9非线性模型共18页文档
9 非线性模型
接近。
意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
17
6
(5)图形：如 Y AX
0
( 6 ) 应用 弹性分析，如： Y 1 2 ln X ln EYX d ln Y d ln X 2 dY dX 2
0
对照边际分析： Y 1 2 X ,
7
3、对数函数（X单ln)
(1) 模型： Y 1 2 ln X ( 2)线性化： Y 1 2 X * (3)估计： ( 4)图形：
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1 2 3 0
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件。
14
表 3.5.1
X X1 GP
中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
FP XC (1990年 价 ) 646.1 659.1 672.2 690.4 772.6 826.6 899.4 1085.5 1262.5 1278.9 1344.1 1459.7 1694.7 2118.4 2474.3 2692.0 2775.5 2758.9 2723.0 2744.8 2764.0 Q (1990年 价 ) 318.3 325.0 337.0 350.5 408.4 437.8 490.3 613.8 702.2 693.8 731.3 809.5 943.1 1265.6 1564.3 1687.9 1689.6 1637.2 1566.8 1529.2 1539.9 P0 (1990=100) 70.7 71.5 75.3 81.0 87.1 96.7 98.3 101.7 95.9 100.0 108.2 114.5 124.6 134.6 143.0 145.6 150.8 157.0 169.5 182.1 192.1 P1 (1990=100) 132.1 132.9 137.7 146.7 86.1 95.7 96.5 92.4 94.0 100.0 107.0 109.3 112.2 112.4 112.9 112.8 115.0 117.7 123.3 128.1 130.8
《非线性最优化模型》课件
无约束优化模型
定义
无约束优化模型是指在没有任何约束条件限制下，寻找目标函数的最大值或最 小值。
求解方法
无约束优化模型的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法 等。这些方法通过迭代的方式逐步逼近最优解，利用目标函数的梯度信息或海 森矩阵进行搜索。
混合整数优化模型
特点
混合整数优化模型是指目标函数 和约束条件中同时包含连续变量 和整数变量，整数变量的取值只 能是整数。
《非线性最优化模型》ppt课 件
Байду номын сангаас
CONTENTS
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实际应用
案例 • 非线性最优化模型的未来发展
与挑战
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
总结词
非线性最优化模型是一种数学方法，用于解决具有非线性约束和目标的优化问题。
优点
收敛速度快，精度高。
缺点
对Hessian矩阵敏感，计算量大，可能面临数值稳定问题。
拟牛顿法
总结词
改进的牛顿法 01
详细描述
02 通过迭代更新Hessian矩阵近似值 ，构造拟牛顿矩阵，以实现牛顿 法的数值稳定性和收敛速度。
优点
数值稳定性好，收敛速度快。
03
缺点
04 需要存储和计算Hessian矩阵或其 近似值。
客户需求。
运输优化
非线性最优化模型可用于 优化运输路线和运输方式 ，降低运输成本并提高运
输效率。
采购优化
通过非线性最优化模型， 可以确定最佳供应商和采 购策略，以降低采购成本
并确保产品质量。
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
非线性模型
非线性模型非线性模型指的是在数据建模过程中，不满足线性关系的模型。
线性模型是指因变量与自变量之间存在线性关系，即因变量的变化与自变量以线性的形式变化，而非线性模型则是指因变量与自变量之间的关系不是线性的。
非线性模型在许多实际问题中具有重要的应用，因为许多自然、社会和工程现象的关系往往不是简单的线性关系。
非线性模型能够更好地捕捉到因变量与自变量之间的复杂关系，从而提高模型的准确性和预测能力。
非线性模型的数学形式可以多样化，常见的非线性模型包括多项式模型、指数模型、对数模型、幂函数模型、高斯模型等。
这些模型在描述实际问题时，可以更好地符合数据的分布特征，并能够更准确地预测未知的因变量值。
非线性模型的建立过程通常包括以下几个步骤：首先，确定因变量和自变量之间的关系形式。
根据实际问题的特点和数据的分布情况，选择合适的非线性模型形式。
