第六讲__二次根式(2013-2014中考数学复习专题)
2014-2015中考数学总复习-第一轮-第一章 第6讲 二次根式
第6讲 二次根式
【考点梳理】 一、平方根、算术平方根、立方根 1．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 平方根 ，记作± a 如果一个正数 的平方等于a, 即 x 2 a,那么这个数 x叫做a的算数平方根， 记作 a 2．平方根有以下性质： ①正数有两个平方根，他们互为 相反数 ； ②0的平方根是0；③负数没有平方根。 3．如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作 3 a 二、二次根式 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子 a (a 0) 叫做二次根式．注意被开方数a只能是 非负数 ⑵ 最简二次根式 被开方数不含 分母 ，被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式的二次根式， 叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数 相同 的二次根式，叫做同类二次根式．
【答案】：原式
3 2 2 4 3 2 2 1
考点3：二次根式的分母有理化 例4. 计算
2 2 2
2 2 2
的结果是（ ）
思路分析：利用二次根式的除法或分母有理化来解决，
=
2 2
+
2 2
=
2 +1
答案：
2 +1
方法指导：此题主要考察二次根式的除法及其分母有理化的运算， 这里
2 2
2 = ( 2) =
2
2 或者
3 2
2 2
= 2 2 = 2 2 =
2 2
2
2
考点即时练 4.(2013南京)计算
1 的结果是_______ 2
答案：
2
2．二次根式的性质
a 0); ⑴ a 0(
⑵ a 2
a
( a 0);
⑶ a2 a
中考数学复习 知识讲解+例题解析+强化训练(二次根式)
中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练（二次根式）二次根式◆知识讲解1．二次根式a≥0）叫做二次根式．2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4．二次根式的性质）2=a（a≥0）；│a│=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）．5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6．二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．◆例题解析例1填空题：（1其中是二次根式的是_________（填序号）．（2有意义，则x 的取值范围是_______．（3）实数a ，b ，c a －b │．o【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)．（2）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7． （3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │－a ，－│a －b │=a －ba －b │．例2 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A BC（2）在根式，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)（3）已知a>b>0，的值为（ ）A ．2 B ．2 C D ．12【解答】（1A 错．3，B 正确．||b =│a ， ∴C 错，而显然，D 错，∴选B ． （2）选C ．（3）∵a>b>0）2）2=a+b－=421,22===，故选A．例3（2006，辽宁十一市）先化简，再求值：11()ba b b a a b++++，其中，【解答】原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++当，．◆强化训练一、填空题1．（2007，福州）当x______在实数范围内有意义．2．已知0<x<1=______．3．已知最简二次根式b a=______，b=_______．4．（2008，长沙）已知a，b为两个连续整数，且<b，则a+b=______．5．已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y+5=0________．6．（2006，内蒙古）已知a－1，a+1）（b－1）=_______．7===，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：(200620062005++++1）=________．二、选择题8．（2006，四川南充）已知a<02a│可化简为（）A．－a B．a C．－3a D．3aob a 9．已知xy>0，化简二次根式） A..C D 10，甲，乙两位同学的解法如下=====甲乙对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（ ） A ．甲，乙的解法都正确 B ．甲正确，乙不正确 C ．甲，乙都不正确 D ．甲不正确，乙正确11．若的小数部分是a ，3的小数部分为b ，则a+b 等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±112．如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b │ 的结果等于（ ） A ．－2b B ．2b C ．－2a D ．2a13．若a=3a 2－6a －2的值为（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．3 14．若ab ≠0=成立的条件是（ ） A ．a>0，b>0 B ．a>0，b<0 C ．a<0，b>0 D ．a<0，b<015．（2007，连云港）已知m ，n 是两个连续自然数（m<n ），且q=mn ，设p （ ） A ．总是奇数 B ．总是偶数C ．有时是奇数，有时是偶数D ．有时是有理数，有时是无理数 三、解答题16．计算：（1）（2008）。
中考数学专题复习六数的开方与二次根式
中考数学专题复习六 数的开方与二次根式一、中考要求：1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值．二、考点讲解：1．平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．2．开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．3．算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0．4．立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=A ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．7．开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．8．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根； （2）4的平方根是士2，误认为4平方根为士 2，应知道4=2．9．无理数：无限不循环小数叫做无理数．10．实数：有理数和无理数统称为实数．11．实数的分类：实数0⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩正实数有理数或无理数负实数。
12．实数和数轴上的点是一一对应的．13．二次根式的化简：14．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．15．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．16．无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数，这种说法错误，因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类．如1．414141···(41 无限循环）是无限循环小数，而不是无理数；（2）带根号的数是无理数，这种说法错误，如 4 ,9，虽带根号，但开方运算的结果却是有理数，所以 4 ,9是无理数；（3）两个无理数的和、差、积、商也还是无理数，这种说法错误，如3+ 2 3-2，都是无理数，但它们的积却是有理数，再如2ππ和都是无理数，但2ππ却是有理数，2-2和是无理数；但2+(-2)却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置，如2，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此；（5）无理数比有理数少，这种说法错误，虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些，但并不能说无理数就少一些，实际上，无理数也有无穷多个．17．二次根式的乘法、除法公式18、二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．三、经典例题剖析：1、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ）A 、a+3 B.a －3 C. a +3 D.a 2+32、16的平方根是______3、已知(x-2)2+|y-4|+6z =0，求xyz 的值．解：48 点拨：一个数的偶数次方、绝对值，非负数的算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零．4、327 的平方根是_________解：±3 点拨327 =3.3的平方根是±35、在实数中－23，0，3，－3.14，4中无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（ ）A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞27、下列各式属于最简二次根式的是（ ）A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.58、当a 为实数时，2a =-a 则实数a 在数轴上的对应点在（ ）A ．原点的右侧B ．原点的左侧C ．原点或原点的右侧D ．原点或原点的左侧9、下列命题中正确的是（ ）A ．有限小数是有理数B ．无限小数是无理数C ．数轴上的点与有理数一一对应D ．数轴上的点与实数一一对应10、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+21-2a+a 其中a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式= a+21-2a+a = a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________解：（1）小明 （2）被开方数大于零点拨：小明的解答是错的．因为a=9时，1－a<0,所以2(1-a)=-(1-a)=a-1,根据2a =|a|.化简。
