32简单的三角恒等变换(1)
第三章 3.2 简单的三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )3．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.题型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 ∵sin θ＝45，且5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1 已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案2－62解析 方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以α2是第二或第四象限角．所以tan α2<0.所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33 ＝－2－3＝－128－4 3 ＝－12(6－2)2＝2－62.方法二 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝1－cos αsin α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.方法三 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝sin α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.题型二 三角函数式的化简 例2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．跟踪训练2 化简：(1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.题型三 三角函数式的证明例3 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ，∴左边＝右边， ∴原式得证．反思感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练3 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立． 题型四 辅助角公式的应用例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z .利用半角公式化简求值典例 已知等腰三角形的顶角的余弦值为725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. [素养评析] 从实际问题提炼出等腰三角形底角、顶角间的关系，利用半角公式进行恒等变换化简，进而求值，这正是数学核心素养数学抽象的具体体现.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α2不存在，当cos α2≠0时，tan α2＝12.4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.5．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．6．已知在△ABC 中，sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，求证：sin A ＋sin C ＝2sin B .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 由sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，得sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(π－B )＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin B ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B .1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限； ②tan φ＝b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等．一、选择题1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2等于( )A ．－55 B.55 C.35 D ．－35考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α2<cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2<0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的， ∴a <c <b .4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 65解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝65. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2 ＝sin3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式得证．13．(2018·浙江宁波高三期末)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值．考点 简单的三角恒等变换的应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； ③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 ①式化简后为f (x )＝sin 2x ＋1，③式化简后为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合．15．证明：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116＝右边，所以原等式得证．。
高中 简单的三角恒等变换 知识点+例题
教学内容
1．公式的常见变形
（1）tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
（2）sin2α＝ ；cos2α＝ ；sinαcosα＝ sin 2α.
（3）1＋cosα＝2cos2 ；1－cosα＝2sin2 ；
（1）求f( )的值；
（2）设α，β∈[0， ]，f(3α＋ )＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
解(1)由题设知：
f( )＝2sin( － )＝2sin ＝ .
(2)由题设知： ＝f(3α＋ )＝2sinα，
＝f(3β＋2π)＝2sin(β＋ )＝2cosβ，
即sinα＝ ，cosβ＝ ，
又α，β∈[0， ]，∴cosα＝ ，sinβ＝ ，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ .
11．cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于_________.
答案
解析原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
12．定义运算 ＝ad－bc，若cosα＝ ， ＝ ，0<β<α< ，则β等于______.
答案
解析 方法一因为y＝ ＝ ，
所以令k＝ .又x∈ ，
所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点
P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．
又kmin＝tan 60°＝ ，所以函数y＝ 的最小值为 .
方法二y＝ ＝ ＝ ＝ tanx＋ .
∵x∈(0， )，∴tanx>0.
∴ tanx＋ ≥2 ＝ .(当tanx＝ ，即x＝ 时取等号)
简单的三角恒等变换
例4
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形
3
弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形. 记COP ,求 当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积.
