第六 章 平面与立体相交
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平面与平面立体相交
平面与平面立体相交
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。求水平面与六棱柱 面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。求水平面与六棱柱 面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。
机械制图课件-6平面与平面立体表面相交
第六讲：平面与平面立体表面相交
平面与平面立体表面的交线称为截交线;当平面切割立体 时,由截交线围成的平面图形称为断面。
断面
一、平面立体的截交线和断面
平面立体的截交线是一个多边形,它的顶点是平面立体的
棱线或底边与截平面的交点,它的边是截平面与平面立体表
面的交线。
s′
Pv
s″
3′ 2′
3″ 2″
1′
1″
作图过程
a′ b′
c′ c″ a″
b″
c
3 a
1s
2
b
（1）、在棱线SA、SB、SC的正面投影s′a′、 s′b′、 s′c′与截平 面P的有积聚性的迹线PV的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 正面投影1′、 2′、 3′，与PV相重合的直线1′ 2′3′，即为截交线 △ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2） 由1′、 2′、 3′引投影连线，分别与sa、 sb、 sc和 s″a″、 s″b″、 s″c″交出1、2、3和1″、2″、 3″。连接这些点 的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面 投影△ 1″2″ 3″。
例3 已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和 侧面投影。
S
A
B
分析：由正面投影可见三棱锥上的缺口系水平面△ⅠⅡⅢ和正垂 面△ⅡⅢ Ⅳ组成，其中点Ⅰ、Ⅳ为棱线SA上的点，这两点的投 影必在棱线的同面投影上。点Ⅱ、Ⅲ分别为处于一般位置的棱面 △SAB和△SAC内的点，因此作辅助线求出它们的投影。
第二步
第三步 第四步
第五步
例２ 试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的正面投 影
完成后的投影图
在形状较为负责的机件上，有时会见到由平面和 平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的 平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截 交线，并画出截平面之间的交线，就可作出这些平面 立体的投影图。
平面与平面立体表面的交线称为截交线;当平面切割立体 时,由截交线围成的平面图形称为断面。
断面
一、平面立体的截交线和断面
平面立体的截交线是一个多边形,它的顶点是平面立体的
棱线或底边与截平面的交点,它的边是截平面与平面立体表
面的交线。
s′
Pv
s″
3′ 2′
3″ 2″
1′
1″
作图过程
a′ b′
c′ c″ a″
b″
c
3 a
1s
2
b
（1）、在棱线SA、SB、SC的正面投影s′a′、 s′b′、 s′c′与截平 面P的有积聚性的迹线PV的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 正面投影1′、 2′、 3′，与PV相重合的直线1′ 2′3′，即为截交线 △ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2） 由1′、 2′、 3′引投影连线，分别与sa、 sb、 sc和 s″a″、 s″b″、 s″c″交出1、2、3和1″、2″、 3″。连接这些点 的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面 投影△ 1″2″ 3″。
例3 已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和 侧面投影。
S
A
B
分析：由正面投影可见三棱锥上的缺口系水平面△ⅠⅡⅢ和正垂 面△ⅡⅢ Ⅳ组成，其中点Ⅰ、Ⅳ为棱线SA上的点，这两点的投 影必在棱线的同面投影上。点Ⅱ、Ⅲ分别为处于一般位置的棱面 △SAB和△SAC内的点，因此作辅助线求出它们的投影。
第二步
第三步 第四步
第五步
例２ 试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的正面投 影
完成后的投影图