2014年中考数学专题复习——数与整式专题
2013—2014学年九年级数学（下）周末复习资料（04）理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分：一、知识点梳理1、 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0_____()0____()0____(a a a a2、幂的运算法则：)()(____;_______;______;_______;===÷=∙aba aa a annnm n mm是正整数）n a n____(=- 3、乘法公式：_________)(______,))((2=±=-+b a b a b a4、因式分解的方法：①提公因式法：___________=++mc mb ma ；②公式法：_________2____,__________2222=+±=-b ab a b a ； ③十字相乘法：_______________)(2=+++ab x b a x ； 5、二次根式的相关性质：)0,0______(____;|);0___()();0(022≥≥==≥=≥≥b a ab a a a a a ；)0,0_____(>≥=b a ba． 二、典型例题例1：已知12=+x y ，求代数式)4()1(22x y y --+的值.【课堂练习1】（1）先化简，再求值：()()()322484a b a b ab a bab +-+-÷，其中a =2，1b =.（2）已知2x －1＝3，求代数式（x －3）2＋2x (3＋x )－7的值．例2：（2013•六盘水）计算：+（2013﹣π）0【课堂练习2】：（1）先化简，再求值：321,1211222+=-+----a a a a a a a 其中（2）已知11+a b a≠b ），求()()a b b a b a a b ---的值．例3：（1）(2013年武汉)两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么六条直线最多有（ ）A ．21个交点B ．18个交点C ．15个交点D ．10个交点（2）（2013•烟台）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（ ）（3）（2013泰安）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（ ） A ．0B ．1C ．3D ．7（4）（2013• 德州）如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ）（5）（2013•张家界）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1即S=22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210 ；（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）。
2014中考数学基础知识集锦：二次根式
2014中考数学基础知识集锦：二次根式
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请广大考生家长关注，祝福广大考生在2013年中考中发挥出最佳水平，考出好成绩!同时祝愿决战2014中考的新初三学员能倍加努力，在2014年中考中也能取得优异的成绩。
一、知识要点概述
1、二次根式：式子叫做二次根式.
2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式.
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
4、二次根式的主要性质
5、二次根式的运算
(1)因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外;如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外.反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去.
(2)有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化.
(3)二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.
(4)二次根式的乘除法
二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的
被开方数，并将运算结果化为最简二次根式.。
初中九年级数学(初三)总复习 第六课 数的开方与二次根式
第6课 数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
分式与二次根式(解析版)-中考数学必考考点与题型专训
分式与二次根式命题趋势分式与二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为12分左右。
预计2023年各地中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
知识梳理1、分式1)分式的定义(1)一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式．(2)分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注】①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB =0．2)分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为A B =A ⋅C B ⋅C (C ≠0)或A B =A ÷CB ÷C (C ≠0)，其中A ，B ，C 均为整式．3)约分及约分法则(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．(2)约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．4)最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．5)通分及通分法则(1)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．(2)通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母(即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积)；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．6)最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．7)分式的运算(1)分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示：a b ±c b =a ±cb．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad ±bcbd．(2)分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示：a b ⋅cd=a ⋅cb ⋅d．(3)分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示：a b ÷c d =ab⋅d c =a ⋅d b ⋅c ．(4)分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：a b n =a nb n (n 为正整数，b ≠0)．(5)分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．2、二次根式1)二次根式的有关概念(1)二次根式的概念：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2)二次根式的性质(1)a ≥0(a ≥0)；(2)(a )2=a (a ≥0)； (3)a 2=a =a (a >0)0(a =0)-a (a <0) ；3)二次根式的运算(1)二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．(2)二次根式的乘除乘法法则：a ⋅b =ab (a ≥0,b ≥0)；除法法则：a b=a b(a ≥0,b >0)．(3)二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．重点考向考向1分式的有关概念1.分式的三要素：(1)形如AB的式子；(2)A ,B 均为整式；(3)分母B 中含有字母．2.分式的意义：(1)有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即B ≠0．(2)无意义的条件是分母为0．(3)分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例引领1.(2022·湖南怀化·中考真题)代数式25x ，1π，2x 2+4，x 2-23，1x ，x +1x +2中，属于分式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是2x 2+4，1x ，x +1x +2，∴分式有3个，故选：B ．