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
cos 1 cos 3
2
2
sin 1 2
1 sin2 xcox2 x 1
(1 sin x cos x)
2(1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3 ，最小值为 1 。
4
4
3.设 (0, ), ( , ),且cos 1 ,
2
2
3
sin( ) 7 则sin ( )
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
在Rt△OAD中,
DA tan 60 3 OA
OA 3 DA 3 BC 3 sin
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3设矩Leabharlann ABCD的面积为S,则SAB • BC
cos
3 3
sin
sin
sin cos 3 sin2
设 +=, -=
,
2
2
把,的值代入①,即得
sin sin 2sin cos
2
2
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
三角恒等变换
三角恒等变换什么是三角恒等变换三角恒等变换，又称三角恒等式，是指一类三角函数之间的等式关系。
它们可以将一个三角函数表达式变换为另一个等价的三角函数表达式，从而简化计算和证明过程。
常见的三角恒等变换包括正弦、余弦和正切函数之间的关系。
常见的三角恒等变换公式下面是一些常见的三角恒等变换公式：1. 正弦函数的恒等变换•正弦函数的平方和差恒等式：$$\\sin^2 (A) = \\frac{1 - \\cos (2A)}{2}$$$$\\sin^2 (A) = \\frac{1 - \\cos (2A)}{2}$$•正弦函数的倍角恒等式：$$\\sin (2A) = 2\\sin (A)\\cos (A)$$2. 余弦函数的恒等变换•余弦函数的平方和差恒等式：$$\\cos^2 (A) = \\frac{1 + \\cos (2A)}{2}$$$$\\cos^2 (A) = \\frac{1 + \\cos (2A)}{2}$$•余弦函数的倍角恒等式：$$\\cos (2A) = \\cos^2 (A) - \\sin^2 (A)$$3. 正切函数的恒等变换•正切函数的平方恒等式：$$\\tan^2 (A) = \\sec^2 (A) - 1$$$$\\tan^2 (A) = \\csc^2 (A) - 1$$•正切函数的相反数恒等式：$$\\tan (-A) = -\\tan (A)$$三角恒等变换的应用三角恒等变换在数学和物理学中有广泛应用。
它们可以用于简化三角函数的计算，证明数学关系，以及解决实际问题。
1. 例题：求解三角方程假设我们需要求解方程 $\\sin (2A) = \\cos (2A)$ 的解集。
利用三角恒等变换公式，我们可以将方程转化为 $\\tan (2A)= 1$。
再进一步，我们可以使用反正切函数来求解 $2A =\\tan^{-1}(1)$，所以 $A = \\frac{\\pi}{4} + k\\frac{\\pi}{2}$，其中k为整数。
(全国通用版)2018-2019高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换 第1课时
＝cosx2＋sincxos2x．
证法二：cosx2＋sincxos2x＝coEs3v2xa2－sliu2xna＋32txic－oons2x32ox＋nl2xy.
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
3
课时作业学案
Evaluation only.
Created withCAosppyorsigeh.St 自2li0d0e主4s-预f2o0r1习.1NEA学Tsp案3o.s5eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0.0.
2．常见的三角恒等变换
(1)asinx＋bcosx＝___a_2_＋__b_2 __sin(x＋φ)(ab≠0)，其中
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tanφ＝ba，φ
所在象限由
Care和abte的d符w号it确h定A．sp仅o仅s讨e.论Sbali＝de±1s，fo±r3.，N±E3T3的3情.5况C．lient Profile 5.2.0.0.
C．－
1C＋ocopsαyright
2
2004-201D1．Asp1o＋s2ceosαPty
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2．已知 sinθ＝35，52π<θ<3π，那么 tan2θ＋cos2θ的值为
( B)
A． 1100－3
EvaluatioBn．o3－nly11.00
CreaCte．d－w3－ith1C10A0osppyorsigห้องสมุดไป่ตู้h.St 2li0d0e4s-f2o0r1.D1N．EA3Ts＋p31o1.0s05eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0.0.
θ
∴tan2θ＝sinC2θo＝p3y．right 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
3.2简单的三角恒等变换(一)
1.两角和差的正弦、余弦、正切公式
2.二倍角正弦、余弦、正切公式
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin 2
2 cos2 1
1 2 sin2
tan 2
1
2
tan tan2
学习了和(差)角公式，倍角公式以后，我 们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角 变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高 我们的推理、运算能力提供了新的平台.
证明：左边 = sin2 x cos2 x 2sin x cos x cos2 x sin2 x
(sin x cos x)2
cos x sin x
(cos x sin x)(cos x sin x) sin x cos x
1 tan x =右边 1 tan x
A.12[sin(α＋β)＋cos(α－β)] B.－21[cos(α＋β)－cos(α－β)] C.－12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] D.12[sin(α＋β)＋cos(α－β)]
1.下列各式恒成立的是（ B ）
A.tan = 1 cos 2 sin
2 tan
C.
