安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(八)数学(理)试题
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(七)数学(理)试题
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{|20}M x x =-<，2{|4N y Z y x =∈=-+，}x R ∈，则()M N R 的子集有（ ） A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个2．已知i 是虚数单位，则20171i 1()1i i++=- （ ） A ．0B ．1C ．iD ．2i3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，若12PF PF b -=，且双曲线的焦距为则该双曲线方程为 （ ）A ．2214x y -=B ．22132x y -=C ．2214y x -=D ．22123x y -=4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）5．2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（ ） A ．6种B ．24种C ．36种D ．42种6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足259,,a a a 成等比数列，则5775S S =（ ） A ．57B ．79C ．1011D ．11237．要得到函数()cos(2)+13f x x π=-的图象，只需把22cos y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向上平移1个单位 D ．向上平移2个单位8．运行如图所示的程序，输出的结果为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．89．已知某函数在[,]-ππ上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．sin 2x y =B ．cos ||y x x =+C ．ln |cos |y x =D ．sin y x x =+10．若不等式组40300px qy px qy qx y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩表示的平面区域为Ω，当点(1,2)-在Ω内(包括边界)时，64p q +的最大值和最小值之和为（ ）A ．52-B ．22-C ．38D ．2611．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,AB OD AD ===异面直线CD 与AB 所成角为30，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为 （ ）A．B．CD12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：01x ≤≤时，()33f x x x =-+，且()()11f x f x -=+，若方程()()log 1+1(0,1)a f x x a a =+>≠恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(5，6) B ．(6，8)C ．(7，8)D ．(10，12)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：1(,,)()00,1[0,1]q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩当为整数为既约分数当或上的无理数，若()f x 是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则17()(lg 20)3f f +=______________.14．已知点A 在圆224x y+=上，点B 的坐标为(1,1)，点O 为坐标原点，则OAOB ⋅的最大值为______________.15．已知,,[4,4]a b c ∈-_________.16．过抛物线28y x =的焦点作直线1:l y kx m =+与21:(0,1)l y x nk k k=+≠≠±，若直线1l 与抛物线交于,A B ，直线2l 与抛物线交于,C D ，且AB 的中点为,M CD 的中点为N ，则直线MN 与x 轴的交点坐标为______________.三、解答题17．在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+，且ABC 的面积为（1）求bc 的值； （2）若2b c =，求a .18．如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD ，且4,MC MD CD BC ====，N 为BC 中点.（1）求证：AN MN ⊥； （2）求二面角A MN C --的大小.19．2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.（1）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？（2）若月饼消费量不低于2500克者视为“月饼超级爱好者”，若按照分层抽样的方法抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人颁发奖品，用ξ表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求ξ的分布列与期望值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>其左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，四边形1122A B A B 与四边形1122F B F B的面积之和为4+. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，OM ON ⊥(其中O 为坐标原点)，当2528k m +取得最小值时，求MON △的面积. 21．已知函数212()x x mf x e--=(其中m 为常数). （1）若()y f x =在[1,4]上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若21()()x x g x f x e -=-在[1,2]上的最大值为32e，求m 的值. 22．直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 4=0m ρρθ--(其中0m >).（1）点M 的直角坐标为(2,2)，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，当α变化时，求直线被曲线C 截得的弦长的取值范围. 23．选修4—5不等式选讲已知函数()||||()f x x m x m =-+∈R . （1）若(1)1f =，解关于x 的不等式()2f x ；（2）若2()f x m ≥对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】首先求出集合M ，N ，从而求出RM ，进而求出()M N R ，由此能求出()M N R 的子集个数． 【详解】 解：集合{|20}{|2}M x x x x =-<=<，2{|4N y Z y x =∈=-+，}{|4}x R y Z y ∈=∈， {|2}R M x x ∴=，则(){}2,3,4M N =R ， ()M N ∴R 共有328=个子集．故选：C ． 【点睛】本题考查补集、交集的子集个数的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．A 【解析】由题意可得：201720171101i i i i i i i+⎛⎫+=-=-= ⎪-⎝⎭. 本题选择A 选项.3．C 【解析】由题意可得：122222{2PF PF a b c a b c -===+= ，解得：221{4a b == ，则该双曲线方程为2214y x -=.本题选择C 选项.4．D 【解析】由题意可得，该几何体是半圆柱，其中底面半径为1R = ，圆柱的高为2h = ，该几何体的表面积为：21222121342S πππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯=+ .本题选择D 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．5．B 【解析】 【分析】小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛，即前两个频道没转播，第三个在转播的情况，采用分步原理再排列问题得以解决． 【详解】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，再把2个报道的频道选1个有12A 种， 根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有214224A A =种．故选：B ． 【点睛】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最最基本的指导思想，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差的关系，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值． 【详解】解：设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，因为2a ，5a ，9a 成等比数列，可得2529a a a =， 即2111(4)()(8)a d a d a d +=++， 整理可得18a d =，故1553741775()7821025583117()2a a S a d d S a d d a a ⨯++====+⨯+． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 7．B 【解析】由题意可得：22cos cos 21cos 2163y x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，据此可知：要得到函数()cos 2+13f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把22cos y x =的图象向右平移6π个单位. 本题选择B 选项.点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 8．D 【解析】列表得出S ，k 的值如下：据此可得：输出值为：833log 6561log 38== .本题选择D 选项.9．A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及特殊值，用排除法直接求解． 【详解】解：易知，选项B ，C 均为偶函数，其图象应关于y 轴对称，不符合题意，故排除BC ； 又由图可知，当0x =时，函数值大于0，而选项D ，当0x =时，sin0|0|0y =+=，故排除D ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数图象确定解析式，考查排除法的运用，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 【详解】解：当点(1,2)-在Ω内时，有24023020p q p q q -+-≤⎧⎪--+≥⎨⎪--≤⎩，即24023020p q p q q -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，画出不等式组表示的平面区域如图所示.其中点17,24A ⎛⎫-⎪⎝⎭，(8,2)B --，(7,2)C -，则6+4p q 在点B 处取得最小值56-，在点C 处取得最大值34，故最大值与最小值之和为22-. 故选：B ． 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 11．C 【解析】由条件可知AB OD ∥ ，所以，CDO ∠ 为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠= ，而6OD =，故tan 3023OC OD =⋅=，在直角梯形ABOD 中，易得6OB = ，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由()(222226684R =++= ，故R =本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．B 【解析】01x ≤≤ 时，33f xx x ， ()()2'310f x x ∴=--≥ ,故()f x 在[0,1]上单调递增，且()()00,12f f == ，由()()11f x f x -=+ 可知函数()f x 是周期为2的周期函数，而函数()y f x = 与()log 11a y x =++ 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在0, 有6个不同交点，显然1a > ，结合图象可得()()log 5112{log 7112a a ++<++> ，即log 61{log 81a a <> ，故68a << .本题选择B 选项.13．13【解析】 【分析】结合已知函数解析式及函数的周期进行转化即可求解． 【详解】解：由函数的最小正周期为1可得172211(20)5(12)(2)033333f f lg f f lg f f lg ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：13． 【点睛】本题主要考查利用函数的周期性求解函数值，属于基础题．14．【解析】 【分析】设点A 的坐标为(,)m n ，由题意知224m n +=，利用基本不等式计算OA OB m n =+的最大值即可． 【详解】解：设点A 的坐标为(,)m n ，则224m n +=， 所以11OA OB m n m n =⨯+⨯=+； 设t m n =+，则2222224248t m n mn mn m n =++=+++=，当且仅当m n =所以22t -，所以OA OB 的最大值为故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 15．8 【解析】 【分析】设x y z =，不妨设a b c ≥≥，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案. 【详解】设x y z =，不妨设a b c ≥≥， 则222,,x a b y b c z a c =-=-=-，故222x y z +=，所以，可设cos ,sin x z y z θθ==(0)2πθ≤≤，0z ≤≤(sin cos x y z θθ+=++)4z z πθ=+=≤，当且仅当4,0,4a b c ===-时取等号8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查利用三角换元法及三角恒等变换中的辅助角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16．(2,0)- 【解析】 【分析】由条件可知两条直线都过焦点(2,0)F ，则直线1:(2)l y k x =-，直线21:(2)l y x k=-，联立直线1l 与抛物线方程，利用韦达定理得到点M 的坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得点N 的坐标为2(42k +，4)k ，进而求出直线MN 的方程，令0y =即可得到直线MN 与x 轴的交点坐标． 【详解】解：由条件可知两条直线都过焦点(2,0)F ，则直线1:(2)l y k x =-，直线21:(2)l y x k=-，由28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩ 可得2222(48)40k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y 2(B x ，2)y ，则212248k x x k ++=，1212128(2)(2)()4y y k x k x k x x k k+=-+-=+-=， 则点M 的坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 同理可得点N 的坐标为()242,4k k +， 则直线MN 的方程为224(42)1ky k x k k -=--+，令0y =可得2x =-， 即直线MN 与x 轴的交点为(2,0)-， 故答案为：(2,0)-． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．17．（1）8bc =（2）a =【解析】 【分析】（1）运用两角和的正弦公式、同角的基本关系式，化简可得sin A ，再由三角形的面积公式，可得bc 的值；（2）求得b ，c 的值，由余弦定理计算即可得到所求a 的值．【详解】解：（1）1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+sin()sin B C A =+=， 即sin 2sin (sin 0)cos AA A A=->， 可得1cos 2A =-，(0)A π<<，sin A ∴=由ABC ∆的面积为可得1sin 2bc A ==解得8bc =；（2）2b c =，且8bc =， 解得4b =，2c =，则22212cos 164242()282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=，解得a = 【点睛】本题考查两角和的正弦公式、同角的基本关系式和正弦定理、余弦定理以及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 18．（1）证明见解析（2）135° 【解析】 【分析】（1）取CD 的中点O ，连接OA ，OM ，ON ，推导出MO CD ⊥，MO ⊥平面ABCD ，由此能证明AN MN ⊥．（2）以O 为原点，OM ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，CD 的垂直平分线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角A MN C --的大小．【详解】解：（1）证明：取CD 的中点O ，连接OA ，OM ，ON ， MC MD =，O 为CD 中点，MO CD ∴⊥，又平面MCD ⊥平面BCD ，MO ⊂平面MCD ，平面MCD 平面BCD CD =，MO ∴⊥平面ABCD ，则MO =ON =6OA =，22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=，22248AM MO OA =+=，222MN AN AM ∴+=，AN MN ∴⊥．（2）如图，以O 为原点，,OM OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，CD 的垂直平分线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,2,(0,2,0)A C -，(0,2,M N ，∴(22,NM =--，(22,AM =-，(22,0)CM =-设平面AMN 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1100AM n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111112020y y ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩，令12z =可得1(6,n =.同理可得平面MNC 的一个法向量为2(1,3,0)n =.∴1212122cos ,2||||n n n n n n ⋅<>==⋅. 由图可知二面角A MN C --为钝角，故二面角A MN C --的大小为135︒.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 19．（1）128.25（吨）（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1500(0.00010.00020.00030.0004)2-+++，进而得出人均消费月饼的数量及其喜欢吃月饼的人数所占比例，看作概率，即可得出该厂生产的月饼数量．（2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人．则ξ的可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出． 【详解】解：（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1500(0.00010.00020.00030.0004)=0.252-+++，则人均消费月饼的数量为：7500.0002500+12500.000450017500.2522500.25⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯27500.000350032500.00015001900+⨯⨯+⨯⨯=（克），喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+409=14014， 根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：919003000000.35=12825000014⨯⨯⨯(克)128.25=(吨). （2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人.则ξ的可能取值为0，1，2，且3122182828333101010771(0),(1),(2)151515C C C C C P P P C C C ξξξ=========， 则ξ的分布列为ξ的期望值为：77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、组合数的计算公式、随机变量的概率分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）2214x y +=（2）17【解析】【分析】（1）根据题意得2222112222422c e a c a b a b c b ⎧==⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⨯⨯+⨯⨯=+⎪⎩，解得a ，b ，c ，进而得出椭圆的方程．（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立直线l 与椭圆的方程得222(14)8440k x kmx m +++-=，由韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y ，因为OM ON ⊥，所以12120OM ON x x y y =+=，解得22445k m +=，当2k =-时，2528k m +有最小值，再分析三角形MON 面积即可．【详解】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则四边形1122A B A B 与四边形1122F B F B 的面积之和为：1122222(22b c a b b a c ⨯⨯+⨯⨯=+，c a =222a b c =+可得1,2c b a =，∴2()a a 2a =，则1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222(41)8440k x kmx m +++-=，设点1122(,),(,)M x y N x y ，则2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，即2241m k <+，2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， 则2212121212()()=()y y kx m kx m k x x km x x m =+++++，由OM ON ⊥可得0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，∴221212(+1)()=0kx x km x x m+++，即22222448(+1)()=04141m km k km m k k -⋅+⋅-+++， 整理可得22445k m +=，代入2241m k <+可得，该不等式恒成立.2225112(1)2(41)822k m k k k k +=++=++，当2k =-时，2528k m +取得最小值，此时224445k m +==，则||2m =，原点到直线l 的距离12|d MN x x ===-=1717，故MON ∆的面积为11||22MN d ⋅=. 【点睛】本题考查椭圆的方程的计算，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题． 21．（1）[7,+)∞（2）3ln 22m =- 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性的关系可转化为()0f x '在[1,4]上恒成立，分离参数后转化为求解函数的最值问题；（2）结合导数与单调性的关系对m 进行分类讨论，进而可求函数的最大值，结合已知最值即可求解． 【详解】解：（1）由212()x x mf x e--=可得21212122122(2)422'()=()x x x x e e x m x m f x e e -------++=，由()y f x =在[1,4]上单调递增可得'()0f x ≥在[1,4]上恒成立，即214220x x m e--++≥，∴21x m +≤，[1,4]x ∈，2[2,8]x ∴∈ 故只需81m +≤，∴7m ≥，即实数m 的取值范围是[7,+)∞. （2）212121212()()==x x x x xx m x x mg x f x ee e e ------=--，∴2121212212()221'()()x x x x e e x m x m g x e e-------++==. ①当214m +≥，即32m ≥时，'()0g x >在(1,2)上恒成立，故()g x 在(1,2)上单调递增， 则()g x 在[1,2]上的最大值为3322(2)=m g e e -=，故0m =，不满足32m ≥； ②当212m +≤，即12m ≤时，)'(0g x <在(1,2)上恒成立，故()g x 在(1,2)上单调递减， 则()g x 在[]1,2上的最大值为312(1)=m g e e -=，故221m e=-，不满足12m ≤，舍去；③当2214m <+<，即1322m <<时，由'()0g x =可得212m x +=.212m x +<时，'()0g x >；当212m x +>时，)'(0g x <，即()g x 在211,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在21,22m +⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故()g x 的最大值为2221211222m m m mm g e e +-+⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴2312=2m e e ，即2314m e -=，所以，3ln 22m =-. 0<ln 21<，∴133<ln 2<222-，∴3ln 22m =-，符合条件1322m <<. 综上可知，3ln 22m =-. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及最值，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．22．（1）(1,+)∞；（2）【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得实数m 的取值范围是1, ；(2)由题意结合极坐标方程可得12|ρρ- .试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为2224=0x y mx +--，即()222+4x m y m -+=，由点M 在曲线C 的内部可得()22222<+4m m -+，解之得1m >，即实数m 的取值范围是(1,+)∞.（2）直线l 的极坐标方程为=θα，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得 24cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为12,ρρ，则1212+=4cos ,=4ρραρρ-. 则直线l 与曲线C 截得的弦长为12|ρρ-=，,即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是.23．（1）13(,)22-；（2）[1,1]-【解析】 试题分析：(1)由题意可得1m = ，零点分段可得不等式的解集为13(,)22- ；(2)由题意结合不等式的性质可得实数m 的不等式，求解不等式可得实数m 的取值范围是[]1,1-.试题解析：（1）由()11f =可得111m -+=，故1m =.由()2f x <可得1<2x x -+.①当0x <时，不等式可变为(1)2x x --<，解之得12x >-,∴ 1<<02x -； ②当01x ≤≤时，不等式可变为()12x x -+<，即12<,∴ 01x ≤≤； ③当1x >时，不等式可变为()12x x -+<，解之得32x <,∴ 31<2x <. 综上可知，原不等式的解集为13(,)22-. （2）由绝对值不等式的性质可得()()f x x m x x m x m =-+≥--=， 当且仅当()0x m x -≤时等号成立，故()f x 的最小值为m . 故只需2m m ≥，即()10m m -≤， 故1m ≤，即11m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,1-.。
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题
2020届模拟05 理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>，则UA B = （ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 （ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<，则双曲线的离心率的范围为 （ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为 （ ） A ．15B ．25C ．325D ．4256．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2x x x ωωωω==+>a b ，函数()f x =⋅a b 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π= （ ） A ．2B ．74 C ．54D ．17．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i = （ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．设M 是ABCD 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-= （ ）A ．6B ．16C ．24D ．489．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ） A ．[2,13]B ．[4,13]C ．[4,13]D ．[2,13]10．已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +==,012123164nnn n n n a C a C a C a C +++++=，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为 （ ）A ．160-B ．80-C ．80D ．16011．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π12．已知函数1,0 ()ln,0xxf xxxx⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx=-在R上有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．1(0,)eB．1(0,)2eC．1(,)2e-∞D．11(,)2e e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知抛物线2:8C y x=，Q是C上的一点，若焦点F关于Q的对称点P落在y轴上，则FP=.14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3hV a b ab=++其中a为上底边长，b为下底边长，h为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n层，最下层(即下底)由b b⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b aS a b ab-=+++根据以上材料，我们可得22212n+++=.15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为.16．在ABC△中，,E F分别是,AC AB的中点，且4,6AB AC==，若ABC△的面积不小于63BECF的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a的前n项和记为n T,121(1)n na T n+=+≥，11a=；等差数列{}n b中，且{}n b的前n项和为n S，1333,27b a S=+=.（1）求{}n a与{}n b的通项公式；（2）设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++19．（12分）在如图（1）梯形ABCD 中，9,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =. （1）证明：//CF 平面BDM ；（2）求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M 为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线2a x c=与x 轴的交点为S ,过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长,交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.21．（12分）已知函数()m x f x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.（1）若函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，若2M N >，求实数t 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos2sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P 的极坐标)2π.（1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值.2020届模拟05理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】因为{}1UB x x =≤，所以{|01}UAB x x =<≤．2．【答案】C 【解析】由i 1i z z =-得i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--，所以1i22z =--，所以z 对应的点在第三象限.3．【答案】A 【解析】因为幂函数1()n f x mx +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以1,2m n ==， 即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<，又()f x 为增函数，所以b a c <<. 4．【答案】A 【解析】根据题意，120CA CA ⋅<，所以12ACA ∠为钝角，所以ab >，所以22222,2,1c a c e a>∴<∴<<5．【答案】C 【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140C C C C C C C C C C P A P AB C C C +====， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===.6．【答案】D 【解析】21()(2cos )sin 2f x x x x ωωω=⋅=+a b 211cos 22x x ωω=+1cos2124x x ωω+=+511(cos22)422x x ωω=+15sin(2)264x πω=++，由题意：T π=,22ππω∴=,1ω∴=，即15()sin(2)264f x x π=++， 所以15()1244f π=-+=.7．【答案】C 【解析】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<;2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<； 3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<;4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<；10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=； 11i =，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<；12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=；所以输出的12.i =8．【答案】B 【解析】因为AP BD ⊥，AM 在向量AP 的射影为AP ， 所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=. 9．【答案】A 【解析】由约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥作出可行域如图，令22(1)(1)t x y =-++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =,联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC ==过(1,1)D -作DH BD ⊥于H ，则min 22t DH ===，故[2,13]z ∈. 10．【答案】D 【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13n n a -=，所以01200112212313333(13)464,3n n nn n n n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C n +++++=++++=+==∴=，所以61(1)(2)x x x --，其中61(2)x x -展开式的第r +1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C xx---+=-=-⋅⋅⋅,令621r -=-，得72r =（舍去），令3r =可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=．11．【答案】B 【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为22221333212[()(3)()(3)]3224πππππ⨯⨯++⨯=，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332()()132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π. 12．【答案】B 【解析】当0x >时，ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，又(0,)x e ∈时，()0f x '＞，∴()f x 在(0,)e 上单调递增，(,)x e ∈+∞时，()0f x '＜，∴()f x 在(,)e +∞上单调递减，(0,1),()0x f x '∈＞()(1)0f x f ＜＜.