高考文科数学导数专题复习(最新整理)

考点一 导数的计算
【例 1】 求下列函数的导数：
( ) 1 1
(1)y＝exln x；(2)y＝x x2＋ ＋ ； x x3
( ) 1
1
1
解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex ＝ ln x＋ ex.(2)因为 y＝x3＋1＋ ，
x
x
x2
( )1
2
所以 y′＝(x3)′＋(1)′＋ ′＝3x2－ .
【训练 2】(2017·威海质检)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直
线 l 的方程为( )A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
(2)∵点 (0， － 1)不 在 曲 线 f(x)＝ xln x 上 ， ∴设 切 点 为 (x0， y0).又 ∵f′(x)＝ 1＋ ln x， ∴
3
3
9
( )4 16a 8
1
－ ＝ － ＝0，解得 a＝ .
3 33
2
( ) ( ) ( ) ( ) 1
3
1
15
1
(2)由(1)得 g(x)＝ x3＋x2 ex 故 g′(x)＝ x2＋2x ex＋ x3＋x2 ex＝ x3＋ x2＋2x ex＝ x(x＋1)(x＋4)ex.令
2
2
2
22
2
g′(x)<0，得 x(x＋1)(x＋4)<0.解之得－1<x<0 或 x<－4.所以 g(x)的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).
xx
( ) ( ) 1
1
1
由 f′(x)＝0 有 x＝ ，当 x∈ 0， 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈ ，＋∞ 时，f′(x)>0，
2a
2a
2a
f(x)单调递增.(2)证明 令 s(x)＝ex－1－x，则 s′(x)＝ex－1－1.当 x>1 时，s′(x)>0，所以 ex－1>x，从而 g(x)＝
函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，即 f′(x)＝2 在(0，＋∞)上有解，而 f′(x)＝
1
1
1
1
＋a，即 ＋a 在(0，＋∞)上有解，a＝2－ ，因为 a＞0，所以 2－ ＜2，所以 a 的取值范围是(－∞，2).答案
x
x
x
x
(2)(－∞，2)
2.点 P 是曲线 x2－y－ln x＝0 上的任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的最小距离为( )
4 x2 x
2
4
5
x5
3
x2－4x－5
－2，解得 a＝ .(2)由(1)知 f(x)＝ ＋ －ln x－ ，(x>0).则 f′(x)＝
.令 f′(x)＝0，解得 x＝－
4
4 4x
2
4x2
1 或 x＝5.但－1∉(0，＋∞)，舍去.当 x∈(0，5)时，f′(x)<0；当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)的增区间
切线方程是________.解析 (1)设 x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又 f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，
所以当 x>0 时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当 x>0 时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线 y＝f(x)在点(1，
2)处的切线的斜率为 f′(1)＝2，所以切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 2x－y＝0. 答案 2x－y＝0
{ ) y0＝x0ln x0，
y0＋1＝（1＋ln x0）x0， 解得 x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线 l 的方程为 y＝x－
1，即 x－y－1＝0.答案 B
命题角度二 求切点坐标
1 【例 3】 (2017·西安调研)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝ (x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐
命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)
【例 4】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝
________.
1
解析 由 y＝x＋ln
x，得
y′＝1＋ ，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为 x
k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为
xa
3
【训练 2】
已知函数 f(x)＝4＋x－ln
x－ ，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝ 2
1 x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间. 2
1a1
1
3
解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝ － － ，由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝ x 知 f′(1)＝－ －a＝
为(5，＋∞)，减区间为(0，5).
考点三 已知函数的单调性求参数 1
【例 3】 (2017·西安模拟)已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝ ax2＋2x(a≠0). 2
(1)若函数 h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围；
(2)若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求 a 的取值范围.
f′(1)＝3，则 a 的值为________.
( )1
(2)f′(x)＝ a ln x＋x· ＝ a(1＋ ln x).由 于 f′(1)＝ a(1＋ ln 1)＝ a， 又 f′(1)＝ 3， 所 以 a＝ 3.答 案 x
(2)3
考点二 导数的几何意义
命题角度一 求切线方程
【例 2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线 y＝f(x)在点(1，2)处的
高考文科数学导数专题复习
第 1 讲 变化率与导数、导数的计算
知识梳理
1.导数的概念
f（x0＋Δx）－f（x0）
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝ lim x0
Δx
.
f（x＋Δx）－f（x）
(2)函数 f(x)的导函数 f′(x)＝ lim
1
1
解 (1)h(x)＝ln x－ ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝ －ax－2.若函数 h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当 x>0
2
x
( ) 1
12
12
12
时，x－ax－2<0
有解，即
a> － 有解.设 x2 x
G(x)＝ － ，所以只要 x2 x
a>G(x)min.(*)又
G(x)＝
y－1＝2(x－
1)，即 y＝2x－1.又该切线与 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0 且 Δ＝a2－8a＝0，
解得 a＝8.答案 8
【训练 4】1.函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是________.
x2
x3
【训练 1】 (1) 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则 f′(1)等于( )
A.－e B.－1 C.1 D.e 1
解析 由 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得 f′(x)＝2f′(1)＋x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则 f′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函数.若
x
2
ln x 上和直线 y＝x－2 平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线 y＝x－2 的距离等于 2，∴点
P 到直线 y＝x－2 的最小距离为 2.答案 D
第 2 讲 导数在研究函数中的应用
知识梳理
函数的单调性与导数的关系函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内单调递
3
A.1
B.
2
5 C.
2
D. 2
解析 点 P 是曲线 y＝x2－ln x 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y＝x－2 平行时，点 P 到直线 y＝x－2 的距
1
1
离最小，直线 y＝x－2 的斜率为 1，令 y＝x2－ln x，得 y′＝2x－ ＝1，解得 x＝1 或 x＝－ (舍去)，故曲线 y＝x2－
a
a
1e 【训练 1】(2016·四川卷节选)设函数 f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝ － ，其中 a∈R，e＝2.718…为自然对数的
x ex
底数.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 x>1 时，g(x)>0.
1 2ax2－1
(1)解 由题意得 f′(x)＝2ax－ ＝
(x>0).当 a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当 a>0 时，
【训练 3】若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标是________.解析 (1)由题 1
意得 y′＝ln x＋x·x＝1＋ln x，直线 2x－y＋1＝0 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1＋ln m＝2，解得 m＝e，所以 n＝eln e＝e，即点 P 的坐标为(e，e). 答案 (1)(e，e)
a
a
a
( ) ( ) 1