高考专题福建省厦门市高三5月适应性考试数学(文)试题(解析版)

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福建省厦门市高三(5月)适应性考试语文试卷(Word版,含答案)

福建省厦门市高中毕业班（5月）适应性考试语文本试卷分五大题共10页。

满分150分，考试时间150分钟。

注意事项：1.考生请将自己的姓名、准考证号及所有答案写在答题卡上。

2.答题要求，请见答题卡上的“注意事项”。

一、古代诗文阅读（27分）（一）默写常见的名句名篇(6分)1.补写出下列名句名篇中的空缺部分。

(6分)(1) 淇水汤汤，________________________。

(《诗经·氓》)(2) _________________________，洪波涌起。

(曹操《观沧海》)(3) 小学而大遗，________________________。

(韩愈《师说》)(4) 辘辘远听，________________________。

(杜牧《阿房宫斌》)(5) _________________________，谈笑间，樯橹灰飞烟灭。

(苏轼《念奴娇·赤壁怀古》)(6) 余则缊袍敝衣处其间，________________________。

(宋濂《送东阳马生序》)(二)文言文阅读(15分)阅读下面的文言文，完成2一5题。

悯獐【清】侯方域客有过侯子以獐献者。

侯子曰：“獐可驯乎？” 客曰：“夫至德之世，兽可同群而游，今子无乃有所不信耶，而何獐之疑欤？”侯子曰：“然。

” 营室而授獐焉。

王仲凫闻之，曰：“子之不善于獐也审矣，曷以授余？” 侯子曰：“子之庭有二物焉，其大者类西旅氏之獒①，而小而骏者韩子卢之裔②也，是皆有欲于獐，奈何？” 仲凫笑曰：“子非特不善于獐也，又且不知吾二犬。

吾将导獐而见之二氏，侵假③而共牢以为食，侵假而共寝以为处，侵假而相与为友，而日以益善，予因而安之，岂更害哉？” 侯子曰：“虽然，子曷使童子守之，而犹授獐以索？”仲凫默然不应。

居三日，仲凫以告曰：“吾废吾童子矣。

视二氏之貌，且翦翦④焉适矣。

” 又居三日，仲凫以告曰：“吾废吾索矣。

视二犬之情，且煦煦⑤然亲矣；虽然，獐犹有间焉。

2020届福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (解析版)

