人教版初一数学 整式与因式分解
七年级数学暑假已学知识梳理第8章 整式乘除与因式分解 第4~5节 人教版
一. 教学内容：第8章整式乘除与因式分解8.4 整式除法8.5 因式分解二、教学目标：1. 经历探索单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则过程，体会数学知识间的转化思想.2. 理解整式除法的法则，并能运用法则进行简单的计算.3. 了解因式分解的意义以及它与整式乘法的关系.4. 能够确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式因式分解，会用公式法因式分解.5. 经历通过整式乘法和乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.三、教学重点及难点：教学重点：1. 正确运用整式除法的法则进行计算.2. 正确运用提公因式法、公式法进行因式分解.教学难点：1. 利用法则计算时对有关符号的确定.2. 灵活运用公式进行因式分解.3. 正确判断因式分解是否进行到底.四、课堂教学：1. 单项式除以单项式思考：21x6y3z2÷7x2y2＝？∵7x2y2·3x4yz2＝21x6y3z2∴21x6y3z2÷7x2y2＝3x4yz2由这个运算总结得：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
例如： a 3b 4c 2÷（－43ab 3）＝[1÷（－43）]（a 3÷a ）（b 4÷b 3）c 2＝－34a 2bc 2特点：单项式÷单项式−−→−转化同底数幂相除 注意：单项式除以单项式的运算中要防止以下错误：（1）漏掉被除式中单独含有的字母；（2）当式子中含有的字母指数为l 时，错误地认为其指数为零；（3）在运算过程中将指数的运算弄错. （将指数相除了，正确的为指数相减）2. 多项式除以单项式思考：如何计算：（a+b －c ）÷m ＝？ （a+b －c ）÷m ＝（a+b －c ）×m 1＝a×m 1+b×m 1－c×m 1＝a÷m +b÷m －c÷m总结规律得：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.例如：（32a 3b 3c 3+21a 2b 2c ）÷61a 2c ＝32a 3b 3c 3÷61a 2c +21a 2b 2c÷61a 2c ＝4ab 3c 2+3b 2特点：多项式÷单项式−−→−转化单项式÷单项式 注意：多项式除以单项式的运算中要防止以下错误：（1）在用多项式的每一项除以单项式时容易出现符号错误；（2）在运算过程中容易出现漏除现象.3. 因式分解的概念我们考虑乘法公式：（a+b ）（a －b ）＝a 2－b 2（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2（a －b ）2＝a 2－2ab+b 2把它们颠倒过来就是另一种运算：a 2－b 2＝（a+b ）（a －b ）a 2+2ab+b 2＝（a+b ）2a 2－2ab+b 2＝（a －b ）2这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。
数学 人教初中数学中考专题复习整式与因式分解PPT课件
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积的乘方与幂的乘方
• 【例4】 (2016青岛)计算a·a5－(2a3)2的结果为(
• A．a6－2a6
B．－a6 C．a6－4a5
) D．－3a6
解法一：a·a5－(2a3)2＝a1＋5－22a3＋2 ＝a6－4a5，选C． 解法二：a·a5－(2a3)2＝a1＋5－2a3×2 ＝a6－2a6＝－a6，选B．
• 【解答】 ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a(x＋y)(x－y)．
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• (1)提公因式法分解因式的口诀： • 找准公因式，一次要提“净”； • 全家都搬走，留1把家守； • 提负要变号，变形看奇偶． • (2)因式分解的步骤： • 一提：如果多项式的各项有公因式，则先提取公因式； • 二套：如果各项没有公因式，则可以尝试套用公式来分解(注意：运用公式法分解因式，不要混淆平方差公式与完
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• 2．幂的运算法则(a≠0，m、n为整数，且m＞n)
名称
法则
同底数幂 底数不变，指数相加．am·an＝④__a_m_＋_n___ 相乘
同底数幂 底数不变，指数相减．am÷an＝⑤___am_－__n __
相除 幂的乘方 底数不变，指数相乘．(am)n＝⑥___a_mn____
举例 a3·a2＝a3＋2＝a5
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• 4．去括号法则 • (1)括号前是正号，去括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去括号后括号内各项都变号． • (2)括号前有系数，去括号后括号内各项都要乘系数．
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►知识点四 因式分解
• 1．定义：把一个多项式化成①______________的几形个式整叫式做乘因积式分解．
人教版初中数学《整式的乘法与因式分解》单元教材教学分析
3、掌握整式的加、减，乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式进行简便运算。
4、理解因式分解的意义，认识因式分解与整式乘法是相反的运算，掌握提公因式法和公式法分解因式的基本方法，并能正确进行因式分解。
重点、难点与关键
1、整式的乘法（正整数幂的乘除法、单项式乘或除单项式、多项式乘或除单项式、多项式乘多项式法则、乘法公式）
2、会进行因式分解（提公因式法和公式法）
教学方法和手段的设计
数学思想转化的思想，由简到难逐一转化。课堂计算、提问。
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
1、数学思想的培养转化能力的学习。
2、从具体到抽象认知能力培养。
人教版初中数学《整式的乘法与因式分解》单元教材教学分析
学段及学科
初中数学
教材版本
人教版
单元名称
《整式的乘法与因式分解》
单元教材主题内容与价值作用
幂的运算性质、整式的乘法、整式的除法、乘法公式、因式分解；
让学生充分体会从抽象到具体的认知过程，提高学生的逻辑思维
单元目标
1、掌握正整数幂的乘法、除法运算的性质，能正确的表述这些性质，并能熟练的进行计算。掌握单项式乘（或除）单项式，多项式乘（或除）单项式以及多项式乘多项式的法则，并能正确进行计算。
3、逻辑思维能力的培养
课时安排
第一课时：整式的乘法（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）2课时
第二课时：整式的乘法（单项式乘单项式，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ项式乘多项式、多项式乘除单项式）4课时
第三课时：乘法公式3课时
第四课时：因式分解3课时
说明
通过教学培养学生的抽象思维能力，计算能力