(1,),'()0,()(1)0x e f x f x f ∈>>=;(,),'()0,()0x e f x f x ∈+∞<>，所以()f x 的值域为1(,)e -∞，设y kx =与ln xy x=相切时的切点为00(,)x y ，所以切线方程为0002200ln 1ln ()x x y x x x x --=-，代入(0,0)，得0x e =， 故切线的斜率为12e，所以()f x 与y kx =的图象如下：根据题意，120k e k ⎧<⎪⎨⎪>⎩，故102k e <<，所以实数k 的取值范围为1(0,)2e .13．【答案】6【解析】根据题意，Q 为FP 的中点，所以Q 的横坐标为1x =，所以2(12)6FP =+=. 14．【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】观察规律令1,a b n ==，可得222112(1)(21)6n n n n +++=++.15．【答案】3【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为h ，几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=，即点E 到平面ABCD 的距离为3，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为3，16．【答案】91【解析】根据题意，画出图形，如图所示：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，则3,2AE AF ==， 所以在ABE △中，由余弦定理得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-,2222624cos 4024cos CF A A =+-=-， 所以2524cos 1514024cos 4024cos BEA CFA A----又若ABC △的面积不少于6， 所以1311sin 12sin 3,sin cos [,]222ABC S AB AC A A A A =⋅=∴∈-△≥ 当cos A 取最大时，BE CF 9117．【解析】（1）111121(1)21(2),2(2),3(2)n n n n n n n n n a T n a T n a a a n a a n +-++=+∴=+∴-=∴=≥≥≥≥， 又11a =，2213,3a a a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=（3分） 设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=3n b n ∴=.（6分）（2）由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++（9分）所以前n 项和11111(1)()()22311n n A n n n =-+-++-=++.（12分） 18．【解析】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯，（3分） 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分）（2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.（6分）22261(2) 15A P X A ===,112242362(3) 15C C A P X A ===， 12342434464(4) 15C C A A P X A +===,1248(5)115151515P X ==---=，（10分） ∴随机变量X 的分布列为：X 2 3 4 5 P115215415815（11分） ∴随机变量X 的期望为：12486423451515151515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =2,:2:1EM MF EM MF =∴=，∴//MN CF ，（2分） 又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .（4分）（2）证明：由EA EB EF +=，得四边形AFBE 为平行四边形，所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥，（6分） 又,,DE EB DE EA EBEA E ⊥⊥=，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥，又EA ED E =，EF ∴⊥平面ADE ADE.（8分）以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M -， 所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM =-=-，（9分） 设平面BMD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以(,,)(3,33,1)03330,(,,)(3,3,0)0330BD x y z x y z BM x y z x y ⎧⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅-==⎪⎪⎩⎩n n令y=n ，（10分）又平面AED 得一个法向量为(0,1,0)=m ，（10分）所以cos ,⋅<>==⋅n m n m n m 又平面BMD 与平面AED 所成的二面角显然为锐角， 所以平面BMD 与平面AED.（12分） 20．【解析】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，（1分）又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-，（3分） 故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（4分） （2）根据题意，(4,0)S ，所以设直线l 的方程4x ky =+， 联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，222(24)436(34)144(4)0k k k ∆=-⨯+=->，即24k >. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++.（7分） 设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+， 所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90ky ky y y y y ++++-=， 220022222222222999,27(34)1827(3)(34)1834y y y y k y ky ky k y k y y ---=∴==++++++++12221199273621(34)181827()3y k y k k k y y y --===-+++++--.（10分）所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -，所以22'P F PF =.（12分） 21．【解析】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=，又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=.（2分）（1）由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，若函数()f x 存在单调减区间， 则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a （5分） （2）因为2(1)1()xx t x G x e +-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---= ①当1t ≥时，()0h x '≤，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <， 所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32et >-；（7分） ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增， 所以2(0)(1)G G <，即32te-<，得32t e <-，（8分） ③当01t <<时，在[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减， 在(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增， 所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t te e+-⋅<*.（10分） 令1()t t p t e +=,(0,1)t ∈，则()0t t p t e -'=<，所以1()tt p t e +=在(0,1)t ∈上单调递减，故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式（*）无解， 综上所述，(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞.（12分）22．【解析】（1）直线'l 的普通方程为0x y -=，直线'l 的极坐标方程4πρ=，（3分）曲线C 的普通方程22((4x y+-=，所以2cos sin 60ρθθ--+=.（5分） （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-8分） 点P 到直线'l 的距离d 为34π=，所以132PAB S =⨯=.（10分） 23．【解析】 （1）根据题意，22,2()|1||2|36,1242,1x x f x x x x x x +⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪--⎩≥≤，（3分）解210228x x ⎧⎨>+>⎩≥，或110428x x -⎧⎨>->⎩≤，得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--.（5分）（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，（8分） 又0,0a b >>，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=+++++++++=≥.（10分）。
安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟卷(四)理
安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟卷（四）理测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U 是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x =∈--N ≤，3{|1log 2}B x U x =∈<≤，则()U A B =I ð （ ）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}4D ．{}52．在复平面内，复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，则复数12z z的共轭复数的虚部为 （ ） A ．32 B ．32-C ．12 D ．12-3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 （ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．执行如图所示程序框图输出的S 值为 （ ）A ．2021B ．1921C ．215231D ．3575065．已知函数()f x 的定义域为D ，满足：①对任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=，②对任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数()f x 叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是 （ ）A ．()tan f x x =B ．()sin f x x x =+C ．2()ln2xf x x-=+ D ．()x xf x e e -=-6．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:i x0.04 1 4.84 10.24 i y1.12.12.33.34.2若依据表中数据画出散点图，则样本点i i 都在曲线1y x =+附近波动.但由于某种原因表中一个x 值被污损，将方程1y x =+作为回归方程，则根据回归方程1y x =+和表中数据可求得被污损数据为（ ） A ． 4.32-B ．1.69C ．1.96D ．4.327．已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为 （ ） A ．40B ．9C ．8D ．728．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．164π+B ．484π+C ．4812π+D ．4816π+10．在四棱锥A BCDE -中，ABC △是边长为6的正三角形，BCDE 是正方形，平面ABC ⊥平面BCDE ，则该四棱锥的外接球的体积为 （ ）A ．2121πB ．84πC ．721πD ．2821π11．在DEF △中，曲线P 上动点Q 满足3(1)34DQ DF DE λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，4DE =,9cos 16D =，若曲线P 与直线,DE DF 围成封闭区域的面积为157，则sin E = （ ） A ．37B ．18C ．7 D ．3412．若()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--（1x >）恰有1个零点，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[0,+)∞B ．1{0}[,)4+∞U C (,)e +∞D ．(0,1)(1,)+∞U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知2(2)nx y -+展开式的各项系数和为128，则展开式中含43x y 项的系数为 .14．在梯形ABCD 中，//AD BC ,0AB BC ⋅=u u u r u u u r ,||2AB =u u u r ,||4BC =u u u r ，AC BD E =I ,AC BD ⊥u u u r u u u r，则向量AE CD ⋅u u u r u u u r= .15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,||)2A πωφ>><图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为5(,2),(,0)612ππ，则()()cos2g x f x x =在区间[0,)4π的值域为 .16．已知直线l 与抛物线2:4G y x =自下到上交于,A B ，C 是抛物线G 准线与直线l 的交点，F 是抛物线G 的焦点，若2AC AF =-u u u r u u u r，则以AB 为直径的圆的方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n+==+++.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望.19．（12分）在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，BCE △为正三角形.（1）求证：DE BC ⊥；（2）若平面ABCD ⊥平面BCE ，求直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值.20．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N是平面内两点，满足122F M MF =-u u u u r u u u u r，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若与圆221x y +=相切的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r （其中O 为坐标原点)的取值范围.21．（12分）已知()sin xf x e ax x =-+.（1）若函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与圆221x y +=相切，求实数a 的值.（2）已知()ln(1)1g x x =++，当0x ≥时()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .23．（10分）选修4—5不等式选讲（1）已知函数()|21||2|f x x x =++-，当23x -≤≤时，()f x m ≤恒成立，求实数m 的最小值.（2）已知正实数,a b 满足，a b ab +=，求22a b +的最小值.2020届模拟04理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】由题可知，{}0,1,2,3,4,5U =,{}0,1,2,3,4A =，{}4,5B =，则{}()0,1,2,3U A B =I ð，故选B.2．【答案】B 【解析】由题知，1212i,1i z z =-+=+，所以1212i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)22z z -+-+-===+++-，其共轭复数为13i 22-，故虚部为32-，故选B.3．【答案】B 【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则19959()985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=尺，故选B. 4．【答案】D 【解析】由程序框图知，输出11111324352123S =++++⨯⨯⨯⨯L 111111[(1)()()232435=-+-+-++L 111111357()]1)2123222223506-=+--=（，故选D. 5．【答案】B 【解析】由任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=知()f x 是奇函数，由任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->知()f x 是增函数，因为()tan f x x =在定义域上是奇函数，但在定义域上不是单增函数，故A 错；因为()sin f x x x =+是奇函数，()1cos 0f x x '=+≥，所以在定义域上是增函数，故B 正确；由增性排除C,D.故选B.6．【答案】C 【解析】设缺失的数据为,(1,2,3,4,5)i i x m x i ==，则样本(,)i i m y 数据如下表所示：i m 0.2 1 2.2 3.2 i y1.12.12.33.34.2其回归直线方程为ˆ1ym =+，由表中数据额可得， 1.1 2.1 2.3 3.3 4. 2.652y =++++=（），由线性回归方程ˆ1ym =+得， 1.6m =，即10.21 2.2 3.2=1.65x ++++（），解得 1.96x =.故选C. 7．【答案】D 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，设22222(1)1z x y x x y =++=++-表示可行域内点(,)P x y 与点(1,0)A -距离的平方减去1，由题知min z k ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线，由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的距离223211=+，所以2min 327()12z =-=，故选D.8．【答案】C 【解析】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点，由三角形中位线定理知221||||,//2OM PF OM PF =，由双曲线定义知12||||2PF PF a -=，因为1OF M △周长为111211||||||||||322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+，所以12||||6PF PF a +=， 解得12||4,||2PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222(2)(4)(2)242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为2y x =±，故选C.9．【答案】A 【解析】由三视图知，该三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体，四棱锥可以看成是以两直角边分别为3,4的直角三角形为底面，高为4的棱柱截去一个体积为棱柱体积13的棱锥得到的，故该几何体的体积为22111434431643243ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选A.第9题图 第10题图 第12题图 10．【答案】D 【解析】取BC 的中点为M ，,N F 分别是正三角形ABC 的中心和正方形BCDE 的中心，O 是该四棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM FM OF ON OM OB ，则N 在线段AM 上，OF ⊥平面BCDE ，ON ⊥平面ABC ，OM ⊥BC ，AM ⊥BC ，MF ⊥BC ，所以∠AMF 为二面角A —BC —D 的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AM ⊥MF ，又33,3AM MF ==，所以133NM AM ==，所以四边形OEMF 为矩形，所以23OM =，在直角三角形OMB 中，球半径2222(23)321OB OM BM =+=+=，所以外接球的体积为34π(21)2821π=，故选D. 11．【答案】A 【解析】设31,43DB DE DA DF ==u u u ru u ur u u u r u u u r ，则,B A 在直线,DE DF 上，且3||||34DB DE ==，1||||3DA DF =，由3(1)34DQ DF DE λλ=+-u u u r u u u r u u u r 知，(1)DQ DA DB λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，所以点Q 在直线AB 上，故曲线P 与直线,DE DF 围成封闭区域就是DAB △，由9cos 16D =得，57sin D =，所以1||||sin 2DAB S DA DB D =△157157||32DA =⨯⨯=，解得||2DA =，所以||6DF =，由余弦定理知，222229||||||2||||cos 462462516EF DE DF DE DF D =+-=+-⨯⨯⨯=，解得||5EF =， 由正弦定理得，||||sin sin DF EF E D=，所以6||sin 16sin ||5DF D E EF ===，故选A. B ．【答案】B 【解析】由()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--(1)x >恰有1个零点，方程ln (1)ln 0ax x e a x x +--=(1)x >恰有1个解，即方程()ln xa x e e x=-+(1)x >恰有1个解，即函数()ln xg x x=(1)x >的图象与直线()y a x e e =-+(1)x >在(1,)+∞上恰有1个交点，因为2ln 1()ln x g x x-'=，当1x e <<时，()0g x '＜，当x e >时，()0g x '＞，所以()g x 在区间(1,)e 上都是减函数，在(,)e +∞是增函数，当x e =时，()g x 取极小值()g e e =，直线()y a x e e =-+过点(,)e e ，斜率为a ，显然(,)e e 是函数()ln xg x x=(1)x >的图象与直线()y a x e e =-+(1)x >的一个交点，这两个图象不能有其他交点，作出函数ln xy x =(1)x >与()y a x e e =-+的图象，由图可知，当x e ＞时，直线()y a x e e =-+应在函数()ln xg x x=（1x >）的图象上方，设()()()ln xx a x e e x e xϕ=--->， 即()0x ϕ<恒成立，因为()0e ϕ=,∴只需()x ϕ为减函数，所以2ln 1()0ln x x a xϕ-'=-≤， 即2ln 1ln x a x -≥恒成立，设2ln 1()()ln x m x x e x-=>，设ln 1t x =-，则0t >，211()1(1)42t m t t t t ===+++，当且仅当1t t =，即1t =，即ln 11x -=， 即2x e =时，max 1[()]4m t =，所以14a ≥，当0a =时，直线()y a x e e =-+与ln xy x =(1)x >相切，也适合，故满足题意a 的取值范围为1{0}[,)4+∞U ，故选B.13．【答案】840-【解析】令1x y ==得，2128n =，解得7n =，将27(2)x y -+看成7个22x y -+相乘，要得到含43x y 项，则这7个因式中2个因式取2x ，余下5个因式中3个取y -，余下2个因式取2，所以含43x y 项的系数为233275(1)2840C C -⨯=-.14．【答案】165-【解析】由0AB BC ⋅=u u u r u u u r 知，AB BC ⊥，以B 为原点，以向量,BC BA u u u r u u u r 分别为,x y轴的正方向建立平面直角坐标系，则(0,2),(0,0),(4,0)A B C ，设(,2)D a ，则(,2),(4,2)BD a CA ==-u u u r u u u r，所以440BD AC a ⋅=-+=u u u r u u u r ，解得1a =，所以(1,2)D ，设(,2)BE BD λλλ==u u u r u u u r，所以(,2)E λλ，所以(,22)AE λλ=-u u u r ，因为E 在AC 上，所以//AE AC u u u r u u u r ，所以24(22)0λλ+-=，解得45λ=，所以42,55AE =u u u r （-），(3,2)CD =-u u u r ，所以165CD AE ⋅=-u u u r u u u r .15．【答案】3(0,]2【解析】由题知，2A =，541264T πππ=-=，所以2T ππω==，解得2ω=，由2sin(2)26πφ⨯+=，||2πφ<，解得6πφ=，所以()2sin(2)6f x x π=+，所以2()()cos22sin(2)cos23sin 2cos2cos 26g x f x x x x x x xπ==+=+311sin 4cos422x x =++1sin(4)62x π=++，因为04x π<≤，所以74666x πππ+<≤，所以1sin(4)126x π-<+≤，所以130()sin(4)422g x x π<=++≤，所以()g x 在区间[0,)4π的值域为3(0,]2. 16．【答案】2252364()()39x y -+-=【解析】因为2AC AF =-u u u r u u u r ，所以焦点F 在直线l 上，且||2||AC AF =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，由抛物线定义知，||||AD AF =，所以||1cos ||2AD DAC AC ∠==，所以3DAC π∠=，即直线l 的倾斜角为3π，所以直线l 方程为3(1)y x =-，代入24y x =整理得，231030x x -+=，设1222(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点坐标为00(,)x y ，则12103x x +=，所以12163AB p x x =++=，120523x x x +==，∴00233(1)y x =-=，所以以AB 为直径的圆的方程为2252364()()39x y -+-=.17．【解析】（1）由题知1n a +=1n n S S +-=3(1)(2)n a n n ++，即1321n n a an n+=⨯++， 即113(1)1n n a an n++=++，（2分） Q 111,130a a =∴+=≠，10na n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，（4分）∴13n na n+=，∴3n n a n n =⨯-；（6分）（2）由（1）知，3nn a n n =⨯-，∴221312323333n n T n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-L221323333123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-----L L ，（7分）设221323333nn M n =⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①∴23131323(1)33n n n M n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②①-②得，123113(13)(12)3323333331322n n n n n n n M n n +++---=++++-⨯=-⨯=--L ， ∴1(21)3344n n n M +-=+，Q (1)1232n n n +-----=-L ，（11分）∴1(21)3(1)3424n n n n n T +-+=-+.（12分）18．【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，Q 成绩在[50,60)内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，（2分） ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（4分）（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5， 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，∴X的可能取值为0,1,2,3,4，（5分）∴223222541(0)20C C P X C C ===；11221123232222543(1)10C C C C C C P X C C +===， 221111222223223222547(2)15C C C C C C C C P X C C ++===，21111222232222541(3)6C C C C C C P X C C +===， 222222541(4)60C C P X C C ===.（10分） ∴X 的分布列为X 01234P12031071516160（11分）∴137119()012342010156605E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接,,EO DO BD ，Q BCE △为正三角形,∴EO BC ⊥， Q ABCD 为菱形，3DCB π∠=,∴BCD △为正三角形，∴DO BC ⊥，Q DO EO O =I ,∴BC ⊥平面DOE ,∴BC DE ⊥.（5分）（2）由（1）知，DO BC ⊥，Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，∴DO ⊥平面BCE ，（6分） 以O 为原点，,,OE OC OD 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2BC =， 直线AE 与平面CDE 所成的角θ，则(0,1,0),(0,0,3),(3,0,0),(0,2,3)C D E A -， 则(3,2,3),(3,1,0),(0,1,3)EA EC CD =--=-=-u u u ru u u ru u u u u r，（7分） 设平面CDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则3030EC x y CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1x =， 则3y =,1z =,∴(1,3,1)n =，（9分）∴||3233|6sin |||105EA EA θ⋅--+===⋅⨯u u u ru u u r n |n |,∴直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值为6.（12分） 20．【解析】（1）连接2PF ,Q 122F M MF =-u u u u r u u u u r,∴122F F F M =u u u u r u u u u u r，∴2F 是线段1F M的中点，Q P 是线段1F N 的中点，∴21//2PF MN=，由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，∴1F MN△周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=，由离心率为12知，12ca =，解得2,1a c ==，∴2223b ac =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分） （2）当直线l 的斜率不存在时，直线1x =±，代入椭圆方程22143x y +=解得32y =±，此时95144OA OB ⋅=-=-u u u r u u u r ，（5分）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由直线l 与圆221x y +=相切知，211k=+，221m k ∴=+，（6分）将直线l 方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，222222(8)4(34)(412)48(43)4832)0km k m k m k ∆=-+-=-+=+（＞，（8分）1212()()y y kx m kx m =++=2222222221212222(412)8312()343434k m k m m k k x x km x x m m k k k --+++=-+=+++，2221212224123123434m m k OA OB x x y y k k --⋅=+=+++u u u r u u u r 222222712125555344341612m k k k k k --+==-=--+++，Q 2161212k +≥，∴2110161212k <+≤，∴2550121612k --<+≤， ∴5534OA OB -⋅-u u u r u u u r ≤＜，（11分）综上所述，OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围为55[,]34--.（12分） 21．【解析】（1）由题知，()cos x f x e a x '=-+，(0)1f =，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线斜率为(0)2f a '=-，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为(2)1y a x =-+，即(2)10a x y --+=，（2分）1=，解得2a =.（4分）（2）设()()()sin ln(1)1x h x f x g x e ax x x =-=-+-+-∴1()cos 1xh x e a x x '=-+-+，（5分） 设1()cos 1xm x e a x x =-+-+，∴21()sin (1)xm x e x x '=-++， Q 当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤，210(1)x >+，∴()0m x '＞， ∴()m x 即()h x '在[0,)+∞上是增函数，(0)1h a '=-，（7分）当1a ≤时，10a -≥，则当0x ≥时，()(0)10h x h a ''=-≥≥，∴函数()h x 在[0,)+∞上是增函数，∴当0x ≥时，()(0)0h x h =≥，满足题意，（9分）当1a >时，(0)10h a '=-＜，Q ()h x '在[0,)+∞上是增函数，x趋近于正无穷大时，()h x '趋近于正无穷大，∴存在0(0,)x ∈+∞上，使0()0h x '=，当00x x <<时，0()()0h x h x ''=＜，∴函数()h x 在0(0,)x 是减函数，∴当00x x <<时，()(0)0h x h =＜，不满足题意，（11分）综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞.（12分） 22．【解析】（1）由2247cos 2ρθ=-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，（3分）由题知直线l的标准参数方程为1xy⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t是参数）.（5分）（2）设直线l与曲线C交点,A B对应的参数分别为12,t t，将直线l的标准参数方程为1xy⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t是参数）代入曲线C方程22143x y+=整理得，27180t--=，∴1212187t t t t+==-，（8分）∴1224||||7AB t t=-.（10分）23．【解析】（1）Q113,21()3,2231,2x xf x x xx x⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，（2分）∴()f x在区间1[2,]2--上是减函数，在区间1[,3]2-是增函数，Q(2)7,(3)8f f-==，∴()f x在区间[2,3]-上的最大值为8，∴8m≥，∴实数m的最小值为8.（5分）（2）Q a b ab+=，0,0a b>>，∴111a b+=，∴22222222211()()22()28b a b aa b a ba b a b a b+=++=+++++≥，当且仅当2222a bb a=且b aa b=，即a b=时，22a b+取最小值8.∴22a b+的最小值为8.（10分）。
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(六)(理)(解析版)