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．若复数z1，z2在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，﹣1），则z1•z2＝（）A．2+i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣i2．已知集合A＝{x|x2＞0}，B＝{y|y＞1}，则A∪B＝（）A．R B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）3．某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误的是（）A．8月份的利润最低B．7至9月份的平均收入为50万元C．2至5月份的利润连续下降D．1至2月份支出的变化量与10至11月份支出的变化量相同4．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A ．输出1+3+5+…+2019的值B ．输出1+3+5+…+2021的值C ．输出1+2+3+…+2019的值D ．输出1+2+3+…+2020的值5．射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.1166．在△ABC 中，点D 满足BD →=12CD →，则AD →=（）A ．2AB →−AC →B ．−AB →+2AC →C ．12AB →+12AC →D ．23AB →+13AC →7．已知函数y ＝sin ax +b （a ＞0）的图象如图所示，则函数y ＝a x +b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．双曲线C ：x 2−y 23=1的右焦点为F ，点P 在第一象限的渐近线上，O 为坐标原点，且|OP |＝|OF |，则△OPF 外接圆的面积是（） A ．πB ．4π3C ．2πD ．163π9．已知a ＞0，b ＞0，则“a +b ≥4”是“ab ≥4”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数f （x ）＝2sin 2ωx +sin2ωx ﹣1的图象向左平移π4个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是（） A ．1B ．2C ．4D ．611．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED ⊥AC 于D ．把△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE 的位置，连结A 1C ．翻折过程中，有下列三个结论： ①DE ⊥A 1C ；②存在某个位置，使A 1E ⊥BE ； ③若CF →=2FA 1→，则BF 的长是定值．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．若函数f（x）={ln(x+1)−ax−2，x＞0x+1x+a，x＜0的最大值为f（﹣1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣﹣∞，e]B．(0，1e]C．[1e，+∞)D．[e，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y＝3x的图象在x＝0处的切线方程为．14．过点(1，√3)的直线l被圆x2+y2＝8截得的弦长为4，则l的方程为．15．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B+2b cos A＝0，则tanAtanB=，tan C的最大值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n}的公差为﹣1，数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，b n+1＝2b n+a n．（1）证明：数列{b n﹣n}是等比数列；（2）记数列{b n}的前n项和为S n，求使得S n＞2020的最小正整数n的值．18．为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频率分布直方图．若零件尺寸落在区间（x−2s，x+2s）内，则认为该零件合格，否则认为不合格．其中x，s分别表示样本的平均值和标准差，计算得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）已知一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否合格；（2）利用分层抽样的方法从尺寸在[30，60）的样本中抽取6个零件，再从这6个零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm的概率．19．如图，在五面体ABCDEF中，AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，AB＝CD＝2．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD＝AE＝2，且二面角E﹣DC﹣A的大小为60°，求四棱锥F﹣ABCD的体积．20．设O为坐标原点，动点M在圆C：x2+y2＝4上，过M作x轴的垂线，垂足为D，点E满足ED→=√32MD →．（I）求点E的轨迹Γ的方程；（2）直线x＝4上的点P满足OM⊥MP．过点M作直线l垂直于线段OP交C于点N．（i）证明：l恒过定点；（ⅱ）设线段OP交Γ于点Q，求四边形OMQN的面积．21．已知函数f(x)=lnx−1+ax(a∈R)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当n∈N*时，证明：ln2(1+1)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)＞n2n+4．（二）考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=k(x−√3)，直线l2的参数方程为{x=−√3+ty=−1k t（t为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）求C的普通方程；（2）过Q（0，2）的直线l与C相交于A，B两点，求1|QA|+1|QB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x+32|−|x−3|．（1）解不等式f(x)≥1 2；（2）若1m +4n=2(m，n＞0)，求证：f（x）≤m+n．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z1，z2在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，﹣1），则z1•z2＝（）A．2+i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣i【分析】由已知求出复数z1＝2+i，z2＝﹣i，相乘即可．解：由已知：复数z1＝2+i，z2＝﹣i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣i）＝1﹣2i．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2＞0}，B＝{y|y＞1}，则A∪B＝（）A．R B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x2＞0}＝{x|x＞0或x＜0}，B＝{y|y＞1}，∴A∪B＝{x|x＞0或x＜0}＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）．故选：D．3．某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误的是（）A ．8月份的利润最低B ．7至9月份的平均收入为50万元C ．2至5月份的利润连续下降D ．1至2月份支出的变化量与10至11月份支出的变化量相同【分析】根据一年中各月份收入、支出的统计数据，逐个分析选项，即可判断出正误．解：对于选项A ：利润＝收入﹣支出，从折线图可知8月份利润为10万元，最低，故选项A 正确；对于选项B ：7至9月份的平均收入为40+50+603=50，故选项B 正确；对于选项C ：2月份的利润为20万元，3月份的利润为30万元，4月份的利润为20万元，5月份的利润为20万元，不是连续下降，故选项C 错误；对于选项D ：1至2月份支出的变化量为60﹣30＝30，10至11月份支出的变化率为50﹣20＝30，变化量相同，故选项D 正确，故选：C ．4．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出1+3+5+…+2019的值B．输出1+3+5+…+2021的值C．输出1+2+3+…+2019的值D．输出1+2+3+…+2020的值【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1执行循环体，S＝1，i＝3满足判断框内的条件i＜2020，执行循环体，S＝1+3，i＝5满足判断框内的条件i＜2020，执行循环体，S＝1+3+5，i＝7…以此类推，S＝1+3+5+…+2019，i＝2021此时，不满足判断框内的条件i＜2020，退出循环，输出S＝1+3+5+ (2019)故选：A．5．射线测厚技术原理公式为I=I0e−ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116【分析】由题意可得12=1×e ﹣7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．解：由题意可得，12=1×e ﹣7.6×0.8μ，∴﹣ln 2＝﹣7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114． ∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C ．6．在△ABC 中，点D 满足BD →=12CD →，则AD →=（）A ．2AB →−AC →B ．−AB →+2AC →C ．12AB →+12AC →D ．23AB →+13AC →【分析】根据题意，BD →=12CD →，B 、C 、D 三点共线，根据平面向量基本定理，可得AB →=12AD →+12AC →，所以AD →=2AB →−AC →．解：由题，BD →=12CD →，∴B 、C 、D 三点共线． ∴B 是CD 的中点，∴AB →=12AD →+12AC →，∴AD →=2AB →−AC →．故选：A．7．已知函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y＝a x+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可求得b=−12，a可取12，则y=a x+b=(12)x−12，观察选项即可得出答案．解：由函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象可知，b=−12，且sinaπ−12=12，则a可取12，则此时y=a x+b=(12)x−12，其图象相当于函数y=(12)x的图象向右平移12个单位，选项D符合．故选：D．8．双曲线C：x2−y23=1的右焦点为F，点P在第一象限的渐近线上，O为坐标原点，且|OP|＝|OF|，则△OPF外接圆的面积是（）A．πB．4π3C．2πD．163π【分析】利用已知条件求出PF，然后求解三角形的外接圆的半径，然后求解圆的面积．解：双曲线C：x2−y23=1的右焦点为F（2，0），点P在第一象限的渐近线上，O为坐标原点，且|OP|＝|OF|＝2，渐近线y=±√3x，∠POF=π3，所以|PF|＝2，三角形的外接圆的半径为R，2R=2sinπ3=4√33，所以R=2√33，则△OPF外接圆的面积是：π×(2√33)2=4π3．故选：B．9．已知a＞0，b＞0，则“a+b≥4”是“ab≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据a+b≥2√ab，及其已知条件即可判断出关系．解：∵a+b≥2√ab，∴若ab≥4，可得a+b≥4．反之不成立，例如：a＝1，b＝3，满足a+b≥4，但是ab＝3＜4．因此“a+b≥4”是“ab≥4”的必要不充分条件．故选：B．10．函数f（x）＝2sin2ωx+sin2ωx﹣1的图象向左平移π4个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是（）A．1B．2C．4D．6【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得正实数ω的最小值．解：因为f （x ）＝2sin 2ωx +sin2ωx ﹣1＝sin2ωx ﹣cos2ωx =√2sin （2ωx −π4）将其图象向左平移π4个单位长度后，可得y =√2sin[2ω（x +π4）−π4]=√2sin （2ωx −π4+2ωπ4）的图象．由于所得的图象与原图象有相同的对称轴，∴2ωπ4=k π，k ∈Z ，即ω＝2k ，则正实数ω的最小值为2，故选：B ．11．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED ⊥AC 于D ．把△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE 的位置，连结A 1C ．翻折过程中，有下列三个结论： ①DE ⊥A 1C ；②存在某个位置，使A 1E ⊥BE ； ③若CF →=2FA 1→，则BF 的长是定值．其中所有正确结论的编号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【分析】①因为ED ⊥AC ，所以ED ⊥CD ，ED ⊥A 1D ，由线面垂直的判定定理可知，ED ⊥平面A 1CD ，所以ED ⊥A 1C ；②设A1在平面BCD上的投影为点P，则点P落在线段AC上，若A1E⊥BE，由三垂线定理知，PE⊥BE，此时点P与点C重合，而A1在平面BCD上的投影点不可能与点C 重合；③在CD上取一点M，使得CM→=2MD→，连接BM，易得BM⊥AC，BM=2√3，A1D＝AD＝1，MF=23A1D=23，因为ED⊥AC，所以BM∥DE，结合①中的ED⊥平面A1CD，可得BM⊥平面A1CD，所以BM⊥MF，即△BMF为直角三角形，再在Rt△BMF中，由勾股定理，有BF=√BM2+MF2=√(2√3)2+(23)2=4√73．解：①∵ED⊥AC，∴ED⊥CD，ED⊥A1D，又CD∩A1D＝D，CD、A1D⊂平面A1CD，∴ED⊥平面A1CD，∵A1C⊂平面A1CD，∴ED⊥A1C，即①正确；②设A1在平面BCD上的投影为点P，则点P落在线段AC上，若A1E⊥BE，由三垂线定理知，PE⊥BE，此时点P与点C重合，而A1在平面BCD上的投影点不可能与点C重合，即②错误；③如图所示，在CD上取一点M，使得CM→=2MD→，连接BM，设MD＝x，则CM＝2x，∴AC＝CM+MD+AD＝3x+1＝4，∴x＝1，CM＝2，即M为AC 的中点，∴BM⊥AC，且BM=2√3，∵ED⊥AC，∴BM∥DE，由①可知，ED⊥平面A1CD，∴BM⊥平面A1CD，∵MF ⊂平面A 1CD ，∴BM ⊥MF ，即△BMF 为直角三角形，∵E 为边AB 的中点，且ED ⊥AC ，∴AE ＝2，A 1D ＝AD ＝AE •cos60°＝1， ∵CF →=2FA 1→，∴MF ∥A 1D ，且MF =23A 1D =23，在Rt △BMF 中，BF =√BM 2+MF 2=√(2√3)2+(23)2=4√73，为定值，即③正确．故选：B ．12．若函数f （x ）={ln(x +1)−ax −2，x ＞0x +1x+a ，x ＜0的最大值为f （﹣1），则实数a 的取值范围为（） A ．（﹣﹣∞，e ]B ．(0，1e]C ．[1e，+∞)D ．[e ，+∞）【分析】由基本不等式求得x ＜0时，f （x ）的值域，由题意可得x ＞0时，f （x ）的值域应该包含在x ＜0时的值域内，讨论a ＞1，a ＝1，0＜a ＜1时，x ＞0的值域，注意运用导数判断单调性和极值、最值．解：当x ＜0时，f （x ）＝x +1x+a ＝﹣（﹣x +1−x ）+a ≤﹣2√−x ⋅1−x+a ＝a ﹣2，当且仅当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值f （﹣1）＝a ﹣2，由题意可得x ＞0时，f （x ）＝ln （x +1）﹣ax ﹣2的值域包含于（﹣∞，a ﹣2]，因为f ′（x ）=1x+1−a ，当a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）递增，f （x ）＞﹣2，不成立；当0＜a ＜1时，x ＞1a −1时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（1a−1，+∞）递减，0＜x ＜1a−1时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，1a−1）递增，可得f （x ）在x =1a−1处取得极大值，且为最大值﹣lna +a ﹣3，则﹣lna +a ﹣3≤a ﹣2，解得1e≤a ＜1；若a ≥1，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，+∞）递减，可得f （x ）＜f （0）＝﹣2≤a ﹣2，即a ≥1成立．