人教版初中数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点
第十四章 整式乘除与因式分解 14.1 整式的乘法14.1.1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +⋅=（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.例1．在横线上填入适当的代数式：614_____x x ⋅=，26_____x x =÷.【答案】8x ，4x【解析】试题分析：根据同底数幂的乘除法法则即可得到结果.6814x x x ⋅=，.246x x x =÷ 考点：本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例2．计算：743a a a ⋅⋅；【答案】14a【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.考点：本题考查的是同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 14.1.2 幂的乘方幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘.幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==例1．对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）A ．923)(m m = B ．623m m m =⋅C ．532m m m =+D ．426m m m =÷【答案】D【解析】试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果.A ．()632m m =，B ．523m m m =⋅，C ．32m m 与无法合并，故错误；D ．426m m m =÷，本选项正确.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例2 【答案】12a -【解析】试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例3．计算：9543()a a a ⋅÷；【答案】2a【解析】试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则即可得到结果.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例4．计算： n m a a ⋅3)(；【答案】n m a +3【解析】试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.14.1.3 积的乘方积的乘方法则： nn n b a ab =)(（n 是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积.例1．计算23()a b 的结果是 A. 33a b B. 63a b C. 36a b D. 66a b【答案】B【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，求解即可（a 2b ）3=（a 2）3×b 3=a 6×b 3=a 6b 3．故选B例2．计算（－2a)3的结果是【 】A .6a 3 B.－6a 3 C.8a 3 D.－8a 3【答案】D.【解析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算后作出判断：()33332a)=2a =8a --⋅-（.故选D. 例3．计算：=332)(y x .【答案】69x y【解析】试题分析：积的乘方法则：积的乘方等于它的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. =332)(y x 69x y .考点：本题考查的是积的乘方点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握积的乘方法则，即可完成.例4．计算：[]423)1(a ⋅-； 【答案】8a【解析】试题分析：先计算3)1(-，再计算幂的乘方即可.考点：本题考查的是幂的乘方点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 14.1.4 整式的乘法1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.例1．单项式4x 5y 与2x 2（-y ）3z 的积是（ ）A ．8x 10y 3zB ．8x 7（-y ）4zC ．-8x 7y 4zD ．-8x 10y 3z【答案】C【解析】试题分析：直接根据单项式乘以单项式的法则计算即可得到结果.由题意得z y x z y y x x z y x y x 473253258)(24)(24-=⋅-⋅⋅⋅⋅⨯=-⋅，故选C.考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例2． ·c b a c ab 532243—=.【答案】328b a -【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则即可得到结果. 328b a -·c b a c ab 532243—=.考点：本题考查的是单项式乘单项式，同底数幂的乘法点评：解答此题需熟知以下概念：（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；（2）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 例3．计算：25x 2y 3·516xyz=_________； 【答案】18x 3y 4z【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.25x 2y 3·516xyz=25×516·x 2·x·y 3·y·z=18x 3y 4z. 考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例4．计算：2ab 2·23a 3=________； 【答案】43a 4b 2 【解析】 试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.2ab 2·23a 3=2×23·a·a 3·b 2=43a 4b 2. 考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例5．22x xy ⋅= .【答案】y x 24【解析】试题分析：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.22x xy ⋅=y x 24. 考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握单项式乘单项式法则，即可完成.2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).例1．计算：)()(a b b b a a ---；【答案】22b a -【解析】试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例2 【答案】23442y x y x +-【解析】试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例3．