高中数学人教A版必修第二册精英同步试题测试：7.2复数的四则运算Word版含答案
复数的四则运算(重难点题型检测)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①−1的平方根只有i；②i 是1的平方根；③若复数a+b i(a,b∈R)是某一元二次方程的根，则a−b i一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（）A．3B．2C．0D．12．（3分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2z̅=（）A．−1−6i B．−1+6iC．1−6i D．1+6i(m∈R)是纯虚数，则m=（）3．（3分）已知复数z=1+3i3−m iA．3B．1C．−1D．−34．（3分）若复数z满足z(1+i)=2i，则|z+i z|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2−i2022，则在复平面内，其共5．（3分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）已知z=1+i1−i轭复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数1−i是关于x的方程x2+px+q= 0(p,q∈R)的一个根，则|p+q i|=（）A．4B．√5C．2√2D．2√37．（3分）（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1=1,z3=−2+i，则z2=（）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设f(x)=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程f(x)=x有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x))=x的解的情况，下列描述正确的是（）A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）已知复数z=−1+2i，则下列结论中正确的是i（）A．z̅=2−i B．z̅的虚部为1C．|z|=√5D．(1+i)z=3−i10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1=1+i，点B对应的复数为z2=1+2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是（）A．点C位于第二象限B．z1+z3=z2C．|z1−z3|=|AC|D．z1⋅z3=z2 11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知i为虚数单位，复数z1=a−2i，z2=2+a i，(a∈R)，下列结论正确的有（）A．|z1|=|z2|B．z1=z2C．若2(z1+z2)=z1⋅z2，则a=2D．若z2=−i，则a=012．（4分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知复数z1,z2是关于x的方程x2+bx+1=0(−2< b<2,b∈R)的两根，则下列说法中正确的是（）∈R C．|z1|=|z2|=1D．若b=1，则z13= A．z1=z2B．z1z2z23=1三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）（4）若z 1、z 2∈C ，z 12∉R ，z 22∉R ，则z 12−z 22∉R ．四．解答题（共6小题，满分44分） 17．（6分）（2022春·高一课时练习）计算： (1)(1+2i )+(7−11i )−(5+6i )； (2)5i −[(6+8i )−(−1+3i )]； (3)(a +b i )−(2a −3b i )−3i (a,b ∈R ).18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量OZ ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数是z ，分别作出下列运算的结果对应的向量：（1）z +1； （2）z −i ； （3）z +(−2+i).19．（8分）（2023·高三课时练习）已知复数z 满足|z |+z =8−4i ，且z 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+mx +25=0的一个根，求m 的值．20．（8分）（2022·高一单元测试）复数z =a +b i (a,b >0)满足|z |=√2,z 2为纯虚数； (1)求复数z ； (2)求(z1−i )2022.21．（8分）（2023·高一课时练习）已知复数a1+b1i，a2+b2i，a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R)，分别记作z1，z2，z3，即z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，求证：(1)z1z2=z2z1；(2)(z1z2)z3=z1(z2z3)；(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3．22．（8分）（2022·高一单元测试）已知z为复数，ω=z+9为实数.z(1)当−2<ω<10时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合；(2)当−4<ω<2时，若u=α−z（α>0）为纯虚数，求α的值和|u|的取值范围.α+z专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为z1=1,z3=−2+i，所以由复数加法的几何意义可得，z2=z1+z3=1−2+i=−1+i.故选：C.8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设f(x)=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程f(x)=x有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x))=x的解的情况，下列描述正确的是（）A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解【解题思路】根据给定条件，设x=m i(m∈R,m≠0)，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答.【解答过程】a,b,c∈R，f(x)=ax2+bx+c，关于x的方程f(x)=x有纯虚数根，设纯虚数根为x=m i(m∈R,m≠0)，则有f(m i)=m i，即−am2+c+bm i=m i，即有c=am2,b=1，a≠0，f(x)=ax2+x+ am2，方程f(x)=x化为x2+m2=0，方程有两个纯虚数根为±m i，方程f(f(x))=x化为：a2x4+2ax3+2(a2m2+1)x2+2am2x+a2m4+2m2=0，整理得(a2x2+2ax+a2m2+2)(x2+m2)=0，于是得x2+m2=0或a2x2+2ax+a2m2+2=0，因此方程f(f(x))=x有两个纯虚数根±m i，而方程a2x2+2ax+a2m2+2=0中，Δ=4a2−4a2(a2m2+2)=−4a2(a2m2+1)<0，因此方程a2x2+2ax+a2m2+2=0无实数根，有两个虚数根x=−1a ±√a2m2+1ai，不是纯虚数根，所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）已知复数z=−1+2ii，则下列结论中正确的是（）A．z̅=2−i B．z̅的虚部为1C．|z|=√5D．(1+i)z=3−i【解题思路】先化简复数z，然后求出z的共轭复数即可验证选项AB，求出复数z的模验证选项C，化简选项D即可【解答过程】因为z=−1+2ii =i⋅(−1+2i)i⋅i=−2−i−1=2+i，所以z̅=2−i，故A正确；z̅的虚部为−1，故选项B错误；由|z|=√22+(−1)2=√5，故选项C正确，由(1+i)z=3−i，所以z=3−i1+i =(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i−i−12=1−2i，故选项D错误，故选：AC.10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1=1+i，点B对应的复数为z2=1+2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是（）A．点C位于第二象限B．z1+z3=z2C．|z1−z3|=|AC|D．z1⋅z3=z2【解题思路】由题意画出图形，求出C的坐标，得到z3，然后逐一分析四个选项得答案．【解答过程】解：如图，由题意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)，∵OABC为平行四边形，则C(0,1)，∴z3=i，点C位于虚轴上，故A错误；z1+z3=1+i+i=1+2i=z2，故B正确；|z1−z3|=|1+i−i|=1=|AC|，故C正确；z1z3=(1+i)i=−1+i≠z2，故D错误．故选：BC．11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知i为虚数单位，复数z1=a−2i，z2=2+a i，(a∈R)，下列结论正确的有（）A．|z1|=|z2|B．z1=z22ac+2bd，|z1|2+2|z1|⋅|z2|+|z2|2=a2+b2+2√(a2+b2)(c2+d2)+c2+d2，则|z1+z2|2≠|z1|2+2|z1|⋅|z2|+|z2|2，（2）错误；对于（3），取z1=i,z2=1+i，显然满足z1、z2∈C，又z12−z22=i2−(1+i)2=−1−2i∉R，但z12=−1∈R，故（3）错误；对于（4），取z1=1+2i,z2=2+i，显然满足z1、z2∈C，又z12=−3+4i∉R,z22=3+4i∉R，但z12−z22=−6∈R，故（4）错误.故答案为：（1）.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·高一课时练习）计算：(1)(1+2i)+(7−11i)−(5+6i)；(2)5i−[(6+8i)−(−1+3i)]；(3)(a+b i)−(2a−3b i)−3i(a,b∈R).【解题思路】（1）（2）（3）根据复数的加减运算法则即可求解；【解答过程】(1)解：(1+2i)+(7−11i)−(5+6i)=(1+7−5)+(2−11−6)i=3−15i；(2)解：5i−[(6+8i)−(−1+3i)]=5i−(7+5i)=−7；(3)解：(a+b i)−(2a−3b i)−3i=(a−2a)+[b−(−3b)−3]i=−a+(4b−3)i(a,b∈R).⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数是z，分别作出下列运算的结18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量OZ果对应的向量：（1）z+1；（2）z−i；（3）z+(−2+i).【解题思路】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.【解答过程】（1）复数1与复平面内点A(1,0)一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（2）复数−i 与复平面内点A(0,−1)一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（3）复数−2+i 与复平面内点A(−2,1)一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：19．（8分）（2023·高三课时练习）已知复数z 满足|z |+z =8−4i ，且z 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+mx +25=0的一个根，求m 的值．【解题思路】设z =a +b i (a,b ∈R ),根据条件求出z ，由z 和z 为实系数一元二次方程x 2+mx +25=0的两个根，可解得.【解答过程】设z =a +b i (a,b ∈R )，则√a 2+b 2+a −b i =8−4i ，得{√a 2+b 2+a =8,b =4,解得{a =3,b =4,所以z =3+4i ，z =3−4i ，满足z ⋅z =25． 所以m =−(z +z )=−6．20．（8分）（2022·高一单元测试）复数z =a +b i (a,b >0)满足|z |=√2,z 2为纯虚数； (1)求复数z ； (2)求(z1−i )2022.【解题思路】（1）由复数的乘法运算，纯虚数的概念，复数的模长公式求解即可； （2）有复数的除法与乘方运算求解即可【解答过程】（1）因为z =a +b i (a,b >0)， 所以z 2=(a +b i )2=a 2−b 2+2ab i ，则由题意可得：{a 2+b 2=2a 2−b 2=0，解得{a =1b =1，所以z =1+i ； （2）(z1−i)2022=(1+i 1−i )2022=[(1+i )(1+i )(1−i )(1+i )]2022=i 2022=i 2=−1.21．（8分）（2023·高一课时练习）已知复数a 1+b 1i ，a 2+b 2i ，a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R )，分别记作z 1，z 2，z 3，即z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i ，求证： (1)z 1z 2=z 2z 1； (2)(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)； (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3．【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明（1）（2）（3）【解答过程】（1）z 1z 2=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )=a 1a 2−b 1b 2+(a 1b 2+a 2b 1)i ， z 2z 1=(a 2+b 2i )(a 1+b 1i )=a 1a 2−b 1b 2+(a 1b 2+a 2b 1)i ， 则z 1z 2=z 2z 1.（2）(z 1z 2)z 3=[(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )](a 3+b 3i )=[a 1a 2−b 1b 2+(a 1b 2+a 2b 1)i ](a 3+b 3i ) =(a 1a 2−b 1b 2)a 3−(a 1b 2+a 2b 1)b 3+[b 3(a 1a 2−b 1b 2)+a 3(a 1b 2+a 2b 1)]i ，z 1(z 2z 3)=(a 1+b 1i )[(a 2+b 2i )(a 3+b 3i )]=(a 1+b 1i )[a 2a 3−b 2b 3+(a 3b 2+a 2b 3)i ]=a 1(a 2a 3−b 2b 3)−b 1(a 3b 2+a 2b 3)+[a 1(a 3b 2+a 2b 3)+b 1(a 2a 3−b 2b 3)]i=(a 1a 2−b 1b 2)a 3−(a 1b 2+a 2b 1)b 3+[b 3(a 1a 2−b 1b 2)+a 3(a 1b 2+a 2b 1)]i ， 则(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3).（3）z 1(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )[(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ] =a 1(a 2+a 3)−b 1(b 2+b 3)+[a 1(b 2+b 3)+b 1(a 2+a 3)]i ，z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )(a 3+b 3i ) =[a 1a 2−b 1b 2+(a 1b 2+a 2b 1)i ]+[a 1a 3−b 1b 3+(a 1b 3+a 3b 1)i ] =[a 1a 2−b 1b 2+a 1a 3−b 1b 3]+[(a 1b 2+a 2b 1)+(a 1b 3+a 3b 1)]i=a 1(a 2+a 3)−b 1(b 2+b 3)+[a 1(b 2+b 3)+b 1(a 2+a 3)]i ， 则z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.22．（8分）（2022·高一单元测试）已知z 为复数，ω=z +9z 为实数.(1)当−2<ω<10时，求复数z 在复平面内对应的点Z 的集合；(2)当−4<ω<2时，若u =α−zα+z （α>0）为纯虚数，求α的值和|u|的取值范围.【解题思路】（1）设z =x +y i ，x ，y ∈R ，将ω用x ，y 表示.由复数ω满足题中所给的不等式可知，复数ω必为实数（虚数不能比较大小）.可求出x ，y 所满足的关系式，再结合它们的范围，即可得到复数z 在复平面内对应的点的集合；。
7.2.2复数的乘、除运算高中数学人教A版(2019)必修第二册
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
2 + 2 -3b = 1,
即 a +b -3b-3ai=1+3i,则有
-3 = 3,
2
2
= -1,
解得 = -1,或
所以 z=-1 或 z=-1+3i.
=
3,
=0
课堂导学
课前预学
任务2:复数的除法法则
类比根式除法的分母有理化,比如
第七章
复数
7.2 复数的四则运算
课时2
复数的乘、除运算
目
录
1
课前预学
2
课堂导学
课前预学
课堂导学
1.掌握复数的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.通过复数代数形式的乘法、除法的学习,培养学生的数学运算素养.
课前预学
课堂导学
在研究复数的加、减运算时,我们注意到复数的形式就像一个二项式,类比二项式乘二
=
2 +
2+
-
2 + 2
i(c+di≠0).
课前预学
问题 2:复数乘法的运算律有哪些?
答案
有交换律,结合律,乘法对加法的分配律.
问题 3:如何在复数范围内求方程的解?
答案
利用复数相等的定义求解.
课堂导学
课前预学
课堂导学
任务1:复数的乘法法则
问题 1:我们知道复数的加减类似于多项式加减,试想复数相乘类似什么呢?
A.-2
解析
1
B.-
2
C.
1
2
D.2
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第七章 复数 复数的四则运算 复数的乘、除运算
2.方法归纳:分母实数化、配方法、求根公式法.
3.常见误区:分母实数化时忽视i2 = −1造成运算错误.
−−+
=
+
−
=
+ +
− +
=
+++
−
=
−+
= − + .
规律方法 复数除法运算的技巧
（1）根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,
这个过程与“分母有理化”类似.
（2）复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部
− ± − 2 − 4 i
=
2 + + = 0 ≠ 0 的根的判别式 < 0时,其求根公式为__________________.
2
2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的
充要条件进行求解.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
i
− i
2
2
2
2
分母都乘分母的共轭复数_______,化简可得(
+ i) ÷ + i =______+_______(,
+ +
,, ∈ ,且 + i ≠ 0).
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
（1）复数的加、减、乘、除混合运算法则是先算乘、除,后算加、减.
子集.
探究点三 与复数有关的方程问题
【例4】在复数范围内解关于的方程 2 + 6 + 10 = 0.