综上可得，a 的范围是[1e，+∞）．故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y ＝3x 的图象在x ＝0处的切线方程为 y ＝（ln 3）x +1 ．【分析】先对函数求导数，然后求出切点处的导数值，函数值．最后利用点斜式求出切线方程．解：由已知得y ′＝3x ln 3． ∴y ′|x ＝0＝ln 3，y |x ＝0＝1，故切线为：y ﹣1＝（ln 3）x ，即y ＝（ln 3）x +1．故答案为：y ＝（ln 3）x +1．14．过点(1，√3)的直线l 被圆x 2+y 2＝8截得的弦长为4，则l 的方程为 x +√3y −4=0 ．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合勾股定理可得圆心到直线的距离d ，分直线l 的斜率存在与否两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2＝8的圆心为（0，0），半径r ＝2√2，若直线直线l 被圆x 2+y 2＝8截得的弦长为4，则圆心到直线的距离d =√8−4=2，若直线l 的斜率不存在，此时直线l 的方程为x ＝1，与圆不相切，舍去；若直线l 的斜率存在，设其斜率为k ，则直线l 的方程为y −√3=k （x ﹣1），即kx ﹣y +√3−k ＝0，圆心到直线的距离d ＝2，则有√3−k|√1+k 2=2，变形可得：4+4k 2＝k 2﹣2√3k +3，即（√3k +1）2＝0，解可得k =−√33，则直线l 的方程为y −√3=−√33（x ﹣1），即x +√3y ﹣4＝0；故答案为：x +√3y ﹣4＝0．15．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为 20π+6 ．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个半径为3，高为3的半圆柱切去一个半径为2，高为3的半圆柱构成的几何体．如图所示：故几何体的表面积为：S =12×2×π×3×3+12×2×π×2×3+2×3×1+12×(π×32−π×22)×2＝20π+6．故答案为：20π+616．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B +2b cos A ＝0，则tanA tanB= ﹣2 ，tan C 的最大值是 √24．【分析】由已知结合正弦定理及同角基本关系即可求解；然后利用同角基本关系进行化简可得tan C =tanB1+2tan 2B，然后结合基本不等式即可求解．解：因为a cos B +2b cos A ＝0，由正弦定理可得，sin A cos B +2sin B cos A ＝0，则tanA tanB=sinAcosB sinBcosA=−2，所以tan A ＝﹣2tan B ，∴tan C ＝﹣tan （A +B ）=tanA+tanBtanAtanB−1=tanB1+2tan 2B，故tan C ，tan B 同号，即B 为锐角， tan C ＝﹣tan （A +B ）=tanA+tanBtanAtanB−1=tanB 1+2tan 2B =12tanB+1tanB≤122=√24，当且仅当2tan B =1tanB 即tan B =√22时取等号，故答案为：﹣2，√24．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n }的公差为﹣1，数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝4，b n +1＝2b n +a n ．（1）证明：数列{b n ﹣n }是等比数列；（2）记数列{b n }的前n 项和为S n ，求使得S n ＞2020的最小正整数n 的值．【分析】（1）先由题设条件解出a n ，再推证出b n+1−(n+1)b n −n=2，又b 1﹣1＝1，即可证明结论；（2）先由（1）得到b n＝n+2n﹣1，再利用分组求和求出S n，再根据其单调性求出满足条件的n．解：（1）证明：∵b n+1＝2b n+a n，∴当n＝1时，b2＝2b1+a1＝4，即4＝4+a1，∴a1＝0，又∵{a n}的公差为﹣1，∴a n＝0﹣（n﹣1）＝1﹣n，∵b n+1＝2b n+a n，∴b n+1＝2b n﹣n+1．∴b n+1−(n+1)b n−n=2(b n−n)b n−n=2，又b1﹣1＝2﹣1＝1，∴{b n﹣n}是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知b n﹣n＝2n﹣1，∴b n＝n+2n﹣1，∴S n＝（1+2+…+n）+（1+2+22+…+2n﹣1）=n(n+1)2+1−2n1−2=n(n+1)2+2n−1，∵S10＝1078＜2020，S11＝2113＞2020，{S n}为递增数列，∴使得S n＞2020的最小正整数n的值为11．18．为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频率分布直方图．若零件尺寸落在区间（x−2s，x+2s）内，则认为该零件合格，否则认为不合格．其中x，s分别表示样本的平均值和标准差，计算得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）已知一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否合格；（2）利用分层抽样的方法从尺寸在[30，60）的样本中抽取6个零件，再从这6个零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm的概率．【分析】（1）求出各组的频率，从而求出平均数，从而得到x−2s=66.5−30=36.5，x+2s=66.5+30=96.5，由100＞96.5，各该零件不合格．（2）由分层抽样方法求出前三组抽取的零件个数分别为1，2，3，从而抽取出的6个零件中尺寸小于50cm的有3个．记这6个零件编号为：a，b，c，A，B，C（其中a，b，c为尺寸小于50cm的），记事件D为：“选出的2个宝件中恰有1个尺寸小于50cm，从这6个零件中随机抽取2个的基本事件有15个．事件D包含的基本事件有9个，由此能求出这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm的概率．解：（1）记各组的频率为p i（i＝1.2，…，7）．依题意得p1＝0.05，p2＝0.1，p3＝0.15，p4＝0.3，p5＝0.2，p6＝0.15，P7＝0.05∴x=35×0.05+45×0.1+55×0.15+65×0.3+75×0.2+85×0.15+ 95×0.05=66.5∴x−2s=66.5−30=36.5，x+2s=66.5+30=96.5，而100＞96.5，故该零件不合格．（2）记前三组抽取的零件个数分别为x，y，z∴x0.05=y0.1=z0.15=60.3，∴x＝1，y＝2，z＝3∴抽取出的6个零件中尺寸小于50cm的有3个．记这6个零件编号为：a，b，c，A，B，C（其中a，b，c为尺寸小于50cm的）记事件D为：“选出的2个宝件中恰有1个尺寸小于50cm∴从这6个零件中随机抽取2个的基本事件有：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，c}，{b，A}，{b ，B }，{b ，C }，{c ，A }，{c ，B }，{c ，C }，{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }共15个．则事件D 包含的基本事件有：{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{c ，A }，{c ，B }，{c ，C }共9个， ∴P(D)=915=35， ∴这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率为35．19．如图，在五面体ABCDEF 中，AB ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE ，AB ＝CD ＝2．（1）求证：AB ∥CD ；（2）若AD ＝AE ＝2，且二面角E ﹣DC ﹣A 的大小为60°，求四棱锥F ﹣ABCD 的体积．【分析】（1）推导出AB ∥EF ，从而AB ∥面CDEF ，由此能证明AB ∥CD ．（2）取AD 中点O ，连接OE ，推导出AB ⊥DA ，AB ⊥DE ．CD ⊥DA ，CD ⊥DE ．从而二面角A ﹣DC ﹣E 的平面角∠ADE ＝60°，△ADE 是边长为2的正三角形，推导出EO ⊥面ABCD ，即E 到面ABCD 的距离EO =√3．F 到面ABCD 的距离即为E 到面ABCD 的距离，由此能求出四棱锥F ﹣ABCD 的体积．解：（1）证明：∵AB ⊥面ADE ，EF ⊥面ADE ，∴AB ∥EF ，又EF ⊂面CDEF ．AB ≠面CDEF ，∴AB ∥面CDEF 又AB ⊂面ABCD ，面ABCD ∩面CDEF ＝CD ， ∴AB ∥CD ．（2）解：取AD中点O，连接OE∵AB⊥面ADE，DA，DE⊂面ADE，∴AB⊥DA，AB⊥DE．∵AB∥CD，∴CD⊥DA，CD⊥DE．又DA⊂而ABCD，DE⊂面CDEF，且面ABCD∩面CDEF＝CD．∴二面角A﹣DC﹣E的平面角∠ADE＝60°，又△ADE中，AD＝AE＝2，∴△ADE是边长为2的正三角形，∴EO=√32AE=√3，EO⊥AD，∵AB⊥面ADE，∴AB⊥EO又AD∩AB＝A，∴EO⊥面ABCD，即E到面ABCD的距离EO=√3．∵EF∥AB，EF⊄面ABCD，AB⊂面ABCD，∴EF∥面ABCD．∴F到面ABCD的距离即为E到面ABCD的距离在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AB⊥DA，∴矩形ABCD的面积S＝2×2＝4，∴四棱锥F﹣ABCD的体积为V F−ABCD=13×S×EO=4√33．20．设O为坐标原点，动点M在圆C：x2+y2＝4上，过M作x轴的垂线，垂足为D，点E满足ED→=√32MD →．（I）求点E的轨迹Γ的方程；（2）直线x ＝4上的点P 满足OM ⊥MP ．过点M 作直线l 垂直于线段OP 交C 于点N ．（i ）证明：l 恒过定点；（ⅱ）设线段OP 交Γ于点Q ，求四边形OMQN 的面积．【分析】（1）设E （x ，y ），M （a ，b ），则D （a ，0），通过向量相等，结合点在圆上，求解轨迹方程即可．（2）（i ）设P （4，p ），M （a ，b ）．通过OM ⊥MP ，得到4a +pb ＝4，结合直线的垂直关系，推出直线系4x +py ＝4．得到结果．（ii ）法一：直线l 为4x +py ＝4，交圆C 于M ，N 两点，求出弦长|MN |，求出|OQ |然后求解四边形OMQN 的面积．法二：由（i ）可知直线l 恒过定点（1，0），设直线l ：x ＝ty +1交同C 于M ，N 两点，然后求解弦长|MN |，求出|OQ |然后求解四边形OMQN 的面积．解：（1）设E （x ，y ），M （a ，b ），则D （a ，0），∵ED →=√32MD →，又ED →=(a −x ，−y)，MD →=(0，−b)，∴{x =a ，y =√32b又a 2+b 2＝4，∴x 2+4y 23=4，化简得点E 的轨迹Γ方程为x 24+x 23=1．（2）（i ）设P （4，p ），M （a ，b ）． ∵OM ⊥MP ，∴OM →⋅MP →=4a −a 2+pb −b 2=0，又a 2+b 2＝4，∴4a +pb ＝4①又直线l过点M且垂直于线段OP，故设直线l方程y−b=−4p(x−a)化简得4x+py﹣bp﹣4a＝0，又由①式可得4x+py＝4．所以l恒过定点（1，0）．（ii）法一：直线l为4x+py＝4，交圆C于M，N两点，则圆心到直线的距离为d=√，∴弦长|MN|=2−d2=2√4−1616+p2=2√48+4p216+p2=4√12+p216+p2．又直线OP为y=p4 x．由得x Q2=4812+p2，故|OQ|=√1+p216⋅|x0|=√16+p24⋅4√3√=√3√16+p2√，∴S OMQN=12|OQ|⋅|MN|=2√3．即四边形OMQN的面积2√3．法二：由（i）可知直线l恒过定点（1，0），故设直线l：x＝ty+1交同C于M，N两点，圆心到直线的别离为d=√1+t，∴弦长MN=2√r2−d2=2√4−11+t2=2√3+4t21+t2．又直线OP：x=−1t y，由得y02=12t 23+4t2，故|OQ|=√1+1t2⋅|y0|=√1+t2|t|⋅√3|t|√3+4t=2√3√2√3+4t∴S OMQN=12|OQ|⋅|MN|=2√3．即四边形OMQN的面积2√3．21．已知函数f(x)=lnx−1+ax(a∈R)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当n∈一、选择题*时，证明：ln2(1+1)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)＞n2n+4．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；（2）根据函数的单调性得到lnx−1+1x≥0，即lnx≥1−1x令x=1+1n，放缩不等式，累加即可．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）f′(x)=1x−ax2=x−ax2，①当a≤0时，f′(x)=x−ax2≥0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，由f′(x)=x−ax2＞0得x＞a，故f（x）在（a，+∞）上单调递增；由f′(x)=x−ax2＜0得x＜a，故f（x）在（0，a）上单调递减；（2）令a＝1，由（1）得：f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则lnx−1+1x≥0，即lnx≥1−1x令x=1+1n，则ln(1+1n)≥1−11+1n=1n+1，∴ln2(1+1n)≥1(n+1)2，1 (n+1)＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴ln2(1+1)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)＞122+132+⋯+1(n+1)2＞12×3+13×4+⋯+1(n+1)×(n+2)=12−13+13−14+⋯+1(n+1)−1n+2=n2n+4．∴命题得证．（二）考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=k(x−√3)，直线l2的参数方程为{x=−√3+ty=−1k t（t为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）求C的普通方程；（2）过Q（0，2）的直线l与C相交于A，B两点，求1|QA|+1|QB|的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：（1）直线l 2的参数方程为{x =−√3+t y =−1kt（t 为参数），消去参数t 得y =−1k (x +√3)① 直线l 1的方程为y =k(x −√3)，②所以由①×②得，C 的普通方程x 2+y 2=3(x ≠±√3)．（2）过Q （0，2）的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα（t 为参数）．代入x 2+y 2＝3得t 2+4t sin α+1＝0，所以t 1+t 2＝﹣4sin a ，t 1•t 2＝1，由△＝16sin α2﹣4＞0得|sinα|＞12且sinα≠±2√77．所以1|Q|+1|QB|=|t 1+t 2|t 1⋅t 2=|−4sinα|∈(2，8√77)∪(8√77，4)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x +32|−|x −3|．（1）解不等式f(x)≥12；（2）若1m+4n=2(m ，n ＞0)，求证：f （x ）≤m +n ．【分析】（1）根据f(x)≥12，结合条件利用零点分段法解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出f （x ）的最大值，然后利用基本不等式求出m +n 的最小值，再比较两者的大小，从而证明f （x ）≤m +n 成立．解：（1）原不等式可化为|x +32|−|x −3|≥12，当x ≤−32时，不等式化为−x −32+x −3≥12，无解；当−32＜x＜3时，不等式化为x+32+x−3≥12，解得x≥1，故1≤x＜3，当x≥3时，不等式化为x+32−x+3≥12，解得x∈R，故x≥3．综上，不等式的解集为{x|x≥1}．（2）∵f(x)=|x+32|−|x−3|，∴|x+32|−|x−3|≤|x+32−x⋅3|=92．当且仅当(x+32)(x−3)≥0，且|x+32|≥|x−3|时取等号．又1m +4n=2(m，n＞0)．∴m+n=12(1m+4n)(m+n)=12(1+n m+4m n+4)≥12(1+2√n m⋅4m n+4)=92，当且仅当m=2n=92时取等号，故m+n≥92，∴f（x）≤m+n成立．。

