数值分析1 直接法

非线性方程与非线性方程组解法

“方程是很多工程和科学工作的发动机”。在工程和科学计算中，如电路和电力系统计算、非线性力学、非线性微分和积分方程、非线性规划等众多领域中，常涉及到非线性方程或非线性方程组的求解问题。

【例如】求代数方程 0842362

5

6

=--++x x x x 的根。 【如】求解方程组

⎩

⎨

⎧-=+=y x y y

x x sin 2.0cos 7.0cos 2.0sin 7.0 诸如此类的问题，归结为寻求函数方程的零点，即求x*使

0*)(≡x f (1)

x*称为方程或方程组（f 为向量函数时）的根或零点。

由于自然现象和实际问题的复杂性，对函数方程和方程组求解问题，没有哪一种方法能求出一般方程的准确解。因此，求其数值解就非常必要了。

先讨论非线性方程求根问题。

§1直接法

直接法的理论依据：设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)

•f(b)<0，根据连续函数的性质，f(x)在[a,b]内一定有根存在。此时称[a,b]为方程f(x)=0的有根区间。进而，若再加上严格单调，则[a,b]内

一、逐步搜索法----确定有根区间

设f(x)在[a,b]内连续，为求其实单根存在区间，取一点0x （如0x ＝a ），并取一确定的正数h ，称为步长，令kh x x k ±=0，观察)(k x f 的符号变化情况，当0)()(1<⋅+k k x f x f 时，[1,+k k x x ] 便是一个有根区间，称上述逐步确定有根区间的方法为逐步搜索法。这种方法的计算量，与步长的选取相关，步长h 选取的足够小，就可使有根区间足够精确，当然计算量也较大。

逐步搜索法适用于粗略地估计根的计算问题，一般此方法只用来隔离

01)1(3463)(22>+-=+-='x x x x f

所以f(x)为单调增加函数,则f(x)=0在(-∞,+∞)内最多只有一个实根. 又因为f(x)<0,f(2)>0,所以方程的唯一实根在[0,2]内,[0,2]就是所求的

,即要证f(x)与ox 轴有3个交点,只须证明有3个有根区间,且每个区间内只有一个根。

Matlab 中有根区间的确定：

x=-5:0.01:5;y=exp(x)-3*x.^2;plot(x,y,'r',x,0*x),grid on

title('The Image of f(x)=exp(x)-3*x.^2') xlabel('\fontsize {12} \fontname {宋体} 图１') %axis square

二、二分法

理论依据：设函数f(x)在[a,b]上连续,严格单调,且有f(a)﹒

f(b)<0。

二分法的基本思想：反复对分区间，从而逐步缩小有根区间

步骤:取[a,b]的中点2b

a x +=

，计算)(x f , 若)(x f =0则2

b a x x +==*为所求；否则（1）若0)()(<⋅x f a f ,则令b a a ==11,

（2）若0)()(>⋅b f x f ,则令,,11b b x a ==

形成新的有根区间],[11b a 。对],[11b a 重复上述手续，则又可得

],[22b a 。

如此反复二分下去，得到一系列有根区间：

],[],[],[2211b a b a b a ⊃⊃],[k k b a ⊃⊃ ⊃

其中每个区间长度都是前一个区间长的一半，因此，],[k k b a 的长度

k k k a b a b 2/)(-=-趋于零（当∞→k 时）

【注】由区间套原理，必有*

x 属于所有区间，该点就是方程之根。 序列

}}{{k k b a 及中点2

k k k b a x +=

的序列}{k x 都收敛于*

x 。 终止条件：ε<-=-≤-+*1

2/)(2/)(k k k k a b a b x x (2)

),3,2(,023)(2∈>-='x x x f 因此方程有唯一的根落在（2,3）内。

2）二分次数的确定： 由 005.02/)(1

<-+k a b 得7≥k 即005.07≤-*x x

3）二分步骤：

取21

223=-=

x ，则0625.5)5.2(>=f ，因此根在(2,2.5)内， 再取25.02

2

5.2=-=x ，890625.1)25.2(=f ，因此根在(2,2.5)内，如此二分下去，得

取第7次二分的中点x=(2.09375+2.1015625)/2=2.10 二分法的计算机算法程序： %Erfen.m

function y=refen(fun,a,b,esp) if nargin<4 esp=1e-4;end

if feval(fun,a)*feval(fun,b)<0 n=1;x=(a+b)/2;

while abs(b-a)/2>esp %or x>esp if feval(fun,a)*feval(fun,x)<0 b=x;x=(a+b)/2;

elseif feval(fun,x)*feval(fun,b)<0 a=x;x=(a+b)/2; else y=x;esp=10000; end n,a,b %output n,a,b n=n+1; end y=c;

elseif feval(fun,a)==0 y=a;

elseif feval(fun,b)==0 y=b;

else disp('these,may not be a root in the interval'); end n

调用二分法函数求方程的根： erfen('fun',2,3,0.005)

二分法的优点：算法直观、简单，且总能保证收敛；

缺点：收敛速度较慢。

三、黄金分割法

在二分法中，每次将有根区间[a,b]对分，从而经判断将有根区间缩减一半，达到了逐步缩小有根区间的目的。

黄金分割法的基本思想：如果在[a,b]内适当插入两点，21x x 和，而把有根区间分为三段，通过比较函数值，来缩短有根区间。

问题：如何设置两个插入点的位置，使得在计算同样多函数值的条件下，有根区间能更快缩短？

问题的解决：希望根存在区间的长度按比例β缩小（０＜β＜１），因此可对称地取)(),)(1(21a b a x a b a x -+=--+=ββ，若设[a,b]的长为１个单位，而且],[],[21b x x a 和的长度相等，即b x ax 21=，若使每次搜索都按同一比率缩短区间，则要