人教A版数学必修第二册第七章【复数的四则运算】
复数的四则运算积累整合知识点一：复数加减运算1.复数的加减运算设复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则有：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c )＋ (b＋d )i ；z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c )＋ (b－d )i ．2.复数的加法运算律设z1，z2，z3∈C，则有：交换律：z1＋z2＝z2＋z1；结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.复数的加减法的几何意义(1)若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两条邻边的平行四边形的对角线对应的向量OZ所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行，亦即OZ＝OZ1＋ OZ2，如图1.(2)若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1－z2是连接向量OZ1，OZ2的终点，并指向向量OZ1 终点的向量Z2Z1所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行，如图2.4.复平面内两点间的距离设复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a，b)，Z2(c，d)，则|Z1Z2|＝，又复数z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，则|z1－z2|＝，故|Z1Z2|＝|z1－z2|.即|z1－z2|表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离．知识点二：复数的乘除运算1.复数的乘除法运算法则设z1＝a＋b i(a，b∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，则z1·z2＝ac－ bd＋(ad＋ bc)i．＝＋i．2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.i n的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.(n∈N*)基础过关练一、单选题1．设复数z满足z⋅(1−i)=2+i，则z的虚部是（ ）A．32B．3C．−32D．42．若复数z满足z⋅(2+3i)=3−2i，其中i为虚数单位，则|z|=（ ）A．0B．-1C．√13D．1 3．已知复数z=−1+√3i，则z2019的值为（ ）A．－1B．−22019C．1D．22019 4．已知复数z满足z(1+2i)=|4−3i|（i是虚数单位），则z的虚部为（ ）A．2B．−2C．1D．−1 5．若2i(z−1)=1,则|z i+1|=（ ）A．32B．√102C．√52D．126．下列关于某个复数z的说法中，①z2=|z|2②1z∈R③|z−i|=12④z∈R有且只有一个说法是错误的，则错误的是（ ）A．①B．②C．③D．④7．在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则|z1+i|=（ ）A．2B．1C．√2D．1 28．已知复数z满足z(1+i)=5+i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．已知i是虚数单位，复数z满足z1+i=2+i，则（ ）A．z的实部为3B．z的虚部为1C．z z=10D．z在复平面对应的点在第二象限二、多选题11．下列关于复数的说法正确的是（ ）A ．任意两个虚数都不能比较大小B ．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数C ．已知z 1，z 2∈C ，则|z 1z 2|=|z 1||z 2|D ．(−i )2=112．已知复数z 1=2−4i ，z 2=4+2i ，则（ ）A ．|z 1+z 2|=2√10B ．z 1−z 2=−2−2iC ．z 1z 2=−16+12i D ．z 1z 2在复平面内对应的点位于第二象限13．若复数z 满足z +2z =1+i ，则（ ）A ．z 的实部为13B ．z 的虚部为1C ．z ⋅z =109D ．5z +z =2−3i14．已知z 1与z 2是共轭虚数，则（ ）A ．z 12<z 22B ．z 1z 2=|z 2|2C ．z 1+z 2∈RD ．z 1z 2∈R17．已知a∈R，i是虚数单位，复数z1=2+a i，z2=1−2i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为______.18．已知i是虚数单位，若复数z满足(1+2i)z=3−i，则|z|=__________.四、解答题19．计算：(1)2+2i(1−i)2+(√21+i)2018；(2)(4−i5)(6+2i7)+(7+i11)(4−3i).20．在复平面内，复数z1,z2对应的点分别是(1,2),(−1,1)．(1)求|z1−z2|；(2)已知虚数z的实部等于复数z1z2的虚部，且z是关于x的方程2x2+ax+10=0的一个根，求实数a的值以及z．21．已知复数z=−12+√32i.(1)求z2+z的值；(2)设a=1+i，b=2+i，c=3+i，求|a+bz+c z2|.22．（1）已知复数z满足1z=iz+1，求|z|；能力提升练23．已知复数z =√32+12i ，求复数z 3=（ ）A ．√32−12iB ．−√32−12iC ．iD ．−124．已知z 1，z 2是方程x 2−2x +2=0的两个复根，则|z 12−z 22|=（ ）A ．2B ．4C ．2iD ．4i25．复数(1−i )32i=（ ）A ．1−iB ．−1−iC ．1+iD ．−1+i26．已知(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ（i 为虚数单位，n ∈N *,θ∈R ），若复数z 满足z ⋅(cos π9+isinπ9)6=2，则|z |=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．427．(多选)设z 1，z 2是复数，则下列命题中正确的是（ ）A ．若z 1是纯虚数，则z 12>0B ．若z 12+z 22=0，则z 1=z 2=0C ．若|z 1|=|z 2|，则z 1⋅z −1=z 2⋅z −2D ．若复数z 1满足|z 1|=1，则|z 1+2i |的最大值为3拓展练习28．(多选)数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位i ，j 和k ，而且它们有如下关系：i 2=j 2=k 2=−1,i 0=j 0=k 0=1,ij =k ,ji =−k ,jk =i ,kj =−i ,ki =j ,ik =−j ．四元数一般可表示为a +b i +c j +d k ，其中a ,b ,c ,d为实数．定义两个四元数：α=a 1+b 1i +c 1j +d 1k ,β=a 2+b 2i +c 2j +d 2k，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：αβ=(a 1a 2−b 1b 2−c 1c 2−d 1d 2)+(a 1b 2+b 1a 2+c 1d 2−d 1c 2)i +(a 1c 2+c 1a 2+d 1b 2−b 1d 2)j +．关于四元数，下列说法正确的是（）A ．ijk =−1B ．αα=a 12+b 12+c 12+d 12C ．αβ=βαD ．若α=1+i +j +k ，且αβ=4，则β=1−i −j −k29．(多选)已知复数ω=z−6z，其中z 为虚数，则下列结论正确的是（ ）A ．当z =1−i 时，ω的虚部为－2B ．当z =1−i 时，ω=−2+4i C ．当z =1+i 时，|ω|=2√5D ．当z =1+i 时，ω在复平面内对应的点在第二象限30．已知复数z =a +b i ，其中a ,b 为实数且a ≠0．(1)若z (z +z )=2+4i ，求z ；(2)若ω=z−2z为纯虚数，且1≤|ω|≤2，求|b |的取值范围．答案解析基础过关练一、单选题故选：D4．已知复数z满足z(1+2i)=|4−3i|（i是虚数单位），则z的虚部为（ ）A．2B．−2C．1D．−1【答案】B【分析】由题目条件可得z(1+2i)=|4−3i|=5，即z=51+2i，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为|4−3i|=5，所以z(1+2i)=|4−3i|=5，则z=51+2i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5−10i5=1−2i故复数z的虚部为−2.故选：B5．若2i(z−1)=1,则|z i+1|=（ ）A．32B．√102C．√52D．12【答案】C【分析】根据题意，求得z=1−12i，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由2i(z−1)=1，可得z−1=12i，求得z=1+12i=1−12i，所以|z i+1|=|12+i|=√12+(12)2=√52.故选：C.6．下列关于某个复数z的说法中，①z2=|z|2②1z∈R③|z−i|=12④z∈R有且只有一个说法是错误的，则错误的是（ ）A．①B．②C．③D．④【答案】C【分析】根据复数的模的求法与四则运算，逐一验证，即可求解.【详解】解：设z=a+b i(a,b∈R),若①正确，因为z2=|z|2，即a2+b2=a2−b2+2ab i，所以，解得:b=0，a∈R，若②正确，即1z∈R，所以b=0，a∈R，若③正确，|z−i|=√a2+(b−1)2=12，不能得到b=0，a∈R，若④正确， z=a−b i∈R,即b=0，a∈R，综上，错误的是③，故选：C.7．在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则|z1+i|=（ ）A．2B．1C．√2D．1 2【答案】B【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z在复平面内对应的点为(1,−1)，所以z=1−i.所以z1+i=1−i1+i=(1−i)×(1−i)(1+i)×(1−i)=1−2i+i22=−i，所以|z1+i|=√02+(−1)2=1.故选：B.8．已知复数z满足z(1+i)=5+i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】利用复数除法求出z，即可判断.【详解】因为z=5+i1+i=(5+i)(1−i)2=6−4i2=3−2i，所以点(3,−2)位于第四象限.故选：D.9．已知i是虚数单位，复数z满足z1+i=2+i，则（ ）A．z的实部为3B．z的虚部为1C．z z=10D．z在复平面对应的点在第二象限【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数z，再一一判断即可.【详解】因为z1+i=2+i，所以z=(2+i)(1+i)=2+2i+i+i2=1+3i，二、多选题11．下列关于复数的说法正确的是（ ）A．任意两个虚数都不能比较大小B．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数C．已知z1，z2∈C，则|z1z2|=|z1||z2|D．(−i)2=1【答案】AC【分析】根据复数的概念可判断A正确；根据复平面的概念可判断B不正确；根据复数的乘法运算和复数的模长公式计算可判断C正确；根据虚数单位的概念计算可判断D不正确．【详解】对于A，任意两个虚数都不能比较大小，A正确；对于B，在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数，不正确，因为原点在虚轴上，原点表示实数0，B不正确；对于C，设z1=a+b i(a,b∈R)，z2=c+d i(c,d∈R)，则z1z2=ac−bd+(ad+bc)i，|z1z2|=√(ac−bd)2+(ad+bc)2=√a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，|z1||z2|=√a2+b2⋅√c2+d2=√a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=|z1z2|，C正确；对于D，(−i)2=−1，D不正确．故选：AC．12．已知复数z1=2−4i，z2=4+2i，则（ ）A．|z1+z2|=2√10B．z1−z2=−2−2iC．z1z2=−16+12iD．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限【答案】AB【分析】根据复数的加减、乘法及共轭复数定义判断A、B、C，再由复数对应点判断所在象限判断D.【详解】A：|z1+z2|=|2−4i+4+2i|=|6−2i|=√36+4=2√10，对；B：z1−z2=(2−4i)−(4−2i)=−2−2i，对；C：z1z2=(2−4i)(4+2i)=16−12i，错；D：由C分析知：z1z2对应点为(16,−12)在第四象限，错.故选：AB13．若复数z满足z+2z=1+i，则（ ）A．z的实部为13B．z的虚部为1C．z⋅z=109D．5z+z=2−3i【答案】AC【分析】设z=a+b i(a,b∈R)，再根据共轭复数的定义与复数的运算可得a=13,b=−1，再根据复数的性质与运算逐个选项判断即可.【详解】设z=a+b i(a,b∈R)，则z=a−b i，因为z+2z=3a−b i=1+i，所以a =13,b =−1，A 正确，B 错误．因为z ⋅z =a 2+b 2=109,5z +z =2−4i ，C 正确，D 错误．故选：AC.14．已知z 1与z 2是共轭虚数，则（ ）A ．z 12<z 22B ．z 1z 2=|z 2|2C ．z 1+z 2∈RD ．z 1z 2∈R【答案】BC【分析】设出复数z 1,z 2，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题意，复数z 1与z 2是共轭虚数，设z 1=a +b i 、z 2=a −b i ，a 、b ∈R 且b ≠0，对于A 项， z 12=a 2−b 2+2ab i ，z 22=a 2−b 2−2ab i ，当a ≠0时，由于复数不能比较大小，故A 项不成立；对于B 项，因为z 1⋅z 2=a 2+b 2，|z 2|2=a 2+b 2，所以z 1⋅z 2=|z 2|2，故B 项正确；对于C 项，因为z 1+z 2=2a ∈R ，所以C 选项正确；对于D 项，由z 1z 2=a +b i a −b i =(a +b i )2(a −b i )(a +b i )=a 2−b 2a 2+b 2+2aba 2+b2i 不一定是实数，故D 项不成立.故选：BC.四、解答题19．计算：19．计算：(1)2+2i(1−i)2+(√21+i)2018；(2)(4−i5)(6+2i7)+(7+i11)(4−3i).【答案】(1)−1(2)47−39i【分析】根据复数的乘除法求解即可；【详解】（1）2+2i(1−i)2+(√21+i)2018=2+2i−2i+(22i)1009=i(1+i)+(1i)1009=−1+i+(−i)1009=−1+i−i=−1.（2）原式=(4−i)(6−2i)+(7−i)(4−3i)=22−14i+25−25i=47−39i.20．在复平面内，复数z1,z2对应的点分别是(1,2),(−1,1)．(1)求|z1−z2|；(2)已知虚数z的实部等于复数z1z2的虚部，且z是关于x的方程2x2+ax+10=0的一个根，求实数a的值以及z．【答案】(1)|z1−z2|=√5 (2)实数a的值为4,z=−1±2i．【分析】（1）由复数对应点写出复数，应用复数减法求z1−z2，进而求模；（2）复数乘法求z1·z2并确定虚部，设z=−1+m i,m∈R,m≠0，代入方程求参数即可.【详解】（1）由题知z1=1+2i,z2=−1+i，因为z1−z2=1+2i−(−1+i)=2+i，所以|z1−z2|=√22+12=√5．（2）因为z1⋅z2=(1+2i)(−1+i)=−1−2i+i−2=−3−i，所以复数z1⋅z2的虚部为－1，设z=−1+m i,m∈R,m≠0，所以2(−1+m i)2+a(−1+m i)+10=0，整理得12−2m2−a+(am−4m)i=0，所以，得，因为z 1⋅z 1=(a +b i)(a −b i)=a 2+b 2，z 2⋅z 2=(c +d i)(c −d i)=c 2+d 2，所以z 1⋅z 1=z 2⋅z 2，所以C 正确；对于D ，设z 1=a +b i (a ,b ∈R )，由|z 1|=1，得a 2+b 2=1，则可得−1≤a ≤1,−1≤b ≤1，所以|z 1+2i |=√a 2+(b +2)2=√a 2+b 2+4b +4=√5+4b ≤3，b =1时取等号，所以D 正确.故选：BD拓展练习28．数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位i ，j 和k ，而且它们有如下关系：i 2=j 2=k 2=−1,i 0=j 0=k 0=1,ij =k ,ji =−k ,jk =i ,kj =−i ,ki =j ,ik =−j ．四元数一般可表示为a +b i +c j +d k ，其中a ,b ,c ,d为实数．定义两个四元数：α=a 1+b 1i +c 1j +d 1k ,β=a 2+b 2i +c 2j +d 2k，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：αβ=(a 1a 2−b 1b 2−c 1c 2−d 1d 2)+(a 1b 2+b 1a 2+c 1d 2−d 1c 2)i +(a 1c 2+c 1a 2+d 1b 2−b 1d 2)j +．关于四元数，下列说法正确的是（）A ．ijk =−1B ．αα=a 12+b 12+c 12+d 12C ．αβ=βαD ．若α=1+i +j +k ，且αβ=4，则β=1−i −j −k 【答案】AD【分析】由四元数的定义，四元数的乘法定义逐一判断即可．【详解】对于A ：因为ij =k ，所以ijk =k 2=−1，故A 正确；对于B ：设α=a 1+b 1i +c 1j +d 1k (a ,b,c,d ∈R )，由两个四元数之间的乘法定义得，αα=(a 1+b 1i +c 1j +d 1k )(a 1+b 1i +c 1j +d 1k )=(a 1a 1−b 1b 1−c 1c 1−d 1d 1)+(a 1b 1+b 1a 1+c 1d 1−d 1c 1)i +(a 1c 1+c 1a 1+d 1b 1−b 1d 1)j +=(a 12−b 12−c 12−d 12)+2a 1b 1i +2a 1c 1j +2a 1d 1k ，故B 错误；对于C ：设α=a 1+b 1i +c 1j +d 1k ,β=a 2+b 2i +c 2j +d 2k (a ,b ,c ,d ∈R )，则αβ=(a 1a 2−b 1b 2−c 1c 2−d 1d 2)+(a 1b 2+b 1a 2+c 1d 2−d 1c 2)i +(a 1c 2+c 1a 2+d 1b 2−b 1d 2)j +βα=(a 1a 2−b 1b 2−c 1c 2−d 1d 2)+(a 2b 1+b 2a 1+c 2d 1−d 2c 1)i +(a 2c 1+c 2a 1+d 2b 1−b 2d 1)j +当c2d1=d2c1,d2b1=b2d1,b2c1=c2b1，有αβ=βα，所以αβ与βα不一定相等，故C错误；对于D：设β=a+b i+c j+d k(a,b,c,d∈R)，因为αβ=(a−b−c−d)+(b+a+d−c)i+(c+a+b−d)j+(d+a+c−b)k=4，所以，解得，所以β=1−i−j−k，故D正确，故选：AD．29．已知复数ω=z−6z，其中z为虚数，则下列结论正确的是（ ）A．当z=1−i时，ω的虚部为－2B．当z=1−i时，ω=−2+4iC．当z=1+i时，|ω|=2√5D．当z=1+i时，ω在复平面内对应的点在第二象限【答案】BCD【分析】根据复数的运算和几何意义逐项进行分析验证即可求解.【详解】当z=1−i时，ω=1−i−61−i=1−i−6(1+i)(1−i)(1+i)=1−i−3(1+i)=−2−4i，∴ω的虚部为－4，故选项A错误；当z=1−i时，ω=1−i−61−i=1−i−6(1+i)(1−i)(1+i)=1−i−3(1+i)=−2−4i，则ω=−2+4i，故选项B正确；当z=1+i时，ω=1+i−61+i=1+i−6(1−i)(1+i)(1−i)=1+i−3(1−i)=−2+4i．∴|ω|=√(−2)2+42=2√5，故选项C正确；当z=1+i时，ω=−2+4i在复平面内对应的点在第二象限，故选项D正确，故选：BCD．30．已知复数z=a+b i，其中a,b为实数且a≠0．(1)若z(z+z)=2+4i，求z；(2)若ω=z−2z为纯虚数，且1≤|ω|≤2，求|b|的取值范围．【答案】(1)z=1+2i或−1−2i(2)[12,1]【分析】（1）根据共轭复数定义、复数运算法则和复数相等的条件可构造方程组求得结果；（2）根据复数运算法则化简得到ω=(a−2a a2+b2)+(b+2b a2+b2)i，由纯虚数定义可构造方程求得ω=2b i，由复数模长的范围可求得结果.【详解】（1）∵z=a+b i，∴z=a−b i，∴z(z+z)=2a(a+b i)=2a2+2ab i=2+4i，∴，解得：或，∴z=1+2i或−1−2i.（2）∵ω=a+b i−2a+b i=a+b i−2(a−b i)(a+b i)(a−b i)=a+b i−2a−2b ia2+b2=(a−2a a2+b2)+(b+2b a2+b2)i为纯虚数，∴，又a≠0，∴a2+b2=2，则2b≠0，即b≠0，∴ω=2b i，∴|ω|=2|b|∈[1,2]，解得：12≤|b|≤1，即|b|的取值范围为[12,1].。
高中数学 第七章 复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义习题(含解析)新人教A版必修第二册-
7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课后篇巩固提升基础达标练1.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.2.设z1=2+b i(b∈R),z2=a+i(a∈R),当z1+z2=0时,复数a+b i为()A.1+iB.2+iC.3D.-2-iz1+z2=(2+b i)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,所以于是故a+b i=-2-i.3.复数z1=a+4i,z2=-3+b i,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D.5.若z1=2+i,z2=3+a i(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1z1+z2=2+i+3+a i=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,故a=-1.6.已知复数z满足z+1+2i=10-3i,则z=.z+1+2i=10-3i,所以z=(10-3i)-(2i+1)=9-5i.-5i7.已知z是复数,|z|=3且z+3i是纯虚数,则z=.z=a+b i(a,b∈R),则a+b i+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.8.(2020某某六市联考)设m∈R,复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虚数,求m的取值X围.z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,∴z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i.∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-15≠0,且m≠-2,解得m≠5,m≠-3,且m≠-2(m∈R).所以m的取值X围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).能力提升练1.(2019全国Ⅰ高考)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1z=x+y i(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.故选C.2.若|z|+z=3+i,则z=()A.1-iB.1+iC.+iD.-+iz=x+y i(x,y∈R),依题意有+x+y i=3+i,因此解得故z=+i.3.(2020某某检测)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为()A.0B.1C.D.|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为.4.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=.z=a+b i(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+b i)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i.2i5.复数z1=-2m i,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=,对应的点位于第象限.2i)1+z2=(-2m i)+(-m+m=(-m)+(m2-2m)i.∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0.∴解得m=2.∴z2=-2+4i,=-2-4i,对应点为(-2,-4),位于第三象限.三6.已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得故点D对应的复数为5.(2)因为=||||cos B,所以cos B=,即sin B=.于是S=||||sin B==7,故平行四边形ABCD的面积为7.素养培优练复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.。
人教A版必修第二册《7.2 复数的四则运算》练习卷(3).doc