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数1z ，2z 在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,1)-，则12(z z =g ) A ．2i +B ．12i -C ．12i --D ．i -2．（5分）已知集合2{|0}A x x =>，{|1}B y y =>，则(A B =U ) A ．R B ．(0,)+∞C ．[0，)+∞D ．(-∞，0)(0⋃，)+∞3．（5分）某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误的是( )A ．8月份的利润最低B ．7至9月份的平均收入为50万元C ．2至5月份的利润连续下降D ．1至2月份支出的变化量与10至11月份支出的变化量相同 4．（5分）某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出1352019+++⋯+的值B ．输出1352021+++⋯+的值C ．输出1232019+++⋯+的值D ．输出1232020+++⋯+的值5．（5分）射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I ，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241241()Am 低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，20.6931ln ≈，结果精确到0.001) A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.1166．（5分）在ABC ∆中，点D 满足12BD CD =u u u r u u u r ，则(AD =u u u r )A ．2AB AC -u u u r u u u r B ．2AB AC -+u u u r u u u r C ．1122AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r7．（5分）已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数x b y a +=的图象可能是()A ．B ．C ．D ．8．（5分）双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在第一象限的渐近线上，O 为坐标原点，且||||OP OF =，则OPF ∆外接圆的面积是( ) A ．πB ．43π C ．2π D ．163π 9．（5分）已知0a >，0b >，则“4a b +…”是“4ab …”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）函数2()2sin sin 21f x x x ωω=+-的图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是( ) A ．1B ．2C ．4D ．611．（5分）如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D ．把ADE ∆沿DE 翻折至△1A DE 的位置，连结1A C ．翻折过程中，有下列三个结论：①1DE AC ⊥； ②存在某个位置，使1A E BE ⊥； ③若12CF FA =u u u r u u u r，则BF 的长是定值．其中所有正确结论的编号是( )。

