基本概念声学量波动方程速度势函数学时

同理, d时t 间内沿
中的dx净dy余dz量分别为
方oy向,o流z量在
yUydxdydtz
zUzdxdydtz
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以，在dt时间段，介质质点流速 U (x,y,z,引t)起 的在dxdydz框中介质质量的增加为：
m xU x yU y zU z dxd dy t d
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
(0l) u t p 忽略高阶小量： l
u t
！！！得到均匀、静止理想流体中小振幅波的运动方程为：
0
u p t
运动方程
记住！
又称尤拉方程：表示介质中质点的加速度与密度的 乘积等于沿加速度方向的压力梯度的负值。
3.2 理想流体中小振幅波波动方程 和速度势函数
3.2.1 流体中小振幅波波动方程 3.2.2 速度势函数
声音的产生
声波（sound wave ）是一种机械波； 产生声波的两个必要条件：
声源（ sound source）－机械振动的物体 介质（medium ）－机械振动赖以传播的介
质
声音的产生
声音的产生
声波传播时，介质质点只在平衡位置附近 振动，并没有随声波传播。
声音的产生
声音可以在一切弹性介质中传播。 纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。 横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。
定义, c0 (p为)介0,s质0 的等熵波速。
它是介质的固有性质。 （后续课可知它与介质中波传播的速度有关）
f
(()0,s0 0)
是速度量纲; M.K.S制中,单位: m/s (米/秒)
！！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：
p c02l
状态方程 记住！
3、运动方程
依据牛顿第二定律, 建立
如果，在声波作用下，P经“等熵过程”，从
P 0 (0 ,s0 ) P (,s0 )
则在 (0,点s0)作
P幂(级,s数0)展开，有：
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
P(,s)P0(0,s0)f |0,s0 (0).....n1.!(n()nf) |0,s0 (0)n ....
P(,s)P0(0,s0)
声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密 度和压强都发生变化。
假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程， 意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热
力学参数只有三个。
s 例如，取热力学参数：压强 、P密度 及熵值 ，则
有关系： P P (,s)f(,s)
❖ 压强： ❖ 介质运动速度 ❖ 密度
Px,y,z,t
U x,y,z,t
x,y,z,t
1、声压的基本概念
声波作用引起各点介质压缩和伸张，各点的 压强比静压可大可小，声压有正有负。
1、声压的基本概念
声学中，也可用声压级（SPL）表示声压的大小。 SPL=20log10（p/pref）（dB） （分贝）
Px2 xdy dPxzdy d P xzx,y,zd2d x ydz
P dx
Px2 xdy dPxzdy dx zx,y,z
dydz 2
沿 o方x向的合力为
FxPx2 xPx2 xdy dz P xx,y,zdxdy
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
同理得 oy,方oz向的合力为
Fy
P dxdydz y x,y,z
重点总结！
1、声音的实质－声音是介质中的机械波 2、声波产生的两个基本条件
（1）声源 （2）传声介质
3.1.1 基本声学量 主要内容
❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质运动速度的变化量 ❖3、压缩量－介质密度相对变化量
连续介质中，任意一点附近的运动状态可用 压强、密度和介质的运动速度表示。
2、质点振速的基本概念
在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复 运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变 化，可用质点位移或速度描述声场。
设没有声波扰动时，介质的静态流速为 U 0x,y,z,t
在声波的作用下流速变为 U x,y,z,t
流速的u 改x , 变y 量, z , t U x , y , z , t U 0 x , y , z , t
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（3）推导连续性方程
因为，dxdydz框没有变，所以质量的变化改变 了dxdydz框内介质的密度：
m [(x ,y ,z ,(t d ) t)(x ,y ,z ,t)d ]x
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒定律： 流体的流动使得元体积内的质量增加
单位时间内通过M 点单位面 积的介 质质量为 U U x i U y j U z k
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（1）在dt时间段，介质质点X方向流速引起的在dxdydz 框中介质质量的变化：
dt时间段从ABCD面流入dxdydz框中的质量：
U x U xx d 2 x dydtz
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
横波传播过程
声音的产生
空气中和水中的声波的传播方向与质点振 动方向是一致的，属于纵波。
固体中由于有切应力，除有纵波外，还同 时存在横波。
仅讨论声波的宏观性质，不涉及介质的微观特性
声音的产生
声音的产生
声波在介质中传播的速度，称为声波的 传播速度。
振动与声基础
第三章 理想流体介质中小振幅波的基本规律
3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程
主要内容
3.1.1 基本声学量 3.1.2 理想流体中三个基本方程
声音的产生
声音的产生
声音的产生
什么是声音？
苏东坡在赤壁赋中说: “耳得之而为声”
声音的产生
声音是由声源的机械振动产生的，声源的振 动状态，通过周围介质向四周传播形成声波。 从物理学来说，声波就是介质中的机械波。
水中质点位移比空气中质点位移更小
3、密度逾量
设没有扰动时，介质的静态密度为 0x,y,z
在声波的作用下变为 x,y,z,t
定义： l x , y , z , t x , y , z , t 0 x , y , z
为介质中声场的密度逾量。 MKS制中，基本单位：kg/m
定义： sx ,y ,z,t x ,y , z 0 ,tx , y ,0 zx ,y ,z