计算：23(4)(31)a ab a b -⋅+-；【答案】a b a b a 4124422+--【解析】试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例4．计算：_____________)(32=+y x xy x .【答案】y x y x 3233+【解析】试题分析：根据单项式乘多项式的法则即可得到结果. =+)(32y x xy x y x y x 3233+.考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例5．计算：)1(2)12(322--+-x x x x x .【答案】x x x 3423+-【解析】试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加. 例1．计算：（a+2b ）（a-b ）=_________；【答案】a 2+ab-2b 2【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn ，计算即可．（a+2b ）（a-b ）= a 2-ab+2ab -2b 2 =a 2+ab-2b 2．考点：本题考查的是多项式乘以多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．例2．计算：（3x-y ）（x+2y ）=________．【答案】3x 2+5xy-2y【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn ，计算即可．（3x-y ）（x+2y ）=3x 2+6xy- xy-2y=3x 2+5xy-2y ．考点：本题考查的是多项式乘以多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．例3．计算：（x+1）（x 2-x+1）=____ _ ____．【答案】13+x 【解析】试题分析：根据多项式乘多项式法则化简即可.（x+1）（x 2-x+1）==+-++-1223x x x x x 13+x ．考点：本题考查的是多项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n >同底数幂相除，底数不变，指数相减.例1．计算：26a a ÷= ，25)()(a a -÷-= .【答案】4a ，3a -【解析】试题分析：根据同底数幂的除法法则即可得到结果.=÷26a a 4a ，25)()(a a -÷-.)(33a a -=-=考点：本题考查的是同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 例2．计算： m 3÷m 2＝ .【答案】m【解析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可：原式=32m m =－5、零指数：10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1.例1．012⎛⎫-- ⎪⎝⎭=A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1【答案】D.【解析】零指数幂.根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：01=12⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选D.例2．计算：|﹣2|+（﹣3）0﹣= ．【答案】1【解析】此题考查绝对值的运算、幂的运算性质和二次根式的化简，即0,(0),(0)||,1(||,(0),(0)a a a a a a a a a a a a ≥≥⎧⎧==≠==⎨⎨-<-<⎩⎩；解：原式2121=+-=；例3．计算：（-0.5）0÷（-12）-3． 【答案】-18【解析】试题分析：根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，即可得到结果. 原式.81)8(1-=-÷=考点：本题考查了零指数幂，负整数指数幂点评：解答本题的关键是熟练掌握任意非0数的0次幂均为0，负整数指数幂的运算法则：pp a a 1=-（a≠0，p 是正整数）．6、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)( 14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方.例1．下列能用平方差公式计算的是（ ）A 、)y x )(y x (-+-B 、)x 1)(1x (---C 、)x y 2)(y x 2(-+D 、)1x )(2x (+-【答案】B【解析】A 、应为（-x+y ）（x-y ）=-（x-y ）（x-y ）=-（x-y ）2，故本选项错误；B 、（x-1）（-1-x ）=-（x-1）（x+1）=-（x 2-1），正确；C 、应为（2x+y ）（2y-x ）=-（2x+y ）（x-2y ），故本选项错误；D 、应为（x-2）（x+1）=x 2-x-2，故本选项错误．故选B ．例2．计算()()x y x y +-22的结果是（ ）A 、x y -4B 、x y +4C 、224x y -D 、222x y -【答案】C【解析】平方差公式的应用，原式=224x y -，故选C例3．若a ＋b=2011，a －b=1，则a 2－b 2=_________________.【答案】2011【解析】考点：平方差公式．分析：先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可．解：∵a+b=2011，a-b=1，∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）=2011×1=2011．故答案为：2011．例4．(a ＋3)(3－a)＝__________．【答案】9－a 2【解析】根据平方差公式（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2填空．解：∵（a+3）（3-a ）=（3+a ）（3-a ）=32-a 2=9-a 2．故答案是：9-a 2．14.2.2 完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样. 公式的变形使用：（1）ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+；22()()4a b a b ab -=+-222)()]([)(b a b a b a +=+-=--；222)()]([)(b a b a b a -=--=+- （2）三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 例1．若3ab ,5b a -==+，则2)b a (-的值是（ ）A. 25B. 19C. 31D. 37【答案】D 【解析】解：37)3(454)()(222=-⨯-=-+=-ab b a b a ，故选D. 例2．计算： =⎪⎭⎫ ⎝⎛23229 . 【答案】.91880【解析】 试题分析：化31303229-=，再根据完全平方公式计算即可. 