微视角探求数学概念教学“六步法”——以《函数的单调性》概念教学为例
《函数的单调性》教案
《函数的单调性》教案课题：《函数的单调性》教学目标：1.知识与技能：理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法。
2.过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数的概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生体会特殊到一般，简单到复杂，具体到抽象的研究方法；渗透数形结合的数学思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用。
教学难点：函数单调性的概念形成教法：引导、讲授学法：尝试、归纳、总结、运用媒体：powerpoint、实物投影仪教学过程：（一）创设情境，引入课题如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？教师指出：上面两种现象都是单调性现象。
那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢？〖设计意图〗：通过学生熟悉的天气变化图引入，让学生看图说明其变化趋势，把数学与生活实际联系起来。
问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。
这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
（二） 直观感知，归纳探索，建构概念问题1：分别作出函数的图象，并且观察xy x y x y x y 1,,2,22==+-=+=自变量变化时，函数值的变化规律？ 预案：(1)函数，在整个定义域内 y 随x 的增大而增大；函数2+=x y ，在整个定义域内 y 随x 的增大而减小．2+-=x y (2)函数，在上 y 随x 的增大而增大，在上y 随x 2x y =),0[+∞)0,(-∞的增大而减小．(3)函数，在上 y 随x 的增大而减小，在上y 随x xy 1=),0(+∞)0,(-∞的增大而减小．引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗?预案：如果函数在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们()f x 说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x ()f x ()f x 的增大，y 越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．()f x 此时，教师提出函数单调性的概念。
函数单调性概念理解和应用.docx
函数单调性概念理解和应用函数的单调性是函数的概念和图象部分的重要内容。
函数的单调性的学习可以让学生们更加深入地理解函数，函数的单调性还能运用到实际中解决问题。
在函数的单调性的学习中，主要是要让学生们从形与数两方面理解函数单调性的概念，用数形结合的方法来研究函数的单调性，加强对函数单调性定义的理解，并能通过函数单调性的定义来判断或证明一些函数的单调性。
在学习函数的单调性之前，可以先举一些身边实际例子来启发学生们的思维。
如我们生活中常见的气温变化曲线图或折线图，通过气温统计图可以知道一天中的气温变化，如最温是几度、低温是几度、温度升高了几度或者降低了几度, 温度变化最大是哪个时段等等。
还有比如股票的价格升降等这些图形，都是生活中常见的。
通过这样的一些举例可以让学生们联系到所学的函数的单调性，让学生们对函数的单调性有个初步的认识和感悟。
一、直观地理解函数的单调性引入初中阶段所接触的函数单调性的内容来帮助学生们进行回顾。
如：分别作出函数y二x+2, y=-x+2, y二x ? , y= 的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？通过作图，可以从简单的函数图象中直观地体现函数的单调性，帮助学生们理解函数的单调性。
学生们把函数图像画出来之后，明显可以看到，函数y=x+2在整个定义域内y随x 的增大而增大，直线呈上升趋势，而函数y-x+2是一个呈下降趋势的图象，函数在整个定义域内y值随x的增大而减小。
函数y二x?是一个顶点在原点，开口向上的抛物线，对称轴是y轴，在y 轴的左侧，y随x的增大而减小，呈下降趋势，y轴的右侧y 随x的增大而增大，图象呈上升趋势。
函数y=的图象是由两条曲线组成的，在(0, © )上，y 随x的增大而减小，在(❷，0)上，y同样随x的增大而减小。
通过观察这几个函数图象的单调性，引导学生们在观察函数单调性的时候一定要先明确函数单调的区间。
不同的区间函数的单调性可能是不一样的，函数的单调性是只是函数的局部性质。
函数的单调性微课教学设计
函数的单调性微课教学设计引言函数的单调性是高中数学中的重要概念之一。
掌握函数的单调性对于求解方程、不等式、优化问题等数学应用有着重要的作用。
本文将通过微课教学的方式，针对函数的单调性进行教学设计，帮助学生理解和掌握这一概念。
一、教学目标1. 掌握函数的单调性的定义和判断方法；2. 能够根据函数的导数求解函数的单调性；3. 能够应用函数的单调性解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的单调性的定义和判断方法1.1 定义函数单调递增和单调递减的概念；1.2 利用函数值的比较判断函数的单调性；1.3 利用导数判断函数的单调性。
2. 函数的单调性的判断方法的演示2.1 通过图像展示函数的单调递增和单调递减；2.2 通过函数值的比较判断函数的单调性；2.3 通过导数的正负判断函数的单调性。
3. 函数单调性的最值问题3.1 求解函数在定义域内的最大值和最小值；3.2 利用函数的单调性解决最值问题；3.3 通过实例演示函数单调性应用于最值问题。
三、教学过程1. 引入课题1.1 引导学生回顾函数的基本概念；1.2 提出函数的单调性的重要性。
2. 基本知识的讲解2.1 通过教师讲解的方式介绍函数的单调性的定义；2.2 讲解判断函数单调性的方法：函数值的比较和导数的正负。
3. 案例分析3.1 通过具体的函数案例，让学生掌握函数单调性的判断方法；3.2 分析案例中的函数图像，并强调图像与单调性的联系。
4. 计算与推导4.1 教师带领学生通过计算和推导，巩固函数单调性的判断方法；4.2 注重学生的实际操作，培养解题能力。
5. 实例演示5.1 通过实际应用问题的演示，让学生理解函数单调性在实际问题中的应用；5.2 鼓励学生积极思考，提出自己的解题方法。
6. 总结与归纳6.1 整理函数单调性的判断方法；6.2 强调函数单调性在数学应用中的作用。
四、教学评估1. 小组活动1.1 将学生分成小组，让每个小组设计一个函数单调性的问题，互相出题；1.2 通过小组讨论，提高学生的合作能力。
《函数的单调性》说课稿(附教案)