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷数学（理）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{3x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则A B =I （ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为 （ ） A ．131i 55-+ B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55- 3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且=b ，则实数m 的值为 （ ）A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或45．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填 （ ）A ．30S <B ．62S <C ．62S ≤D ．128S <6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒ （ ）A．12B．12 C．12-+D．12-7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称 B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称 C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称 D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z B ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZD ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为 （ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）A ．1 BCD ．211．已知椭圆222:19x y C b +=，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r的取值范围为 （ ） A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--12．已知函数()212ln x f x x -=的定义域为1(0,]e ，若对任意的12,x x 1(0,]e ∈， ()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．(,3]-∞B ．(,4]-∞C ．(,5]-∞D ．(,6]-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为 .14．多项式822x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 项的系数为 . 15．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且AB CD //，12AB CD =，PA PB AD ==，PA AD CD +==PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD-外接球的表面积为 .第15题图 第16题图16．如第16题图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥4MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.19．（12分）如图，三棱锥1-E EBC 中，90EBC ∠=︒，124AE EB BC ===，,A D 分别为,EB EC 的中点，1E A AD ⊥；连接1111,,,EE E B E C E D ，平面1AE D ⊥平面ABCD . （1）证明：1EE BC ⊥；（2）求二面角1C BE D --的余弦值.20．（12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为12，点23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线l 与圆22:20x y y Ω++=相切，且与椭圆C 交于,M N 两点.探究：在椭圆C 上是否存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，若存在，请求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数()emxf x x =.（1）若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2e ，求函数()f x 在[]2,2-上的最小值；（2）若关于x 的方程()1f x x=在()0,+∞上有两个解，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为22cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos04πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；（2）将曲线C向左平移2个单位，再将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C，求曲线1C上的点到直线l的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．【答案】C【解析】依题意，集合{9293332xx A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=>=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭， {}{}{}2121101112,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x =∈-+<∈<<N =N =，故{}5,6,7,8,9,10A B =I ，故选C.2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()35i 2i 35i 113i i 2i 2i 2i 5a b ----+===++-，故113,55a b ==-，故131i i 55z b a =-=--， 故复数z 的共轭复数为131i 55z =-+，故选A. 3．【答案】B 【解析】不妨取04x π=，此时0023sin 02x x π-=<，故命题p 为真；特称命题的否定 为全称命题，故:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥，故选B.4．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数， 观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051，1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253.5．【答案】B 【解析】运行该程序，第一次，2,2S k ==；第二次，6,3S k ==；第三次，14,4S k ==； 第四次，30,5S k ==；第五次；62,6S k ==；第六次，126,7S k ==；观察可知，判断框中可以填“62S <” 故选B.6．【答案】A 【解析】依题意，()cos240sin30sin 60sin120︒︒--︒︒sin30cos120cos30sin120=︒︒+︒︒1sin1502=︒=；00tan 751tan 75tan 45tan 301tan 751tan 75tan 45-︒-︒==︒=++︒︒；故原式的值为12，故选A. 7．【答案】D 【解析】依题意，()()()()321ln1121x f x x x -+=++-++，将函数()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数32ln 2xy x x-=++的图象，这是一个奇函数，图象关于(0,0)中心对称，故 函数()321ln333xf x x x x x-=++++的对称中心为(1,1)--，故选D. 8．【答案】C 【解析】依题意，将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到sin 43y x ωππω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，此时()2432k k ωπωππππ--=+∈Z ， 解得()546k k ωπππ=+∈Z ，故()1043k k ω=+∈Z ，故ω的最小值为103故()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令()10222332k x k k πππππ--∈++Z ≤≤，解得()10522636k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，即()3320545k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，故选C.9．【答案】A 【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出()()221,1,1,,5,25A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；要使0z ≥恒成立，需且仅需130223055230m m m --⎧⎪⎪--⎨⎪⎪--⎩≥≥≥解得375m ≥；故m 的取值不可能为7，故选A.第9题答案图 第10题答案图10．【答案】B 【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为AC 或BD ，均为2，故选B.11．【答案】A 【解析】依题意，()22PM MN PM PN PM PM PN PM PM ⋅=⋅-=⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；因为22219b e =-=，故21b =；设(),M x y ，则()2,PM x y =--uuu r，故()2222222282444414599x x PM x y x x y x x x =-+=-++=-++-=-+uuu r ，[]3,3x ∈-，可知，当3x =-时，2PM uuu r 有最大值25，当94x =时，2PM uuu r 有小值12；故PM MN ⋅u u u r u u u r 的取值范围为125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选A. 12．【答案】B 【解析】()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-，可得122212()()11f x f x m x x ->-，令21()()g f x x =，则()ln g x x x x =+，其中，2[e ,)x ∈+∞，()2ln g x x '=+，又2[e ,)x ∈+∞，则()2ln 4g x x '=+≥，即122212()()411f x f x x x ->-，因此实数m 的取值范围是(,4]-∞，故选B.13．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.14．【答案】420【解析】依题意，多项式8222x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，要凑出7x ，则必须有四个2x ，两个2x ，以及两个2-，故所求系数为()224284124202C C ⎛⎫⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭.15．【答案】52π【解析】因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD //，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =，,43PA PB AD PA AD CD ==+===23PA PB AB AD BC ====， 故3ADC π∠=；取CD 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD外接圆圆心；F 是PAB △外心，作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面PAB ，则O 是四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且3,2OF GE PF ===；设四棱锥P ABCD -的外接球半径R ，则22213R PF OF =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积是52π.16．【答案】524+【解析】因为2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，故42MPN ππ∠+=， 故4MPN π∠=，故MNP △是等腰直角三角形；在QNP △中，2,1QN QP ==，由余弦定理，254cos NP Q =-；2211os 42c 45MNP S MN NP Q =-==△； 又1sin 2sin QNP S NQ P Q Q Q =⋅⋅=△，55cos sin 2sin()444MNQP S Q Q Q π=-+=+-； 易知当4Q 3π=时，四边形MNQP 的面积有最大值，最大值为524+． 17．【解析】（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，故13n na a +=；故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+，解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分）（2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列， 故1231111n n T a a a a =++++L 111113133=1113323213nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-L 故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率24113124P C ⨯=⨯=；（4分）（2）依题意，ξ的可能取值为1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为241312C ⨯=； ()1111224P ξ==⨯=，()121112222P C ξ==⨯⨯=，()1113224P ξ==⨯=，故ξ的分布列为 ξ123P141214故所求期望()2E ξ=.（12分）19．【解析】（1）Q 1E A AD ⊥，平面1AE D ⊥平面ABCD ， 平面1AE D I 平面ABCD AD =，故1E A ⊥底面ABCD ， AB AD ⊥，∴1,,AE AD AE 两两垂直，以1,,AE AD AE为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知条件知，1(2,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,1,0),(0,0,2)E B C D E --， 且1111(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2),(0,1,2)EE BE CE DE =-==-=-uuu r uuu r uuu r uuu r，11112200220,220(2)220EE BE EE CE ⋅=-⨯+⨯+⨯=⋅=-⨯+⨯-+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1111,EE BE EE CE ⊥⊥,Q 111BE CE E =I ,∴1EE ⊥平面1E BC ∴1EE BC ⊥．（6分） （2）由（1）可知，平面1E BC 的法向量为1(2,0,2)EE =-uuu r．令平面1E BD 的法向量为(,,)x y z =m ，故11(,,)(2,0,2)220(,,)(0,1,2)20BE x y z x z DE x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩uuu r uuu r m m ，即,2x z y z =-=，取(1,2,1)=-m．1cos ,EE <u u u r m∴二面角1C BE D --.（12分） 20．【解析】（1）依题意，12c e a ==，故2234b a =.①将2,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆的方程中，可得2248193a b +=.② 联立①②，解得224,3a b ==，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=.（4分） （2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r.依题意，设直线:()(0,0)l y k x t k t =+≠≠，圆22:20x y y Ω++=，即()2211x y ++=.直线:()(0)l y k x t t =+≠与圆22:(1)1x y Ω++=1=，整理得2222=0k t kt k +-.当1t =±时，切线的斜率k 不存在，不合题意，舍去； 当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得221tk t =-，把:()(0)l y k x t t =+≠代入椭圆C 的方程22143y x +=得：22222(43)63120k x k tx k t +++-=. 易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 相交，设1122(,),(,)M x y N x y ， 则2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=-+， 12121228()()()243kty y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=+，212122268(,)(,)4343k t kt OM ON x x y y k k +=++=-++uuu u r uuu r . 因为OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r，故22268(,)(43)(43)k t ktOQ m k m k =-++u u u r ，即Q 的坐标为22268(,)(43)(43)k t ktQ m k m k -++. 又因为Q 在椭圆上，所以2222268(43)(43)143k t ktm k m k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 得2222443k t m k =+，把221t k t =-代入得2242242222424()441211143()11t t t t m t t t t t t-===+++++-； 因为210t >，所以421111t t++>，204m <<，于是20m -<<或02m <<， 综上所述()(2,0)0,2m ∈-U .（12分）21．【解析】（1）依题意，()'e e mx mxf x mx =+，故()()'1e e 1e 2e m m m f m m =+=+=， 解得1m =，故()()'e e 1e x x xf x x x =+=+；令()'0f x =，故1x =-； 因为()222e f --=-,()11e f --=-,()20f >，故函数()f x 在[]2,2-上的最小值为()11e f --=-；（4分）（2）依题意，()211e 1e 00mx mxx f x x x x x-=⇔-=⇔=； 问题转化为2e 10mx x -=在()0,+∞有两个解；令()2e 1mxx x ϕ=-,()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+．①当0m ≥时,()()e20mxx x mx ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在()0,+∞上单调递增．由零点存在性定理，()y x ϕ=在()0,+∞至多一个零点，与题设发生矛盾． ②当0m <时，令()e20mxx mx +=，则2x m=-．因为()01ϕ=-，当∴要使()2e 1mx x x ϕ=-在()0,+∞内有两个零点，则20m ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可，得224e m <，又因为0m <，所以20e m -<<；综上，实数m 的取值范围为2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24C x y -+=；直线::0l x y -+=；（4分）（2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)，设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则P l d →(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l （10分） 23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min111222mf x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞U .（10分）。
安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟卷(五)文
安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟卷（五）文测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>，则U A B =I ð （ ） A ．{|01}x x <≤ B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数1()nf x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<u u u r u u u u r，则双曲线的离心率的范围为 （ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．2016年五一期间，各大网站纷纷推出各种“优惠劵”.在此期间，小明同学对本小区某居民楼的20名住户在假期期间抢得“优惠劵”的数量进行调查得到如下表格则该小区50 ） A ．30B ．1500C ．26D ．13006．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2x x x ωωωω==+>a b ，函数()f x =⋅a b 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π= （ ） A ．2B ．74 C ．54D ．17．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i = （ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ） A ．6B ．16C ．24D ．489．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ） A ．[2,13]B ．[4,13]C ．[4,13]D．[2,13]10．设函数22log (3),0()3(1),0xt x x f x t x ⎧+-<⎪=⎨-⎪⎩≥，且1()62f =，则不等式2(2)()f a f a ->的解集为 （ ） A ．(2,1)- B ．(2,2)-C ．(1,2)-D ．(,2)(1,)-∞-+∞U11．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π12．已知函数()()y f x x =∈R 满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，又31,121()ln ,1xx g x e x x x⎧-⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩≤，则函数()()()F x g x f x =-在区间[2017,2017]-上零点的个数为（ ） A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP = .14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++ 其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b aS a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=L .15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为 .16．已知数列{}n a 满足12n n n a a S +=，且11a =，记数列的前n 项和为n S ，若不等式22212nnS a ma n +≥对任意n *∈N 都成立，则实数m 的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，,E F 分别是,AC AB 的中点，cos cos 2cos a B b A c A +=，且4,6AB AC ==.（1）求ABC △的面积； （2）求BECF的值.18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：关系？（2）若在一轮中演唱中，每次猜出3位亮相，求至少1位是“梅派”传人”的概率. 参考数据：参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++19．（12分）在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r ，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =u u u u r u u u u r .（1）证明：//CF 平面BDM ； （2）求三棱锥D AEF -外接球的体积.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M 为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AM 与过点B 且与x 轴垂直的直线交于点D ，过点,B D 作22,BP PF DQ PF ⊥⊥，垂足分别为,P Q 两点，求证：BP DQ BD +=.21．（12分）已知函数()2ln 1f x x ax =-+.（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线30x y --=垂直，求a 的值； （2）当0a <且()0,1x ∈时，函数()f x 的图象总在直线()12y a x a =-+的下方，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos2sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P 的极坐标)2π. （1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值.2020届模拟05文科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】因为{}1U B x x =≤ð，所以{|01}U A B x x =<I ≤ð． 2．【答案】C 【解析】由i 1i z z =-得i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--，所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限.3．【答案】A 【解析】因为幂函数1()n f x mx +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以1,2m n ==，即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<，又()f x 为增函数，所以b a c <<. 4．【答案】A 【解析】根据题意，120CA CA ⋅<u u u r u u u u r，所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a >∴<∴<<5．【答案】D 【解析】由数据可知四个组的频率分别为0.1,0.35,0.4,0.15，所以每一人抢得“优惠劵”的平均数为0.1100.35200.4300.154026.⨯+⨯+⨯+⨯=所以该班50名住户在2016年“五一”期间抢得的“优惠劵”个数约为50261300⨯=个.故选D. 6．【答案】D 【解析】213()(2cos )cos sin 2f x x x x ωωω=⋅=++a b 2131cos sin 22x x ωω=++ 1cos 235113151sin 2(cos 2sin 2)sin(2)4422264x x x x x ωπωωωω+=++=++=++，由题意：T π=,22ππω∴=,1ω∴=，即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=.7．【答案】C 【解析】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<;2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<；3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<;4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<L ； 10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=； 11i =，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<；12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=；所以输出的12.i =8．【答案】B 【解析】因为AP BD ⊥，AM u u u u r 在向量AP u u u r的射影为AP u u u r，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r . 9．【答案】A 【解析】由约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥作出可行域如图， 令22(1)(1)t x y =-++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC ==过(1,1)D -作DH BD ⊥于H ，则min 22t DH ===，故[2,13]z ∈ 10．【答案】A 【解析】121()31)62f t =⨯-=Q （，即121)2t -=（，解得5t =. 故22log (8),0()34,0xx x f x x ⎧-<⎪=⎨⨯⎪⎩≥，可以判断函数()f x 为增函数，所以22,21a a a ->∴-<<， 所以解集为(2,1)-.11．【答案】B 【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为22221333212[()(3)()(3)]3224πππππ⨯⨯++⨯=，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332()()132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π.12．【答案】C 【解析】()()2f x f x +=Q ，所以()f x 的一个周期为2，当1x >时，ln ()e xg x x=，所以2(1ln )'()e x g x x -=，所以(1,),'()0,()(1)0;(,),'()0,()0x e g x g x g x e g x g x ∈>>=∈+∞<>， ()g x 的最大值为1，()f x 与()g x 的图象如下：在区间[1,1]-内有一个根，在[1,2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以()F x 共有2017个零点 .13．【答案】6【解析】根据题意，Q 为FP 的中点，所以Q 的横坐标为1x =，所以2(12)6FP =+=.14．【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】观察规律令1,a b n ==，可得222112(1)(21)6n n n n +++=++L .15．【答案】3【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如右图，设四棱锥的高为h ，几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=， 即点E 到平面ABCD 的距离为3，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为3，16．【答案】2【解析】根据题意得1121121112,2,222n n n n n n n n n n n n n a a S a a S a a a a S S a +++++++++==-=-=，2135212,1,3,5,,21;n n k a a a a a a k +--=====-L 2422,4,,2.k n a a a k a n ===∴=L ； 所以222222(1)(1)4,4n n n n m n m n +++∴+≥≥，2222(1)51511()4424455n n t n n n +=+=++=++， 当*n ∈N 时，22(1)4n t n +=+单调递增，所以2t ≥，故2m ≤.17．【解析】（1）cos cos 2cos ,sin cos sin cos 2sin cos a B b A c A A B B A C A +=∴+=Q ，1sin()2sin cos ,cos 2B AC A A ∴+=∴=；（4分） 又(0,)A π∈，所以3A π=，所以ABC △的面积为164sin6323S π=⨯⨯=.（6分）（2）根据题意，画出图形，如图所示：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，则3,2AE AF ==，（7分）所以在ABE △中，由余弦定理得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，（9分）所以2524cos 151591114024cos 4024cos 28BEA CF A A -==-=-=--.（12分）18．【解析】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯，（3分） 所以在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分）（2）记4位票友为,,,a b c d ，2位“梅派”传人”为,A B ，则从中选出3位的所有结果有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a b B a c d a c A a c B a d A a d B a A B b c d(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)b c A b c B b d A b d B b A B c d A c d B c A B d A B 共20种，（8分）其中至少1位是“梅派”传人”的结果为(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b A a b B a c A a c B a d A a d B a A B b c A b c B b d A b d B ，(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)b A B c d A c d B c A B d A B .（10分）有16种，所以满足条件的概率为164205P ==.（12分） 19．【解析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =Q 2,:2:1EM MF EM MF =∴=u u u u r u u u u r，∴//MN CF ，（2分）又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ，∴//CF 平面BDM .（4分） （2）证明：由EA EB EF +=u u u r u u u r u u u r，得四边形AFBE 为平行四边形， 所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥，（6分）又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=I ，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =I ，EF ∴⊥平面ADE .（8分）以,,EA ED EF 为棱，构造长方体，所以长方体外接球与三棱锥D AEF -的外接球相同，所以外接球的直径为22222231(33)37EA ED EF ++=++=，（11分） 所以球的体积为34373737()3ππ=.（12分） 20．【解析】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，（1分）又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-，（3分）故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（4分）（2）证明：设直线():2(0)AM y k x k =+≠，则：(2,4)D k ,BD 的中点为E 为(2,2)k ，联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：2222(34)1616120k x k x k +++-=设()00,P x y ，由韦达定理得：2021612234k x k --=+，解得：2026834k x k-=+，故有：()00212234k y k x k =+=+，（7分） 又()21,0F ，所以当12k =±时，31,2M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，()2,2D ±，此时2MF x ⊥轴，所以四边形BPQD 为矩形，所以2,2BP DQ BD +==，所以BP DQ BD +=.（8分）当12k ≠±时，0204=114PF y kk x k =--，所以直线()224:114kPF y x k =--， 即：224401414k kx y k k --=--， 所以点E 到直线2PF的距离2d k =，（10分） 而=4BD k ，即知：12d BD =，所以以BD 为直径的圆与直线2PF 相切，所以四边形BPQD 为直角梯形，BD 的中点为E ， 所以24BP DQ d k BD +===.（12分） 21．【解析】（1）依题意，1()2f x ax x'=-，故()'112f a =-，则121a -=-，解得1a =；（3分）（2）依题意，当()0,1x ∈时，()2ln 112x ax a x a -+<-+，即()2ln 1120x ax a a x -++-+->，令()()2ln 112g x x ax a a x =-++-+-，下面证明()0g x >在()0,1恒成立；先分析函数()g x 在()0,1上的单调性；()212(12)1'2(1)1ax a x g x a x x x+--=-+-+=；令()22(12)1m x ax a x =+--；当0a <时，()m x 图象开口向下，()m x 在(0,)+∞上有两个零点1和12a-，①当12a =-时，112a-=，此时()0m x ≤，∴()g x 在()0,1上单调递减； ②当102a -<<时，112a ->，此时当()0m x >，可得112x a<<-；()0m x <，可得01x <<或12x a>-. ∴()g x 在1(1,)2a -上单调递增；在()0,1，1(,)2a-+∞上单调递减. ③当12a <-时，1012a <-<，此时当()0m x >，可得112x a-<<； ()0m x <，可得102x a<<-或1x >. ∴()g x 在1(,1)2a -上单调递增；在1(0,)2a-，(1,)+∞上单调递减； 因为函数()g x 过(1,0)点，且当12a -≥时，()g x 在()0,1为减函数，∴()(1)0g x g >=，符合题意.当12a <-时，()g x 在1(0,)2a -上单调递减，在1(,1)2a-上单调递增， ∴1()(1)02g g a -<=，不符合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为1[,0)2-.（12分） 22．【解析】（1）直线'l 的普通方程为0x y -=，直线'l 的极坐标方程4πρ=，（3分） 曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以2cos sin 60ρθθ--+=.（5分）（2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-8分） 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PAB S =⨯=.（10分）23．【解析】 （1）根据题意，22,2()|1||2|36,1242,1x x f x x x x x x +⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪--⎩≥≤，（3分）解210228x x ⎧⎨>+>⎩≥，或110428x x -⎧⎨>->⎩≤，得34x <<或32x -<<-，所以解集为(3,2)(3,4)--U .（5分）（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，（8分） 又0,0a b >>，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=+++++++++=≥.（10分）。