【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．2.(2022·浙江湖州·中考真题)当a =1时，分式a +1a的值是．【答案】2【分析】直接把a 的值代入计算即可．【详解】解：当a =1时，a +1a =1+11=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．3.(2023·河南·中考模拟)下列说法错误的是()A.当x ≠3时，分式4x +5x -3有意义 B.当x =1时，分式x +1x -1无意义C.不论a 取何值，分式a 2+1a2都有意义 D.当x =1时，分式x -1x +1的值为0【答案】C【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.【解析】解：A 选项当x -3≠0，即x ≠3时，分式4x +5x -3有意义，故A 正确；B 选项当x -1=0，即x =1时，分式x +1x -1无意义，故B 正确；C 选项当a 2≠0，即a ≠0时，分式a 2+1a 2有意义，故C 错误；D 选项当x -1=0，且x +1≠0即x =1时，分式x -1x +1的值为0，故D 正确.故选C .【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.变式拓展1.(2022·湖北黄冈·中考真题)若分式2x -1有意义，则x 的取值范围是．【答案】x ≠1【分析】根据分式有意义的条件即可求解．【详解】解：∵分式2x -1有意义，∴x -1≠0，解得x ≠1．故答案为：x ≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．2.(2022·广西·中考真题)当x =时，分式2xx +2的值为零．【答案】0【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x =0，x +2≠0求解即可．【详解】解：由题意，得2x =0，且x +2≠0，解得：x =0，故答案为：0．【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．3.(2023·绵阳市·中考模拟)下列关于分式的判断，正确的是()A.当x =2时，x +1x -2的值为零B.无论x 为何值，4x 2+3的值总为正数C.无论x 为何值，3x +1不可能得整数值D.当x =3时，x -33无意义【答案】B【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．【详解】解：A 、当x =2时，分母x -2=0，分式无意义，故A 错误；B 、分母中x 2+3≥3，因而第二个式子一定成立，故B 正确；C 、当x +1=1或-1时，3x +1的值是整数，故C 错误；D 、x -33不是分式，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．考向2分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：(1)不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；(2)分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例引领1.(2020·河北中考真题)若a ≠b ，则下列分式化简正确的是()A.a +2b +2=abB.a -2b -2=abC.a 2b2=ab D.12a 12b =ab【答案】D【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵a ≠b ，∴a +2b +2≠a b ，选项A 错误；a -2b -2≠ab，选项B 错误；a 2b 2≠a b ，选项C 错误；12a 12b =a b ，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．2.(2022·广东·一模)如果把分式2yx +y中的x 和y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值()A.不变B.缩小为原来的12C.扩大为原来的2倍D.扩大为原来的4倍【答案】A【分析】依题意，分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，利用分式的基本性质化简即可．【详解】分别用2x 和2y 去代换原分式中的x 和y ，得：2×2y 2x +2y =4y 2(x +y )=2yx +y 化简后的结果和原式相同，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．变式拓展1.(2022·河北·三模)下列各式从左到右的变形中，不正确的是()A.-23a =-23aB.-b -6a =b6aC.3a -4b =-3a4bD.--8a 3b =8a-3b【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【详解】解：A 、-23a =-23a ，故本选项不符合题意；B 、-b -6a =b6a，故本选项不符合题意；C 、3a -4b =-3a 4b ，故本选项不符合题意；D 、--8a 3b =8a 3b ，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．2.(2022·浙江·一模)若把分式1x +1y中的x ,y 同时扩大2倍，则分式的值()A.是原来的2倍B.是原来的12C.是原来的14D.不变【答案】B【分析】根据分式的加法进行计算，再把x ,y 同时扩大2倍，观察分式值变化即可．【详解】解：1x +1y =x +y xy ，x ,y 同时扩大2倍得2x +2y 2x ×2y =2(x +y )4xy =12×x +y xy，分式的值是原来的12，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分．考向3分式的约分与通分约分与通分的区别与联系：1.约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2.约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3.通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例引领1.(2022·江苏·二模)分式m 2m -2n 和3nm -n的最简公分母为．【答案】2(m -n )【分析】利用最简公分母的定义求解，分式m 2m -2n 和3nm -n的分母分别是2(m -n )、(m -n )，故最简公分母是2(m -n )即是本题答案．【详解】解：∵分式m 2m -2n 和3nm -n的分母分别是2(m -n )、(m -n )．∴它们的最简公分母是2(m -n )．故答案为：2(m -n )．【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键．2.(2022·上海崇明·二模)化简：xx 2-2x=．【答案】1x -2【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：x x 2-2x=x x (x -2)=1x -2．故答案为：1x -2．【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．3.(2022·广西·二模)关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确()A.x +1x 2-1约分的结果是1x B.分式1x 2-1与1x -1的最简公分母是x -1C.2xx2约分的结果是1D.化简x 2x 2-1-1x 2-1的结果是1【答案】D【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A 与C ；根据确定最简公分母的方法判断B ；根据分式减法法则计算，即可判断D ．【详解】A 、x +1x 2-1=1x -1，故本选项错误；B 、分式1x 2-1与1x -1的最简公分母是x 2-1，故本选项错误；C 、2x x 2=2x ，故本选项错误；D 、x 2x 2-1-1x 2-1=1，故本选项正确；故选D ．【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.变式拓展1.(2023·河北·一模)要把分式32a 2b 与a -bab 2c通分，分式的最简公分母是()A.2a 2b 2cB.2a 3b 3C.2a 3b 3cD.6a 3b 3c【答案】A【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，∵系数2与1的公倍数是2，a 2与a 的最高次幂是a 2，b 与b 2的最高次幂是b 2，对于只在一个单项式中出现的字母c 直接作公分母中的因式，∴公分母为：2a 2b 2c ．故选择：A ．【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．2.(2023·河北滦州·一模)下列分式化简结果为ab的是()A.a +2b +2B.a -2b -2C.a +ab +bD.a ×ab ×b【答案】C【分析】根据分式的化简逐个判断即可.【详解】A .a +2b +2≠a b ，故选项A 错误；B .a -2b -2≠ab，故选项B 错误；C .a +a b +b =2a 2b =a b ，故选项C 正确；D .a ×a b ×b =a 2b 2≠a b ，故选项D 错误；故选：C .【点睛】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．3.(2022·上海·二模)计算：1a -1b=．【答案】b -aab【分析】将式子通分计算即可．【详解】1a -1b =b ab -a ab =b -aab【点睛】本题考查分式通分，正确寻找分母的最小公倍数是解题关键．考向4分式的运算(1)分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．(2)分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解(在分解因式时注意不要出现符号错误)，然后找出其中的公因式，并把公因式约去．(3)分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．