人教A版必修第二册《7.2复数的四则运算》练习卷（3）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.若复数Z满足iz = 2,其中，为虚数单位，则Z等于（）A. -2iB. 2iC. -2D. 22 .若z = 4 + 3L则厂\Zi=()A. 1B. -1S+m D- 5-513.已知冬尹= l + i（i为虚数单位），则复数z =（）A. 1 + iB. 1-iC. —1 + iD. -1-i4 .已知Z,是虚数单位,若复数Z满足z=el + l,则Z的共辄复数5为（）A 1+iA-VB.—2L T+i. 2D.—25 .Z•为虚数单位，7+号+东+5等于（）A. 0B. 2iC. —21D. 4i6.若复数Z满足右= 1 + 2i,则z =()A. l + 3iB. 3 + iC. 3 + 3iD. —1 + 3i7 .已知复数Z1 = 3—,bi, z2 = l-2i,若兰是实数，则实数b的值为（）A. 6B. -6 C wJ 3D*8 .设复数Z满足片=1-Z3,则|z| = ()A. 1B. V2C. V3D. 29 .设复数Z = *，则.1-1z・z =()A. 1 + iB. 1-iC. 1D. 2—\填空题（本大题共6小题，共30.0分）1 0已知复数z满足|z|—z =2 — 4i,贝!Jz =11.计算：—=12.计算：（老尸=——13.设a,b E R f，为虚数单位，若(Q +步)• i = 2 — 5i,则沥的值为.14.已知复数z = 1 + 2i(i为虚数单位)，贝U|z| =.15.定义运算| : 3 = ad-be,则满足条件| ；；：| = 4 + 2i的复数z为三、解答题(本大题共3小题，共36.0分)16.计算：(1)(1 一0(1 + 02 _(5 _ 70 + ?■^一4，；「2) (T+VIi)3 _ (2 + i)2()(l+i)6 4-3i *17.设复数Zi = 2 + Q?(其中。
人教版高中数学必修第二册7.2 复数的四则运算 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册7.2复数的四则运算同步精练【考点梳理】考点一复数加法与减法的运算法则1.设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则(1)z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2.对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有(1)z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3).考点二复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应.考点三复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2.复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1z 2＝z 2z 1结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3考点四复数除法的法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i ≠0)是任意两个复数，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0).【题型归纳】题型一：复数的加减法的代数运算1．（2021·全国·高一）计算：(1)()()54i 33i ++--(2)()()()23i 22i 23i-+-+-+(3)()()32i 7i 23i +---(4)()()()0.5 1.3i 1.20.7i 10.4i +-++-(5)()()()()i i a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤-++-++-⎣⎦⎣⎦(6)()()3242i 6i i--++2．（2021·全国·高一课时练习）计算：(1)()()53i 75i 4i -+--；(2)()()()24i 2i 17i ----+++；(3)234i i i i +++．题型二：复数加减法的几何意义3．（2021·全国·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若A ，C 对应的复数分别为－1＋i 和－4－3i ，则该平行四边形的对角线AC 的长度为（）A ．5B ．5C ．25D ．104．（2020·全国·高一课时练习）在复平面内，复数1322i ω=-+对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为OB ．那么向量AB 对应的复数是（）A ．1B ．1-C ．3iD ．3i-5．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．题型三：复数代数形式的乘法除法运算6．（2021·重庆实验外国语学校高一阶段练习）设复数12,z z ，满足11z =，22z =，123i z z +=-，则12z z -=（）A ．4B ．3C ．6D ．27．（2021·全国·高一课时练习）已知134i z =-，232z i =-.求：(1)12z z ⋅；(2)12z z ；(3)()()221i 1i nn++-（n 为正整数）；(4)()()()()151514141i 1i 1i 1i ++-+--.8．（2021·全国·高一）计算：(1)()()23i 23i -+(2)()()1i 43i --+(3)3113i i 2222⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()212i 1i +-题型四：复数范围内因式分解9．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)28x +；(2)223x x -+；(3)2321x x -+.10．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)44a b -(2)24x +(3)225x x ++(4)2222a b c ab+++题型五：复数范围内解方程11．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）已知复数212313,32z m i z m m i m =--=----，其中3,m m R ≠∈．（1）若12z z -是纯虚数，求m 的值．（2）12,z z 能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．12．（2021·安徽安庆·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位．（1）求,p q 的值；（2）记复数()4i z p q =+-+，求复数1iz+的模．题型六：复数的平方根和立方根13．（2020·全国·高一课时练习）设复数1322z i =+（i 是虚数单位），则2345623456z z z z z z +++++=（）A ．6zB ．26z C ．6z D ．6z-14．（2021·全国·高一专题练习）设z 1是方程x 2－6x ＋25＝0的一个根．(1)求z 1；(2)设z 2＝a ＋i(其中i 为虚数单位，a ∈R )，若z 2的共轭复数z 2满足|z 13·z 2|＝1255，求z 22.题型七：复数的综合运算15．（2021·全国·高一课）计算下列各题．（1）2(1)1i i+-＋2(1)1i i -+－3(34)(22)43i i i -++；（2）4(22)i i +＋2()1i+2＋1()1i i +-7．16．（2021·全国·高一）（1）201611i i +⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）20162321123i i i ⎛⎫-++ ⎪ ⎪-+⎝⎭（3）55(1)(1)11i i i i+-+-+；（4）201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭；（5）548(43)(13)(42)i i i --+；（6）23201920202320192020i i i i i +++++.17．（2021·全国·高一单元测试）i 为虚数单位，(),z a bi a b R =+∈且1z z-是纯虚数，（1）求2z -的取值范围；（2）若0a ≠，11z u z -=+，1v z z=+，求24v u -的最小值.【双基达标】一、单选题18．（2022·全国·高一）设复数z 满足(1i)2i z =＋，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（）A ．1i-+B ．1i--C ．1i+D ．1i-19．（2022·全国·高一）已知i 为虚数单位，则复数12i2i 1iz -=++可化简为（）A ．1i2-+B ．1i 2--C ．1i 3+D ．1i 2-20．（2022·全国·高一）设复数1z ，2z 满足122z z ==，122z z =，则12z z +的最大值是（）A ．2B ．22C ．4D ．4221．（2021·全国·高一课时练习）若关于x 的实系数一元二次方程的两个根分别是113i x =+和213i x =-，则这个一元二次方程可以是（）.A ．2220x x +=-B ．2240x x -+=C ．2321x x -+D ．2240x x ++=22．（2021·全国·高一课时练习）若1i()1ia R z a -∈+=是纯虚数，2z 满足21(1)5z a z +-=，则复数2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．（2021·全国·高一课时练习）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（）A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z =24．（2021·山东邹城·高一期中）1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程()1040x x -=的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为515+-和515--，数系扩充后这两个根分别记为515i +和515i -．若()515i 515i z +=-，则复数z =（）A ．115i -B ．115i +C ．115i 4-D ．115i 4+【高分突破】一：单选题25．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）已知i 为虚数单位，复数z 满足2020(2i)i z -=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的模为15B ．复数z 的共轭复数为21i55--C ．复数z 的虚部为1i5D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限26．（2021·云南省大姚县第一中学高一阶段练习）已知复数134z i =+，复平面内，复数1z 与3z 所对应的点关于原点对称，3z 与2z 关于实轴对称，则12z z ⋅=（）A ．7-B ．7C ．25-D ．2527．（2021·河北·沧州市一中高一阶段练习）i 为虚数单位，复数2i 1i 1z -=+，则z 的虚部为（）A ．3i2B ．32C ．32-D ．3i2-28．（2020·全国·高一课时练习）设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．329．（2021·全国·高一课时练习）已知i 是虚数单位，则复数2020202122i z i -=+对应的点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限30．（2020·全国·高一课时练习）已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =A ．4355i-B ．4355i-+C ．4355i--D ．4355i+31．（2021·全国·高一课时练习）已知i 为虚数单位，复数32i2i z +=-，则以下命题为真命题的是（）A ．z 的共轭复数为74i 55-B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限32．（2021·湖北·武汉市第四十九中学高一阶段练习）复数cos 67.5sin 67.5z i =+，则22z z=（）A ．2222-B ．2222i -+C ．2222i --D ．1二、多选题33．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A ．2340i i i i +++=B ．复数3z i =-的虚部为i-C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线34．（2021·全国·高一课时练习）已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（）A ．若复数z 满足||5z i -=，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，5为半径的圆上B ．若复数z 满足||28z z i +=+，则复数158z i=+C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．复数1z 对应的向量为1OZ ，复数2z 对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥35．（2021·全国·高一单元测试）下列说法正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件36．（2021·湖北·随州市第一中学高一期中）设1z ，2z 为复数，且12z z ≠，下列命题中正确的是（）A ．若12=z z ，则12z z =B ．若12z i z =，则1z 的实部与2z 的虚部互为相反数C ．若12z z +为纯虚数，则12z z -为实数D ．若12z z ∈R ，则1z ，2z 在复平面内对应的点不可能在同一象限37．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）下列命题为真命题的是（）A ．若12,z z 互为共轭复数，则12z z 为实数B ．若i 为虚数单位，n 为正整数，则43n i i +=C ．复数52i -的共轭复数为2i --D ．若m 为实数，i 为虚数单位，则“213m <<”是“复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件38．（2021·江苏·高一期末）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式i e cos isin θθθ=+，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）A ．πi 2e i =B ．πi 4e1=C ．313i 12⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D ．πi πi 44πe ecos 42-+=三、填空题39．（2021·河北·博野县实验中学高一阶段练习）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.40．（2021·上海·高一单元测试）如果z ＝21i-，那么z 100＋z 50＋1＝________.41．（2021·河北·藁城新冀明中学高一阶段练习）已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______42．（2021·全国·高一课时练习）复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.四、解答题43．（2021·上海·高一课时练习）已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数.（1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.44．（2021·上海·高一课时练习）已知复数()()()1124z ai i i a R =++++∈.（1）若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值；（2）求1z -的取值范围.45．（2021·上海·高一单元测试）已知复数1z 、2z 满足1||71z =+、2||71z =-，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.46．（2019·山东·胶州市实验中学高一期中）已知复数w 满足()432(w w i i -=-为虚数单位)，52z w w=+-．()1求z ；()2若()1中的z 是关于x 的方程20x px q -+=的一个根，求实数p ，q 的值及方程的另一个根．47．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z 满足：z 2＝3+4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限.（1）求复数z ；（2）设a ∈R ，且20191|()|21z a z++=+，求实数a 的值.48．（2021·江苏省苏州实验中学高一期中）设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数；（3）求2ωμ-的最小值．【答案详解】1．(1)2i +(2)22i -(3)12i -(4)0.30.2i +(5)22i b b -+(6)3i --【解析】(1)()()54i 33i 534i 3i 2i++--=-+-=+(2)()()()23i 22i 23i-+-+-+2223i 2i 3i 22i=+---+=-(3)()()32i 7i 23i 322i 7i 3i 12i+---=-+-+=-(4)()()()0.5 1.3i 1.20.7i 10.4i +-++-0.5 1.21 1.3i 0.7i 0.4i 0.30.2i=-++--=+(5)()()()()i i a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤-++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()i i 22ia b a b a b a b b b =--+++--=-+(6)()()3242i 6i i 42i 6i 13i --++--+-=--=.2．(1)1212i -(2)12i +(3)0(1)解：由复数的运算法则，可得()()53i 75i 4i (57)(354)i 1212i -+--=+-++=-.(2)解：由复数的运算法则，可得()()()24i 2i 17i (221)(417)i 12i ----+++=-++-+-=+.(3)由i n 的运算规律及方法，可得234i i i i i 1i 10+++=--+=.3．B【解析】【分析】根据复数减法的几何意义求出向量AC 对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出．【详解】依题意，AC 对应的复数为(－4－3i )－(－1＋i )＝－3－4i ，因此AC 的长度为|－3－4i |＝5.故选：B ．4．D【解析】【详解】AB =OB OA-=2ω-ω=21322i ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭－（1322i -+）=1322i --1322i +-=3i -，故选D.5．答案见解析．【解析】【分析】由向量加法的坐标表示可得复数加法过程．【详解】()()()11221212,,,O a b a b a a b C OA OB b =+==+++，对应的两个复数相加的运算过程：()()()()1211221212i i iz z a b a b a a b b +=+++=+++6．C【解析】【分析】先设出复数的代数形式，然后结合已知利用复数的四则运算及复数的模长公式可求得结果【详解】设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，因为复数12,z z ，满足11z =，22z =，123i z z +=-，所以221a b +=，224c d +=，31a c b d ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，所以2222224a c ac b d bd +++++=，所以221ac bd +=-，所以2212()()z z a c b d -=-+-22222()516a b c d ac bd =+++-+=+=，故选：C7．(1)118i-(2)176i 1313-(3)()()1*12,4,,0,41,,2i 2i 2,42,,0,43,n n n n n k k n k k n k k n k k ++⎧=∈⎪=+∈⎪+-=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩N N N N(4)i【解析】【分析】（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.(1)根据复数的加减法和乘法运算规则得，()()12·34i ·32i 118i z z =--=-.(2)根据复数的四则运算规则得，()()()()1234i 32i 34i 176i 176i 32i 32i 32i 131313z z -+--====---+.(3)根据复数的乘方及四则运算规则得，()()()()1*2212,4,,0,41,,1i 1i 2i 2i 2,42,,0,43,n n n n n n n k k n k k n k k n k k ++⎧=∈⎪=+∈⎪++-=+-=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩N N N N(4)根据复数的乘方及四则运算规则得，()()()()()()()()()()()()()()15151414777777141477881i 1i 1i ·1i 1i ·1i 2i ·1i 2i ·1i 2i 22i 2i 2i 2i 1i 1i 2i 2i ++-+++--++---+++====--+----8．(1)13(2)17i-+(3)31i 22-+(4)42i-【解析】【分析】（1）利用复数的乘方运算即可求解.（2）利用复数的乘法运算即可求解.（3）利用复数的乘法运算即可求解.（4）利用复数的乘方以及乘法运算即可求解.(1)()()()2223i 23i 23i 4913-+=-=+=(2)()()21i 43i 43i 4i 3i 17i--+=-++-=-+(3)3113331331i i i i i 2222444422⎛⎫⎛⎫+-+=-+--=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()()()()2212i 1i 12i 12i i 2i 12i 42i +-+-+=-+=-=9．(1)28(22i)(22i)x x x +=+-(2)223(12i)(12i)x x x x -+=-+--(3)212123213(i (i)33x x x x -+-+=--）【解析】【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.(1)2228=8i (22i)(22i)x x x x +-=+-(2)()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-+--(3)∵22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--(∴212123213[()+i][()i]3333x x x x -+=---∴212123213(i (i)33x x x x -+-+=--）10．(1)()()()()i i a b a b a b a b -+-+(2)()()2i 2i x x +-(3)()()12i 12i x x +++-(4)()()i i a b c a b c +++-【解析】【分析】注意()()22i i m n m n m n +=+-,利用配方法和十字叉乘法，结合共轭复数的运算即可在复数范围内分解因式.(1)()()()()()()442222i i a b a b a b a b a b a b a b -=-+=-+-+;(2)()()242i 2i x x x +=+-;(3)()()()()222225141212i 12i x x x x x x ++=++=++=+++-;(4)2222a b c ab +++()()()22i i a b c a b c a b c =++=+++-11．（1）1m =；（2）当3m =-时，12,z z 能为某实系数一元二次方程的两个虚根．【解析】【分析】（1）先求得12z z -关于m 的表达形式，然后根据纯虚数的概念列出方程组，求解即得；（2）根据实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭，其实部相等虚部互为相反数，得到方程组求解即得.【详解】（1）依题意，1333z m i m =-+-，所以212312332z z m m i m ⎛⎫-=+-++ ⎪-⎝⎭．因为12z z -是纯虚数，所以2230,310,32m m m ⎧+-=⎪⎨+≠⎪-⎩解得1m =．（2）假设12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个虚根，因为方程20ax bx c ++=的两个虚根为1,22b i x a-±-=，所以12,z z 互为共轭复数，于是12z z =，从而23,31,32m m m m ⎧-=--⎪⎨=-⎪-⎩解得3m =-．故当3m =-时，12,z z 能为某实系数一元二次方程的两个虚根．12．（1）25p q =-⎧⎨=⎩；（2）102.【解析】【分析】（1）根据条件可得()()324i 0p q p +-++=，然后结合复数相等的条件得到方程组，解方程组即可求出结果；（2）由（1）可以求出复数z ，然后结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果.【详解】（1）根据条件可将12i x =+代入方程20x px q ++=，整理得()()324i 0p q p +-++=，所以30240p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩（2）由（1）可知()4i 2i z p q =+-+=--，所以()()2i 1i 2i 31i 1i 1i 222z -----===-+++于是22313110i 1i 22222z ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，因此复数1i z +的模为102.13．C【解析】由1322z i =+，可求出213i 22z =-+，31z =-，413i 22z =--，513i 22z =-，61z =，,代入原式计算即可.【详解】解：由题意知213i 22z =-+，31z =-，413i 22z =--，513i 22z =-，61z =，∴原式13553i (13i)(3)(223)62222i i ⎛⎫⎛⎫=++-++-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133336622i i z ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查复数的基本运算，属于基础题.14．