5.3复数的四则运算

1− i = 1+ i
−i.
1.计算 计算:(1+2 i )2 计算
−3 + 4i
2.计算 -2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 计算(i计算 3.计算 3.计算 (1 + i )3 -2+2i 4.若 4.若 z ∈ C 且 (3 + z )i = 1 ,则 z = -3-i . _____ 3 3 ± 5.已知 5.已知 m ∈ R 且 ( m + i ) ∈ R ,则 m = _____ .
复数的代数形式： 复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 表示，
z = a + bi (a ∈ R, b∈ R)
实部 虚部
其中
称为虚数单位。 虚数单位 i 称为虚数单位。
实数 b = 0 复数a+bi 复数a+bi 纯虚数 a = 0，b ≠ 0 虚数 b ≠ 0 非纯虚数 a ≠ 0，b ≠ 0
⊂C R≠
如果两个复数的实部 虚部分别相 如果两个复数的实部和虚部分别相 实部和 等，那么我们就说这两个复数相等． 那么我们就说这两个复数相等 两个复数相等．
若a, b, c, d ∈ R,
a = c a + bi = c + di ⇔ b = d
a=b=0
.
特别地， =0⇔ 特别地，a+bi=0⇔
分母实数化
a + bi (a + bi ) ÷ (c + di ) = c + di
例3.计算 3.计算
(1 + 2i ) ÷ (3 − 4i )
1+ 2i 解: (1+ 2i) ÷ (3 − 4i) = 3− 4i (1+ 2i)(3+ 4i) = (3− 4i)(3+ 4i) 3−8 + 6i + 4i − 5 +10i = = 2 2 3 +4 25 1 2 =− + i 5 5
= (5 − 2 − 3) + (−6 −1− 4) i = −11i
2.复数的乘法与除法 复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 (1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 但必须在所得的结果中把i 换成并且把实部合并.即: 并且把实部合并.
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
作业： 作业：
1 3 求证： ，求证： i 2 2 ；（2） （1） + ω + ω 2 = 0 ；（ ） ω 3 = 1. ） 1 1 3 1 3 2 3 1 + ω ( − 12+= 13 i( − + i ) + (− + i) +ω + )3 ） 证明： （1） 证明：（2） ω = ） 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 + 3 i ) 2 ( −1 + 3 i )1 3 3 2 2 ( = =− + 2 2 2 i + ( − 2 ) −2 × 2 × 2 i + ( 2 i ) 2 2 2 1 3 1 1 3 (1 i ) == − +− 3 i +)( −− +3 i −i3 = ( − 1 ) 2 − ( 3 i ) 2 2 2 2 2 22 4 2 2 2 4 1 = 0; + 3 = 1 = 4 4
(2)复数的加法满足交换律、结合律, (2)复数的加法满足交换律、结合律, 复数的加法满足交换律 即对任何z1,z2,z3∈C,有 ∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 (5 − 6i) + (−2 −i) − (3+ 4i) 1.计算
解: (5 − 6i) + (−2 − i) − (3 + 4i)
.
练习 1.计算 计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004; 计算 原式=(i- 解:原式 -2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002原式 - 2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i. -
（3） (1 ± i ) = ±2i;
2
1 1+ i = −i; = i; i 1− i
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理 (2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以 复数的乘法满足交换律、结合律以 交换律 及乘法对加法的分配律. 及乘法对加法的分配律. 分配律 即对任何z 即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
复数的加减陈除四则运算可以解决了， 复数的加减陈除四则运算可以解决了，再来探讨 一下复数范围内开平方 开平方问题解决方法 一下复数范围内开平方问题解决方法
例如： 方程 方程x 例如：1.方程 2+1=0 2.方程 2=i 方程x 方程 3.方程 2-2x+2=0 方程x 方程
实系数一元二次方程的根的情况 对于一元二次方程ax 对于一元二次方程 2+bx+c=0 (a, b, c∈R)， ∈ ， 当△=b2－4ac>0时, 方程有两个不同的实根， 时 方程有两个不同的实根， x= -b± b -4ac ；当△=b2－4ac=0时, 方程 时
复数的四则运算
1.复数加减法的运算法则： 复数加减法的运算法则： 复数加减法的运算法则
(1)运算法则:设复数z (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 运算法则 那么： 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i. =(a-c)+(b即:两个复数相加(减)就是实部与 两个复数相加( 实部,虚部与虚部分 别相加(减). 实部, 别相加(
问题： 问题：
a=0是z=a+bi(a、 R)为 a=0是z=a+bi(a、b∈R)为 纯虚数的
必要不充分条件
注意:一般地, 注意:一般地,两个复数只能说相等 或不相等,而不能比较大小. 或不相等,而不能比较大小. 对于任意的两个复数到底能否比较 大小? 大小? 答案: 答案:当且仅当两个复数都是实数 时,才能比较大小. 才能比较大小.
（） 例2：计算 1 (a + bi )(a − bi )
= a − abi + abi − b i
2
2 2
= a +b
2
2
2
2 2 2
（2）a + bi ) = a + 2abi + b i (
= a + 2abi − b
2
2
（3） − 2i )(3 + 4i )(−2 + i ) (1
(1− 2i)(3+ 4i)(−2 + i) = (11− 2i)(−2 + i) = −20 +15i
2
Fra Baidu bibliotek
b； 有两个相同的实根， 有两个相同的实根，x1=x2= 2a
2a
实系数一元二次方程的根的情况
当△=b2－4ac<0时, 方程有两个共轭 时
2
-b± 4ac-b i 的虚数根， . 的虚数根，x= 2a
在有两个虚数根的情况下， 在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍
b ；x x = c 然成立， 然成立，即 x1+x2= 1 2 a a
1 3 6.已知 的值. 6.已知 z = − + i ,求 2 z 3 + 3 z 2 + 3 z + 9 的值. 2 2
7.在复数集 内 7.在复数集C内，你能将 x2 在复数集
3
(x+yi)(x-yi) -
+y
2 分解因式吗？ 分解因式吗？
8
课堂小结 1．复数的加减乘除四则运算法则 ； 2．开平方问题的解决
(3)复数的除法法则 (3)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式, 先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数, 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即 写成代数形式(分母实数化).即 ).
(a + bi )(c − di ) (ac + bd ) + (bc − ad )i = = (c + di )(c − di ) c2 + d 2
例 设
ω =− +
5.3 复数的四则运算
复习： 复习：
我们引入这样一个数i ，把i 叫做 虚数单位，并且规定： 虚数单位，并且规定：
=−1 i2=−1；
∈R)的数叫做复数 的数叫做复数. 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数 全体复数所形成的集合叫做复数 一般用字母C 集，一般用字母C表示 .