基本概念声学量波动方程速度势函数学时
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dt时间段从EFGH面流入dxdydz框中的质量：
U xU xx d 2 x dyd dtz
所以，在dt时间段，介质质点沿OX方向流速引起的在
dxdydz框中介质质量增加为： (Ux)dxdyddtz
x
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（2）在dt时间段，介质质点Y方向和Z方向流速 引起的在dxdydz框中介质质量的变化：
重点总结！
1、声音的实质－声音是介质中的机械波 2、声波产生的两个基本条件
（1）声源 （2）传声介质
3.1.1 基本声学量 主要内容
❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质运动速度的变化量 ❖3、压缩量－介质密度相对变化量
连续介质中，任意一点附近的运动状态可用 压强、密度和介质的运动速度表示。
声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密 度和压强都发生变化。
假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程， 意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热
力学参数只有三个。
s 例如，取热力学参数：压强 、P密度 及熵值 ，则
有关系： P P (,s)f(,s)
正是因为介质质团同时具有弹性和质量， 才能形成波---振动的传播。
声波为小振幅声波－线性波动方程
3.2.1 理想流体中三个基本方程
主要内容
❖ 1、连续性方程 ❖ 2、状态方程 ❖ 3、运动方程
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒，建立 l ~关u系。
质量守恒定律，在连续介质中，如果流进 与流出某一空间体积的流体质量不等，则 必将引起该体积中介质密度的变化。
Fz
P dxdydz z x,y,z
利用哈密顿算子，(i j 表示k质)量
微团受到的合力：
x y z
F P (x ,y ,z,t)dxdyd
根据牛顿定律，得运动方程
d xd dU y dzP d xd yd
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
dUP
dt
（2）均匀、静止理想流体小振幅波的运动方程
基本思路
三个基本物理定律 三个基本方程
质量守恒定律 热力学关系（能量守恒定律）
牛顿第二定律（动量守恒定律)
连续性方程 状态方程 运动方程
波动方程
假设条件
理想流体介质
（1）理想，介质中机械运动无机械能损耗; （2）流体，介质中任一面元受力方向总是
垂直于面元； （3）连续性，介质中质团连续分布无间隙； （4）介质质团同时具有质量和弹性性质。
如果，在声波作用下，P经“等熵过程”，从
P 0 (0 ,s0 ) P (,s0 )
则在 (0,点s0)作
P幂(级,s数0)展开，有：
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
P(,s)P0(0,s0)f |0,s0 (0).....n1.!(n()nf) |0,s0 (0)n ....
P(,s)P0(0,s0)
00 u u 0l u u u l lu
ρ0 常 数
tl 0 u u l l u
略去二阶小量：
l
t
0u
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性
方程为：
l
t
0u0
连续性方程
记住！
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
依据热力学定律，建立 p~ 关l 系。
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
(0l) u t p 忽略高阶小量： l
u t
！！！得到均匀、静止理想流体中小振幅波的运动方程为：
0
u p t
运动方程
记住！
又称尤拉方程：表示介质中质点的加速度与密度的 乘积等于沿加速度方向的压力梯度的负值。
3.2 理想流体中小振幅波波动方程 和速度势函数
3.2.1 流体中小振幅波波动方程 3.2.2 速度势函数
振动与声基础
第三章 理想流体介质中小振幅波的基本规律
3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程
主要内容
3.1.1 基本声学量 3.1.2 理想流体中三个基本方程
声音的产生
声音的产生
声音的产生
什么是声音？
苏东坡在赤壁赋中说: “耳得之而为声”
声音的产生
声音是由声源的机械振动产生的，声源的振 动状态，通过周围介质向四周传播形成声波。 从物理学来说，声波就是介质中的机械波。
f
|0,s0
l
.....1. n!
(n) f
(n)
|0,s0
ln .......
p(,s)
f
|0,s0
l
1 (n) f
...... n!
(n)
|0,s0
ln .......