其次，确定模型的参数估计方法。
对于非线性模型，通常采用最小二乘法、最大似然估计等方法来估计模型的参数。
然后，利用已知的数据对模型进行参数估计，并通过模型拟合方法来评估模型的拟合效果。
最后，通过模型的应用和验证，对模型进行调整和改进，以提高模型的预测能力和稳定性。
非线性模型的优点在于能够更好地适应实际问题，并更准确地描述和预测实际数据。
但非线性模型也存在一些挑战和限制。
首先，非线性模型的建立和参数估计相对复杂，需要较高的数学和统计知识。
其次，非线性模型的解释能力通常较弱，模型中的参数难以直接解释。
此外，非线性模型对数据的要求较高，需要充分、准确地收集和处理数据。
综上所述，非线性模型在数据建模中具有重要的应用价值。
通过选择合适的非线性模型，进行参数估计和模型拟合，可以更准确地描述和预测实际问题。
非线性模型的发展和应用无疑对社会和经济发展产生了积极的影响，成为现代数据分析和统计学中的重要工具。
第九章 非线性模型的线性化
第九章 非线性模型的线性化标准线性模型：因变量与自变量以及参数均呈线性关系。
非标准线性模型：因变量与自变量不呈线性关系，但与参数呈线性关系。
非线性模型：因变量与参数都不呈线性关系。
§5.1 非标准线性模型的线性化因变量与自变量不呈线性关系，但与参数呈线性关系。
一． 多项式函数模型：形如2012k k y x x x u ββββ=+++⋅⋅⋅⋅⋅++的模型可通过代换s z x s =， 1,2,,s k =⋅⋅⋅⋅ 线性化（标准化）后，得01122k k y z z z u ββββ=+++⋅⋅⋅⋅⋅++二． 双曲函数模型：形如011y u x ββ=++的模型可通过代换1z x=线性化，得 01y z u ββ=++三． 半对数函数模型和双对数函数模型：形如01ln y x u ββ=++或01ln y x u ββ=++的模型称为半对数模型； 形如01ln ln y x u ββ=++的模型称为双对数模型。
可分别采用变换 ln y y *=或ln x x *=进行标准化，01y x u ββ*=++；01y x u ββ*=++；01y x u ββ**=++§5.2 非线性模型的标准化一． 非线性模型的变换（间接代换）：对某些非线性模型施以适当的变换，可化为标准线性模型。
研究柯布-道格拉斯生产函数模型：1． 柯布-道格拉斯生产函数模型：u Q AL K e βα=其中Q 代表产出，L 表示劳动力投入，K 表示资本的投入。
L 和K 是生产要素；u 是随机干扰项，A ，α和β是参数。
对于道格拉斯生产函数，一般要求满足“规模报酬不变”。
所谓规模报酬是指：在一定技术水平条件下，由生产规模的变动（要素投入量的变动）引起的产出量变动。
“规模报酬不变”是所有要素投入量按同比例变动，产出量也按相同比例变动。
一般， 设生产函数(,)Q f L K =，0λ> (,)f L K λλ(,)f L K λ= 不变规模报酬（又称为一阶齐次性）(,)f L K λλ(,)f L K λ> 递增规模报酬(,)f L K λλ(,)f L K λ< 递减规模报酬对于柯布-道格拉斯生产函数模型，有()()u u Q A L K AL K e e βαββααλλλλ+==所以，当 1αβ+= 不变规模报酬 （1βα=-）1αβ+> 递增规模报酬1αβ+< 递减规模报酬2．标准化：模型 u Q AL K e βα=首先，两边取对数ln ln ln ln Q A L K u αβ=+++然后作如下变换ln y Q =，1ln L x =，2ln x K =，ln a A =（要求u 满足假定，且1x ，2x 无多重共线性）则，12y a x x u αβ=+++，并且可用OLS 估计其参数，这样原模型的样本回归方程为Q A L K αβ∧∧∧∧=，其中，α∧和β∧是参数α和β的无偏估计量；y Q e ∧∧=，a A e ∧∧=，不是无偏估计量。
非线性模型及其他估计方法
S( β) = ∑w ( yi − xi β)
2 i i
2
维向量。 其中β 是k ×1维向量。在矩阵概念下，令权数序列 w 在权数矩阵 维向量 在矩阵概念下， W的对角线上，其他地方是零，即W 矩阵是对角矩阵，y 和X是 的对角线上， 矩阵是对角矩阵， 的对角线上 其他地方是零， 是 因变量和自变量矩阵。则加权最小二乘估计量为： 因变量和自变量矩阵。则加权最小二乘估计量为：
%0 %0 % % h( x, β ) ≅ [h0 − ∑ xk β k0 ] + ∑ xk β k = h0 − x 0′ β 0 + x 0′ β
k
% % 或 y ≅ h0 − x 0′ β 0 + x 0′ β + u 。把已知项移到方程左边， 0 % % % y = y − h 0 + x 0′ β 0 = x 0′ β + u 。有了 β 值， 可得回归模型： 我们就可以计算并通过线性最小二乘法估计上式中的 参数。 β3 x 例：y = β1 + β 2 e + u 。线性化方程中的回归量是
6.4 加权最小二乘法(WLS) 加权最小二乘法(WLS)