在形状较为负责的机件上，有时会见到由平面和 平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的 平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截 交线，并画出截平面之间的交线，就可作出这些平面 立体的投影图。
画法几何两立体相交讲课文档
甲 乙
第七页，共五十二页。
2、棱面交线法(截交线法)
将两平面立体上参与相交的棱面与另一平面立体各棱面求交 线，交线即围成所求两平面立体相贯线。
甲 乙
第八页，共五十二页。
㈢ 相贯线的可见性
相贯线的可见性取决于相贯线所处立体表面的可 见性。若相贯线处于同时可见的两立体表面上，则 相贯线可见，画成实线；其它情况下均为不可见， 画成虚线。
⒈ 利用曲面的积聚投影法
1'
2'
4 ' 3' 5 '
1"
(2 ") 4 " (5 ") 3"
分析：
⒈ 相贯线分析：空 间分析、投影分析。 相贯线的水平投影 和侧面投影已知， 求出相贯线的正面 投影。
1
2
4 35
2.找特殊点
3.找一般位置点
4.光滑连接 5.整理
第三十三页，共五十二页。
⒈ 利用 曲的聚影⒈利用曲面积投法 面 的 积 聚 投 影 法
1、相贯线是平面立体和曲面立体表面上的公有线，相 贯线上的点是平面立体与曲面立体表面上的公有 点；
2、相贯线是由若干段平面曲线（截交线）所组成的空间曲 线。
第十八页，共五十二页。
㈡ 平面立体与曲面立体相贯线的求法
依次求出平面立体上参与相交的各棱面与曲面立体表面 的截交线，这些截交线即围成所求平面立体与曲面立体相 贯线。
2
1
54 3
第四十一页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十二页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十六页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十七页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第七页，共五十二页。
2、棱面交线法(截交线法)
将两平面立体上参与相交的棱面与另一平面立体各棱面求交 线，交线即围成所求两平面立体相贯线。
甲 乙
第八页，共五十二页。
㈢ 相贯线的可见性
相贯线的可见性取决于相贯线所处立体表面的可 见性。若相贯线处于同时可见的两立体表面上，则 相贯线可见，画成实线；其它情况下均为不可见， 画成虚线。
⒈ 利用曲面的积聚投影法
1'
2'
4 ' 3' 5 '
1"
(2 ") 4 " (5 ") 3"
分析：
⒈ 相贯线分析：空 间分析、投影分析。 相贯线的水平投影 和侧面投影已知， 求出相贯线的正面 投影。
1
2
4 35
2.找特殊点
3.找一般位置点
4.光滑连接 5.整理
第三十三页，共五十二页。
⒈ 利用 曲的聚影⒈利用曲面积投法 面 的 积 聚 投 影 法
1、相贯线是平面立体和曲面立体表面上的公有线，相 贯线上的点是平面立体与曲面立体表面上的公有 点；
2、相贯线是由若干段平面曲线（截交线）所组成的空间曲 线。
第十八页，共五十二页。
㈡ 平面立体与曲面立体相贯线的求法
依次求出平面立体上参与相交的各棱面与曲面立体表面 的截交线，这些截交线即围成所求平面立体与曲面立体相 贯线。
2
1
54 3
第四十一页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十二页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十六页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十七页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
平面与立体相交-机械制图课件
求立体截切后的投影 6" 4" 1" 2" 6
3
1
5 6
5
3 1 2
10
4
2
4
返回
6
5
3 1 2
11
4
上一级
试求正四棱锥被两平面截切后的投影
P Q
(a) 题图 12
分析：形体分析与投影分析；
(b) 形体分析与投影分析 13
作图:①求水平面、正垂面与立体的交线
7'
7"
6'
1'
(8') 5"
8" 4" 1" 3"
(e) 检查、完成 图3-22 正四棱锥被两平面截切 16
补出四棱柱截割后的左视图。
1‘2’ 3‘4’ 5‘6’ 9‘ 7‘8’ 5“ 7“ 9“ 8“ 1“ 3“ 2“ 4“ 6“
5
7
13 9
24
8
17
6
返回
例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4 5 7 5 6 3 4 Ⅴ
33
34
●
●
●
●
35
36
例 5：求左视图 例求侧面投影
虚实分界点
37
返回
例