2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}3,4,23,A a B a =-=，若A B ⋂≠∅，则=a （）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【分析】根据交集结果得到3a =，4a =或23a a =-，检验后得到答案.【详解】因为A B ⋂≠∅，所以3a =，4a =或23a a =-，当3a =时，233a -=，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当23a a =-时，3a =，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当4a =时，235a -=，满足集合元素互异性，满足要求.故选：B2．已知复数z 满足()20231i i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．12-B ．12C ．1i2-D 【正确答案】A【分析】先由虚数单位的性质求得2023i ，再利用复数的四则运算求得z ，从而得解.【详解】因为()50520235054343i i i i i ⨯+==⨯=-，所以()20231ii i z +==-，故()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 1i 222z -----====--+-+，所以z 的虚部为12-.故选：A.3．在等比数列{}n a 中，132a a +=，则“356a a +=”是“数列{}n a 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由132a a +=，356a a +=，得235133a a q a a +==+，则q =由132a a +=，q =()235136a a a a q +=+=．故“356a a +=”是“数列{}n a 的必要不充分条件．故选：B4．尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一，现今已证明该问题无解．但借助有刻度的直尺、其他曲线等，可将一个角三等分．古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法：如图，以ACB ∠的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线，与圆弧AB 交于点E ，连接CE ，则3ACB BCE ∠=∠．若图中CE 交AB 于点P ，56AP PB =，则cos ∠=ACP （）A ．2425-B ．1225-C ．725-D ．1225【正确答案】C【分析】根据正弦定理及二倍角的正弦公式，得BCE ∠的余弦值，再由二倍角的余弦公式即可求出cos ACP ∠.【详解】设BCE α∠=，则33ACB BCE α∠=∠=，2ACP α∠=.在ACP △中，由正弦定理，得sin 2sin AP CAAPCα=∠；在BCP 中，由正弦定理，得sin sin BP CBBPCα=∠.又因为CA CB =，APC BPC π∠+∠=，所以sin sin CA CBAPC BPC=∠∠，所以sin 2sin AP BP αα=，即sin 22cos sin AP BP ααα==.又因为56AP PB = ，所以62cos 5AP BP α==，故3cos 5α=.所以cos ∠=ACP cos 2=α2972cos 1212525α-=⨯-=-.故选：C.5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（）A ．112B ．5108C ．172D ．1216【正确答案】B【分析】所有实验结果有666216⨯⨯=种，列举出每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件之和为3133A A 1++，即可求出概率.【详解】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，共有666216⨯⨯=种不同的结果，其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有33A 种，数字1、1、4组成的结果有13A 种，数字2、2、2组成的结果有1种.故所求概率为3133A A 15216108P ++==.故选：B.6．已知F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 的直线l 交地物线C 于,A B 两点，若AF BF λλ==，则λ=（）A ．1B ．32C ．3D ．4【正确答案】C【分析】由抛物线的定义求得B 点的横坐标，代入抛物线得B 点坐标，从而求得直线AB 的方程，联立抛物线与直线即可得A 点的横坐标，求得AF ，从而可得λ的值.【详解】如图，过A 作1AA 准线于1A ，过B 作1BB 准线于1B ，由抛物线2:3C y x =的焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为34x =-，由抛物线的定义可得1314B BF BB x ==+=，所以14B x =，代入抛物线方程得2B y =±若14B ⎛ ⎝⎭，直线AB的斜率为021344AB k ==-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭，即y =联立23y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=，则916A B x x =，所以94A x =，则3933444A AF x λ=+=+==；若1,42B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线AB的斜率为021344AB k -=-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭，即4y =-联立23y y x⎧=⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=，则916A B x x =，所以94A x =，则3933444A AF x λ=+=+==；综上，3λ=.故选：C.7．已知奇函数()f x 在R 上是减函数，()()g x xf x =，若()2log 5.1a g =-，()3b g =，()0.82c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】由题可知()g x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递减，利用函数的单调性可比较出b a c <<.【详解】因()f x 为奇函数且在R 上是减函数，所以()()f x f x -=-，且0x >，时()0f x <.因()()g x xf x =，所以()()()g x xf x xf x -=--=，故()g x 为偶函数.当0x >时，()()()0g x f x xf x =+'<'，因()0f x <，()0f x '<，所以()0g x '<.即()g x 在()0,∞+上单调递减.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，因0.82223log 9log 5.1log 422=>>=>，所以()()()0.823log 5.12g g g <<，即b a c <<.故选：D.8．已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆12O O ､，记两圆的公共弦为AB ，且122O O =，若二面角12O AB O --的大小为2π3，则四面体12ABO O 的体积的最大值为（）A ．BC D 【正确答案】C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ，连接12,O M O M ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ，则12O MO ∠即为二面角的平面角，故122π3O MO ∠=，四面体12ABO O 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅12AB O M O M ⋅⋅，其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤，当且仅当12O M O M ==由球的截面性质，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，所以12,,,O O O M 四点共圆，则有外接圆直径22i 23s πn R OM ===从而23AB MB ==，1243339V M O M ∴=⋅≤=.故选：C 二、多选题9．随机变量()2~,X N μσ且()20.5P X ≤=，随机变量()~3,Y B p ，若()()E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D X σ=C ．23p =D ．()32D Y =【正确答案】AC【分析】对AB ，根据正态分布的期望方差性质可判断；对C ，根据()()E Y E X =及二项分布期望公式可求出p ；对D ，根据二项分布方差的计算公式可求出()D Y ，进而求得()3D Y .【详解】对AB ，因为()2,X N μσ 且()20.5P X ≤=，所以2μ=，故()2E X μ==，()2D x σ=，选项A 正确，选项B 错误；对C ，因为()3,Y B p ，所以()()3E Y p E X ==，所以32p =，解得23p =，选项C 正确；对D ，()()2239931633D Y D Y ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，选项D 错误.故选：AC.10．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （）A ．是奇函数B ．图象关于直线π2x =对称C ．在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦【正确答案】ACD【分析】利用辅助角公式得出()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列，则该函数的最小正周期为π，0ω> ，则2π2πω==，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-，函数()y g x =为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，π2sin π02g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()y g x =的图象不关于直线π2x =对称，B 选项错误；对于C 选项，当π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π3π222x ≤≤，则函数()y g x =在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项正确；对于D 选项，当π2π63x ≤≤时，π4π233x ≤≤，则sin 21x ≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间π2π,63⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦，D 选项正确.故选：ACD11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==，1BC =，13AA =，点M 在线段1BB 上，且12B M MB =，N 为线段1C M 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．当N 为1C M 的中点时，直线AN 与平面ABC 所成角的正切值为4B ．当12MN NC =时，1B N //平面ACM C ．ACN △的周长的最小值为D ．存在点N ，使得三棱锥N AMC -【正确答案】BD【分析】取BC 的中点P ,证明PN ^平面ABC ，故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角，求解可判断A ；延长1B N 交1CC 于点Q ，可得四边形1CQB M 是平行四边形，从而可判断B ；当点N 与M 重合时，求出ACN △的周长可判断C ；取BC 的中点P ,连接AP ，若三棱锥N AMC -的体积为6，则1CMN S =△，根据1CMC CMN S S >△△可判断D.【详解】对于A ，当N 为1C M 的中点时，取BC 的中点P ,连接,PN AP ，易知1//PN CC ,1CC ⊥平面ABC ，则PN ^平面ABC ，故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角，则()112tan MB CC PN PAN AP +∠=故A错误；对于B ，当12MN NC =时，延长1B N 交1CC 于点Q ，此时11112C Q C N B M MN ==，所以11,2C Q CQ ==，所以1CQ B M =.又1//CQ B M ，所以四边形1CQB M 是平行四边形，所以1//CM B Q ，即1//CM B N .因为1B N ⊄平面ACM ，CM ⊂平面ACM ，所以1B N //平面ACM ，故B 正确；对于C ，当点N 与M重合时，易知2,AN CN ==此时ACN △的周长为2+2<，故C 错误；对于D ，取BC 的中点P ,连接AP ，易知AP ⊥平面11BCC B,2AP =,若三棱锥N AMC -即6N AMC V -=，所以136CMN S AP ⋅⋅=△,所以1CMN S =△.因为113311,22CMC CMN S S =⨯⨯=>=△△所以存在点N ，使得三棱锥N AMC -的体积为6，故D 正确.故选:BD.12．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)0f x f x ++=，(22)f x +是偶函数，(1)1f =，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()20231f =-C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．1001(21)100k k f k =-=-∑【正确答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项A ，∵(22)f x +是偶函数，∴(22)(22)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，∴()()4f x f x -=+，∵()(4)0f x f x ++=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是奇函数，则A 正确；对于选项B ，∵(4)()f x f x +=-，∴(8)(4)f x f x +=-+，∴(8)()f x f x +=,∴()f x 的周期为8，∴()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-，则B 正确；对于选项C ，若()f x 的图象关于直线1x =对称，则()()31f f =-，但是()()111f f -=-=-，()()311f f ==，即()()31f f ≠-，这与假设条件矛盾，则选项C 错误；对于选项D ，将12x =代入(22)(22)f x f x -=+，得()()311f f ==，将1x =，代入()(4)0f x f x ++=，得()()511f f =-=-，同理可知()()731f f =-=-，又∵()f x 的周期为8，∴()f x 正奇数项的周期为4，∴1001(21)k k f k =-=∑()()()()12335100199f f f f +++⋅⋅⋅+()()()()()()()()123354759611713815f f f f f f f f =+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅()()()()971939819599197100199f f f f ⎡⎤++++⎣⎦()254100=⨯-=-，则D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知向量,a b 满足()1,3,3,1a b a b ==-= ，则⋅=a b __________．【正确答案】0【分析】对a b - 进行平方，然后代入,a b ，即可进行求解.【详解】因为()1,3,3,1a b a b ==-=，则()2222210a ba ab b -=-⋅+==，所以0a b ⋅= .故014．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67S S <，78S S =，89S S >，则符合题意的等差数列{}n a 的一个通项公式为n a =________．【正确答案】8n -（答案不唯一）【分析】由条件可得70a >，80a =，90a <，由此确定0d <，由此确定数列{}n a 的一个通项公式.【详解】因为67S S <，78S S =，89S S >，所以70a >，80a =，90a <，设数列{}n a 的公差为d ，则0d <，取1d =-，又80a =，可得17a =，故数列{}n a 的一个通项公式为8n a n =-，故8n -（答案不唯一）.15．若曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线，则a 的范围是____________．【正确答案】(,0)-∞【分析】由题可将曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线转化为函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，然后利用导数研究()f x 单调性，画出()f x 大致图象，即可得答案．【详解】设切线切点为0(x ,0)y ，又ln 1y x '=+，所以切线斜率为0ln 1x +因为000ln y x x =，所以切线方程为：()()0000ln ln 1y x x x x x -=+-．又切线过()1,a ，则()()0000ln ln 11a x x x x -=+-，即00ln 1a x x =-+则由题可知函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，由()1110x f x x x-=-=>'得01x <<，由()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．又max ()(1)0f x f ==，又0x →，()f x →-∞，x →+∞，()f x →-∞．据此可得()f x 大致图象如下．则由图可得，当(,0)a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线．故答案为.(,0)-∞16．已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B 的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=-+，则PQF △的周长的最大值为__________.【正确答案】8【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值.【详解】由条件()()tan tan tan 3tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++=-+=-，π,tan tan 0αβαβ+∴+≠ ＜，即11tan tan 3αβ-=-，4tan tan 3αβ=，设()00,P x y ，由题意：((12,0,B B ，则tan tan αβ=，20204tan tan 33x y αβ∴==-，即2200143x y +=，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=，2,1a b c ===；设左焦点为F ，右焦点为2F，如下图：则PFQ △的周长224l PF QF PQ a PF QF PQ =++=--+,22PF QF PQ +≥ ，当2,,P Q F 三点共线时等号成立，48l a ∴≤=，l 的得最大值为8；故8.四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知ABC的外接圆半径R =tan tan B C +=.(1)求B 和b 的值；(2)求AC 边上高的最大值.【正确答案】(1)π4B =，4b =；(2)2+.【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B ，利用正弦定理求出b 作答.（2）利用余弦定理、均值不等式求出ac 的最大值，借助面积三角形求出AC 边上高的最大值作答.【详解】（1）由tan tan B C +=，得sin sin cos cos B C B C +sin cos cos sin cos B C B C A B +，因此sin()cos B C A B +，在ABC中，sin(π)cos A A B -，即sin cos A A B ，而0πA <<，即sin 0A >，于是cos 2B =，又0πB <<，解得π4B =，因为ABC的外接圆半径R =，由正弦定理得2sin 42b R B ==，所以π4B =，4b =.（2）由（1）知，π4B =，4b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22π162cos (24a c ac =+-≥-，于是8(2ac ≤+，当且仅当a c =时取等号，令ABC 的边AC 上的高为h ，则由11sin 22ABC bh S ac B ==，得πsin sin 48(22488B h ac ac ac b ==⨯=+所以AC边上高的最大值是2+.18．已知数列{}n a 满足111,12n n n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)证明见解析，121n a n =-(2)21n nT n n =++【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得{}n a 的通项公式；（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得n T .