(4)分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例引领1.(2022·广西玉林·中考真题)若x 是非负整数，则表示2x x +2-x 2-4(x +2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是()A.①B.②C.③D.①或②【答案】B【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．【详解】解：2x x +2-x 2-4(x +2)2=2x x +2 x +2 2-x 2-4(x +2)2=2x 2+4x -x 2+4x +2 2=x +2 2(x +2)2=1；故选B ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．2.(2022·黑龙江牡丹江·中考真题)先化简，再求值：3x x -2-x x +2÷xx 2-4，在-2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【答案】2x +8，10．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x =1代入计算即可求出值．【详解】解：原式=3x x +2 -x x -2 x -2 x +2⋅x 2-4x =2x x +4 x -2 x +2⋅x -2 x +2x =2(x +4)=2x +8当x =-2，0，2时，分式无意义当x =1时，原式=10．【点睛】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．3.(2022·山东聊城·中考真题)先化简，再求值：a 2-4a ÷a -4a -4a -2a -2，其中a =2sin45°+12-1．【答案】a a -2，2+1【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：a 2-4a ÷a -4a -4a -2a -2=a +2 a -2 a ×a a -22-2a -2=a +2a -2-2a -2=aa -2，∵a =2sin45°+12-1=2×22+2=2+2，代入得：原式=2+22+2-2=2+1；故答案为：aa -2；2+1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．变式拓展1.(2022·山东威海·中考真题)试卷上一个正确的式子1a +b +1a -b ÷★=2a +b被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为()A.aa -bB.a -b aC.a a +bD.4a a 2-b 2【答案】A【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．【详解】解：1a +b +1a -b ÷★=2a +b a -b +a +b a +b a -b÷★=2a +b ★=2a a +b a -b÷2a +b =aa -b ，故选A ．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．2.(2022·江苏扬州·中考真题)计算：(1)2cos45°+π-3 0-8(2)2m -1+1÷2m +2m 2-2m +1【答案】(1)1-2(2)m -12【分析】(1)根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可；(2)先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简；【详解】(1)解：原式=2×22+1-22=1-2．(2)解：原式=2m -1+m -1m -1 ⋅m -1 22m +1 =m +1m -1⋅m -1 22m +1 =m -12．【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．3.(2022·辽宁营口·中考真题)先化简，再求值：a +1-5+2a a +1 ÷a 2+4a +4a +1，其中a =9+|-2|-12-1．【答案】a -2a +2，15．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：a +1-5+2a a +1 ÷a 2+4a +4a +1=(a +1)2-5-2a a +1÷(a +2)2a +1=a2-4 a+1⋅a+1(a+2)2=(a+2)(a-2)a+1⋅a+1(a+2)2=a-2a+2，当a=9+|-2|-12-1=3+2-2=3时，原式=3-23+2=15．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．考向5二次根式的概念与性质1.二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例引领1.(2022·广东广州·中考真题)代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为()A.x≠-1B.x>-1C.x<-1D.x≤-1【答案】B【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．【详解】解：由题意可知：x+1>0，∴x>-1，故选：B．【点睛】本题考察了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．2.(2022·河北·中考真题)下列正确的是()A.4+9=2+3B.4×9=2×3C.94=32D. 4.9=0.7【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：A.4+9=13≠2+3，故错误；B.4×9=2×3，故正确；C.94=38≠32，故错误；D. 4.9≠0.7，故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．3.(2022·四川遂宁·中考真题)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1-b-12+a-b2 =．【答案】2【分析】利用数轴可得出-1<a<0，1<b<2，进而化简求出答案．【详解】解：由数轴可得：-1<a<0，1<b<2，则a+1>0,b-1>0,a-b<0∴a+1-b-12+a-b2=|a+1|-|b-1|+|a-b|=a+1-(b-1)-(a-b)=a+1-b +1-a+b=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．变式拓展1.(2020·山东济宁市·中考真题)下列各式是最简二次根式的是()A.13B.12C.a2D.53【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：A、13是最简二次根式，故选项正确；B、12=23，不是最简二次根式，故选项错误；C、a2=a ，不是最简二次根式，故选项错误；D、53=153，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．2.(2022·四川南充·中考真题)若8-x为整数，x为正整数，则x的值是．【答案】4或7或8【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据8-x为整数即可得x的值．【详解】解：∵8-x≥0∴x≤8∵x为正整数∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8∵8-x为整数∴x为4或7或8故答案为：4或7或8．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．3.(2022·山东聊城·中考真题)射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为()A.0.4×102m/sB.0.8×102m/sC.4×102m/sD.8×102m/s【答案】D【分析】把a=5×105m/s2，s=0.64m代入公式v=2as，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：v=2as=2×5×105×0.64=8×102m/s，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．考向6二次根式的运算1.二次根式的运算(1)二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．(2)二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．(3)二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去括号)．2.比较分式与二次根式的大小(1)分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；(2)二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例引领1.(2022·湖北武汉·中考真题)下列各式计算正确的是()A.2+3=5B.43-33=1C.2×3=6D.12÷2=6【答案】C【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D．【详解】解：A、2+3≠5原计算错误，该选项不符合题意；B、43-33=3原计算错误，该选项不符合题意；C、2×3=6正确，该选项符合题意；D、12÷2=23÷2=3原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．2.(2022·重庆·中考真题)估计3×(23+5)的值应在()A.10和11之间B.9和10之间C.8和9之间D.7和8之间【答案】B【分析】先化简3×(23+5)=6+15，利用9<15<16，从而判定即可．【详解】3×(23+5)=6+15，∵9<15<16，∴3<15<4，∴9<6+15<10，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．3.(2022·上海·中考真题)计算：|-3|-13-12+23-1-1212【答案】1-3【分析】原式分别化简|-3|=3，1 3-12=3，23-1=3+1，1212=23，再进行合并即可得到答案．