已知三棱锥SABC和正垂的截平 面P，求作截交线的三面投影。
5
返回
6
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 2
4
●
●
1
●
2
●
3
4
3
●
●
空间分析 投影分析
●
1
§平面与立体相交求截交线
线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交 点，顺序连接各交点，即为所求。
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个
第06章 形体的表面交线
第六章 形体的表面交线 第一节 截交线 平面与立体相交也称平面截切立体，平面称 为截平面，截交线围成的平面图形称截断面。截 交线的性质如下: (1) 截交线上的每一点，都是截平面与立体表 面的共有点。 (2) 由于空间形体的尺度总是有限的，所以截 交线总是封闭的。空间形体按其表面形状可分为 平面立体与曲面立体两类，形体表面形状不同， 截交线的作图方法也不相同。
第六章 形体的表面交线 2. 平面立体与曲面立体相交 平面立体与曲面立体的相贯线一般是由若 干段平面曲线(包括直线)围成的空间封闭线。 每段平面曲线都是平面立体的某棱面与曲面立 体的截交线段。 相邻两平面曲线的交点称为结合点,它是 平面立体某棱线与曲面立体的贯穿点。 因此,求平面立体与曲面立体的相贯线,可 归结为求曲面截交线(曲线)和贯穿点的问题。
第六章 形体的表面交线 例 求图示三棱柱与圆锥的相贯线。
4' 1' 5' c'
a' 2'
1" 4"
2"
6'
3' b'
3"
5" 6"
3 4 1 6 5 2
c
b
第六章 形体的表面交线
第四节 曲面体相贯线 曲面体相贯线是曲面立体与曲面立体相交时的 表面交线。 求作相贯线的基本方法:(1)利用表面取点的方 法作图;(2)采用若干辅助面去截割两曲面体,找 出同一截面上两截交线的交点,这些点就是相 贯线上的点，依次连接即得相贯线。 从另一角度看,相贯线上的点,也是两曲面和一 个想象中的辅助面的共有点（“三面共点”的 原理）。
例 求图示圆柱柱端切口的投影。
第六章 形体的表面交线
06-1.第六章第一、二节分离式立交解析
第六章分离式立交和人行立交 (1)第一节分离式立交 (2)一、分离式立交设置条件 (2)二、铁路与道路立交方式选择 (2)第二节下穿式立交 (4)一、下穿式地道设计 (4)（一）地道引道的平面线形 (4)（二）地道引道的纵坡度 (5)（三）地道引道横断面 (6)（四）城市地道洞体净空 (6)二、道路与道路分离式立交 (7)（一）下穿式立交设计 (8)（二）下穿立交的排水 (8)（三）附属构造物 (9)第六章分离式立交和人行立交立体交叉系用跨线桥或地道使相交路线在高程不同的平面上互相交叉的交通设施。
立体交叉，以空间分隔车流的方式，保证交通安全，并提高通行能力和运输效率。
因此，立体交叉常用于高速公路、快速路、一级公路和部分城市主干路。
立交按其交通功能，则可分为分离式和互通式。
高速公路、快速路、一级公路与各级道路交叉必须采用立体交叉。
符合下列条件者应设置互通式立体交叉：1、高速公路、一级公路与通往市（县）级及以上城市或其它重要政治、经济中心的主要道路相交时。
2、高速公路、一级公路与通往重要的工矿区、港口、机场、车站和游览胜地等的主要道路相交时。
3、高速公路、一级公路与连接其它重要交通源的道路相交而使该道路成为其支线时。
4、快速路与快速路或重要主干路相交。
第一节分离式立交一、分离式立交设置条件1、高速公路与其它公路交叉除已设置互通式立体交叉外，其余均必须设置分离式立体交叉；2、一级公路与直行交通量较大的公路相交叉，在不考虑交通转换或地形条件适宜时，宜采用分离式立体交叉；3、二、三、四级公路间的交叉，直行交通量很大，在不考虑交通转换或地形条件适宜时，宜采用分离式立体交叉；4、铁路、二级公路相交时应设置立体交叉；5、由于铁路调车作业对公路或城市道路上行驶的车辆会造成较严重延误时，应设置立体交叉。
6、自行车道路与铁路相交遇下列三种情况之一时,应设分离式立体交叉：（1）与Ⅱ级铁路正线相交、高峰小时自行车双向流量超过10000辆；（2）与Ⅰ级铁路正线相交、高峰小时自行驶双向流量超过6000辆；( 3)火车调车作业中断自行车专用路的交通，日均累计2h以上，且在交通高峰时中断交通15min以上。
数学拓展模块一下册电子课件第六章立体几何
当我们说“有且只有一条直线”或“确定一条直线”时，都是把重合的
直线看成一条直线．
6.1
平面的基本性质
静止的水面、课桌面、黑板面、教室的地面等等，它们有一个共同的特征：
平坦、没有起伏．由大量这样的实际例子抽象出平面的概念，它是平坦而且可
• •
以无限伸展的图形，并且没有厚度．平面是空间的又一个基本要素，平面通常
由于四边形1 1 是平行四边形，因此 ∕∕ 1 1 .
于是根据命题2得，1 1 ∕∕ .