2
1 tan2
2
22
2sin cos 22
2 cos cos
sin 1 cos
1. 2
22
4、已知 sinθ＝－35，3π<θ<72π，则 tanθ2＝___-_3____.
解析：根据角 θ 的范围，求出 cosθ 后代入公式计算， 即由 sinθ＝－35，3π<θ<72π，得 cosθ＝－45，从而 tanθ2＝ 1＋sincoθsθ＝1－－3554＝－3.
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧三角恒等变换是一种重要的数学技巧，用于简化三角函数的表达式，求解三角方程和证明恒等式。
这种技巧通过将一个三角函数转化为另一个三角函数的形式，或者通过将多个三角函数组合成一个三角函数的和或积的形式，来实现简化和转化。
一、三角函数的基本恒等变换1.正弦函数和余弦函数的平方和公式sin²x + cos²x = 1这是最基本的三角恒等变换，它表示任何角的正弦函数平方加上余弦函数平方等于12.正弦函数和余弦函数的差积公式sin2x = 2sinx*cosx这个恒等变换表示正弦函数的二倍角等于两倍的正弦函数和余弦函数的乘积。
3.余弦函数的二倍角公式cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x这个恒等变换表示余弦函数的二倍角可以表达为余弦函数和正弦函数的平方差。
4.正弦函数和余弦函数的和差公式sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsinycos(x ± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny这个恒等变换描述了正弦函数和余弦函数的和差与它们的乘积之间的关系。
5.正切函数的和差公式tan(x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)这个恒等变换给出了正切函数和它们的和差之间的关系。
1.利用半角公式当要求解一些三角函数值的时候，可以使用半角公式将一个角度的三角函数值表示为另一个角度的三角函数值的形式，从而简化计算。
2.利用和差公式和平方和公式可以利用和差公式和平方和公式，将一个三角函数的和或差化简为一个三角函数的平方和或平方差，或者将一个三角函数的平方和或平方差化简为一个三角函数的和或差。
3.利用倍角公式可以使用倍角公式将一个三角函数的值表示为同一函数的两倍角的形式，或者将一个三角函数的两倍角的值表示为这个函数的值的形式，从而实现简化。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式1.余弦的平方公式：cos^2θ + sin^2θ = 1这是最为基本的三角恒等变换，它表示余弦函数平方加正弦函数平方等于12.余弦的二倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ这个公式表示一个角的余弦的二倍等于该角的余弦平方减去正弦平方。
3.正弦的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示一个角的正弦的二倍等于两倍该角的正弦函数和余弦函数的乘积。
4.余弦的和差公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ这个公式用于求两个角的和或差的余弦。
5.正弦的和差公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ这个公式用于求两个角的和或差的正弦。
6.正切的和差公式：tan(θ ± φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓ tanθtanφ)这个公式用于求两个角的和或差的正切。
7.余弦的和公式：cos(θ + φ) = cosθcosφ - sinθsinφ这个公式表示两个角的和的余弦等于两个角的余弦乘积减去两个角的正弦乘积。
8.余弦的差公式：co s(θ - φ) = cosθcosφ + sinθsinφ这个公式表示两个角的差的余弦等于两个角的余弦乘积加上两个角的正弦乘积。
9.正弦的和公式：sin(θ + φ) = sinθcosφ + cosθsinφ这个公式表示两个角的和的正弦等于两个角的正弦乘积加上两个角的余弦乘积。
10.正弦的差公式：sin(θ - φ) = sinθcosφ - cosθsinφ这个公式表示两个角的差的正弦等于两个角的正弦乘积减去两个角的余弦乘积。
11.三角函数的平方公式：sin^2θ = (1 - cos2θ) / 2cos^2θ = (1 + cos2θ) / 2这些公式表示正弦函数和余弦函数的平方可以用角的余弦的二倍来表示。
简单的三角恒等变换(一)
x 2
1＋cos x ＝ sin x
＝右边．所以原等式成立．
1．证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简、左右归一． 2．条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当 途径化简证明．
【加固训练】
1＋sin θ－cos θ 求证：
1＋sin θ＋cos θ
1＋sin θ＋cos θ ＋
1．下列各式与 tan α 相等的是( )
A.