【详解】解：|-3|-13-12+23-1-1212=3-3+3+1-23=1-3【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．变式拓展1.(2022·贵州毕节·中考真题)计算8+|-2|×cos45°的结果，正确的是()A.2B.32C.22+3D.22+2【答案】B【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．【详解】解：8+|-2|×cos45°=22+2×22=22+2=32．故选：B【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．2.(2021·湖南常德市·中考真题)计算：5+12-1⋅5+12=()A.0B.1C.2D.5-12【答案】C 【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：5+12-1 ⋅5+12=5-12⋅5+12=5-12=2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．3.(2022·内蒙古通辽·中考真题)计算：2⋅6+41-3 sin60°-12-1．【答案】4【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：原式=23+43-1 ×32-2=23+6-23-2=4【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．考向7二次根式与分式中的探究规律问题典例引领1.(2022·湖南常德·中考真题)我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，⋯，6+6+6+⋯+6+6+3=3n 个根号，一般地，对于正整数a ，b ，如果满足b +b +b +⋯+b +b +a =a n 个根号时，称a ,b 为一组完美方根数对．如上面3,6 是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12 是完美方根数对；②9,91 是完美方根数对；③若a ,380 是完美方根数对，则a =20；④若x ,y 是完美方根数对，则点P x ,y 在抛物线y =x 2-x 上．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【分析】根据定义逐项分析判断即可．【详解】解：∵12+4=4，∴4,12 是完美方根数对；故①正确；∵91+9=10≠9∴9,91 不是完美方根数对；故②不正确；若a ,380 是完美方根数对，则380+a =a 即a 2=380+a 解得a =20或a =-19∵a 是正整数则a =20故③正确；若x ,y 是完美方根数对，则y +x =x ∴y +x =x 2,即y =x 2-x 故④正确故选C 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．2.(2022·四川眉山·中考真题)将一组数2，2，6，22，⋯，42，按下列方式进行排列：2，2，6，22；10，23，14，4；⋯若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为．【答案】(4,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得27的位置即可．【详解】数字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵27=28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2∴27的位置记为(4,2)故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．3.(2022·四川达州·中考真题)人们把5-12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5-12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+2 1+b2，⋯，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100=．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解：∵a=5-12，b=5+12，∴ab=5-12×5+12=1，∵S1=11+a +11+b=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，S2=21+a2+21+b2=2×2+a2+b21+a2+b2+a2b2=2×2+a2+b22+a2+b2=2，⋯，S100=1001+a100+1001+b100=100×1+a10+1+b101+a10+b10+a10b10=100∴S1+S2+⋯+S100=1+2+⋯⋯+100=5050故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=1，找出的规律是本题的关键．变式拓展1.(2022·河南驻马店·模拟预测)斐波那契(约1170-1250)是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n(n为正整数)个数a n可表示为15[1+52n-1-52 n，且连续三个数a n-1，a n，a n+1之间存在以下关系a n-1+a n=a n+1(n≥2)．①第1个数a1=1；②第2个数：a2=2；③“斐波那契数列”中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第2017项的值是1．以上说法正确的有．(请把你认为正确的序号全都填上去)【答案】①②④【分析】将n=1和n=2代入15[1+52n-1-52 n即可求得a1和a2，再按照a n-1+a n=a n+1可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列'中的每一项除以4所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第2017项的值．【详解】①a1=151+52-1-52=15×5=1，故正确；②a2=15[1+522-1-52 2=15×5=1，故错误；③“斐波那契数列”中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21，故正确；④1，1，2，3，5，8，13，21除以4所得的余数分别是1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，⋯，2017÷6=336⋯1，故在新数列中，第2017项的值是1，故正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键．2.(2021·四川眉山市·中考真题)观察下列等式：x 1=1+112+122=32=1+11×2；x 2=1+122+132=76=1+12×3；x 3=1+132+142=1312=1+13×4；⋯⋯根据以上规律，计算x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020-2021=．【答案】-12016【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1+1n 2+1(n +1)2，等式右边为1与1n (n +1)的和；利用这个结论得到原式=112+116+1112+⋯+112020×2021-2021，然后把12化为1-12，16化为12-13，12015×2016化为12015-12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】解：由题意可知，1+1n 2+1(n +1)2=1+1n (n +1)，x 2020=1+12020×2021x 1+x 2+x 3+⋯+x 2020-2021=112+116+1112+⋯+112020×2021-2021=2020+1-12+12-13+⋯+12015-12016-2021=2020+1-12016-2021=-12016．故答案为：-12016．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．热点必刷1.(2022·黑龙江绥化·中考真题)若式子x +1+x -2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是()A.x >-1B.x ≥-1C.x ≥-1且x ≠0D.x ≤-1且x ≠0【答案】C【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0，∴x ≥-1且x ≠0，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．2.(2022·广西桂林·中考真题)化简12的结果是()A.23 B.3C.22D.2【答案】A【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为23．【详解】解：12=4×3=22×3=23，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．。
中考数学专题复习 第6讲 二次根式及其运算课件
考点四
二次根式的性质
1. a(a≥0)是非负数； 2．( a)2 ＝a(a≥0)； a a≥0 2 3. a ＝|a|＝ ； －aa＜0 4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； a a 5. ＝ (a≥0，b＞0)． b b
考点五 二次根式的运算 1．二次根式的加减法 先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 2．二次根式的乘除法 二次根式的乘法： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)； a a 二次根式的除法： ＝ (a≥0，b＞0)． b b 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式．
1－ 8．计算：( ) 3＋( 3－2 010) 0－( 27－6tan 30° ) 3 28－ 3.