6.3
两条异面直线所成
的角，异面直线垂
直的判定
6.3
两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定
探索
如图6.3-1所示，在棱长为1的正方体 −
1 1 1 1 中，由于 ⊂平面1 1 ，1 ∈平面
两条直线的位置关系
在上面的例子中，直线
1 是异面直线，观察这一对直线的特点，猜想
出下述命题，并且可以证明这个命题为真．
命题1 平面内一点与平面外一点的连线，与
平面内不经过该点的直线是异面直线．
已知：平面α内一条直线1 ，点 ∈ ，且 ∉
1 ，点 ∉ ，如图6.2-2所示．
求证：直线与1 是异面直线．
个接触点，共有不在同一条直线上的三个点，它们确定一个平面，从而自
行车立得稳．
6.1
例
证明
平面的基本性质
证明：两两相交且不过同一个点的三
条直线共面．
己知：如图6.1-9所示，三条直线两
两相交，交点分别为，，.
求证：直线，，共面．
由于相交直线与确定一个平面，
于是点 ∈ ，且点 ∈ ，
此时称直线在平面内或平面经过直线，如图
6.1-3所示．
6 平面与立体相交
连线原则：
1、一个平面完全截断立体时，属于立体同一棱 面上的点才能相连； 2、当几个平面截切立体时，属于立体同一棱面， 又属于同一截平面的两点，方能相连，但截平 面与截平面间的交线除外。
重点、难 点： 掌握平面立体切割体的投
影作图方法。
作业： P26 6-1 P27 6-2
第二节 平面与曲面立体 相交
例6-7 求圆锥切割体的投 影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
3'(4') 5'(6') ° 7'(8') ° 1' ° Pv
° ° 2'
极限点、转向点 特征点
取一般点 依次光滑连接
2″ 3″ 4″ ° ° 6″ 5″ ° ° 8″ 7″ ° °
° °
1″
°
64 8°
°
1
水平、侧面投影是椭圆 将切割体投影补齐
2 ° ° ° °°
3d动画
75 3
例6-8 求圆锥切割体的水平投影和侧面 投影。 投影规律：长对正、高平齐、宽相等
作图: 形体分析 Qv—正垂面 Pv—水平面 正面投影积聚成两条直线
Qv
° 1' °
1″
°
取特殊点：
极限点、转向点、 特征点、 结合点 取一般点 切口的底面是圆 切口的侧面是抛物线 将切割体投影补齐
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
二、平面与平面立体相交
1、平面与棱柱相交
Pv—正垂面 正面投影是一 条直线 有积聚性 （定位） 水平投影与 棱面积聚 侧面投影取点连线 将切割体投影补齐
b(e)2
°
作图：
a′
b′
c′
a″(c″)
b″
3′ °
工程制图平面与立体相交
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整理棱线投影
•工程制图平面与立体相交
浏览三维动画
二、平面与回转体相交
平面截切回转体，在回转体表面留有的交线， 称为回转体的截交线。
㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转 体表面的公有线。截交线上 的点为截平面与回转体表面 的公有点。
2、截交线的形状通常为平 面曲线，特殊情况下可含有 直线段组成。截交线的形状 取决于回转体表面性质和截 平面与回转体的相对位置。
一、截交线概述
平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交线。 依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线和曲面体截交线
•工程制图平面与立体相交
二、平面与平面立体相交
平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交 线，称为平面立体的截交线。
㈠ 平面体截交线的性质：
⒈平面体截交线是截平面与平面 立体表面的公有线。
2、投影作图
运用锥面取点方法作 出抛物线顶点和底端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
•工程制图平面与立体相交
【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
截交线为圆弧和两根 直线段，两截平面间有 一条交线。截交线的正 面投影落在截平面的正 面积聚性投影上，求作 截交线的水平投影和侧 面投影。
3、整理轮廓线
浏览三维动画•工程制图平面与立体相交
3、圆球的截交线 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形； 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段； 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
•工程制图平面与立体相交
工程制图第6章 立体表面的交线
第六章 立体表面的交线
第一节 平面与立体表面的截交线 第二节 两立体表面的相贯线
内容提要：当两个以上基本体组合到一起时，表面
上常会出现交线。画图时，为了准确表达形体的真实 形状，必须画出立体表面交线的投影。