《函数的单调性》说课稿一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标的确定：根据本课教材内容的特点、学生现有知识基础、认知能力以及所任教班级学生的特点，本节课从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的理解；强调判断、证明函数单调性的方法的落实；突出逻辑思维能力、类比化归、数形结合能力的培养。
三、教学诊断分析:在函数单调性这节课中，对于函数的单调性，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：（1）“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难。
困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述。
即把某区间上“随着x 的增大，y 也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，有)()(21x f x f <”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的12x x 、。
（2）利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求对高一的学生同样比较困难。
针对这两方面学生存在的困难，在教学中我所采用的教师启发引导，学生探究学习的教学方法，以及多媒体直观教学和反例的恰当应用，较好的解决了学生在这两方面的困惑。
此外，在教学过程中，单调性定义还需要注意以下易错点和疑点：（1）单调性是函数的一个区间上的性质，函数在不同的区间上可以有不同的单调性。
高中数学《函数的单调性探究》教案
高中数学《函数的单调性探究》教案一、教学目标- 了解函数的单调性的基本概念和判定方法；- 掌握函数单调递增和单调递减的定义和性质；- 能够根据函数的图像或公式判断函数的单调性；- 运用函数的单调性解决实际问题。
二、教学内容2.1 单调性的概念- 单调递增函数的定义和性质- 单调递减函数的定义和性质- 严格单调递增函数和严格单调递减函数2.2 判定函数单调性的方法- 利用导数判断函数的单调性- 利用函数的一阶导数和二阶导数判断函数的单调性2.3 实际问题的应用- 运用函数的单调性解决实际问题，如求最值、确定约束条件等。
三、教学步骤1. 导入- 引入函数单调性的概念，激发学生对该主题的兴趣。
2. 理论探究- 介绍函数单调性的定义和性质，让学生熟悉相关术语。
- 讲解如何利用导数判断函数的单调性，并进行相关的例题演示。
- 介绍函数的一阶导数和二阶导数在判断函数单调性中的作用。
3. 练与讨论- 给学生一些函数图像和公式，让他们根据前面学过的知识判断函数的单调性。
- 引导学生讨论如何解决实际问题，通过函数的单调性求解最值、确定约束条件等。
4. 案例分析- 分析一些实际问题的案例，引导学生运用函数的单调性进行解答。
5. 小结与拓展- 小结函数的单调性的概念和判定方法。
- 鼓励学生进行更多的拓展性思考，尝试解决更复杂的问题。
四、教学评估- 在课堂上观察学生的参与度和对函数单调性的理解程度。
- 布置作业，要求学生练判断函数的单调性和运用函数的单调性解决实际问题。
- 根据学生的作业完成情况和课堂表现，评估他们对函数单调性的掌握程度。
五、教学资源- 教材《高中数学》- 多媒体设备- 讲义和练题六、教学反思本节课通过引入函数的单调性的概念，结合理论探究、练习与讨论、案例分析等步骤，帮助学生全面了解函数单调性的定义、性质和判定方法。
通过对实际问题的应用，培养学生运用函数单调性解决问题的能力。
在教学中，要注意引导学生灵活运用函数的单调性判断方法，培养他们的数学思维和问题解决能力。
《函数的单调性》教学目标
《函数的单调性》教学目标第一篇：《函数的单调性》教学目标教学目标、教学重点、教学难点《函数的单调性》教学目标：1.知识目标①理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤；②会求函数的单调区间.2.能力目标①通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力.②通过本节课的复习，使学生体验和理解从特殊到一般的归纳推理的能力.③通过课堂的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感目标培养学生的逻辑推理能力和创新意识，同时，培养学生对数学美的艺术体验.教学重点：证明函数的单调性以及求函数的单调区间.教学难点：函数单调区间的求法.《简单的幂函数》教学目标：1．了解指数是整数的幂函数的概念;能通过观察总结幂函数的变化情况和性质;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力，引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图和画图中获得乐趣。
教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念.教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。
《正比例函数》教学目标：知识与技能：⑴理解正比例函数及正比例的意义；⑵根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；⑶识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。
过程与方法：⑴通过现实生活中的具体事例引入正比例关系通过画图像的操作实践，体验“描点法”；⑵经历利用正比例函数图像直观分析正比例函数基本性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方法情感态度与价值观：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．形成合作交流、独立思考的学习习惯．教学重点：理解正比例和正比例函数的意义教学难点：判定两个变量之间是否存在正比例的关系《体积和体积单位》☆【教学目标】1.让学生初步建立起空间大小的概念，知道“体积”的含义，发展学生的空间观念。
函数的单调性教学案例分析
函数的单调性教学案例分析一、内容介绍1.教材内容分析“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》第一章第三节的内容，本节课的实质是对函数运动趋势的研究，函数的单调性既是函数的基本特征之一，这一知识也为基本初等函数的研究提供了方法。
对于函数单调性的研究过程，我们需要经历从观察具体图像入手，然后进行定量分析，最后抽象出形式化的定义，这个过程中体现了数学中数形结合和归纳转化的重要数学思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维方式，这有助于培养学生根据图认识数学问题、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法有重大意义。
2.学生分析本节课是在学生初中已有粗略的认识的基础上进行，即主要根据观察图像得出结论。