如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空
间导数为一阶小量。 略去高阶小量，有：
p
f
()0s0
l
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
声音的产生
声波（sound wave ）是一种机械波； 产生声波的两个必要条件：
声源（ sound source）－机械振动的物体 介质（medium ）－机械振动赖以传播的介
质
声音的产生
声音的产生
声波传播时，介质质点只在平衡位置附近 振动，并没有随声波传播。
声音的产生
声音可以在一切弹性介质中传播。 纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。 横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。
定义, c0 (p为)介0,s质0 的等熵波速。
它是介质的固有性质。 （后续课可知它与介质中波传播的速度有关）
f
(()0,s0 0)
是速度量纲; M.K.S制中,单位: m/s (米/秒)
！！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：
p c02l
状态方程 记住！
3、运动方程
依据牛顿第二定律, 建立
dt
x y z
得：
(x ,y ,z ,t) ( (U x) (U y源自文库 (U z))
t
x y z
-连续性方程
理想流体中三个基本方程
数学知识
哈密顿算符： ix jykz
梯度：标量函数 p的梯度
grp a d p i p j p k p
散度：矢量场 A i A x x j的A y 散y 度k A z z
即为介质质点的振动速度
2、质点振速的基本概念
振动速度的单位是
米 秒
在空气中，1帕的声压对应的振速约为
2.3103
米 秒
相应于频率1000Hz声音的质点位移约为3.7107 米
声场中介质质点位移振幅是很小的
水中1帕的声音，相应的振速约为
7107
米 秒
相应于1000Hz声音的位移仅为1010 米
diA v A A xA yA z x y z
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
连续性方程表示为
U
t 称U为流通密度:单位时间内流过与速度方
向垂直的单位面积的质量。
连续性方程：表示流通密度在某一点散度的 负值等于该点介质密度的时间变化率。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（4）均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方
等于
密度变化使得元体积内质量的增加
[(x,y,z,(td)t)(x,y,z,t)d] xdydz
((Ux)(Uy)(Uz))dxdydzd
x
y
z
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以：
( x ,y ,z ,t d ) t ( x ,y ,z ,t ) ( (U x ) (U y ) (U z ) )
静压强 P0 ＝常数
静态流 U0速 常数
Pp
dU du dt dt
所以：
dup
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
d u 是质点 Mx,的y,z加速度。
dt
根据，多元函数微分公式，有：
du u u u
dt t
如果为小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或
空间导数为一阶小量。
忽略高阶小量
du u dt t
水中质点位移比空气中质点位移更小
3、密度逾量
设没有扰动时，介质的静态密度为 0x,y,z
在声波的作用下变为 x,y,z,t
定义： l x , y , z , t x , y , z , t 0 x , y , z
为介质中声场的密度逾量。 MKS制中，基本单位：kg/m
定义： sx ,y ,z,t x ,y , z 0 ,tx , y ,0 zx ,y ,z
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
横波传播过程
声音的产生
空气中和水中的声波的传播方向与质点振 动方向是一致的，属于纵波。
固体中由于有切应力，除有纵波外，还同 时存在横波。
仅讨论声波的宏观性质，不涉及介质的微观特性
声音的产生
声音的产生
声波在介质中传播的速度，称为声波的 传播速度。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
z
C
G
M点的密度为： D x,y,z,t
设某一瞬时t，介质质点流过
M点的速度向量
A
o
H
dz
M(x,y,z)
B
F
dy
E
dx x
U x , y , z , t U x x , y , z , t i y U y x , y , z , t j U z x , y , z , t k
同理, d时t 间内沿
中的dx净dy余dz量分别为
方oy向,o流z量在
yUydxdydtz
zUzdxdydtz
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以，在dt时间段，介质质点流速 U (x,y,z,引t)起 的在dxdydz框中介质质量的增加为：
m xU x yU y zU z dxd dy t d
3.2.1 流体中小振幅波波动方程
均匀、静止理想流体中,小振幅波基本声学量的方程：
单位时间内通过M 点单位面 积的介 质质量为 U U x i U y j U z k
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（1）在dt时间段，介质质点X方向流速引起的在dxdydz 框中介质质量的变化：
dt时间段从ABCD面流入dxdydz框中的质量：
U x U xx d 2 x dydtz
Px2 xdy dPxzdy d P xzx,y,zd2d x ydz
P dx
Px2 xdy dPxzdy dx zx,y,z
dydz 2
沿 o方x向的合力为