6.1 平面与立体表面的截交线
截交线：平面切割立体时，平面与立体表面的交线称为截交线 掌握常见平面立体和回转体的截交线求法。 重点：求作截交线（为本课程的难点）
体被上截。切，求出截交线后
再取局部。
[ 10]
1'
例
2'
1” 2''
求
四 棱 6' 锥
3'(4') 5'
(4'') 6'' 3''
5''
被
截
切 后 的
6 (4)
1
俯
视
图
和
3
左
2
视 图
5 类似性检查 封闭性检查
1' 2'
6'
5' 3'(4')
1'' 2 ''
(4'')6 '' 3 ''
5''
6 (4)
3、平面切割体三视图画法及步骤
空间分析——什么样的基本体被何位置面切割， 出现了什么形状的截交线（平面多边形）。
投影分析——截交线投影特性：积聚性、类似 性、实形性（截交线为特殊面）
画切割体三视图——先补全基本体三视图，再 画截平面的积聚性投影（已知条件）；找出截 交线（非积聚性投影）上各顶点的投影（或交 线的投影），最后判别可见性，依次连线。
第一节 平面与立体表面的截交线 第二节 两立体表面的相贯线
内容提要：当两个以上基本体组合到一起时，表面
上常会出现交线。画图时，为了准确表达形体的真实 形状，必须画出立体表面交线的投影。
6.1 平面与立体表面的截交线
截交线：平面切割立体时，平面与立体表面的交线称为截交线 掌握常见平面立体和回转体的截交线求法。 重点：求作截交线（为本课程的难点）
体被上截。切，求出截交线后
再取局部。
[ 10]
1'
例
2'
1” 2''
求
四 棱 6' 锥
3'(4') 5'
(4'') 6'' 3''
5''
被
截
切 后 的
6 (4)
1
俯
视
图
和
3
左
2
视 图
5 类似性检查 封闭性检查
1' 2'
6'
5' 3'(4')
1'' 2 ''
(4'')6 '' 3 ''
5''
6 (4)
3、平面切割体三视图画法及步骤
空间分析——什么样的基本体被何位置面切割， 出现了什么形状的截交线（平面多边形）。
投影分析——截交线投影特性：积聚性、类似 性、实形性（截交线为特殊面）
画切割体三视图——先补全基本体三视图，再 画截平面的积聚性投影（已知条件）；找出截 交线（非积聚性投影）上各顶点的投影（或交 线的投影），最后判别可见性，依次连线。
平面与立体相交
6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
第六章 立体表面的相贯线
例6—3 补画俯视图上三棱柱与圆锥相交的相贯线。
三棱柱与圆锥相贯 a）两视图 b）立体图
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅰ和Ⅱ的投影
求点Ⅲ和Ⅳ的投影
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ的投影
三棱柱与圆锥相贯的投影图
第六章
第三节
立体表面的相贯线
两回转体相交时的相贯线
当两回转体相交时，其相贯线是封闭的空间曲线，特殊情 况下为平面曲线。
圆锥与棱柱相贯
第六章
第一节
立体表面的相贯线
两平面立体相交时的相贯线
平面立体与平面立体相交的相贯线是由若干段直线所围成的封 闭空间图形。 例6—1 作长方体与正三棱锥相交的相贯线。
长方体与正三棱锥相贯
对相贯体进行形体分析
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅰ和Ⅱ的投影
求点Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ的投影
第六章
立体表面的相贯线
两圆柱轴线垂直但不相交时相贯线的变化趋势
轴线垂直相交 轴线垂直但不相交
第六章
立体表面的相贯线
二、辅助平面法
三面共点
第六章
立体表面的相贯线
圆柱与圆锥的相贯线 a）圆柱穿过圆锥 b）圆柱与圆锥共切于一个球 c）圆锥穿过圆柱
第六章
立体表面的相贯线
例6—6 求圆柱与圆柱斜交时的相贯线。
第六章
立体表面的相贯线
第六章
立体表面的相贯线
三、圆柱、圆锥和球同轴（或轴线平行）时的 相贯线
圆柱、圆锥和球同轴或轴线平行时的相贯线
a）圆柱与球相贯b）圆柱与圆锥相贯c）圆锥与球相贯d）圆柱与圆柱相贯
第六章
第四节
立体表面的相贯线
组合相贯线
第六章 立体的投影4-相贯线汇总
第六章立体的投影——立体的相贯线§６-1 平面立体与平面立体相贯§６-2 平面立体与曲面立体相贯§６-3 曲面立体与曲面立体相贯基本要求基本要求§６-1 平面立体与平面立体相贯一、概述二、例题1例题2例题3一、概述1．相贯线的性质相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点;不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同;2．相贯线的形状两平面立体的相贯线由折线组成。
折线的每一段都是甲形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。
3．求相贯线的方法求两平面立体相贯线的方法通常有两种：一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次连接起来。