考点：题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.2)(222b ab a b a +±=±例3．计算：（1）199.92=_______；（2）512=________；（3）1-2×51+512=_______．【答案】（1）39960.01；（2）2601；（3）2500【解析】试题分析：根据完全平方公式依次分析各小题即可.（1）199.92=（200-0.1）2=2002-2×200×0.1+0.12=40000-40+0.01=39960.01；（2）512=（50+1）2=502+2×50×1+12=2500+100+1=2601；（3）1-2×51+512=（1-51）2=（-50）2=2500．考点：本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b ）2=a 2±2ab+b 2． 14.3 因式分解14.3.1 提公因式法1、会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；2、提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．3、注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．14.3.2 公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：1、平方差公式： a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）2、完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2例1．已知2226a ab b -+=，则a b -＝ ．【答案】【解析】由题意得（a-b ）2=6， 则a b -＝6±例2．因式分解：244x x ++= ．【答案】2)2(+x【解析】试题分析：根据完全平方公式即可得到结果. 244x x ++=2)2(+x ．考点：本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(2222b a b ab a ±=+±。
《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释
《整式与因式分解》、《分式》章节-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是整篇文章的开头，应该在简单介绍整式与因式分解、分式等概念的基础上，概括地介绍本章节的内容安排和目的。
以下是对概述部分的内容编写建议：在《整式与因式分解》、《分式》章节中，我们将深入探讨与代数相关的两个重要概念：整式与因式分解、分式。
这些概念不仅在数学上具有重要意义，而且在实际问题中具有广泛的应用。
在第一部分，我们首先回顾了整式的定义和特点。
整式是由常数、变量和运算符号（如加减乘除和乘方）组成的代数表达式。
我们将深入理解整式的基本性质，探讨如何进行整式的简化、展开和因式分解，从而帮助我们更好地理解和解决实际问题。
接下来，我们将进入第二部分，即因式分解的概念和方法。
因式分解是将一个多或高次整式拆分成可以约简的乘积形式的过程。
我们将学习并探索常见的因式分解方法，如提公因式法、配方法、分组分解法等，以及它们在实际问题中的应用。
通过因式分解，我们可以更有效地处理复杂的代数表达式，简化计算过程，精确地得出结果。
然后，我们将进一步深入研究分式的定义和性质。
分式是由整式构成的比值，形如a/b，其中a和b分别为整式。
我们将学习如何简化和等价分式，并研究分式的基本运算法则，包括加减乘除、约分等操作。
此外，我们还将探索分式在实际问题中的应用，如分数方程、比例问题等，以培养我们在解决实际问题时的分析思维和解决能力。
最后，我们将在结论部分总结整式与因式分解以及分式的重要性。
整式与因式分解是代数学习的重要基础，对于我们理解高阶代数概念和解决实际问题具有重要意义。
分式，作为整式的扩展，为我们处理更加复杂和抽象的代数问题提供了更灵活的工具和方法。
通过本章的学习，我们将具备扎实的整式与因式分解、分式的理论基础，并能够熟练运用相关概念和方法解决实际问题。
希望读者能够通过阅读本章的内容，深入理解整式与因式分解以及分式的本质，为进一步的数学学习打下坚实的基础。
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解整式是指由常数、变量和常数与变量的乘积通过加法或减法运算得到的代数式。
整式的乘法与因式分解是代数学中非常基础也非常重要的概念。
本文将从整式的定义、乘法规则和因式分解方法等方面进行讲解。
一、整式的定义整式由若干项经过加法或减法运算组成，每一项由数与变量的乘积得到。
典型的整式表达式包括：1. 常数项：仅由一个常数构成，例如2、-3等；2. 变量项：指仅由一个变量构成，例如x、y等；3. 常数与变量的乘积项：由一个常数与一个变量相乘而得的项，例如2x、-3y等；4. 多项式：由多个项通过加法或减法运算得到的整式，例如2x+3y、-4xy+5等。
二、整式的乘法规则整式的乘法运算遵循以下规则：1. 常数与整式相乘：将该常数与整式的每一项分别相乘；2. 变量与整式相乘：将该变量与整式的每一项的变量部分相乘；3. 整式与整式相乘：将两个整式的每一项进行相乘，并对结果进行合并整理。
以一个具体的例子来说明整式的乘法规则。
假设有两个整式：(2x+3)(3x-4)。
按照上述规则，可以将它们的每一项分别相乘，然后整理合并得到最终结果。
具体计算过程如下：(2x+3)(3x-4) = 2x * 3x + 2x * (-4) + 3 * 3x + 3 * (-4)= 6x² - 8x + 9x - 12= 6x² + x - 12三、整式的因式分解方法因式分解是将一个整式表示为多个乘积的形式，其中每个乘积称为因式。
因式分解有多种方法，这里介绍两种常见的因式分解方法：提公因式法和配方法。
1. 提公因式法：适用于整式中存在公共因子的情况。
具体步骤如下：（1）将整式中的各项进行化简，找出它们的公共因子；（2）将整式中各项的公共因子提取出来；（3）将提取出的公共因子与剩余部分相乘得到最终结果。
例如，对于如下整式：6x² - 8x。
可以将6x²与-8x的公共因子2x提取出来，得到2x(3x - 4)。
七年级下册数学整式的乘除与因式分解知识点+习题
整式的乘除与因式分解1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
bc a 22-的 系数为 ，次数为 ，单独的一个非零数的次数是 。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
122++-x ab a ，项有 ，二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，各项次数分别为 ，系数分别为 ，叫 次 项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列： 按y 的升幂排列： 按x 的降幂排列： 按y 的降幂排列：5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
例1.若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=⨯n ，则n= .例2.若125512=+x ，则 x x +-2009)2(的值为 。