（1）113434z i z i =-=+或；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解；（2）由z 2=a+i 得其共轭复数，把z 1及2 z 代入|z 13·z 2|＝1255，整理后求解a 的值，代入z 2=a+i 后求解z 22．【详解】(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z 1＝3－4i 或z 1＝3＋4i.(2)由|z ·(a －i)|＝125，得125·＝125，所以a ＝±2.当a ＝－2时，z ＝(－2＋i)2＝3－4i ；当a ＝2时，z ＝(2＋i)2＝3＋4i.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，训练了实系数一元二次方程虚根的求法，考查了复数模的求法，考查了学生的计算能力，是基础题．15．（1）16i -；（2）14i ．【解析】【分析】运用复数的运算法则进行计算即可.【详解】（1）原式()()()()()()233228341111111134i i i i i i i i i i i -+++-⎡⎤⎡⎤=++--⎣⎦⎣⎦-+-()()()()3382122i i i i i i i⨯+=+---88161616i i=+--=-（2）原式()274211614i i i i i i i i=++=--=16．（1）1；（2）1i +；（3）0；（4）2i -；（5）516；（6）10101010i -.【解析】【分析】根据复数四则运算法则计算、化简即可求得结果.【详解】（1）()()()211111i i i i i i ++==--+，又21i =-，3i i =-，41i =，201620164504111i i i i ⨯+⎛⎫∴= =⎪⎝⎭=-；（2）()()()()2016100823123232212123123123i i i i i i i i -+-⎛⎫-+⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭+-⎝⎭()100842521311113i i i ii ⨯=+=+=+-；（3）()()()()()()()()()()332255662211111111111111i i i i i i i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦+=+=+-+-+-+--()()33332244022i i i i -=+=-=；（4）()()()21121112i i i i i i i ++===--+，()()()21121112i i i i i i i ---===-++-，201920192019420192019504331111()2222i i i i i i i i i i ⨯++-⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭-=--====-；（5）()()()()()()()()()445545888431343134313424242i i i i i i i i i ------=⋅=+++()455454888443135252525164225i ii --⨯⨯====⨯+⋅；（6）23201920202320192020i i i i i +++⋅⋅⋅++()()()23456782017201820192020i i i i i i =--++--++⋅⋅⋅+--+()()()222222i i i =-+-+⋅⋅⋅+-()50522i =⨯-10101010i =-.17．（1）()1,+∞；（2）最小值为1-.【解析】（1）先利用1z z-是纯虚数得到()00a b =≠或()2210a b b +=≠，再分两种情况讨论即可得出结果；（2）由（1）及0a ≠可得221a b +=，分别求出复数,u v ，代入24v u -，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ⎛⎫-=+-=-++ ⎪+++⎝⎭，因为1z z-为纯虚数，所以220a a a b -=+且220b b a b +≠+，所以()00a b =≠或()2210a b b +=≠，当()00a b =≠时，()22242,z bi b -=-=+∈+∞，当()2210a b b +=≠时，()222254z a b a -=-+=-，()1,1a ∈-，所以()21,3z -∈，综上：()21,z -∈+∞.（2）由（1）()00a b =≠或()2210a b b +=≠，又0a ≠，所以221a b +=，()()1,00,1a ∈-⋃，22112a bi v z a bi a bi a z a bi a b -=+=++=++=++，()()1,00,1a ∈-⋃，由题意知()()()22111111a bi a bi a bi bi u a bi a a b --+----===+++++，所以()()22222114888111b a a v u a a a a a a ---=+=+=++++，()2819216911a a =++-≥-=-+，当且仅当12a =-时，等号成立，所以24v u -的最小值为1-.【点睛】关键点睛：本题考查有关复数的问题以及基本不等式求最值问题.熟练掌握复数运算法则以及模的求法是解决本题的关键.18．D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(1i)2i z =＋，得2i 2i(1i)2i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z --====+++-，1i z ∴=-．故选：D ．19．A【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】()()12i 1i 12i 13i 1i 2i 2i 2i 1i 222z ------+=+=+=+=+.故选：A20．B【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得||2a ≤，从而可得选项.【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，所以222a b +=①，222c d +=②.又122z z =，所以(i)(i)()i 2a b c d ac bd ad bc ++=-++=，所以2ac bd -=③，0ad bc +=④.由①+②-③×2，得22()()0a c b d -++=，所以a c =，0b d +=.所以2i z a b =-，由①知||2a ≤，故122||22z z a +=≤.故选：B.21．B【解析】【分析】设方程为()200++=≠ax bx c a ，根据韦达定理分别将,b c 用a 表示，即可得出答案.【详解】解：设方程为()200++=≠ax bx c a ，则122b x x a +=-=，所以2b a =-，124c x x a==，所以4c a =，则方程为()()22400a x x a -+=≠，故只有B 选项符合题意.故选：B.22．D【解析】【分析】化简1,z 求出a 再求解2z 即可【详解】()()()()()1i 1-i 11i i ==1i 1i 1-i 2a a a z a ---+-+=+是纯虚数，故10110a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩此时1i z =-()21+15z a z -=，所以()22i 5z +=，即()()()252i 52i 2+i 2+i 2i z -===--，所以复数2z 在复平面内对应的点为()2,1-位于第四象限.故选：D23．D【解析】【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证.【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误；对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-，则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a b b a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则()()()()()()()()22222222221212z z ac bd ad bc ac bd ad bc a b c d z z =-++=+++=++=，D 正确故选：D24．C【解析】【分析】利用复数除法运算求得z .【详解】由()515i 515i z +=-，得()()()22515i515i 25151015i 115i 2515i 4515i 515i 515i z -----====-++-．故选：C ．25．D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z ，再逐项判断.【详解】因为()50520204(2i)i i 1z -===，所以()()()212i 2i 2i 1i 55i 2z +--=++==，A.复数z 的模为22215555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误；B.复数z 的共轭复数为21i 55z =-，故错误；C.复数z 的虚部为15，故错误；D.复数z 在复平面内对应的点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以在第一象限，故正确；故选：D26．C【解析】【分析】根据复数的几何意义可得3z ，进而可得2z ，结合复数形式的乘法运算计算即可.【详解】因为134i z =+，得1z 对应的点为()34，，又复数1z 与3z 对应点关于原点对称，故3z 的对应点为()34--，，所以334i z =--，又复数3z 与2z 关于实轴对称，所以234i z =-+，所以212(34i)(34i)=912i 12i 16i =25z z ⋅=+-+-+-+-.故选：C27．B【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，再根据虚部的定义即可求解.【详解】()()()()2i 1i 12i 113i 13i i 1i 1i 1222z -----====+++--，所以z 的虚部为32，故选：B.28．A【解析】【详解】试题分析：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.29．D【解析】【分析】先化简20202021,i i ，再利用复数的除法化简得解.【详解】20202021212222(2)(2)5i i i z i i i i ---====+++-.所以复数对应的点21(,)55-在第四象限，故选：D【点睛】结论点睛：复数(,)z x yi x y R =+∈对应的点为(,)x y ，点(,)x y 在第几象限，复数对应的点就在第几象限.30．A【解析】【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+，则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．31．D【解析】利用复数的除法运算，化简32i 2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.【详解】()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+，z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，224765555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.32．C【解析】【分析】根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.【详解】由题意，复数cos 67.5sin 67.5z i =+，可得222cos 67.5sin 67.51z =+=，2222(cos 67.5sin 67.5)cos135sin13522z i i i =+=+=-+，所以2222122222222()()2222222222i i z z i i i --===-+-+⋅----.故选：C.33．AD【解析】【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A 选项，234110i i i i i i +++=--+=，故A 选项正确.B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误.C 选项，214434,34z i i i z i =++=-+=--，对应坐标为()3,4--在第三象限，故C 选项错误.D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到()1,0A 和()1,0B -两点的距离相等，故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确.故选：AD34．CD【解析】根据复数减法的模的几何意义，判断A 选项的正确性.设z a bi =+，结合||28z z i +=+求得z ，由此判断B 选项的正确性.根据复数模的定义判断C 选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D 选项的正确性.【详解】满足||5z i -=的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误；在B 中，设(,)z a bi a b R =+∈，则22||z a b =+.由||28z z i +=+，得2228a bi a b i +++=+，222,8,a a b b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩解得15.8,a b =-⎧⎨=⎩158z i ∴=-+，B 错误；由复数的模的定义知C 正确；由1212z z z z +=-的几何意义知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确.故选：CD【点睛】本小题主要考查复数模的运算以及复数加法、减法的模的几何意义，属于基础题.35．AD【解析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a b i a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a b i a b i a a b b a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.36．BD【解析】【分析】根据复数的模扱共轭复数的概念判断A ，由复数的加减法法则和分类判断C ，结合复数的乘法法则及复数的概念、几何意义判断BD ，【详解】若12=z z ，如121,z z i ==，不共轭；若12z z +为纯虚数，则1z ，2z 的实部互为相反数，而虚部不一定相等，所以12z z -不一定为实数，故A ，C 错误；令1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d ∈R ，若12z i z =，则()12z a bi z i c di i ci d =+==+=-，所以a d =-，故B 正确；若()()12z z a bi c di =++()()ac bd bc ad i R =-++∈，则0bc ad +=.如果1z ，2z 在复平面内对应的点在同一象限，那么bc ，ad 同号，不可能使得0bc ad +=，故D 正确.故选：BD ．37．AD【解析】【分析】根据复数的概念与运算法则判断各选项．【详解】设221212,,z a bi z a bi z z a b R =+=-=+∈，所以A 正确；43i i n +=-，所以B 错；522i i =---，所以共轭复数为2i -+，所以C 错；复数(3)(2)(32)(1)m i i m m i +-+=-+-在复平面内对应的点位于第四象限的充要条件是32010m m ->⎧⎨-<⎩，即213m <<，所以D 正确，故选：AD ．38．ABD【解析】【分析】根据i e cos isin θθθ=+可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为i e cos isin θθθ=+所以πi 2e cos+isin i 22ππ==，故A 正确πi422e cos +isin +i 4422ππ==，22πi 422e +122⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确3213i 13i 13i 13i 13i 122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫------==⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误πi πi44cos isin cos isin e e4444cos 224πππππ-⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==，故D 正确故选：ABD39．2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.40．i【解析】【分析】先求出复数()212z i =+，计算出2z 后可求100501z z ++的值.【详解】因为21z i=-，故()212z i =+，所以()22112z i i =+=，故()()251210025021,z i z i i i ==-=⋅=，故100501z z i ++=，故答案为：i .【点睛】知识点睛：对任意的*n N ∈，若41,n k k N =+∈，则41k i i +=，若42,n k k N =+∈，则421k i +=-，若43,n k k N =+∈，则43k i i +=-，若44,n k k N =+∈，则441k i +=.41．51+【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【详解】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|的最大值为22(31)(01)151-+-+=+．故答案为51+．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．42．①②③【解析】【分析】①根据平面向量加法交换律判定；②结合平面向量加法运算法则判定；③由111221OZ OZ OZ OZ ⋅==判定；④结合平面向量数量积判定；⑤结合平面向量数量积判定.【详解】解：①1221OZ OZ OZ OZ =++成立，故①正确；②由平面向量加法运算法则可得1212OZ OZ OZ OZ ≤++，故②正确；③111221OZ OZ OZ OZ ⋅==成立，故③正确；④121212cos OZ OZ OZ OZ OZ OZ θ=⋅⋅⋅≤，故④不成立，⑤若非零向量123OZ OZ OZ ，，，满足1123OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，则123112cos cos OZ OZ OZ OZ θθ⋅=⋅，则3212cos cos OZ OZ θθ=，所以23OZ OZ =不一定成立，故⑤不成立.故答案为：①②③43．（1）1z i =+；（2）()0,∞+.【解析】【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z＝a ＋i ＋2a i +＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+-＝a ＋i ＋2221a ia -+＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0，因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i .（2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0.因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).44．（1）1a =-；（2）72,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】（1）化简z ，得z 在复平面中所对应的点的坐标，代入直线0x y -=计算；（2）代入模长公式表示出1z -，再利用二次函数的性质求解最值即可.【详解】（1）化简得()()()11243(5)=++++=-++z ai i i a a i ，所以z 在复平面中所对应的点的坐标为()3,5-+a a ，在直线0x y -=上，所以3(5)0--+=a a ，得1a =-.（2）2221(2)(5)(2)(5)2629-=-++=-++=++z a a i a a a a ，因为a R ∈，且24926292++≥a a ，所以272126292-=++≥z a a ，所以1z -的取值范围为72,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.45．12473z i z +=±，12||4z z +=.【解析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由于222(71)(71)4++-=，故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则1212||||4z z z z +=-=，()()()2127171473717171z i i z +++=±=±=±--+.【点睛】本题的易错点在127171z i z +=±-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可.46．（1）3z i =+．（2）6p =，10q =， 3x i =-．【解析】【分析】()1利用复数的运算计算出w ，代入z 即可得出．()2把3i z =+代入关于x 的方程20x px q -+=，利用复数相等解出p ，q ，即可得出．【详解】()1()1243w i i +=+，()()()()4312432121212i i i w i i i i +-+∴===-++-，()()()52513222i z i i i i i +∴=+=+=+--+．()23z i =+是关于x 的方程20x px q -+=的一个根，()()2330i p i q ∴+-++=，()()8360p q p i -++-=，p ，q 为实数，830{ 60p q p -+=∴-=，解得6p =，10q =．解方程26100x x +=-，得3x i=±∴实数6p =，10q =，方程的另一个根为3x i =-．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．47．（1）2i --；（2）3±.【解析】【分析】（1）设z ＝c +di （c ，d ∈R ），再由z 2＝3+4i 求解；（2）根据z =﹣2+i ，求得11z z ++，由20191|()|21z a z ++=+求解.【详解】（1）设z ＝c +di （c ，d ∈R ），则z 2＝（c +di ）2＝c 2﹣d 2+2cdi ＝3+4i ，∴22324c d cd ⎧-=⎨=⎩，解得21c d =-⎧⎨=-⎩或21c d =⎧⎨=⎩（舍去），∴z ＝﹣2﹣i ；（2）∵z =﹣2+i ∴()()()()2211111111121i i z i i i i i i i z +++--+=====-+--++，20191|()|21z a z++=+，∴2||12a i a -=+=，解得3a =±48．（1）11,12x -<<；（2）见解析；（3）1.【解析】【详解】（1）因为z 是虚数,∴可设z=x+yi ,,x y ∈R,且0,y ≠、∴1z x y z ω=+=+i 1i x y x y +=++i 222222i x y x x y x y x y y i x y -+=++-+++⎛⎫ ⎪⎝⎭可得22220110y y x y x y z y ⎧-=⎪+⇒+=⇒=⎨⎪≠⎩，此时，2x ω=⇒112x -<<；从而证明u 是纯虚数；（2）0,y u ≠因为所以为纯虚数；（3）22(1y u x x ω-=--+i 2)，然后化简和计算得到222(1)31u x x ω-=++-≥+222(1)31,1x x +⋅-=+。
2024春高中数学第7章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘除运算课件新人教A版必修第二册
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± 2i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2 ＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且
b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
√
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
B
z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，
+ 1 < 0，
所以ቊ
解得a<－1，故选B．
1 − > 0，
13
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；
5－25i
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是(
；(3)
．
2i
2−3i
1−i
[解]
−1 −1× −i
(1) ＝
2i
2i× −i
1+2i
1+2i 2+3i
(2)
＝
2−3i
2−3i 2+3i
(3)
i
＝ ；
2021新教材人教版高中数学A版必修第二册模块练习题--7.2.2 复数的乘、除运算