另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面的交线。
4．判别相贯线可见性的原则只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。
只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。
1" y y yy1 4" 44' 33' 2' 1' 3" 2" 解题步骤1．分析 相贯线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。
2' 3' 4'5'6'1'3 24 56解题步骤1．分析相贯线为左右两组折线；相贯线的正面投影已知，水平投影未知；相贯线的投影前后、左右对称2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ；3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。
1解题步骤1．分析 相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面投影未知，水平投影已知；相贯线的投影前后、左右对称。
2．求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等； 3．顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4．整理轮廓线。
06平面立体及其截切体的投影
如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。 一个水平面切割而成。 平面Ⅰ为侧平面 它与四棱 平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。 。 平面Ⅱ为一水平面,它与 平面Ⅱ为一水平面 它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。 同围成一六边形。 作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。 然后补画其它两面投影。
作图: 作图
1
a) 直观图
b) 投影图
(2) 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面， 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在 表面都是平面 平面上取点的方法相同 的方法相同。 平面上取点的方法相同。
A M D
B
C
a) 直观图 图 正六棱柱表面取点
已知六棱柱表面上点M的正面投影 的正面投影m'，求其另两面投影， 例1 已知六棱柱表面上点 的正面投影 ，求其另两面投影， 并判别可见性。 并判别可见性。
采用什么 方法？ 方法？ 平面上作辅助线
作图方法1 作图方法
n″ N a' n′
s' m″ a" (c")
s"
n′
(m′) ′ b' c'
n″ b"
a n
m s n b
c
a) 直观图
b) 投影图 图 三棱锥表面取点
作图方法2: 作图方法
s' n′ n′ n″ N a' b' c' a" (c") n″ b" s"
四棱锥被正垂面切割， 四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线， 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 四棱锥被水平面切割， 四棱锥被水平面切割，截 交线应是平面多边形， 交线应是平面多边形，其 水平投影反映实形。 水平投影反映实形。侧面 投影是一条线。 投影是一条线。
第六章基本体及其表面交线
确定截交 线的形状
★ 画出截交线的投影 （1）．画出完整立体的投影。 （2）．求截交线的投影。
确定截交线 的投影特性
（3）．整理投影轮廓线，判别可见性。
（4）．检查、加深图线、完成全图。
例2 求做立体被截切后的投影
1’ 2’
3’(4’)
1”
4”
3”
4 2
1
3
例1已知斜截正六棱柱的正面投影和水平投影， 求其侧面投影。
• 截交线 : 截平面与物体表面的交线。 • 截断面 : 因截平面的截切，在物体上形成 的平面。
截交线的性质与形状
（1）.截交线的性质：
•公有性：截交线是立体表面与截平面的 公有线，也是它们的公有点。
•封闭性：截交线是一个由直线或曲 线组成的封闭平面多边形。
（2）.截交线的形状：
其形状取决于平面体的形状及 截平面对平面体 的 截切位置。
AD
E
e"
b"
c"
X
B
C
ab
dc
e
Y
正六棱柱的投影
3. 正六棱柱的表面取点
由于棱柱的表面都是平面，所 以在棱柱的表面上取点与在平面 上取点的方法相同。
点的可见性判断： 点所在表面的投影可见,点
的投影也可见；若点所在表面 的投影不可见，点的投影也不 可见；若点所在表面的投影积 聚成直线，点的投影认为可见。
概述
立体可分为平面立体和曲面立体两种。
平面立体：表面都是由平面围成的立体。 曲面立体：表面由曲面或曲面和平面围成的立体。
3.1 平面立体的投影
立体表面各个平面的投影
3.1.1 正六棱柱体的投影画法及表面取点