为介质压缩量,也称介质密度的相对变化量s（无量纲）
注意：
声场中的质点振速和声波的传播速度 是两个概念。
重点总结！
声学量——描述声波作用的量。 ❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质流速的变化量 ❖3、密度逾量－介质密度的变化量
波动方程的推导
声波的波动方程：描述声场空间、时间变化 规律和相互联系的方程。
即为介质质点的振动速度
2、质点振速的基本概念
振动速度的单位是
米 秒
在空气中，1帕的声压对应的振速约为
2.3103
米 秒
相应于频率1000Hz声音的质点位移约为3.7107 米
声场中介质质点位移振幅是很小的
水中1帕的声音，相应的振速约为
7107
米 秒
相应于1000Hz声音的位移仅为1010 米
等于
密度变化使得元体积内质量的增加
[(x,y,z,(td)t)(x,y,z,t)d] xdydz
((Ux)(Uy)(Uz))dxdydzd
x
y
z
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以：
( x ,y ,z ,t d ) t ( x ,y ,z ,t ) ( (U x ) (U y ) (U z ) )
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
z
C
G
M点的密度为： D x,y,z,t
设某一瞬时t，介质质点流过
M点的速度向量
A
o
H
dz
M(x,y,z)
B
F
dy
E
dx x
U x , y , z , t U x x , y , z , t i y U y x , y , z , t j U z x , y , z , t k
Fz
P dxdydz z x,y,z
利用哈密顿算子，(i j 表示k质)量
微团受到的合力：
x y z
F P (x ,y ,z,t)dxdyd
根据牛顿定律，得运动方程
d xd dU y dzP d xd yd
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
dUP
dt
（2）均匀、静止理想流体小振幅波的运动方程
静压强 P0 ＝常数
静态流 U0速 常数
Pp
dU du dt dt
所以：
dup
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
d u 是质点 Mx,的y,z加速度。
dt
根据，多元函数微分公式，有：
du u u u
dt t
如果为小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或
空间导数为一阶小量。
忽略高阶小量
du u dt t
基本思路
三个基本物理定律 三个基本方程
质量守恒定律 热力学关系（能量守恒定律）
牛顿第二定律（动量守恒定律)
连续性方程 状态方程 运动方程
波动方程
假设条件
理想流体介质
（1）理想，介质中机械运动无机械能损耗; （2）流体，介质中任一面元受力方向总是
垂直于面元； （3）连续性，介质中质团连续分布无间隙； （4）介质质团同时具有质量和弹性性质。
正是因为介质质团同时具有弹性和质量， 才能形成波---振动的传播。
声波为小振幅声波－线性波动方程
3.2.1 理想流体中三个基本方程
主要内容
❖ 1、连续性方程 ❖ 2、状态方程 ❖ 3、运动方程
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒，建立 l ~关u系。
质量守恒定律，在连续介质中，如果流进 与流出某一空间体积的流体质量不等，则 必将引起该体积中介质密度的变化。
3.2.1 流体中小振幅波波动方程
均匀、静止理想流体中,小振幅波基本声学量的方程：
dt
x y z
得：
(x ,y ,z ,t) ( (U x) (U y) (U z))
t
x y z
-连续性方程
理想流体中三个基本方程
数学知识
哈密顿算符： ix jykz
梯度：标量函数 p的梯度
grp a d p i p j p k p
散度：矢量场 A i A x x j的A y 散y 度k A z z
00 u u 0l u u u l lu
ρ0 常 数
tl 0 u u l l u
略去二阶小量：
l
t
0u
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性
方程为：
l
t
0u0
连续性方程
记住！
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
依据热力学定律，建立 p~ 关l 系。
dt时间段从EFGH面流入dxdydz框中的质量：
U xU xx d 2 x dyd dtz
所以，在dt时间段，介质质点沿OX方向流速引起的在
dxdydz框中介质质量增加为： (Ux)dxdyddtz
x
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（2）在dt时间段，介质质点Y方向和Z方向流速 引起的在dxdydz框中介质质量的变化：
diA v A A xA yA z x y z
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
连续性方程表示为
U
t 称U为流通密度:单位时间内流过与速度方
向垂直的单位面积的质量。
连续性方程：表示流通密度在某一点散度的 负值等于该点介质密度的时间变化率。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（4）均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方
理想流体中三个基本方程
p~ 关u系。
（1）运动方程推导
z
介质中取质量微团
ABCDEFGH 六 面 体 , 边
D
长分别为：dx，dy，dz
Px dx
2
C
H M(x,y,z) B
G
Px dx 2
F
分析其受力：
A
周围流体对该六面体的压力：o
首先分析x方向受力：
y
E
x
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
作用在ABCD面上和EFGH面上的总压力分别为
f
|0,s0
l
.....1. n!
(n) f
(n)
|0,s0
ln .......
p(,s)
f
|0,s0
l
1 (n) f
...... n!
(n)
|0,s0
ln .......
如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空
间导数为一阶小量。 略去高阶小量，有：
p
f
()0s0
l
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
据程，声学量定义，有：
0 l
UU0u
小振幅波的含义是指：小振幅波的声学量和声学量的 各阶时间或空间导数为一阶小量。均匀的含义是指： 静止的含义来自指：由连续性方程： 得：
ρ0 常 数
U0 0
[U]
t
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
(0 t l) (0l)U (0u )
U0 0