北师大版九年级上册数学 1.2 矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

北师大版九年级上册数学1.2 矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）

【矩形的性质】

1．矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

温馨提示

①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；

②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；

③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。 2. 矩

形的性质

（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .

（2）矩形的四个角都是直角.

（3）矩形的对角线相等.

（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..

矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．

矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．

矩形中的全等三角形：

全等的等腰三角形有：，

全等的直角三角形有：

点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).

温馨提示：

①矩形具有平行四边形的一切性质；

②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；

③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；

④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

【练习】

1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )

A．2 B．3 C．4 D．5

如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )

A．30° B．22.5° C．15° D．10°

3．如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.

第4题第5题第6题第7题

4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF＝________cm.

5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )

A．15° B．25° C．35° D．45°

6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．6

7.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )

A．5 B．8 C．13 D．20

8.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.

9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.

(1)求证：△ACD≌△EDC；

(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．

【矩形的判定】

1.矩形的判定定理

（1）有三个角是直角的四边形是矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

温馨提示

②四个角均相等的四边形是矩形；

③有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形；

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

4.下列命题错误的是( )

A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：

①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.

下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是( )

A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥

6.如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：四边形PMQN是矩形．

7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．

8.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.

【矩形的性质与判定的综合应用练习】

1.在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝_______cm.

4.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF ⊥AC于点F，则EF长的最小值为( )

A．4 B．4.8 C．5.2 D．6

5.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为________cm.

6.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．

7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.

求证：四边形EFPH为矩形．

8.如图，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.

(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；