本节课中对于函数单调性的定义，是应用数学符号将自然语言的描述提升到了形式化的定义，学生接受起来可能相对有些困难。
在得出函数单调性的定义的过程中，始终要结合具体函数的图像进行，这样可以增强直观性，由具体到抽象，再由抽象到具体，方便学生的理解。
在定义中要注意对自变量取值的任意性的理解，留给学生更多的思考空间。
二、教学目标1.知识与技能理解函数的单调性的定义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。
2.过程与方法掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，掌握利用函数的图像去判断函数单调性，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。
3.情感态度与价值观通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。
三、教学重难点1.教学重点形成增函数和减函数的形式化定义。
2.教学难点：在概念形成的过程中，从图像的变化趋势的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表示；用定义证明函数的单调性。
四、教学基本流程1.创设情境，引入概念通过具体有实际意义函数问题，抽象出函数图像，提问：图像有什么特点？师生互动：教师引导学生观察图像的升降变化，说出自己的看法。
设计意图：通过学生的直观认识引入新课，让学生对函数的单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西。
立足概念教学培育核心素养——以“函数的单调性”教学设计为例
立足概念教学培育核心素养——以“函数的单调性”教学设计为例尉根强浙江省杭州市余杭第二高级中学（311100）数学概念是数学的学习起点，是学生学习高中数学基础，数学概念的形成往往经历从直观感知到自然语言描述进而上升到数学语言的精确刻画的过程．因此，立足概念教学是培育学生数学核心思维的有效的抓手，本文以“函数的单调性”的教学设计为题，谈谈如何立足概念教学培育学生核心素养．1 聚焦素养，确定目标教学目标的制定是教学设计最核心的工作，是实施课堂教学的第一要素，同时也是提高课堂教学有效性的有力保证．教师只有围绕《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称为课标）、深入研读教材、合理分析学情，才能制定出有助于培养核心素养的教学目标，在叙述教学目标时才会主动应用可测量的行为动词来描述学生的在学习过程中应具备的行为，真正在课堂教学中做到有的放矢．笔者在制定“函数单调性”教学目标时经历了以下几个步骤：（1）精研教材，审视内容函数单调性是人教A版必修一“1.3函数的基本性质”的第一课时的内容．函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．函数单调性的形式化表示是继函数概念表示之后讨论函数“变化”的一个最基本、最重要的性质．函数的单调性决定了函数图象的基本形状，反映出了函数变化的基本规律．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据．函数单调性的研究体现了数与形的结合，通过对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步发现增、减变化数字特征，从而对其数学刻画．感悟教师只有精研教材，才能深入领会，专研概念的内涵和外延，理解其中的数学知识，数学思想和方法，才能为指向数学核心素养的教学目标的设定打下基础．（2）指向素养，设定目标基于教材研究，立足课标引领，本节课的教学目标确定为：①学生通过熟悉的函数模型从函数图象从左到右的升降趋势直观感知函数单调性（直观想象）；②学生经历从特殊到一般的函数性质研究过程，归纳出函数的自然语言描述，理解函数在某区间上单调的意义，进而抽象出函数单调性的符号语言描述（数据处理、逻辑推理、数学抽象）；③学生经历概念形成过程，掌握用函数的单调性定义证明函数单调性的方法（数学运算）；④学生经历由函数图象的直观，自然语言的描述到数学语言刻画的函数研究的过程，体会函数性质研究的基本思想方法，积累函数性质研究的基本活动经验（发展学生“四基”）．感悟上述的教学目标的叙述与一般的三维目标的叙述有所不同，每条教学目标都是站在学生的立场，突出教师为主导，学生为主体的教学思想，阐明了学生应该通过怎样的教学活动，通过怎样的行为学习知识，每条都明确指向数学核心素养．（3）学情分析，确立难点对于高一学生，刚进入高中还没有完全适应高中数学的学习方法．学生学习的困难在于，不能由“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言到“由（区间上）任意的12x x<有12()()f x f x<”（单调递增）数学符号语言的转换，不明白为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的12x x<刻画．因此，本节课的教学重点和难点确定为：教学重点通过一系列具体问题的研究感悟从图象直观过渡到自然语言再翻译成数学语言的函数性质研究的过程，体会数学概念的形成过程（观察、归纳、抽象、概括、证明等），会用定义证明具体函数的单调性．教学难点逐步由“随着x的增大，y也增大”（单调递增）这一自然语言转换成“由（区间上）任意的12x x<有12()()f x f x<”（单调递增）数学符号语言．感悟教学的重难点应该聚焦数学核心素养确立，学生通过单调性的学习，有利于熟悉高中数学的学习特点和方法，理解数学思想和数学方法，养成局部与整体相结合的数学思维习惯，提升学生的直观感知、数学抽象、逻辑推理、数学运算等能力，最终达到培养学生相应数学核心素养的目的．2 围绕素养，设计过程高中数学教学设计应该数学核心素养的培育贯穿课堂教学活动的全过程，突出师为主导生为主体的教学理念，通过创设有利于学生数学核心素养提升的教学情境，在教师的引导下，师生共同探索数学概念的形成过程，体会数学概念的本质，体悟高中数学学习的思想方法，从而建构起属于自己的数学认知结构，同时在此过程中培养数学核心素养．（1）图象直观，引入情境问题1如图1表示的是某地24小时温度变化的情况．你能说说温度变化特点吗？预设在夜里的0点到2点，温度越来越低，夜里2点到白天的下午2点，温度不断升高，下午2点到夜里又不断下降．问题2从函数的表示我们发现，一天中的温度可以表示成关于时间的函数，你能从函数值与自变量之间的关系来说说上述的这种变化特点吗？引出“函数值随着自变量的值增大而增大”这一话题．设计意图让学生学会观察、分析、思考．图1 图2（2）探索研究，建构概念问题3 如图2，列表描点，画函数2()f x x=的图象．设计意图列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律．问题4利用画出的图象，描述函数值增减变化特征．预设从函数图象及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在y轴左侧“下降”，即区间(0]−∞，上，随着x的增大，相应的函数值y反而随着减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间(0)+∞，上，随着x的增大，相应的函数值y也随着增大．