谷歌2011校园招聘笔试试题解答

刚看了个题为《谷歌2011校园招聘笔试试题》的文章，转过来并试图给个解答。

纯属个人行为，与google公司无关，因此选择题答案也不一定正确，欢迎讨论。

如果有google的人看了觉得还可以给个面试机会哈~~~
1.1) D
1.2) D
1.3) C (原选D为错误答案，感谢俞寅涛(他不让我叫他大牛)订正)
1.4) 3003(B?)
注：经人告知，题目为：“书架上有19本书，编号分别1-19，选取5本，其中任意两本不相邻的的取法有多少，四个选项为A: 2002, B: 3003, C: 11628, D: 360360”。

此题解法如下：考虑第一本位置为x1，第二本为第一本后x2个位置，第三本为第二本后x3个位置。

第五本为第四本后x5个位置。

那么我们有
x1+x2+x3+x4+x5<=19, x1>=1, x2,x3,x4,x5>=2。

题目所求即此方程整数解的个数。

变换得x1+x2+x3+x4+x5+x6 = 19, x1>=1, x2,x3,x4,x5>=2, x6>=0。

令x1' = x1，x2'=x2-1, ...,x5'=x5-1, x6'=x6+1，则原方程的解数等于方程
x1'+x2'+x3'+x4'+x5'+x6'=16, x1',x2',x3',x4',x5',x6'>=1
的整数解的个数。

而我们知道后一方程解的个数为C_15^5 = 3003。

1.5) E
1.6) A
1.7) A
1.8) A (设N<M，最好情况下，N个数比M个数的最小数都小，需要N次比较，感谢俞寅涛(他不让我叫他大牛)订正)
1.9) D
1.10) C (有朋友表示应该是A，我对此表示赞同，但还是坚持原来的选择C，求正确答案)
2.1)
double eval(double x, double* A, int N) {
int r = A[N];
for(int i=n-1; i>=0; --i) {
r = r*x+A[i];
}
return r;
}
时间复杂度为O(n)，需要进行n次乘法与加法。

2.2)
void calculate_result(int n, int [][] winner, int [] order, int [] result) {
if(n==1) return;
int j = n, k=0;
for(int i=0; i<n; i+=2) {
if(winner[order[i]][order[i+1]]==order[i]) {
order[k++] = order[i]; result[--j] = order[i+1];
} else {
order[k++] = order[i+1]; result[--j] = order[i];
}
}
calculate_result(n/2, winner, order, result);
}
额外的空间复杂度为O(1)。

时间复杂度的分析为T(n) = T(n/2) + \Theta(n)，由Master Theory，可得T(n) = \Theta(n)。

2.3)
每组连招写为一个m+1位的字符串的形式，如ABC->D写为ABCD，那么我们有n个m+1位的字符串。

现在构造一个有向图G，每个顶点表示一个连招，从顶点a到顶点b有边iff a的后m位与b的前m位相同。

显然原问题等价于从G中找到一条最长路径。

假设G中的边数为e，首先可以用O(n+e)判断G中是
否有环，如果有，则结果为inf。

然后对于DAG G，可以用O(n+e)的时间求出其拓扑排序，设其拓扑序为order[]，其中如果(order[i], order[j]) \in E(G)，那么i<j。

我们可以使用如下dp算法来求出结果ans[]：
for(i=n-1; i>=0; --i) {
ans[i] = m+1;
for(j : (order[i], order[j]) \in E(G)) {
if(ans[j]+1>ans[i]) ans[i] = ans[j]+1;
}
}
这个算法时间复杂度O(n+e)。

最后的结果为max{ans[i]}。

那么我们可以看到在构造图之后，只需要O(n+e)的时间就可以求出结果。

而一个naive的构造图的算法需要时间O(n^2m)。

而使用hash table，可以得到O(nm+e)的时间复杂度。

所以总的时间复杂度为O(nm+e)。

那么显然，这个复杂度对于使用图的算法来说是最优的，因为输入规模为O(nm)，而图的规模为O(n+e)。

BTW，从理论上说这个问题的最优时间复杂度是O(nm)，因为输出的规模最大为O(n)。

好吧，我承认我又无聊了。