第一章-流体流动-第三节-流体流动中的守恒原理

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ΣFx = qm (u2 x − u1x ) ΣFy = qm (u2 y − u1 y ) ΣFz = qm (u2 z − u1z )
式中qm为流体的质量流量，kg/s；ΣFx、ΣFy、ΣFz 为作用于控制体内流体上的外力之和在三个坐标轴上 的分量。
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动量守恒定理的应用举例 (1) 弯管受力 (2)流量分配
1 2 p1 1 2 p2 z1 g + u1 + + he = z2 g + u2 + + Σh f ρ ρ 2 2
g z ——位能
u2 2 p
动能 静压能
总机械能
ρ
Σhf ——能量损失 he——外加能量 单位——J/kg
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用柏努利方程解决问题的步骤： 条件：对不可压缩的定态流动且与外界没有能量交换
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第三节
流体流动中的守恒原理
流体流动规律的一个重要方面是流速、压强等 运动参数在流动过程中的变化规律。流体流动应当 服从一般的守恒原理：质量守恒、能量守恒和动量 守恒。从这些守恒原理可以得到有关运动参数的变 化规律。
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一、 质量守恒
1、流量 单位时间内流体流过管道任一截面的物质量 体积流量 单位时间内流经管道任意截面的流体体积。 qV—单位（m3/s或m3/h）—因次[L3/T] 质量流量 单位时间内流经管道任意截面的流体质量。 qm—单位(kg/s或kg/h)—因次[M/T] 二者关系： q m＝q vρ
℘ u + =C ρ 2
2
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2、沿流线的机械能守恒 柏努利方程也适合于做定态流动时同一流线的 流体，因为定态流动时流线和轨线重合。 3、理想流体管流的机械能守恒
2 u12 p2 u2 gz1 + + = gz2 + + ρ 2 ρ 2
p1
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4、实际流体管流的机械能衡算
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2、流速 （平均流速） 单位时间内流体质点在流动方向上所流经的距离 m/s
qV = uA = ∫ udA
A
∫ u=
A
udA A
式中： u ——平均流速，m／s； u ——某点的流速，m／s； A——垂直于流动方向的管截面积，m2 平均流速与流量的关系为： qV = uA
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2、动量守恒定律和机械能守恒定律的关系 (1) 相同点： 都从牛顿第二定律出发导出，两者都反映了流 动流体各运动参数变化规律。 (2) 不同点： 机械能守恒定律中出现了hf，而动量守恒定理 只是将力和动量变化率联系起来，并不涉及hf。 使用时： (1)能量法：截面能量清楚，不牵扯受力问题， hf可 以算出； (2)动量法：受力清楚，hf不知道，也不能用能量法 求出。
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因此，直接在欧拉平衡方程式的右方补上加速度项 便可得到：
1 ∂p du x X− = ρ ∂x dt 1 ∂p du y = Y− ρ ∂y dt 1 ∂p du z = Z− ρ ∂z dt
理想流体的运动方程
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因d x、d y、d z为流体质点的位移．按速度的定义：
Σh f he ΣH f = He = g g 1 2 p1 1 2 p2 z1 + u1 + + H e = z2 + u2 + + ΣH f 2g 2g ρg ρg
J / kg =J N =m 式中各项单位为： N / kg
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z —— 位压头
u2 —— 动压头 2g p ——静压头 ρg
℘1
2 ⎛ u12 ⎞ ℘2 ⎛ u2 ⎞ + ⎜ ⎟ + he = + ⎜ ⎟ + hf ρ ⎜ 2⎟ ρ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
平均动能
u 1 ( )= ρ qV 2
2
2
u 1 1 3 ∫A 2 ρ udA = ρ uA ∫A 2 ρ u dA
2
2
显然
u u ( )≠ 2 2
∫ (u =
A
udA A )
+ hf
α（动能校正系数）与速度分布有关，可由速度 分布曲线计算。若速度分布均匀， α≈1
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5、柏努利方程的几何意义 将柏努利各项同除重力加速度g ：
1 2 p1 he 1 2 p2 Σ h f z1 + u1 + u2 + + = z2 + + g ρg g ρg 2g 2g