考点训练 6
二次根式及其运算 二次根式及其运算 训练时间：60分钟 分值：10 训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题 3 分，共 42 分)
1．(2010· 德化)下列计算正确的是( ) A. 20＝2 10 B. 2· 3＝ 6 C. 4－ 2＝ 2 D. －32＝－3
2 2 【解析】x＝1－( 2－1)＝1－ 2＋ 1＝2－ 2，|x－ 2|＋ ＝|2－ 2－ 2|＋ ＝|2－ x 2－ 2 2 2|＋(2＋ 2)＝2 2－2＋2＋ 2＝3 2.
【答案】C
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
15．(2010· 北京)若二次根式 2x－1有意义，则 x 的取值范围是________．
1
2x－ 1 1 B．x≤3 且 x≠ 2 1 D. <x≤3 2
有意义，则 x 应满足(
)
1 【解析】3－x≥0 且 2x－1>0，故 <x≤3. 2
【答案】D
4．(2010· 济南)下列各式中，运算正确的是( A. 6÷ 3＝ 2 B．2 2＋3 3＝5 5 6 3 2 C．a ÷ a ＝a D．(a3) 2＝a5
专题06 二次根式(24题)(解析版)--2024年中考数学真题分类汇编
专题06二次根式(24题)一、单选题1(2024·湖南·中考真题)计算2×7的结果是()A.27B.72C.14D.14【答案】D【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：2×7=14，故选：D2(2024·内蒙古包头·中考真题)计算92-62所得结果是()A.3B.6C.35D.±35【答案】C【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．【详解】解：92-62=81-36=45=35；故选C．3(2024·云南·中考真题)式子x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x>0B.x≥0C.x<0D.x≤0【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：∵式子x在实数范围内有意义，∴x的取值范围是x≥0．故选：B4(2024·黑龙江绥化·中考真题)若式子2m-3有意义，则m的取值范围是()A.m≤23B.m≥-32C.m≥32D.m≤-23【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得2m-3≥0，即可求解．【详解】解：∵式子2m-3有意义，∴2m-3≥0，解得：m≥3 2，故选：C．5(2024·四川乐山·中考真题)已知1<x<2，化简x-12+x-2的结果为()A.-1B.1C.2x -3D.3-2x【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据a 2=a 化简二次根式，然后再根据1<x <2去绝对值即可．【详解】解：x -1 2+x -2 =x -1 +x -2 ， ∵1<x <2，∴x -1>0,x -2<0，∴x -1 +x -2 =x -1+2-x =1，∴x -12+x -2 =1，故选：B ．6(2024·重庆·中考真题)已知m =27-3，则实数m 的范围是()A.2<m <3B.3<m <4C.4<m <5D.5<m <6【答案】B【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出m =27-3=12，即可求出m 的范围．【详解】解：∵m =27-3=33-3=23=12，∵3<12<4，∴3<m <4，故选：B ．7(2024·江苏盐城·中考真题)矩形相邻两边长分别为2cm 、5cm ，设其面积为Scm 2，则S 在哪两个连续整数之间()A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5【答案】C【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积S ，再利用放缩法估算无理数大小即可．【详解】解：S =2×5=10，∵9<10<16，∴9<10<16，∴3<10<4，即S 在3和4之 间，故选：C ．8(2024·安徽·中考真题)下列计算正确的是()A.a 3+a 5=a 6B.a 6÷a 3=a 2C.-a2=a 2D.a 2=a【答案】C【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可【详解】解：A、a3与a5不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；B、a6÷a3=a3，选项错误，不符合题意；C、-a2=a2，选项正确，符合题意；D、当a≥0时，a2=a，当a<0时，a2=-a，选项错误，不符合题意；故选：C9(2024·重庆·中考真题)估计122+3的值应在()A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．【详解】解：∵122+3=26+6，而4<24=26<5，∴10<26+6<11，故答案为：C10(2024·四川德阳·中考真题)将一组数2,2,6,22,10,23,⋯,2n,⋯，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是()A.72B.82C.58D.47【答案】C【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，则第八行左起第1个数是2×29=58，故选：C．二、填空题11(2024·江苏连云港·中考真题)若式子x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【答案】x≥2【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使x-2在实数范围内有意义，必须x-2≥0，∴x≥2．故答案为：x≥212(2024·江苏扬州·中考真题)若二次根式x-2有意义，则x的取值范围是．【答案】x≥2【详解】解：根据题意，使二次根式x-2有意义，即x-2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．13(2024·贵州·中考真题)计算2⋅3的结果是．【答案】6【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算．【详解】解：原式=2×3=6，故答案为：6．【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则a⋅b=ab(a≥0，b>0)是解题关键．14(2024·北京·中考真题)若x-9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【答案】x≥9【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得x-9≥0，解得：x≥9．故答案为：x≥9【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．15(2024·天津·中考真题)计算11-1的结果为．11+1【答案】10【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．【详解】解：原式=11-1=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．16(2024·四川德阳·中考真题)化简：-32=．【答案】3【分析】根据二次根式的性质“a2=a ”进行计算即可得．【详解】解：-32=-3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．17(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)在函数y=x-3x+2中，自变量x的取值范围是．【答案】x≥3/3≤x【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，x-3≥0，且x+2≠0，解得，x≥3，故答案为：x≥3．18(2024·山东烟台·中考真题)若代数式3x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【答案】x>1/1<x【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：x-1>0，解得：x>1；故答案为：x>1．19(2024·山东威海·中考真题)计算：12-8⋅6=．【答案】-23【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．【详解】解：12-8⋅6=23-43=-23故答案为：-23．20(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是．【答案】x>-3且x≠-2【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，3+x>0 x+2≠0，解得x>-3且x≠-2，故答案为：x>-3且x≠-2．三、解答题21(2024·内蒙古包头·中考真题)(1)先化简，再求值：x+12-2x+1，其中x=22．(2)解方程：x-2x-4-2=xx-4．【答案】(1)x2-1，7；(2)x=3【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：(1)先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可；(2)先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【详解】解：(1)x+12-2x+1=x2+2x+1-2x-2=x2-1，当x=22时，原式=222-1=7；(2)x-2x-4-2=xx-4去分母，得x-2-2x-4=x，解得x=3，把x=3代入x-4=3-4=-1≠0，∴x=3是原方程的解．