FxPx2 xPx2 xdy dz P xx,y,zdxdy
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
同理得 oy,方oz向的合力为
Fy
P dxdydz y x,y,z
❖ 压强： ❖ 介质运动速度 ❖ 密度
Px,y,z,t
U x,y,z,t
x,y,z,t
1、声压的基本概念
声波作用引起各点介质压缩和伸张，各点的 压强比静压可大可小，声压有正有负。
1、声压的基本概念
声学中，也可用声压级（SPL）表示声压的大小。 SPL=20log10（p/pref）（dB） （分贝）
理想流体中三个基本方程
p~ 关u系。
（1）运动方程推导
z
介质中取质量微团
ABCDEFGH 六 面 体 , 边
D
长分别为：dx，dy，dz
Px dx
2
C
H M(x,y,z) B
G
Px dx 2
F
分析其受力：
A
周围流体对该六面体的压力：o
首先分析x方向受力：
y
E
x
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
作用在ABCD面上和EFGH面上的总压力分别为
为介质压缩量,也称介质密度的相对变化量s（无量纲）
注意：
声场中的质点振速和声波的传播速度 是两个概念。
重点总结！
声学量——描述声波作用的量。 ❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质流速的变化量 ❖3、密度逾量－介质密度的变化量
波动方程的推导
声波的波动方程：描述声场空间、时间变化 规律和相互联系的方程。
2、质点振速的基本概念
在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复 运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变 化，可用质点位移或速度描述声场。
设没有声波扰动时，介质的静态流速为 U 0x,y,z,t
在声波的作用下流速变为 U x,y,z,t
流速的u 改x , 变y 量, z , t U x , y , z , t U 0 x , y , z , t
据程，声学量定义，有：
0 l
UU0u
小振幅波的含义是指：小振幅波的声学量和声学量的 各阶时间或空间导数为一阶小量。
均匀的含义是指： 静止的含义是指：
由连续性方程： 得：
ρ0 常 数
U0 0
[U]
t
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
(0 t l) (0l)U (0u )
U0 0
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（3）推导连续性方程
因为，dxdydz框没有变，所以质量的变化改变 了dxdydz框内介质的密度：
m [(x ,y ,z ,(t d ) t)(x ,y ,z ,t)d ]x
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒定律： 流体的流动使得元体积内的质量增加
U xU xx d 2 x dyd dtz
所以，在dt时间段，介质质点沿OX方向流速引起的在
dxdydz框中介质质量增加为： (Ux)dxdyddtz
x
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（2）在dt时间段，介质质点Y方向和Z方向流速 引起的在dxdydz框中介质质量的变化：
重点总结！
1、声音的实质－声音是介质中的机械波 2、声波产生的两个基本条件
（1）声源 （2）传声介质
3.1.1 基本声学量 主要内容
❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质运动速度的变化量 ❖3、压缩量－介质密度相对变化量
连续介质中，任意一点附近的运动状态可用 压强、密度和介质的运动速度表示。
声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密 度和压强都发生变化。
假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程， 意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热
力学参数只有三个。
s 例如，取热力学参数：压强 、P密度 及熵值 ，则
有关系： P P (,s)f(,s)
正是因为介质质团同时具有弹性和质量， 才能形成波---振动的传播。
声波为小振幅声波－线性波动方程
3.2.1 理想流体中三个基本方程
主要内容
❖ 1、连续性方程 ❖ 2、状态方程 ❖ 3、运动方程
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒，建立 l ~关u系。
质量守恒定律，在连续介质中，如果流进 与流出某一空间体积的流体质量不等，则 必将引起该体积中介质密度的变化。
Fz
P dxdydz z x,y,z
利用哈密顿算子，(i j 表示k质)量
微团受到的合力：
x y z
F P (x ,y ,z,t)dxdyd
根据牛顿定律，得运动方程
d xd dU y dzP d xd yd
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
dUP
dt
（2）均匀、静止理想流体小振幅波的运动方程
基本思路
三个基本物理定律 三个基本方程
质量守恒定律 热力学关系（能量守恒定律）
牛顿第二定律（动量守恒定律)
连续性方程 状态方程 运动方程
波动方程
假设条件
理想流体介质
（1）理想，介质中机械运动无机械能损耗; （2）流体，介质中任一面元受力方向总是
垂直于面元； （3）连续性，介质中质团连续分布无间隙； （4）介质质团同时具有质量和弹性性质。
如果，在声波作用下，P经“等熵过程”，从
P 0 (0 ,s0 ) P (,s0 )
则在 (0,点s0)作
P幂(级,s数0)展开，有：
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
P(,s)P0(0,s0)f |0,s0 (0).....n1.!(n()nf) |0,s0 (0)n ....