7.2.2复数的乘、除运算基础过关练题组一复数的乘、除运算1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i2.(2020山东滕州一中高一检测)已知复数z=1-ii(i为虚数单位),则复数z 的虚部是()A.1B.-1C.iD.-i3.已知a+2ii=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于()A.-1B.1C.2D.34.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为()A.-3+iB.3+iC.-3-iD.3-i5.已知i为虚数单位,则复数i2-i的模等于()A.√5B.√3C.√33D.√556.(2020湖北名师联盟高二期末)已知i是虚数单位,复数a+2i2-i为纯虚数,则实数a的值为()A.1B.-1C.12D.27.(2020河北辛集中学高二月考)已知(a+i)(1+bi)=1+3i,其中a,b均为实数,i为虚数单位,则|a+bi|=()A.√5B.2√5C.5D.28.(2020天津高一期末)已知i是虚数单位,z1=3-i1-i.若复数z2的虚部为2,且z1z2的虚部为0,求z2.深度解析题组二复数范围内实系数一元二次方程根的问题9.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为()A.3+iB.1-3iC.3-iD.-1+3i10.(2019上海曹杨二中高二期末)若1+2i是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根,则()A.b=2,c=5B.b=-2,c=5C.b=-2,c=-5D.b=2,c=-111.(多选)(2019上海交大附中高二期末)下列关于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R,a≠0)的说法正确的是()A.两根x1,x2满足x1+x2=-ba ,x1x2=caB.两根x1,x2满足|x1-x2|=√(x1-x2)2C.若判别式Δ=b2-4ac≠0,则该方程有两个相异的根D.若判别式Δ=b2-4ac=0,则该方程有两个相等的实数根12.在复数范围内解下列方程.(1)x2+5=0;(2)3x2+2x+1=0;(3)x2+4x+6=0.13.(2020江苏南京秦淮中学高二期末)已知复数+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).z1=3a+2(1)若复数z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,求实数m的值.能力提升练题组一 复数运算的综合应用 1.(2020东北三省三校高三联考,)设复数z 满足z -ii=z-2i(i 为虚数单位),则z=( )A.12-32i B.12+32i C.-12-32i D.-12+32i2.()复数z=1-i1+i,则ω=z 2+z 4+z 6+z 8+z 10的值为( )A.1 B .-1 C.i D.-i 3.(多选)()对任意z 1,z 2,z ∈C,下列结论成立的是( )A.当m,n ∈N *时,有z m z n =z m+nB.z 1z 2=z 1·z 2C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|z |2=|z|2=z ·zD.z 1=z 2的充要条件是|z 1|=|z 2| 4.()若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=a 1-2i+bi(a,b ∈R)为“理想复数”,则( )A.a-5b=0B.3a-5b=0C.a+5b=0D.3a+5b=0 5.(2020天津一中高二期末,)已知复数z=a -i 2+i(i 为虚数单位,a 为实数)为纯虚数,则|a+2i|= . 6.()设z 的共轭复数是z ,若z+z =4,z ·z =8,则zz 等于 .7.(2020北京大兴高一期末,)已知复数z=(m 2-m)+(m+3)i(m ∈R)在复平面内对应点Z. (1)若m=2,求z ·z ;(2)若点Z在直线y=x上,求m的值.8.(2020北京通州高一期末,)已知复数z=1-i(i是虚数单位).(1)求z2-z;.(2)如图,复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,求z1+z2z题组二复数范围内方程根的问题9.(2019河南南阳高三期中,)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=()A.-1B.1C.-3D.310.(2019上海吴淞中学高二期中,)在复数范围内分解因x2+x-3=.式:-1211.()关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是.12.()已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足|z-b|=1,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.深度解析答案全解全析 基础过关练1.A z 1=1+i,z 2=3-i,所以z 1·z 2=(1+i)·(3-i)=3-i 2+2i=4+2i. 2.B ∵z=1-i i =i+1-1=-1-i, ∴复数z 的虚部是-1. 3.B ∵a+2ii =b+i,∴a+2i=-1+bi, ∴a=-1,b=2.∴a+b=1. 4.C 由(3+z)i=1,得3+z=1i=-i, 所以z=-3-i. 5.D因为i 2-i =i(2+i)(2-i)(2+i)=i(2+i)5=-15+25i,所以|i 2-i |=|-15+25i|=√(-15)2+(25)2=√55,故选D.6.A ∵a+2i 2-i =(a+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2a -2+(a+4)i 5=2a -25+a+45i 为纯虚数,∴{2a -25=0,a+45≠0,解得a=1.7.A 因为(a+i)(1+bi)=1+3i, 所以(a-b)+(1+ab)i=1+3i, 即{a -b =1,1+ab =3,解得{a =-1,b =-2或{a =2,b =1.当a=-1,b=-2时,|a+bi|=|-1-2i|=√(-1)2+(-2)2=√5; 当a=2,b=1时,|a+bi|=|2+i|=√22+12=√5. 综上,|a+bi|=√5.故选A. 8.解析 z 1=3-i 1-i =(3-i)(1+i)(1-i)(1+i)=4+2i2=2+i, 设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1z 2=(2+i)(a+2i)=(2a-2)+(a+4)i, 因为z 1z 2的虚部为0, 所以a+4=0,即a=-4. 所以z 2=-4+2i.方法技巧复数的乘法与多项式的乘法类似,但要注意i 2=-1,复数的除法运算中,除数为虚数时,应利用分母实数化,将除法转化为乘法,体现了转化思想.9.B 根据复数范围内实系数一元二次方程的求根公式,知两个虚数根互为共轭复数,所以另一个根为1-3i.10.B 由题意可知,关于x 的实系数一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根分别为1+2i 和1-2i,由根与系数的关系,得 {(1+2i)+(1-2i)=-b,(1+2i)·(1-2i)=c,解得{b =-2,c =5. 故选B.11.ACD 由一元二次方程根与系数的关系,可得x 1+x 2=-ba ,x 1x 2=ca ,当x 1,x 2是复数时,此关系式仍然成立,故A 正确;当x 1,x 2为虚根时,|x 1-x 2|≠√(x 1-x 2)2,故B 错误;当判别式Δ=b 2-4ac>0时,该方程有两个相异的实数根,当判别式Δ=b 2-4ac<0时,该方程有两个虚数根,且它们互为共轭复数,故C 正确;若判别式Δ=b 2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根,D 正确. 12.解析 (1)因为x 2+5=0, 所以x 2=-5,又因为(√5i)2=(-√5i)2=-5, 所以x=±√5i,所以方程x 2+5=0的根为x=±√5i. (2)因为Δ=4-4×3×1=-8<0, 所以方程3x 2+2x+1=0的根为x=-2±√8i 2×3=-13±√23i. (3)解法一:由x 2+4x+6=0,知Δ=42-4×1×6=-8<0, 所以方程x 2+4x+6=0的根为x=-4±√8i2×1,即x=-2±√2i.解法二:因为x 2+4x+6=0, 所以(x+2)2=-2, 因为(√2i)2=(-√2i)2=-2, 所以x+2=√2i 或x+2=-√2i, 即x=-2+√2i 或x=-2-√2i,所以方程x 2+4x+6=0的根为x=-2±√2i.13.解析 (1)由条件得,z 1-z 2=(3a+2-2)+(a 2-3a-4)i. 因为z 1-z 2在复平面内对应的点落在第一象限,所以{3a+2-2>0,a 2-3a -4>0,所以{-2<a <-12,a <-1或a >4,解得-2<a<-1.所以a 的取值范围是{a|-2<a<-1}.(2)因为虚数z 1是实系数一元二次方程x 2-6x+m=0的根, 所以z 1+z 1=6a+2=6,即a=-1, 所以z 1=3-2i,z 1=3+2i, 所以m=z 1·z 1=13.能力提升练1.B z=2+i 1-i =(2+i)(1+i)2=1+3i 2=12+32i. 2.B z=1-i 1+i =-i(1+i)1+i=-i,z 2=(-i)2=-1, 所以ω=-1+1-1+1-1=-1.3.ABC 由复数乘法的运算律知A 正确;设z 1=a+bi,z 2=c+di(a,b,c,d ∈R),则z 1=a-bi,z 2=c-di,所以z 1z 2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,z 1·z 2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z 1z 2=(ac-bd)-(ad+bc)i=z 1·z 2,故B 正确;由复数的模及共轭复数的概念知C 正确;由z 1=z 2能推出|z 1|=|z 2|,但由|z 1|=|z 2|推不出z 1=z 2,因此|z 1|=|z 2|是z 1=z 2的必要不充分条件,D 错误.4.D z=a 1-2i +bi=a(1+2i)(1-2i)(1+2i)+bi=a 5+(2a5+b)i. 由题意知,a 5=-2a5-b,则3a+5b=0. 5.答案√172解析 因为z=a -i2+i =(a -i)·(2-i)(2+i)·(2-i)=2a -1-(a+2)i5为纯虚数,所以a=12,所以|a+2i|=|12+2i|=√172,故答案为√172.6.答案 ±i解析 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi, 由z+z =4,z ·z =8,得{2a =4,a 2+b 2=8,∴{a =2,b =±2.∴z=2+2i,z =2-2i 或z=2-2i,z =2+2i, ∴z z =2-2i2+2i =-i 或z z =2+2i2-2i =i,即zz =±i. 7.解析 (1)因为m=2, 所以z=2+5i,z =2-5i, 所以z ·z =(2+5i)(2-5i)=29.(2)复数z=(m 2-m)+(m+3)i(m ∈R).在复平面内对应的点为Z(m 2-m,m+3). 因为点Z 在直线y=x 上, 所以m 2-m=m+3, 所以m=-1或m=3. 8.解析 (1)∵z=1-i,∴z 2-z=(1-i)2-(1-i)=1-2i+i 2-1+i =-1-i.(2)由题图得,z 1=2i,z 2=2+i, ∴z 1+z 2z =2i+2+i 1-i =2+3i 1-i =(2+3i)(1+i)(1-i)(1+i) =-12+52i.9.A 当a=0时,解得b ∉R,不符合题意,所以原方程为一元二次方程.因为实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数,所以方程的另一个根为1-i, 根据根与系数的关系,可得{(1+i)+(1-i)=-ba ,(1+i)(1-i)=2a ,解得{a =1,b =-2. 所以a+b=-1.10.答案 -12(x-1+√5i)(x-1-√5i)解析 将-12x 2+x-3=0化简并整理,得x 2-2x+6=0,Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0,则x=2±√20i 2=1±√5i,所以-12x 2+x-3=-12(x-1+√5i)(x-1-√5i). 11.答案 z=4+3i 解析 设z=x+yi(x,y ∈R),则有√x 2+y 2+2x+2yi=13+6i,于是{√x2+y 2+2x =13,2y =6,解得{x =4,y =3或{x =403,y =3.因为13-2x=√x 2+y 2≥0,所以x ≤132,故x=403舍去,故z=4+3i.12.解析 (1)因为b 是方程x 2-(6+i)x+9+ai=0(a ∈R)的实数根,所以(b 2-6b+9)+(a-b)i=0,故{b 2-6b +9=0,a =b,解得a=b=3. (2)由(1)得,b=3,所以|z-b|=1即为|z-3|=1,设z=m+ni(m,n ∈R),则z 在复平面内对应的点Z 的坐标为(m,n),|z-3|=1可以看成是点Z(m,n)到点(3,0)的距离为1,则点Z(m,n)是以(3,0)为圆心,1为半径的圆,如图所示.由图可知,当z=2时,|z|的最小值为2.深度剖析一元二次方程az 2+bz+c=0(a ≠0)的系数为虚数时,仍然可以用求根公式z=-b±√Δ2a 求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实数根,也可以设方程的根为z=x+yi(x,y ∈R),利用待定系数法将z=x+yi 代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于x,y 的方程(组),从而求出x,y 的值,进而得出方程的根.。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第七章复数 复数的四则运算 复数的加、减运算及其几何意义
−2 − 4i
变式训练1（1）计算 −4 − 6i − 3 + 2i + 5 + 4i =________.
[解析](− − ) − + + + = (− − + ) + − − + = − − .
5 + 5i
（2）若 1 − 3i + = 6 + 2i,则复数 =_______.
而 1 + 4i − 3 + 2i = −2 + 2i,即对应的复数是−2 + 2i.
（2）对应的复数;
解 因为 = − ,而 3 + 2i − −2 + 2i = 5,
即对应的复数是5.
（3）△ 的面积.
解 因为 =
=
5
,0
2
1
2
=
1
−
2
=
5
4
解因为 − 3 − 4i = 1,所以复数在复平面内所对应的点在以 3,4 为圆心,半径为1
的圆上,由几何性质得 的最大值是 32 + 42 + 1 = 6.
（2）若本例（2）条件改为已知 = 1且 ∈ ,求 − 2 − 2i （i为虚数单位）的最小值.
解 因为 = 1且 ∈ ,作图如图,所以 − 2 − 2i 的几何意义为以
为圆心的单位圆上的点到复平面上的点 2,2 的距离,所以
− 2 − 2i 的最小值为 − 1 = 2 2 − 1.
本节要点归纳
1.知识清单：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）复数代数形式的加、减运算法则.
（2）复数加、减法的几何意义.
7.2复数的四则运算-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册专题训练
高一数学人教版（2019）必修第二册【7.2复数的四则运算专题训练】【基础巩固】1.已知复数z=a+i1+i(a∈R)是纯虚数，则|z|的值为（）A.1B.2C.12D. -12.若m、n∈R且4+3i3−4i=m+ni（其中i为虚数单位），则m−n=（）A.−125B. -1C.1D.03.复数z=1−2i1+i3的虚部为（）A.−12i B.12i C.−12D.124.若复数z满足iz=2+4i（其中i为虚数单位），在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知a∈R，若(2+ai)(a−2i)=−4i（i为虚数单位），则a=（）A. -1B.0C.1D.26.设复数z满足z(1−i)=1+i，则z的虚部为（）．A. -1B.1C.iD.−i7.已知复数z满足z(2−i)=i(i为虚数单位)，则z=（）A.−1+2i5B.−1−2i5C.1−2i5D.1+2i58.若复数z=2−i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为−iB.|z|=5C.z̅=−2−iD.z2= 3−4i9.复数Z= 1+2ii(i为虚数单位)，则Z的共轭复数是( )A. -2-iB. -2+iC.2-iD.2+i10.设z=2+i1−i，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【培优提升】11.若复数 z =(2+i)(3+ai) 为纯虚数（ i 为虚数单位），则实数 a = ________.12.i 是虚数单位，则复数 2i 1+i = ________.13.已知i 是虚数单位，则5+3i 1−i = ________． 14.若复数 z 满足 |i 1+2i 1z|=0 ，其中 i 是虚数单位，则 z 的虚部为________ 15.已知复数 z 1=2sinθ−√3i,z 2=1+(2cosθ)i,θ∈[0,π]（1）若 z 1⋅z 2∈R ，求角 θ ；（2）复数 z 1,z 2 对应的向量分别是 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 O 为坐标原点，求 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.16.已知复数 z =1−i(i 是虚数单位）.（1）求 z 2−z ；（2）如图，复数 z 1 ， z 2 在复平面上的对应点分别是A ，B ，求z 1+z 2z .17.已知复数 α=2−i ， β=m −i ， m ∈R .（1）若 |α+β|<2|α̅| ，求实数m 的取值范围；（2）若 β 是关于 x 的方程 x 2−nx +10=0(n ∈R) 的一个根，求实数m 与n 的值.18.已知复数 z 满足 (1+2i)z =4+3i （ i 是虚数单位）.求：（1）z（2）|z 2−z̅| .【参考答案】1.【答案】 A2.【答案】 B3.【答案】 C4.【答案】 D5.【答案】 B6.【答案】 B7.【答案】 A8.【答案】 D9.【答案】 D10.【答案】 A11.【答案】 612.【答案】 i+113.【答案】 1+4i14.【答案】 -115.【答案】 （1）解：由 z 1=2sinθ−√3i,z 2=1+(2cosθ)i,θ∈[0,π] ， 可得 z 1⋅z 2=2sinθ+(4sinθcosθ)i −√3i −(2√3cosθ)i 2=2sinθ+2√3cosθ+(4sinθcosθ−√3)i ，由 z 1⋅z 2∈R ，可得： 4sinθcosθ−√3=0 ，所以 sin2θ=√32 ，所以 θ=π6 或 θ=π3 ；（2）解：由题意可得 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2sinθ,−√3) ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2sinθ−2√3cosθ=4sin(θ−π3) 由 θ∈[0,π] ，所以 −π3≤θ−π3≤2π3 ，所以 −2√3≤4sin(θ−π3)≤4 ， 所以 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 [−2√3,4] .16.【答案】 （1）解： ∵z =1−i ，∴z 2−z =(1−i)2−(1−i)=1−2i +i 2−1+i =−1−i（2）解： ∵z 1=2i ， z 2=2+i ，∴ z 1+z 2z =2i+2+i 1−i =2+3i 1−i =(2+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+52i17.【答案】 （1）解：由题意，复数 α=2−i ， β=m −i ， m ∈R . 则 |α̅|=|α|=√22+(−1)2=√5又由 |α+β|=|2−i +m −i|=|m +2−2i|=√(m +2)2+4因为 |α+β|<2|α̅| ，所以 √(m +2)2+4<2√5 ，即 m 2+4m −12<0 解得 −6<m <2 .所以实数m 的取值范围为 (−6,2) .（2）解：因为 β=m −i,(m ∈R) 是方程 x 2−nx +10=0(n ∈R) 的一个根，则 m +i(m ∈R) 也是此方程的一个根，可得 {(m +i)+(m −i)=n (m +i)⋅(m −i)=10 ，解得 {m =3n =6 或 {m =−3n =−6，且满足 Δ=(−n)2−4×13<0 ，所以 {m =3n =6 或 {m =−3n =−6. 18.【答案】 （1）解：由题 z =4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i 5=2−i .即 z =2−i（2）解：由(1) z =2−i ,故 z 2−z̅=(2−i)2−(2+i)=1−5i ,故 |z 2−z̅|=√12+(−5)2=√26 .即 |z 2−z̅|=√26。
高中人教A版必修第二册逆袭之路第七章7.2复数的四则运算
人教A 版（2019）必修第二册逆袭之路第七章7.2复数的四则运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．计算：（1）(65)(32)i i -++；（2）5(22)i i -+；（3）221313324i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++-2．在复平面内，复数65,34i i +-+对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，求向量,AB BA 对应的复数.3．计算：（1）(87)(3)i i ---；（2）(43)(54)i i ---；（3）1(1)2i ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭；（4）1122⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（5）(1)(1)(1)i i i +-+-+.4．计算：（1）22i i-； （2）274i i++； （3）21(2)i -； （4）25(4)(2)i i i ++.5．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．6．在复数范围内解下列方程：（1）2450x x ++=；（2）22340x x -+=.7．已知－3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p 、q 的值．8．利用公式22()()a b a bi a bi +=+-，把下列各式分解成一次因式的积；（1）24x +；（2）44a b -.9．若(,)z x yi x y R =+∈，则复平面内满足|(2)|3z i -+=的点2的集合是什么图形？参考答案1．（1）93i -；（2）23i -+；（3）75612i -；（4）0.30.2i +. 【解析】【分析】根据复数加减法的运算法则直接运算即可.【详解】（1）(65)(32)(63)(52)93i i i i -++=++-+=-；（2）5(22)2(52)23i i i i -+=-+-=-+； （3）221321237511133243234612i i i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--+=+-+--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)(0.5 1.21)(1.30.70.4)0.30.2i i i i i +-++-=-++--=+.【点睛】本题考查了复数加减混合运算，考查了数学运算能力.2．9i --，9i +【分析】根据复数写出它在复平面对应点的坐标，从而知道向量,OA OB 的坐标表示，利用平面向量减法的几何意义求出平面,AB BA 的坐标表示，最后求出对应的复数.【详解】解：由题意得(6,5),(3,4)OA OB ==-，所以(9,1)AB OB OA =-=--，故AB 对应的复数为9i --.因为(9,1)BA AB =-=，所以向量BA 对应的复数为9i +.【点睛】本题考查了复数与平面向量之间的关系，属于基础题.3．（1）2124i -+；（2）32i --；（3）1122+-+-+；（4）122--；（5）1i + 【分析】运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可.【详解】（1）2(87)(3)24212124i i i i i ---=+⋅=-+；（2）2(43)(54)2016151232i i i i i i ---=--++⋅=--；（3）2111(1)222i i i ⎛⎫-++=--+= ⎪ ⎪⎝⎭；（4）21131122442i ⎫⎛⎫--+=+⋅+=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （5）2(1)(1)(1)111i i i i i i i i +-+-+=-+--+=+.【点睛】本题考查了复数乘法的运算、加减法的运算法则，考查了数学运算能力.4．（1）2455i -+；（2）1816565i -；（3）342525i +；（4）138i -. 【分析】运算复数除法的运算法则，结合复数的乘法和加减法的运算法则直接求解即可.【详解】 （1）222(2)42242(2)(2)555i i i i i i i i i ++⋅===-+--+； （2）22(2)(74)1487418174(74)(74)656565i i i i i i i i i i ++--+-⋅===-++-； （3）221113434(2)4434(34)(34)2525i i i i i i i i +====+--+--+； （4）22225(4)5(168)5(158)(12)1530816138(2)2(12)(12)i i i i i i i i i i i i i i i ++++--===----⋅=-++-+--. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.5．3＋5i【解析】试题分析：法一：设D 的坐标为(,)x y ，则对应的复数为,(,)x yi x y R +∈，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即可求解,x y 的值，即可得到点D 对应的复数．法二：设D 的坐标为(,)x y ，由于AD BC =，可得(1,3)(2,2)x y --=，求出,x y 的值，即可得到点D 对应的复数；试题解析：方法一 设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R)，则D(x ，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．∴AC 中点为，BD 中点为.∵平行四边形对角线互相平分，∴，∴.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R)．则对应的复数为(x ＋yi)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于＝.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i. ∴，∴.即点D 对应的复数为3＋5i.点睛：本题主要考查了复数的几何意义及复数的表示，解答中根据复数的表示和平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分和复数相等的坐标间的关系，得到方程，求解,x y 的值，其中熟练掌握复数的运算和复数相等的条件是解答的关键．6．（1）2x i =-±（2）34x ±=【分析】（1）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可；（2）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可.【详解】解：（1）2441540∆=-⨯⨯=-<,∴方程2450x x ++=的根为x =2x i =-±.（2）2(3)424230A =--⨯⨯=-<，∴方程22340x x -+=的根为x =，即x =. 【点睛】本题考查了在复数范围内求一元二次方程根的问题，考查了数学运算能力.7．12{26.p q ＝＝【解析】∵－3＋2i 方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，∴2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0即(10－3p ＋q )＋(2p －24)i ＝0.∴1030{2240p q p －＋＝，－＝解得12{26.p q ＝＝ 8．（1）24(2)(2)x x i x i +=+-；（2）44()()()()a b a b a b a bi a bi -=+-+-.【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解即可；（2）运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】（1）22224(4)(2)(2)(2)x x x i x i x i +=--=-=+-；（2）442222()()()()()()a b a b a b a b a b a bi a bi -=-+=+-+-.【点睛】本题考查了在复数范围内因式分解，考查了平方差公式的应用，属于基础题.9．以(2,1)为圆心，以3为半径的圆.【分析】解法1：根据复数模的几何意义进行判断即可；解法2：根据复数的减法的运算法则和复数模的公式进行求解判断即可.【详解】解法1：由复数模的几何意义可知，复平面内满足|(2)|3z i -+=的点Z 的集合是以21（，）为圆心，以3为半径的圆.解法2：,|(2)||2||(2)(1)|3z x yi z i x yi i x y i =+∴-+=+--=-+-=.3=即222(2)(1)3x y -+-=，故复平面内满足|(2)|3z i -+=的点2的集合是以(2,1)为圆心，以3为半径的圆.【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数学运算能力，属于基础题.。
