（2a ）2+2a 6n+5n 2+16n+8=（n+4）2+6n （﹣n ﹣4）+5n 2+16n+8 =24．【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．举一反三：【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．(1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x 1、x 2 是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝2 ，求 m 的值和此时方程的两根．【答案】解：（1）证明：由关于 x 的一元二次方程 x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0 得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论 m 取何值，（m+1）2＋4 恒大于 0，∴原方程总有两个不相等的实数根.（2）∵x 1，x 2 是原方程的两根，∴x 1+x 2=－（m+3），x 1• x 2=m+1.∵|x 1－x 2|＝2 2 ， ∴（x 1－x 2）2=8，即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即 m 2＋2m －3=0.解得：m 1=－3，m 2=1.当 m=－3 时，原方程化为：x 2－2=0，解得：x 1= 2 ，x 2=－ 2 .当 m=1 时，原方程化为：x 2＋4x ＋2=0，解得：x 1=－2+ 2 ，x 2=－2－ 2 .类型三、以代数为主的综合题5．（2017• 曲靖一模）如图，直线 y=﹣x+3 与 x 轴，y 轴分别交于 B ，C 两点，抛物线 y=ax 2+bx+c过 A （1，0），B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图形上的动点，过点 M 作 MN ∥y 轴交直线 BC 于点 N ，求线段 MN 的最大值．（3）在（2）的条件下，当 MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 △P ，使 PBN 是以 BN为腰的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点 A 、B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点 M 的坐标以及直线 BC 的解析式，由点 B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式，结合点 M 的坐标即可得出点 N 的坐标，由此即可得出线段 MN 的长度关于 m 的函数关系式，再结合点 M 在 x 轴下方可找出 m 的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点 P 的坐标为（2，n ），结合（2）的结论可求出点 N 的坐标，结合点 N 、B 的坐标利用两点间的距离公式求出线段 PN 、PB 、BN 的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出 n 值，从而得出点 P 的坐标．【答案与解析】解：（1）由题意点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x=2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，线段MN取最大值，最大值为．（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．当m=时，点N的坐标为（，），∴PB==，PN=，BN==．△PBN为等腰三角形分三种情况：①当PB=BN时，即=，解得：n=±，此时点P的坐标为（2，﹣）或（2，）；②当PN=BN时，即=，P 解：（1）根据题意，得 ⎨⎩c = -5.解得：n=，此时点 P 的坐标为（2，）或（2，）．综上可知：在抛物线的对称轴 l 上存在点 △P ，使 PBN 是等腰三角形，点 P 的坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，）或（2，）．【总结升华】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质.举一反三：【变式】如图，已知二次函数 y = ax 2 - 4x + c 的图象与坐标轴交于点 A （-1， 0）和点 B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 △P ，使得 ABP 的周长最小．请求出点的坐标．【答案】⎧⎪0 = a ⨯ (-1)2 - 4 ⨯ (-1) + c, ⎪⎩- 5 = a ⨯ 02- 4 ⨯ 0 + c.解得⎧a = 1, ⎨∴二次函数的表达式为 y = x 2 - 4x - 5 ．（2）令 y =0，得二次函数 y = x 2 - 4x - 5 的图象与 x 轴的另一个交点坐标 C （5, 0）.由于 P 是对称轴 x = 2 上一点，连结 AB ，由于 AB = OA 2 + OB 2 = 26 ，要使△ABP 的周长最小，只要P A + PB 最小.设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ，根据题意，可得 ⎨解得 ⎨因此直线 BC 与对称轴 x = 2 的交点坐标是方程组 ⎨的解，解得 ⎨由于点A 与点 C 关于对称轴x = 2 对称，连结 BC 交对称轴于点 P ，则 P A + PB = BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得P A + PB 的最小值为BC .因而 B C 与对称轴x = 2 的交点 P 就是所求的点.⎧b = -5,⎧k = 1,⎩0 = 5k + b .⎩b = -5.所以直线 BC 的解析式为 y = x - 5⎧x = 2, ⎧x = 2, ⎩ y = x - 5⎩ y = -3.所求的点 P 的坐标为（2，-3）.。

初中北师版代数知识点总结

初中北师版代数知识点总结一、有理数的加、减、乘、除1. 有理数有理数包括整数、分数和小数。

整数包括自然数、负数和0；分数是整数和整数的比；小数是带有小数点的数。

2. 加减法有理数的加减法原则是同号两数相加取同号，异号相减取绝对值大的数的符号；同号两数相减取绝对值之差的符号。

3. 乘法有理数的乘法原则是同号得正，异号得负，绝对值相乘。

4. 除法有理数的除法可以转化为乘法求解，即a÷b = a×(1/b)，然后按照乘法规则来计算。

二、一元一次方程1. 一元一次方程的定义含有未知数的代数式和等号的关系式称为方程。

未知数的最高次数为1的方程称为一元一次方程。

2. 解一元一次方程解一元一次方程的方法包括：变形，凑项，消去，代入，等方法。

3. 解一元一次方程的应用一元一次方程主要应用于描述各类实际问题，如开放式问题，含有未知数的代数问题等。

三、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义含有未知数的代数式和不等号的关系式称为不等式，未知数的最高次数为1的不等式称为一元一次不等式。