P(,s)P0(0,s0)
00 u u 0l u u u l lu
ρ0 常 数
tl 0 u u l l u
略去二阶小量：
l
t
0u
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性
方程为：
l
t
0u0
连续性方程
记住！
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
依据热力学定律，建立 p~ 关l 系。
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
(0l) u t p 忽略高阶小量： l
u t
！！！得到均匀、静止理想流体中小振幅波的运动方程为：
0
u p t
运动方程
记住！
又称尤拉方程：表示介质中质点的加速度与密度的 乘积等于沿加速度方向的压力梯度的负值。
3.2 理想流体中小振幅波波动方程 和速度势函数
3.2.1 流体中小振幅波波动方程 3.2.2 速度势函数
振动与声基础
第三章 理想流体介质中小振幅波的基本规律
3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程
主要内容
3.1.1 基本声学量 3.1.2 理想流体中三个基本方程
声音的产生
声音的产生
声音的产生
什么是声音？
苏东坡在赤壁赋中说: “耳得之而为声”
声音的产生
声音是由声源的机械振动产生的，声源的振 动状态，通过周围介质向四周传播形成声波。 从物理学来说，声波就是介质中的机械波。
f
|0,s0
l
.....1. n!
(n) f
(n)
|0,s0
ln .......
p(,s)
f
|0,s0
l
1 (n) f
...... n!
(n)
|0,s0
ln .......
如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空
间导数为一阶小量。 略去高阶小量，有：
p
f
()0s0
l
2、状态方程
理想流体中三个基本方程
声音的产生
声波（sound wave ）是一种机械波； 产生声波的两个必要条件：
声源（ sound source）－机械振动的物体 介质（medium ）－机械振动赖以传播的介
质
声音的产生
声音的产生
声波传播时，介质质点只在平衡位置附近 振动，并没有随声波传播。
声音的产生
声音可以在一切弹性介质中传播。 纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。 横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。
定义, c0 (p为)介0,s质0 的等熵波速。
它是介质的固有性质。 （后续课可知它与介质中波传播的速度有关）
f
(()0,s0 0)
是速度量纲; M.K.S制中,单位: m/s (米/秒)
！！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：
p c02l
状态方程 记住！
3、运动方程
依据牛顿第二定律, 建立
dt
x y z
得：
(x ,y ,z ,t) ( (U x) (U y源自文库 (U z))
t
x y z
-连续性方程
理想流体中三个基本方程
数学知识
哈密顿算符： ix jykz
梯度：标量函数 p的梯度
grp a d p i p j p k p
散度：矢量场 A i A x x j的A y 散y 度k A z z
即为介质质点的振动速度
2、质点振速的基本概念
振动速度的单位是
米 秒
在空气中，1帕的声压对应的振速约为
2.3103
米 秒
相应于频率1000Hz声音的质点位移约为3.7107 米
声场中介质质点位移振幅是很小的
水中1帕的声音，相应的振速约为
7107
米 秒
相应于1000Hz声音的位移仅为1010 米
diA v A A xA yA z x y z
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
连续性方程表示为
U
t 称U为流通密度:单位时间内流过与速度方
向垂直的单位面积的质量。
连续性方程：表示流通密度在某一点散度的 负值等于该点介质密度的时间变化率。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（4）均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方
等于
密度变化使得元体积内质量的增加
[(x,y,z,(td)t)(x,y,z,t)d] xdydz
((Ux)(Uy)(Uz))dxdydzd
x
y
z
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以：
( x ,y ,z ,t d ) t ( x ,y ,z ,t ) ( (U x ) (U y ) (U z ) )
静压强 P0 ＝常数
静态流 U0速 常数
Pp
dU du dt dt
所以：
dup
dt
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
d u 是质点 Mx,的y,z加速度。
dt
根据，多元函数微分公式，有：
du u u u
dt t
如果为小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或
空间导数为一阶小量。
