第六 章 平面与立体相交
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平面与平面立体相交
平面与平面立体相交
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。求水平面与六棱柱 面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。求水平面与六棱柱 面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。
机械制图课件-6平面与平面立体表面相交
第六讲：平面与平面立体表面相交
平面与平面立体表面的交线称为截交线;当平面切割立体 时,由截交线围成的平面图形称为断面。
断面
一、平面立体的截交线和断面
平面立体的截交线是一个多边形,它的顶点是平面立体的
棱线或底边与截平面的交点,它的边是截平面与平面立体表
面的交线。
s′
Pv
s″
3′ 2′
3″ 2″
1′
1″
作图过程
a′ b′
c′ c″ a″
b″
c
3 a
1s
2
b
（1）、在棱线SA、SB、SC的正面投影s′a′、 s′b′、 s′c′与截平 面P的有积聚性的迹线PV的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 正面投影1′、 2′、 3′，与PV相重合的直线1′ 2′3′，即为截交线 △ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2） 由1′、 2′、 3′引投影连线，分别与sa、 sb、 sc和 s″a″、 s″b″、 s″c″交出1、2、3和1″、2″、 3″。连接这些点 的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面 投影△ 1″2″ 3″。
例3 已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和 侧面投影。
S
A
B
分析：由正面投影可见三棱锥上的缺口系水平面△ⅠⅡⅢ和正垂 面△ⅡⅢ Ⅳ组成，其中点Ⅰ、Ⅳ为棱线SA上的点，这两点的投 影必在棱线的同面投影上。点Ⅱ、Ⅲ分别为处于一般位置的棱面 △SAB和△SAC内的点，因此作辅助线求出它们的投影。
第二步
第三步 第四步
第五步
例２ 试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的正面投 影
完成后的投影图
在形状较为负责的机件上，有时会见到由平面和 平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的 平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截 交线，并画出截平面之间的交线，就可作出这些平面 立体的投影图。
平面与平面立体表面的交线称为截交线;当平面切割立体 时,由截交线围成的平面图形称为断面。
断面
一、平面立体的截交线和断面
平面立体的截交线是一个多边形,它的顶点是平面立体的
棱线或底边与截平面的交点,它的边是截平面与平面立体表
面的交线。
s′
Pv
s″
3′ 2′
3″ 2″
1′
1″
作图过程
a′ b′
c′ c″ a″
b″
c
3 a
1s
2
b
（1）、在棱线SA、SB、SC的正面投影s′a′、 s′b′、 s′c′与截平 面P的有积聚性的迹线PV的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 正面投影1′、 2′、 3′，与PV相重合的直线1′ 2′3′，即为截交线 △ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2） 由1′、 2′、 3′引投影连线，分别与sa、 sb、 sc和 s″a″、 s″b″、 s″c″交出1、2、3和1″、2″、 3″。连接这些点 的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面 投影△ 1″2″ 3″。
例3 已知一个缺口三棱锥的正面投影，补全它的水平投影和 侧面投影。
S
A
B
分析：由正面投影可见三棱锥上的缺口系水平面△ⅠⅡⅢ和正垂 面△ⅡⅢ Ⅳ组成，其中点Ⅰ、Ⅳ为棱线SA上的点，这两点的投 影必在棱线的同面投影上。点Ⅱ、Ⅲ分别为处于一般位置的棱面 △SAB和△SAC内的点，因此作辅助线求出它们的投影。
第二步
第三步 第四步
第五步
例２ 试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的正面投 影
完成后的投影图
在形状较为负责的机件上，有时会见到由平面和 平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的 平面立体，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截 交线，并画出截平面之间的交线，就可作出这些平面 立体的投影图。