例3 .设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。
6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a)()(==如：23326)4()4(4==7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
（523)2z y x -=8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n >同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷9、零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
七年级数学整式的知识点
七年级数学整式的知识点整式是数学中一个很重要的概念，尤其是在代数学中，整式无处不在。
在我们学习数学的过程中，也需要对整式有一个基本的了解。
本文将介绍七年级数学整式的主要知识点。
一、整式的定义整式是指只有加减乘操作的代数式，也可以理解为带或不带负号的多项式。
其中，多项式是指由若干个单项式相加或相乘组成的算式，单项式是指只包含常数或一个或多个变量的乘积。
例如，2x+3y-5、-4x^2+3xy-2y^2+7 和 6p-2q+r 都是整式。
二、整式的基本运算整式的基本运算包括加、减、乘和乘方等。
其中，加减法是相对简单的，只需要将同类项合并即可。
对于乘法，我们需要知道以下三个知识点：1. 数与代数式相乘的规律：如 5(2x-3y) =10x-15y。
2. 单项式相乘的规律：如 (3x^2)(4xy) =12x^3y 。
3. 多项式相乘的规律（分配律）：如 (2x+3)(4x-2y)=8x^2+4xy+12x-6y。
对于乘方，我们需要注意以下两个知识点：1. 幂的定义：a^n 表示n个a相乘的积。
例如，2^3=2×2×2=8。
2. 幂的运算法则：如 a^m×a^n=a^(m+n) 。
三、整式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个因式的积的形式。
例如，2x^2+8xy+6y^2 就可以因式分解为 2(x+y)(x+3y) 。
整式的因式分解需要注意以下几个知识点：1. 提取公因式：将多项式中所有项的公因式提取出来。
例如，6x^2+9x=3x(2x+3)。
2. 分解二次三项式：对于一些二次三项式，可以通过配方法或公式把它们分解成两个因式的积。
例如，x^2+6x+9=(x+3)^2。
3. 利用余式定理：如果一个多项式 f(x) 除以 (x-a) 得到余数为 0，那么 (x-a) 就是 f(x) 的一个因式。
例如，f(x)=3x^2-7x-6，它除以 (x+1) 余数为 0，那么 (x+1) 就是 f(x) 的一个因式。
整式的乘法与因式分解知识点
整式的乘法与因式分解知识点整式的乘法和因式分解是初中数学中的重要知识点，也是后续学习代数、方程和不等式的基础。
本文将详细介绍整式的乘法和因式分解的定义、性质和方法。
一、整式的乘法整式是由常数和单项式相加（减）得到的代数式，其中单项式是指只包含一个变量的项。
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
1.单项式的乘法：单项式的乘法遵循以下运算法则：-同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，a^m*a^n=a^(m+n)。
-不同底数幂相乘，指数相乘。
例如，a^m*b^n=a^m*b^n。
- 系数相乘。
例如，k * t = kt。
2.多项式的乘法：多项式的乘法通过将每一项都与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到。
例如，(a+b+c)(x+y+z) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz。
这个过程通常称为“分配律”。
二、整式的因式分解整式的因式分解是指将一个整式表示成几个单项式的乘积的运算。
因式分解的基本思路是找到整式的公因式，然后使用“提公因式法”将整式表示为公因式与其余部分的乘积。
1.提公因式法：假设整式ax+bx有一个公因式x，则可以将其改写为x(a+b)。
这个过程是因式分解中最基本的方法。
根据此原理，我们可以使用提公因式法因式分解更复杂的整式。
2.完全平方公式的因式分解：完全平方公式是指一个二次三项式（即一元二次多项式）的平方可以被因式分解成两个平方的和或差。
例如，a^2+2ab+b^2可以因式分解为(a+b)^2，而a^2-2ab+b^2可以因式分解为(a-b)^23.完全立方公式的因式分解：完全立方公式是指一个三次三项式（即一元三次多项式）的立方可以被因式分解成两个立方的和或差。
例如，a^3+3a^2b+3ab^2+b^3可以因式分解为(a+b)^3，而a^3-3a^2b+3ab^2-b^3可以因式分解为(a-b)^34.分组分解法：分组分解法是指根据整式中各项之间的关系将整式进行分组，以便使用提公因式法进行因式分解。
数学整式及因式分解知识点
数学整式及因式分解知识点整式是数学中一种重要的表达式形式，它是由数字、变量和运算符组成的代数式。
因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式，可以帮助我们简化和研究代数式。
在这篇文章中，我们将逐步介绍数学整式及因式分解的知识点。
一、整式的定义整式是由数字、变量和运算符（如加法、减法、乘法和乘方）组成的代数式。
它可以包含多项式和单项式。
多项式是由多个项组成的整式，而单项式只包含一个项。
例如，下面是一些整式的例子： 1. 2x + 3y - 4 2. 5x^2 - 2xy + 7y^2 3. 3a^3 -2b^2 + 5c - 1在整式中，字母代表变量，可以是任何实数。
二、整式的运算整式可以进行各种运算，包括加法、减法、乘法和乘方。
我们可以通过对整式中的项进行相应的运算来求得整式的结果。
1.加法和减法：整式的加法和减法可以通过对相同字母的系数进行相应运算来实现。
例如，对于整式2x + 3y - 4和5x - 2y + 7，可以将相同字母的系数相加或相减得到结果。
2.乘法：整式的乘法可以通过分配律来实现。
例如，对于整式(x + 2)(x- 3)，可以将每个项分别与另一个整式的每个项相乘，然后将结果相加得到最终的整式。
3.乘方：整式的乘方是将整式自身乘以自身的一种操作。
例如，对于整式(x + 2)2，可以将整式展开并进行相应的运算，得到结果x2 + 4x + 4。
三、因式分解的定义因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式。
它可以帮助我们简化整式并研究代数式的性质。
通过因式分解，我们可以将复杂的整式转化为简单的乘积。
例如，整式2x^2 + 4x可以通过因式分解为2x(x + 2)，其中2x是公因子，而(x + 2)是因子。
四、因式分解的步骤下面是进行因式分解的一般步骤：1.将整式进行分组：将整式中的项按照一定规则进行分组，通常是将相同字母的项放在一起。
2.提取公因子：在每个组中，提取出公因子，将其移到括号外面。
初中数学 什么是整式的因式分解