1－cos 2α 1＋cos 2α
B．1＋sincoαs α
C．1－sicnosα2α
1－cos 2α D． sin 2α
1－cos 2α 【解析】选 D. sin 2α
＝2si2nsαinc2oαs α
＝csoins
α α
＝tan α.
2．若 sin (π－α)＝－
＝14
－
3 2
sin 100°＋
3 2
sin 100°＝14
.
化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角 之间的差异，合理选择联系它们的公式； (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切； (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、 开方等．
2＋2cos 8 ＋2 1－sin 8 的化简结果是( ) A．4cos 4－2sin 4 B．2sin 4 C．2sin 4－4cos 4 D．－2sin 4 【解析】选 D.原式＝ 4cos24 ＋2 （sin4－cos 4）2 ＝|2cos 4|＋2|sin 4－cos 4|＝－2sin 4.
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用
三角恒等变换公式总结
三角恒等变换公式总结以下是一些常见的三角恒等变换公式：1.积化和差公式：sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinBcos(A ± B) = cosA * cosB ∓ sinA * sinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA * tanB)2.和差化积公式：sinA + sinB = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)sinA - sinB = 2 * cos((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)cosA + cosB = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)cosA - cosB = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)3.二倍角公式：sin2A = 2 * sinA * cosAcos2A = cos^2 A - sin^2 A = 2 * cos^2 A - 1 = 1 - 2 * sin^2 Atan2A = (2 * tan A) / (1 - tan^2 A)4.半角公式：sin(A / 2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A / 2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A / 2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]5.和差化积公式的倒数形式：sinA * sinB = (cos(A - B) - cos(A + B)) / 2cosA * cosB = (cos(A - B) + cos(A + B)) / 2sinA * cosB = (sin(A + B) + sin(A - B)) / 2cosA * sinB = (sin(A + B) - sin(A - B)) / 26.和差化积公式的平方形式：sin^2 A + sin^2 B = 2 * sin^2((A + B) / 2) * cos^2((A - B) / 2)cos^2 A + cos^2 B = 2 * cos^2((A + B) / 2) * cos^2((A - B) / 2)sin^2 A − sin^2 B = sin^2((A + B) / 2) − sin^2((A - B) / 2) cos^2 A − cos^2 B = −sin^2((A + B) / 2) + sin^2((A - B) / 2)7.三角函数的和差化积公式：sinA + sinB = 2 * sin[(A + B) / 2] * cos[(A - B) / 2]sinA - sinB = 2 * cos[(A + B) / 2] * sin[(A - B) / 2]cosA + cosB = 2 * cos[(A + B) / 2] * cos[(A - B) / 2]cosA - cosB = -2 * sin[(A + B) / 2] * sin[(A - B) / 2]8.三角函数的平方化和差公式：sin^2 A = (1 - cos2A) / 2cos^2 A = (1 + cos2A) / 2tan^2 A = (1 - cos2A) / (1 + cos2A)9.