画法几何两立体相交讲课文档
甲 乙
第七页，共五十二页。
2、棱面交线法(截交线法)
将两平面立体上参与相交的棱面与另一平面立体各棱面求交 线，交线即围成所求两平面立体相贯线。
甲 乙
第八页，共五十二页。
㈢ 相贯线的可见性
相贯线的可见性取决于相贯线所处立体表面的可 见性。若相贯线处于同时可见的两立体表面上，则 相贯线可见，画成实线；其它情况下均为不可见， 画成虚线。
⒈ 利用曲面的积聚投影法
1'
2'
4 ' 3' 5 '
1"
(2 ") 4 " (5 ") 3"
分析：
⒈ 相贯线分析：空 间分析、投影分析。 相贯线的水平投影 和侧面投影已知， 求出相贯线的正面 投影。
1
2
4 35
2.找特殊点
3.找一般位置点
4.光滑连接 5.整理
第三十三页，共五十二页。
⒈ 利用 曲的聚影⒈利用曲面积投法 面 的 积 聚 投 影 法
1、相贯线是平面立体和曲面立体表面上的公有线，相 贯线上的点是平面立体与曲面立体表面上的公有 点；
2、相贯线是由若干段平面曲线（截交线）所组成的空间曲 线。
第十八页，共五十二页。
㈡ 平面立体与曲面立体相贯线的求法
依次求出平面立体上参与相交的各棱面与曲面立体表面 的截交线，这些截交线即围成所求平面立体与曲面立体相 贯线。
2
1
54 3
第四十一页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十二页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十六页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十七页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第七页，共五十二页。
2、棱面交线法(截交线法)
将两平面立体上参与相交的棱面与另一平面立体各棱面求交 线，交线即围成所求两平面立体相贯线。
甲 乙
第八页，共五十二页。
㈢ 相贯线的可见性
相贯线的可见性取决于相贯线所处立体表面的可 见性。若相贯线处于同时可见的两立体表面上，则 相贯线可见，画成实线；其它情况下均为不可见， 画成虚线。
⒈ 利用曲面的积聚投影法
1'
2'
4 ' 3' 5 '
1"
(2 ") 4 " (5 ") 3"
分析：
⒈ 相贯线分析：空 间分析、投影分析。 相贯线的水平投影 和侧面投影已知， 求出相贯线的正面 投影。
1
2
4 35
2.找特殊点
3.找一般位置点
4.光滑连接 5.整理
第三十三页，共五十二页。
⒈ 利用 曲的聚影⒈利用曲面积投法 面 的 积 聚 投 影 法
1、相贯线是平面立体和曲面立体表面上的公有线，相 贯线上的点是平面立体与曲面立体表面上的公有 点；
2、相贯线是由若干段平面曲线（截交线）所组成的空间曲 线。
第十八页，共五十二页。
㈡ 平面立体与曲面立体相贯线的求法
依次求出平面立体上参与相交的各棱面与曲面立体表面 的截交线，这些截交线即围成所求平面立体与曲面立体相 贯线。
2
1
54 3
第四十一页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十二页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十六页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
第四十七页，共五十二页。
【例题】求两立体相贯线
平面与立体相交-机械制图课件
求立体截切后的投影 6" 4" 1" 2" 6
3
1
5 6
5
3 1 2
10
4
2
4
返回
6
5
3 1 2
11
4
上一级
试求正四棱锥被两平面截切后的投影
P Q
(a) 题图 12
分析：形体分析与投影分析；
(b) 形体分析与投影分析 13
作图:①求水平面、正垂面与立体的交线
7'
7"
6'
1'
(8') 5"
8" 4" 1" 3"
(e) 检查、完成 图3-22 正四棱锥被两平面截切 16
补出四棱柱截割后的左视图。
1‘2’ 3‘4’ 5‘6’ 9‘ 7‘8’ 5“ 7“ 9“ 8“ 1“ 3“ 2“ 4“ 6“
5
7
13 9
24
8
17
6
返回
例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4 5 7 5 6 3 4 Ⅴ
33
34
●
●
●
●
35
36
例 5：求左视图 例求侧面投影
虚实分界点
37
返回
例
已知三棱锥SABC和正垂的截平 面P，求作截交线的三面投影。
5
返回
6
例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 3 1 2
4
●
●
1
●
2
●
3
4
3
●
●
空间分析 投影分析
●
1
§平面与立体相交求截交线
线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交 点，顺序连接各交点，即为所求。
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个