设计意图几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现．感悟以学生熟悉的二次函数为模型，通过学生自己描点作图，引导学生立足几何直观感知函数图象的升降特点，完成对函数单调性的图象直观认识，提升学生的直观想象的素养．问题5当自变量x从小到大变化时，函数值y是如何变化的？设计意图对前一个问题的再一次概括，用自然语言描述．而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减小．学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征．感悟函数单调性，从形的角度看就是研究图象走势的变化规律，是上升还是下降；从数的角度看，反映的是当自变量变化时，函数值的变化情况．通过问题引导学生从直观的图象语言过渡到用自变量与函数值之间关系的自然语言的描述，进一步提升对概念的认识，培养学生的思维与表达的能力．（3）层层递进，尝试转化师：我们从形和数两个维度说明二次函数在不同区间上函数值随自变量的变化规律，可以归纳得到二次函数在区间(0)+∞，上单调递增，(0)+∞，叫做函数2y x=的单调递增区间；在区间(0)−∞，上单调递减，(0)−∞，叫做函数2y x=的单调递减区间．那么如何用数学符号精确地表述函数的这样性质呢？我们再看以下几个问题．问题6比较下列各数的大小：2222234(4.3)，，，，22(5.1)(6.2)，．这不难得到222222234(4.3)(5.1)(6.2)<<<<<．师：你是具体代值计算得出结果的吗？预设通过图象的变化可知，当x在(0)+∞，从小到大取值时，函数值增大．师：显然当1234560x x x x x x<<<<<<时，有0<222222123456x x x x x x<<<<<，即123450y y y y y<<<<< 6y<．师：在(0)+∞，上这样的自变量取值有限吗？可以取出多少这样的值进行比较？预设学生对这里的取值的表述可能会是无限，无数多等，直接表示到随便或任意取还是有一定的困难．问题7那么对于一般函数()f x，在(0)+∞，上的无数个自变量的值123x x x，，，时，当120x x<<<3x<时，有1230y y y <<<< ，能否说函数()f x 在(0， )+∞上递增呢？请画图说明．教师通过几何画板演示，让学生感受不能用无数个自变量代替所有自变量．设计意图 引导学生通过取值验证，由定性观察过渡到定量分析，由具体的数字特征逐步过渡到抽象的符号表述，初步经历函数性质研究的特殊到一般，有限到无限的过程，提升逻辑推理素养．感悟 函数单调性概念的生成，从自然语言过渡到符号语言是教学的难点，也是学生第一次接触用数学符号精确刻画函数性质，要让学生体会函数单调性符号表述的自变量取法，这样的验证、猜想、归纳的过程是学生体会数学抽象表述必要过程，是提升学生数学核心素养的必由之路．教师再用几何画板对二次函数2y x =在y 轴右侧，拖动图象上的点，再一次让学生体会随着自变量的增大函数值增大这一性质是不变的．问题8 要体现在y 轴右侧，随着自变量的增大函数值增大这一不变的性质，如何取值才具有一般的代表性？预设 根据学生的交流，进行归纳，在位于y 轴右边函数2y x =的图像上随便（任意）取两点，横坐标分别是12x x ，，即当120x x <<时，都有12y y <． 设计意图 在难点突破过程中，从自然语言抽象成数学符号表述，以相对口语化的“随便”，替代精确刻画的“任意”学生可能更容易接受．（4）精确刻画，突破难点师：“随便”取两个自变量的值总觉得太口语化，数学概念的刻画要求精确严谨，这里体现了在(0+， )∞任意取两个自变量12x x <时，都有函数值12y y <．我们一起再来对二次函数2y x =的单调性进行符号语言的表述：函数2()f x x =，对于(0)x ∈+∞，上任意12x x <，都有12()()f x f x <，我们说函数()f x = 2x 在(0)+∞，上是增函数．对于(0)x ∈−∞，上的任意12x x <，都有12()()f x f x >，我们说函数2()f x x =在(0)x ∈+∞，上是减函数．设计意图 这里把“随便”换成“任意”并不突然，学生不难接受，有利于难点的突破，提升学生的数学抽象．结论 设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数． 感悟 函数单调性的概念是“动”、“静”结合的，直观上看要让自变量“动”起来，但本质上，在12x x <的前提下，判断12y y <的过程又是“静”的，不变的．在后续的函数奇偶性的学习中同样会出现，在第一次接触时要让学生充分感悟，是实现数学抽象的有力抓手，同时也是提升学生核心素养的有效途径．（5）应用概念，解决问题概念的应用有助于对概念的理解，有助于进一步把握概念的本质．通过一些具体的函数单调性的证明或者函数单调区间的划分可以进一步认识函数的单调性这个概念，笔者认为，教材安排的两个例题就是从这个指导思想出发的，因此对于教材的理解必须要深入，对教材例题的取舍必须要慎重．例1 如图3是定义在区间[55]−，上的函数y = ()f x ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？预设 函数()y f x =的单调区间有[52)−−，，[2−， 1)，[13)，，[35)，其中()y f x =在区间[52)−−，，[13)，上是减函数，在区间[21)−，，[35)，是增函数． 设计意图 根据图象直观及函数的单调性概念对例题的解决，加深概念的理解．感悟 通过图象感知，自然语言表述，符号语言表述提出了函数单调性的严格定义，明确了用数学语言证明函数单调性的方法，因此图象语言与自然语言是表示函数性质常用方法，需要融合成整体进行考虑，为后续的学习作好铺垫．例2 物理学中的波意尔定律kp V=（k 是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V 减小，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．预设 从压强p 表示成体积V 的函数，要表示“体积V 减小，压强p 将增大”，即为自变量V 减小，函数值p 增大，根据函数单调性的定义，只要证明函数kp V =（k 是正常数）是减函数．设12V V ，是定义域(0)+∞，上的任意两个实数，且12V V <，则21121212()().V V k kp V p V k V V V V −−=−=由12(0)V V ∈+∞，，，得120V V >； 由12V V <得210V V −>． 又0k >，于是12()()0p V p V −>，即12()()p V p V >． 所以函数kp V=，(0)V ∈+∞，是减函数．也就是说当体积V 减小时，压强p 将增大． 设计意图 通过对具体情境的物理问题，使学生能够应用数学概念解决相关问题，培养学生能力．感悟 教师应把重心放在思路的分析上，使学生通过对概念的应用，培养学生转化化归的能力．