数列每日一练

每日一练（一）数列专题1 已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 2 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_______3 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-b = ． 4已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．5 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．6 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？一 答案 B 5 113- T5 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （II ）由（I ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+- ()112255=-+T6 解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n = . （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.每日一练（二）数列专题1 数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .2 已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .3 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S 4=，则69SS = 4 等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T 若==2005201310031007,21T Sb a 则 5 已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .6 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥ 时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值； （2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．二 1【答案】6 2 【答案】27 3略 4略5（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ，可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n q a a .（Ⅱ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n n n nS S S S S S S S b b b T12111--=+n .6（1）当2n=时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n nS S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122nn n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭每日一练（三）数列专题1.在等差数列{}n a 中，已知31=a ，2=d ，求=20a ，=n a ，=n S2.在等差数列{}n a 中, 已知45076543=++++a a a a a , =+82a a ，=9S3.等差数列{}n a 中，23a =，611a =，则7S =4．等差数列}{n a 公差小于0，0,16.6473=+-=a a a a ，通项公式=n a 5. 设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．6设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈， （I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。

三 5【答案】6 【答案】（I ）略；(II) 2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩ 【解析】试题分析：（I ）当*,2n N n ∈≥时，由题可得23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈，两式子相减可得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，然后验证当n=1时，命题成立即可； (II)通过求解数列{}n a 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式.试题解析：（I ）由条件，对任意*n N ∈，有23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈， 因而对任意*,2n N n ∈≥，有113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈， 两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥， 又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n N ∈，23n n a a +=。

（II ）由（I ）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯， 于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++++=++=从而1221223(31)323(531)22n n n n n n S S a ----=-=-⨯=⨯-，综上所述，2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩。

每日一练（四）数列专题1.一个等比数列的第1项是3，公比是2，求它的通项公式n a = ，n S =2.在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，18a =3.在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求q = ,n a =4. 在等差数列}{na 中，===-+-+-m S a a am m m m ,38,012211 5已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .6 设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1{}na 的前n 项和为T n ，求T n .四 5 【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =. 解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-（II ）由（I ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=6 【解析】(Ⅰ) 由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2) 即a n ＝2a n －1(n ≥2)从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列 故a n ＝2n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得112n n a =所以T n ＝211[1()]111122 (11222212)nn n -+++==--每日一练（五）数列专题1.在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________.2.某工厂去年总产a ，今后5年内每一年比上一年增长0010，这5年的最后一年该厂的总产值是3.等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44Sa = ． 4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3614,1S S a ==，则4a =5. 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式;（II ）设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.6已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈ .（1）求n a 与n b ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .五5 试题解析:（I ）设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d 得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .（II ）由（I ）有()1212n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯- 所以()2323nn S n =-+ . 6 (1)由112,2n n a a a +==，得2n n a =.当1n =时，121b b =-，故22b =.当2n ≥时，11n n n b b b n +=-，整理得11n n b n b n++=， 所以n b n =.(2)由(1)知，2nn n a b n =⋅所以23222322n n T n =+⋅+⋅++⋅ 2341222232(1)22n n n T n n +=+⋅+⋅++-⋅+⋅所以2311222222(1)22n n n n n n T T T n n ++-=-=++++-⋅=-- 所以1(1)22n n T n +=-+.每日一练（六）数列专题1 若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x = 2 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310l o g l o g ...l o g a a a +++= 3数列7,77,777,7777…的通项公式=n a __________,=n S4.（1）已知数列n a n n b n a 2,13=-=，则=n b ，=n S（2）已知数列n n n n a b a 31log ,32=⋅=-，则=n b ，=n S 5 已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式，(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .6 已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n .（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；六5（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得1132922,3,22a d a d ´+=+= 化简得11322,,2a d a d +=+= 解得11=1,2a d =， 故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a . (2)由（1）得141515+1=1==82b b a =，. 设{}n b 的公比为q,则341q 8b b ==,从而2q =. 故{}n b 的前n 项和 1(1)1(12)21112n n n n b q T q -?===---. 6【解析】（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ，所以)(211n n n n b b a a -=-++6)5383(2=--+=n n ，所以}{n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n .（2）由)(211n n n n b b a a -=-++，得n n n n b a b a 2211-=-++，所以}2{n n b a -为常数列，1122b a b a n n -=-，即1122b a b a n n -+=， 因为n n a a ≥0，*∈N n ，所以111122220b a b b a b n n -+≥-+，即n n b b ≥0，所以}{n b 的第0n 项是最大项.每日一练（七）数列专题1.等比数列{}n a 前n 项的和为21n -，则数列{}2n a 前n 项的和为______________ 2.等比数列{}n a 中，,400,60,364231>=+=⋅n S a a a a 求n 的范围3.在等比数列{}n a 中，若62=a ，且0122345=+--a a a 则n a 为 （ ）A ．6B ．2)1(6--⋅nC ．226-⋅nD ．6或2)1(6--⋅n 或226-⋅n4.等差数列{}n a 的公差不为零.若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,求n a =5. 3.数列{}n a 中，31,21==q a （Ⅰ）求n n S a ,（Ⅱ）n n a a a a b 3332313log log log log +++=，求n b6.已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足(1)1n n q S a q =--（q 是常数且0,1,q q >≠） （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a （Ⅱ）当13q =时，试证明2121<+++n a a a。