第06章 形体的表面交线
第六章 形体的表面交线 第一节 截交线 平面与立体相交也称平面截切立体，平面称 为截平面，截交线围成的平面图形称截断面。截 交线的性质如下: (1) 截交线上的每一点，都是截平面与立体表 面的共有点。 (2) 由于空间形体的尺度总是有限的，所以截 交线总是封闭的。空间形体按其表面形状可分为 平面立体与曲面立体两类，形体表面形状不同， 截交线的作图方法也不相同。
第六章 形体的表面交线 2. 平面立体与曲面立体相交 平面立体与曲面立体的相贯线一般是由若 干段平面曲线(包括直线)围成的空间封闭线。 每段平面曲线都是平面立体的某棱面与曲面立 体的截交线段。 相邻两平面曲线的交点称为结合点,它是 平面立体某棱线与曲面立体的贯穿点。 因此,求平面立体与曲面立体的相贯线,可 归结为求曲面截交线(曲线)和贯穿点的问题。
第六章 形体的表面交线 例 求图示三棱柱与圆锥的相贯线。
4' 1' 5' c'
a' 2'
1" 4"
2"
6'
3' b'
3"
5" 6"
3 4 1 6 5 2
c
b
第六章 形体的表面交线
第四节 曲面体相贯线 曲面体相贯线是曲面立体与曲面立体相交时的 表面交线。 求作相贯线的基本方法:(1)利用表面取点的方 法作图;(2)采用若干辅助面去截割两曲面体,找 出同一截面上两截交线的交点,这些点就是相 贯线上的点，依次连接即得相贯线。 从另一角度看,相贯线上的点,也是两曲面和一 个想象中的辅助面的共有点（“三面共点”的 原理）。
例 求图示圆柱柱端切口的投影。
第六章 形体的表面交线
06-1.第六章第一、二节分离式立交解析
第六章分离式立交和人行立交 (1)第一节分离式立交 (2)一、分离式立交设置条件 (2)二、铁路与道路立交方式选择 (2)第二节下穿式立交 (4)一、下穿式地道设计 (4)（一）地道引道的平面线形 (4)（二）地道引道的纵坡度 (5)（三）地道引道横断面 (6)（四）城市地道洞体净空 (6)二、道路与道路分离式立交 (7)（一）下穿式立交设计 (8)（二）下穿立交的排水 (8)（三）附属构造物 (9)第六章分离式立交和人行立交立体交叉系用跨线桥或地道使相交路线在高程不同的平面上互相交叉的交通设施。
立体交叉，以空间分隔车流的方式，保证交通安全，并提高通行能力和运输效率。
因此，立体交叉常用于高速公路、快速路、一级公路和部分城市主干路。
立交按其交通功能，则可分为分离式和互通式。
高速公路、快速路、一级公路与各级道路交叉必须采用立体交叉。
符合下列条件者应设置互通式立体交叉：1、高速公路、一级公路与通往市（县）级及以上城市或其它重要政治、经济中心的主要道路相交时。
2、高速公路、一级公路与通往重要的工矿区、港口、机场、车站和游览胜地等的主要道路相交时。
3、高速公路、一级公路与连接其它重要交通源的道路相交而使该道路成为其支线时。
4、快速路与快速路或重要主干路相交。
第一节分离式立交一、分离式立交设置条件1、高速公路与其它公路交叉除已设置互通式立体交叉外，其余均必须设置分离式立体交叉；2、一级公路与直行交通量较大的公路相交叉，在不考虑交通转换或地形条件适宜时，宜采用分离式立体交叉；3、二、三、四级公路间的交叉，直行交通量很大，在不考虑交通转换或地形条件适宜时，宜采用分离式立体交叉；4、铁路、二级公路相交时应设置立体交叉；5、由于铁路调车作业对公路或城市道路上行驶的车辆会造成较严重延误时，应设置立体交叉。
6、自行车道路与铁路相交遇下列三种情况之一时,应设分离式立体交叉：（1）与Ⅱ级铁路正线相交、高峰小时自行车双向流量超过10000辆；（2）与Ⅰ级铁路正线相交、高峰小时自行驶双向流量超过6000辆；( 3)火车调车作业中断自行车专用路的交通，日均累计2h以上，且在交通高峰时中断交通15min以上。
数学拓展模块一下册电子课件第六章立体几何
当我们说“有且只有一条直线”或“确定一条直线”时，都是把重合的
直线看成一条直线．
6.1
平面的基本性质
静止的水面、课桌面、黑板面、教室的地面等等，它们有一个共同的特征：
平坦、没有起伏．由大量这样的实际例子抽象出平面的概念，它是平坦而且可
• •
以无限伸展的图形，并且没有厚度．平面是空间的又一个基本要素，平面通常
由于四边形1 1 是平行四边形，因此 ∕∕ 1 1 .
于是根据命题2得，1 1 ∕∕ .
6.3
两条异面直线所成
的角，异面直线垂
直的判定
6.3
两条异面直线所成的角，异面直线垂直的判定
探索
如图6.3-1所示，在棱长为1的正方体 −
1 1 1 1 中，由于 ⊂平面1 1 ，1 ∈平面
两条直线的位置关系
在上面的例子中，直线
1 是异面直线，观察这一对直线的特点，猜想
出下述命题，并且可以证明这个命题为真．
命题1 平面内一点与平面外一点的连线，与
平面内不经过该点的直线是异面直线．
已知：平面α内一条直线1 ，点 ∈ ，且 ∉
1 ，点 ∉ ，如图6.2-2所示．
求证：直线与1 是异面直线．
个接触点，共有不在同一条直线上的三个点，它们确定一个平面，从而自
行车立得稳．
6.1
例
证明
平面的基本性质
证明：两两相交且不过同一个点的三
条直线共面．
己知：如图6.1-9所示，三条直线两
两相交，交点分别为，，.