同时，让学生进行具体的证明，使学生的逻辑推理，数学运算，数据处理的核心素养得到提升．（6）课堂小结，感悟提升问题9 请你用图象语言，自然语言及符号语言描述函数()y f x =在区间()a b ，上单调递减的函数的特征．设计意图 回顾探究函数单调性经历的过程，从图象语言、自然语言和符号语言进一步理解函数的单调性的概念，培养学生数学表达的能力．问题10 结合例2的证明，请你概括一下用单调性的定义证明具体函数的单调性的方法（步骤）．设计意图 结合学生证明的亲身经历，归纳出函数单调性证明的4个步骤：任意取值、作差变形、定号判断、给出结论，使学生对数学概念的应用进一步提升到可操作的层面，提升归纳概括的能力．感悟 函数单调性概念的生成过程中，图形语言、自然语言和符号语言之间的转化至关重要，这是一个难度逐步加大的过程，也是单调性概念深化的过程．通过课堂小结，使学生对函数性质的学习方法进一步巩固，为后续函数性质的研究奠定基础．3 教学反思，自我提升在概念教学过程中，概念的生成是一个抽象艰难的过程，通过结构、分析、归纳、概括、推理、抽象等过程，在这一过程中蕴含有大量的数学思维，涉及众多的数学思想和方法．以函数的单调性的教学设计为例，平时的教学设计中做好以下几个方面的钻研．（1）创设情境，合理引入在数学概念教学中，运用情境引入教学，能够让学生有一个数学学习的充分准备，教师必须要精心设计教学情境，尽可能让学生从熟悉的，贴近生活的实例入手，这样有助于学生发现问题，引起认知上的冲突．通过情境引入，让学生自己发现并提出学习的课题有时需要通过教师的引导，使学生感受到问题提出比较自然．（2）环节合理，渐进概括合理的教学环节是学生高效学习的前提，教师要深入研究教学环节的安排，使概念的形成层层递进，符合学生的数学思维发展．本例中，通过形与数两个维度使图象变化趋势的感性认识转化为数学化的理性认识，但自然语言的描述仍然属于定性描述，再通过对二次函数在(0)+∞，上函数值的比较及配合几何画板的演示，使学生对任意取值有了体会和认识，这时学生通过“随便”取来进行表述，单调性概念已经呼之欲出，这样渐进式的概括使学生能充分参与到概念的生成过程之中，过程自然流畅，对学生数学思维的培育及数学表达有极大的提升．（3）问题引领，抽象自然在概念教学中，教师要在课堂教学中精心设置问题链，使学生在教师的问题引领下独立思考和探索，在教师同学的共同交流反思下获取概念．本课例中，所设置的问题从实际问题化为数学问题，由图象直观问题转化为数学精确问题，通过问题的不断推进使学生对概念中的“任意”有了自己的认识，也逐步实现了由图象语言到自然语言到符号语言的不断深入转化，不断把学生的形象思维推向理性思维，使学生从具体到抽象的过程显得更加自然．（4）主动学习，实践巩固在概念教学过程中，对概念的抽象必须忌快倡慢，以学生的理解为准则，对概念的应用忌听倡做，以学生的动手实践为主．教师在课堂上引导学生进行积极的探究．在本例中笔者始终坚持通过学生的主动探究得到概念，以教学活动促使学生对函数单调性的概念理解的更加透彻．在概念应用巩固环节，教师也要舍得花时间，因为不是通过教师的课堂反复强调就能起作用的．数学概念教学是高中数学教学中最本源最重要的，同时对学生的核心素养的培养伴随着概念教学的始终．作为一线教师，要以学生的发展为本，围绕提升学生数学核心素养进行教学设计．参考文献[1]孙宏安．数学素养概念的精确化[J]．中学数学教学参考，2016（25）：2-5[2]黎栋材，龙正武，王尚志．站在系统的高度整体把握函数的单调性教学[J]．数学通报，2015（12）：7-11，15[3]杨志文．聚焦数学核心素养的教学活动设计[J]．中学数学月刊，2016（08）：43-45纠正 突破 变式——谈数学解题的再创造过程张绍英 福建省宁德市第一中学（352100）荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，学生学习数学是一个有指导的再创造过程，他反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是让学生本人把要学的知识自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造，而不是把现成的知识灌输给学生．“问题是数学的心脏”，学习数学的核心是解题．在新课程背景下，教师的解题教学有很大的进步，逐渐从把解题方法直接灌输给学生向通过数学方法论引导学生去发现与创造解题方法转变，但是对解题错误的纠正、对解题思维障碍的突破、对问题的变式，学生的“再创造”过程略显单薄，本文根据笔者的解题教学实践，立足于纠正、突破、变式三个角度，谈谈教师在解题教学过程中如何引导学生进行“再创造”． 1 纠正造成学生解题错误的原因很多，常见的有知识性错误、策略性错误、心理性错误．英国心理学家贝恩布里说过：“差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用那是不能原谅的”．面对学生在解题中出现的错误，许多教师喜欢采用“告知”的方法，一是针对学生解题出现的错误，进行集中评讲，告知学生错因和注意事项，要求学生不要再犯类似的错误，成为“亡羊补牢”；二是针对学生容易出错的问题，提前暗示，事先指出，叫做“防患于未然”，但纠正的效果都不理想．“错误不是无情物，化作春泥更护花”，面对学生的错误，教师要做的应该是充分应用学生的错误这个平台，引导学生认识错误产生的根源，给学生提供一个纠正的再创造过程．案例1 已知π(π)2α∈，，1sin cos 2αα+=，求cos 2 ． 学生解法：将已知式两边平方得2sin cos αα= 34−，所以3sin 24α=−，cos 2α师：由π1sin cos )42ααα+=+=，得sin(α π2)42+=，因为π(π)2α∈，，所以π3π5π()444α+∈，，由三角函数的单调性可知，α角是唯一确定的，则2α角也是唯一确定的，那为什么会有两个值呢？（教师的启发引起学生积极思考，似乎意识到解法有误．）生：老师，我们知道了，错误在于没有分析2α的范围，由于sin cos 0αα+>，sin cos 0αα<，所以π3π24α<<，3ππ22α<<，所以cos 2α=． 师：所以今后你们在解这一类问题时一定要关注到角的实际范围，不要被表面现象吸引．案例2 从5双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法的种数是多少？学生解法：先从5双手套中任取一双，有15C 种取法；再从剩下的8只手套中任取1只，有8种取法；由于被取过一只的这双手套的另一只不能取，故再从余下的6只手套中任取1只，有6种取法，由分步计数原理，得共有15C 86240××=种． 师：假设剩下的8只手套分别是111A A B B C C ，，，，，，1D D ，，先取到A 再取B ，但也有可能先取B 再取A ，结果一样吗？生：（若有所思）一样的，240种取法中有重复．生：将240除以2得120种．师：你认为什么时候会遇到重复的情况呢？。
高中数学《函数的单调性》说课稿范文
高中数学《函数的单调性》说课稿范文一、说课目的和要求本节课主要讲解高中数学中的函数的单调性，通过引入函数的递增和递减概念，帮助学生理解函数在某个区间上的变化趋势。