忽略高阶小量
du u dt t
水中质点位移比空气中质点位移更小
3、密度逾量
设没有扰动时，介质的静态密度为 0x,y,z
在声波的作用下变为 x,y,z,t
定义： l x , y , z , t x , y , z , t 0 x , y , z
为介质中声场的密度逾量。 MKS制中，基本单位：kg/m
定义： sx ,y ,z,t x ,y , z 0 ,tx , y ,0 zx ,y ,z
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
横波传播过程
声音的产生
空气中和水中的声波的传播方向与质点振 动方向是一致的，属于纵波。
固体中由于有切应力，除有纵波外，还同 时存在横波。
仅讨论声波的宏观性质，不涉及介质的微观特性
声音的产生
声音的产生
声波在介质中传播的速度，称为声波的 传播速度。
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
z
C
G
M点的密度为： D x,y,z,t
设某一瞬时t，介质质点流过
M点的速度向量
A
o
H
dz
M(x,y,z)
B
F
dy
E
dx x
U x , y , z , t U x x , y , z , t i y U y x , y , z , t j U z x , y , z , t k
同理, d时t 间内沿
中的dx净dy余dz量分别为
方oy向,o流z量在
yUydxdydtz
zUzdxdydtz
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
所以，在dt时间段，介质质点流速 U (x,y,z,引t)起 的在dxdydz框中介质质量的增加为：
m xU x yU y zU z dxd dy t d
3.2.1 流体中小振幅波波动方程
均匀、静止理想流体中,小振幅波基本声学量的方程：
单位时间内通过M 点单位面 积的介 质质量为 U U x i U y j U z k
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（1）在dt时间段，介质质点X方向流速引起的在dxdydz 框中介质质量的变化：
dt时间段从ABCD面流入dxdydz框中的质量：
U x U xx d 2 x dydtz
Px2 xdy dPxzdy d P xzx,y,zd2d x ydz
P dx
Px2 xdy dPxzdy dx zx,y,z
dydz 2
沿 o方x向的合力为
FxPx2 xPx2 xdy dz P xx,y,zdxdy
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
同理得 oy,方oz向的合力为
Fy
P dxdydz y x,y,z
❖ 压强： ❖ 介质运动速度 ❖ 密度
Px,y,z,t
U x,y,z,t
x,y,z,t
1、声压的基本概念
声波作用引起各点介质压缩和伸张，各点的 压强比静压可大可小，声压有正有负。
1、声压的基本概念
声学中，也可用声压级（SPL）表示声压的大小。 SPL=20log10（p/pref）（dB） （分贝）
理想流体中三个基本方程
p~ 关u系。
（1）运动方程推导
z
介质中取质量微团
ABCDEFGH 六 面 体 , 边
D
长分别为：dx，dy，dz
Px dx
2
C
H M(x,y,z) B
G
Px dx 2
F
分析其受力：
A
周围流体对该六面体的压力：o
首先分析x方向受力：
y
E
x
3、运动方程
理想流体中三个基本方程
作用在ABCD面上和EFGH面上的总压力分别为
为介质压缩量,也称介质密度的相对变化量s（无量纲）
注意：
声场中的质点振速和声波的传播速度 是两个概念。
重点总结！
声学量——描述声波作用的量。 ❖1、声压－压强的变化量 ❖2、质点振速－介质流速的变化量 ❖3、密度逾量－介质密度的变化量
波动方程的推导
声波的波动方程：描述声场空间、时间变化 规律和相互联系的方程。
2、质点振速的基本概念
在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复 运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变 化，可用质点位移或速度描述声场。
设没有声波扰动时，介质的静态流速为 U 0x,y,z,t
在声波的作用下流速变为 U x,y,z,t
流速的u 改x , 变y 量, z , t U x , y , z , t U 0 x , y , z , t
据程，声学量定义，有：
0 l
UU0u
小振幅波的含义是指：小振幅波的声学量和声学量的 各阶时间或空间导数为一阶小量。
均匀的含义是指： 静止的含义是指：
由连续性方程： 得：
ρ0 常 数
U0 0
[U]
t
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
(0 t l) (0l)U (0u )
U0 0
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
（3）推导连续性方程
因为，dxdydz框没有变，所以质量的变化改变 了dxdydz框内介质的密度：
m [(x ,y ,z ,(t d ) t)(x ,y ,z ,t)d ]x
1、连续性方程
理想流体中三个基本方程
依据质量守恒定律： 流体的流动使得元体积内的质量增加