1. 正六棱柱的组成 由顶面和底面及六个侧棱面
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立 体 图
a
a
a
投 影 图
ß
ß
ß
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26
例3-5
求圆锥被正垂面P截切的截交线。
分析：截交线为椭圆，V面投影与截平面的Pv重合，H面投 影和W面投影均为椭圆，但不反映实形。
Pv
(a)立体图
(b)已知 斜切圆锥体的投影
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27
作图: (1)求特殊点。特殊素线上的点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ，椭圆长、短轴的端点 Ⅴ、Ⅵ。 (2) 求一般点 Ⅶ、Ⅷ。 (3)光滑连接 ，整理轮廓，完成全图 。
(a)
两圆柱正交相贯线的近似画法
(b)
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42
两圆柱正交的形式：
（a)两外表面相交
（b)内表面与外表面相交
（c)两内表面相交
两圆柱相贯的三种形式
不同结构内、外表面的相贯线画法相同，只是其 可见性要根据情况正确判断处理。
3
5'(6 ')
6 (8 ) 5 (7 )
y1
6 1 5 3 7 4 8
2
两圆柱正交的相贯线 回节目录
41
y1
两非等径圆柱正交相贯线的相似画法
两圆柱正交直径相差较大时，在与两圆柱轴线所确定的 平面平行的投影面上的相贯线投影可以采用圆弧代替。作图时， 以较大圆柱的半径为圆弧半径，其圆心在小圆柱轴线上，相贯 线弯向较小的立体。
⑴求各棱线与平面的交点——棱线法。
⑵求各棱面与平面的交线——棱面法。
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4
例1
求四棱柱被截切后的侧面投影。
6- 2
平面立体的截交线
作图步骤: 1 形体分析 2 画出未切割之前的立体的投影 3 利用取点法求特征图形 4 斜切一定得到类似形(正垂面)
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5
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6
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7
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8
例3 求四棱柱被截切后的侧面投影。
2'(3 ') 1' 4'(5 ') 5 3 (7 ) 8 4 10 9 2 (6 ) 9'(10 ') 1 6'(7 ') 8' 8' 1' 4'(5 ') 2'(3 ') 9'(10 ') 6'(7 ')
8 10 9 1 3 2 5 (7 ) 4 (6 )
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13
1.圆柱的截交线
圆柱截交线三种情况—圆、椭圆和矩形
截平面 与轴线平行 与轴线垂直 与轴线倾斜 的位置 截交线 矩形 圆 椭圆 的形状
立 体 图 投 影 图
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14
例3 求正垂面Ｐ与圆柱的截交线。 分析：截平面与轴线斜交，截交线为椭圆。截交线的V 面投影积聚于一条线，W面投影积聚圆上，求H面投影。
P'
q'
P
Q
(a)立体图
(b)已知
求开槽半圆球的投影
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32
作图:
(1)完成平面P的投影； (2)完成平面Q的投影； (3)整理轮廓，完成全图。
(c)求P、 Q的投影
(d)整理轮廓，完成全图
求开槽半圆球的投影
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33
（四）同轴复合回转体的截交线
同轴复合回转体的截交线，必须分析形体是由哪 些回转体组合而成，截平面与被截切的各个回转体的 相对位置，截交线的形状及其投影特性，然后逐个画 出各回转体的截交线，最后将其依次连接起来。 例3-8 求作图示立体的水平投影图。
7'(8') 9'(10')
8 (10 )
7 (9 )
7'(8')
9'(10')
8 (10 )
7 (9 )
2'(5') 1'(6') 3'(4')
5 6 (4 )
2 1(3 )
2'(5') 1'(6') 3'(4')
5
2 6 (4 ) 1(3 )
5
5 10 (4) 8 (6) 10 (4)
分析：P为水平面，截交线为六边形，V面投影为一直线，H面 反映实形，W面积聚为直线；Q、R面为侧平面，H面投影积聚 为直线，W面反映实形，为重合的四边形。 RV QV R P Q
PV
(a)立体图
(b)已知 回节目录
9
求四棱柱被截切后的侧面投影
作图：(1)求平面P的截交线；
(2)求平面Q、R的截交线； (3) 检查,判断可见性，将各点依次连接。 注意：两截平面间交线 。