【详解】（1）证明：因为112n n n a a a +=+，所以112112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列，则()112121n n n a =+-=-，所以121n a n =-；（2）()()()()222212244411111141121214141212122121n n n n n n c n a a n n n n n n n n +-+⎛⎫=====+=+- ⎪-+---+-+⎝⎭12311111112335212121n n n T c c c c n n n n n ⎛⎫=++++=+-+-++-=+ ⎪-++⎝⎭ .19．某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6，如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.(1)计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A 餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n 种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为X ，求n 的值使得()1P X =取得最大值.【正确答案】(1)0.7(2)9或10【分析】（1）根据题意结合全概率公式可直接求解；（2）由超几何分布可得()()()()()1511543n n P X n n n -==+++，构造数列()()()()151543n n n a n n n -=+++，易知该数列为递增数列，所以1n n a a +≥，解得9n ≤，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591.【详解】（1）设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，根据题意得()()110.5P A P B ==，()210.6P A A =∣，()210.8P A B =∣，由全概率公式，得：()()()()()21211210.50.60.50.80.7P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣，所以，王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7.（2）由题意，X 的可能取值有：0,1,2,3，由超几何分布可知()()()()()125351511543n n n n C C P X C n n n +-===+++，令()()()()151543n n n a n n n -=+++，又 N n ∈，所以1n n a a +≥，可得()()()()1361n n n n ++≥+-，解得9n ≤，易知当9n =和10n =时，()1P X =的值相等，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591，即当n 的值为9或10时，使得()1P X =最大.20．如图，在圆台1OO 中，11A B ，AB 分别为上、下底面直径，1124AB A B ==，C 为 AB 的中点，M 为线段BC 的中点，1CC 为圆台的母线，1C M 与圆台下底面所成的角为45︒．(1)证明：1C C ⊥平面1OBC ；(2)求平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）证明线面垂直，先证线线垂直，根据题中线面位置关系，不难发现证明11C C C O ⊥，1C C AB ⊥容易证明.（2）因题中线面位置较为特殊，考虑用空间向量，建立空间直角坐标系后，直接按照求平面与平面夹角的公式，按步骤求解即可.【详解】（1）证明：连接1OO ，11C O ，则1OO ⊥平面ABC ．因为1CC 为母线，所以11CC O O 四点共面，且11O C OC ∥．取CO 中点N ，连接1C N ，MN ．因为1124AB A B ==，则111ON C O ==，所以四边形11ONC O 为平行四边形．所以11C N O O ∥，所以1C N ⊥平面ABC ．所以1C MN ∠为1C M 与底面所成角，即145C MN ∠=︒．在1Rt C NO 中，11C N NO ==，所以1C O =同理1C C ．在1C CO △中，22211CO C O C C =+，所以11C C C O ⊥．因为1OO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1OO AB ⊥．因为C 为 AB 的中点，所以AB CO ⊥，又1OC O O O = ，OC ⊂平面11C O OC ，1O O ⊂平面11C O OC ,所以AB ⊥平面11C O OC ，又1CC ⊂平面11C O OC ，所以1C C AB ⊥．又因为11C C C O ⊥，1AB C O O = ，AB ⊂平面1BOC ，1C O ⊂平面1BOC ，所以1C C ⊥平面1BOC ；（2）以O 为原点，分别以OC ，OB ，1OO 所在的方向为x ，y ，z 的正方向，建立空间直角坐标系-O xyz ，则(2,0,0)C ，(0,0,0)O ，(0,2,0)B ，1(1,0,1)C ，(1,1,0)M .所以(1,1,0)BM =- ，1(1,2,1)BC =- ，(1,1,0)OM = ，1(1,0,1)OC = .设平面1BMC 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，由11100n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11111020x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，令11x =，得111y z ==，所以1(1,1,1)n = ．设平面1OMC 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，由22100n OM n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则222200x y x z +=⎧⎨+=⎩．令21x =，得221,1y z =-=-，所以2(1,1,1)n =-- ，设平面1OMC ，与平面1BMC 夹角为θ，则121cos cos ,3n n θ== ．所以平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值为13．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点())12,F F ，点M 满足124MF MF -=，记点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)点()2,0A ，点,B C 为E 上的两个动点，且满足2BAC π∠=.过A 作直线AQ BC ⊥交E 于点Q .若2BQC π∠=，求直线BC 的斜率.【正确答案】(1)221(0)4x y x -=>(2)±1.【分析】（1）由题意，点M 的轨迹为双曲线的右支，2,a c ==1b =，可得E 的方程；（2）解法一：设BC 与AQ 的交点为D ，设BC 的方程为y kx m =+，与双曲线方程联立，由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得m ，得到直线BC 的方程，由题意写出直线AD 的方程，求得点D 、点Q 坐标，代入曲线E 的方程，可得直线BC 的斜率.解法二：由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，与双曲线方程联立，由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得103t =，进一步可得到直线BC 方程以及恒过定点.求得点D 、点Q 坐标，代入曲线E 的方程，可得直线BC 的斜率.解法三：设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k=--，联立曲线方程，由韦达定理可求出点C 坐标，用1k-替换k 得点B 坐标，可得直线BC 方程进一步得到直线BC 恒过定点.下同解法一.解法四：由平移知识得到双曲线E 的方程，新坐标系下直线BC 的方程，代入双曲线方程，由121k k ×=-求得m ，进一步得到直线BC 的方程，从而得到直线BC 恒过定点，再利用过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程结合xy 的系数为0，即可得到直线BC 的斜率.解法五：设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，连理曲线方程结合由121k k ×=-解得m ，进一步得到直线BC 的方程以及BC 恒过定点.下同解法一.【详解】（1）因为点M 满足124MF MF -=，所以点M的轨迹为双曲线的右支，故2,a c ==1b =，所以曲线E 的方程为221(0)4x y x -=>.（2）解法一：设BC 与AQ 的交点为D.显然直线BC 的斜率存在，设BC 的方程为y kx m =+，联立方程22,44,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()222418440k x kmx m -+++=，设()()1122,,,B x y C x y ，所以12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩.又2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=，代入()()2222244812404141m km k mk m k k +⎛⎫++--++= ⎪--⎝⎭，整理得22203160k m km ++=，即()()10320k m k m ++=，解得103m k =-或2m k =-（舍）.所以直线BC 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为,,,A B Q C 四点共圆，且BC 为直径，由BC AD ⊥，所以点D 为AQ 中点，且直线AD 的方程为()12y x k=--，联立()10312y k x y x k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--⎪⎩，解得()()22210631431k x k k y k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以点()()2221064,3131k k D k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2221468,3131k k Q k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222221468443131k k k k ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得420k k -=，即1k =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法二：由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，联立方程22,44,x my t x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得()2224240m y tmy t -++-=，设()()1222,,,B x y C x y ，所以1222122244 4tm y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩.2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()22121212440m y y tm m y y t t ++-++-+=，代入()()222224212(2)044t tm m m t t m m -⎛⎫+⨯+--+-= ⎪--⎝⎭，因为2t ≠，整理得3100t -=，解得103t =.所以直线BC 的方程为103x my =+，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.联立()1032x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得()()22261031431m x m m y m ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以点()()2226104,3m 131m m D m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2226148,3m 131m m Q m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222226148443131m m m m ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得210m -=，即1m =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法三：设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k=--，联立方程()22244y k x x y ⎧=-⎨-=⎩，消去y 得()222214161640k x k x k -+--=，设()11,C x y ，则212164214k x k --⋅=-，得2128241k x k +=-，所以212282424141k k y k k k ⎛⎫+=-= ⎪--⎝⎭，所以点222824,4141k k C k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.用1k -替换k 得点222284,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭.所以BC 斜率()2222222443414822841414BC k k k k k k k k k k k ---==-++-+--，故直线BC 方程为()222232844441k k k y x k k k ⎛⎫+=-++ ⎪---⎝⎭，即()()223104141k k y x k k =-+--，即()2310341k y x k ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.解法四：将坐标系原点平移到()2,0A ，则双曲线E 的方程变为22(2)14x y +-=，即22440x y x -+=.新坐标系下直线BC 的方程设为1mx ny +=，代入双曲线方程有()22440x y x mx ny -++=，即()2214440m x y nxy +-+=，两边同除以2x 得244410y y n m x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，所以34m =，所以直线BC 的方程为314x ny +=，从而直线BC 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故原坐标系下直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.由,,,A B Q C 四点共圆，设BC 的直线方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1003kx y k --=；设AQ 的直线方程为()12y x k=--，即20x ky +-=.所以过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程为()()221024403kx y k x ky x y λ⎛⎫--+-+--= ⎪⎝⎭，等式左边xy 的系数为21k -，所以210k -=，所以1k =±，即直线BC 的斜率为±1.解法五：由直线BC 不过点()2,0，故设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，所以由2244x y -=得22(22)44x y -+-=，即()()()2222122]442]m x ny y m x ny ⎡⎡+-+-=-+⎣⎣，两边同除以2(2)x -得()22221244222y y y m n m n x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅-=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭，设2y k x =-，上式整理得244410k nk m ---=.设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，解得34m =，所以直线BC 的方程为()3214x ny -+=，即310043x ny ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.方法点睛：定点问题的解题策略（1）直线过定点．将直线方程化为00()y y k x x -=-的形式，当00x x -=时与k 无关，即00()y y k x x -=-恒成立，故直线过定点00(,)x y ．（2）曲线过定点．利用方程0(),f x y =对任意参数恒成立得出关于,x y 的方程组，以方程组的解为坐标的点即为所求的定点．22．已知函数()e ,ax f x a =∈R ．(1)令()()1f xg x x =+，讨论()g x 在()0,∞+的单调性；(2)证明：23*111N 462n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3)若1a =，对于任意的,m n ∈R ，不等式()()()()22ln 20f m bf n f m f n +⋅+≥恒成立，求实数b 的取值范围．【正确答案】(1)答案见详解.(2)证明见详解.(3)02e b ≤≤.【分析】（1）求导后，分0a =、a<0、01a <<、1a ≥讨论即可；（2）由（1）得e 1xx ≥+，当且仅当0x =，等号成立.令112x n =-，得到1121e 2n n >，从而有112112e n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫< ⎪⎝⎭，即12112e n n n -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合等比数列的前n 项和公式即可证明.（3）()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥.当0b <，可验证不满足题意；当0b =，显然成立；当0b >，令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+，求导后判断单调性求得最小值为min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，令e (0)m t t =>，则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+，求导后判断单调性求得最小值为()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可解.【详解】（1）()()()e 111ax f x g x x x x ==≠-++，而()()2e 11(1)ax a x g x x +-⎡⎤⎣⎦=+'，①当0a =时，()210(1)g x x =-<+'恒成立，所以()g x 在()0,∞+上递减；②当0a >时，令()0g x '<，得1x <-或111x a -<<-；令()0g x '>，得11x a >-.所以当110a -≤，即1a ≥时，()g x 在()0,∞+上递增，当110a ->，即01a <<时，()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；③当a<0时，令()0g x '<，得111x a-<<-或1x >-；令()0g x '>，得11x a <-.所以()g x 在()0,∞+上递减.综上所述，当0a ≤时，()g x 在()0,∞+上递减；当1a ≥时，()g x 在()0,∞+上递增；当01a <<时，()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；（2）由（1）得：当1a =且1x ≥-时，()(0)11f x f x ≥=+，此时e 1x x ≥+，又当1,e 1x x x ≤->+，e 1x x ∴≥+，当且仅当0x =，等号成立.令112x n =-，得到111212111e ,22e n n n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫>∴< ⎪⎝⎭，12112e n n n -⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123232*********e 1462e e e e 1e n n n n -⎛⎫- ⎪⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎝⎭∴++⋯+<++⋯+=⨯⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎥⎣⎦-1121111e e e e n n --⎫--⎪⎝⎭==-（3）()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥，①0b <，当,0n m ∞→+→时，显然22e e 20m n m bn -++<，所以此时不成立；②0b =，不等式显然成立.③0b >，令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+，则()22e e e m n m g n b -=-+'，令()0g n '=，则2e 2e 2e e e ln m m m n nb n b b -=⋅⇒=⇒=.当2e ln mn b<时，()()0,g n g n '<单调递减；当2e ln mn b>时，()()0,g n g n '>单调递增.所以min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，令e (0)m t t =>，则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+，则()()1ln ln 2b h t b b t b '=++-，令()0h t '=，即11ln ln02b t ++-=，则22e b t =，当202e b t <<，()()0,h t h t '<单调递减；当22e b t >，()()0,h t h t '>单调递增，则()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2e b ≤.综上所述，02e b ≤≤.方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