1．方差已知的情形 假设有已知形式的异方差性，并且有序列 有序列w 假设有已知形式的异方差性，并且有序列w，其值与误差标 准差的倒数成比例。这时可以采用权数序列为w 准差的倒数成比例。这时可以采用权数序列为 的加权最小二乘 估计来修正异方差性。 估计来修正异方差性。对加权自变量和因变量最小化残差平方和 得到估计结果 :
单击Weighted LS/TSLS选项在 选项在Weighted 项后填写权数序列 单击 选项在 单击OK。例子： 名，单击 。例子：
EViews会打开结果窗口显示标准系数结果（如上图），包括 会打开结果窗口显示标准系数结果（如上图），包括 会打开结果窗口显示标准系数结果 ）， 加权统计量和未加权统计量。 加权统计量和未加权统计量。加权统计结果是用加权数据计算得 到的： 到的：
非线性模型
非线性模型非线性模型在统计学和机器学习领域中扮演着重要的角色，它们被广泛用于描述和预测非线性关系。
非线性模型的引入使得我们能够更好地解决现实世界中的复杂问题，并从中获取更精确的预测结果。
非线性模型包括多种类型，如多项式回归、神经网络、决策树、支持向量机等。
这些模型与线性模型相比，能够更好地捕捉数据中的非线性关系。
在许多实际应用中，线性模型往往不能给出令人满意的结果，因为数据往往包含复杂的非线性特征。
因此，非线性模型的灵活性使其成为处理这些复杂问题的有力工具。
多项式回归是一种常见的非线性模型，它通过引入高次项来拟合数据中的非线性关系。
与线性回归不同，多项式回归的模型形式为：y = w0 + w1x + w2x^2 + ... + wnx^n其中，y是因变量，x是自变量，w是模型的参数。
通过调整参数w的值，多项式回归可以逼近任意形状的非线性关系。
神经网络是另一类重要的非线性模型，它模拟了生物神经元网络的结构和功能。
神经网络由多个神经元组成，每个神经元接收来自其他神经元的输入，并通过激活函数将输入转换为输出。
通过构建多层神经元网络并进行训练，神经网络可以学习非线性函数的映射关系。
决策树是一种基于树状结构的非线性模型，它通过一系列的决策节点将数据划分为不同的类别。
每个决策节点根据某个特征对数据进行划分，并选择使得划分结果最好的特征进行决策。
通过构建多层决策节点形成的树状结构，决策树可以捕捉数据中的复杂非线性关系。
支持向量机是一种利用核函数将数据映射到高维空间的非线性模型。
在高维空间中，支持向量机可以通过在超平面上构建最大间隔来进行分类或回归。
通过选择适当的核函数，支持向量机可以从非线性关系中学习到有效的模型。
总结起来，非线性模型通过引入高阶项、构建多层结构、利用核函数等方法，能够更好地描述和预测数据中的非线性关系。
在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的非线性模型，并进行参数调整和模型训练，以获得准确的预测结果。
非线性模型
非线性模型非线性模型是一种常用于描述非线性现象的数学模型。
与线性模型不同，非线性模型可以更好地适应复杂的数据结构和变化规律。
在各个领域中，非线性模型都有广泛的应用，包括物理学、生物学、经济学等。
非线性模型的建立是根据数据的特点和需求来确定的。
首先，在数据分析之前，需要对问题进行准确的描述和假设的建立。
然后，通过收集实际数据，可以利用统计方法和计算机技术来拟合非线性模型。
非线性模型可以分为参数模型和非参数模型两类。
参数模型是指模型的形式已知，并且其中的参数也可以通过拟合获得。
常见的参数模型包括多项式回归模型、指数模型、对数模型等。
非参数模型是指模型的形式不确定，需要通过数据来决定。
常见的非参数模型包括核函数回归模型、支持向量机模型等。
多项式回归模型是最常见的非线性模型之一。
它通过引入高次项来适应非线性关系。
例如，若要研究某种材料的强度与温度之间的关系，可以采用多项式回归模型来描述。
如果温度的增长对材料强度的影响是非线性的，那么高次项就会在模型中发挥作用。
指数模型和对数模型是描述变化趋势的常用非线性模型。
指数模型可以用于描述一些与时间或其他变量呈指数关系的数据。
对数模型则适用于呈现缓慢增长或减少的数据。
这两种模型在生物学、经济学等领域中具有重要的应用价值。
核函数回归模型是一种非参数模型，它通过引入核函数来实现非线性拟合。
核函数回归模型可以解决传统线性回归模型中无法描述的非线性问题。
它在图像处理、模式识别等领域中被广泛应用。
支持向量机模型是另一种常见的非参数模型。
它通过寻找最大化分类边缘的超平面来实现非线性分类。
支持向量机模型在模式识别、文本分类等领域中具有出色的性能。
总之，非线性模型在各个领域中都有广泛的应用。
通过适当的模型选择和合理的数据拟合，可以更好地描述和解释复杂的非线性现象。
非线性模型的建立和使用是数据分析和科学研究的重要工具。
非线性模式分析模型
非线性模式分析模型
用户手册
1．简介
本模型是非线性多类分类模型，能够用非线性算法将多种数据集进行分类，并对分类结果进行分析。
用户可以选择装载已有的数据进行分类，也可以手动创建多类数据集（最多五类）进行分类。