通过本节课的学习，学生应能正确分析函数的单调性，并能运用所学知识解决相关问题。
二、教学内容分析本节课主要围绕以下内容展开： 1. 函数的增减区间的定义； 2. 函数的递增和递减定义； 3. 函数单调性的判定方法； 4. 函数单调性与导数之间的关系。
三、教学过程设计1. 导入与引入（5分钟）通过提问或举例，引导学生思考函数的变化趋势，并引导学生思考如何描述函数的单调性。
2. 展示函数的增减区间概念（10分钟）通过给出一个具体函数的图像，引导学生理解函数在不同区间上的变化趋势并讨论函数的增减区间。
3. 函数的递增和递减定义与性质（15分钟）引导学生通过观察函数的图像体验函数的递增和递减特性，并展示函数递增和递减的定义，强调函数递增和递减的性质。
4. 函数单调性的判定方法（20分钟）介绍函数单调性的判定方法，包括求导数及利用导数判定函数单调性的原理。
通过讲解和示例演练，引导学生掌握单调性的判定方法。
5. 函数单调性与导数之间的关系（15分钟）引导学生思考导数与函数单调性之间的关系，并说明导数在函数单调性判定中的作用。
通过示例演练，帮助学生理解该关系。
6. 拓展与延伸（10分钟）通过举一些实际问题引导学生运用所学知识解答相关问题，拓展学生对函数单调性的应用能力。
7. 小结与展望（5分钟）总结本节课的主要内容，并展望下一节课将学习的内容。
四、课堂互动设计1.引导学生通过讨论、思考等方式积极参与互动，加深对函数单调性的理解。
2.在讲解函数递增和递减定义时，可以让学生用自己的语言描述相关概念，增加学生对函数性质的感性认识。
3.在判定函数单调性的方法中，可以让学生分组讨论并向全班展示自己的解题思路，促进合作学习。
五、板书设计函数的递增和递减定义：如果对于任意x1和x2（x1 < x2），有f(x1) <= f(x2)，则称函数f在区间[a, b]上递增；如果对于任意x1和x2（x1 < x2），有f(x1) >= f(x2)，则称函数f在区间[a, b]上递减。
高中数学说课稿：《函数的单调性》
高中数学说课稿：《函数的单调性》敬爱的各位领导、同事们，亲爱的同学们：大家好！我是数学老师张老师，今天我将给大家讲解高中数学中的一个重要概念——函数的单调性。
希望通过本节课的学习，大家能够理解函数的单调性，掌握相关的解题方法和技巧。
首先，我们来回顾一下函数的定义。
函数是将一个集合的元素对应到另一个集合的元素的规则。
通常我们用字母 f、g 等来表示函数，用 x、y 等来表示自变量和因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，值域是指所有可能的因变量的集合。
那么什么是函数的单调性呢？简单来说，如果一个函数在定义域上递增或递减，我们就称这个函数是递增或递减的，也可以称为单调递增或单调递减函数。
具体来说，对于递增函数，当自变量增大时，函数值也会增大；对于递减函数，当自变量增大时，函数值会减小。
接下来，我们来看一些例子。
请大家看图1，这是一个函数图像。
我们可以观察到，当 x 从 a 增加到 b 时，函数的值也从 f(a) 增加到 f(b)，这说明这个函数是递增的。
类似地，如果函数图像在定义域上是递减的，我们称之为递减函数。
图1：函数图像（递增函数）接下来，我将详细讲解如何判断一个函数在给定的区间上的单调性。
首先，我们需要求出函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的变化趋势。
对于一个已知函数 f(x)，我们求其导数 f'(x)。
如果 f'(x) 大于零，则 f(x) 在该区间内是递增的；如果 f'(x) 小于零，则 f(x) 在该区间内是递减的。
例如，对于函数 f(x) = x^2，我们可以求导得到 f'(x) = 2x。
当 x 大于零时，f'(x) 大于零，说明函数在该区间内是递增的。
当 x 小于零时，f'(x) 小于零，说明函数在该区间内是递减的。
除了求导数外，我们还可以通过构造表格的方式来判断一个函数的单调性。
我们选择几个在定义域内的值，代入函数并计算。
微视角探求数学概念教学“六步法”——以《函数的单调性》概念教学为例
微视角探求数学概念教学“六步法”——以《函数的单调性》概念教学为例摘要：数学概念是数学知识的基础和核心，也是数学知识体系中的重要组成部分。
数学概念教学要抓过程、要把握核心、要形成基本思路。
只有这样才能真正做到能从了解、理解、掌握、运用。
本文通过一节课的教学实践，将概念教学的环节进行阐述，并以朴素简练语言谈谈提高数学概念教学的课堂效率。
关键词：核心概念；有效教学；新理念了解概念、理解概念、掌握概念和灵活运用概念是教学的核心。
然而，在日常教学过程中，许多教师往往忽视概念教学的重要性，一味地强调解题方法和解题技巧，结果学生只会模仿例题去解题，一旦遇到新题目就束手无策，导致学生陷入无底的题海之中。
由此可见，在新课程理念下，教师必须要更新教学理念，重视数学概念的教学，从而切实提高课堂教学的效率，所以对有效实施高中数学概念教学的研究是十分必要的。
函数的概念、函数的单调性概念、函数导数的概念都是高中函数中比较难以理解，又是十分重要概念，它们是高中数学知识的重要组成部分。
概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。
以《函数的单调性》第一课时为例，结合教学设计，形成概念教学导图：笔者通过概念的“六联步”：引入概念、感知概念、形成概念、深化概念、运用概念及延伸概念入手，努力探寻有效的数学概念教学的方法，下面谈谈自己对概念教学的一些想法。
一、创设情境，引入概念概念的引入是概念教学的第一步，它是形成概念的基础。
在概念教学过程中，教师可以通过引入与概念有明显联系、直观性强的例子，让学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，为引出函数单调性的概念打好基础。
例如：在上《函数的单调性》这一课时，就是利用实际问题来引入，展示某地一天内的气温变化图，引导学生观察气温变化的特点，获得“从左到右看，图象的某些部分有上升、下降”的整体认识，引出本节课要学习的内容。
[设计意图]从生活中常见的函数关系入手，寻找与实际生活有着密切联系的实例，不仅有利于学生了解函数单调性概念产生的实际背景，同时又能激发学生学习数学的兴趣，同时更加明确了这节课的教学目标。
函数的单调性教学案例分析.doc
函数的单调性教学案例分析一、内容介绍1.教材内容分析“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书•数学必修-》第一章第三节的内容，本节课的实质是对函数运动趋势的研究，函数的单调性既是函数的基木特征之一，这一知识也为基木初等函数的研究提供了方法。
对于函数单调性的研究过程，我们需要经历从观察具体图像入手，然后进行定量分析，最后抽象出形式化的定义，这个过程中体现了数学中数形结合和归纳转化的重要数学思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维方式，这有助于培养学生根据图认识数学问题、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法有重大意义。