和差化积公式的高阶形式：sinA + sinB = 2 * sin[(A + B) / 2] * cos[(A - B) / 2]sinA + sinB + sinC = 4 * sin[(A + B) / 2] * sin[(B + C) / 2] * sin[(C + A) / 2]sinA + sinB + sinC + sinD = 8 * sin[(A + C) / 4] * sin[(A +D) / 4] * sin[(B + C) / 4] * sin[(B + D) / 4]10.三角函数的多项式展开：sin(A + B + C) = sinA * cosB * cosC + cosA * sinB * cosC + cosA * cosB * sinC − sinA * sinB * sinCcos(A + B + C) = cosA * cosB * cosC − sinA * sinB * cosC −sinA * cosB * sinC − cosA * sinB * sinC这些恒等变换公式是解决复杂三角函数问题的有力工具。
2.3《简单的三角恒等变换》教案
2.3《简单的三角恒等变换》所以OC 是∠AOB 的平分线， 因而θ=α+β−α2=α+β2。
故OC=(rcos α+β2,rsinα+β2).又r=|OC|=2|OB|cos ∠COB =2cosβ−α2=2cosα−β2所以OC=(2cosα−β2cos α+β2,2cosα−β2sinα+β2)于是，根据平面向量基本定理可得 cos α+cos β=2cos α−β2cos α+β2 sin α+sin β=2cosα−β2sinα+β2这个公式是否对任意角α,β都成立？ 除了通过几何图形可以得到公式， 你还有其他方法吗？ 方法二：我们用字母A,B 来表示α+β2,α−β2.设A=α+β2,B=α−β2.则A+B=α,A-B=β.于是cos α+cos β=cos(A+B)+cos(A-B)=cosAcosB-sinAsinB+cosAcosB+sinAsinB=2cosAcosB =2cosα−β2cosα+β2cos α-cos β=cos(A+B)-cos(A-B)左右两边分别相减，得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ.将上式两边同除以-2，得[cos(α+β)-cos(α-β)].s inαs inβ=-12前面学习的和差化积公式，均是cosα±cosβ以及sinα±sinβ的形式，现在我们来学习如何对sin x+ cos x这种形式进行三角恒等变换。
为了找到变换思路，我们先借助计算机画出函数y= sin x+cos x的部分图象，如图。
通过观察，可以发现图与正弦函数y=Asin(w x+φ)的图象很相似。
于是，我们可以猜测:是否存在某个正数A和角φ，使得y= sin x+cos x可化为y=Asin(w x+φ)的形式，即能否找到某个正数A和角φ，使sin x+cos x=Asin(w x+φ)成立?由和角公式可得Asin(x+φ)=A(sin x cosφ+cos x sinφ)。
三角恒等变换公式总结
三角恒等变换公式总结1. 引言三角恒等变换公式，这个听起来有些复杂的名字，实际上就像是数学里的“调味料”，能让我们在解决各种问题时，轻松又有趣。
想象一下，生活中的各种角度和三角形，不论是你在量房子的时候，还是在看风景时，三角函数都在悄悄发挥着作用。
今天就带大家轻松了解这些公式，保证让你有种“豁然开朗”的感觉！2. 基本三角恒等式2.1 正弦与余弦的关系首先，咱们得从最基础的说起，正弦（sin）和余弦（cos）。
你知道吗？它们就像是一对好朋友，总是形影不离。
基本恒等式之一就是sin²x + cos²x = 1。
简单来说，就是不论你选择哪个角度，它们俩加起来永远都是1。
这就像生活中的一种平衡，太多或太少都不行！2.2 正切的神奇接下来，咱们聊聊正切（tan）。
正切其实是余弦和正弦的比值，公式就是 tanx = sinx/cosx。
想象一下，这就好比你在餐厅里点了一份大餐，正弦是主菜，余弦是配菜，而正切就是你整个用餐体验的完美比例，缺一不可！3. 重要的三角恒等式3.1 角度和的公式说到三角恒等变换公式，角度和的公式可得好好聊聊。
比如说，sin(a + b) = sin a * cos b + cos a * sin b。
这就像是两个不同口味的冰淇淋，混合在一起后，产生了新鲜的口感，意外的美味总是让人惊喜。
而 cos(a + b) = cos a * cos b sin a * sin b，则是让人感觉有点酸酸甜甜的感觉，确实让人难忘！3.2 角度差的公式当然，除了和，角度差的公式也很有意思。
sin(a b) = sin a * cos b cos a * sin b。