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(七)数学(理)试题
2020届模拟07 理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{|20}M x x =-<,2{|4,}N y y x x =∈=-+∈Z R ，则()M N R I ð的子集有 （ ） A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个2．已知i 是虚数单位，则20171i 1()1i i++=- （ ）A ．0B ．1C ．iD ．2i3．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，若12||||PF PF b -=，且双曲线的焦距为25，则该双曲线方程为 （ ）A ．2214x y -=B ．22132x y -=C ．2214y x -=D ．22123x y -=4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A ．2πB ．4πC ．2+4πD ．3+4π5．2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有 （ ） A ．6种B ．24种C ．36种D ．42种6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足259,,a a a 成等比数列，则5775S S = （ ） A ．57B ．79C ．1011D ．11237．要得到函数()cos(2)+13f x x π=-的图象，只需把22cos y x =的图象（ ）A．向左平移3π个单位B．向右平移6π个单位C．向上平移1个单位D．向上平移2个单位8．运行如图所示的程序，输出的结果为（）A．12 B．10 C．9 D．89．已知某函数在[,]ππ-上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．sin2xy=B．cos||y x x=+C．ln|cos|y x=D．siny x x=+10．若不等式组4030px qypx qyqx y+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域为Ω，当点(1,2)-在Ω内(包括边界)时，6+4p q的最大值和最小值之和为（）A．52-B．22-C．38 D．2611．如图，在四棱锥C ABOD-中，CO⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD⊥，且212,62AB OD AD===，异面直线CD与AB所成角为30︒，点,,,O B C D都在同一个球面上，则该球的半径为（）A．32B．42C21D4212．已知定义在R上的偶函数()f x满足：01x≤≤时，3()3f x x x=-+，且(1)(1)f x f x-=+，若方程()log(||1)+1af x x=+(0,1)a a>≠恰好有12个实数根，则实数a的取值范围是（）A．(5,6) B．(6,8) C．(7,8) D．(10,12)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：1(,()001[0,1]q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩当为整数，为既约分数）当，或上的无理数，若()f x 是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则17()(lg20)3f f += .14．已知点A 在圆224x y +=上，点B 的坐标为(1,1)，点O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r 的最大值为 .15．已知,,[4,4]a b c ∈-的最大值为 . 16．过抛物线28y x =的焦点作直线1:l y kx m =+与21:+l y x n k=(0,1)k k ≠≠±，若直线1l 与抛物线交于,A B ，直线2l 与抛物线交于,C D ，且AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则直线MN 与x 轴的交点坐标为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在ABC △中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+，且ABC △的面积为（1）求bc 的值； （2）若2b c =，求a .18．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD，且4,MC MD CD BC ====N 为BC 中点.（1）求证：AN MN ⊥；--的大小.（2）求二面角A MN C19．（12分）2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：男女合计喜欢吃月饼人数(单位：万人)50 40 90不喜欢吃月饼人数(单位：万人)30 20 50合计80 60 140为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.（1）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求?（2）若月饼消费量不低于2500克者视为“月饼超级爱好者”，若按照分层抽样的方法抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人颁发奖品，用ξ表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求ξ的分布列与期望值.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，其左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12A A ,，上、下顶点分别为12,B B ，四边形1122A B A B 与四边形1122F B F B 的面积之和为. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，OM ON ⊥(其中O 为坐标原点)，当2528k m +取得最小值时，求MON △的面积.21．（12分）已知函数212()x x mf x e--=(其中m 为常数). （1）若()y f x =在[1,4]上单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若21()()x x g x f x e -=-在[1,2]上的最大值为32e ，求m 的值.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 4=0m ρρθ--(其中0m >).（1）点M 的直角坐标为(2,2)，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，当α变化时，求直线被曲线C 截得的弦长的取值范围.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()||||()f x x m x m =-+∈R .（1）若(1)1f =，解关于x 的不等式()2f x <；（2）若2()f x m ≥对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.2020届模拟07理科数学1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】C 12．【答案】B13．【答案】1314．14．【答案】22 15．15．【答案】8 16．16．【答案】(2,0)- 17．17．【解析】（1）由1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+可得1tan sin ()2A B C -=+，又sin sin()0A B C =+>,1cos 2A ∴=-，即23A π=.（4分） 由ABC △的面积可得1sin 232bc A =，故8bc =.（6分）（2）由2b c =及8bc =可得4,2b c ==，（10分）由余弦定理可得：22212cos 164242()2a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=28，∴27a =.（12分）18．【解析】（1）取CD 的中点O ，连接,,OA OM ON ，Q M C M D =，O 为CD 中点，∴MO CD ⊥， 又Q 平面MCD ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MCD ,∴MO ⊥平面ABCD ，（3分） 则23,23,6MO ON OA ===,22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=,22248AM MO OA =+=， ∴222MN AN AM +=,∴AN M N ⊥.（6分）（2）如图，以O 为原点，,OM OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，CD 的垂直平分线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,(0,2,0)A C -,M N ，∴2,NM =--u u u u r,AM =-u u u u r,2,0)CM =-u u u u r.（8分）设平面AMN 的法向量为1111(,,)x y z =n ，由1100AM NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ruu u u r n n可得1111112020y y ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩，令12z =可得1=n . 同理可得平面MNC的一个法向量为2=n .∴121212cos ,||||⋅<>=⋅n n n n n n .由图可知二面角A MN C --为钝角，故二面角A MN C --的大小为135°.（12分） 19．【解析】（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1500(0.00010.00020.00030.0004)=0.252-+++，（6分）则人均消费月饼的数量为：7500.0002500+12500.000450017500.2522500.25⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯27500.000350032500.00015001900+⨯⨯+⨯⨯=（克），喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+409=14014， 根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：919003000000.35=12825000014⨯⨯⨯(克)=128.25(吨).（8分） （2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人.则ξ的可能取值为0,1,2，且3122182828333101010771(0),(1),(2)151515C C C C C P P P C C C ξξξ=========，则ξ的分布列为ξ的期望值为：77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=.（12分） 20．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则四边形1122A B A B 与四边形1122FB F B 的面积之和为：1122222(22b c a b b a c ⨯⨯+⨯⨯=+可得c a =，结合222a b c =+可得1,2c b a ==，（2分）∴2()a a =2a =，则1b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（5分） （2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222(41)8440k x kmx m +++-=，设点1122(,),(,)M x y N x y ，则2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，即2241m k <+,2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，（7分） 则2212121212()()=()y y kx m kx m k x x km x x m =+++++，由OM ON ⊥可得0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，即12120x x y y +=，∴221212(+1)()=0k x x km x x m +++，即22222448(+1)()=04141m kmk km m k k -⋅+⋅-+++， 整理可得22445k m +=，代入2241m k <+可得，该不等式恒成立. 2225112(1)2(41)822k m k k k k +=++=++，当2k =-时，2528k m +取得最小值，此时224445k m +==，则||2m =，（10分） 原点到直线l的距离d12||||MN x x -=， 故MON △的面积为11||22MN d ⋅=.（12分） 21．【解析】（1）由212()x x m f x e --=可得21212122122(2)422'()=()x x x x e e x m x m f x e e -------++=， 由()y f x =在[1,4]上单调递增可得'()0f x ≥在[1,4]上恒成立， 即214220x x m e --++≥,∴21x m +≤，Q [1,4]x ∈,∴2[2,8]x ∈， 故只需81m +≤,∴7m ≥，即实数m 的取值范围是[7,+)∞.（4分）（2）212121212()()==x x x x xx m x x m g x f x e e e e ------=--,∴2121212212()221'()()x x x x e e x m x m g x e e -------++==. ①当214m +≥，即32m ≥时，'()>0g x 在(1,2)上恒成立，故()g x 在(1,2)上单调递增， 则()g x 在[1,2]上的最大值为3322(2)=m g e e -=，故0m =，不满足32m ≥； ②当212m +≤，即12m ≤时，'()<0g x 在(1,2)上恒成立，故()g x 在(1,2)上单调递减， 则()g x 在[1,2]上的最大值为312(1)=m g e e -=，故221m e =-，不满足12m ≤，舍去；（8分） ③当2214m <+<，即1322m <<时，由'()0g x =可得212m x +=.212m x +<时，'()0g x >； 当21>2m x +时，'()<0g x ，即()g x 在21[1,)2m +上单调递增，在21(,2]2m +上单调递减，故()g x 的最大值为22212112()22m m m m m g e e+-+==， ∴2312=2m e e ，即2314m e -=，所以，3ln 22m =-. Q 0<ln21<,∴133<ln 2<222-,∴3ln 22m =-，符合条件1322m <<. 综上可知，3ln 22m =-.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为2224=0x y mx +--，即222()+4x m y m -+=，由点M 在曲线C 的内部可得222(2)2<+4m m -+，解之得1m >，即实数m 的取值范围是(1,+)∞.（5分）（2）直线l 的极坐标方程为=θα，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得24cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为12,ρρ，则1212+=4cos ,=4ρραρρ-. 则直线l 与曲线C截得的弦长为12|ρρ-， 即直线l 与曲线C截得的弦长的取值范围是.（10分）23．【解析】（1）由(1)1f =可得|1|11m -+=，故1m =.由()2f x <可得|1|||<2x x -+.①当0x <时，不等式可变为(1)2x x --<，解之得12x >-,∴1<<02x -； ②当01x ≤≤时，不等式可变为(1)2x x -+<，即12<,∴01x ≤≤； ③当1x >时，不等式可变为(1)2x x -+<，解之得32x <,∴31<2x <. 综上可知，原不等式的解集为13(,)22-.（5分） （2）由绝对值不等式的性质可得()|||||()|||f x x m x x m x m =-+--=≥， 当且仅当()0x m x -≤时等号成立，故()f x 的最小值为||m .故只需2||m m ≥，即||(||1)0m m -≤，故||1m ≤，即11m -≤≤，即实数m 的取值范围是[1,1]-.（10分）。
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟考试卷(五)数学(理)试题 Word版含解析
2020届模拟05理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设全集U =R ，集合{}{}0,1A x x B x x =>=>，则U A C B ⋂=（ ）A. {}01x x ≤<B. {}01x x <≤C. {}0x x <D. {}1x x >【答案】B【解析】【分析】求出U C B 后可求U A C B ⋂.【详解】{}|1U C B x x =≤，故{}|01U A C B x x ⋂=<≤.故选：B.【点睛】本题考查集合的运算（交集和补集），此类属于基础题.2.若复数z 满足i 1i z z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】 先由i 1iz z =-，解得z ，再求z ，然后用几何意义判断. 【详解】因为i 1i z z =-， 所以i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--， 所以1i 22z =--，所以z 对应的点在第三象限..故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.3.已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin ,cos ,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A. b a c << B. c b a <<C. b c a <<D. a b c <<【答案】A【解析】【分析】根据函数1()n f x mx +=是幂函数，得到1m =，再由1()n f x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，得到2n =，然后用函数的单调性判断.【详解】因为函数1()n f x mx +=是幂函数，所以1m = ，所以1()n f x x +=，又因为1()n f x x +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以2n =，即3()f x x =， 因为222cos sin tan 777πππ<<， 又()f x 为增函数，所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<，则双曲线的离心率的范围为（ ）A.B. (1,2)C. )+∞D. (2,)+∞【答案】A【解析】【分析】 根据120CA CA ⋅<，所以12ACA ∠为钝角，有a b >求解. 【详解】根据题意，120CA CA ⋅<， 所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a >∴<∴<<. 故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.5.已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为（ ） A. 15 B. 25 C. 325 D. 425【答案】C【解析】【分析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝，B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝，先明确是条件概率类型，求(),()P A P AB ，再代入公式求解.【详解】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140+====C C C C C C C C C C P A P AB x C C C ， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.已知向量213(,cos ),(2cos ,sin )(0)22a x b x x ωωωω==+>，函数()f x a b =⋅在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π=（ ） A. 2B. 74C. 54D. 1【答案】D【解析】【分析】 由213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>，利用数量积运算得到()f x 15sin(2)264x πω=++，再根据函数()f x a b =⋅在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，求得周期，确定函数再求值. 【详解】因为213(,cos ),(2cos ,sin )(0)2a x b x x ωωωω==+>，所以21()(2cos )sin 2ωωω=⋅=++f x x x x a b 211cos 22x x ωω=+，1cos2124x x ωω+=+511(cos22)422x x ωω=+15sin(2)264x πω=++， 因为函数()f x a b =⋅在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π， 所以T π=，22ππω∴=，1ω∴=， 即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量，数量积运算及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.7.如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i =（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】 根据循环结构，从1i =开始，一一验证，直至5>=S n 时，对应的值.【详解】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<，2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<，3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<，4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<，10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=，11=i ，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<，12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=.所以输出的12.i =故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力，属于基础题.8.设M 是ABCD 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=（ ）A. 6B. 16C. 24D. 48 【答案】B【解析】【分析】 根据APBD ⊥，有AM 在向量AP 的射影为AP ，根据向量加、减法运算，将(3)()++-⋅-OB OC OD OA OP OA 转化求解.【详解】因为AP BD ⊥，所以AM 在向量AP 的射影为AP ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的加法，减法运算及向量的投影，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 9.设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ）A. [2,13]B. [4,13]C. [4,13]D. [2,13]【答案】A【解析】【分析】根据约束条件，作出可行域，目标函数表示表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离的平方，然后用数形结合求解. 【详解】由约束条件02346x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =，联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max t DC =过(1,1)D -作DH AB ⊥于H ，则min t DH ===， 所以[2,13]z ∈.故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +==，012123164n n n n n n a C a C a C a C +++++=，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为（ ） A. 160-B. 80-C. 80D. 160 【答案】D【解析】【分析】根据13n n a a +=，得数列{}n a 等比数列，求得13-=n n a ，再由012123164n n n n n n a C a C a C a C +++++=，确定n ，得到21(1)(2)n x x x--为61(1)(2)x x x -- ，然后利用通项公式求解.【详解】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13-=n n a ，所以01200112212313333(13)464,+++++=++++=+==n n n n n n n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C ，解得3n =所以21(1)(2)n x x x --61(1)(2)=--x x x， 其中61(2)x x -展开式的第r+1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r r r T C x C x x---+=-=-⋅⋅⋅， 令621r -=-，得72r =（舍去）， 令620r -=，得3r = 可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=． 故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为（ ）A. 154πB. 174πC. 194πD. 214π 【答案】B【解析】 【分析】 3体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求.3旋转得到的几何体是两个同底的圆台， 上底半径为323，高为32 ， 所以旋转得到的几何体的体积为22221333212[()(3)()(3)]3224πππππ⨯⨯+⨯=，内部的六边形边长为1旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥，3123，高为1， 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332(132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π. 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.12.已知函数1,0()ln ,0x x f x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A. 1(0,)e B. 1(0,)2e C. 1(,)2e -∞ D. 11(,)2e e 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x =的零点问题，用数形结合的方法研究.【详解】当0x <时，()21f x k x x==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x=有一个零点， 当0x >时，()2ln f x x k x x ==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x在上单调递增，当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x在)+∞上单调递减，所以当x =()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e ， 故选：B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13.已知抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，若焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，则FP =________.【答案】6【解析】【分析】根据Q ,F P 间的对称关系，结合点P 在y 轴上，求得点Q 的横坐标，再利用抛物线的定义求解.【详解】设(),Q m n ,()2,0F 因为Q 为FP 的中点，且点P 在y 轴上，所以Q 的横坐标为1m =， 由抛物线的定义得，22(12)6==+=FP QF .故答案为：6【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.14.南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++，其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32nb aS a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++=__________.【答案】1(1)(21)6n n n ++ 【解析】 【分析】根据题意，在22()32n b aS a b ab -=+++中，令1,a b n ==，即可得到结论. 【详解】根据题意，令1,a b n ==，22221(1)1(1)1232(21)6n n S n n n n n n -=++++==++++.故答案为：1(1)(21)6n n n ++ 【点睛】本题主要考查了类比推理，还考查了抽象概括问题的能力，属于基础题. 15.某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为__.3【解析】 【分析】根据三视图，得到这个几何体为一个放倒的四棱锥，画出直观图，根据三视图，正视图为底面，高为俯视图的高，由体积求得高，得到俯视图的边长即可. 【详解】由三视图可知，几何体为一个四棱锥， 直观图如下，设四棱锥的高为h ， 几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=， 即点E 到平面ABCD 的距离为3， 又因为俯视图三角形底边长为2， 所以俯视图的面积为=⨯⨯=12332s故答案为：3【点睛】本题主要考查了三视图与直观图，还考查了数形结合的思想和空间想象的能力，属于中档题.16.在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且4,6AB AC ==，若ABC 的面积不小于63，则BECF的最小值为_____. 【答案】91 【解析】 【分析】根据题意，在ABE △，ACF 中，利用余弦定理分别求得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，建立BECF模型，然后根据ABC 的面积不小于63，确定cos A 的范围，再利用函数求最值.【详解】根据题意，如图所示：因为点,E F 分别为,AC AB 的中点， 所以3,2AE AF ==，在ABE △中，由余弦定理得，2224324cos 2524cos BE A A =+-=-，在ACF 中，由余弦定理得，2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，所以BECF =又因为ABC ∆的面积不少于6，所以1sin 12sin 2△≥=⋅=ABC S AB AC A A所以11sin [,]22∈-A A 当cos A 取最大时，BECF【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知数列{}n a 的前n 项和记为n T ，121(1)n n a T n +=+≥，11a =；等差数列{}n b 中，且{}n b 的前n 项和为n S ，1333,27b a S =+=. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.【答案】（1）13,3n n n a b n -== （2）1nn + 【解析】 分析】（1）由121(1)n n a T n +=+≥，得到121(2),≥-=+n n a T n 然后两式相减得13(2)n n a a n +=≥ 从而得到数列{}n a 是等比数列，再分别求{}n a 与{}n b 的通项公式.（2）根据（1）得到()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++，再用裂项相消法求和.【详解】（1）121(1)≥+=+n n a T n ， 121(2),≥-∴=+n n a T n 12(2),≥+∴-=n n n a a a n 13(2)n n a a n +∴=≥又11a =，2213,3aa a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=.设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=， 3n b n ∴=.（2）由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++所以前n 项和11111(1)()()22311n n A n n n =-+-++-=++. 【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和之间的关系以及裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人. （1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：在犯错误的概率不超过多少的前提下，可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）在犯错误的概率不超 2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（2）见解析，133【解析】 【分析】（1）根据列联表，利用公式求得卡方值，对应卡值下结论.（2）根据题意，分四种情况，一是猜2次，2人全是“梅派”传人”，二猜3次是第3次是“梅派”传人，三是猜4次，第4次是“梅派”传人，四是猜5次，分两类，一类是第5次是“梅派”传人，第二类是第5次不是“梅派”传人，分别用古典概型求得概率，列出分布列，求期望.【详解】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系. （2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.22261(2) 15A P X A ===，112242362(3) 15C C A P X A ===， 123243461(4) 5===C C A P X A ， 13411452441245563(5) 5+===C C A C C C A P X A ， ∴随机变量X 的分布列为：X2 3 4 5P115 215 15 35∴随机变量X 的期望为：12131323451515553=⨯+⨯+⨯+⨯=EX. 【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.19.在如图（1）梯形ABCD 中，9,10,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =.（1）证明：//CF 平面BDM ；（2）求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（230【解析】 【分析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，由:1:2DC EB =，得到:2:1EN CN =，2,=EM MF 由比例关系得到//MN CF ，再由线面平行的判定定理证明.（2）根据由EA EB EF +=，得四边形AFBE 为平行四边形，由6AF BE ==，3EAF π∠=，得AE EF ⊥，再由,,⊥⊥DE EB DE EA ，得DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥，从而EF ⊥平面ADE ，以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，分别求得平面BMD 和平面AED 得一个法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）如图所示：连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =2,:2:1EM MF EM MF =∴=，∴//MN CF ，又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .（2）证明：由EA EB EF +=， 得四边形AFBE 为平行四边形， 所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥， 又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =，EF ∴⊥平面ADE以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M -， 所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM =-=- 设平面BMD 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以(,,)(3,33,1)0,(,,)(3,3,0)0n BD x y z n BM x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩ 3330330x y z x y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩ 令3y =(1,3,6)=n ，又平面AED 得一个法向量为(0,1,0)m =， 所以330cos ,210⋅<>===⋅n mn m n m又平面BMD 与平面AED 所成的二面角显然为锐角， 所以平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值3020. 【点睛】本题主要考查了线面平行和空间中二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证，空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M 为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线2a x c=与x轴的交点为S ，过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长，交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）因为12MF MF ⋅的最大值为4，根据椭圆的定义，利用基本不等式求得a ，再根据直线,MA MB 的斜率之积为34-，有000022222002222200(1)x b yy y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，求得b ，写出椭圆方程.