初中数学什么是整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式表示为若干个因式相乘的形式。
在初中数学学习中，因式分解是一个非常重要的知识点，它能够帮助我们简化复杂的代数式，提高计算的效率。
本文将详细介绍整式的因式分解的概念、方法和步骤，并给出一些例题进行说明。
一、整式的定义首先，我们回顾一下整式的定义。
整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的因式分解的概念整式的因式分解是将一个整式表示为若干个因式相乘的形式。
通过因式分解，我们可以找到整式的因子，进而简化整式的表达形式，便于计算和研究。
三、整式的因式分解的方法和步骤整式的因式分解可以采用不同的方法和步骤，具体取决于整式的形式和特点。
下面介绍两种常见的因式分解方法：公因式法和分组分解法。
1. 公因式法公因式法是一种常用的因式分解方法，它适用于整式中存在公因子的情况。
下面是公因式法的步骤：步骤1：观察整式中是否存在公因子。
步骤2：如果整式中存在公因子，将公因子提取出来。
步骤3：将整式除以公因子，得到一个简化的整式。
步骤4：将公因子和简化的整式相乘，得到原始整式的因式分解形式。
例如，对于整式6x^2+9x，我们可以观察到整式中存在公因子3x，因此可以进行因式分解。
6x^2+9x = 3x(2x+3)通过公因式法，我们将整式6x^2+9x分解为3x和2x+3两个因子相乘的形式。
2. 分组分解法分组分解法适用于整式中存在特定的形式或模式的情况。
下面是分组分解法的步骤：步骤1：根据整式的形式和特点，将整式进行分组。
步骤2：在每个分组中，找出一个公因子，将其提取出来。
步骤3：将每个分组的公因子和剩余部分相乘，得到一个简化的整式。
步骤4：将简化的整式进行合并，得到原始整式的因式分解形式。
例如，对于整式x^2+4x+4，我们可以观察到整式中存在平方项x^2和平方项系数为1的情况，因此可以进行因式分解。
《整式及因式分解》课件
乘法分配律
幂的运算法则
整式的乘法满足分配律，即一个整式与括 号内整式的和相乘，等于分别与括号内的 每个整式相乘后再求和。
幂的乘方、同底数幂的乘法和除法等运算 法则适用于整式。
02
因式分解的方法与技巧
提公因式法
总结词
提取公因子的方法
详细描述
提公因式法是因式分解中最常用的方法之一，通过提取多项式中的 公因子，将多项式化简为更简单的形式。
通过简单的整式加减法练习，帮 助学生掌握整式的运算法则和运 算顺序。
因式分解基础
提供一些简单的因式分解题目， 帮助学生理解因式分解的基本方 法和步骤。
提高练习题
复杂整式运算
涉及一些较复杂的整式加减乘除运算 ，以提高学生的运算能力和对整式性 质的理解。
因式分解技巧
通过一些有技巧性的因式分解题目， 引导学生掌握因式分解的常用方法和 技巧。
只含有一个项的代数式 。
多项式
含有多个项的代数式。
整式的分类
01
02
03
按项数分
单项式、二项式、三项式 等。
按次数分
一次整式、二次整式、三 次整式等。
按系数分
正整式、负整式、零整式 等。
整式的运算性质
加法交换律
加法结合律
整式的加法满足交换律，即交换两个整式 的位置，和不变。
整式的加法满足结合律，即改变加数的组 合方式，和不变。
整式与因式分解的关联与区别
整式与因式分解的联系
整式和因式分解都是代数中的基本概 念，它们在数学中有着广泛的应用。
整式中的每一项都可以看作是一个因 子，这些因子可以进一步进行因式分 解。
整式和因式分解之间存在密切的联系 ，因式分解是整式的一个重要组成部 分。
《整式及因式分解》课件
通过因式分解，可以 将复杂的整式化为简 单的形式，便于理解 和计算。
因式分解是整式的一 个重要组成部分，是 整式运算的基础。
整式与因式分解的区别
整式是由数字和字母通过有限 次的四则运算得到的代数式， 其重点在于运算。
因式分解则是将一个多项式化 为几个整式的积，其重点在于 对多项式的拆分和重组。
总结词：巩 固基础
列举
整式的乘除 运算。
简单的因式 分解。
整式的加减 运算。
代数式的化 简。
进阶练习题
总结词：提升解题技巧
01
02
列举
多项式的乘法与因式分解结合。
03
04
提取公因式法。
公式法分解因式。
05
06
因式分解在方程中的应用。
综合练习题
总结词：检验综合能力
列举
01
02
利用因式分解解决复杂代数问 题。
总结词
列举因式分解的常用方法
详细描述
因式分解的方法有多种，其中最常用的是提公因式法、十字相乘法、分组分解法等。提公因式法是提取多项式的 公因式，然后对剩余部分进行因式分解；十字相乘法是通过尝试不同的组合，使得中间项能够与两边项相乘得到 常数项；分组分解法则是将多项式分组，然后分别进行因式分解。
因式分解的应用
《整式及因式分解》 ppt课件
目录
• 整式 • 因式分解 • 整式与因式分解的关系 • 整式及因式分解的练习题
01
整式
整式的定义
整式是由常数、变量、加、减、 乘、乘方等运算组成的代数式。
整式中，除数不能含有字母，否 则称为分式。
整式可以看作是多项式的特殊情 况，即项数有限且各项次数均为
初中数学整式的展开与因式分解
初中数学整式的展开与因式分解整式(expanded form)是数学中一个重要的概念，它由多个代数项组成，每个代数项包含有一个系数和一个或多个变量的乘积。
在初中数学中，我们经常需要对整式进行展开与因式分解的运算。
本文将以详细的说明和实例来介绍整式的展开与因式分解。
一、整式的展开整式的展开指的是将整式中的乘法运算进行计算，求出最终结果。
展开整式的方法主要有两种：分配律展开法和综合展开法。
1. 分配律展开法分配律展开法适用于将一个整式通过分配律进行展开。
分配律的表达式为：a * (b + c) = a * b + a * c。
通过这个分配律，可以将整式中的每一个项按照乘法进行展开。
举例来说明，展开整式 (2x + 3) * (4x - 5)：首先，根据分配律，将第一项 2x 与括号中的两个项相乘，即：2x * 4x + 2x * (-5)，结果为 8x^2 - 10x。
然后，将第二项 3 与括号中的两个项相乘，即：3 * 4x + 3 * (-5)，结果为 12x - 15。
最终，将两个结果相加，得到展开后的整式：8x^2 - 10x + 12x - 15。
2. 综合展开法综合展开法适用于展开较为复杂的整式，通过依次乘法运算、合并同类项，直到将整个整式展开为最简形式。
举例来说明，展开整式 (2x + 3)^2：首先，将整式按照乘法进行展开，即：(2x + 3) * (2x + 3)。
根据分配律展开第一项：2x * 2x + 2x * 3，并将结果记作 A。
根据分配律展开第二项：3 * 2x + 3 * 3，并将结果记作 B。
将 A 和 B 相加，并将同类项合并，得到展开后的整式：4x^2 + 12x + 9。
二、整式的因式分解因式分解是指将一个整式写成几个乘积的形式。
它是整式的逆运算。
因式分解是对展开的整式进行逆向思考和操作，找到最简形式的乘积形式。
1. 公因式提取法公因式提取法适用于整式中存在相同因子的情况。
人教版《整式的乘法与因式分解》课件初中数学ppt
am·an=am+n （2）(b4)3=b7； 例 若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，
应该怎样改正？
(am)n=amn
=2x2+4xy-x2-4xy-4y2
=
.
（4）(-2ab2)3=-8a3b6. √
并且m＞n)；
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
既可以直接用，也可以变形用.