福建省厦门市大同中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

福建省厦门市大同中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（） A ．1B ．0C ．1-D．122i -+ 2．己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>3．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．45 B ．45-C ．35D ．354．已知复数21iz i=+，则z =（） A ．1i +B ．1i -CD ．25．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（） ABC ．2D6．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-7．已知函数()32cos f x x x =+，若2(3)a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．设复数z 满足z ii z i-=+，则z =（） A ．1B ．-1C ．1i -D ．1i +9．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）． A ．0B ．1C ．2D ．310．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π11．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（） A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省厦门市湖滨中学2025届高考适应性考试数学试卷含解析

福建省厦门市湖滨中学2025届高考适应性考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >2．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A 1B 1C D 3．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b4．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（） A ．1234 B ．1114C ．1054D ．11745．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°7．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种 A ．240B ．320C ．180D ．1208．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．82310．已知双曲线22221x y a b-=（0a ＞，0b >）的左、右焦点分别为E F ，，以OF （O 为坐标原点）为直径的圆C 交双曲线于A B 、两点，若直线AE 与圆C 相切，则该双曲线的离心率为（） A 236+ B 226+C 3226+D 326+11．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．49二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届福建省厦门外国语学校高三5月高考适应性考试数学试题(解析版)

2021届福建省厦门外国语学校高三5月高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合A 、集合{}2,3,,B a b =，且{}3,4A B =，则下列结论正确的是（）A ．有可能8a b +=B ．8a b +≠C ．8a b +<D ．8a b +>【答案】B【分析】由交集结果和集合中元素的互异性可知8a b +≠. 【详解】{}2,3,,B a b =，{}3,4A B =，4B ∴∈，若4a =，由集合中元素互异性知：4b ≠，8a b ∴+≠；若4b =，同理可知：4a ≠，8a b ∴+≠；综上所述：8a b +≠. 故选：B.2．设i为虚数单位，则复数z =的虚部为（）A ．32B ．32-C ．92D ．92-【答案】B【分析】先对复数化简，再求其虚部即可【详解】解：3(1)3333(1)(1)222i i z ii i --=====-+-，所以复数z 的虚部为 32-. 故选：B.3．某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（） A ．24 B ．30 C ．36 D ．42【答案】C【分析】选取2道题捆绑作为一道题，变成3题后进行全排列分配给3人即可得．【详解】由题意分配方案种数为234336C A =．故选：C．【点睛】方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 4．为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1m､高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为（）(π取3.1)A．1235 B．1435 C．1635 D．1835【答案】C【分析】分别求出圆柱的侧面积，半球的表面积，即可得到大约朵数；【详解】圆柱侧面积为12332ππ⋅⋅=，半球的表面积为2114=222ππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以总面积为710.85 2π≈，所以大约需要鲜花10.85×150=1627.5朵.故选：C.5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（）A．s＝s1B．s<s1C ．s >s 1D ．不能确定【答案】C【分析】首先由统计总数没变，可知两次统计的平均数没有变，再分别列出标准差公式，判断大小关系.【详解】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x ，则s =1s =若比较s 与1s 的大小，只需比较()()221523x x -+-与()()222018x x -+-的大小即可，而()()2221523754762x x x x -+-=-+，()()2222018724762x x x x -+-=-+，所以()()221523x x -+->()()222018x x -+-，从而1s s >.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查样本平均数和标准差，关键是判断平均数没有变，才能利用标准差公式判断大小.6．已知某物种经过x 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型：0.18(0)xe y k k -=⋅>，当0x =时，y 的值表示2021年年初的种群数量.若()*t t N ∈年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，则t 的最小值为(参考值：ln3 1.09≈)（） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】根据题意先求出2021年年初的种群数量，再列出不等式，根据取对数法进行求解即可.【详解】因为当0x =时，y 的值表示2021年年初的种群数量，所以有8y k =，即2021年年初的种群数量为8k ，当()*t t N∈年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，所以有0.10.10.10.1221182log 8log 28438tt t e t e k e e k ----≤⋅⇒≤⇒≤⇒≤⋅10.1ln ln 30.1 1.0910.93t t t ⇒-≤=-⇒-≤-⇒≥，所以t 的最小值为11，故选：C.【点睛】关键点睛：根据题意得到指数不等式，通过取二次对数进行求解是解题的关键. 7．在ABC 中，4AB =，6AC =，3AC AM =，CN NB =，3AN BM ⋅=-，则AB AC ⋅=（） A ．32B ．3C ．6D ．15【答案】B【分析】根据题意可得13BM AM AB AC AB =-=-，1()2AN AC AB =+，代入数量积公式，结合条件，即可求得答案. 【详解】如图所示，因为3AC AM =，所以13BM AM AB AC AB =-=-. 又因为CN NB =，所以1()2AN AC AB =+，所以1113223AN BM AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221113623AC AB AB AC --⋅=-，又222236,16AC AC AB AB ====，所以3AB AC ⋅=. 故选：B.8．已知ln 22a =，1e b =(e =2.718…为自然对数的底数)，2ln 39c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】C【分析】根据题意，构造函数()ln x f x x =，利用函数()ln xf x x=单调性比较大小即可.【详解】令()ln x f x x =，所以()21ln 'xf x x -=所以当()0,x e ∈时，()'0f x >，()ln xf x x =单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0f x <，()ln xf x x =单调递减，因为()ln 22ln 2ln 44244a f ====，()1ln e b f e e e ===，()2ln 3ln 9999c f ===，所以()()()49f e f f >>，即b a c >>. 故选：C【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于构造函数()ln xf x x=，进而研究函数的单调性，利用单调性比较大小.二、多选题9．已知方程2222122x y m m +=-+表示的曲线是双曲线，其离心率为e ，则（）A ．mB ．点()2,0是该双曲线的一个焦点C ．12e<D ．该双曲线的渐近线方程可能为20x y ±= 【答案】AC【分析】对于A ，若方程是双曲线，则()()22220m m -+<；对于B ，化简可知焦点在y 轴上；对于C ，2224m +<，即可得到(]2241,22e m =∈+；对于D ，双曲线的渐近线斜率的平方21k ≥，即可得到渐近线方程．【详解】对于A ，因为方程2222122x y m m +=-+表示的曲线是双曲线，所以()()22220mm -+<，解得<m <A 正确；对于B ，将2222122x y m m +=-+化为2222122y x m m-=+-，得焦点在y 轴上，故选项B 错误；对于C ，因为2224m +<，所以(]2241,22e m =∈+，故选项C 正确；对于D ，因为双曲线的渐近线斜率的平方222212m k m+=-，所以选项D 错误. 故选：AC.【点睛】本题关键之处在于对双曲线方程的辨析，如何通过双曲线方程求焦点、离心率、渐近线方程等．10．若函数()sin(2)f x x ϕ=+对任意的x ∈R ，都有()()12f x f π≤，则（）A ．()f x 的一个零点为6x π=-B ．()f x 在区间5(,)1212ππ-上单调递减 C ．()12f x π+是偶函数D ．()f x 的一条对称轴为512x π=- 【答案】ACD【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论．【详解】解：函数()sin(2)f x x ϕ=+对任意的x ∈R ，都有()()12f x f π，则当12x π=时，函数取得最大值，故有22122k ππϕπ⨯+=+，即23k πϕπ=+，k Z ∈，取3πϕ=，则()sin(2)3f x x π=+．令6x π=-，求得()0f x =，可得()f x 的一个零点为6x π=-，故A 正确；当5(12x π∈-，)12π，2(32x ππ+∈-，)2π，()f x 单调递增，故B 错误； ()sin(2)cos21263f x x x πππ+=++=，是偶函数，故C 正确；令512x π=-，求得()1f x =-，为最小值，故()f x 的一条对称轴为512x π=-，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：由函数()()sin f x A x ωφ=+可以求出:①()f x 的周期2T πω=;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（⎡⎣）；④对称轴及对称中心（由k Z 2x k πωϕπ+=+∈，可得对称轴方程，由,k Z x k ωϕπ+=∈可得对称中心横坐标.11．已知00a b >>，，且4a b ab +=，则下列不等式正确的（）A ．16ab ≥B ．26a b +≥+．0a b -<D ．2211612a b +≥ 【答案】ABD【分析】利用基本不等式证明判断．【详解】因为00a b >>，，4ab a b =+≥=，当且仅当4a b =时等号成立，所以16ab ≥，A 正确；由4a b ab +=得401ab a =>-，1a >，同理4b >，44222(1)66611a a b a a a a +=+=-++≥=--，当且仅当42(1)1a a -=-，即1a =B 正确； 5,5a b ==满足题意，但0a b -=，C 错；由4a b ab +=得141a b +=，所以2221161421a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22116a b =即4b a =时等号成立，所以2211612a b +≥．D 正确．故选：ABD【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式证明不等式，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方本题考查的是证明不等式成立，不是求最值，因此即使等号取不到，不等式仍然成立． 12．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断；选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断；选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断.【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误；对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ，当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=，即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．三、填空题13．已知直线10x -=与圆22230x y x ++-=交于A ，B 两点，则AB =______．【答案】【分析】先求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，由AB =答案.【详解】圆22230x y x ++-=化为()2214x y ++=，则圆心为()1,02r -=，圆心到直线10x -=的距离为1d ==所以AB ===故答案为：14．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.52-=-.在数列{}n a 中，[lg ]n a n =，n ∈+N .记n T 为数列{}n a 的前n 项和，则2021T =___________.【答案】4956【分析】先对n 分类讨论，求出每一段的数列的和，再求2021T . 【详解】当19n ≤≤时，[]lg 0n a n ==；当1099n ≤≤时，[]lg 1n a n ==，此区间所有项的和为90.当100999n ≤≤时，[]lg 2n a n ==，此区间所有项的和为90021800⨯=.当10002021n ≤≤时，[]lg 3n a n ==，此区间所有项的和为102233066⨯=. 所以202190180030664956T =++=. 故答案为：4956. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点，其一是对n 分类讨论，其二是计算每一段内的所有项的和，弄准项数，不能计算出错.15．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928'︒，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱ABCDEF A B C D E '''''﹣的三个顶点,,A C E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则cos θ=________.（用含tan5444'︒的代数式表示）【答案】33tan 5444'︒【分析】利用DOB 的面积与BCD △的面积比可求cos θ的值.【详解】先证明一个结论：如图，ABC 在平面α内的射影为ABC '△，C AB C '--的平面角为θ（0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），则cos ABC ABCS S θ'=.证明：如图，在平面β内作CE AB ⊥，垂足为E ，连接EC '，因为ABC 在平面α内的射影为ABC '△，故CC α'⊥，因为AB α⊂，故CC AB '⊥，因为CE AB E ⋂=，故AB ⊥平面ECC '. 因为EC '⊂平面ECC '，故C E AB '⊥，所以CEC '∠为二面角的平面角，所以CEC θ'∠=.在直角三角形CEC '中，cos cos ABC ABCSEC CEC EC Sθ'''∠===.由题设中的第二图可得：cos DBO DBCS Sθ=.设正六边形的边长为a ，则22133224DBCSa a =⨯=，如图，在DBO 中，取BD 的中点为W ，连接OW ，则OW BD ⊥，且3BD a =，10928BOD '∠=︒，故312tan 5444OW a =⨯'︒，故21313132tan 54444tan 5444DBOSa a =⨯=''︒︒，故3cos θ=故答案为：33tan 5444'︒.【点睛】方法点睛：关于二面角的余弦值的计算，我们可用一个平面中的平面图形的面积与其在另一个平面的射影图形的面积的比值来处理. 16．当11,,22x k k k ⎡⎫∈-+∈⎪⎢⎣⎭Z 时，()f x k =.若函数()()1g x xf x mx =--没有零点，则正实数m 的取值范围是___________. 【答案】481,,235⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】将问题转化为函数()f x 与1()h x m x=+图象的交点问题，结合图象得出正实数m 的取值范围.【详解】当0x =时，(0)10g =-≠当0x ≠时，()10xf x mx --=可化为1()f x m x=+ 作出函数()f x 与1()h x m x=+的图象由图可知当0x <时，要使得函数()()1g x xf x mx =--没有零点必须满足1102h ⎛⎫-≤-< ⎪⎝⎭，解得12m ≤<当0x >时，要使得函数()()1g x xf x mx =--没有零点必须满足3122h ⎛⎫≤<⎪⎝⎭或者5232h ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，解得1433m ≤<或81355m ≤< 综上，481,,235m ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 故答案为：481,,235⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos 2cos C b A =.（1）求角A .（2）若b =BC 边上的高为3，求c . 【答案】（1）6A π=；（2）3c =或6c =.【分析】（1cos (2)cos C b A =，利用正弦定理结合两角和的正弦公)2sin cos A C B A +=求解；（2）由b =3BC h =，1sin 2A =，根据11sin 22ABCBC S bc A a h ==⋅解得a ，再利用余弦定理求解；【详解】（1）ABC 中，cos (2)cos C b A =-，cos 2sin cos cos A C B A C A =，)2sin cos A C B A +=，2sin cos B B A =； ∵B 为ABC 内角，sin 0B ≠，∴cos A =，又∵A 为ABC 内角， ∴6A π=.（2）因为11sin 22ABCBC Sbc A a h ==⋅将b =3BC h =，1sin 2A =代入，得3a =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是222)232c c =+-⨯，即29180c c -+=，解得3c =或6c =.【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 18．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足48S a =. （1）证明：249,,a a a 成等比数列；（2）若12,200m a S =≤，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为8.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由48S a =，得13d a =，再用1a 表示249,,a a a 可得答案；（2）由12a =得2*113,612m S m m ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，利用{}m S 是递增数列可得答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由48S a =，得11467a d a d +=+，即13d a =. 则11(1)(32)n a a n d n a =+-=-，所以2141914,10,25,a a a a a a ===所以2429a a a =，且10a ≠，所以249,,a a a 成等比数列.（2）若12a =，则2*111136,(31)3,2612m m a a d a S m m m m m +⎛⎫====-=--∈ ⎪⎝⎭N ，因为116<，所以数列{}m S 是递增数列，当8m =时，(31)184200m m -=<；当9m =时，(31)234200m m -=>. 所以正整数m 的最大值为8.【点睛】本题考查了数列的通项、前n 项和公式，解题的关键点是求出数列的通项公式，考查了学生的推理能力和计算能力.19．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：（1）建立y 关于x 的线性回归方程；（2）预测该村80％居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）222955y x =+；（2）7. 【分析】（1）本题首先可以求出x 、y ，然后求出b 、a ，即可求出y 关于x 的线性回归方程；（2）本题可设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，然后根据等差数列求和公式得出21185nS n n ，最后求出6S 、7S ，即可得出结果. 【详解】（1）1234535x ++++==，1015192328195y ，则5152222222211030579214053192212345535i ii i i x y nx yb x nx==-++++-⨯⨯===++++-⨯-∑∑，222919355a =-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程222955y x =+. （2）20080160％=，设222955na n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，易知数列{}n a 是等差数列，则12222922291155558225nnna a S n n n n =，因为6127.2S ，7163.8S ，所以预测该村80％居民接种新冠疫苗需要7天.【点睛】关键点点睛：本题考查线性回归方程的求法以及实际应用，能否根据表中数据求出b 、a 是解决本题的关键，考查等差数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.20．在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为BC ，1AB 的中点．（1）证明：//MN 平面11ACC A ；（2）若15AB AC AA ===2BC =，且1A 在底面ABC 上的正投影恰为点M ，求二面角1N BC C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（225．【分析】（1）在平面11ACC A 上找到一条线与MN 平行即可证明，即证明1//MN AC . （2）方法一，建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，将二面角转化为法向量的夹角进行计算即可；方法二，取11B C 的中点P ，先证明二面角即为1A MP ∠，在ABC 中求得AM 的长，在1AMA 中，求得1sin A MP ∠，结合11sin sin A MP AA M ∠=∠即可求得二面角的正弦值.【详解】解：（1）如图，连接1NA ，1A C ，因为N 为1AB 的中点，且四边形11ABB A 是平行四边形，所以N 为1A B 的中点，又M 为BC 的中点，所以1//MN AC ，又因为MN ⊄平面11ACC A ，且1CA ⊂平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A ；（2）方法一：由（1）可知二面角1N BC C --即为二面角11A BC C --，如图，连接AM 和1A M ，由1A 在底面ABC 上的正投影恰为M ，所以1A M ⊥平面ABC ，因此1A M BC ⊥，1A M AM ⊥，又因为AB AC =，且M 为BC 中点，故BC AM ⊥，即线段AM ，BC ，1MA 两两垂直，以点M 为坐标原点，AM ，BC ，1MA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则()0,0,0M ，()10,0,1A ，()2,0,0A -，()0,1,0B -，()0,1,0C ，对于平面1A BC ，因为AM ⊥平面1A BC ，且N ∈平面1A BC ，所以平面NBC 的一个法向量为()2,0,0AM →=，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z →=，因为()0,2,0BC →=，()112,0,1BB AA →→==，由10n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，则()1,0,2n →=-，设二面角1N BC C --的平面角为θ，则5cos 5n AMn AMθ→→→→⋅==，因此二面角1N BC C --的正弦值为255．（2）方法二：由（1）可知二面角1N BC C --即为二面角11A BC C --，如图，连接AM ，1A M ，取线段11B C 的中点P ，连接1PA 和PM ，因为1//AA MP 且1AA MP =，所以四边形1AMPA 为平行四边形，因为1A M ⊥平面ABC ，故1A M BC ⊥．又因为AB AC =且M 为BC 中点，所以BC AM ⊥，故BC ⊥平面1AMPA ，因此1BC A M ⊥，BC MP ⊥，故1A MP ∠为二面角11A BC C --的平面角，在ABC 中，222AMAB BM =-=，在1AMA 中，190AMA ∠=︒，2AM =，15AA =，故11125sin sin 5AM A MP AA M AA ∠=∠==，即二面角1N BC C --的正弦值为255．【点睛】方法点睛：（1）在平面上找到一条直线与面外一条线平行即可证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，通过求平面的法向量，把二面角转化为向量间的夹角来求得；（3）几何法求二面角时，要作出二面角，通过解三角形的办法求得二面角.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33，点,E F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且EOF △的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且点F 恰为EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22164x y +=；（2）存在，2925y x =-+.【分析】（1）根据椭圆的离心率公式与EOF △的面积列方程求得6a =2b =，即可求解方程；（2）因为点F 为EAB 的垂心，所以AB EF ⊥，根据AB 斜率设直线l 的方程，代入椭圆C 的方程，求出两根的关系，根据AF BE ⊥，转化为坐标方程式通过化简与计算即可求解直线方程．【详解】解：（1）由题可知222312c abc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22164x y +=；（2）假设满足条件的直线l 存在，由())0,2,E F -，所以EF k =因为点F 为EAB 的垂心，所以AB EF ⊥，所以2AB k =-，设直线l的方程为y x t =+，代入22164x y +=，得()227640x t -+-=，()，()()2224764966720t t ∆=--⨯⨯-=-+>，即t <<记()()1122,,,A x y B x y ，则()122127647x x t x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由AF BE ⊥2221yx +=-，所以12112220y y y x x ++=，将1122,22y x t y x t =-+=-+代入上式，得)()()2121232240x x t x x t t ++++=，所以())()22643224077-⨯+⋅++=t t t t ，所以25180t t +-=，解得95t =(2t =-舍去)，代入()满足0∆>，所以直线l 的方程为925y x =-+．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．已知函数()ln ,f x x x ax a =-∈R .（1）若2()0f x x+≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，证明：21()4xe f x x x->+. 【答案】（1）1(,2]2ln -∞+；（2）证明见解析.【分析】（1）将不等式2()0f x x +≥分离常数a ，得到22ln a x x ≤+恒成立，利用构造函数法，结合导数求得22ln x x+的最小值，由此求得a 的取值范围. （2）将要证明的不等式21()4xe f x x x->+转化为证21ln 4x e x x x x x -+>+，利用导数求得ln x x x +的最小值、以及214xe x x-+的最大值，进而证得结论成立. 【详解】（1）由题可得0x >. 若2()0f x x +≥恒成立，即2ln 0x x ax x -+≥，也即22ln a x x≤+恒成立，设函数22()ln ,0,h x x x x =+>则2333144(2)(2)()x x x h x x x x x-+-=-=='，令()0h x '=，可得2x =.当(0,2)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,2)上单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(2,)+∞上单调递增.所以函数()h x 在2x =时取得最小值1()(2)22min h x h ln ==+，所以122a ln ≤+，故a 的取值范围为1(,2]2ln -∞+. （2）当1a =-时，()ln ,0f x x x x x =+>. 要证21()4xe f x x x->+，即要证21ln 4x e x x x x x -+>+，因为()ln ,0f x x x x x =+>，所以()1ln 1ln 2,f x x x +='=++令()0,f x '=解得21=x e . 当21(0,)x e ∈时，()0,f x '<()f x 在21(0,)e 上单调递减；当21(,)x e∈+∞时，()0,f x '>()f x 在21(,)e +∞上单调递增，因此()f x 在21x e=处取得极小值，也是最小值，所以2211()()min f x f e e==-. 设函数21()4x e g x x x -=+，所以22(21)(21)()x x x e g x x -+-='，令2()21e ,x t x x =+-所以22()22e 2(1e )x x t x '=-=-，当0x >时，()0,t x '<所以()t x 在(0,)+∞上单调递减，所以()(0)0t x t <=. 当210x -=，即12x =时，()0,g x '= 当210x -<，即12x <时，()0,g x '>()g x 在1(0,)2上单调递增；当210x ，即12x >时，()0,g x '<()g x 在1(,)2+∞上单调递减，所以()g x 在12x =处取得极大值，也是最大值，所以max 1()()422g x g e ==-. 因为25142e 421,1,2e -<-⨯=-->-所以2142,e e -<-所以当1a =-时，21()4xe f x x x->+成立. 【点睛】研究不等式恒成立问题，可采用分离常数法，结合导数来求得参数的取值范围.。