用户根据要分类的数据集，从三个训练算法中选择适当的训练算法，并且从四个核函数中选择适当的核函数对数据集进行分类。
2．系统要求
操作系统方面：Windows 98，Windows NT，Windows ME，Windows
2000，Windows XP及Windows 2003系统；
应用软件方面：必须安装MATLAB 7.0或以上版本
3．使用说明
（1）首先运行SVM.fig或者SVM.m文件，进入模型主界面，如下图：
用户在进入实验前必须先设置路径，然后就可以进入模型进行实验分析了。
（2）进入模型后，界面如下图：
用户可以通过各个按钮对模型进行操作
（3）装载或创建数据
a．通过“装载数据”按钮装载数据，用户选择数据所在的文件
b．通过“创建数据”按钮创建数据
C．装载数据或创建数据后的界面上显示数据点，如下图：
（4）通过“训练SVM”按钮对数据集进行分类
下面简单列出一些分类结果
选择OAA训练算法和Linear核函数的分类结果：
选择OAO训练算法和rbf核函数的分类结果如下图：
选择BSVM训练算法和poly核函数的分类结果如下图：
选择BSVM训练算法和sigmoid核函数的分类结果如下图：
（5）通过菜单栏上帮助菜单，进入MATLAB Help，如下图
（6）通过“导出图像”按钮，将分类结果保存为JPG格式，如下图，用户可以
选择保存路径，输入保存的文件名。
非线性最优化模型.pptx
8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考
第7页/共37页
8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考
• 局部和整体最优 • 如果没有其他有目标函数值的可行解可以在临近域里找到，这个可行解就是最优
的。 • 非线性最优化问题可能有多个局部最优解，这意味着我们需要找到最好的局部最
优解。 • 在许多非线性应用中，一个唯一的局部最优解也是整体最优解。 • 两种情况：凸函数和凹函数（函数图形为谷形和山形）
m=最终使用新产品的估计人数
q=模仿系数 测量影响购买的口碑效应
p=创新系数 测量了在假定没有受到他人已购 买产品的影响时使用的可能性。
Ct-1 表示到时间t-1已经使用的人数
• 利用这些参数，可以建立预测模型，见下页公
式。
第27页/共37页
8.5 预测一个新产品的使用
第28页/共37页
8.5 预测一个新产品的使用
本章主要内容
• 8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考 • 8.2 建立一个指数化证券投资基金 • 8.3 Markowitz投资组合模型 • 8.4 另一混合问题 • 8.5 预测一个新产品的使用
第2页/共37页
8.1 一个生产应用——对Par公司 的再思考
• 一个无约束问题 • S：标准包的需求 D：豪华包的需求 • S=2250-15PS • D=1500-5PD • 生产和销售S个标准包的利润：PSS-70S • 生产和销售D个豪华包的利润：PDD-150D • 可以求得总利润的函数，计算得到的是一个二次函数。可求得利润最大化时的S和D
• 但是，一些非线性函数有多个局部最优值。 第11页/共37页
8.1 一个生产应用——对Par公司的再思考
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4 56 .8 4 20 .4
1 02 .5
1 02 .7
6 46 .1
3 18 .3
7 0 .7
1 32 .1
1982
4 71 .0 4 32 .1
1 02 .0
1 02 .1
6 59 .1
3 25 .0
7 1 .5
1 32 .9
1983
5 05 .9 4 64 .0
1 02 .0
1 03 .7
6 72 .2
1 07 .0
1 07 .2
8 26 .6
4 37 .8
9 6 .7
9 5 .7
1987
8 84 .4 4 72 .9
1 08 .8
112 .0
8 99 .4
4 90 .3
9 8 .3
9 6 .5
1 98 8 110 4.0 5 67 .0
1 20 .7
1 25 .2
1 0 8 5 .5
6 13 .8
13
表 3.5.1 中 国 城 镇 居 民 消 费 支 出 （ 元 ） 及 价 格 指 数
X
X1
GP
FP
XC
Q
P0
P1
(当 年 价 ) (当 年 价 ) (上 年 =100) (上 年 =100) (1990年 价 ) (1990年 价 ) (1990= 100 ) (1990= 100 )
1981
注：( a )
Yt
Yt 1 Yt
只用两点数据；(b )Yt
Y0 (1
)t
8
5、倒数函数
(1) X倒数形式，如：
Y
1 2
1 X
2 0
1
1
2 0
9
(2)Y以倒数形式出现：
1 Y
12 X
1 1
1 2
1 0 2 0
1 1
1 0
1
2 0
2
10
并非所有的函数形式都可以线性化
无法线性化模型的一般形式为:
零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同 一比例变动时，需求量保持不变
Q f(X/P 0,P 1/P 0)
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
12
首先,确定具体的函数形式
根据恩格Байду номын сангаас定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系:
QAX 1P12P03
对数变换:
Y f(X 1 ,X 2 , ,X k)
其中，f(x1,x2,…,Xk)为非线性函数。如：
QAK L
11
二、非线性回归实例
例 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
Qf(X,P 1,P 0)
(*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额
P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。
EYX
d lnY d ln X
2
对照边际分析Y：
1
2
X
,
dY dX
2
0 0
6
3、对数函数（X单ln)
(1) 模型： Y 1 2 ln X ( 2 )线性化： Y 1 2 X * (3 )估计： ( 4 )图形：
（ 5）应用： X Y （ Y 变化弱）
7
4、指数函数（Y单ln)
4
2、双ln模型
(1)模型： Y
AX22
X k k
eu
(2)线性化ln：Y lnA2 lnX2 k lnXk u
变量替换为Y*：1 2X2* kXk* u
(3)估计： i ˆi
(4)回代l：nY ˆ1 ˆ2 lnX2 ˆk lnXk uˆ
5
(5)图形： Y如 AX
(6) 应用
弹性分析，如ln： Y 1 2 ln X
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L
3
具体讨论：
1、 多 项 式 模 型
(1) 模 型 ： Y 1 2 X 3 X 2 ... k X k 1
(2 )线 性 化 ： Y 1 2 X 2 ... k X k
lQ n ) 0 ( 1 lX n 2 lP 1 n 3 lP 0 n (***)
考虑到零阶齐次性时
lQ n ) 0 ( 1 lX n / P 0 ) ( 2 lP 1 n / P 0 ) ( (****)
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1230
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件。
令 X i X i1 , i 2 ...k
(3)估 计 ： 给 定 Y ,X ,可 知 X 1, X 2...X k , 估 计 i
( 4 )回 代 ： Y 1 2 X ... k X k 1
(5)用 途 ：
a .成 本 函 数 三 次 函 数
b .时 间 趋 势 Y 1 2 t . . . k t k 1 u t
1
一、模型的类型与变换
倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 幂函数模型、指数函数模型的对数变换法
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线
s = a + b r + c r2
c<0
s：税收； r：税率
设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为
s = a + b X1 + c X2
c<0
2
例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂 的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为 幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理。
1 01 .7
9 2 .4
1 98 9 1 211.0 6 60 .0
116 .3
(1)模型： Y Ae 2 X 2 3 X 3 u
(2)线性化：ln Y ln A 2 X 2 3 X 3 u 变量替换为 : Y * 1 2 X 2 3 X 3 u
(3)应用： X Y变化强
(4)平均增长率
dY
ln Y
1 t t
d ln Y dt
Y
dt
Y , (t 1) Y
3 37 .0
7 5 .3
1 37 .7
1984
5 59 .4 5 14 .3
1 02 .7
1 04 .0
6 90 .4
3 50 .5
8 1 .0
1 46 .7
1985
6 73 .2 3 51 .4
111 .9
116 .5
7 72 .6
4 08 .4
8 7 .1
8 6 .1
1986
7 99 .0 4 18 .9