求证：直线，，共面．
由于相交直线与确定一个平面，
于是点 ∈ ，且点 ∈ ，
此时称直线在平面内或平面经过直线，如图
6.1-3所示．
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立 体 图
a
a
a
投 影 图
ß
ß
ß
回节目录
26
例3-5
求圆锥被正垂面P截切的截交线。
分析：截交线为椭圆，V面投影与截平面的Pv重合，H面投 影和W面投影均为椭圆，但不反映实形。
Pv
(a)立体图
(b)已知 斜切圆锥体的投影
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27
作图: (1)求特殊点。特殊素线上的点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ，椭圆长、短轴的端点 Ⅴ、Ⅵ。 (2) 求一般点 Ⅶ、Ⅷ。 (3)光滑连接 ，整理轮廓，完成全图 。
(a)
两圆柱正交相贯线的近似画法
(b)
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42
两圆柱正交的形式：
（a)两外表面相交
（b)内表面与外表面相交
（c)两内表面相交
两圆柱相贯的三种形式
不同结构内、外表面的相贯线画法相同，只是其 可见性要根据情况正确判断处理。
3
5'(6 ')
6 (8 ) 5 (7 )
y1
6 1 5 3 7 4 8
2
两圆柱正交的相贯线 回节目录
41
y1
两非等径圆柱正交相贯线的相似画法
两圆柱正交直径相差较大时，在与两圆柱轴线所确定的 平面平行的投影面上的相贯线投影可以采用圆弧代替。作图时， 以较大圆柱的半径为圆弧半径，其圆心在小圆柱轴线上，相贯 线弯向较小的立体。
⑴求各棱线与平面的交点——棱线法。
⑵求各棱面与平面的交线——棱面法。
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4
例1
求四棱柱被截切后的侧面投影。
6- 2
平面立体的截交线
作图步骤: 1 形体分析 2 画出未切割之前的立体的投影 3 利用取点法求特征图形 4 斜切一定得到类似形(正垂面)
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5
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6
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7
回节目录
8
例3 求四棱柱被截切后的侧面投影。
2'(3 ') 1' 4'(5 ') 5 3 (7 ) 8 4 10 9 2 (6 ) 9'(10 ') 1 6'(7 ') 8' 8' 1' 4'(5 ') 2'(3 ') 9'(10 ') 6'(7 ')
8 10 9 1 3 2 5 (7 ) 4 (6 )
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13
1.圆柱的截交线
圆柱截交线三种情况—圆、椭圆和矩形
截平面 与轴线平行 与轴线垂直 与轴线倾斜 的位置 截交线 矩形 圆 椭圆 的形状
立 体 图 投 影 图
回节目录
14
例3 求正垂面Ｐ与圆柱的截交线。 分析：截平面与轴线斜交，截交线为椭圆。截交线的V 面投影积聚于一条线，W面投影积聚圆上，求H面投影。
P'
q'
P
Q
(a)立体图
(b)已知
求开槽半圆球的投影
回节目录
32
作图:
(1)完成平面P的投影； (2)完成平面Q的投影； (3)整理轮廓，完成全图。
(c)求P、 Q的投影
(d)整理轮廓，完成全图
求开槽半圆球的投影
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33
（四）同轴复合回转体的截交线
同轴复合回转体的截交线，必须分析形体是由哪 些回转体组合而成，截平面与被截切的各个回转体的 相对位置，截交线的形状及其投影特性，然后逐个画 出各回转体的截交线，最后将其依次连接起来。 例3-8 求作图示立体的水平投影图。
7'(8') 9'(10')
8 (10 )
7 (9 )
7'(8')
9'(10')
8 (10 )
7 (9 )
2'(5') 1'(6') 3'(4')
5 6 (4 )
2 1(3 )
2'(5') 1'(6') 3'(4')
5
2 6 (4 ) 1(3 )
5
5 10 (4) 8 (6) 10 (4)
分析：P为水平面，截交线为六边形，V面投影为一直线，H面 反映实形，W面积聚为直线；Q、R面为侧平面，H面投影积聚 为直线，W面反映实形，为重合的四边形。 RV QV R P Q
PV
(a)立体图
(b)已知 回节目录
9
求四棱柱被截切后的侧面投影
作图：(1)求平面P的截交线；
(2)求平面Q、R的截交线； (3) 检查,判断可见性，将各点依次连接。 注意：两截平面间交线 。
第六章
平面与立体相交投影
本 §6-1 概 述 §6-2 平面与平面立体相交 章 §6- 3 平面与回转体相交 内 §6-4 平面与组合体相交 容
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1
§ 6-1
概
述
概述:
切割体——基本体被平面截切后的部分 截平面——截切立体的平面 截断面——立体被截切后的断面 截交线——截平面与立体表面的交线 截交线性质： (1)截交线是截平面和立体表面的共有线； (2)截交线一般是封闭的平面图形。 截交线的形状取决于: (1)立体的形状； (2)截平面与立体的相对位置。
Pv
1' 5'(6') 7'(8') 2' 1 4 6 8 3 5 2
7
3'(4')
3'(4') 1' 5'(6') 7'(8') 2'
Pv
4 6 8
1
3 5
2
7
y2 8 6
y1
4
1 3
8
6 4
y2
y1
2 7 5
2 7 5 3
1
(c)求特殊点和一般点 斜切圆锥体的投影
8 (6)
7 (1)
9 (3)
7 (1) 2
9 (3)
2
(c)求平面与各棱线的交点 四棱柱被截切后
(d)连线、整理轮廓，完成全图 回节目录
10
例3-2 完成三棱锥被截后的水平投影，并求作其 侧面投影。
分析：三棱锥被正垂面Ｐ所截，截交线为三角形，V面投影积 聚为一条直线段；H面、W面均为类似形。 PV
(a) 立体图
两圆柱正交的相贯线
(b) 已知 回节目录
40
空间及投影分析:
两圆柱正交，相贯线为一前后、左右对称的封闭的空间曲 线。相贯线的W面投影与大圆柱面重合，为一段圆弧；H面投 影与小圆柱面重合，为一个圆；需求V面投影。
1'
2'
3'(4 ') 7'(8 ')
4
1 (2 )
作图:
(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； (2)求一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ； (3)光滑连接，整理轮廓 。
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38
两曲面体相贯线的不同情况
(a) 相贯线为封闭 的空间曲线
(b)相贯线为不封
闭的空间曲线
(c)相贯线为平 (d)相贯线为直线
面曲线
两曲面体相贯线的不同情况 回节目录
39
1.表面取点法 当回转体表面的投影具有积聚性时，可利用积聚性 投影，通过表面取点的方法，求出相贯线其它投影。 例3-9 求作两正交圆柱的相贯线的投影。
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2
截交的基本概念
截平面 截断面
截交线
截交的基本概念 回节目录
3
6- 2
平面立体的截交线
1.平面立体截交线的性质 平面立体截交线是一个封闭的平面多边形。
多边形各边是截平面与立体相应棱面的交线。
多边形的顶点是截平面与立体相应棱线的交点。 2.求平面立体截交线的实质 求截平面与立体表面的共有点的集合。 3.求截交线的方法
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ Ⅲ Ⅱ Ⅶ
(a)立体图 斜切圆柱体的投影 回节目录
15
Ⅵ
Ⅴ
(b)已知
例3 求正垂面P与圆柱的截交线。
步骤：(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。 (2)求一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 。 (3)连接，整理轮廓，完成全图。
1' Pv
3'(4') 4 1 3
Pv
1' 5'(6') 3'(4') α 7'(8') 6 4 8
★完善圆柱轮廓
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22
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23
例4
求水平投影。
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例5
画出定位轴切口的投影。
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25
（二）圆锥的截交线
平面与圆锥体相交的五种形式
截平面 与轴线垂直 与轴线倾斜 平行一条 的位置 β=90º β>α 素线β=α
截交线 的形状
与轴线平行
β=0º
过锥顶
等腰三角形
圆
椭圆
抛物线
双曲线
回转体截交线性质、求法
性质：回转体截交线一般为封闭的平面曲线。 实质：求截交线就是求截平面与回转体表面一系列的 共有点，最后将这些点的同面投影光滑连接起来。 作图步骤： 1)求出截交线上的特殊点； 2)作出若干个一般点； 3)将求出的点依次光滑连接。 特殊点是指特殊素线点、确定大小、范围的点，极限 位置点，椭圆长、短轴的端点，以及抛物线、双曲线 的顶点等。
3 5 1 4 2
7 10 8 1 4 5
3
7 10 8
6
9
2
6
9
(c)求各面截交线
(d)整理轮廓，完成全图 同轴复合回转体的截交线 回节目录
35
小
结
求截交线的解题方法与步骤: (1)空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截 交线的形状。 分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确 定截交线的投影特征。 (2)求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找全特殊 点，再补充一般点，最后光滑连接曲线，并完善轮 廓的投影。