第六章
平面与立体相交投影
本 §6-1 概 述 §6-2 平面与平面立体相交 章 §6- 3 平面与回转体相交 内 §6-4 平面与组合体相交 容
课件目录 回节目录
1
§ 6-1
概
述
概述:
切割体——基本体被平面截切后的部分 截平面——截切立体的平面 截断面——立体被截切后的断面 截交线——截平面与立体表面的交线 截交线性质： (1)截交线是截平面和立体表面的共有线； (2)截交线一般是封闭的平面图形。 截交线的形状取决于: (1)立体的形状； (2)截平面与立体的相对位置。
Pv
1' 5'(6') 7'(8') 2' 1 4 6 8 3 5 2
7
3'(4')
3'(4') 1' 5'(6') 7'(8') 2'
Pv
4 6 8
1
3 5
2
7
y2 8 6
y1
4
1 3
8
6 4
y2
y1
2 7 5
2 7 5 3
1
(c)求特殊点和一般点 斜切圆锥体的投影
8 (6)
7 (1)
9 (3)
7 (1) 2
9 (3)
2
(c)求平面与各棱线的交点 四棱柱被截切后
(d)连线、整理轮廓，完成全图 回节目录
10
例3-2 完成三棱锥被截后的水平投影，并求作其 侧面投影。
分析：三棱锥被正垂面Ｐ所截，截交线为三角形，V面投影积 聚为一条直线段；H面、W面均为类似形。 PV
(a) 立体图
两圆柱正交的相贯线
(b) 已知 回节目录
40
空间及投影分析:
两圆柱正交，相贯线为一前后、左右对称的封闭的空间曲 线。相贯线的W面投影与大圆柱面重合，为一段圆弧；H面投 影与小圆柱面重合，为一个圆；需求V面投影。
1'
2'
3'(4 ') 7'(8 ')
4
1 (2 )
作图:
(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； (2)求一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ； (3)光滑连接，整理轮廓 。
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38
两曲面体相贯线的不同情况
(a) 相贯线为封闭 的空间曲线
(b)相贯线为不封
闭的空间曲线
(c)相贯线为平 (d)相贯线为直线
面曲线
两曲面体相贯线的不同情况 回节目录
39
1.表面取点法 当回转体表面的投影具有积聚性时，可利用积聚性 投影，通过表面取点的方法，求出相贯线其它投影。 例3-9 求作两正交圆柱的相贯线的投影。
回节目录
2
截交的基本概念
截平面 截断面
截交线
截交的基本概念 回节目录
3
6- 2
平面立体的截交线
1.平面立体截交线的性质 平面立体截交线是一个封闭的平面多边形。
多边形各边是截平面与立体相应棱面的交线。
多边形的顶点是截平面与立体相应棱线的交点。 2.求平面立体截交线的实质 求截平面与立体表面的共有点的集合。 3.求截交线的方法
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ Ⅲ Ⅱ Ⅶ
(a)立体图 斜切圆柱体的投影 回节目录
15
Ⅵ
Ⅴ
(b)已知
例3 求正垂面P与圆柱的截交线。
步骤：(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。 (2)求一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 。 (3)连接，整理轮廓，完成全图。
1' Pv
3'(4') 4 1 3
Pv
1' 5'(6') 3'(4') α 7'(8') 6 4 8
★完善圆柱轮廓
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22
回节目录
23
例4
求水平投影。
回节目录
24
例5
画出定位轴切口的投影。
回节目录
25
（二）圆锥的截交线
平面与圆锥体相交的五种形式
截平面 与轴线垂直 与轴线倾斜 平行一条 的位置 β=90º β>α 素线β=α
截交线 的形状
与轴线平行
β=0º
过锥顶
等腰三角形
圆
椭圆
抛物线
双曲线
回转体截交线性质、求法
性质：回转体截交线一般为封闭的平面曲线。 实质：求截交线就是求截平面与回转体表面一系列的 共有点，最后将这些点的同面投影光滑连接起来。 作图步骤： 1)求出截交线上的特殊点； 2)作出若干个一般点； 3)将求出的点依次光滑连接。 特殊点是指特殊素线点、确定大小、范围的点，极限 位置点，椭圆长、短轴的端点，以及抛物线、双曲线 的顶点等。
3 5 1 4 2
7 10 8 1 4 5
3
7 10 8
6
9
2
6
9
(c)求各面截交线
(d)整理轮廓，完成全图 同轴复合回转体的截交线 回节目录
35
小
结
求截交线的解题方法与步骤: (1)空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截 交线的形状。 分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确 定截交线的投影特征。 (2)求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找全特殊 点，再补充一般点，最后光滑连接曲线，并完善轮 廓的投影。