初中数学
初中数学
课后作业
1.计算： （1）(2a)3·b4÷12a3b2； （2）(2a+3b)(2a-b)； （3）3(y-z)2-(2y+z)(-z+2y)； （4）[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y. 2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差
（1）a2·a3=a6； （2）(b4)3=b7； （3）a10÷a2=a5； （4）(-2ab2)3=-8a3b6.
初中数学
初中数学
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
应该怎样改正？
（1）a2·a3=a6；
×
正确：a2·a3=a2+3=a5.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
初中数学
例 判断下面的计算对不对？如果不对，
2.使用法则时，要明确法则和具体内容.
初中数学
例 已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.
分析： am·an=am+n 逆用：am+n=am·an
(am)n=amn 逆用：amn=(am)n=(an)m
= =
102m+3n=102m·103n (10m)2 (10n)3
初一数学整式知识点总结
初一数学整式知识点总结数学是一门重要的学科，整式是其中的基础知识点之一。
初一的数学学习着重于整式的初步掌握和应用。
本文将对初一数学整式的知识进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、整式的概念整式是由常数和变量以及它们的乘积与和构成的代数表达式。
常数可以是任意实数，变量可以是任意未知数。
整式的一般形式为aₙxⁿ +aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀，其中aₙ、aₙ₋₁、...、a₁、a₀是常数系数，x是变量。
二、整式的项和次数整式中的每一项是由常数系数与变量的乘积构成的。
例子："2x²y"、"-3xy²"、"5"都是整式中的项。
整式中划分每一项的符号是加号或减号。
整式的次数是指其中具有最高次幂的项的次数。
例子：整式"2x²y +3xy² - 5"的最高次数为3。
三、整式的运算1. 整式的加法和减法整式的加法和减法操作是指将相同的项进行合并，常数系数相加或相减。
2. 整式的乘法整式的乘法操作是指将每一项相乘，然后进行合并。
应用分配律，将每一项与另一个整式中的每一项相乘，然后进行合并。
四、整式的应用整式在代数运算中有着广泛的应用。
下面列举一些常见的整式应用场景。
1. 正负号的运用整式中的正负号用于表示各项的正负关系，可以用于表示增加或减少的概念。
例如：“-3xy²”表示减少3个xy²的数量。
2. 多项式的建模多项式模型是一种常见的整式应用。
通过将现实问题转化为数学表达式，利用整式的运算特性进行求解。
例如：用多项式模型解决一个数与它的三倍之和等于16的问题。
3. 整式的因式分解整式的因式分解是指将整式表示为更简单的因数乘积。
通过因式分解，可以更好地理解整式的结构和性质，并方便进行后续的计算。
例如：将4x² + 12xy分解为4x(x + 3y)。
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七年级整式知识点人教版
七年级整式知识点人教版整式在初中数学中是一个非常重要的知识点，它是代数学的基础，对以后的数学学习和生活中的实际问题解决都有着重要的影响。
本文将介绍七年级整式知识点人教版，以帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、整式与多项式整式又称多项式，在数学中，它由单项式的代数和组成的代数式。
而单项式又是指由字母和它的整数指数的乘积构成的代数式，例如2x、3y²、-4z³等。
多项式是由多个单项式及运算符号连接构成的代数式，例如2x+3y、3x²-4y+5z等。
可以看出，多项式实质上是由多个单项式加减运算得到的结果。
二、整式的加减运算在整式的加减运算中，只有同类项之间才能进行加减运算。
所谓同类项，是指变量的指数相同或者没有变量的项。
例如：2x+3x=5x4ab²-2ab²=2ab²5+7=12需要注意的是，在整式的加减运算中，运算符号前的符号不影响同类项的判断。
三、整式的乘法运算在整式的乘法运算中，需要用到分配律和乘法公式。
分配律是指加数乘以某一数然后再加上另一个数与这一数的积的结果相等，即a(b+c)=ab+ac。
而乘法公式分为三种情况：差平方公式(a-b)²=a²-2ab+b²和平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²二次平均值不等式(a+b)²/4≥ab利用分配律和乘法公式，可实现整式的乘法运算。
例如：(2x+3)(4x-5)=8x²-2x-15(3a²+5)(2a-4)=6a³-2a²-20a+20四、整式的除法运算整式的除法运算是指用一个整式去除另一个整式，得到商式和余式的运算。
例如：(3x²+2x+1)÷(x+1)- 将除式的第一个单项式3x²与商式的第一个单项式3x相乘得到3x³- 将得到的结果减去3x²(x+1)，得到-1x²-2x- 将除式的第二个单项式-1x（注意，这里的减号代表负号，不是减法符号）与商式的第二个单项式-1相乘得到-1x²- 将得到的结果减去-1x(x+1)，得到-x+1- 因为除式中没有常数项，所以余数为0，得到最终结果为商式3x-1五、整式的因式分解在整式的因式分解中，需要使用到提公因式法、公式法和其他方法。
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第2讲整式与因式分解
(参考用时:35分钟)
A层(基础)
1.(2019资阳)下列各式中,计算正确的是( D )
(A)a3·a2=a6(B)a3+a2=a5
(C)a6÷a3=a2(D)(a3)2=a6
解析:a3·a2=a5,故A错误;
a3+a2不能合并,故B错误;
a6÷a3=a3,故C错误;
(a3)2=a6,故D正确.故选D.
2.下列运算结果正确的是( C )
(A)3a-a=2
(B)(a-b)2=a2-b2
(C)6ab2÷(-2ab)=-3b
(D)a(a+b)=a2+b
解析:3a-a=2a,A错误;(a-b)2=a2-2ab+b2,B错误;a(a+b)=a2+ab,D错误.故选C.
