第十二讲 求图形面积的几种常用方法

第十二讲求图形面积的几种常用方法

在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。

A、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。

【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析与解】如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积

就变成了圆的面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：S

=S圆－S正方形=π×42－4×4÷2×4=50.24－32=18.24(平

阴影

方厘米)

【例2】右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两

两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析与解】如图，三个阴影部分的面积都相等，只

需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以

考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，

则阴影部分的面积=3。14×4×4÷2=25。12（平方厘米）

B、加减法：注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”。

【例3】如图，正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积是多少？

【分析与解】如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积－

空白c的面积，而空白c的面积=正方形的面积－扇形的面积，

即

S阴影=S扇－（S正－S扇）= S扇－S正＋S扇= S扇＋S扇－S正即S扇＋S扇比S正的面积多了b那部分的面积，即b= [(b＋c)＋(b＋a)]－(a ＋b＋c)阴影部分的面积，S阴=π×42÷4×2

a

b

－4×4=25.12－16=9.12(平方厘米)。

【例4】如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积是多少？

【分析与解】如图，S 阴影= S 大扇－S a = S 大扇－(S 长－S 小扇) = S 大扇＋S

小扇－S 长=π×12

2÷4＋π×82÷4－12×8=163.28－96=67.28（平方厘米）

C 、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较方便求的图形。 【例5】如图，梯形ABC

D 的上底是3厘米，下底是5

厘米，高是4厘米，E 是梯形的中点。求阴影部分的面积是

多少？ 【分析与解】如图，由于E 是梯形的中点，若以E 为圆

心，将三角形BEC 绕反时针方向放置，使C 点与D 点重合，显然可得，阴影部分的面积 与三角形ABE 的面积相等，所以阴影部分的面积=梯形面积的一半=（3＋4）×4÷2÷2=8（平方厘米）。

D 、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。

【例6】将三角形ABC 的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC 的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。

【分析与解】要求六边形的面积，似乎很困难，但通过三角形的顶点A 、B 、C 的三条边对六边形进行等分，

就很容易得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，故所求面积为：6×13=78（平方厘米）

【例7】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米，求甲乙两个小正方形有面积各是多少？

A D

E

B A

B

C

【分析与解】经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的1

2 ，即甲的面积为

180÷2÷2=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积的一半的4

9 ，即乙的面积=180÷2÷9×

4=40（平方厘米）。

E 、抓不变量：若甲比乙的面积大a ，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。

【例8】如图，已知半圆的AB=20（厘米），阴影①比阴影②面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC 的长？

【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：3.14×10×10÷2=157（平方厘米），又“阴影①比阴影②面积大57平方厘米”，若阴影①和阴影②都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57平方厘米，因此可求得三角形面积是157－57=100（平方厘米），高BC 为：100×2÷20=10（厘米）

F 、“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。

【例9】一个长方形长边为12厘米，宽AB=8厘米，E 是BC 上一点，AE 长10厘米，AE 和DF 互相垂直，DF 长是多少厘米？ 【分析与解】如图，如果连接DE ，则可得三角形ADE 的面积是长方形面积的一半，由“AE 和DF 互相垂直”，可知DF 是三角形ADE 的高，则DF=12×8÷2×2÷10=9.6(厘米)

【例10】如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，已知其中的三部分的面积分别是17、45、34平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析与解】首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的

一半，所剩下的部分也是长方形的一半，为了能比较清楚的表示它们之间的关系，

不妨用字

A B

C

D

F 17 45

c

34

a b