（2）由条件知(4,0)S ，设直线l 的方程4x ky =+，与椭圆方程联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y .由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++.，设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+， 所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90++++-=ky ky y y y y ，因为要证22'P F PF =.根据椭圆的对称性，只要证得点P 与 P '关于x 轴对称， 即01x x =01=-y y . 【详解】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-， 故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）根据题意，(4,0)S ，所以设直线l 的方程4x ky =+，联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，222(24)436(34)144(4)0k k k ∆=-⨯+=->，即24k >.设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++. 设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+，所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90++++-=ky ky y y y y ， 所以2022229,(3)34-=++y y ky y 所以2022222229927(34)1827(34)18--==++++++y y k y ky k y k y111936211827()3-==-++--y k k y y .所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -， 所以22'P F PF =.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.21.已知函数()m xf x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.（1）若函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，若2M N >，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）a <2）(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞【解析】 【分析】（1）根据()m xf x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.有'(1)1,f =-(1)1,f =求得函数()f x .然后将函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，转化为()0f x '≤存在取值区间求解；（2）根据2(1)1()xx t x G x e +-+=，求导()(1)'()x x t x G x e ---=，根据[0,1]x ∈，分①当1t ≥时，②当0t ≤时，③当01t <<时，三种情况讨论值域，然后再分别研究2M N >成立，确定实数t 范围.【详解】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=， 又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=. （1）由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，若函数()f x 存在单调减区间， 则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a ≤当a =1()(sin cos )x f x e x x -'=-+当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+<，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭.当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+=，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭24x k ππ=+.当1()(sin cos )0x f x e x x -'=-+>，则sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭x ∈R 且24x k ππ≠+所以a =.故a <（2）因为2(1)1()xx t x G x e +-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---=①当1t ≥时，()0'≤G x ，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <， 所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32et >-； ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增， 所以2(0)(1)G G <，即32te-<，得32t e <-，③当01t <<时，[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减，(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增，所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t te e+-⋅<*.令1()t t p t e +=，(0,1)t ∈，则()0t t p t e -'=<，所以1()t t p t e+=在(0,1)t ∈上单调递减， 故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式（*）无解， 综上所述，(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数与函数的极值，最值问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22.已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P 的极坐标)2π.（1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值. 【答案】（1）4πρ=，2cos sin 60ρθθ--+=.（2）【解析】 【分析】（1）根据cos ,sin ,x y ρθρθ== 分别求解直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程.（2）由直线'l 的极坐标方程和曲线C 的极坐标方程联立得2660ρρ-+=，再求弦长12AB ρρ=-P 到直线'l 的距离d ，代入面积公式求解.【详解】（1）因为直线'l 的普通方程为0x y -=，所以直线'l 的极坐标方程4πθ=，因为曲线C的普通方程22((4x y +-=，所以曲线C的极坐标方程2cos sin 60ρθθ--+=. （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-= 点P 到直线'l 的距离d为34π=，所以132PABS=⨯=. 【点睛】本题主要考查了普通方程，极坐标方程，参数方程间的转化，以及直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23.已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值. 【答案】（1）(3,2)(3,4)--.（2）92【解析】 【分析】（1）根据题意，利用绝对值的几何意义，转化函数22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，再分类讨论解不等式.（2）由()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，再根据0,0a b >>，()f x 的最小值为a b c ++，即2a b c ++=，然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）根据题意，22,2()1236,1242,1x x f x x x x x x +≥⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪-≤-⎩，因为8()10f x <<所以210228x x ≥⎧⎨>+>⎩或110428x x ≤-⎧⎨>->⎩，解得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--.（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立， 又0,0a b >>，所以a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++， 所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c abcabcabcabc++=++++=+++++++++=≥.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法，基本不等式的应用，还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
安徽省六安市第一中学2020届高三第二学期高考模拟考试题七 数学(理)【含解析】
安徽省六安市第一中学2020届高三第二学期高考模拟考试题七 数学（理）【含解析】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|20}M x x =-<，2{|4N y Z y x =∈=-+，}x R ∈，则()M N R 的子集有（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 16个【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合M ，N ，从而求出RM ，进而求出()M N R ，由此能求出()M N R 的子集个数．【详解】解：集合{|20}{|2}M x x x x =-<=<，2{|4N y Z y x =∈=-+，}{|4}x R y Z y ∈=∈， {|2}R M x x ∴=，则(){}2,3,4M N =R ， ()M N ∴R 共有328=个子集．故选：C ．【点睛】本题考查补集、交集的子集个数的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2.已知i 是虚数单位，则20171i 1()1i i++=- （ ） A. 0 B. 1 C. i D. 2i【答案】A 【解析】由题意可得：201720171101i i i i i i i+⎛⎫+=-=-= ⎪-⎝⎭. 本题选择A 选项.3.已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的左、右焦点分别为12,F F，点P在双曲线的右支上，若12PF PF b-=，且双曲线的焦距为25，则该双曲线方程为（）A.2214xy-= B.22132x y-= C.2214yx-= D.22123x y-=【答案】C【解析】由题意可得：122222{225PF PF a bc a bc-===+=，解得：221{4ab==，则该双曲线方程为2214yx-=.本题选择C选项.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 2πB. 4πC. 2+4π D. 3+4π【答案】D【解析】由题意可得，该几何体是半圆柱，其中底面半径为1R=，圆柱的高为2h=，该几何体的表面积为：21222121342Sπππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯=+ .本题选择D选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．5.2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（）A. 6种B. 24种C. 36种D. 42种【答案】B 【解析】 【分析】小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛，即前两个频道没转播，第三个在转播的情况，采用分步原理再排列问题得以解决．【详解】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，再把2个报道的频道选1个有12A 种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有214224A A =种． 故选：B ．【点睛】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最最基本的指导思想，属于中档题． 6.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足259,,a a a 成等比数列，则5775S S =（ ） A.57B.79C.1011D.1123【答案】C 【解析】 【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差的关系，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值． 【详解】解：设{}n a 的公差为d ，且0d ≠， 因2a ，5a ，9a 成等比数列，可得2529a a a =，即2111(4)()(8)a d a d a d +=++， 整理可得18a d =，故1553741775()7821025583117()2a a S a d d S a d d a a ⨯++====+⨯+． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.要得到函数()cos(2)+13f x x π=-的图象，只需把22cos y x =的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向上平移1个单位 D. 向上平移2个单位【答案】B 【解析】由题意可得：22cos cos 21cos 2163y x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 据此可知：要得到函数()cos 2+13f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把22cos y x =的图象向右平移6π个单位.本题选择B 选项.点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R )的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 8.运行如图所示的程序，输出的结果为（ ）A. 12B. 10C. 9D. 8【答案】D 【解析】列表得出S ，k 的值如下： S 0 1 4 13 40 121 364 1093 3280 k 13927812437292187 6561据此可得：输出值为：833log 6561log 38== .本题选择D 选项.9.已知某函数在[,]-ππ上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A. sin 2xy =B. cos ||y x x =+C. ln |cos |y x =D. sin y x x =+【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及特殊值，用排除法直接求解．【详解】解：易知，选项B ，C 均为偶函数，其图象应关于y 轴对称，不符合题意，故排除BC ； 又由图可知，当0x =时，函数值大于0，而选项D ，当0x =时，sin0|0|0y =+=，故排除D ． 故选：A ．【点睛】本题考查由函数图象确定解析式，考查排除法的运用，属于基础题．10.若不等式组40300px qy px qy qx y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩表示的平面区域为Ω，当点(1,2)-在Ω内(包括边界)时，64p q +的最大值和最小值之和为（ ） A. 52- B. 22-C. 38D. 26【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：当点(1,2)-在Ω内时，有24023020p q p q q -+-≤⎧⎪--+≥⎨⎪--≤⎩，即24023020p q p q q -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，画出不等式组表示的平面区域如图所示.其中点17,24A ⎛⎫-⎪⎝⎭，(8,2)B --，(7,2)C -，则6+4p q 在点B 处取得最小值56-，在点C 处取得最大值34，故最大值与最小值之和为22-. 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 11.如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,62AB OD AD ===，异面直线CD 与AB 所成角为30，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为 （ ）A. 32B. 221 42【答案】C 【解析】由条件可知AB OD ∥ ，所以，CDO ∠ 为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠= ，而6OD =，故tan 3023OC OD =⋅=，在直角梯形ABOD 中，易得6OB = ，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由()(22222236684R =++= ，故21R =本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：01x ≤≤时，()33f x x x =-+，且()()11f x f x -=+，若方程()()log1+1(0,1)a f x x a a =+>≠恰好有12个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A. (5，6) B. (6，8)C. (7，8)D. (10，12)【答案】B 【解析】01x ≤≤ 时，33f xx x ， ()()2'310f x x ∴=--≥ ,故()f x 在[0,1]上单调递增，且()()00,12f f == ，由()()11f x f x -=+ 可知函数()f x 是周期为2的周期函数，而函数()y f x =与()log 11a y x =++ 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在0,有6个不同交点，显然1a > ，结合图象可得()()log 5112{log 7112a a ++<++> ，即log 61{log 81a a <> ，故68a << . 本题选择B 选项.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：1(,,)()00,1[0,1]q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩当为整数为既约分数当或上的无理数，若()f x 是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则17()(lg 20)3f f +=______________.【答案】13【解析】 【分析】结合已知函数解析式及函数的周期进行转化即可求解．【详解】解：由函数的最小正周期为1可得172211(20)5(12)(2)033333f f lg f f lg f f lg ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：13． 【点睛】本题主要考查利用函数的周期性求解函数值，属于基础题．14.已知点A 在圆224x y +=上，点B 的坐标为(1,1)，点O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最大值为______________. 【答案】2 【解析】 【分析】设点A 的坐标为(,)m n ，由题意知224m n +=，利用基本不等式计算OA OB m n =+的最大值即可． 【详解】解：设点A 的坐标为(,)m n ，则224m n +=， 所以11OA OB m n m n =⨯+⨯=+； 设t m n =+，则2222224248t m n mn mn m n =++=+++=，当且仅当2m n = 所以2222t -，所以OA OB 的最大值为22 故答案为：22【点睛】本题考查了平面向量的数量积与利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 15.已知,,[4,4]a b c ∈-||||2||a b b c c a ---_________. 【答案】8 【解析】 【分析】设||,||,||x a b y b c z c a --=-，不妨设a b c ≥≥，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案.【详解】设||,||,||x a b y b c z c a --=-，不妨设a b c ≥≥， 则222,,x a b y b c z a c =-=-=-，故222x y z +=，所以， 可设cos ,sin x z y z θθ==(0)2πθ≤≤，022z ≤≤2(sin cos 2)x y z z θθ+=++[2)2](22)2222=84z z πθ=++=≤，当且仅当4,0,4a b c ===-时取等号||||2||a b b c c a ---8. 故答案为：8.【点睛】本题考查利用三角换元法及三角恒等变换中的辅助角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16.过抛物线28y x =的焦点作直线1:l y kx m =+与21:(0,1)l y x n k k k=+≠≠±，若直线1l 与抛物线交于,A B ，直线2l 与抛物线交于,C D ，且AB 的中点为,M CD 的中点为N ，则直线MN 与x 轴的交点坐标为______________. 【答案】(2,0)- 【解析】 【分析】由条件可知两条直线都过焦点(2,0)F ，则直线1:(2)l y k x =-，直线21:(2)l y x k=-，联立直线1l 与抛物线方程，利用韦达定理得到点M 的坐标为22244,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得点N 的坐标为2(42k +，4)k ，进而求出直线MN 的方程，令0y =即可得到直线MN 与x 轴的交点坐标．【详解】解：由条件可知两条直线都过焦点(2,0)F ，则直线1:(2)l y k x =-，直线21:(2)l y x k=-，由28(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 可得2222(48)40k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y 2(B x ，2)y ，则212248k x x k++=，1212128(2)(2)()4y y k x k x k x x k k +=-+-=+-=， 则点M 的坐标为22244,k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得点N 的坐标为()242,4k k +， 则直线MN 的方程为224(42)1ky k x k k -=--+，令0y =可得2x =-， 即直线MN 与x 轴的交点为(2,0)-， 故答案：(2,0)-．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+，且ABC 的面积为3（1）求bc 的值； （2）若2b c =，求a .【答案】（1）8bc =（2）27a =【解析】 【分析】（1）运用两角和的正弦公式、同角的基本关系式，化简可得sin A ，再由三角形的面积公式，可得bc 的值；（2）求得b ，c 的值，由余弦定理计算即可得到所求a 的值． 【详解】解：（1）1tan sin cos cos sin 2A B C B C -=+sin()sin B C A =+=， 即sin 2sin (sin 0)cos AA A A=->， 可得1cos 2A =-，(0)A π<<，13sin 14A ∴=-= 由ABC ∆的面积为23 可得13sin 232bc A ==解得8bc =；（2）2b c =，且8bc =， 解得4b =，2c =，则22212cos 164242()282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=， 解得27a =．【点睛】本题考查两角和的正弦公式、同角的基本关系式和正弦定理、余弦定理以及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.如图，四边形ABCD 是矩形，平面MCD ⊥平面ABCD ，且4,42MC MD CD BC ====，N 为BC 中点.（1）求证：AN MN ⊥；（2）求二面角A MN C --的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）135° 【解析】 【分析】（1）取CD 的中点O ，连接OA ，OM ，ON ，推导出MO CD ⊥，MO ⊥平面ABCD ，由此能证明AN MN ⊥．（2）以O 为原点，OM ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，CD 的垂直平分线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角A MN C --的大小． 【详解】解：（1）证明：取CD 的中点O ，连接OA ，OM ，ON ， MC MD =，O 为CD 中点，MO CD ∴⊥，又平面MCD ⊥平面BCD ，MO ⊂平面MCD ，平面MCD 平面BCD CD =，MO ∴⊥平面ABCD ，则23MO =3ON =6OA =，22224MN MO ON =+=，22224AN BN AB =+=，22248AM MO OA =+=，222MN AN AM ∴+=，AN MN ∴⊥．（2）如图，以O 为原点，,OM OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，CD 的垂直平分线所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,2,42),(0,2,0)A C -，(23,0,0),(0,2,22)M N ，∴(23,2,22)NM =--，(23,2,42)AM =-，(23,2,0)CM =-设平面AMN 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1100AM n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得111111232420232220x y z x y z ⎧+-=⎪⎨--=⎪⎩，令12z =可得1(6,2,2)n =.同理可得平面MNC 的一个法向量为2(1,3,0)n =.∴1212122cos ,2||||n n n n n n ⋅<>==⋅. 由图可知二面角A MN C --为钝角，故二面角A MN C --的大小为135︒.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：男 女 合计 喜欢吃月饼人数(单位：万人) 504090不喜欢吃月饼人数(单位：万人) 302050合计 8060140为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.（1）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？（2）若月饼消费量不低于2500克者视为“月饼超级爱好者”，若按照分层抽样的方法抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人颁发奖品，用ξ表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求ξ的分布列与期望值.【答案】（1）128.25（吨）（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1500(0.00010.00020.00030.0004)2-+++，进而得出人均消费月饼的数量及其喜欢吃月饼的人数所占比例，看作概率，即可得出该厂生产的月饼数量．（2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人．则ξ的可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出．【详解】解：（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：1500(0.00010.00020.00030.0004)=0.252-+++，则人均消费月饼数量为：7500.0002500+12500.000450017500.2522500.25⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯27500.000350032500.00015001900+⨯⨯+⨯⨯=（克），喜欢吃月饼的人数所占比例为：50+409=14014， 根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：919003000000.35=12825000014⨯⨯⨯(克)128.25=(吨). （2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人.则ξ的可能取值为0，1，2，且3122182828333101010771(0),(1),(2)151515C C C C C P P P C C C ξξξ=========， 则ξ的分布列为ξ0 1 2P715 715 115ξ的期望值为：77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、组合数的计算公式、随机变量的概率分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3，其左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，四边形1122A B A B 与四边形1122F B F B 的面积之和为423+.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，OM ON ⊥(其中O 为坐标原点)，当2528k m +取得最小值时，求MON △的面积.【答案】（1）2214x y +=（2413【解析】 【分析】（1）根据题意得222311222242322c e a c a b a b c b ⎧==⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⨯⨯+⨯⨯=+⎪⎩，解得a ，b ，c ，进而得出椭圆的方程．（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立直线l 与椭圆的方程得222(14)8440k x kmx m +++-=，由韦达定理可得12x x +，12x x ，12y y ，因为OM ON ⊥，所以12120OM ON x x y y =+=，解得22445k m +=，当2k =-时，2528k m +有最小值，再分析三角形MON 面积即可． 【详解】解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则四边形1122A B A B 与四边形1122F B F B 的面积之和 为：1122222()=4+2322b c a b b a c ⨯⨯+⨯⨯=+ 33c a =222a b c =+可得31,2c b a ==， ∴2323()3a a +2a =，则1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222(41)8440k x kmx m +++-=，设点1122(,),(,)M x y N x y ，则2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，即2241m k <+，2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， 则2212121212()()=()y y kx m kx m k x x km x x m =+++++，由OM ON ⊥可得0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，∴221212(+1)()=0kx x km x x m+++，即22222448(+1)()=04141m km k km m k k -⋅+⋅-+++， 整理可得22445k m +=，代入2241m k <+可得，该不等式恒成立.2225112(1)2(41)822k m k k k k +=++=++，当2k =-时，2528k m +取得最小值，此时224445k m +==，则||2m =，原点到直线l 的距离()2221212122|11451d MN k x x k x x x x k ===+-=++-+222228444545131()41641=41411717km m k k k -+--⋅-+++， 故MON ∆的面积为114513413||225MN d ⋅⋅=.【点睛】本题考查椭圆的方程的计算，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题． 21.已知函数212()x x mf x e--=(其中m 为常数). （1）若()y f x =在[1,4]上单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若21()()x x g x f x e -=-在[1,2]上的最大值为32e，求m 的值. 【答案】（1）[7,+)∞（2）3ln 22m =- 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性的关系可转化为()0f x '在[1,4]上恒成立，分离参数后转化为求解函数的最值问题；（2）结合导数与单调性的关系对m 进行分类讨论，进而可求函数的最大值，结合已知最值即可求解．【详解】解：（1）由212()x x mf x e--=可得21212122122(2)422'()=()x x x x e e x m x m f x e e -------++=， 由()y f x =在[1,4]上单调递增可得'()0f x ≥在[1,4]上恒成立， 即214220x x m e --++≥，∴21x m +≤，[1,4]x ∈，2[2,8]x ∴∈故只需81m +≤，∴7m ≥，即实数m 的取值范围是[7,+)∞.（2）212121212()()==x x x x xx m x x mg x f x e e e e------=--，∴2121212212()221'()()x x x x e e x m x m g x e e -------++==. ①当214m +≥，即32m ≥时，'()0g x >在(1,2)上恒成立，故()g x 在(1,2)上单调递增， 则()g x 在[1,2]上的最大值为3322(2)=m g e e -=，故0m =，不满足32m ≥； ②当212m +≤，即12m ≤时，)'(0g x <在(1,2)上恒成立，故()g x 在(1,2)上单调递减，则()g x 在[]1,2上的最大值为312(1)=m g e e -=，故221m e=-，不满足12m ≤，舍去； ③当2214m <+<，即1322m <<时，由'()0g x =可得212m x +=.212m x +<时，'()0g x >；当212m x +>时，)'(0g x <，即()g x 在211,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在21,22m +⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故()g x 的最大值为2221211222m m m mm g e e +-+⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴2312=2m e e ，即2314m e -=，所以，3ln 22m =-. 0<ln 21<，∴133<ln 2<222-，∴3ln 22m =-，符合条件1322m <<.综上可知，3ln 22m =-.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及最值，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题． 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 4=0m ρρθ--(其中0m >).（1）点M 的直角坐标为(2,2)，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，当α变化时，求直线被曲线C 截得的弦长的取值范围. 【答案】（1）(1,+)∞；（2）[4,42] 【解析】 试题分析：(1)利用题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得实数m 的取值范围是1, ；(2)由题意结合极坐标方程可得212||=16cos 16[4,42]ρρα-+ . 试题解析：（1）曲线C 的极坐标方程对应的直角坐标方程为2224=0x y mx +--， 即()222+4x m y m -+=，由点M 在曲线C 的内部可得()22222<+4m m -+，解之得1m >， 即实数m 的取值范围是(1,+)∞.（2）直线l 的极坐标方程为=θα，代入曲线C 的极坐标方程并整理可得24cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为12,ρρ，则1212+=4cos ,=4ρραρρ-.则直线l 与曲线C 截得的弦长为22121212||=(+)416cos 16[4,42]ρρρρρρα--=+，,即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是2]. 23.选修4—5不等式选讲已知函数()||||()f x x m x m =-+∈R . （1）若(1)1f =，解关于x 的不等式()2f x ；（2）若2()f x m ≥对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13(,)22-；（2）[1,1]- 【解析】 试题分析：(1)由题意可得1m = ，零点分段可得不等式的解集为13(,)22- ；(2)由题意结合不等式的性质可得实数m 的不等式，求解不等式可得实数m 的取值范围是[]1,1-. 试题解析：（1）由()11f =可得111m -+=，故1m =. 由()2f x <可得1<2x x -+.①当0x <时，不等式可变为(1)2x x --<，解之得12x >-,∴ 1<<02x -； ②当01x ≤≤时，不等式可变为()12x x -+<，即12<,∴ 01x ≤≤； ③当1x >时，不等式可变为()12x x -+<，解之得32x <,∴ 31<2x <. 综上可知，原不等式的解集为13(,)22-. （2）由绝对值不等式的性质可得()()f x x m x x m x m =-+≥--=， 当且仅当()0x m x -≤时等号成立，故()f x 的最小值为m . 故只需2m m ≥，即()10m m -≤，故1m ≤，即11m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,1-.。
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(八)数学(理)(含答案)
