驻马店市一高高三年级数学竞赛试题

驻马店市一高高三年级数学竞赛试题命题人：杨国举 2005、01、03本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、（文）集合A ={x |x =2k ,k ∈Z}，B ={x |x =2k +1,k ∈Z}，C ={x |x =4k +1,k ∈Z},又a ∈A ,b ∈B ，则有（ ）A 、a +b ∈AB 、a +b ∈BC 、a +b ∈CD 、a +b 不属于A ，B ，C 中的任意一个（理）已知M ={x |x =3k ,k ∈Z}，P ={x |x =3k +1,k ∈Z}，Q ={x |x =3k －1,k ∈Z}，若a ∈M ，b ∈P ,c ∈Q ,则a +b －c ∈（ ）A 、MB 、PC 、 QD 、 M ∪P2、已知f (x )=sin(x +2π),g (x )=cos(x －2π)，则f (x )的图象（ ） A 、与g (x )的图象相同 B 、与g (x )的图象关于y 轴对称C 、向左平移2π个单位，得到g (x )的图象D 、向右平移2π个单位，得到g (x )的图象 3、等比数列}{n a 的公比为q ，则“01>a ，且1>q ”是“对于任意正自然数n ，都有n n a a >+1”的（ ）A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、既不必要也不充分条件4、在抛物线y px 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ）A 、21B 、1C 、2D 、45、若=a ，=b ，则∠AOB 平分线上的向量为（ ）A 、||||b b a a +B 、λ(||||b b a a +)，λ由决定 C 、||b a b a ++ D 、||||||||b a b a a b ++ 6、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y =x 2，值域为｛1，4｝的“同族函数”共有（ ）A 、7个B 、8个C 、9个D 、10个7、已知函数：①f(x )=x 2+1,x ∈(－1,1) ②f(x )=)1,1(,3323-∈-x x ③f(x )=2x +3,x ∈R ④f(x )=|x +1|+1,对定义域内任意两不等自变量x 1，x 2满足| f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|恒成立的函数有（ ）A 、①②③B 、①②④C 、①③④D 、②③④8、设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为94，A 发生B 不发生的概率与B 发生但A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P （A ）等于（ ）A 、91B 、92C 、31 D 、32 9、直线x －y +3=0与曲线4||92x x y -=1的交点个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个10、有红、黄、蓝三色球中各有标号为A 、B 、C 、D 的球各一个，从这12个球中任取4个球，颜色齐全，标号也齐全的取法共有（ ）A 、12种B 、24种C 、36种D 、48种11、设函数)(x f 的定义域为R ，且)0)(()(),()(><+-=-d x f d x f x f x f ，若不等式0)()(2<+a f a f 成立时，则a 取值范围是（ ）A 、),0()1,(+∞--∞B 、)0,1(-C 、),1()0,(+∞-∞D 、),1()1,(+∞-∞12、已知线段AD ∥平面α，且与平面α的距离等于3，点B 是平面α内的动点，且满足AB =5，若AD =8，则点D 与点B 的距离d 满足（ ）A 、d 的最大值为89最小值为73B 、d 的最大值为317，最小值为5C 、d 无最大值，最小值为5D 、d 的最大值为317，无最小值驻马店市一高高三年级数学竞赛试题答 题 卷一、选择题：（60分，每小题5分）请把选择题答案填在下表内：二、填空题：（16分，每小题4分。

把答案直接填在题中横线上。

）13、在(1－x )6(1+x +x 2)的展开式中，x 2的系数为__________.14、已知A 、B 、D 三点在曲线x y =（x ＞0）上，其横坐标依次为1、m 、4（1＜m ＜4＝，当△ABC 的面积取最大时，m 的值是 .15、（文）已知数列}{n a 的前n 项和121-=+n n S ，则数列}{n a 的通项公式=n a . （理）若函数)1(1+-x f 为函数)1(+x f 的反函数，且0)0(=f ，则=)2004(f .16、（文）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________. （理）已知使函数a ax x y 3423-+=的导数为零的x 值，也使y 值为零，则实数a 的取值集合为 .17、（12分）（文）已知21)4tan(=+απ（1）求αtan 的值； （2）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值。

（理）在△ABC 中，若cosB=A B sin sin ,AA cos 1sin +=sinB,求证：A =C.18、（12分）已知12)(-=x x f 的反函数为)(1x f-，)13(log )(4+=x x g . (1)若)()(1x g x f ≤-，求x 的取值范围D ；(2)设函数)(21)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，求函数)(x H 的值域19、(12分)（文）如图，△ABC 中，AC =BC ，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE =AB =2，F 为BE 的中点，DF ∥平面ABC ，（1）求CD 的长；（2）求证：AF ⊥BD ；（3）求平面ADF 与平面ABC 所形成的较小的二面角的度数.（理）如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB =1，PA =h ，AD =y .(1)试求y 关于h 的函数解析式；(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角；(3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径.20、（12分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),90(32),901(961N x x N x x x P 注：次品率生产量次品数=P ，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利2百元，但每生产一件次品将亏损1百元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （百元）表示为日产量x （件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？21、(12分)直线l :ax －y －1=0与曲线C ：x 2－2y 2=1交于P 、Q 两点，(1)当实数a 为何值时，|PQ |=221a +?(2)是否存在a 的值，使得以PQ 为直径的圆经过原点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.22、（14分）已知f (x )在（－1，1）上有定义，f (21)=－1，且满足x ,y ∈(－1,1)有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1) （1）证明：f (x )在（－1，1）上为奇函数；（2）对数列x 1=21,x n +1=212nn x x +,求f (x n ); （3）求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n驻马店市一高高三年级数学竞赛试题答 案一、选择题：（60分，每小题5分）请把选择题答案填在下表内：二、填空题：（16分，每小题4分。