2. 解一元一次不等式解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，同样包括变形，凑项，消去，代入等方法。

3. 一元一次不等式的应用一元一次不等式同样适用于描述各类实际问题，如开放式问题，含有未知数的代数问题等。

四、一元一次方程组及应用1. 一元一次方程组的定义含有两个或两个以上未知数的一元一次方程的组合称为一元一次方程组。

2. 解一元一次方程组解一元一次方程组的方法包括：消元法，代入法，加减法，反求法等。

3. 一元一次方程组的应用一元一次方程组同样可以用于解决各种实际问题，如比例问题、数量关系等。

五、二元一次方程1. 二元一次方程的定义含有两个未知数、最高次数为1的方程称为二元一次方程。

2. 解二元一次方程解二元一次方程的方法与解一元一次方程组类似，同样包括消元法，代入法，加减法，反求法等。

3. 二元一次方程的应用二元一次方程同样适用于描述各类实际问题，如两个未知数的数量关系等。

北师大版七年级上数学专题四代数式及求值

专题三：代数式及求值※1、代数式的概念：用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．．．。

注：单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。

等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

※2、代数式的书写格式：①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ；②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a ； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如a ⨯312应写作a 37； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作44-a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。

⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如)(22b a -平方米※3、代数式的系数：代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数．．．．．．。

如3x ，4y 的系数分别为3，4。

注意：①单个字母的系数是1，如a 的系数是1；②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab 的系数是-1。

a 3b 的系数是1※4、代数式的项：代数式7262--x x 表示6x 2、-2x 、-7的和，6x 2、-2x 、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。

5、求代数式的值的一般步骤：（1）代入。

将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原。

（2）计算。

按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行。

北师大版初中数学知识点归纳与总结

北师大版初中数学知识点归纳与总结
嘿，小伙伴们！今天咱要来聊聊北师大版初中数学那些超重要的知识点呀！
先说说代数部分吧，就像搭积木一样，一个个数字和符号组合起来。

比如一元一次方程，哎呀，这就好比是解开一个小谜团！比如说，你知道商店里苹果一斤 5 块钱，你买了 3 斤，那一共花了多少钱？这不就是简单的一
元一次方程嘛！还有整式的运算，加减乘除，就像变魔术一样神奇，能把复杂的式子变得简单明了。

几何呢，那可就更有意思啦！三角形啊，四边形啊，它们就像是生活中的各种形状的小伙伴。

三角形的稳定性可太重要啦，你想想看，为啥建筑工人要用三角形的架子呢？这道理不是显而易见嘛！还有圆，那个完美的圆形，从车轮到摩天轮，处处都有它的身影呢！
函数就像是一个隐藏的小魔法师，悄悄地控制着变量之间的关系。

一次函数的图像是一条直线，哇，感觉就像是在画一幅神奇的画呢！
数学的世界就是这么神奇呀，这么丰富多彩！难道你不想深入其中去探索一番吗？在这里，你可以像探险家一样，发现新的知识宝藏；在这里，你可以像魔法师一样，用公式和定理创造奇迹。

每一个知识点都是打开知识大门的一把钥匙，小伙伴们，可别小瞧它们哟！我的观点就是，北师大版初中数学知识点真的超级重要，掌握了它们，就像是拥有了超能力，可以在数学的海洋里尽情遨游！。

