2018年高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3.2利用导数解不等式及参数范围课件

利用导数解与不等式恒成立有关的问题
【思考】 求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的基本
方法有哪些?
例 2 已知函数 f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设 a=2,b= .
1 2
①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的
②由条件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.
因为 f(2x)≥mf(x)-6 对于 x∈R 恒成立,且 f(x)>0, 所以
(������(������)) +4 m≤ 对于 ������(������)
2
x∈R 恒成立.
4 (������(0))2 +4 ������(������)· =4,且 =4, ������(������) ������(0)
-4-
(1)解 由题意可知点 A(0,1). 由 f(x)=ex-ax,得 f'(x)=ex-a. 所以 f'(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2. 令 f'(x)=0,得 x=ln 2, 当 x<ln 2 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4.f(x) 无极大值. (2)证明 令 g(x)=ex-x2,则 g'(x)=ex-2x. 由(1)得 g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 则 g(x)在 R 上单调递增. 因为 g(0)=1>0,所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex.
������ ������
一零点.
-8-
(2)证明 由(1),可设 f'(x)在区间(0,+∞)内的唯一零点为 x0,当 x∈(0,x0) 时,f'(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故 f(x)在区间(0,x0)内单调递减,在 区间(x0,+∞)内单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0). 由于 2e
2 ������ 0
������ − =0,所以 ������0
f(x0)=e
2 ������
2������ 0
-aln
������ 2 2 x0= +2ax0+aln ≥2a+aln . 2������0 ������ �����
故当 a>0 时,f(x)≥2a+aln .
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下证 x0=0. 若 x0<0,则 x0< 0<0,于是 g 又 g(loga2)=������
lo g ������ 2
������ 2
������0 2
<g(0)=0.
������0 g(x)在以 和 2
+ ������
lo g ������ 2
-2>������
lo g ������ 2
2.3
导数在函数中的应用
二、利用导数解不等式及参数范围
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利用导数证明不等式
【思考】 如何利用导数证明不等式?
例 1 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,
曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)求证:当 x>0 时,x2<ex.
-2=0,且函数
������ 2
loga2
为端点的闭区间上的图象不间断,所以在 0和 loga2 之间存在 g(x)的 零点,记为 x1.因为 0<a<1,所以 loga2<0.又 0<0,所以 x1<0,与“0 是函 数 g(x)的唯一零点”矛盾. 若 x0>0,同理可得,在 0和 logb2 之间存在 g(x)的非 0 的零点,矛盾.因 此,x0=0.
ln������ x0=log ������ ln������ ������
.
令 h(x)=g'(x),则 h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2, 从而对任意 x∈R,h'(x)>0, 所以 g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)内的单调增函数. 于是当 x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当 x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0. 因而函数 g(x)在区间(-∞,x0)内是单调减函数,在区间(x0,+∞)内是单 调增函数.
(������(������))2 +4 4 而 =f(x)+ ≥2 ������(������) ������(������)
所以 m≤4,故实数 m 的最大值为 4.
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(2)因为函数 g(x)=f(x)-2 只有 1 个零点, 而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 所以 0 是函数 g(x)的唯一零点. 因为 g'(x)=axln a+bxln b, 又由 0<a<1,b>1 知 ln a<0,ln b>0, 所以 g'(x)=0 有唯一解
最大值; (2)若 0<a<1,b>1,函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值.
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解 (1)因为 a=2,b= ,所以 f(x)=2x+2-x.
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①方程 f(x)=2,即 2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,
所以(2x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x=0.
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题后反思利用导数证明不等式,主要是构造函数,通过导数判断 函数的单调性,由函数的单调性证明不等式成立,或通过求函数的 最值,当该函数的最大值或最小值对不等式成立时,则不等式是恒 成立,从而可将不等式的证明转化为求函数的最值.
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对点训练 1 设函数 f(x)=e2x-aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f'(x)零点的个数; (2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln .
2 ������
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(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x- (x>0).当 a≤0 时,f'(x)>0,f'(x) 没有零点, 当 a>0 时,因为 e2x 单调递增,- 单调递增, 所以 f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
������ 1 又 f'(a)>0,当 b 满足 0<b< ,且 b< 时,f'(b)<0,故当 a>0 时,f'(x)存在唯 4 4 ������ ������