3.(2019绵阳)已知4m=a,8n=b,其中m,n为正整数,则22m+6n等于( A )
(A)ab2 (B)a+b2
(C)a2b3(D)a2+b3
解析:∵4m=a,8n=b,
∴22m+6n=22m×26n=(22)m·(23)2n=4m·82n=4m·(8n)2=ab2.故选A.
4.(2019重庆A卷)按如图所示的运算程序,能使输出y值为1的是( D )
(A)m=1,n=1 (B)m=1,n=0
(C)m=1,n=2 (D)m=2,n=1
解析:当m=1,n=1时,y=2m+1=2+1=3,故A错误;
当m=1,n=0时,y=2n-1=-1,故B错误;
当m=1,n=2时,y=2m+1=3,故C错误;
当m=2,n=1时,y=2n-1=1,故D正确.
故选D.
5.若a+b=3,a2+b2=7,则ab等于( B )
(A)2 (B)1 (C)-2 (D)-1
解析:∵(a+b)2=a2+2ab+b2,
∴ab===1.
故选B.
6.(2019绵阳)单项式x-|a-1|y与2y是同类项,则a b= 1 .
解析:由题意知-|a-1|=≥0,
∴a=1,b=1,
则a b=1.
7.(2019金华)当x=1,y=-时,代数式x2+2xy+y2的值是.
解析:当x=1,y=-时,
x2+2xy+y2=(x+y)2=(1-)2=()2=.
8.分解因式:
(1)(2019攀枝花)a2b-b= b(a+1)(a-1) ;
(2)(2019宜宾)b2+c2+2bc-a2= (b+c+a)(b+c-a) .
解析:(1)a2b-b=b(a2-1)=b(a+1)(a-1).
(2)b2+c2+2bc-a2=(b+c)2-a2=(b+c+a)(b+c-a).
9.(2019甘肃)如图,每一图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,如果第n幅图中有 2 019 个菱形,则n= 1 010 .
解析:由题图可得
第1幅图中有1个菱形,
第2幅图中有(2×2-1)个菱形,
第3幅图中有(2×3-1)个菱形,
…
故第n幅图中共有(2n-1)个菱形.
当图中有2 019个菱形时,2n-1=2 019,
解得n=1 010.
10.(1)(2019兰州)化简:a(1-2a)+2(a+1)(a-1);
(2)(2019宁波)先化简,再求值:(x-2)(x+2)-x(x-1),其中x=3. 解:(1)原式=a-2a2+2(a2-1)
=a-2a2+2a2-2
=a-2.
(2)(x-2)(x+2)-x(x-1)=x2-4-x2+x
=x-4,
当x=3时,原式=x-4=-1.
11.已知非零实数a,b满足a+b=3,+=,求代数式a2b+ab2的值. 解:由+=可得=,
又∵a+b=3,∴ab=2.
∴a2b+ab2=ab(a+b)=2×3=6.
12.张老师在黑板上写了三个算式,希望同学们认真观察,发现规律.请你结合这些算式,解答问题.
请观察以下算式:
①32-12=8×1
②52-32=8×2
③72-52=8×3
(1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式;
(2)验证规律:设两个连续奇数为2n+1,2n-1(其中n为正整数),则它们的平方差是8的倍数;
(3)拓展延伸:“两个连续偶数的平方差是8的倍数”,这个结论正确吗?
解:(1)92-72=8×4,112-92=8×5.
(2)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)(2n+1+2n-1)=2×4n=8n.
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数.
(3)不正确.
设这两个连续偶数为2n和
2n+2,(2n+2)2-(2n)2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=8n+4.
∵8n+4不是8的倍数,故这个结论不正确.
B层(能力)
13.(2019资阳)4张长为a,宽为b(a>b)的长方形纸片,按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形,图中空白部分的面积为S1,阴影部分的面积为S2.若S1=2S2,则a,b满足( D )
(A)2a=5b (B)2a=3b
(C)a=3b (D)a=2b
解析:S1=b(a+b)×2+ab×2+(a-b)2
=a2+2b2,
S2=(a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+2b2)
=2ab-b2,
∵S1=2S2,∴a2+2b2=2(2ab-b2),
整理,得(a-2b)2=0,
∴a-2b=0,即a=2b.故选D.
14.(2019内江三模)如图所示,将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“”的个数为a1,第2幅图形中“”的个数为a2,第3幅图形中“”的个数为a3,…,依此类推,则+++…+= .
解析:观察题图,可知
a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15=3×5,a4=24=4×6,…,
∴a n=n(n+2)(n为正整数),
∴=(-),
∴+++…+=(1-+-+-+…+-)=(1+--)=.
15.把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的式子,或可以求出一些不规则图形的面积.
(1)如图1,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形.
①若用不同的方法计算这个边长为a+b+c的正方形面积,就可以得到一个等式,这个等式可以为;(只要写出一个即可)
②若a,b,c三个数满足a2+b2+c2=29,ab+bc+ca=26,则(a+b+c)2=
;
③因式分解:a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca= .
(2)如图2,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连结BD和BF,若两正方形的边长满足a+b=6,ab=8,请求出阴影部分的面积.
解:(1)①这个等式可以为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
②∵a2+b2+c2=29,ab+bc+ca=26,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=81.
③a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca
=(a+2b)2+6c(a+2b)+9c2
=(a+2b+3c)2.
(2)∵a+b=6,ab=8,
∴S阴影=a2+b2-(a+b)·b-a2
=a2+b2-ab
=(a+b)2-ab
=×62-×8=6.。