7.2复数的四则运算-高一数学同步备课系列(基础题,人教A版2019必修第二册)(解析版)
7.2复数的四则运算【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【基础题】一、单选题1．已知复数z 满足2335z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】利用复数的四则运算进行化简，进而判断复数所对应的点所在象限.【详解】 由2335z i i=+-， 得()()2233569101521x i i i i i i =+⋅-=+--=-，故数z 所对应的点位于第四象限，故选：D.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.2．已知i 是虚数单位，复数()3a i a R i-∈的虚部为1，则复数2z ai =+的模为（ ）A BC D ．3【答案】B【分析】 根据复数的除法运算，化简3a i i-，由题中条件，求出a ，再由模的计算公式，即可求出结果. 【详解】 因为22333a i ai i ai i i--+==---，又其虚部为1，则1a -=，所以1a =-， 因此22z ai i =+=-，所以z ==. 故选：B.3．已知i 为虚数单位，复数z 满足()2021121z i i +=+，则z =（ ）A ．35i -B ．35i +C ．35i --D ．35i -+ 【答案】B【分析】先根据复数的运算计算出复数z ，即可求出z .【详解】解：()2021121z i i +=+，2021112i z i +∴=+()10102112i i i+⋅=+ 112i i +=+ ()()()()1121212i i i i +-=+- 2125i i --= 35i -=， 35i z +∴=. 故选：B.4．已知复数511i z i-=+，z 的虚部是（ ） A ．1-B ．i -C ．1D ．i【答案】C【分析】利用复数的乘方和除法法则化简复数z ，利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.【详解】 ()()()25111211112i i i i z i i i i i ----=====-+++-，z i ∴=，因此，z 的虚部是1. 故选：C. 5．计算312i i+-的值是 （ ） A ．715i - B ．715i + C ．713i - D ．713i + 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】312i i +-＝(31)(2)(2)(2)i i i i ++-+＝26325i i i +++＝715i -. 故选：A6．3i 523i-+的虚部为（ ）A ．113B ．913 C ．113 D ．2113【答案】D【分析】给分子分母同乘以23i -，将原式化简为z a bi =+的形式，然后得到虚部.【详解】由题意得，()()()()3i 523i 3i 56i 91015i121i 23i 23i 23i 131313---+-+===-+++-，故其虚部为2113.故选：D. 7．若复数21iz i -=+，复数z 在复平面对应的点为Z ，则向量OZ (O 为原点)的模OZ =（）A ．2BCD ．52【答案】C【分析】 根据复数的除法运算，求得1322z i =-，再利用复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-，又由13||||22OZ z i ==-==故选：C . 8．若复数1a iz i +=-的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．-2【答案】D【分析】 利用复数除法运算化简z ，根据z 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，由此确定正确选项.【详解】依题意()()()()()111112a i i a a iz i i ++-++==-+，()112a a iz --+= 由于z 在复平面内对应的点在第二象限，所以()1010a a -<⎧⎨-+>⎩，解得1a <-，故a 的值可以是-2.故选：D二、多选题9．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．1 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可.【详解】∵()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，∵68m =，∵m =故选：AC.10．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ） A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =【答案】BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)1(1)(1)2i i z i i i --====-+-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题三、填空题11．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·2z 是实数，则实数t ＝________. 【答案】34【分析】计算z 1·2z ，利用虚部为零计算t 即可【详解】∵z 2＝t ＋i ，∵2z ＝t －i ，∵z 1·2z ＝(3＋4i )(t －i )＝3t －3i ＋4ti －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i .又∵z 12z 是实数，∵4t －3＝0，∵t ＝34. 故答案为：3412．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则∵AOB 一定是_______三角形.【答案】直角【分析】根据复数加法，减法的几何意义可知，以,OA OB 为邻边所作的平行四边形的对角线相等，由此可判断三角形AOB 的形状.【详解】根据复数加法，减法的几何意义知，以,OA OB 为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故AOB 为直角三角形．故答案为：直角.13．已知复数z z ·z ＝________. 【答案】14【分析】化简z ,计算z ·z 即可.【详解】z1i-＝4i+ 4i z = 31116164z z ⋅=+= 故答案为：14 四、解答题14．计算：502101(12)1i i i i -⎛⎫+⋅⎡⎤⎢⎥⎢+ ⎪+⎝⎦⎭⎥⎣－20. 【答案】1＋2i .【分析】利用复数的除法、乘方运算法则化简即可. 【详解】()()()21121112i i i i i i i ---===-++-，222i i == 502101(12)1i i i i -⎛⎫+⋅⎡⎤⎢⎥⎢+ ⎪+⎝⎦⎭⎥⎣－20＝[(1＋2i )·1＋(－i )5]2－i 10 ＝(1＋i )2－i 10＝1＋2i .15．计算：（1）(1)(1)(1)i i i +-+-+；（2）2020121()341i i i i+++-- 【答案】（1）1i +（2）4255i + 【分析】（1）根据复数的运算法则可得结果；（2）根据复数的除法运算和乘法运算可得结果.【详解】（1）原式2111111i i i i =--+=+-+=+.（2）原式()()()()()()()2020212341343411i i i i i i i ⎛⎫+++ ⎪=+ ⎪-+-+⎝⎭ ()505451025i i -+=+ 12155i =-++ 4255i =+. 16．（1）已知复数7(43)z i i =-，求||z .（2）已知i 是虚数单位，化简复数：242(1)412i i i i+----. 【答案】（1）||5z =；（2）0；【分析】（1）利用复数的乘法、乘方运算化简z ，根据共轭复数得到34z i =--，进而求||z 即可；（2）利用复数的四则运算，化简求值即可；【详解】（1）78(43)4343z i i i i i =-=-=-，故34z i =--，所以||5z =； （2）2222422(252)(1)4(12)401214i i i i i i i i i i+++---=--+-=-- 【点睛】本题考查了复数的概念以及四则运算，利用共轭复数概念得到共轭复数并求模，应用复数的四则运算化简求值，注意21i =-、41i =的应用；。
2022版新教材数学必修第二册人教A版练习-7.2-复数的四则运算-含解析
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五 复数的四则运算(30分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知a 为实数，复数z ＝(a －2)＋ai(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，若z 为纯虚数，则1－z ＝( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．2＋iD ．2－i【解析】选B.因为z ＝(a －2)＋ai 为纯虚数，所以a ＝2，则z ＝2i ，所以z ＝－2i则1－z ＝1＋2i.2．(2021·金华高一检测)若a ＋1＋ai 1－i＝x ＋yi(a ，x ，y ∈R )，则( ) A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x －ay ＋1＝0D ．x －ay －1＝0 【解析】选B.因为a ＋1＋ai 1－i＝a ＋（1＋ai ）（1＋i ）2 ＝a ＋12 ＋a ＋12i ＝x ＋yi ，所以x ＝a ＋12 ，y ＝a ＋12 ，则x －y ＝0.3．已知复数z ＝1＋i i ，其中i 是虚数单位，则z 在复平面上对应的点在第几象限？( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】选A.由已知z ＝1＋i i ＝（1＋i ）（－i ）i·（－i ）＝1－i ，z ＝1＋i ，对应点坐标为(1，1)，在第一象限．4．(多选题)已知复数z ＝cos θ＋isin θ(－π2 <θ<π2 )(其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z|＝cos θC ．z·z ＝1D ．z ＋1z 为实数【解析】选CD.复数z ＝cos θ＋isin θ(－π2 <θ<π2 )(其中i 为虚数单位)，复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确；|z|＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z·z ＝(cosθ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos (－θ)＋isin(－θ)＝2cos θ为实数，所以D 正确．二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·天津高一检测)已知i 是虚数单位，则5＋3i 1－i＝________. 【解析】5＋3i 1－i ＝（5＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2＋8i 2 ＝1＋4i. 答案：1＋4i6．已知32 ＋12 i 是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0的一个根，则a ＝________，b ＝________．【解析】把32 ＋12 i 代入方程，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 2 ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＋1＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋32b ＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＋12b i ＝0， 所以⎩⎨⎧12a ＋32b ＋1＝032a ＋12b ＝0， 即⎩⎨⎧a ＋3b ＋2＝03a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3 .答案：1 － 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．设复数z ＝2－3i 1＋2i. (1)求z 的共轭复数z ；(2)设a ∈R ，|z ＋ai|＝1，求a 的值．【解析】(1)因为z ＝2－3i 1＋2i ＝（2－3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ） ＝2－4i －3i ＋6i 25 ＝－4－7i 5 ＝－45 －75 i ，所以z ＝－45 ＋75 i ；(2)因为z ＋ai ＝－45 －75 i ＋ai＝－45 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －75 i ， 所以|z ＋ai|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＋⎝⎛⎭⎪⎫a －752 ＝1解得a ＝45 或a ＝2. 8．已知z 1，z 2为虚数，且满足|z 1|＝5，z 2＝3＋4i.(1)若z 1z 2是纯虚数，求z 1；(2)求证：z 1－5z 1＋5为纯虚数． 【解析】(1)设z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R 且b≠0)， 由|z 1|＝5，得a 2＋b 2＝25，①由z 1z 2＝(a ＋bi)(3＋4i)＝(3a －4b)＋(4a ＋3b)i 是纯虚数，得3a －4b ＝0，且4a ＋3b≠0，②联立①②解得a ＝4，b ＝3或a ＝－4，b ＝－3. 所以z 1＝4＋3i 或z 1＝－4－3i ；(2)z 1－5z 1＋5 ＝a －5＋bi a ＋5＋bi ＝（a －5＋bi ）（a ＋5－bi ）（a ＋5＋bi ）（a ＋5－bi ） ＝a 2－25＋b 2（a ＋5）2＋b 2 ＋10b （a ＋5）2＋b 2 i. 由a 2＋b 2＝25，b≠0，可知z 1－5z 1＋5 为纯虚数． 关闭Word 文档返回原板块。
人教A版高中数学必修第二册素养单元课后习题第七章 复数 7.2.2 复数的乘、除运算
7.2.2 复数的乘、除运算A级必备知识基础练1.设z=i(2+i),则z=( )A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i2.若z(1+i)=2i,则z=( )A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1z2是实数,则实数a等于( )A.34B.43C.-43D.-344.设z=1-i1+i+2i,则|z|=( )A.0B.12C.1D.√25.已知复数z满足1-iz-2=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知复数z=1-ii(i是虚数单位),则z2= ;|z|= .7.计算:(1)-12+√32i(2-i)(3+i);(2)(√2+√2i)2(4+5i)(5-4i)(1-i).8.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).(1)求b,c的值;(2)试判断x=1-i是否为方程的根.B级关键能力提升练A.若|z1-z2|=0,则z1=z2B.若z1=z2,则z1=z2C.若|z1|=|z2|,则z1z1=z2z2D.若|z1|=|z2|,则z12=z22,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是( ) 10.若复数z=21+iA.z的虚部为-iB.|z|=2C.z的共轭复数为-1-iD.z2为纯虚数11.(多选题)已知z1与z2是共轭复数,以下说法一定正确的是( )A.z12>|z2|2B.z1z2=|z1z2|=z1C.z1+z2∈RD.1z212.若关于x的方程3x2-ax-1=(10-x-2x2)i有实数根,则实数a的值等2于.参考答案7.2.2 复数的乘、除运算1.D z=2i+i 2=-1+2i,则z =-1-2i.2.D z=2i 1+i=2i (1-i )(1+i )(1-i )=2+2i 2=1+i.3.A z 1z 2=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为z 1z 2是实数,所以4a-3=0,即a=34.4.C z=1-i1+i+2i=(1-i )(1-i )(1-i )(1+i )+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C. 5.D ∵1-iz -2=1+i,∴z-2=1-i1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-i,∴z=2-i,∴复数z 对应的点为(2,-1). 6.2i √2 ∵z=1-i i=(1-i )(-i )-i 2=-1-i,∴z 2=(-1-i)2=2i,|z|=√2. 7.解(1)(-12+√32i)(2-i)(3+i)=(-12+√32i)(7-i)=√3-72+7√3+12i. (2)(√2+√2i )2(4+5i )(5-4i )(1-i )=4i (4+5i )5-4-9i=-20+16i 1-9i=-4(5-4i )(1+9i )82=-4(41+41i )82=-2-2i.8.解(1)因为1+i 是方程x 2+bx+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0, 于是{b +c =0,2+b =0,解得{b =-2,c =2,故b 的值为-2,c 的值为2.(2)由(1)知,方程可化为x 2-2x+2=0,把x=1-i 代入方程,左边得x 2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0等于右边,显然方程成立,所以x=1-i 也是方程的根. 10.D z=21+i=2(1-i )(1+i )(1-i )=1-i.所以z 的虚部为-1,A 错误;|z|=√1+1=√2,B 错误;z =1+i,C 错误;z 2=(1-i)2=-2i,为纯虚数,D 正确.11.BC 设z 1=a+bi(a,b ∈R),则z 2=a-bi.z 12=a 2-b 2+2abi,当ab≠0时,z 12为虚数,|z 2|2为实数,由虚数与实数不能比较大小可知A 错误;z 1z 2=(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2,|z 1z 2|=|a 2+b 2|=a 2+b 2,故B 正确;z 1+z 2=a+bi+a-bi=2a ∈R,故C 正确;1z 2=1a -bi=a+bi (a -bi )(a+bi )=a+bi a 2+b 2,若a 2+b 2≠1,则a+bi a 2+b 2≠a+bi,故D 错误.故选BC.12.11或-715 设方程的实数根为2-a 2m-1=(10-m-2m 2)i, 所以{3m 2-a2m -1=0,10-m -2m 2=0,解得a=11或-715.。
人教A版数学必修第二册第七章【《复数》常考题型综合训练(一)】
《复数》常考题型综合训练（一）题型一：复数的实部与虚部1．（2023春·福建福州·高一校联考期中）复数的虚部是（ ）A．B．4C．3D．2．（2023春·福建三明·高一三明一中校考期中）已知复数，则的虚部为（ ）A．B．C．D．3．（2023春·福建福州·高一福州三中校考期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）A ．B．C．D．4．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）已知，则的虚部为（ ）A．B．C．D．5．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）A．2B．3C．4D．56．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）若复数满足，则下列说法正确的是__________．①的虚部为；②的实部为；③的共轭复数为；④对应的点在第二象限；⑤.题型二：复数相等1．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知复数满足，则__________.2．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数z满足，则_________．3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）若，则____.4．（2023春·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）已知复数（其中为虚数单位），则实数_________．5．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）设，则______.题型三：根据复数相等求参数1．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023春·河南·高二洛宁县第一高级中学校联考期中）已知复数z满足:，则（ ）A．B．C．D．3．（2023·全国·高一专题练习）若，则=（ ）A ．B．C．10D．4．（2023春·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中）已知，分别求实数x，y的值？题型四：复数的类型1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）复数是纯虚数的充要条件是（ ）A．且B．C．且D．2．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）“且”是“复数是纯虚数”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（2023春·高一课时练习）已知是虚数，且是实数，求证：是纯虚数．4．（2023春·陕西宝鸡·高一统考期中）当实数取什么值时，复数是下列数？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.5．（2023春·高一课时练习）“”是“复数是纯虚数”的______条件.（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分又不必要”）题型五：已知复数的类型求参数1．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知复数是纯虚数,则实数=（ ）A．－1B．1C．－2D．22．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如果复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A．0B．2C．0或3D．2或33．（2023春·福建福州·高一校考期中）已知复数.(1)当实数为何值时，复数为纯虚数；(2)当实数为何值时，复数表示的点位于第四象限.4．（2023春·福建·高一福建师大附中校考期中）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．(1)求复数z；(2)求的模．5．（2023春·福建福州·高一福建省福州外国语学校校考期中）已知，复数（其中为虚数单位）（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围.题型六：复数的坐标表示1．（2023春·福建漳州·高二校考期中）复数在复平面内对应的点为，则（ ）A．B．C．D．2．（2023春·河北沧州·高一校考期中）已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）A．B．C．D．3．