把答案直接填在题中横线上。

） 13、10 14、49 15、（文）⎩⎨⎧=≥)1(3)2(2n n n （理）－2004 16、（文）3（理）｛0｝ 17、（12分） （文）（1）31- （2）65- （理）本题主要考查正、余弦定理及三角公式的灵活运用能力.证明：∵si nA =ta nB ,ta nB =B B cos sin ,∴si nA =BB cos sin （2分） ∴c os B =AB sin sin ,由正、余弦定理得：a b ac b c a =-+2222,∴a 2+c 2-b 2=2bc ① （4分） 又ta n 2A =si nB ,而ta n 2A =A A cos 1sin +,∴1+c os A =BA sin sin （6分） ∴1+ab bc a c b =-+2222,∴b 2+c 2-a 2=2ac -2bc ② （8分） 由①②得：2c 2=2ac , （10分） ∵c ≠0,∴a =c ,∴A =C. （12分） 18、（12分）(1) ∵ 12)(-=x x f ， ∴ )1(log )(21+=-x x f ． 2 （１）∵)()(1x g x f ≤- 即)13(log )1(log 42+≤+x x ． ∴)13(log )1(log 424+≤+x x ， ∴2(1)31,10.x x x ⎧+≤+⎨+>⎩解之得 10≤≤x ， ∴[]1,0=∈D x ． 7(2) ∵ )(21)()(1x f x g x H --= )1(log 21)13(log 24+-+=x x)1(log )13(log 44+-+=x x113log 4++=x x ． []1,0∈x 令123113+-=++=x x x t ，显然在[0，1]递增， 则有 21≤≤t ． ∴212log )(04=≤≤x H ，即)(x H 的值域为}210{≤≤y y ． 1219、(12分)（文）本题主要考查线线关系、线面关系、面面关系，考查二面角的大小计算以及空间想象能力、逻辑推理能力.（1）解：取AB 中点G ，连FG 、CG ，则FG ∥AE ，又AE 和C D 都垂直于平面ABC ，∴AE ∥C D,∴FG ∥CD ,∴F 、G 、C 、D 四点共面.又平面FGCD ∩平面ABC =CG ，DF ∥平面ABC ，∴DF ∥CG ,∴四边形FGCD 是平行四边形，∴CD =FG =21AE =1. (3分) (2)证明：直角三角形ABE 中，AE =AB ，F 是BE 的中点，∴AF ⊥BE ， （4分）又△ABC 中，AC =BC ，G 是AB 中点，∴CG ⊥AB ，又AE 垂直于平面ABC ，∴AE ⊥CG ， 又AE ∩AB =A ，∴CG ⊥面ABE . (6分)∵DF ∥CG ，∴DF ⊥面ABE ，∴AF ⊥DF ， （7分）又∵BE ∩DF =F ，∴AF ⊥面BED ，∴AF ⊥B D . （8分）（3）解：设面ADF ∩面ABC =L ，∵DF ∥平面ABC ，∴DF ∥L ， （9分）又DF ⊥面ABE ，∴L ⊥面ABE ，∴L ⊥AF ，L ⊥AB ，∴∠FAB 即为所求二面角的平面角. （11分）直角三角形ABE 中，易得∠FAB =45°∴平面ADF 与平面ABC 所形成的较小的二面角为45°. (12分) （理）(1)显然h ＞1，连接AQ ，∵平面ABCD ⊥平面ADQP ,P A ⊥AD ，∴P A ⊥平面ABCD ，由已知PQ ⊥DQ ,∴AQ ⊥DQ ,AQ =y 2－h 2.∵Rt △ABQ ∽Rt △QCD ,CQ =12-h , ∴AB CQ AQ DQ =,即11222-=-h h y h .∴y =122-h h (h ＞1). 4分(2)y =122-h h =11)1(22-+-h h =12-h +112-h ≥2, 6分 当且仅当11122-=-h h ,即h =2时，等号成立.此时CQ =1,即Q 为BC 的中点，于是由DQ ⊥平面P AQ ，知平面PDQ ⊥平面P AQ ,PQ 是其交线，则过A 作AE ⊥平面PDQ ,∴∠ADE 就是AD 与平面PDQ 所成的角，由已知得AQ =2,PQ =AD =2,∴AE =1,sin ADE =21=AD AE ,∠ADE =30°. 8分(3)设三棱锥P －ADQ 的内切球半径为r , 则31(S △P AD +S △P AQ +S △PDQ +S △ADQ )²r =V P －ADQ . ∵V P －ADQ =31S △ADQ ²P A =32,S △P AQ =1, S △P AD =2,S △QAD =1,S △PDQ =2,∴r =2222222-=+. 12分20、（12分）（1）当90>x 时，23P =，所以，每天的盈利额'20 =T ; 当901≤≤x 时，196P x =-，所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件，次品约有196x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭件．故，每天的盈利额 ()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 12960, x x A x c T x x c⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩-------------------------7（2）由（1）知，当90>x 时，每天的盈利额为0．---------------8 当901≤≤x 时，()3296x T x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭． 令96x t -=，则09695c t <-≤≤．故()3961144114796979702222t T t A t A A A t t ⎛-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝．当且仅当144t t=，即()1288t x ==即时，等号成立．-----------------------------11 所以当88c ≥时，max 1472T A =（等号当且仅当88x =时成立）．----------12‘ 将上面的A 换成2即可。