22(2024·上海·中考真题)计算：|1-3|+2412+12+3-(1-3)0．【答案】26【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】解：|1-3|+2412+12+3-(1-3)0=3-1+26+2-3(2+3)(2-3)-1 =3-1+26+2-3-1=26．23(2024·甘肃·中考真题)计算：18-12×3 2．【答案】0【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】18-12×32=18-12×32=18-18=0．24(2024·河南·中考真题)(1)计算：2×50-1-30；(2)化简：3a-2+1÷a+1a2-4．【答案】(1)9(2)a+2【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：(1)利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可；(2)先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可．【详解】解：(1)原式=100-1=10-1=9；(2)原式=3a-2+a-2 a-2÷a+1a+2a-2=a+1 a-2⋅a+2a-2a+1=a+2．。
第6课时 二次根式中考总复习
专题05 二次根式一、知识梳理1.二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2.最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
3.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
5.二次根式的性质及运算：（1）)0()(2≥=a a a （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab （4）)0,0(≥≥=b a ba b a 6.二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
二、课前小练习 1. (2019 江苏南通 ) 化简 的结果是（ ）A. 4B. 2C. 3D. 22. (2019 湖南益阳) 下列运算正确的是( ) A.＝﹣2 B. (2)2＝6 C.D.3. (2019 内蒙包头) 在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）A.B.C.且 D.且4. (2019 四川内江) 若 ，则________．5. (2019 山东滨州) 计算： ________．三、考点互动【考点1 二次根式相关概念】 【例1】在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个变式：若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4【考点2 二次根式有意义条件】【例2】式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【考点3 利用二次根式性质化简符号】【例3】把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣变式：已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【考点4 二次根式的混合运算】【例4】计算：（1）（2）3变式:计算：（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【考点5 利用二次根式性质求代数式的值】【例5】已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；四、分层达标： A 组1．已知a x y =+，b x y =-，那么ab 的值为( ) A ．2xB ．2yC ．x y -D ．x y +2．下列式子中，与232-互为有理化因式的是( ) A ．232-B ．232+C ．322+D ．322-3．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( ) A ．2和12B ．2和12C ．2ab 和3abD ．1a -和1a +4．若a 为实数，则下列式子中正确的个数为( )（1）2a a = （2）22a a = （3）2||a a =（4）63a a = A ．1B ．2C ．3D ．45．若23a <<，则2244(3)a a a -+--等于( ) A ．52a -B ．12a -C ．25a -D ．21a -6.计算：1832+= ．7.如果二次根式3x -有意义，那么x 的取值范围是 ． 8.计算（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）（3）（4）B 组1.二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ）A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 2.为使有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2且x ≠2 B ．x ＞﹣2且x ≠2C ．x ＞2D ．x ＞2或x ≤﹣23.使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个4.若0＜x＜1，则﹣等于（）A．B．﹣C．﹣2x D．2x5.已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．6.已知﹣＝2，求的值．7.阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．8.阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b 时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？9.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．10.已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．。
中考数学专题复习课件(第6讲_二次根式及其运算)
2013年中考数学专题复习第六讲：二次根式姓名：【基础知识回顾】1、二次根式：式子a （ ）叫做二次根式2、二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0） 2aab = （a ≥0 ,b ≥0） ④ab= (a ≥0, b ≥0)3、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 【重点考点例析】1、 （2012•潍坊）如果代数式43x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3 2、（2012•德阳）使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠12 C ．x≥0且x≠12D ．一切实数 3．（2012•呼和浩特）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则2()a b a ++的化简结果为 ． 4、（2012•上海）211112(31)3()22221-⨯-++--．5、（2012•南通）计算：148312242÷-⨯+．6、（2012•巴中）先化简，再求值：2221121()1(1)(1)x x x x x x x ++-++--，其中x=12．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•肇庆）要使式子2x -有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2D ．x≤2 2．（2012•南平）计算102÷=（ ）A 5B ．5C ．52 D ．1023.（2012•玉林）计算：322-=（ ） A ．3B 2C ．22D ．424．（2012•杭州）已知3()(221)3m =-⨯-，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5 5．（2012•南充）下列计算正确的是（ ）A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3223=D 14772= （a ≥o ） （a ≤o ）6．（2012•黔东南州）下列等式一定成立的是（ ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=7．（2012•广西）使式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ． x ≥﹣1B ． ﹣1≤x ≤2C ．x ≤2D 。
【精】中考数学总复习二次根式课件全面PPT全面版
考点三 最简二次根式、同类二次根式
谁会在乎你？生养我们的父母。
所有的未来，都是靠脚步去丈量。
命题点5 二次根式的非负性
时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。
不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；
4. = (a≥0,b>0).