北师大七上第三章代数难题

第三章1．为了贯彻“房住不炒”要求，加快回笼资金，我市甲、乙、丙三家原售价相同的楼盘在年终前搞促销活动，甲楼盘售楼处打出在原价基础上先降价15%，再降价15%；乙楼盘打出一次性降价30%；丙楼盘打出先九折，再降价20%，如果此时小容的父亲想在上述三家楼盘中选择每平米实际售价最低的一处购买，他应选择的楼盘是（）A．甲B．乙C．丙D．都一样2．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n是奇数时，F（n）＝3n+1；②当n是偶数时，F（n）＝（其中k 是使得为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行．例如，取n＝24，则：243105……若n＝13，则第2019次“F运算”的结果是（）A．1B．4C．2019D．420193．计算+++++…+的值为（）A．B．C．D．4．将连续正奇数按如图所示规律排列，将（1，3，5，7）称为正方形1组，（9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31）称为正方形2组，（33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71）称为正方形3组，…则2019在正方形（）组．A．16B．17C．23D．25 41434547495139131517195337111321553597523573331292725597169676563615．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2D．m＝2，n＝16．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm7．设一列数a1、a2、a3、…a2014、…中任意三个相邻数之和都是20，已知a2＝2x，a18＝13，a65＝6﹣x，那么a2020＝（）A．2B．3C．4D．138．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数为．现已知x1＝﹣是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2019的值为（）A．B．﹣1C．D．49．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为283，则满足条件的x不同值最多有（）A．6个B．5个C．4个D．3个10．如图，两个面积分别为35，23的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则a﹣b的值为（）A．6B．8C．9D．1211．已知一个多项式与3x2+9x的和等于5x2+4x﹣1，则这个多项式是（）A．8x2+13x﹣1B．﹣2x2+5x+1C．8x2﹣5x+1D．2x2﹣5x﹣112．如图，两个三角形的面积分别为16，9，若两阴影部分的面积分别为a、b（a＞b），则（a﹣b）等于（）A．8B．7C．6D．513．设a是一个三位数，b是一个两位数，如果将这两个数顺次排成一个五位数（a在左，b在右），则这个五位数可以表示为．14．A、B、C、D四个车站的位置如图所示，A、B两站之间的距离AB＝a﹣b，B、C两站之间的距离BC＝2a﹣b，B、D两站之间的距离BD＝a﹣2b﹣1．求：（1）A、C两站之间的距离AC；（2）若A、C两站之间的距离AC＝180km，求C、D两站之间的距离CD．15．设一个两位数的个位数字为a，十位数字为b（a，b均为正整数，且a＞b），若把这个两位数的个位数字和十位数字交换位置得到一个新的两位数，则新的两位数与原两位数的差一定是9的倍数，试说明理由．16．若代数式（2x2+3mx﹣y）﹣2（nx2﹣3x+2y﹣1）的值与字母x的取值无关，求m，n的值．计算过关1计算化简．（1）﹣7+13﹣6+20 （2）（﹣3）2﹣（﹣）3×8﹣4÷（﹣）2（3）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）（4）（﹣+﹣）×（﹣48）（5）3a﹣2﹣4a+5 （6）5x+y﹣3x﹣5y；（7）（2a2﹣1+2a）﹣（a﹣1+a2）．（8）8a+2b﹣2（5a﹣2b）（9）化简求值：3x+2（x2﹣y）﹣3（2x2），其中x＝．（10）先化简，再求值：5x2﹣[2xy﹣3（xy+2）+4x2]，其中|x+2|+（y﹣）2＝0．（11）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx+1＝2019，当x＝﹣1时，ax5+bx3+cx+1过关测试2（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15 （2）（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4+（﹣22）（3）（7m2n﹣5mn）﹣（4m2n﹣5mn）（4）（）（5）7x3+5x+4﹣5x3﹣2x （6）3a4b﹣2ab3+2b4﹣4a4b+3ab3+a4b﹣b4．（8）+|1﹣1|（7）（9）（4x2﹣4xy+y2）﹣2（x2+xy﹣5y2）（10）﹣14+（）×[1﹣（﹣3）2]．（11）4（m2+n）+2（n﹣2m2）（12）5a2﹣[3a﹣（2a﹣3）+4a2]。

北师大版初中数学代数难题归纳

初中代数总结1.求证：相邻两个自然数的平方差等于这两个数的和2•已知：.(x - 2)( x 3)-迈- x • x 3，求X 的取值范围2 2 23.已知：a 、b 、c 为三角形的三边，满足a+b+c =20a+16b+12c-200,试判断三角形的形状。

6. 小明的妈妈给他35元钱，要他去买面值1元的、2元的、5元的邮票共18枚，小明按要求买回了邮票，并且 1元邮票和2元邮票的总面值相同，小明买的 5元邮票是多少枚？7. 某市中学生足球比赛共赛15轮(每支参赛队均要赛15场)，记分规则是：赢4.解方程:x -9 x -5 x -4x -8 ' x -6 ' x -55•已知：实数X 满足x 2 • 2 • xx1 1=0，求x 的值 x xx - 8x - 7一场得3分，输一场得0分，平一场得1分，某校足球队赢的场数是输的场数的2倍，共得24分，这个球队输、赢、平各几场？8. 已知：—匕=2 _ x a，其中a、b为实数，且a+b= 0，化简后求值: a b(x 1 - x)( x 1 x)J ( X 1 \X)( X 1 - \x)_12 2x - 2x + 1 x - x 1 ‘9. 已知：y= 2 试说明在右边代数式有意义的条件x - 1 X + 1 x下，不论X取何值，丫的值不变。

10. 若.6+1的整数部分为X,小数部分为丫，求X、Y,以及X+1的算数平方根。

1 1 1______ + ________ + _______11计算:1 - 43 1 43 1 3n 2 n 2 一 4 n 2 一、n 2 一 4 n 2「:J n 2「4n2、n 2「4216分解因式：(xy-1 ) - (x+y-2xy ) (2-x-y )12计算:1 1 1 = + + =1—2003 i 2005b -c c - a-------------------- + ----------------------- (a b )( a c ) (a b )( b c )a _ b( a c )( b c )14 若 abc=1,求a ab a 1b bc b 1c+ -------------- ca c 1的值15.化简:(n>2)4 2 17.分解因式:X-3X+118.已知:3 2x2-x-1=0,求代数式-x +2x +2006 的值。

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