2.学生分析本节课是在学生初中己有粗略的认识的基础上进行，即主要根据观察图像得出结论。
本节课中对于函数单调性的定义，是应用数学符号将自然语言的描述提升到了形式化的定义，学生接受起来可能相对有些困难。
在得出函数单调性的定义的过程中，始终要结合具体函数的图像进行，这样可以增强直观性，由具体到抽象，再由抽象到具体, 方便学生的理解。
在定义中要注意对自变量取值的任意性的理解，留给学生更多的思考空间。
二、教学目标1.知识与技能理解函数的单调性的定义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。
2.过程与方法掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，掌握利用函数的图像去判断函数单调性，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。
3 •情感态度与价值观通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。
三、教学重难点1.教学重点形成增函数和减函数的形式化定义。
2.教学难点：在概念形成的过程中，从图像的变化趋势的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表示；用定义证明函数的单调性。
四、教学基本流程1.创设情境，引入概念通过具体有实际意义函数问题，抽象出函数图像，提问：图像有什么特点？师生互动：教师引导学生观察图像的升降变化，说出自己的看法。
设计意图：通过学生的直观认识引入新课，让学生对函数的单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成, 也揭示了单调性最本质的东西。
《函数单调性的定义》微课设计说明
《函数单调性的定义》微课设计说明学习对象学习目标函数单调性的定义旅游服务专业一年级学生理解函数单调性的定义微课设计思路整体思路：微课以函数的单调性为主题引入设计：以某市7月份某一天内的天气变化情况引入课题，利用生活中的实际案例，让学生感知数学与生活息息相关，培养学生观察和分析数据能力。
内容设计：借助信息化手段探究增函数定义，采取问题探究的教学方法，实现教学过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力。
微课内容大纲点1：用数学符号语言表述函数的单调性，突出重点。
点2：用几何画板的动态演示证明任取两个值，当x1x2时，有f(x1)f(x2)成立，突破难点。
微课结构说明录制方式：用电脑，播放PPT，录屏课题页：课程名称，主讲人姓名，教材版本内容结构页：课程引入，主要内容，课程小结微课反思初次使用录屏，操作不熟练，呈现效果不加，今后需多学习信息化手段，提高教学能力。
我说课的内容是《函数的单调性》，选自数学基础模块上册第三章函数，第二小节《函数的性质》，函数的单调性是函数的重要性质。
根据中等职业学校数学课程标准，理解函数单调性的定义是本节课的主要教学目标，我借助信息化手段探究增函数定义，采取问题探究的教学方法，实现教学过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力。
我以某市7月份某一天内的天气变化情况引入课题，观察天气变化图像，请学生回答，得出天气的变化趋势。
利用生活中的实际案例，让学生感知数学与生活息息相关，培养学生观察和分析数据能力。
函数图像的“上升”“下降”反映了函数的单调性，如何用数学符号语言来描述这一性质呢？揭示本课重点，提出问题一，引导学生比较在区间（7,14）内自变量X对应函数值的大小。
在这个区间内，显然所有的点都满足这个关系，怎么来证明呢？我们在区间内任取两个数来代替区间内所有值的比对情况，可以得出当x1x2时，有f(x1)f(x2)成立，通过几何画板的动态演示可以证明，那我们就说这个函数在指定区间内是增函数，从而得出增函数的定义，突破教学难点。
《函数的单调性》微课设计
《函数的单调性》微课设计《《函数的单调性》微课设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念及判断.【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义.【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.问题：观察图形，能得到什么信息?预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到;(2)在某时刻的温度;(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗?预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣.二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1.借助图象，直观感知问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律?预案：(1)函数在整个定义域内y随x的增大而增大;函数在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小.(3)函数在上y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小.引导学生进行分类描述(增函数、减函数).同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数;如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数.教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识.〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识.2.探究规律，理性认识问题1：如何从解析式的角度说明在为增函数?预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数.(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数.(3)任取,因为,即，所以在为增函数.〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3.抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.(1)板书定义(2)巩固概念强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数.思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展例下图是定义在区间[-4,5]上的函数y=f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数?归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.1.小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等。