这个公式就像是两位舞者，偶尔要展示一下各自的魅力，虽有些抵触，却又能擦出火花。
cos(a b) = cos a * cos b + sin a * sin b，则让人觉得温暖，像是朋友间的默契配合。
4. 应用实例4.1 解决实际问题学习这些公式，关键还是要知道如何运用。
高中数学三角恒等变换公式
高中数学三角恒等变换公式
三角恒等变换公式是高中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化复杂的数学表达式。
它提供了一种可以改变三角形中的三个角度的方法，而不影响三条边的长度。
三角恒等变换公式具有很强的功能性。
它有助于解决许多三角形相关的数学问题，如求三角形面积、求三角形内角和、求三角形外角和等等。
它还可以帮助我们更好地理解三角形的特性。
三角恒等变换公式的基本公式为：a：b：c=A：B：C，其中a，b，c分别代表三角形的三个角度，A，B，C分别代表三角形的三条边的长度。
它表明了三角形的三个角度和三条边的长度之间的关系，只要三角形的三条边长度不变，那么它的三个内角就不会改变，因此，三角形就满足恒等变换公式。
我们也可以使用三角恒等变换公式来解决多边形的问题。
例如，我们可以根据三角恒等变换公式求出多边形的面积，求出多边形的周长等。
三角恒等变换公式是高中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解三角形的特性，并可以用来求解三角形和多边形等相关问题。
3.2简单的三角恒等变换
= 3sin2x - cos2x
3 1 = 2( sin2x - cos2x) 2 2
π π = 2(sin2xcos - cos2xsin ) 6 6 π = 2sin(2x - ) 6
故该函数的最小正周期是π，最小值是－2，在 0，π π 5π 上的单调增区间是 0， ， ，π。 3 6
1 5 sin（ ＋ ）＋ 2x 2 6 4
y取得最大值必须且只需
2x＋ ＋2k，k Z， 6 2
即x＝ ＋k，k Z。 6 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 ｛x |x ＝＋k π，k ∈Z｝。
（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：
①把函数y＝sinx的图象向左平移 ，得到函数y＝sin（x＋ ）的图象； 6 6
α 1 + cosα cos = 2 2
α 1- cosα sinα 1- cosα tan = = = 2 1 + cosα 1 + cosα sinα
注意：
α α α α （1）sin 、cos 、tan 的符号有 所在的象限决定。 2 2 2 2
(2)正切半角公式的推导：
α α α α α α sin sin 2sin sin sin 2cos α α 2 = 2 2 2 = 2 2 tan = tan = 2 cos α cos α 2sin α 2 cos α cos α 2cos α 2 2 2 2 2 2
新课导入
学习了简单的和（差）角公式，倍 角公式后，对于一些稍微复杂的三角恒 等变化，比如已知2α求α，已知
y=sin2xcos2x,求最小正周期、最大最小
值、单调区间是否能求呢?
通过复习前面所学过的公式，以已
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。
下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
简单的三角恒等变换
1 sin2 xcox2 x 1
(1 sin x cos x)
2(1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3 ，最小值为 1 。
4
4
3.设 (0, ), ( , ),且cos 1 ,
2
2
3
sin( ) 7 则sin ( )
3
1 sin 2 3 1 cos 2 通过三角变换把
2
6
形如
1 3
3 2
sin
2
1 2
cos
2
3 6
y=asinx+bcosx的 函数转化为形如 y=Asin(+)的
1 3
sin
2
6
3 6
函数,从而使问题 得到简化
由于0 ,所以当 2 ,
3
62
即
时,
6
S最大
13
3 6
2
2sin sin 2sin cos .
2
2
解 (1) sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
sin
cos
1 2
sin
sin
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos ①
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
2
2
2
解 是 的二倍角
2
在公式cos 2 1 2sin2 中,以代替2,以 代替,