令 则
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u αu ( )=( ) 2 2
2 2
α----动能校正系数
α =
1 u A
3
∴(
αu
2
2
)=
1 1 ρ u 3 dA ρuA ∫ 2 A
u 3 dA ∫
A
2 ℘1 u12 ℘2 u2 ( + = + + hf ) ρ 2 ρ 2
℘1
ρ
+
α1 u1
2
2
=
℘2
ρ
+
α 2 u2
2
2
1 2 p1 1 2 p2 z1 g + u1 + + he = z2 g + u2 + + Σh f ρ ρ 2 2
1）取界面：流速垂直与界面，已知量足够，且包括 待求的未知参数； 2）取基准面：一般取水平面； 3）各项能量都取界面能量的平均值。 注意：P1、P2可用表压计算，也可用绝压计算。
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使用条件： ① 不可压缩的理想流体作定态流动； ② 流体微元在流动过程中与其它微元之间未发生 机械能交换。
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（1）位能 流体受重力作用在不同高度所具有的能量。 1kg的流体所具有的位能为 zg（J/kg）。 （2）压强能 p 1kg的流体所具有的静压能为 (J/kg) ρ （3）动能 1 2 1kg的流体所具有的动能为 u (J/kg) 2 对不可压缩流体，位能和压强能均属于势能
对于定态流动系统，在管 路中流体没有增加和漏失的情 况下： ρ1 u1 A1 = ρ2 u 2 A2 推广至任意截面：
1
1
m s = ρ1u1 A1 = ρ 2 u 2 A2 =
= ρuA = 常数
——质量守恒方程(定态流动时的连续性方程)
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不可压缩性流体， ρ = Const.
dx ux = ; dt
dy uy = ; dt
dz uz = ; dt
代入上式得： 1 ∂p 1 2 X− = u x du x = du x 2 ρ ∂x 1 ∂p 1 2 Y− = u y du y = du y 2 ρ ∂y 1 ∂p 1 2 Z− = u z du z = du z 2 ρ ∂z
总压头
ΣHf——压头损失 He——外加压头或有效压头 单位——m或J/N
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2 u2p1 ρg
2 z2
1
演示
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柏努利方程的讨论 （1）若流体处于静止，u=0，Σhf=0，he=0，则柏 努利方程变为流体静力学基本方程 p1 p2 z1 g + = z2 g +
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对于定态流动 且注意到
∂p = 0; ∂t
∂p ∂p ∂p dp = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
2 2 d (u x + u y + u z2 )=du 2
于是将以上三式相加可得：
⎛ u2 ⎞ ( Xdx + Ydy + Zdz ) − dp = d ⎜ ⎟ ρ ⎝ 2⎠ 1
qs = u1 A1 = u2 A2 =
= uA = 常数
2
u1 A2 ⎛ d 2 ⎞ = =⎜ ⎟ 圆形管道 ： u 2 A1 ⎝ d1 ⎠
即：不可压缩流体在管路中任意截面的平均 流速与管截面积有关，与管内径的平方成反比 。
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二、 机械能守恒——柏努利方程
1、沿轨线的机械能守恒 在运动流体中，任取一立方体流体微元。由于 假设粘度为零，微元表面不受剪应力，微元受力与 静止流体相同。但是在静止流体中，微元所受各力 必成平衡，而在运动流体中则各力不平衡而造成加 速度du/dt。由牛顿第二定律可知： 体积力+表面力＝质量×加速度 故单位质量流体所受的力在数值上等于加速度
ρ
ρ
说明柏努利方程既表示流体的运动规律，也表 示流体静止状态的规律 。 （2）理想流体在流动过程中流体的势能和动能可以 相互转换．但是其和保持不变。
1 2 p zg + u + = Const. 2 ρ
1 2 p z+ u + = Const . 2g ρg
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实际流体的机械能衡算
平均流速与流量的关系为： qV = uA
u=
qV
A qm = qV ρ = uAρ
qm = uρ G= A
G—质量流速或质量通量，Kg/（m2·s) 对圆管： qV = uA = u ⋅
π
4
d2
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3、质量守恒方程
∂ ρ1 u1 A1 − ρ 2 u 2 A2 = ∫ ρ dV ∂t
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若流体只是在重力场中流动．取z轴垂直向上，则：
X = Y = 0,
上式成为：
dp
z = −g
u2 +d =0 gdz + ρ 2