考点梳理
自主测试
考点三 最简二次根式、同类二次根式
1.最简二次根式的概念:我们把满足被开方数不含分母,被开方数
中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.
2.同类二次根式的概念:几个二次根式化成最简二次根式以后,如
果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
所以 a
答案:B
1
- =a
- 2
=
-
-
=- -.
D.
a<0.
)
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
命题点5
当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。
无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。
”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的
+ 1 ≥ 0,
于 2-x 不能为零,可得不等式组
解得:-1≤x<2.
2- > 0,
答案:-1≤x<2
命题点1
命题点2
命题点3
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1 +( 2 )0 的结果为（ 2
C．3 ）
A．2+ 2
B． 2 +1
D．5
7． （2013•佛山）化简 2 ( 2 1) 的结果是（ A．2 2 -1 B．2- 2 C．1-
2
D．2+ 2 ）
8． （2013•杭州一模）已知 m=1+ A．9 二、填空题 B．± 3
2 ，n=1- 2 ，则代数式 m2 n2 3mn 的值为（
3 =（
+
3 ）2；
（3）若 a+4 3 =(m+n 3 )2，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？
15．解： （1）∵a+b 3 =(m+n 3 )2， ∴a+b 3 =m2+3n2+2mn 3 ， ∴a=m2+3n2，b=2mn． 故答案为 m2+3n2，2mn． （2）设 m=1，n=1， ∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2． 故答案为 4、2、1、1． （3）由题意，得： a=m2+3n2，b=2mn ∵4=2mn，且 m、n 为正整数， ∴m=2，n=1 或者 m=1，n=2， ∴a=22+3× 12=7，或 a=12+3× 22=13．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似 a+b 2 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1） 当 a、 b、 m、 n 均为正整数时， 若 a+b 3 =(m+n 3 )2， 用含 m、 n 的式子分别表示 a、 b， 得： a= b= ； ，
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： +
C．3 D．5
9． （2013•宜兴市二模）使 1 3x 有意义的 x 的取值范围是
．
10． （2013•襄阳）使代数式
2x 1 有意义的 x 的取值范围是 3 x
．
12． （2013•曲靖）若整数 x 满足|x|≤3，则使 7 x 为整数的 x 的值是 13． （2013•南通一模）当 a= 2 +1，b= 2 -1 时， 14． （2013•六盘水）无论 x 取任何实数，代数式 三、解答题 15． （2013•黔西南州）阅读材料：
第六讲
考点一：二次根式有意义的条件 例 1 （2013•盘锦）若式子
二次根式
x 1 有意义，则 x 的取值范围是 x
）
．
1． （2013•广州）若代数式
x 有意义，则实数 x 的取值范围是（ x 1
C．x＞0
A．x≠1 B．x≥0 考点二：二次根式的混合运算 例 2 （2013•大连）计算： （
．
3． （2013•泰安）化简： 3 （ 2 3 ）- 24 -| 6 -3|= 4． （2013•滨州） （计算时不能使用计算器） 计算：
3 -( 3
3 )2+(π+ 3 )0-
27 +| 3 -2|．
【备考真题过关】 一、选择题 1． （2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（ A． 9 B． 7 C． 20
） D．
1 3
）
2． （2013•苏州）若式子 A．x＞1 3． （2013•娄底）式子
x 1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ 2
C．x≥1 ） D．x≤1
B．x＜1
2x 1 有意义的 x 的取值范围是（ x 1
A．x≥-
1 且 x≠1 2
B．x≠1
C．x≥-
1 2
D．x＞）
1 且 x≠1 2
1 ，求代数式 2
3．（2013•宿城区一模）已知：y= 1 8 x 8 x 1 【聚焦山东中考】
x y x y 2 2 的值． y x y x
1． （2013•日照）要使式子 2 x 有意义，则 x 的取值范围是 2． （2013•青岛）计算：2-1+ 20 ÷ 5 = ． ．
D．x≥0 且 x≠1
1 -1 ） +（1+ 3 ） （1- 3 ）5
12 ．
2． （2013•济宁）计算： （2- 3 ）2012•（2+ 3 ）2013-2|考点三：与二次根式有关的求值问题 例 3 （2013•湖州模拟）化简求值：
3 0 |-（- 2 ） ． 2
a2 1 2a a 2 a ，其中 a= 2 +1． a 2 2a 1 a 2
（只需填一个） ．
1 1 = a b
． ．
x2 6x m 都有意义，则 m 的取值范围为
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2 2 =（1+ 2 ）2．善 于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b
2 =（m+n
2 ）2（其中 a、b、m、n 均为整数） ，则有 a+b 2 =m2+2n2+2mn 2 ．
4． （2013•贵港）下列四个式子中，x 的取值范围为 x≥2 的是（ A．
x2 x2
B．
1 x2
）
C． x 2
D． 2 x
5． （2013•曲靖）下列等式成立的是（ A．a2•a5=a10 B． a b a b
C． （-a3）6=a18 ）
D． a2 =a
6． （2013•衡阳）计算 8