2020届模拟08 理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合2{|23},{|0}A x y x x B x x ==-++=≥，则A B =I （ ） A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[0,3]D ．[1,3]2．已知i 是虚数单位，则233i ()i 1i--=+ （ ） A ．32i --B ．33i --C ．24i -+D ．22i --3．等差数列{}n a 满足：810+>0a a ，若{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则下列结论不正确的是 （ ） A ．0d >B ．90a >C ．170S >D ．6120a a +>4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为12，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆的方程为（ ）A ．22142x y +=B ．22184x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于 3.14的不同数字有（ ）A ．2280B ．2120C ．1440D ．7206．运行如图所示的程序，输出的结果为（ ） A ．8B ．6C ．5D ．47．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．6πB ．8πC ．66π+D ．8+4π8．已知直线l 1:1y x =+与l 2:y x m =+之间的距离为2，则直线l 2被圆22:(1)8C x y ++=截得的弦长为 （ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．已知实数,x y 满足不等式组10201x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，且目标函数3z x y =-的最小值为m ，最大值为n ，则3251d nm x x -=⎰（ ） A ．15B ．45C ．53D ．4310．在边长为1的正ABC △中，点D 在边BC 上，点E 是AC 中点，若3=16AD BE ⋅u u u r u u u r -，则BDBC=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．7811．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()f m x f m x x +=-∈R ，且1x ≥时，2()2x n f x -+=，图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）A ．()()f m f n <B ．2()()()f m f n f n >-+C ．()()f n m f n -<D ．()()f m n f n +>12．已知函数2()3sin cos 4cos f x x x x ωωω=-(0)ω>的最小正周期为π，且1()2f θ=，则()()24f f ππθθ++-= （ ）A ．52-B ．92-C ．112-D ．132-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是11C D 的中点，则1A M 与AB 所成角的正切值为 .14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ，则ma= . 15．已知函数ln (0)()ln()(0)xx f x x x >⎧=⎨--<⎩，若()(2)f a f b =(0,0)a b ><，且224a b +的最小值为m ，则22log ()m ab +-= .16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =且11n n S n a +++=(*)n ∈N ，数列{}1n na +的前n 项和为n T ，不等式1917321n n T m a ++-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知ABC △的三个内角所对的边分别为,,a b c ，若sin 3sin B A =. （1）若3B π=，求a c； （2）若ABC △的面积为21sin 5c B ，求cos B 的值.18．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB =，且AB PC ⊥. （1）求证：CA CB =；（2）若2,11PA PB AB PC ====，求二面角A PC B --的余弦值.19．（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.（1）若甲公司计划从这10次竞价中随机抽取3次竞价进行调研，其中每小时点击次数超过7次的竞价抽取次数记为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x ，每小时点击次数为y ，则点(,)x y 近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y 关于x 的回归直线$$y bxa =+$.（附：回归方程系数公式：1221ni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑$,$ay bx =-$）.20．（12分）如图，直线:210l x y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,P Q ，点B 与点A 关于x 轴对称，连接,QB BP 并延长分别与x 轴交于点,M N . （1）若||43PQ =，求抛物线C 的方程； （2）若直线,BN BM 的斜率分别为12,k k . ①求证：12k k +为定值； ②若23||MN =，求12||k k -.21．（12分）已知函数2()ln(1)(1)()f x x a x a =+++∈R .（1）若()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值；（2）当0a ≤或18a ≥时，试讨论方程()+2f x x =实数根的个数.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2(53cos2)8ρθ-=，直线l 的参数方程为22x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）. （1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()|1|2f x x x =-+.（1）关于x 的不等式()2f x <的解集为M ，且(,12)m m M -⊆，求实数m 的取值范围； （2）求()()2|2|g x f x x x =-+-的最小值，及对应的x 的取值范围.2020届模拟08理科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】由2230x x -++≥可得[1,3]A =-,所以[0,3]A B =I . 2．【答案】B 【解析】23223i (1i)(3i)()i []i (12i)i 33i 1i 2----=+=-+=--+. 3．【答案】A 【解析】由等差数列的性质可知810961220a a a a a +==+>，1178101717()17()022a a a a S ++==>，即B,C,D 都正确，故错误的只有A.4．【答案】D 【解析】设椭圆的焦距为2c ，由条件可得12c a =，故2a c =，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得2()4a c -=，即2a c -=，所以，4,2a c ==，故22212b a c =-=，故该椭圆的方程为2211612x y +=. 5．【答案】A 【解析】由于1,4,1,5,9,2,6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有7722A A ，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有552A ，故得到的数字大于3.14的不同情况有75752222280A A A -=.6．【答案】D 【解析】所给程序的运行过程如下：b =1,a =3;b =2,a =7;b =3,a =15;b =4,a =31，不满足30a ＜，输出b 的值为4.7．【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的34，故表面积为23(2123)213664πππ⨯+⨯+⨯⨯=+. 8．【答案】A 【解析】由条件可知，直线1l 过圆心:(1,0)C -，则圆心C 到直线l 2的距离等于直线1l 与l 2之间的距离2，故直线l 2被圆C 截得的弦长为2844-=. 9．【答案】B且点12(,),(1,2),(1,2)33A B C --，易得目标函数3z x y =-在点C 处取得最大值5，在点A 处取得最小值53-，故553122151114d d ()|5n m x x x x x -==-=⎰⎰. 10．【答案】C 【解析】设,AB AC ==u u u r u u u ra b ,BD BC λ=u u u r u u u r ，则()(1)AD AB BD λλλ=+=+-=-+u u u r u u u r u u u ra b a a b ,12BE AE AB =-=-u u u r u u u r u u u r b a ,则22111=[(1)]()=(13)(1)222AD BE λλλλλ⋅-+⋅--⋅+-+u u u r u u u r a b b a a b a b1133=(13)(1)=(1)=42416λλλλ-+-+--，故3=4λ，即3=4BD BC . 11．【答案】B 【解析】由条件可知，()f x 的图象关于直线1x =对称，结合()()()f m x f m x x +=-∈R 可得1m =，而(1)1f =，即221n -+=，解之得2n =，并且由图象可知，当1x >时，()f x 单调递减，则(1)f 为最大值，故2()()()f m f n f n >-+，即B 正确.12．【答案】D 【解析】235()3sin cos 4cos =sin 22cos22sin(2)222f x x x x x x x ωωωωωωϕ=---=--，其中43sin ,cos 55ϕϕ==，由1()2f θ=可得sin(2)1ωθϕ-=，即()f x 关于x θ=对称，而2x πθ=+与x θ=的距离为12个周期，故sin[2()]12πωθϕ+-=-，所以，59()2222f πθ+=--=-，同理，由4x πθ=-与x θ=的距离为14个周期可得sin[2()]04πωθϕ--=，所以，()24f πθ-=-，所以，13()()242f f ππθθ++-=-.13．【答案】2【解析】11MA B ∠即为1A M 与AB 所成角，取11AB 中点N ，连接M N ，则11MN A B ⊥，则111tan 2MNMA B A N∠==. 14．【答案】6【解析】设双曲线的焦距为2c ，则2c a=，即2c a =，则3b a ，把2x c a ==代入双曲线可得2b y a =±，故22b m a =，所以，2226m ba a==.15．【答案】3【解析】由()(2)f a f b =(0,0)a b ><可得ln ln(2)a b =--，即21ab -=， ∴12ab =-，则2242|2|4||2a b a b ab +⋅==≥，当且仅当122ab a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩时，224a b +取得最小值2，故22212log ()2log 32m ab +=+=.16．【答案】(,2]-∞【解析】当1n =时，由122S a +=及11a =可得23a =，由11n n S n a +++=①可得2n ≥时,1n n S n a -+= ②，由①－② 可得11n n n a a a ++=-，即121n n a a +=+，所以，112(1)n n a a ++=+，即{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故12n n a +=， 则12n n n na =+，则231232222n n n T =++++L ③，所以，2341112322222n n n T +=++++L④由-③④可得2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=--L ，所以，222nn n T +=-，由1917321n n T m a ++-+≥得191323222n n m +-+-≥，设113222n n n A +-=+，则122152n n n n A A ++--=，易得{}n A 在7n ≤时递减，在8n ≥时递增，且7889132,222A A =-=-，故{}n A 的最小值为89322A =-，故9933222m --≥，故2m ≤.17．【解析】（1）由sin 3sin B A =及正弦定理可得3b a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得2229a a c ac =+-，解之得331a c -=（舍去负值）.（6分）（2）由ABC △的面积为21sin 5c B 可得211sin sin 25ab C c B =，由正弦定理可得21125abc c b =，∴52c a =，由余弦定理可得22222225974cos =522022a a a a cb B a ac a +-+-==-⨯.（12分）18．【解析】（1）取AB 的中点O ，连接,PO PC . Q PA PB =,∴PO AB ⊥, Q ,,,AB PC PC PO P PC PO ⊥=⊂I 平面POC ,∴AB ⊥平面POC ，又Q OC ⊂平面POC ,∴AB OC ⊥，而O 是AB 的中点，∴CA CB =.（6分） （2）Q 平面PAB ⊥平面ABC ,PO ⊂平面PAB ， 平面PAB I 平面ABC AB =,∴PO ⊥平面ABC ， 再由（1）可知,,PO AB CO 三条直线两两垂直.以,,OA OC OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由条件可得3PO 2222OC PC PO -则(1,0,0),3),(0,22,0),(1,0,0)A P C B -， ∴(0,22,3)PC =-u u u r ,(1,22,0)AC =-u u u r ,(1,22,0)BC =u u u r.设平面PAC 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，由1100PC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 可得 11112230220y z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令13y =，则1(62,3,26)=n . 同理可得平面PBC 的一个法向量为2(62,3,26)=-n ，则12121213cos ,||||357292472924⋅<>==-⋅++⋅++n n n n n n .由图易知，二面角A PC B --为锐角，∴二面角A PC B --的余弦值为1335.（12分） 19．【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7， 由条件可知，X 的取值可能为0,1,2,3，且31221373737333331010101072171(0),(1),(2),(3)244040120C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============，所以，X 的分布列为X0 1 2 3 P72421407401120X 的数学期望为7217101230.9244040120EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（6分） （2）根据折线图可得数据如下：点击次数y 2 4 6 8 7 点击价格x12345则3, 5.4x y ==，则5152215ˆ1.4, 1.2i ii ii x yx y baxnx==-===-∑∑$， ∴所求回归直线方程为：$ 1.4 1.2y x =+.（12分）20．【解析】（1）由22102x y x py⎧++=⎪⎨=⎪⎩可得22220x p ++=，设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则2=(22)80p ∆->，即1p >.121222,2x x p x x p +=-=，故2121212||12|3()4PQ x x x x x x =+-+-22=38826()p p p p --. 由26()=43p p -2p =（舍去负值），∴抛物线C 的方程为24x y =.（5分） （2）①由条件可得21221111212111111122==222x y x p x x x x x p k x x px px p -----===. 22222221221222221122==222x y x p x x x x x p k x x px px p -----===, ∴120k k +=（定值）.（8分）②直线BN 的方程为：11y k x =+，直线BM 的方程为：21y k x =+，则1211(,0),(,0)N M k k --，则1211211||23||||||k k MN k k k k -=-=， 由120k k +=可得12k k =-,∴121|2|23||k k ， ∴1||3k =∴2||3k 120k k <,∴12||23k k -=.（12分）21．【解析】（1）Q 2()ln(1)(1)f x x a x =+++,∴1'()2(1)(1)1f x a x x x =++>-+， 由条件可得1'(1)402f a =+=，解之得18a =-，∴21()ln(1)(1)8f x x x =+-+,11(1)(3)'()(1)(1)144(1)x x f x x x x x --+=-+=>-++， 令'()0f x =可得1x =或3x =-（舍去）.当11x -<<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <. 即()f x 在(1,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 故()f x 有极大值1(1)ln 22f =-，无极小值；（4分） （2）设2()ln(1)(1)2g x x a x x =+++--，则212(41)2'()2(1)111ax a x ag x a x x x +-+=++-=++(1)x >-. ①当0a =时，'()1xg x x =-+，当10x -<<时，'()0g x >，当0x >时，'()0g x <， 故()g x 有极大值(0)2<0g =-，此时，方程()2f x x =+没有实数根； ②当0a <时，由'()0g x =可得22(41)2=0ax a x a +-+ (*)由22=(41)16180a a a ∆--=->可知，(*)有两个实数根，不妨设为1212,()x x x x <, 则121212221x x a x x ⎧+=-<-⎪⎨⎪=⎩，则必有121,10x x <--<<，且当21x x -<<时'()0g x >，当2x x >时，'()<0g x ， 即()g x 在2(1,)x -上单调递增，在2(,)x +∞上单调递减，故()g x 有极大值22222()ln(1)(1)200120g x x a x x =+++--<++-<，∴方程()2f x x =+没有实数根.（8分）③当18a ≥时，=180a ∆-≤,'()0g x ≥，即()g x 在(1,)-+∞上单调递增,(1)112g a a a a a =+-=Q 18a ≥,∴22a ≤， 设()ln x x x ϕ=-，易得()x ϕ在(0,1)上递减，且(1)10ϕ=-<，故(1)<0g a. 当0x >时，2()(1)2=[((1)](1)1g x a x x ax a x >+--+-+-， 222()(21)(1)120g a a a a a>+-+-=++>， 即2(1)()<0g g a a-⋅,∴方程()2f x x =+有1个实数根.综上可知，当0a ≤时，方程()2f x x =+没有实数根， 当18a ≥时，方程()2f x x =+有1个实数根.（12分）22．【解析】（1）方程2(53cos2)8ρθ-=可化为22[53(2cos 1)]8ρθ--=，即22243cos 4ρρθ-=，把222cos x yxρρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入可得2224()34x y x +-=，整理可得2214x y +=.（5分）（2）把22x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入2214x y +=可得22522280t mt m -+-=，由条件可得22(22)20(28)0m m ∆=--->，解之得55m -， 即实数m 的取值范围是(5,5)-.（10分）23．【解析】（1）当1x ≤时，不等式()2f x <可变为(1)22x x --+<，解之得1x <,∴1x <; 当1x >时，不等式()2f x <可变为(1)22x x -+<，解之得1x <,∴x 不存在. 综上可知，不等式()2f x <的解集为(,1)M =-∞. 由(,12)m m M -⊆可得12121m mm <-⎧⎨-⎩≤，解之得103m <≤，即实数m 的取值范围是1[0,)3.（5分）（2）()()2|2|=|1||2|(1)(2)1g x f x x x x x x x =-+--+----=≥， 当且仅当(1)(2)0x x --≤，即12x ≤≤时，()g x 取得最小值1，此时，实数x 的取值范围是[1,2].（10分）。
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(九)数学(理)试题
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（九）理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z 满足(23i)15i 0z -++=（i 为虚数单位），则2017z = （ ） A ．10082(1i)+B ．10082(1i)-C ．10082(1i)-+D ．10082(1i)--2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x x =∈-<<Z ，则A B I 的真子集个数为 （ ） A ．3B ．4C ．7D ．83．已知,,0x y z >，则“22222()()()xy yz x y y z +=++”是“z yy x=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．用max{,}a b 表示,a b 中的最大值，若2()max{||,2}f x x x =-，则()f x 的最小值为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，圆A 过正六边形ABCDEF 的两个顶点,B F ，记圆A 与正六边形ABCDEF 的公共部分为Ω，则往正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点不落在Ω内的概率为 （ ）A 43πB 43πC ．431π-D ．231π-6．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且432110,99S a S ==，若()72M a =，()e496,log N a P a ==，则,,M N P 的大小关系为 （ ）A ．M P N >>B ．M N P >>C ．N M P >>D ．N P M >>（ ）A ．16πB ．18πC ．20πD ．24π8．已知单位向量,a b 的夹角为34π，若向量2,4λ==-m a n a b ，且⊥m n ，则=n（ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值是35，则判断框内应补充的条件为 （ ）A ．9i ≤B ．10i ≤C ．11i ≤D ．12i ≤10．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>一个焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，O 是原点，若ABO△是等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ） A ．3 B ．171- C ．262- D ．393- 11．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）A ．|cos3|x xB ．1cos22xx+C ．22225(4)(49)x x x ππ-- D ．|sin 2|x x12．若函数2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上不单调，则a 的取值范围为（ ） A ．24(0,)e B ．24[0,]e C ．2(0,)eD ．2[0,]e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．已知函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=-+，则函数()f x 图象的对称轴为 .14．22017()(1)a x x +-展开式中2018x 的系数为2016，则展开式中常数项为 .（用数字作答）15．已知点(,)x y 满足280260370x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，则11x z y +=-的取值范围为 .16．设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，10,1n S S >=，如果2112n S +是(1)n n S S n ++与1(1)n n S ++的等差中项，则8()n nS n a *+∈N 的最小值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin (sin sin )6sin A A B B +=. （1）求ab； （2）若3cos 4C =，求sin()A B -.18．（12分）每逢节日，电商之间的价格厮杀已经不是什么新鲜事，今年的6月18日也不例外.某电商在6月18日之后，随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成6组，得到如下频数分布表：顾客年龄[5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65)频数 4 24 32 20 16 4 （125,35（2）用分层抽样的方法从这100名顾客中抽取25人，再从抽取的25人中随机抽取2人，求年龄在[)19．（12分）如图1，平面五边形ABCFE是由边长为2的正方形ABCD与上底为1，高为3的直角梯形CDFE⊥.组合而成，将五边形ABCFE沿着CD折叠，得到图2所示的空间几何体，其中AF CF（1）证明：BD⊥平面AFC；--的余弦值.（2）求二面角A FB C图1 图220．（12分）已知抛物线22(0)y px p =>，不与坐标轴垂直的直线:l y kx m =+与抛物线交于,P Q 两点，当2k =且1m =时，||PQ =（1）求抛物线的标准方程；（2）若l 过定点(,0)s ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线Q P '过定点，并求出定点坐标.(1)()ln(1)ax x f x ax +=+-(0)a >（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：22221111(1)(1)(1)(1)234e n++++<L (,2)n n *∈N ≥.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).（1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）点P 在曲线C 上，且到直线l，求符合条件的P 点的直角坐标.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知定义在R 上的函数2()4||2f x x a x a +=--. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.2020届模拟09理科数学答案1．【答案】B 2．【答案】C 【 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】D11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】()84kx k ππ=+∈Z 14．【答案】1415．【答案】3[,5]216.【答案】92、 17【解析】（1）由2sin (sin sin )6sin A A B B +=得22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=， 即2sin sin ()60sin sin A A B B +-=，解得sin 2sin A B =或3-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a Ab B==.（6分） （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-==，将2a b =代入，得22253b c b -=， 解得2c b =，由余弦定理得222222(2)(2)52cos 28222a c b b b b B ac b b +-+-===⨯⨯， 则21414sin 1cos ,sin 2sin 84B B A B =-===,222222(2)(2)2cos 2422b c a b b b A bc b b+-+-===-⨯， 从而145221437sin()sin cos cos sin ()48488A B A B A B -=-=⨯--⨯=.（12分） 18．【解析】（1）频率分布直方图如下图所示（6分）（2）由题意，抽取25人中，有8人的年龄在[)25,35内，X 的可能取值为0,1,2，且21722534(0)75C P X C ===，1117822534(1)75C C P X C ===，282257(2)75C P X C ===，故随机变量X 的分布列为X 01 2 P3475 3475 775X 的数学期望为3434()01275757525E X =⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）以D 为原点，以平行于DA 的方向为x 轴，平行于DC 的方向为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.过E 点作EAD △的高，交AD 于点G .由于,,CD AD CD DE AD DE D ⊥⊥=I ， 所以CD ⊥平面ADE ，所以EG CD ⊥，又因为,EG AD AD CD D ⊥=I ，所以EG ⊥平面ABCD .设EG h =，由题设条件可得下列坐标：22(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(3,0,),(3,1,)A C D E h h F h h --. 22(32,1,),(3,1,)AF h h CF h h =--=--u u u r u u u r，由于AF CF ⊥，所以222(32)310AF CF h h h ⋅=----+=，解得2h =， 故(1,1,2),(1,1,2)AF CF =-=-u u u r .可求(2,2,0)DB =u u u r ，且(2,2,0)(1,1,2)0DB AF ⋅=⋅-=u u u r ，(2,2,0)(1,1,2)0DB CF ⋅=⋅-=u u u r u u u r，从而DB AF ⊥u u u r u u ，DB CF ⊥u u ur u u u r .因为,AF CF ⊂平面AFC ，且AF CF F =I ，故BD ⊥平面AFC .（6分）（2）由（1）得(1,1,2),(0,2,0),(1,1,2),(2,0,0)AF AB CF BC =-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r .设平面ABF 的法向量111(,,)a b c =u ，由0AF ⋅=u u u ru 及0AB ⋅=u u u r u 得11112020a b c b ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩令12a =，由此可得(2,0,1)=u .设平面BCF 的法向量222(,,)a b c =v ，由0CF ⋅=u u u r v 及0BC ⋅=u u u r v 得22222020a b c a ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令22b =，由此可得(0,2,1)=v .则·1cos ,333===⨯u v u v u v ，因为二面角A FB C --大于90︒，则二面角A FB C --的余弦值为13-.（12分）另解：取BF 中点H ，连接,AH CH ，可证AHC ∠是二面角A FB C --的平面角．易求3AH CH ==，由余弦定理得1cos 3AHC ∠=-．（12分）20．【解析】（1）将抛物线方程和直线方程联立，得2221y pxy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得24(24)10x p x --+=，由根与系数关系可得21,24P Q P Q p x x x x -+==， 则21P Q PQ k x x =+-22215()45()41524P Q P Q p x x x x -=+-=-⨯=， 则234p p -=，化简得24120p p --=，解之得6p =或2p =-（舍去）， 故抛物线的标准方程为212y x =.（6分）（2）直线l 方程为()y k x s =-，设,P Q 坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以Q '坐标为22(,)x y -，显然点Q '也在抛物线上.设直线Q P '与x 轴交点T 的坐标为(,0)X .由2()12y k x s y x =-⎧⎨=⎩消去y 得22222(21)02k x k s x k s -++=.所以221212221,2x x x x ks s k =++=.由于,,P T Q '三点共线，则PT TQ k k '=， 从而1212y y x X x X -=--，化简得211212x y x yX y y +=+， 又21122112121212()()2()sx y x y x k x s x k x s kx x x kks x +=⋅-+⋅-=--+=， 121212()()(1)22y y k x s k x s k x x ks k+=-+-=+-=，则211212x y x yX s y y +==-+，故Q P '过定点(,0)s -.（12分）21．【解析】（1）(1)()ln(1)1ax x f x ax ax +=+-+的定义域为1(,)a-+∞，2222(2)(1)(1)2()[(1)]1(1)(1)a a ax ax a x x a f x x x ax ax ax a++-+-'=-=--+++. 令()0f x '=，可得0x =或21x a=-. 当01a <<时，2110a a -<-<，由()0f x '>得10x a-<<，由()0f x '<得0x >， 由此可得()f x 的单调递增区间为1(,0)a-，单调递减区间为(0,)+∞.当1a =时，21110a a-=-=-<，由()0f x '>得10x -<<，由()0f x '<得0x >， 由此可得()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞. 当12a <<时，1210a a -<-<，由()0f x '>得210x a -<<，由()0f x '<得121x a a-<<-或0x >，由此可得()f x 的单调递增区间为2(1,0)a-，单调递减区间为12(,1)a a--，(0,)+∞.当2a =时，1210a a -<-=，可得()0f x '≤，故()f x 的单调递减区间为1(,)a -+∞. 当2a >时，1201a a -<<-，由()0f x '>得201x a<<-， 由()0f x '<得10x a -<<或21x a >-，由此可得()f x 的单调递增区间为2(0,1)a-， 单调递减区间为1(,0)a -,2(1,)a-+∞.（6分）（2）当1a =时，由（1）得()ln(1)f x x x =+-在区间(0,)+∞单调递减， 由此可得当(0,)x ∈+∞时()(0)f x f <，即ln(1)x x +<. 令21(2)x n n =≥，则2211111ln(1)(1)1n n n n n n +<<=---，从而2222111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12342231n n n ++++++++<-+-++--L L 111n =-<，由此得22221111ln[(1)(1)(1)(1)]1234n ++++<L ,22221111(1)(1)(1)(1)234e n++++<L .（12分） 22．【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=，则210cos ρρθ=，即2210x y x +=， 得其标准方程为22(5)25x y -+=.直线l参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)，则其普通方程为20x y --=.（5分）（2）由（1）得曲线C 为圆心为(5,0)，半径为5的圆，曲线C 的参数方程为55cos 5sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，化简的|35cos 5sin |2ϕϕ+-=，可得5cos 5sin 1ϕϕ-=-或5cos 5sin 5ϕϕ-=-. 当5cos 5sin 1ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组，得3cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5ϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时对应的P 点坐标为(8,4),(1,3)-. 当5cos 5sin 5ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组，得cos 0sin 1ϕϕ=⎧⎨=⎩或cos 1sin 0ϕϕ=-⎧⎨=⎩，此时对应的P 点坐标为(5,5),(0,0).综上，符合条件的P 点坐标为(8,4),(1,3),(5,5),(0,0)-.（10分） 23．【解析】（1）当1a =时，()1|24|f x x x =+--.当1x ≤时，原不等式可化为1425x x -+-≥， 解得0x ≤，结合1x ≤得此时0x ≤.当12x <<时，原不等式可化为1425x x -+-≥， 解得2x -≤，结合12x <<得此时x 不存在.当2x ≥时，原不等式可化为1245x x -+-≥，解得103x ≥，结合2x ≥得此时103x ≥.综上，原不等式的解集为10{|0}3x x x ≤或≥.（5分）（2）由于2402||x a x a -+-≥对任意x ∈R 恒成立，故当240a -≤时，不等式2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，此时22a -≤≤. 当24a >，即2a <-或2a >时，由于22a a >，记2()()(4)g x f x a =--， 下面对x 分三种情况讨论.当2x a ≤时，22()4(42)344g x a x a x a x a =-+---=-++，()g x 在区间(,2]a -∞内单调递减.当22a x a <<时，22()4(4)442g x a x x a a x a =-+---=-+，()g x 在区间2(2,)a a 内单调递增.当2x a ≥时，2222()4(4)3244g x x a x a a x a a =-+---=--+，()g x 在区间2[,)a +∞内单调递增.综上，可得()(2)24g x g a a =-+≥，要使得2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，只需min ()0g x ≥，即240a -+≥，得2a ≤， 结合2a <-或2a >，得2a <-.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.（10分）。
安徽省六安市第一中学高三下学期自测卷三线下考试数学理试题含答案
则 x1
2, x2
2
，直线 MA 、 MB 的斜率之和为 kMA
kMB
y1 x1 2
y2 x2 2
.
由
y1
kx1
k,
y2
kx2
k
得 kMA
kMB
2kx1x2 3k x1 x2 x1 2 x2 2
4k
.