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微视角探求数学概念教学“六步法”——以《函数的单调性》概念教学为例
发表时间：2018-10-30T10:53:33.717Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2018年7月上作者：陈宣新[导读] 本文通过一节课的教学实践，将概念教学的环节进行阐述，并以朴素简练语言谈谈提高数学概念教学的课堂效率。
摘要：数学概念是数学知识的基础和核心，也是数学知识体系中的重要组成部分。
数学概念教学要抓过程、要把握核心、要形成基本思路。
只有这样才能真正做到能从了解、理解、掌握、运用。
本文通过一节课的教学实践，将概念教学的环节进行阐述，并以朴素简练语言谈谈提高数学概念教学的课堂效率。
关键词：核心概念；有效教学；新理念了解概念、理解概念、掌握概念和灵活运用概念是教学的核心。
然而，在日常教学过程中，许多教师往往忽视概念教学的重要性，一味地强调解题方法和解题技巧，结果学生只会模仿例题去解题，一旦遇到新题目就束手无策，导致学生陷入无底的题海之中。
由此可见，在新课程理念下，教师必须要更新教学理念，重视数学概念的教学，从而切实提高课堂教学的效率，所以对有效实施高中数学概念教学的研究是十分必要的。
函数的概念、函数的单调性概念、函数导数的概念都是高中函数中比较难以理解，又是十分重要概念，它们是高中数学知识的重要组成部分。
概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。
以《函数的单调性》第一课时为例，结合教学设计，形成概念教学导图：
笔者通过概念的“六联步”：引入概念、感知概念、形成概念、深化概念、运用概念及延伸概念入手，努力探寻有效的数学概念教学的方法，下面谈谈自己对概念教学的一些想法。
一、创设情境，引入概念
概念的引入是概念教学的第一步，它是形成概念的基础。
在概念教学过程中，教师可以通过引入与概念有明显联系、直观性强的例子，让学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，为引出函数单调性的概念打好基础。
例如：在上《函数的单调性》这一课时，就是利用实际问题来引入，展示某地一天内的气温变化图，引导学生观察气温变化的特点，获得“从左到右看，图象的某些部分有上升、下降”的整体认识，引出本节课要学习的内容。
[设计意图]从生活中常见的函数关系入手，寻找与实际生活有着密切联系的实例，不仅有利于学生了解函数单调性概念产生的实际背景，同时又能激发学生学习数学的兴趣，同时更加明确了这节课的教学目标。
二、借助图像，感知概念
数学概念的抽象性决定了学生获得正确概念必须是复杂的思维过程。
学生普遍认为数学概念抽象，概念教学课堂枯燥，所以教师更不能把现成的概念简单地塞给学生，也不能只注重结论的记忆而忽视了对概念的理解。
不妨教师试着借助图像，使学生身临其境地把抽象问题创设成具体、直观、形象的感知情境，从而调动学生主动学习的积极性。
点，再让学生进行分析、比较，描述函数图像的变化规律，得出的结论是：不同的函数其图像的变化趋势不同；同一函数在不同区间上的变化趋势也不同。
接着，任意地取轴上的一点，用它的运动带动函数图像上以为横坐标的点的运动，度量出点的坐标，引导学生观察其规律。
这样的设计可以使学生很容易获得“自变量增大时函数值也增大(减小)这一变化规律”，然后用普通语言归纳出增函数(减函数)的概念，从而揭示函数单调性的本质。
[设计意图]从图像的角度直观认识函数单调性，完成单调函数从图形语言表述到用自然语言表述的过渡，从而培养学生的观察、分析、表述的能力。
三、归纳探索，形成概念
概念的形成是数学概念教学的重点环节，是学生能否正确理解概念，应用概念的前提条件。
在形成概念的教学过程中，教师要根据知识的内在联系和学生的认知水平，在学生丰富了感性认识后，再把所学概念准确、精炼、及时地概括出来，使其条理化，便于学生记忆。
[设计意图]这样的设计把抽象的数学概念转化成图像上具体点的运动变化规律，由抽象到具体，由特殊到一般，从直观认识过渡到数学符号语言表述，让学生认识到概念的严谨性，规范性，从而突破了教学难点。
四、深化概念，理解内涵
概念的形成是由个别到一般的抽象过程，而概念的深化是巩固和理解概念的过程。
数学概念一般是以准确而精练的数学语言给出的，教师可以从概念文字上仔细领会，从限制条件中加深理解，从而达到深化概念的目的。
这样做不仅能提高学生的认知水平，加深学生对数学概念的记忆，同时在理解概念的过程中有利于培养学生思维的灵活性，也有利于培养学生的理解能力。
例如：在上《函数的单调性》这节课的过程中，在明确了增函数和减函数的概念后，还要特别强调概念的内涵，即函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。
例如：判断函数在定义域内的单调性。
在解题的过程中，有很多学生把函数的单调区间写成的形式，这种错误的写法显然表明学生没有真正理解函数单调性的内涵，这时我就及时指出这种错误，并再次强调函数单调性的内涵。
[设计意图]这样的设计一方面可以加深学生对概念内涵的理解，另一方面有利于培养学生灵活的思维能力，同时对今后学生认识单调区间会有较好的启发意义。
五、灵活应用，巩固概念
数学概念主要是在应用中得到巩固的。
通过概念的应用，除了能加深学生对
概念的理解，促进概念的巩固外，还有利于启迪学生的思维，培养学生的数学能力。
同时，通过概念应用，可以检验学生理解和掌握概念的情况，以便及时弥补。
[设计意图]通过例2是让学生知道函数单调性的定义就是判断函数单调性的方法，从而引导学生透过一般步骤加深对函数单调性概念的本质理解。
六、总结回顾，形成认知
这堂课的教学过程设计成在教师的指导下让学生逐步探索研究的过程，在探索过程中，让学生通过观察、归纳及抽象概括概念，使学生体会到从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂的研究方法，同时也使学生学会图形语言、普通语言以及抽象符号语言之间的相互转换，并渗透数形结合、分类讨论等数学思想。
当然，我们对一个新概念的学习，不仅仅是一节概念课就能完成的，对概念的理解和掌握是一个循序渐进的过程，还需要在概念课后不断地反复应用，不断地加深理解。
数学概念往往不是孤立的，学习了一个新概念后，要把它与相关的概念建立联系，明确它们之间的关系。
这样做既能促进学生利用已学过的概念解决问题，又能揭示已学过的概念的数学本质，促使学生做到举一反三、触类旁通。
参考文献：
[1]郭思乐.数学思维教育论[M].上海：上海教育出版社，1997
[2]余致甫.数学教育学概论[M].上海：华东化工学院出版社，1990.
[3]章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].北京：北京师范大学出版社,数学通报，2010(1).
(作者单位：浙江省龙游县第二高级中学 324400)。