（2023·全国·高一专题练习）已知， 则在复平面内的坐标是（ ）A．B．C．或D．或4．（2023·全国·高三专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）A．B．C．D．5．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）A．B．C．D．题型七：在各象限内对应复数的特征1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知，则在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）设复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知复平面内，对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（2023春·福建福州·高一校联考期中）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型八：实轴虚轴上点对应复数1．（2023·全国·高一专题练习）若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ）A．4B．2C．D．2．（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）A．第一象限B．实轴上C．第三象限D．虚轴上3．（2023春·福建南平·高一统考阶段练习）以下命题中，正确的是（ ）A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B．如果a+b i=c+d i，那么a=c，b=dC．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应4．（2023·高三课时练习）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则__________．5．（2023·上海徐汇·南洋中学校考三模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数的值为__________.题型九：复数的模1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）A．B．C．D．2．（2023·福建·统考模拟预测）若复数，，在复平面上对应的点在第四象限，则（ ）A．6B．4C．D．3．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）若i是虚数单位，复数z满足，则（ ）A．B．C．D．4．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设复数z满足（i是虚数单位），则（ ）A．B．C．D．5．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）A．2B．C．D．6．（2023春·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）若复数，则__．7．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知z为虚数，若，且.(1)求z的实部的取值范围；(2)求的取值范围.题型十：判断复数对应点所在象限1．（2023·福建福州·统考模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2023春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2023春·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）若复数满足，则在复平面上所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2023春·福建福州·高一校考期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第______ ____象限．题型十一：根据复数的坐标写出复数1．（2023·福建福州·统考模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2023春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2023春·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）若复数满足，则在复平面上所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2023春·福建福州·高一校考期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第______ ____象限．题型十二：根据复数对应坐标的特点求参数1．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（ ）A．B．C．D．2．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）已知复数．(1)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．(2)若复数，求的共轭复数．3．（2023春·福建莆田·高一莆田第二十五中学校考期中）已知、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数.(1)判断复平面内对应的点在第几象限；(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.4．（2023春·福建·高一校联考期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为，(1)若为纯虚数，求的值；(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．5．（2023春·福建三明·高一三明一中校考期中）已知复数是纯虚数（为虚数单位，为实数）.(1)求的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.题型十三：复数的四则运算1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知复数为纯虚数，则实数a等于（ ）A．－1B．0C．1D．22．（2023春·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）若，则复数（ ）A．1B．C．D．3．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）若，其中i为虚数单位，则（ ）A．i B．C．1D．4．（2023春·福建·高一校联考期中）已知复数满足，则（ ）A．B．C．D．5．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为（ ）A ．1B．C．D．16．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）已知（），则复数（ ）A ．B．C．D．7．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）若复数为一元二次方程的一个根，则_____ ．题型十四：共轭复数1．（多选）（2023春·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知与是共轭虚数，则（ ）A．B．C．D．2．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考阶段练习）若复数的共轭复数的实部和虚部相等，则实数的值为（ ）A．1B．C．D．3．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）若，，是的共轭复数，则（ ）A．B．2C．D．104．（2023春·福建莆田·高一莆田第二十五中学校考期中）复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ）A．1B．C．D．5．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）设，则z的共轭复数的虚部为（ ）A．B．C．D．6．（2023春·福建泉州·高三校考阶段练习）若复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于 （ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（2023春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）已知复数（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若.求a，b的值.题型十五：复数综合1．（2023春·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限．(1)求z；(2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB．2．（2023春·福建福州·高一福建省福州延安中学校考期中）当实数m取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件：(1)与原点重合；(2)位于直线上；(3)位于第三象限.3．（2023春·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）已知复数，为虚数单位.(1)求和；(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.4．（2023春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）已知复数（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若.求a，b的值.5．（2023春·福建·高一福建师大附中校考期中）已知为虚数，若，且.(1)求的实部的取值范围；(2)设，求的最小值.6．（2023春·福建福州·高一校联考期中）已知复数．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面内对应的点在直线上，求．7．（2023春·福建福州·高一福州三中校考期中）设虚数z满足.（1）求证：为定值；（2）是否存在实数k，使为实数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.答案解析题型一：复数的实部与虚部1．（2023春·福建福州·高一校联考期中）复数的虚部是（ ）A．B．4C．3D．【答案】B【详解】复数的虚部为.故选：B.2．（2023春·福建三明·高一三明一中校考期中）已知复数，则的虚部为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】复数,故的虚部为.故选：B.3．（2023春·福建福州·高一福州三中校考期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）A ．B．C．D．【答案】D【详解】由已知，解得，故，其虚部为，故选：D.4．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）已知，则的虚部为（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】，虚部为.故选：B5．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【详解】因为且的实部与虚部的和为12，所以，解得，所以，，所以，故选：D6．（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）若复数满足，则下列说法正确的是__________．①的虚部为；②的实部为；③的共轭复数为；④对应的点在第二象限；⑤.【答案】④【详解】由，则，于是的实部是，虚部是，共轭复数，对应的点为，在第二象限，.于是只有④正确.故答案为：④题型二：复数相等1．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知复数满足，则__________.【答案】5【详解】设，，则，因为，所以，所以，所以，即，所以.故答案为：2．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数z满足，则_________．【答案】【详解】.故答案为：2.3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）若，则____.【答案】0【详解】，又，则，解之得，则故答案为：04．（2023春·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）已知复数（其中为虚数单位），则实数_________．【答案】【详解】由题意可知，，解得,所以实数.故答案为：.5．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）设，则______.【答案】/【详解】设，则，所以，，，所以，，则，解得，因此，.故答案为：.题型三：根据复数相等求参数1．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【详解】∵，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，∴，解得，∴，∴，即：，∴复数在复平面内对应的点是，位于第一象限.故选：A.2．（2023春·河南·高二洛宁县第一高级中学校联考期中）已知复数z满足:，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】设则，得，所以.故选：B3．（2023·全国·高一专题练习）若，则=（ ）A ．B．C．10D．【答案】D【详解】因为，所以，解得，所以.故选：D4．（2023春·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中）已知，分别求实数x，y的值？【答案】.【详解】，，因此，解得，所以.题型四：复数的类型1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）复数是纯虚数的充要条件是（ ）A．且B．C．且D．【答案】A【详解】若复数是纯虚数，则，；若，，则是纯虚数，所以复数是纯虚数的充要条件是且．故选：A．2．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）“且”是“复数是纯虚数”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若且，则复数是纯虚数，故充分性成立；若复数是纯虚数，则且，故必要性不成立，故“且”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件.故选：A3．（2023春·高一课时练习）已知是虚数，且是实数，求证：是纯虚数．【答案】证明见解析【详解】设，于是．∵，∴．∵，∴，，∴,∵，、，，∴是纯虚数．所以是纯虚数．4．（2023春·陕西宝鸡·高一统考期中）当实数取什么值时，复数是下列数？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【答案】(1)或(2)且(3)【详解】（1）由题意复数，当，即或时，所给复数是实数.（2）当，即且时，所给复数是虚数.（3）当，即时，所给复数是纯虚数.5．（2023春·高一课时练习）“”是“复数是纯虚数”的______条件.（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分又不必要”）【答案】必要不充分【详解】因为复数是纯虚数且，所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分题型五：已知复数的类型求参数1．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知复数是纯虚数,则实数=（ ）A．－1B．1C．－2D．2【答案】A【详解】,根据题意得,解得.故选:A.2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如果复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A．0B．2C．0或3D．2或3【答案】A【详解】根据纯虚数的概念可知:且，解，得或；当时，符合题意，当时，（舍） ，所以.故选：A.3．（2023春·福建福州·高一校考期中）已知复数.(1)当实数为何值时，复数为纯虚数；(2)当实数为何值时，复数表示的点位于第四象限.【答案】(1)(2)【详解】（1）复数复数为纯虚数, ，解得∴时，为纯虚数．（2）复数表示的点位于第四象限，可得，解得，当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，∴m的取值范围为4．（2023春·福建·高一福建师大附中校考期中）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．(1)求复数z；(2)求的模．【答案】(1)(2)【详解】（1）设复数，因为为实数，所以，则复数，又因为为纯虚数，则，得，所以复数.（2）由（1）可知复数，则，所以的模为.5．（2023春·福建福州·高一福建省福州外国语学校校考期中）已知，复数（其中为虚数单位）（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）因为复数z是纯虚数，所以，解得：；（2）由已知得，因为其在复平面内对应的点位于第一象限，所以，解得：或即实数m的取值范围是.题型六：复数的坐标表示1．（2023春·福建漳州·高二校考期中）复数在复平面内对应的点为，则（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】复数在复平面内对应的点为，则故选：.2．（2023春·河北沧州·高一校考期中）已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【详解】，即在复平面内对应的点的坐标为.故选:D.3．（2023·全国·高一专题练习）已知， 则在复平面内的坐标是（ ）A．B．C．或D．或【答案】C【详解】设，由， 得，，解得，，或，，所以，或，则在复平面内的坐标是或.故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：由题意得，则，所以在复平面内对应的点为，故选：A5．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，得到，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，故选：C.题型七：在各象限内对应复数的特征1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知，则在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【详解】因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限；故选：A2．（2023春·福建龙岩·高一校考阶段练习）设复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】复数，故，对应点的坐标为，位于第二象限.故选：B.3．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知复平面内，对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】设，所以，则，即，所以，，故该点在第二象限，故选：B．4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】解：因为复数，对应的向量分别是，，则复数，因此点位于第二象限，选B5．（2023春·福建福州·高一校联考期中）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】,对应点为, 位于第二象限,选B.题型八：实轴虚轴上点对应复数1．（2023·全国·高一专题练习）若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ）A．4B．2C．D．【答案】C【详解】因为，由题意可得z为实数，所以，所以．故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（ ）A．第一象限B．实轴上C．第三象限D．虚轴上【答案】B【详解】由于，所以，所以对应点的坐标为，在实轴上.故选：B3．（2023春·福建南平·高一统考阶段练习）以下命题中，正确的是（ ）A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B．如果a+b i=c+d i，那么a=c，b=dC．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应【答案】D【详解】A：，当时,不是纯虚数，故A错误；B：如果a＋b i＝c＋d i，当且仅当a、b、c、d R∈时，a＝c，b＝d，故B错误；C：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误；D：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D正确.故选：D.4．（2023·高三课时练习）已知复数，，若所对应的点在实轴上，则_________ _．【答案】【详解】因为，，所以因为所对应的点在实轴上，所以，即故答案为：5．（2023·上海徐汇·南洋中学校考三模）复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数的值为__________.【答案】【详解】由已知，，所以所对应的点为，此点在实轴上，所以，解得.故答案为：题型九：复数的模1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由题意得，则，故选：C2．（2023·福建·统考模拟预测）若复数，，在复平面上对应的点在第四象限，则（ ）A．6B．4C．D．【答案】A【详解】，，由在复平面上对应的点在第四象限，故舍去，．故选：A．3．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）若i是虚数单位，复数z满足，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知，.故选：B.4．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设复数z满足（i是虚数单位），则（ ）A．B．C．D．【答案】A【详解】依题意，，，所以.故选：A5．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）A．2B．C．D．【答案】A【详解】由题意可知，由，得，所以复数z的虚部为.故选：A.6．（2023春·福建福州·高一福建省连江第一中学校考期中）若复数，则__．【答案】【详解】因为，则，则，故答案为：．7．（2023春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知z为虚数，若，且.(1)求z的实部的取值范围；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）设,则，又，则，所以，因为，所以且，所以z的实部的取值范围是.（2）∵，又所以，所以，因此.题型十：判断复数对应点所在象限1．（2023·福建福州·统考模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【详解】设，则，因为复数对应的点位于第二象限，所以,得，所以复数对应的点在第三象限.故选：C2．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【详解】由题意可得：，所以复数z对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．（2023春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【详解】由已知可得，，所以，在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限.故选：A.4．（2023春·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【详解】，z在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）若复数满足，则在复平面上所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【详解】解：，则，即，故在复平面上所对应的点位于第三象限．故选：．6．（2023春·福建福州·高一校考期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限．【答案】二【详解】因为复数，，则，因此，在复平面内对应的点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第而象限.故答案为：二.题型十一：根据复数的坐标写出复数1．（2023·福建福州·统考模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【详解】设，则，因为复数对应的点位于第二象限，所以,得，所以复数对应的点在第三象限.故选：C2．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【详解】由题意可得：，所以复数z对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．（2023春·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【详解】由已知可得，，所以，在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限.故选：A.4．（2023春·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【详解】，z在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）若复数满足，则在复平面上所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【详解】解：，则，即，故在复平面上所对应的点位于第三象限．故选：．6．（2023春·福建福州·高一校考期中）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限．【答案】二【详解】因为复数，，则，因此，在复平面内对应的点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第而象限.故答案为：二.题型十二：根据复数对应坐标的特点求参数1．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）若复数所对应的点在第四象限，且满足，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为复数满足：，即，故或，因为复数所对应的点在第四象限，故复数，所以.故选:C.。