将 y k x 1 代入 x2 y2 1 得 2k 2 1 x2 4k 2 x 2k 2 2 0 . 2
D．[ 2, 7 ]
10．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1
(a
0,b
0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ，以 F1F2
为直径的圆交双
曲线 C 于 P , Q , M , N 四点，且四边形 PQMN 为正方形，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 2 2
B． 2 2
C． 2 2
D． 2 2
16 8
16 12
C． x2 y2 1 84
D． x2 y2 1 82
9．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是棱 AB 的中点，F 是侧面 AA1D1D 内一点，
若 EF∥平面 BB1D1D，则 EF 长度的范围为（ ）
A．[ 2, 3]
B．[ 2, 5]
C．[ 2, 6]
11．M 是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，给出下列命题
①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都相交；
②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都垂直；
③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都相交；
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(六)数学(理)试题 解析版
2020届模拟06 理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}3813x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则A B =I （ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为（ ） A ．131i 55-+ B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55- 3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且2=b ，则实数m 的值为 （ ） A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或45．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填 （ ）A ．30S <B ．62S <C ．62S ≤D ．128S <6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒（ ）A ．132+B ．132-C ．1323-+D ．1323--7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称 B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称 C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称 D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZB ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZD ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z 9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）A ．1B 2C 3D ．211．已知椭圆222:19x y C b +=22，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，uuu r uuu rA．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C．[]25,1--D．[]5,1--12．已知函数()212ln xf xx-=的定义域为1(0,]e，若对任意的12,x x1(0,]e∈，()()()1212221212f x f x m x xx x x x-+>-恒成立，则实数m的取值范围为（）A．(,3]-∞B．(,4]-∞C．(,5]-∞D．(,6]-∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n=时，从左往右第22个数为.14．多项式8222xx⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭的展开式中，含7x项的系数为.15．已知四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD为等腰梯形，且AB CD//，12AB CD=，PA PB AD==，43PA AD CD+==，若平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P ABCD-外接球的表面积为.第15题图第16题图16．如第16题图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为MNP△和QNP△，若MN MP⊥224MPNπ⎛⎫∠+=⎪⎝⎭22QN QP==，则四边形MNQP面积的最大值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a的前n项和为n S，若数列13logna⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a+是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.19．（12分）如图，三棱锥1-E EBC 中，90EBC ∠=︒，124AE EB BC ===，,A D 分别为,EB EC 的中点，1E A AD ⊥；连接1111,,,EE E B E C E D ，平面1AE D ⊥平面ABCD . （1）证明：1EE BC ⊥；（2）求二面角1C BE D --的余弦值.20．（12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为12，点23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线l 与圆22:20x y y Ω++=相切，且与椭圆C 交于,M N 两点.探究：在椭圆C 上是否存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，若存在，请求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数()emxf x x =.（1）若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2e ，求函数()f x 在[]2,2-上的最小值； （2）若关于x 的方程()1f x x=在()0,+∞上有两个解，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.2020届模拟06理科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】依题意，集合{9293332xx A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=>=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭， {}{}{}2121101112,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x =∈-+<∈<<N =N =，故{}5,6,7,8,9,10A B =I ，故选C. 2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()35i 2i 35i 113i i 2i 2i 2i 5a b ----+===++-，故113,55a b ==-，故131i i 55z b a =-=--，故复数z 的共轭复数为131i 55z =-+，故选A.3．【答案】B 【解析】不妨取04x π=，此时0023sin 02x x π-=，故命题p 为真；特称命题的否定为全称命题，故:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥，故选B.4．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051， 1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253.5．【答案】B 【解析】运行该程序，第一次，2,2S k ==；第二次，6,3S k ==；第三次，14,4S k ==；第四次，30,5S k ==；第五次；62,6S k ==；第六次，126,7S k ==；观察可知，判断框中可以填“62S <”，故选B. 6．【答案】A 【解析】依题意，()cos240sin30sin 60sin120︒︒--︒︒sin30cos120cos30sin120=︒︒+︒︒1sin1502=︒=；00tan 751tan 75tan 45tan 301tan 751tan 75tan 45-︒-︒==︒++︒︒；故原式的值为12，故选A. 7．【答案】D 【解析】依题意，()()()()321ln 1121x f x x x -+=++-++，将函数()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数32ln2xy x x -=++的图象，这是一个奇函数，图象关于(0,0)中心对称，故函数()321ln 333x f x x x x x-=++++的对称中心为(1,1)--，故选D.8．【答案】C 【解析】依题意，将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到sin 43y x ωππω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，此时()2432k k ωπωππππ--=+∈Z ，解得()546k k ωπππ=+∈Z ，故()1043k k ω=+∈Z ，故ω的最小值为103故()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令()10222332k x k k πππππ--∈++Z ≤≤，解得()10522636k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，即()3320545k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，故选C.9．【答案】A 【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出()()221,1,1,,5,25A B C ⎛⎫⎪⎝⎭；要使0z ≥恒成立，需且仅需130223055230m m m --⎧⎪⎪--⎨⎪⎪--⎩≥≥≥解得375m ≥；故m 的取值不可能为7，故选A.第9题答案图 第10题答案图10．【答案】B 【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为AC 或BD ，均为2，故选B.11．【答案】A 【解析】依题意，()22PM MN PM PN PM PM PN PM PM ⋅=⋅-=⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；因为22219b e =-=，故21b =；设(),M x y ，则()2,PM x y =--uuu r，故()2222222282444414599x x PM x y x x y x x x =-+=-++=-++-=-+uuu r ，[]3,3x ∈-，可知，当3x =-时，2PM uuu r有最大值25，当94x =时，2PM uuu r 有小值12；故PM MN ⋅u u u r u u u r 的取值范围为125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选A.12．【答案】B 【解析】()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-，可得122212()()11f x f x m x x ->-，令21()()g f x x =，则()ln g x x x x =+，其中，2[e ,)x ∈+∞，()2ln g x x '=+，又2[e ,)x ∈+∞，则()2ln 4g x x '=+≥，即122212()()411f x f x x x ->-，因此实数m 的取值范围是(,4]-∞，故选B.13．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.14．【答案】420【解析】依题意，多项式8222x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，要凑出7x ，则必须有四个2x ，两个2x ，以及两个2-，故所求系数为()224284124202C C ⎛⎫⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭.15．【答案】52π【解析】因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD //，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =，,43PA PB AD PA AD CD ==+===23PA PB AB AD BC ====， 故3ADC π∠=；取CD 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD外接圆圆心；F 是PAB △外心，作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面PAB ，则O 是四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且3,2OF GE PF ===；设四棱锥P ABCD -的外接球半径R ，则22213R PF OF =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积是52π.16．【答案】524+【解析】因为2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，故42MPN ππ∠+=， 故4MPN π∠=，故MNP △是等腰直角三角形；在QNP △中，2,1QN QP ==，由余弦定理，254cos NP Q =-；2211os 42c 45MNP S MN NP Q =-==△； 又1sin 2sin QNP S NQ P Q Q Q =⋅⋅=△，55cos sin 2sin()444MNQP S Q Q Q π=-+=+-； 易知当4Q 3π=时，四边形MNQP 的面积有最大值，最大值为524+． 17．【解析】（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，故13n na a +=； 故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+，解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分）（2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列， 故1231111n n T a a a a =++++L 111113133=1113323213nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-L 故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率24113124P C ⨯=⨯=；（4分）（2）依题意，ξ的可能取值为1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为241312C ⨯=； ()1111224P ξ==⨯=，()121112222P C ξ==⨯⨯=，()1113224P ξ==⨯=，故ξ的分布列为 ξ123P141214故所求期望()2E ξ=.（12分）19．【解析】（1）Q 1E A AD ⊥，平面1AE D ⊥平面ABCD ， 平面1AE D I 平面ABCD AD =，故1E A ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，∴1,,AE AD AE 两两垂直，以1,,AE AD AE为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知 条件知，1(2,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,1,0),(0,0,2)E B C D E --， 且1111(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2),(0,1,2)EE BE CE DE =-==-=-uuu r uuu r uuu r uuu r，11112200220,220(2)220EE BE EE CE ⋅=-⨯+⨯+⨯=⋅=-⨯+⨯-+⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r，∴1111,EE BE EE CE ⊥⊥,Q 111BE CE E =I ,∴1EE ⊥平面1E BC ∴1EE BC ⊥．（6分）（2）由（1）可知，平面1E BC 的法向量为1(2,0,2)EE =-uuu r．令平面1E BD 的法向量为(,,)x y z =m ，故11(,,)(2,0,2)220(,,)(0,1,2)20BE x y z x z DE x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩uuu r uuu r m m ，即,2x z y z =-=，取(1,2,1)=-m．1cos ,EE <u u u r m ，∴二面角1C BE D --.（12分）20．【解析】（1）依题意，12c e a =，故2234b a =.①将23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆的方程中，可得2248193a b +=.② 联立①②，解得224,3a b ==，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=.（4分） （2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r.依题意，设直线:()(0,0)l y k x t k t =+≠≠，圆22:20x y y Ω++=，即()2211x y ++=. 直线:()(0)l y k x t t =+≠与圆22:(1)1x y Ω++=1=，整理得2222=0k t kt k +-.当1t =±时，切线的斜率k 不存在，不合题意，舍去； 当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得221tk t =-，把:()(0)l y k x t t =+≠代入椭圆C 的方程22143y x +=得：22222(43)63120k x k tx k t +++-=. 易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 相交，设1122(,),(,)M x y N x y ， 则2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=-+，12121228()()()243kty y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=+，212122268(,)(,)4343k t kt OM ON x x y y k k +=++=-++uuu u r uuu r .因为OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r，故22268(,)(43)(43)k t ktOQ m k m k =-++u u u r ， 即Q 的坐标为22268(,)(43)(43)k t ktQ m k m k -++. 又因为Q 在椭圆上，所以2222268(43)(43)143k t ktm k m k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，得2222443k t m k =+，把221t k t =-代入得2242242222424()441211143()11t t t t m t t t t t t-===+++++-； 因为210t >，所以421111t t ++>，204m <<，于是20m -<<或02m <<， 综上所述()(2,0)0,2m ∈-U .（12分）21．【解析】（1）依题意，()'e e mx mxf x mx =+，故()()'1e e 1e 2e m m m f m m =+=+=， 解得1m =，故()()'e e 1e x x xf x x x =+=+；令()'0f x =，故1x =-； 因为()222e f --=-,()11e f --=-,()20f >，故函数()f x 在[]2,2-上的最小值为()11e f --=-；（4分）（2）依题意，()211e 1e 00mx mx x f x x x x x-=⇔-=⇔=； 问题转化为2e 10mx x -=在()0,+∞有两个解；令()2e 1mxx x ϕ=-,()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+．①当0m ≥时,()()e20mxx x mx ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在()0,+∞上单调递增．由零点存在性定理，()y x ϕ=在()0,+∞至多一个零点，与题设发生矛盾． ②当0m <时，令()e20mxx mx +=，则2x m=-．因为()01ϕ=-，当,x ϕ→+∞（或），∴要使()2e 1mx x x ϕ=-在()0,+∞内有两个零点，则20m ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可，得224e m <，又因为0m <，所以20e m -<<；综上，实数m 的取值范围为2,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭．（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24C xy -+=；直线::0l x y -+；（4分）（2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)， 设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ， 则P l d →(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l （10分） 23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞U .（10分）。
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(九)数学(理)(含答案)
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（九）数学（理科）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数满足(23i)15i 0z -++=（i 为虚数单位），则2017z = （ ） A ．10082(1i)+B ．10082(1i)-C ．10082(1i)-+D ．10082(1i)--2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x x =∈-<<Z ，则A B I 的真子集个数为 （ ） A ．3B ．4C ．7D ．83．已知,,0x y z >，则“22222()()()xy yz x y y z +=++”是“z yy x=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．用max{,}a b 表示,a b 中的最大值，若2()max{||,2}f x x x =-，则()f x 的最小值为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，圆A 过正六边形ABCDEF 的两个顶点,B F ，记圆A 与正六边形ABCDEF 的公共部分为Ω，则往正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点不落在Ω内的概率为 （ ）A．4327πB．4354πC．43127π-D．23127π-6．已知正项等比数列{}n a的前n项和为n S，且432110,99SaS==，若()72M a=，()e496,logN a P a==，则,,M N P的大小关系为（）A．M P N>>B．M N P>>C．N M P>>D．N P M>>7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为（）A．16πB．18πC．20πD．24π8．已知单位向量,a b的夹角为34π，若向量2,4λ==-m a n a b，且⊥m n，则=n （）A．2 B．4 C．8 D．169．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值是35，则判断框内应补充的条件为（）A．9i≤B．10i≤C．11i≤D．12i≤10．过椭圆22221(0) x yaba b+=>>一个焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于,A B两点，O是原点，若ABO△是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．32B．1714-C．2625-D．3936-11．已知函数()f x的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A．|cos3|xxB．1cos22xx+C．22225(4)(49)x xxππ--D．|sin2|xx12．若函数2()lnf x x ax=-在区间2[1,]e上不单调，则a的取值范围为（）A．24(0,)eB．24[0,]eC．2(0,)eD．2[0,]e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知函数()sin(2)cos(2)44f x x xππ=-+，则函数()f x图象的对称轴为 . 14．22017()(1)a x x+-展开式中2018x的系数为2016，则展开式中常数项为 .（用数字作答）15．已知点(,)x y满足280260370x yx yx y+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，则11xzy+=-的取值范围为 .16．设nS是数列{}n a的前n项的和，10,1nS S>=，如果2112nS+是(1)n nS S n++与1(1)nn S++的等差中项，则8()nnSna*+∈N的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin (sin sin )6sin A A B B +=.（1）求ab；（2）若3cos 4C =，求sin()A B -.18．（12分）每逢节日，电商之间的价格厮杀已经不是什么新鲜事，今年的6月18日也不例外.某电商在6月18日之后，随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成6组，得到如下频数分布表：顾客年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 频数4243220164（1（2）用分层抽样的方法从这100名顾客中抽取25人，再从抽取的25人中随机抽取2人，求年龄在[)25,35内的顾客人数X 的分布列、数学期望．19．（12分）如图1，平面五边形ABCFE 是由边长为2的正方形ABCD 与上底为13的直角梯形CDFE 组合而成，将五边形ABCFE 沿着CD 折叠，得到图2所示的空间几何体，其中AF CF ⊥.（1）证明：BD ⊥平面AFC ； （2）求二面角A FB C --的余弦值.图1 图220．（12分）已知抛物线22(0)y px p =>，不与坐标轴垂直的直线:l y kx m =+与抛物线交于,P Q 两点，当2k =且1m =时，||15PQ =（1）求抛物线的标准方程；（2）若l 过定点(,0)s ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线Q P '过定点，并求出定点坐标.21．（12分）已知(1)()ln(1)1ax x f x ax ax+=+-+(0)a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：22221111(1)(1)(1)(1)234e n++++<L (,2)n n *∈N ≥.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).（1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）点P 在曲线C 上，且到直线l 2，求符合条件的P 点的直角坐标.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知定义在R 上的函数2()4||2f x x a x a +=--. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.2020届模拟09理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】注意到15(15i)(23i)(15i)(23i)1i 23(23i)(23i)13i z i +++++=-=-=-=---+，则2017201721008100810081008(1i)[(1i)](1i)2i (1i)2(1i)z =-=--=-=-，故选B.2．【答案】C 【解析】依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =--，故{}1,2,3A B =I ，故A B I 的真子集个数为7，故选C.3．【答案】C 【解析】由22222()()()xy yz x y y z +=++，得22242xy z x z y =+，即22()0xz y -=，2xz y =，从而z yy x=，以上推导过程均是可逆的，故选C.4．【答案】B 【解析】可知当1x <-时，2||2x x >-，此时()f x x =-.当11x -≤≤时，可得2||2x x -≤，此时2()2f x x =-.当1x >时，2||2x x >-，此时()f x x =.综上，2,1()2,11,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，可得当1x =-或1x =时()f x 取得最小值1，故选B.5．【答案】D 【解析】依题意，不妨设2AB =，故正六边形ABCDEF的面积2126S ⨯=Ω的面积2214233πS π=⨯⨯=，故所求概率41πP =，故选D.6．【答案】B 【解析】依题意，242101011993S q q S =⇒+=⇒=，故246111,,327243a a a ===，则97e 3e 1111,,log 03273243M N P ====<，故M N P >>，故选B. 7．【答案】C 【解析】将三视图还原，可知原几何体是由半球体与圆柱体拼接而成，其中半球体的半径为2，圆柱体的底面半径为2，高为2，故所求几何体的表面积2222222220S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯=，故选C.8．【答案】B 【解析】依题意，⊥m n ，故()240λ⋅-=a a b ，故2820λ-⋅=a a b ，故40λ⎛-⋅= ⎝⎭，解得λ=-故4=+n a，故()22416=+=n a ，故4=n .9．【答案】C 【解析】当2i =，可得2,2T a S a =+=+； 当3i =，可得1,3T a S =-+=； 当4i =，可得5,8T a S a =-+=-+；当5i =，可得,8T a S ==； 当6i =，可得6,14T a S a =+=+； 当7i =，可得1,15T a S =-+=； 当8i =，可得9,24T a S a =-+=-+； 当9i =，可得,24T a S ==； 当10i =，可得10,34T a S a =+=+； 当11i =，可得1,35T a S =-+=.故判断框内应补充的条件为11i ≤，故选C.10．【答案】D 【解析】不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点，将焦点坐标(,0)c 代入椭圆方程中，得两交点坐标分别为22(,),(,)b b c c a a-，由于ABO △是等边三角形，则可得2tan 30b ac =︒=，从而22a c ac -=，即1e e -=，解之得e =e =，故选D. 11．【答案】B 【解析】由图象可得当0x >，()0f x ≥，故可排除C ，因为当322x ππ<<时，22225(4)(49)0x x x ππ--<.当322x ππ<<，可得()0f x >，而当x π=时，|sin 2|0x x =，故可排除D 选项，当56x π=时，|cos3|0x x=，故可排除A 选项，故选B. 12．【答案】C 【解析】2ln ()x f x a x '=-，若2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上单调递增，可得2ln 0x a x -≥，记2ln ()xg x x=，要使得对2[1,]x e ∀∈恒有()0g x a -≥，只需 min ()a g x ≤.若2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上单调递减，可得2ln 0x a x -≤，要使得对2[1,]x e ∀∈恒有()0g x a -≤，只需max ()a g x ≥.由于22(1ln )()x g x x -'=，令()0g x '>可得1x e <≤，令()0g x '<可得2e x e <≤，则()g x 在[1,)e 单调递增，在2(,]e e 单调递减，由于224()(1)0g e g e =>=，则min ()(1)0g x g ==，max 2()()g x g e e==，由此可得当0a ≤时，2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上单调递增，当2a e ≥，2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上单调递减，所以a 的取值范围为2(0,)e，故选C.13．【答案】()84k x k ππ=+∈Z 【解析】依题意，21cos(4)112()sin (2)sin 44222x f x x x ππ--=--=-=-， 由4,2x k k ππ=+∈Z 得84k x ππ=+，故11()sin 422f x x =-关于直线()84kx k ππ=+∈Z 对称. 14．【答案】14【解析】222(2)a a a x x x =+++，2020171720170(1())1kk k k x C x ==--∑，则2018x 的系数等于2017201720162016201720172(1)1(1)220172016a C C a ⨯-+⨯-=-+=，由此可得12a =，故展开式中常数项为214a =. 15．【答案】3[,5]2【解析】不等式组280260370x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥所表示的平面区域如图所示阴影部分(包括边界)，其中,,A B C 为直线的交点，11(1)y z x -=--表示阴影部分区域内的点与点(1,1)P -连线的斜率，计算可得,,A B C 三点坐标分别为(2,3),(4,2),(5,4)，由图象可得1(1)y x ---的最大值为3122(1)3AP k -==--，1(1)y x ---的最小值为2114(1)5BP k -==--，故112[,]53z ∈，从而3[,5]2z ∈.16．【答案】92【解析】由条件得211(1)(1)n n n n S S S n n S ++=++++， 即11(1)()0n n n n S S n S S ++---+=，由于0n S >，则110n n S S n +---=，即11n n S S n +=++，那么11232211(1)()()()()13212n n n n n n n S S S S S S S S S S n n ---+=-+-++-+-+=+-++++=L L .当111,1n a S ===，当2n ≥，1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-=，故()n a n n *=∈N . 81811611619(1)()22222n n S n n n a n n n +=++=++⨯+=≥，等号成立当且仅当16n n =，即4n =. 17．【解析】（1）由2sin (sin sin )6sin A A B B +=得22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=， 即2sin sin ()60sin sin A A B B +-=，解得sin 2sin A B =或3-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a Ab B==.（6分） （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-==，将2a b =代入，得22253b c b -=， 解得2c b =，由余弦定理得222222(2)(2)52cos 2222a c b b b b B ac b b+-+-===⨯⨯， 则21414sin 1cos ,sin 2sin B B A B =-===,222222(2)(2)2cos 222b c a b b b A bc b b+-+-===-⨯， 从而145221437sin()sin cos cos sin ()A B A B A B -=-=⨯--⨯=.（12分） 18．【解析】（1）频率分布直方图如下图所示（6分）（2）由题意，抽取25人中，有8人的年龄在[)25,35内，X 的可能取值为0,1,2，且21722534(0)75C P X C ===，1117822534(1)75C C P X C ===，282257(2)75C P X C ===，故随机变量X 的分布列为X1 2 P3475 3475 775X 的数学期望为3434()01275757525E X =⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）以D 为原点，以平行于DA 的方向为x 轴，平行于DC 的方向为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.过E 点作EAD △的高，交AD 于点G .由于,,CD AD CD DE AD DE D ⊥⊥=I ， 所以CD ⊥平面ADE ，所以EG CD ⊥，又因为,EG AD AD CD D ⊥=I ， 所以EG ⊥平面ABCD .设EG h =，由题设条件可得下列坐标： 22(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(3,0,),(3,1,)A C D E h h F h h --. 22(32,1,),(3,1,)AF h h CF h h =-=--u u u r u u u r，由于AF CF ⊥，所以222(32)310AF CF h h h ⋅=--+=u u u r u u u r，解得2h故(12),(1,,2)AF CF =-=-u u u r .可求(2,2,0)DB =u u u r，且(2,2,0)(2)0DB AF ⋅=⋅-=u u u r u u u r，(2,2,0)(1,2)0DB CF ⋅=⋅-=u u u r u u u r ，从而DB AF ⊥u u u r u u u r ，DB CF ⊥u u ur u u u r .因为,AF CF ⊂平面AFC ，且AF CF F =I ，故BD ⊥平面AFC .（6分）（2）由（1）得(1,2),(0,2,0),(1,2),(2,0,0)AF AB CF BC =-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r.设平面ABF 的法向量111(,,)a b c =u ，由0AF ⋅=u u u r u 及0AB ⋅=u u u r u 得11112020a b c b ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令12a =，由此可得(2,0,1)=u .设平面BCF 的法向量222(,,)a b c =v ，由0CF ⋅=u u u r v 及0BC ⋅=u u u r v 得22222020a b c a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令22b =，由此可得2,1)=v .则·1cos ,333==⨯u v u v u v ，因为二面角A FB C --大于90︒，则二面角A FB C --的余弦值为13-.（12分）另解：取BF 中点H ，连接,AH CH ，可证AHC ∠是二面角A FB C --的平面角．易求3AH CH =理得1cos 3AHC ∠=-．（12分）20．【解析】（1）将抛物线方程和直线方程联立，得2221y px y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得24(24)10x p x --+=，由根与系数关系可得21,24P Q P Q p x x x x -+==，则21P Q PQ k x x =+-22215()45()41524P Q P Q p x x x x -=+-=-⨯=， 则234p p -=，化简得24120p p --=，解之得6p =或2p =-（舍去）， 故抛物线的标准方程为212y x =.（6分）（2）直线l 方程为()y k x s =-，设,P Q 坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以Q '坐标为22(,)x y -，显然点Q '也在抛物线上.