人教A版数学必修第二册第七章【《复数》常考题型综合训练(三)】
《复数》常考题型综合训练（三）【知识框架】【考点讲解】考点一：复数的概念考点二：复数的四则运算考点三：复数的乘除法运算考点四：复数的三角表示考点一：复数的概念【知识点梳理】1.把形如a+b i(a,b∈R)的数叫做复数，记，其中i叫做虚数单位，为实部，为虚部.2.复数的分类复数3.复数的模复数的模或绝对值，记作或.如果，那么是一个实数，它的模等于(就是的绝对值).由模的定义可知，==.4.复数的相等已知，若，则5.共轭复数的共轭复数为【典例例题】例1.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________．例2.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2例3.（2022年潮州市高一期末）设复数，则z的共轭复数的虚部为（）A. 1B. -1C.D. -例4.（2023年广州市第一中学期中）（多选）实数满足，设，则下列说法正确的是（）A. z在复平面内对应的点在第一象限B.C. z的虚部是D. z的实部是1【变式训练】1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（）A．B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点位于第四象限2.（2022年广东省东莞市期末试题）已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限C. z的共轭复数为−2−3iD. 若z(m+4i)是纯虚数，则m=−63.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．4．（2022年广东省深圳市高一期末试题）已知复数，m∈R．(1)若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．(2)若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．5.（2023年江苏省苏州市期中试题）已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.考点二：复数的四则运算【知识点梳理】1.复数的加、减运算法则已知，则2.复数的加、减运算运算律对任意,,∈C，有①交换律：+=+；②结合律：(+)+=+(+).【典例例题】例1.（2022秋·贵州毕节·高一期中）已知z1=1+i，z2=2−2i，则z1+2z2=（）A．4B．5+3i C．4−3i D．5−3i 【变式训练】1.（2022秋·云南·高一期中）已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2z=（）A．−1−6i B．−1+6i C．1−6i D．1+6i2.（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2(z+z)+3(z−z)=2+3i，则z=（）A．12+12i B．12−12i C．2+2i D．2−2i3.（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i4.（2022春·高一期中）如图，设向量⃗O P，⃗P Q，⃗OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0考点三：复数乘除法运算【知识点梳理】1.复数乘法的运算法则已知，则2.复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有①交换律：=；②结合律：()=()；③分配律：(+)=+.复数运算仍然满足整式运算的平方差和完全平方公式3.复数的除法运算法则已知，则【典例例题】例1.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2例2.（2022年广州市二中高一期末） 已知是虚数单位，复数，则z是（）A. B. C. D.【变式训练】1. （2022年梅州市高一期末） 已知，则（）A. B. C. D.2.（2022年揭阳市高一期末） 复数的虚部为（）A. B. C. D.3.（2023年广东省佛山市期中试题）已知复数z的共轭复数为，若，则（）A. z的实部是1B. z的虚部是C.D.4.（2022年梅州市高一期末） 已知复数，i是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求m的值和；（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．5.（2022年潮州市高一期末）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.（1）求实数a的值；（2）若，求复数的模.6.（2023年江苏省苏州市期中试题）设是虚数，是实数且.（1）求的值以及实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数.【巩固练习】熟练掌握复数的四则运算考点四：复数的三角表示【知识点梳理】1.复数求根复数范围内系数一元二次方程的求根公式为:（1）当时，；（2）当时，2.复数的三角表示式如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+b i都可以表示成r(+i)的形式.【典例例题】例1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若是关于的方程的一个根，则___ ________.例2.（2023年江苏省苏州市期中试题） 欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（）A. B. C. D.【变式训练】1.（2023年江苏省苏州市期中试题）（多选）若关于的方程的一个根是，则下列说法中正确的是（）A. B.C. 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D. 在复平面内对应的两点间的距离为2.（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(cos x+i sin x)n=cos nx+i sin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosπ6+i sinπ6)2023在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）A. B.C. －iD. ＋i【巩固练习】1.（多选）已知复数：满足，则（）A．B．z的虚部为C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根2.（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若是虚数，则都是虚数.A．①④B．②C．②③D．①②③3.在复平面内，复数z=2i−2i（）A．位于第一象限 B．对应的点为(2,−2)C．|z|=2D．是纯虚数4.（2023年江苏省苏州市期中试题）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数②复数是纯虚数③复数在复平面内对应的点位于第三象限④如果复数满足，则的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.5.（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.6.（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（）A．2B．C．D．7.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知是复数，和都是实数，（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.答案解析【典例例题】例1.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位，则___________．【答案】【解析】【详解】因为，，，所以，所以，则，故答案为：例2.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【详解】，，故选：B例3.（2022年潮州市高一期末）设复数，则z的共轭复数的虚部为（）A. 1B. -1C.D. -【答案】B【解析】【详解】因为，所以，所以虚部是.故选：B例4.（2023年广州市第一中学期中）（多选）实数满足，设，则下列说法正确的是（）A. z在复平面内对应的点在第一象限B.C. z的虚部是D. z的实部是1【答案】ABD【解析】【详解】实数满足，可化为，所以，解得，所以，对于A，z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故A正确.对于B，|z|=，故B正确.对于C，z的虚部是1，故C错误.对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.【变式训练】1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若，其中为虚数单位，则下列关于复数的说法正确的是（）A．B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AD【解析】【详解】设，则，，则，即得，即，，A 正确；的虚部为，B错误；，C错误；在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确.故选：AD.2.（2022年广东省东莞市期末试题）已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限C. z的共轭复数为−2−3iD. 若z(m+4i)是纯虚数，则m=−6【答案】BD【解析】解：∵z=2−3i，∴|z|=√22+(−3)2=√13，z在复平面内对应的点(2,−3)位于第四象限，z−=2+3i，故AC错误，B正确，z(m+4i)=(2−3i)(m+4i)=2m+12+(8−3m)i为纯虚数，则{2m+12=08−3m≠0，解得m=−6，故D正确．故选：BD．3.（2022年惠州市市高一期末）已知复数，其中为虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）5（2）【解析】【小问1详解】因为复数z 是纯虚数，所以，解得.【小问2详解】因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得.4．（2022年广东省深圳市高一期末试题）已知复数，m∈R．(1)若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．(2)若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．【答案】(1)m＝1或(2)m＝4，【解析】(1)依题意得，，解得：m＝1或(2)∵与共线，则解得：m＝4或当m＝4时，代入可以得到，满足在第一象限，成立当时，代入可得到，不满足在第一象限，舍去∵与共线且反向，则方向的单位向量为5.（2023年江苏省苏州市期中试题）已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，则，解得；【小问2详解】若，则，由②得③，将①③相加得，故，因为，则当时，，当时，，所以的取值范围为.考点二：复数的四则运算【知识点梳理】1.复数的加、减运算法则已知，则2.复数的加、减运算运算律对任意,,∈C，有①交换律：+=+；②结合律：(+)+=+(+).【典例例题】例1.（2022秋·贵州毕节·高一期中）已知z1=1+i，z2=2−2i，则z1+2z2=（）A．4B．5+3i C．4−3i D．5−3i【解答过程】由z1=1+i，z2=2−2i得，z 1+2z2=1+i+2×(2−2i)=5−3i，故选：D.【变式训练】1.（2022秋·云南·高一期中）已知复数z在复平面内对应的点为(1,−2)，则z−2z=（）A．−1−6i B．−1+6i C．1−6i D．1+6i【解答过程】由题意知z=1−2i，z=1+2i，则z−2z=1−2i−2(1+2i)=−1−6i.故选：A.2.（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数z满足2(z+z)+3(z−z)=2+3i，则z=（）A．12+12i B．12−12i C．2+2i D．2−2i【解答过程】设z=a+b i(a,b∈R)，则z=a−b i，所以z+z=(a+b i)+(a−b i)=2a，z−z=(a+b i)−(a−b i)=2b i，所以2(z+z)+3(z−z)=4a+6b i=2+3i，所以a=12,b=12,z=12+12i.故选：A.3.（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,−2+i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．A．3+i B．3−i C．1−3i D．−1+3i【解答过程】∵⃑O C＝⃑O A+⃑OB，∴⃑O C对应的复数为：1+2i−2+i=−1+3i，∴点C对应的复数为−1+3i．故选D．4.（2022春·高一期中）如图，设向量⃗O P，⃗P Q，⃗OQ所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0【解答过程】由题图可知，⃗O P−⃗P Q+⃗O Q=⃗0，Q P=⃗0，∴⃗P Q+⃗∴z1＋z2－z3＝0.故选：D.考点三：复数乘除法运算【知识点梳理】1.复数乘法的运算法则已知，则2.复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有①交换律：=；②结合律：()=()；③分配律：(+)=+.复数运算仍然满足整式运算的平方差和完全平方公式3.复数的除法运算法则已知，则【典例例题】例1.（2023年广东省佛山市期中试题）若复数的实部与虚部相等，则的值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【详解】，，故选：B例2.（2022年广州市二中高一期末） 已知是虚数单位，复数，则z是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：故选：A【变式训练】1. （2022年梅州市高一期末） 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，故选：B.2.（2022年揭阳市高一期末） 复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由已知得，则复数的虚部为，故选：D.3.（2023年广东省佛山市期中试题）已知复数z的共轭复数为，若，则（）A. z的实部是1B. z的虚部是C.D.【答案】AC【解析】【详解】解：因为，所以，所以，，的实部为，虚部为；故选：AC4.（2022年梅州市高一期末） 已知复数，i是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求m的值和；（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求m的取值范围．【答案】（1），； （2）.【解析】【小问1详解】依题意得，，若是纯虚数，则，解得，，.【小问2详解】由（1）知，，，，复数在复平面上对应的点位于第二象限，，解得，即.5.（2022年潮州市高一期末）已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.（1）求实数a的值；（2）若，求复数的模.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】由已知得：，且是纯虚数，∵，∴.【小问2详解】由（1）得：，∴∴.6.（2023年江苏省苏州市期中试题）设是虚数，是实数且.（1）求的值以及实部的取值范围；（2）若，求证：为纯虚数.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【小问1详解】设(，且)，则，∵是实数，，∴，即，则，又∵，∴，即，∴的实部的取值范围为；【小问2详解】，因为，，所以为纯虚数.考点四：复数的三角表示【知识点梳理】1.复数求根复数范围内系数一元二次方程的求根公式为:（2）当时，；（2）当时，2.复数的三角表示式如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.一般地，任何一个复数z=a+b i都可以表示成r(+i)的形式.【典例例题】例1.（2022年广东省深圳市高一期末试题）若是关于的方程的一个根，则___ ________.【答案】【解析】【详解】解：因为是关于的方程的一个根，所以时方程的另一个根，则，所以.故答案为：.例2.（2023年江苏省苏州市期中试题） 欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】，，，，，即，，.故选：A.【变式训练】1.（2023年江苏省苏州市期中试题）（多选）若关于的方程的一个根是，则下列说法中正确的是（）A. B.C. 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限D. 在复平面内对应的两点间的距离为【答案】AD【解析】【详解】由条件可知，，整理为，则，，故A正确，B错误；，其共轭复数，对应的点的坐标为，在第三象限，故C错误；，对应的点为，，对应的点为，两点间的距离，故D正确.故选：AD2.（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(cos x+i sin x)n=cos nx+i sin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosπ6+i sinπ6)2023在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）A. B.C. －iD. ＋i【答案】D【解析】【详解】故选:D.【巩固练习】1.（多选）已知复数：满足，则（）A．B．z的虚部为C．z的共轭复数为D．z是方程的一个根【答案】AD【解析】因为，所以，对A：，故选项A正确；对B：z的虚部为，故选项B错误；对C：z的共轭复数为，故选项C错误；对D：因为方程的根为，所以z是方程的一个根，故选项D正确.故选：AD.2.（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若是虚数，则都是虚数.A．①④B．②C．②③D．①②③【答案】C【解析】为复数，①若，因为没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故是错误的，②若，设，则，由，得，所以，正确，③若，则，正确，④若是虚数，不一定都是虚数，比如，而是虚数，故错误，故②③正确，故选：C.3.在复平面内，复数z=2i−2i（）A．位于第一象限 B．对应的点为(2,−2)C．|z|=2D．是纯虚数【解题思路】根据复数的除法运算化简z=4i，根据复数的相关概念一一判断各选项，即得答案.【解答过程】由题意可得z=2i−2i=2i−2ii2=2i+2i=4i，故复数z=2i−2i对应的点为(0,4)，位于y轴正半轴上，故A,B错误；|z|=√02+42=4，C错误；z=4i为纯虚数，D正确，故选：D4.（2023年江苏省苏州市期中试题）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数②复数是纯虚数③复数在复平面内对应的点位于第三象限④如果复数满足，则的最小值是2以上命题中，正确命题的序号是______.【答案】②③【解析】【详解】对于①，因为为纯虚数，所以，解得，故①错误；对于②，因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；对于③，因为，，所以在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，表示复数z对应的点Z到点和到点的距离之和，又因为，所以复数z对应的点Z在线段AB上，而表示点Z到点的距离，所以其最小值为，故④错误．故答案为：②③．5.（2022·全国·高一专题练习）已知是关于x的方程的根，则实数______.【答案】2【解析】因为是关于x的方程的根，所以也是方程的根，所以，得，故答案为：26.（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.7.（2023年江苏省镇江市期中试题）已知是复数，和都是实数，（1）求复数；（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）设，则，因为和都是实数，则，解得，，所以.（2）设，则方程为，即，若方程有实数根，则，解得，，所以纯虚数.。
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高中数学必修第二册精英同步测试卷：7.2复数的四则运算（含
解析)
1、已知复数z 满足
i i z z =--,其中i 为虚数单位,则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、设1i z =-（i 为虚数单位），则复数2i z +为( )
A.2i -
B.1i -
C.2i +
D. 1i + 3、设i 是虚数单位，复数
i 2i a +- 是纯虚数，则实数a ＝( ) A. 2 B. 12 C. 12- D. －2
4、在复平面内,复数13i -,(1)(2)i i +-对应的点分别为,A B ,则线段AB 的中点C 对应的复数为( )
A. 42i -+
B. 42i -
C. 2i -+
D. 2i -
5、设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共辗复数.若1i z =+,则
i i
z z +⋅=( ) A.2- B.2i - C.2 D.2i 6
、若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则( )
A. 2b =,3c =
B. 2b =-,3c =
C. 2b =-,1c =-
D. 2b =,1c =- 7、复数i 12i
-(i 为虚数单位)的虚部是( ) A ．1
i 5
B ．1
5- C ．1i 5- D ．15 8、2|
|1i =+（ ）
A. B.2
D.1
9、设复数z 满足26z z i +=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10、在复平面内,复数11i z =
-对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
11、已知复数512i z i
=
-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第 _____ 象限. 12、复数()()211i R z a a a =-++∈是纯虚数,则z =__________.
13、已知复数(,)z a bi a b R =+∈满足1z =,则a b ⋅范围是__________
14、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+
⋅= ⎪⎝⎭
__________. 15、复数
i i 1-的共轭复数是_________.
答案以及解析
1答案及解析：
答案：B 解析：由题意
2i,z i i ,(1i)1i
z z z z =-=-++=--, ∴11(1i)1i 11z i 1i (1i)(1i)222----+====-+++-,在复平面对应的点为11(,)22-, 故z 在复平面内对应的点位于第二象限,故选B
2答案及解析：
答案：D
解析：
3答案及解析：
答案：B
解析：
4答案及解析：
答案：D
解析：∵(1)(2)3i i i +-=+,
∴B 的坐标为(3,1).
A 的坐标为(1,3)-,
则线段AB 的中点C 的坐标为(2,1)-.
∴线段AB 的中点C 对应的复数为2i -.
5答案及解析：
答案：C 解析：由题意()1i 1i 1i i i
z z ++⋅=+-()21i i 1i 1i 1i 2i +=++=-++=,故选 C.
6答案及解析：
答案：B
解析：解法一:因为1+是实系数方程的一个复数根,
所以1也是实系数方程的复数根,
根据根与系数的关系得112b ++==-,
()()
113c ==, 所以2b =-,3c =,选B.
解法二:1+是关于x 的实数方程20x bx c ++=的一个根,
∴()()
2110b c ++++=,
整理得()()1i 0b c +-+=,
则0,10,
b c ⎧=+-=⎪⎨⎪⎩解得2,3,b c =-=⎧⎨⎩故选B.
7答案及解析：
答案：D
解析：
8答案及解析：
答案：C
解析：
9答案及解析：
答案：D
解析：设复数()z a bi a b =+∈R ,，则有()26a bi a bi i ++-=+，即36a bi i -=+，所以361
a b =⎧⎨-=⎩，解得21
a b =⎧⎨=-⎩，所以2z i =-所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.
10答案及解析：
答案：A 解析：因为11i 1i (1i)(1i)z +=
=--+11i 22=+，在复平面内对应的点为11(,)22
，位于第一象限，故选A.
11答案及解析：
答案：四
解析：
12答案及解析：
答案：2
解析：复数()211i z a a =-++是纯虚数,
所以21010
a a ⎧-=⎨+≠⎩解得1a =,所以2i z =,2z =.
13答案及解析： 答案：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
解析：
14答案及解析：
答案：6
解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛
⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭
.
15答案及解析： 答案：
11i 22+ 解析：
i i(1i)11i i 1222--==--,所以其共轭复数是11i 22
+.。