设直线Q P '与x 轴交点T 的坐标为(,0)X .由2()12y k x s y x =-⎧⎨=⎩消去y 得22222(21)02k x k s x k s -++=.所以221212221,2x x x x ks s k =++=.由于,,P T Q '三点共线，则PT TQ k k '=， 从而1212y y x X x X -=--，化简得211212x y x yX y y +=+， 又21122112121212()()2()sx y x y x k x s x k x s kx x x kks x +=⋅-+⋅-=--+=， 121212()()(1)22y y k x s k x s k x x ks k+=-+-=+-=，则211212x y x yX s y y +==-+，故Q P '过定点(,0)s -.（12分） 21．【解析】（1）(1)()ln(1)1ax x f x ax ax +=+-+的定义域为1(,)a-+∞，2222(2)(1)(1)2()[(1)]1(1)(1)a a ax ax a x x a f x x x ax ax ax a++-+-'=-=--+++. 令()0f x '=，可得0x =或21x a=-. 当01a <<时，2110a a -<-<，由()0f x '>得10x a-<<，由()0f x '<得0x >， 由此可得()f x 的单调递增区间为1(,0)a-，单调递减区间为(0,)+∞.当1a =时，21110a a-=-=-<，由()0f x '>得10x -<<，由()0f x '<得0x >， 由此可得()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞. 当12a <<时，1210a a -<-<，由()0f x '>得210x a -<<，由()0f x '<得121x a a-<<-或0x >，由此可得()f x 的单调递增区间为2(1,0)a-，单调递减区间为12(,1)a a--，(0,)+∞.当2a =时，1210a a -<-=，可得()0f x '≤，故()f x 的单调递减区间为1(,)a -+∞. 当2a >时，1201a a -<<-，由()0f x '>得201x a<<-， 由()0f x '<得10x a -<<或21x a >-，由此可得()f x 的单调递增区间为2(0,1)a -， 单调递减区间为1(,0)a -,2(1,)a-+∞.（6分） （2）当1a =时，由（1）得()ln(1)f x x x =+-在区间(0,)+∞单调递减， 由此可得当(0,)x ∈+∞时()(0)f x f <，即ln(1)x x +<. 令21(2)x n n =≥，则2211111ln(1)(1)1n n n n n n +<<=---，从而 2222111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12342231n n n ++++++++<-+-++--L L 111n=-<，由此得22221111ln[(1)(1)(1)(1)]1234n ++++<L ,22221111(1)(1)(1)(1)234e n ++++<L .（12分） 22．【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=，则210cos ρρθ=，即2210x y x +=，得其标准方程为22(5)25x y -+=.直线l参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 则其普通方程为20x y --=.（5分）（2）由（1）得曲线C 为圆心为(5,0)，半径为5的圆，曲线C 的参数方程为55cos 5sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)， 化简的|35cos 5sin |2ϕϕ+-=，可得5cos 5sin 1ϕϕ-=-或5cos 5sin 5ϕϕ-=-. 当5cos 5sin 1ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组， 得3cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5ϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时对应的P 点坐标为(8,4),(1,3)-. 当5cos 5sin 5ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组，得cos 0sin 1ϕϕ=⎧⎨=⎩或cos 1sin 0ϕϕ=-⎧⎨=⎩，此时对应的P 点坐标为(5,5),(0,0).综上，符合条件的P 点坐标为(8,4),(1,3),(5,5),(0,0)-.（10分）23．【解析】（1）当1a =时，()1|24|f x x x =+--.当1x ≤时，原不等式可化为1425x x -+-≥， 解得0x ≤，结合1x ≤得此时0x ≤.当12x <<时，原不等式可化为1425x x -+-≥， 解得2x -≤，结合12x <<得此时x 不存在.当2x ≥时，原不等式可化为1245x x -+-≥，解得103x ≥，结合2x ≥得此时103x ≥.综上，原不等式的解集为10{|0}3x x x ≤或≥.（5分） （2）由于2402||x a x a -+-≥对任意x ∈R 恒成立，故当240a -≤时，不等式2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，此时22a -≤≤. 当24a >，即2a <-或2a >时，由于22a a >，记2()()(4)g x f x a =--， 下面对x 分三种情况讨论.当2x a ≤时，22()4(42)344g x a x a x a x a =-+---=-++， ()g x 在区间(,2]a -∞内单调递减.当22a x a <<时，22()4(4)442g x a x x a a x a =-+---=-+，()g x 在区间2(2,)a a 内单调递增.当2x a ≥时，2222()4(4)3244g x x a x a a x a a =-+---=--+，()g x 在区间2[,)a +∞内单调递增.综上，可得()(2)24g x g a a =-+≥，要使得2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，只需min ()0g x ≥，即240a -+≥，得2a ≤， 结合2a <-或2a >，得2a <-.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.（10分）。
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(六)数学(理)试题
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（六）理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}3813x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则A B =I （ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为（ ） A ．131i 55-+ B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55- 3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且2=b ，则实数m 的值为 （ ） A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或45．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填 （ ）A ．30S <B ．62S <C ．62S ≤D ．128S <6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒（ ）A ．132+B ．132-C ．1323-+D ．1323--7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称 B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称 C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称 D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZB ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZD ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z 9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）A ．1B 2C 3D ．211．已知椭圆222:19x y C b +=22，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，uuu r uuu rA．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C．[]25,1--D．[]5,1--12．已知函数()212ln xf xx-=的定义域为1(0,]e，若对任意的12,x x1(0,]e∈，()()()1212221212f x f x m x xx x x x-+>-恒成立，则实数m的取值范围为（）A．(,3]-∞B．(,4]-∞C．(,5]-∞D．(,6]-∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n=时，从左往右第22个数为.14．多项式8222xx⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭的展开式中，含7x项的系数为.15．已知四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD为等腰梯形，且AB CD//，12AB CD=，PA PB AD==，43PA AD CD+==，若平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P ABCD-外接球的表面积为.第15题图第16题图16．如第16题图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为MNP△和QNP△，若MN MP⊥224MPNπ⎛⎫∠+=⎪⎝⎭22QN QP==，则四边形MNQP面积的最大值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a的前n项和为n S，若数列13logna⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a+是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.19．（12分）如图，三棱锥1-E EBC 中，90EBC ∠=︒，124AE EB BC ===，,A D 分别为,EB EC 的中点，1E A AD ⊥；连接1111,,,EE E B E C E D ，平面1AE D ⊥平面ABCD . （1）证明：1EE BC ⊥；（2）求二面角1C BE D --的余弦值.20．（12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为12，点23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线l 与圆22:20x y y Ω++=相切，且与椭圆C 交于,M N 两点.探究：在椭圆C 上是否存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，若存在，请求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数()emxf x x =.（1）若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2e ，求函数()f x 在[]2,2-上的最小值； （2）若关于x 的方程()1f x x=在()0,+∞上有两个解，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.2020届模拟06理科数学答案与解析1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8. 【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】B13．【答案】253 14．【答案】420 15．【答案】52π 16．【答案】5417．【解析】（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，故13n na a +=；故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+，解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分）（2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列， 故1231111n n T a a a a =++++L 111113133=1113323213nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-L 故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率24113124P C ⨯=⨯=；（4分）（2）依题意，ξ的可能取值为1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为241312C ⨯=； ()1111224P ξ==⨯=，()121112222P C ξ==⨯⨯=，()1113224P ξ==⨯=，故ξ的分布列为故所求期望()2E ξ=.（12分）19．【解析】（1）Q 1E A AD ⊥，平面1AE D ⊥平面ABCD ，平面1AE D I 平面ABCD AD =，故1E A ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，∴1,,AE AD AE 两两垂直，以1,,AE AD AE为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知 条件知，1(2,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,1,0),(0,0,2)E B C D E --， 且1111(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2),(0,1,2)EE BE CE DE =-==-=-uuu r uuu r uuu r uuu r，11112200220,220(2)220EE BE EE CE ⋅=-⨯+⨯+⨯=⋅=-⨯+⨯-+⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r，∴1111,EE BE EE CE ⊥⊥,Q 111BE CE E =I ,∴1EE ⊥平面1E BC ∴1EE BC ⊥．（6分）（2）由（1）可知，平面1E BC 的法向量为1(2,0,2)EE =-uuu r．令平面1E BD 的法向量为(,,)x y z =m ，故11(,,)(2,0,2)220(,,)(0,1,2)20BE x y z x z DE x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩uuu r uuu r m m ，即,2x z y z =-=，取(1,2,1)=-m．1cos ,EE <u u u r m ，∴二面角1C BE D --.（12分）20．【解析】（1）依题意，12c e a =，故2234b a =.①将23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆的方程中，可得2248193a b +=.② 联立①②，解得224,3a b ==，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=.（4分） （2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r.依题意，设直线:()(0,0)l y k x t k t =+≠≠，圆22:20x y y Ω++=，即()2211x y ++=. 直线:()(0)l y k x t t =+≠与圆22:(1)1x y Ω++=1=，整理得2222=0k t kt k +-.当1t =±时，切线的斜率k 不存在，不合题意，舍去； 当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得221tk t =-，把:()(0)l y k x t t =+≠代入椭圆C 的方程22143y x +=得：22222(43)63120k x k tx k t +++-=. 易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 相交，设1122(,),(,)M x y N x y ， 则2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=-+， 12121228()()()243kty y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=+，212122268(,)(,)4343k t kt OM ON x x y y k k +=++=-++uuu u r uuu r . 因为OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r，故22268(,)(43)(43)k t ktOQ m k m k =-++u u u r ， 即Q 的坐标为22268(,)(43)(43)k t ktQ m k m k -++.又因为Q 在椭圆上，所以2222268(43)(43)143k t ktm k m k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 得2222443k t m k =+，把221t k t =-代入得2242242222424()441211143()11t t t t m t t t t t t -===+++++-； 因为210t >，所以421111t t++>，204m <<，于是20m -<<或02m <<， 综上所述()(2,0)0,2m ∈-U .（12分）21．【解析】（1）依题意，()'e e mx mxf x mx =+，故()()'1e e 1e 2e m m m f m m =+=+=， 解得1m =，故()()'e e 1e x x xf x x x =+=+；令()'0f x =，故1x =-； 因为()222e f --=-,()11e f --=-,()20f >，故函数()f x 在[]2,2-上的最小值为()11e f --=-；（4分）（2）依题意，()211e 1e 00mx mx x f x x x x x-=⇔-=⇔=； 问题转化为2e 10mx x -=在()0,+∞有两个解；令()2e 1mxx x ϕ=-,()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+．①当0m ≥时,()()e20mxx x mx ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在()0,+∞上单调递增．由零点存在性定理，()y x ϕ=在()0,+∞至多一个零点，与题设发生矛盾． ②当0m <时，令()e20mxx mx +=，则2x m=-．因为()01ϕ=-，当,x ϕ→+∞（或），∴要使()2e 1mx x x ϕ=-在()0,+∞内有两个零点，则20m ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可，得224e m <，又因为0m <，所以20e m -<<；综上，实数m 的取值范围为2,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭．（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24Cx y -+=；直线::0l x y -+；（4分）（2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)， 设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ， 则P l d →(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l （10分） 23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min111222mf x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞U .（10分）。
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2020届模拟08 理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{|{|0}A x y B x x ==≥，则A B =I （ ） A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[0,3]D ．[1,3]2．已知i 是虚数单位，则233i ()i 1i--=+ （ ） A ．32i --B ．33i --C ．24i -+D ．22i --3．等差数列{}n a 满足：810+>0a a ，若{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则下列结论不正确的是 （ ） A ．0d >B ．90a >C ．170S >D ．6120a a +>4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为12，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆的方程为 （ ）A ．22142x y +=B ．22184x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有 （ ） A ．2280B ．2120C ．1440D ．7206．运行如图所示的程序，输出结果为 （ ）A ．8B ．6C ．5D ．47．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A ．6πB ．8πC ．66π+D ．8+4π8．已知直线l 1:1y x =+与l 2:y x m =+之间的距离为2，则直线l 2被圆22:(1)8C x y ++=截得的弦长为 （ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．已知实数,x y 满足不等式组10201x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，且目标函数3z x y =-的最小值为m ，最大值为n ，则3251d n m x x -=⎰ （ ） A ．15 B ．45C ．53D ．4310．在边长为1的正ABC △中，点D 在边BC 上，点E 是AC 中点，若3=16AD BE ⋅u u u r u u u r -，则BDBC= （ ） A ．14B ．12C ．34D ．7811．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()f m x f m x x +=-∈R ，且1x ≥时，2()2x n f x -+=，图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）A ．()()f m f n <B ．2()()()f m f n f n >-+C ．()()f n m f n -<D ．()()f m n f n +>12．已知函数2()3sin cos 4cos f x x x x ωωω=-(0)ω>的最小正周期为π，且1()2f θ=，则()()24f f ππθθ++-= （ ）A ．52-B ．92-C ．112-D ．132-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是11C D 的中点，则1A M 与AB 所成角的正切值为 .14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ，则ma= . 15．已知函数ln (0)()ln()(0)xx f x x x >⎧=⎨--<⎩，若()(2)f a f b =(0,0)a b ><，且224a b +的最小值为m ，则22log ()mab +-= .16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =且11n n S n a +++=(*)n ∈N ，数列{}1n na +的前n 项和为n T ，不等式1917321n n T m a ++-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知ABC △的三个内角所对的边分别为,,a b c ，若sin 3sin B A =. （1）若3B π=，求ac； （2）若ABC △的面积为21sin 5c B ，求cos B 的值.18．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB =，且AB PC ⊥. （1）求证：CA CB =；（2）若2,11PA PB AB PC ====，求二面角A PC B --的余弦值.19．（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.（1）若甲公司计划从这10次竞价中随机抽取3次竞价进行调研，其中每小时点击次数超过7次的竞价抽取次数记为X，求X的分布列与数学期望；（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x ，每小时点击次数为y ，则点(,)x y 近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y 关于x 的回归直线$$y bxa =+$.（附：回归方程系数公式：1221ni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑$,$ay bx =-$）.20．（12分）如图，直线:210l x y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,P Q ，点B 与点A 关于x 轴对称，连接,QB BP 并延长分别与x 轴交于点,M N . （1）若||43PQ =，求抛物线C 的方程； （2）若直线,BN BM 的斜率分别为12,k k . ①求证：12k k +为定值； ②若23||MN =，求12||k k -.21．（12分）已知函数2()ln(1)(1)()f x x a x a =+++∈R .（1）若()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值；（2）当0a ≤或18a ≥时，试讨论方程()+2f x x =实数根的个数.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(53cos2)8ρθ-=，直线l的参数方程为2x my⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t为参数）.（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C有两个公共点，求实数m的取值范围.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()|1|2f x x x =-+.（1）关于x 的不等式()2f x <的解集为M ，且(,12)m m M -⊆，求实数m 的取值范围； （2）求()()2|2|g x f x x x =-+-的最小值，及对应的x 的取值范围.2020届模拟08理科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】由2230x x -++≥可得[1,3]A =-,所以[0,3]A B =I .2．【答案】B 【解析】23223i (1i)(3i)()i []i (12i)i 33i 1i 2----=+=-+=--+. 3．【答案】A 【解析】由等差数列的性质可知810961220a a a a a +==+>，1178101717()17()022a a a a S ++==>，即B,C,D 都正确，故错误的只有A.4．【答案】D 【解析】设椭圆的焦距为2c ，由条件可得12c a =，故2a c =，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得2()4a c -=，即2a c -=，所以，4,2a c ==，故22212b a c =-=，故该椭圆的方程为2211612x y +=. 5．【答案】A 【解析】由于1,4,1,5,9,2,6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有7722A A ，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有552A ，故得到的数字大于3.14的不同情况有75752222280A A A -=. 6．【答案】D 【解析】所给程序的运行过程如下：b =1,a =3;b =2,a =7;b =3,a =15;b =4,a =31，不满足30a ＜，输出b 的值为4.7．【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的34，故表面积为23(2123)213664πππ⨯+⨯+⨯⨯=+. 8．【答案】A 【解析】由条件可知，直线1l 过圆心:(1,0)C -，则圆心C 到直线l 2的距离等于直线1l 与l 2之间的距离2，故直线l 2被圆C 截得的弦长为4. 9．【答案】B且点12(,),(1,2),(1,2)33A B C --，易得目标函数3z x y =-在点C 处取得最大值5，在点A 处取得最小值53-，故553122151114d d ()|5n m x x x x x -==-=⎰⎰. 10．【答案】C 【解析】设,AB AC ==u u u r u u u ra b ,BD BC λ=u u u r u u u r ，则 ()(1)AD AB BD λλλ=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r a b a a b ,12BE AE AB =-=-u u u r u u u r u u u r b a ,则22111=[(1)]()=(13)(1)222AD BE λλλλλ⋅-+⋅--⋅+-+u u u r u u u r a b b a a b a b1133=(13)(1)=(1)=42416λλλλ-+-+--，故3=4λ，即3=4BD BC . 11．【答案】B 【解析】由条件可知，()f x 的图象关于直线1x =对称，结合()()()f m x f m x x +=-∈R 可得1m =，而(1)1f =，即221n-+=，解之得2n =，并且由图象可知，当1x >时，()f x 单调递减，则(1)f 为最大值，故2()()()f m f n f n >-+，即B 正确.12．【答案】D 【解析】235()3sin cos 4cos =sin 22cos22sin(2)222f x x x x x x x ωωωωωωϕ=---=--，其中43sin ,cos 55ϕϕ==，由1()2f θ=可得sin(2)1ωθϕ-=，即()f x 关于x θ=对称，而2x πθ=+与x θ=的距离为12个周期，故sin[2()]12πωθϕ+-=-，所以，59()2222f πθ+=--=-，同理，由4x πθ=-与x θ=的距离为14个周期可得sin[2()]04πωθϕ--=，所以，()24f πθ-=-，所以，13()()242f f ππθθ++-=-.13．【答案】2【解析】11MA B ∠即为1A M 与AB 所成角，取11AB 中点N ，连接MN ，则11MN A B ⊥，则111tan 2MNMA B A N∠==. 14．【答案】6【解析】设双曲线的焦距为2c ，则2ca=，即2c a =，则3b a ，把2x c a ==代入双曲线可得2b y a =±，故22b m a =，所以，2226m b a a==.15．【答案】3【解析】由()(2)f a f b =(0,0)a b ><可得ln ln(2)a b =--，即21ab -=，∴12ab =-，则2242|2|4||2a b a b ab +⋅==≥，当且仅当122ab a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩时，224a b +取得最小值2，故22212log ()2log 32m ab +=+=.16．【答案】(,2]-∞【解析】当1n =时，由122S a +=及11a =可得23a =，由11n n S n a +++=①可得2n ≥时,1n n S n a -+= ②，由①－② 可得11n n n a a a ++=-，即121n n a a +=+，所以，112(1)n n a a ++=+，即{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故12n n a +=，则12n n n n a =+，则231232222n n nT =++++L ③，所以，2341112322222n n n T +=++++L④ 由-③④可得2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=--L ，所以，222nn n T +=-，由1917321n n T m a ++-+≥得191323222n n m +-+-≥，设113222n n n A +-=+，则122152n n n n A A ++--=，易得{}n A 在7n ≤时递减，在8n ≥时递增，且7889132,222A A =-=-，故{}n A 的最小值为89322A =-，故9933222m --≥，故2m ≤.17．【解析】（1）由sin 3sin B A =及正弦定理可得3b a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得2229a a c ac =+-，解之得331a c -=（舍去负值）.（6分） （2）由ABC △的面积为21sin 5c B 可得211sin sin 25ab C c B =，由正弦定理可得21125abc c b =，∴52c a =，由余弦定理可得22222225974cos =522022a a a a cb B a ac a +-+-==-⨯.（12分）18．【解析】（1）取AB 的中点O ，连接,PO PC . Q PA PB =,∴PO AB ⊥, Q ,,,AB PC PC PO P PC PO ⊥=⊂I 平面POC ,∴AB ⊥平面POC ，又Q OC ⊂平面POC ,∴AB OC ⊥，而O 是AB 的中点，∴CA CB =.（6分） （2）Q 平面PAB ⊥平面ABC ,PO ⊂平面PAB ， 平面PAB I 平面ABC AB =,∴PO ⊥平面ABC ， 再由（1）可知,,PO AB CO 三条直线两两垂直.以,,OA OC OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由条件可得3PO 2222OC PC PO -. 则(1,0,0),3),(0,22,0),(1,0,0)A P C B -， ∴(0,22,3)PC =-u u u r ,(1,22,0)AC =-u u u r ,(1,22,0)BC =u u r.设平面PAC 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，由1100PC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u rn n 可得 11112230220y z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令13y =，则1(62,3,26)=n . 同理可得平面PBC 的一个法向量为2(62,3,26)=-n ， 则12121213cos ,||||357292472924⋅<>===-⋅++⋅++n n n n n n .由图易知，二面角A PC B --为锐角，∴二面角A PC B --的余弦值为1335.（12分） 19．【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7， 由条件可知，X 的取值可能为0,1,2,3，且31221373737333331010101072171(0),(1),(2),(3)244040120C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============，所以，X 的分布列为X0 1 2 3 P72421407401120X 的数学期望为7217101230.9244040120EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（6分） （2）根据折线图可得数据如下：点击次数y 2 4 6 8 7 点击价格x12345则3, 5.4x y ==，则5152215ˆ1.4, 1.2i ii ii x yx y baxnx==-===-∑∑$， ∴所求回归直线方程为：$1.4 1.2y x =+.（12分）20．【解析】（1）由2102y x py++==⎪⎩可得220x p ++=，设点1122(,),(,)P x y Q x y，则2)80p ∆->，即1p >.1212,2x x x x p +=-=，故12|||PQ x x -.由2p =（舍去负值），∴抛物线C 的方程为24x y =.（5分） （2）①由条件可得21221111212111111122==222x y x p x x x x x p k x x px px p -----===. 22222221221222221122==222x y x p x x x x x p k x x px px p -----===,∴120k k +=（定值）.（8分）②直线BN 的方程为：11y k x =+，直线BM 的方程为：21y k x =+，则1211(,0),(,0)N M k k --，则1211211||||||||k k MNk k k k -=-=， 由120k k +=可得12k k =-,∴121|2|||k k ， ∴1||k ∴2||k =120k k <,∴12||k k -=.（12分） 21．【解析】（1）Q 2()ln(1)(1)f x x a x =+++,∴1'()2(1)(1)1f x a x x x =++>-+， 由条件可得1'(1)402f a =+=，解之得18a =-，∴21()ln(1)(1)8f x x x =+-+,11(1)(3)'()(1)(1)144(1)x x f x x x x x --+=-+=>-++， 令'()0f x =可得1x =或3x =-（舍去）.当11x -<<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <. 即()f x 在(1,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 故()f x 有极大值1(1)ln 22f =-，无极小值；（4分） （2）设2()ln(1)(1)2g x x a x x =+++--，则212(41)2'()2(1)111ax a x ag x a x x x +-+=++-=++(1)x >-. ①当0a =时，'()1xg x x =-+，当10x -<<时，'()0g x >，当0x >时，'()0g x <， 故()g x 有极大值(0)2<0g =-，此时，方程()2f x x =+没有实数根；②当0a <时，由'()0g x =可得22(41)2=0ax a x a +-+ (*)由22=(41)16180a a a ∆--=->可知，(*)有两个实数根，不妨设为1212,()x x x x <, 则121212221x x a x x ⎧+=-<-⎪⎨⎪=⎩，则必有121,10x x <--<<，且当21x x -<<时'()0g x >，当2x x >时，'()<0g x ， 即()g x 在2(1,)x -上单调递增，在2(,)x +∞上单调递减，故()g x 有极大值22222()ln(1)(1)200120g x x a x x =+++--<++-<，∴方程()2f x x =+没有实数根.（8分）③当18a ≥时，=180a ∆-≤,'()0g x ≥，即()g x 在(1,)-+∞上单调递增,1)112g =-=Q 18a ≥,∴，设()ln x x x ϕ=-，易得()x ϕ在(0,1)上递减，且(1)10ϕ=-<，故1)<0g . 当0x >时，2()(1)2=[((1)](1)1g x a x x ax a x >+--+-+-， 222()(21)(1)120g a a a a a>+-+-=++>，即21)()<0g g a ⋅,∴方程()2f x x =+有1个实数根.综上可知，当0a ≤时，方程()2f x x =+没有实数根， 当18a ≥时，方程()2f x x =+有1个实数根.（12分）22．【解析】（1）方程2(53cos2)8ρθ-=可化为22[53(2cos 1)]8ρθ--=，即22243cos 4ρρθ-=，把222cos x yxρρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入可得2224()34x y x +-=，整理可得2214x y +=.（5分）（2）把x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2214x y +=可得225280t m -+-=，由条件可得22()20(28)0m ∆=--->，解之得m ， 即实数m的取值范围是(.（10分）23．【解析】（1）当1x ≤时，不等式()2f x <可变为(1)22x x --+<，解之得1x <,∴1x <;当1x >时，不等式()2f x <可变为(1)22x x -+<，解之得1x <,∴x 不存在. 综上可知，不等式()2f x <的解集为(,1)M =-∞.由(,12)m m M -⊆可得12121m m m <-⎧⎨-⎩≤，解之得103m <≤，即实数m 的取值范围是1[0,)3.（5分）（2）()()2|2|=|1||2|(1)(2)1g x f x x x x x x x =-+--+----=≥， 当且仅当(1)(2)0x x --≤，即12x ≤≤时，()g x 取得最小值1，此时，实数x 的取值范围是[1,2].（10分）。