2023届福建省厦门市高三毕业班适应性练习数学试题【含答案】

一、单选题1．已知()2i 3z -=，则在复平面内z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限A【分析】根据复数代数形式的除法运算法化简复数z ，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】因为()2i 3z -=，所以()()()32i 363i 63i 2i 2i 2i 555z ++====+--+，所以复数z 在复平面内所对应的点为63,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限；故选：A2．已知双曲线2221x y a-=的焦距为4，则其离心率为（）A B C ．2 D ．4B【分析】利用双曲线的焦距的定义及双曲线的标准方程的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】由双曲线2221x y a-=的焦距为4，可得2,1c b ==，所以ac e a ==故选：B.3．某餐馆在A 网站有200条评价，好评率为90%，在B 网站有100条评价，好评率为87%．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（） A ．88% B ．88.5% C ．89% D ．89.5%C【分析】根据已知数据直接计算可得. 【详解】解：由已知可得这家餐馆的好评率为20090%10087%89%200100⨯+⨯=+.故选:C.4．已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（）A ．7π3B C ．7π D ．B【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可. 【详解】由图可得，圆台的高为()2232122--=，故圆台的体积为()2222114222π1π2π1π2π33V =⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=.故选：B5．17世纪中叶，人们认为同时掷两枚骰子时，若不给两枚骰子标记号，两枚骰子的点数和为6或7的可能结果数相同，则出现的概率就应该相同．然而有人发现，多次的试验结果和人们的预想不一致，这个问题最终被伽利略解决．则（）A ．当不给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有5种B ．当给两枚骰子标记号时，出现点数和为7的结果有3种C ．出现点数和为7的概率为16D ．出现点数和为6的概率比出现点数和为7的概率更大 C【分析】根据古典概型的方法，将所有满足条件的情况列出再分析即可.【详解】对A ，当不给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有()1,5，()2,4，()3,3共三种情况，故A 错误；对B ，当给两枚骰子标记号时，出现点数和为7的结果有()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1共6种情况，故B 错误；对C ，由B ，出现点数和为7的情况共6种，投掷两枚骰子所有可能的情况有6636⨯=种，故出现点数和为7的概率为61366=，故C 正确；对D ，当给两枚骰子标记号时，出现点数和为6的结果有()1,5，()2,4，()3,3，()4,2，()5,1共5种情况，故出现点数和为7的概率为51366<，故D 错误；故选：C6．比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点A ，若平行光与桌面夹角为30，球的半径为R ，则点A 到球与桌面切点距离的最大值为（）A ．()43R - B ．3R C ．23R D ．()23R +D【分析】根据题意，利用平行投影作出图象求解. 【详解】解：由题意，如图所示，，则30,15,15BAC BAO AOB ∠=∠=∠=，所以A 到球与桌面切点距离的最大值为：()tan 75tan 3045AB R R =⋅=+⋅ ， tan 45tan 301tan 45tan 30R +=⋅-⋅，(3132331R R ==+-，故选：D7．已知定点M 在边长为1的正方形ABCD 外，且MA MB =，对正方形ABCD 上任意点N ，都有MNB 的面积12S MN MA =⋅，则BN MA ⋅的最大值为（） A ．12 B 2 C ．1 D 2C【分析】如图建立平面直角坐标系，依题意M 在线段AB 的垂直平分线上，根据面积公式及数量积的定义得到AM BM ⊥，即可确定M 的坐标，设(),N x y ，表示出BN MA ⋅，再由不等式的性质求出BN MA ⋅的取值范围，即可得解.【详解】如图建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()10B ,，()1,1C ，()0,1D ，因为MA MB =，所以M 在线段AB 的垂直平分线上，又12MNBS MN MA =⋅，即c 1o 12s sin 2AMN BMN MN MA MN MB ∠=∠⋅⋅，所以cos sin AMN BMN ∠=∠，则90AMN BMN ∠+∠=︒，所以90AMB ∠=︒，即AM BM ⊥，设1,2MM y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,2MAM y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,2M BM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以211022M AM BM y ⋅=-⨯+=，解得12M y =或12M y =-，又定点M 在边长为1的正方形ABCD 外，所以11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设(),N x y ，则()1,BN x y =-，11,22MA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()111112222x BN y x M y A ⋅=--+=--+，若N 在线段AB 上，则[]0,1x ∈，0y =，此时1122BN x MA =-+⋅，因为01x ≤≤，则11022x -≤-≤，所以102BN MA ≤⋅≤，则10,2BN MA ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦，若N 在线段AD 上，则[]0,1y ∈，0x =，此时1122BN y MA ⋅=+，因为01y ≤≤，则11022y ≤≤，所以112BN MA ⋅≤≤，则1,12BN MA ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦，若N 在线段DC 上，则[]0,1x ∈，1y =，此时()1111222B x A y M x N =--+=-+⋅，因为01x ≤≤，则11022x -≤-≤，所以112BN MA ⋅≤≤，则1,12BN MA ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦，若N 在线段BC 上，则[]0,1y ∈，1x =，此时()111222y B x N MA y =--+⋅=，因为01y ≤≤，则11022y ≤≤，所以102BN MA ≤⋅≤，则10,2BN MA ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦，综上可得[]0,1BN MA ⋅∈，即()max1BN MA=⋅，当且仅当01x y =⎧⎨=⎩，即N 点位于D 点时取得最大值.故选：C8．已知16211,ln ,e 1119a b c ===-，则（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b<c<aD ．b a c <<B【分析】构造函数()()21,e 12x xf xg x x+=-=--，()()()h x g x f x =-即可求导比较a c >，利用ln 1x x ≤-，即可比较b a >.【详解】1229261,1111111126++==--因为11()ln 1,()1x m x x x m x x x-'=-+=-=，当10010x ,m x,x m x，，故()m x 在()01，单调递增，在()1+∞，单调递减，故()()10m x m ≤=，所以ln 1x x ≤-在()0,x ∈+∞上恒成立，当911x =时，992ln 1111111<-=-，故b a > 法1：构造函数()()21,e 12x xf xg x x+=-=-- 当16x =时，16121,e 16116a f c g ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()()()()e 222x x xh x g x f x x---=-=-，令()()e 22x p x x x =---，则()()e 11xp x x =--'当()0,1x ∈时，()0p x '<，所以()p x 在()0,1单调递减所以()()00p x p <=，所以106h ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以a c >，故选B法2：由泰勒展式234e 12!3!4!!n xx x x x x n =+++++++ 所以1623411111e 162!63!64!6!6nn =+++++++⨯⨯⨯⨯345111*********!6666n⎛⎫<+++⨯+++++ ⎪⎝⎭3185161723!16⎛⎫⎪=+⨯ ⎪ ⎪-⎝⎭28511137265611=+⨯<⨯，所以c a < 故选:B本题考查了利用导数比较函数值大小.利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在比较函数值大小时，常采用两种思路：1直接利用基本初等函数的单调性比较；2构造函数，利用导数求解单调性.二、多选题9．今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（）A ．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数B ．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C ．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D ．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数 ABD【分析】根据图表信息逐一判断即可.【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球2》日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A 正确;由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差 ,所以B 正确.《满江红》日票房极差大于《流浪地球2》日票房极差,故C 错误 ;《满江红》日票房的第25百分位数70.25 1.75⨯=，第25百分位数是从小到大排序第2个数，《流浪地球2》日票房的第75百分位数70.75 5.25⨯=，第75百分位数是从小到大排序第6个数，《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数, 所以D 正确. 故选：ABD.10．已知函数()(),f x g x 的定义域都为(),g x R 为奇函数，且()()2f x g x +=，()()22f x g x +-=，则（） A ．()00f = B ．()10g =C ．1()0ni f i ==∑D ．1()0ni g i ==∑BD【分析】对A ，根据令0x =结合()g x 为奇函数推导即可；对B ，根据()()2g x g x =-结合()g x 为奇函数，再令1x =推导即可；对C ，求出()12f =判断即可；对D ，根据奇偶性与周期性可得()()*0,N g i i =∈，进而判断即可.【详解】对A ，由()()2f x g x +=，令0x =可得()()002f g +=，又()g x 为奇函数，故()00g =，()02f =，故A 错误；对B ，由()()2f x g x +=及()()22f x g x +-=可得()()2g x g x =-，又()g x 为奇函数，则()()()2g x g x g x =--=-，令1x =则()()()111g g g =--=-，故()()110g g =-=.故B 正确；对C ，由()()2f x g x +=及()10g =可得()12f =，当1n =时1()0ni f i ==∑不成立，故C 错误；对D ，由AB 可得()()010g g ==且()g x 周期为2，故()()*0,N g i i =∈，故1()0ni g i ==∑，故D 正确；故选：BD11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，则（）A ．3APB ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得AP ⊥平面1A BD C ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P AB ∥ D ．当12λμ+=时，三棱锥1P A BD -的体积为定值 AD【分析】建立空间直角坐标系，则可得出点P 的坐标，依次判定选项即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则1(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),B B C因为1BP BC BB λμ=+，][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，所以(1,,)(0,1,0)(0,0,1)P P P x y z λμ-=+ 所以(1,,)P λμ，对于选项A ，则(1,,),(0,0,0)P A λμ，所以22(1,,),1AP AP λμλμ==++ 因为][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，所以3AP ≤A 答案正确；对于选项B ，111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(0,1,1),A B D A B A D =-=- 当12λ=时，1(1,,)2P μ，1(1,,)2AP μ=,设面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00x z y z -=⎧⇒⎨-=⎩，令1y =，所以(1,1,1)n =，若AP ⊥平面1A BD ，则AP an =，1(1,,)(1,1,1)2a μ=无解，所以不存在点P ，使得AP ⊥平面1A BD ,故选项B 错误；对于选项C ，当12μ=时，111(1,,),(1,,),(1,0,0)22P A P AB =-=λλ,若1A P AB ∥，则1A P mAB =，1(1,,)(1,0,0)2m -=λ，无解，所以不存在点P ，使得1A P AB ∥，故C错误；对于选项D ，1A BD 21133222A BDS ==点P 到平面1A BD 的距离为11|||3A P n n ⋅+=λ，当12λμ+=时，点P 到平面1A BD 的距离为定值，则三棱锥1P A BD -的体积为定值，故D 选项正确. 故选：AD.12．欧拉函数()()*N n n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如()()21,42ϕϕ==，则（）A ．()()623ϕϕ=B ．n 是素数时，()1n n ϕ=-C ．()122nn ϕ-=D ．()21672ϕ=BCD【分析】根据给定的欧拉函数定义逐项分析计算判断即可. 【详解】对A 选项，由题知()()362ϕϕ==，所以A 选项错误对B 选项，当n 为素数时，显然()1n n ϕ=-成立，所以B 选项正确对C 选项，2的倍数都不与2n 互质，故共有12n -个，所以C 选项正确对D 选项，在16n~中，2的倍数共有62n 个，3的倍数共有63n个，6的倍数共有16n -个，所以()11666662623n n nnn n ϕ--=--+=⨯，所以()()3221662672ϕϕ==⨯=，所以D 选项正确故选：BCD.三、填空题13．设集合{}13A xx =≤≤∣，集合{B x y =∣，若A C B ，写出一个符合条件的集合C =__________．[]1,4（答案不唯一）【分析】求得{}1B xx =≥∣，再根据真子集的定义求解即可. 【详解】{}13A xx =≤≤∣，{}1B x x =≥∣，故若A C B ，则可有[]1,4C =. 故[]1,4（答案不唯一）14．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为__________． 60【分析】由题意利用二项式展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，建立方程解出n 的值，再利用公式求出展开式中的常数项.【详解】因为2nx ⎫⎪⎭的二项展开式为：()12C rn rr r nT x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以它的第二项的系数为：()12C 2n T =-该二项式的展开式中第二项的二项式系数为：1C n ，由2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以有：()11C C 2186n n n --=⇒=，所以二项式为62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由展开式通项为：()()()63621662C C 2rrrr r rr T x x x --+⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令63022rr -=⇒=，所以展开式中的常数项为()2236C 260T =⋅-= 故60.15．已知函数()sin cos (0)f x a x x ωωω=+>的图象如图所示，且12,0,,163A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()f x 的图象上，则a 的值为__________．3【分析】根据图象可利用周期得3πωπ53，进而将12,0,,163A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入，结合二倍角公式可得ωtan 36，即可求解.【详解】()()2sin cos 1sin ,f x a x x a x ωωωϕ=+++其中1tan a ϕ=，设周期为T ,由图象可知：11321π13π5,,,464362626T T ωω>+∴<，解得9πω3π5,故3πωπ53，由于12,0,,163A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()f x 图象上，所以sin cos =0sin cos 06666a a ，ωωωω⎛⎫⎛⎫-+-∴-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且222sin cos 12sin cos 2cos 033333a a ωωωωω+=-⇒+=，由于3πωπ53，所以ωcos03，故sincos033a ωω+=，故可得2ω2tan1ωω6tantanω631tan 6a，由于3πωπ1062，所以ωtan06，进而可得ωtan36，所以113ω33tan 6a，16．已知函数()()2ln ,f x mx x g x x mx =+=-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =存在公切线，则实数m的最大值为__________． 12/0.5 【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.【详解】()()1,2f x m g x x m x ''=+=-，假设两曲线在同一点()00,x y 处相切，则002000012ln m x m x mx x x mx⎧+=-⎪⎨⎪+=-⎩，可得2001ln x x -=，即200ln 10x x +-=，因为函数2ln 1y x x =+-单调递增，且1x =时0y =，所以01x =，则12m =，此时两曲线在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处相切，根据曲线的变化趋势，若m 继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以m 的最大值为12. 故答案为12四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos 0ab A a B +=． (1)求a 的值；(2)点D 在线段BC 上，120,45,1BAC BAD CD ∠∠===，求ABC 的面积．(1)a =【分析】（1）根据正弦定理、三角函数的和差角公式将条件变形可得答案；（2）由ACD ABDS CDSBD=可得AB AC =，然后由余弦定理可解出,AB AC ，即可得答案；或利用正弦定理结合结合条件求30ACB ∠=，然后再利用余弦定理及三角形面积公式即得. 【详解】（1）由正弦定理得：sin cos sin cos 0a B A C a A B +=．所以()sin cos cos sin a A B A B C +=所以()sin a A B C +．所以sin a C C =，因为sin 0C >，所以a =（2）法1；因为ACD ABDSCD SBD =，即1sin75213sin452AC AD AB AD ⋅=⋅，又()sin75sin 45sin302122=+=⨯=，所以1ACAB=，即AB AC =．在ABC 中，由余弦定理得223cos 2AB AC A AB AC +-=⋅，所以2223AB AB -=-，所以1AB AC ==，所以1311sin12024ABCS =⨯⨯⨯=法2：设ACB θ∠=，在ACD 中，由正弦定理得：()1sin75sin 75AC θ=+，同理在ABC 中()sin120sin 60AC θ=-，所以()()sin 753sin 60sin75sin120ACθθ+-==，θθ=，所以tan θ=，又()0,60θ∈，所以30θ=，即AB AC =. 在ABC 中，由余弦定理得223cos 2AB AC A AB AC +-=⋅得2223AB AB -=-，所以1AB AC ==. 所以1311sin12024ABCS=⨯⨯⨯=18．已知数列{}n a 满足*1121,,N n n na a a n a ++==∈． (1)证明21n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是等比数列；(2)若31n n b a =+，求{}n b 的前n 项和n S ． (1)证明见解析(2)1123nn S n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前n 项和公式，结合数列中的分组求和法即可求解. 【详解】（1）由题意得11222211221n n n n n n n n a a a a a a a a ++-+--==-⋅++++．又因为1121012a a -=-≠+，所以11211221n n n n a a a a ++-+=--+．所以21n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以12-为首项，12-为公比的等比数列.（2）由（1）得2112nnn a a -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．所以23111112nn n n n a b a a -⎛⎫==-=-- ⎪++⎝⎭．所以123123111*********n nn S b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-------- ⎪ =++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+=+++⎭()12311122111111111112222212nnn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦+++-----=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪=⎝++⎭++111112221312n nn n +⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 19．筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形ABCD 为筝形，其对角线交点为,2,2O AB BD BC ===，将ABD △沿BD 折到A BD '的位置，形成三棱锥A BCD -'．(1)求B 到平面A OC '的距离；(2)当1A C '=时，在棱A D '上是否存在点P ，使得直线BA '与平面POC 所成角的正弦值为14？若存在，求A P A D''的值；若不存在，请说明理由． (1)1 (2)存在；13A P A D =''或79A P A D =''【分析】（1）根据线面垂直的判定可得BD ⊥平面A OC '，进而可得B 到平面A OC '的距离112d BD ==. （2）以O 为原点，,,OD OE OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，再设[]()31,,0,12A P A D λλλλ⎛⎫='=-∈ ⎪ ⎪⎝'⎭，根据线面角的空间向量求法求解即可. 【详解】（1）因为2,2AB BD BC ===，所以BD 不可能为四边形ABCD 的对称轴，则AC 为四边形ABCD 的对称轴，所以AC 垂直平分BD ，所以,A O BD CO BD '⊥⊥．AO '⊂平面,A OC CO '⊂平面,A OC A O CO O ⋂'='所以BD ⊥平面A OC '．所以B 到平面A OC '的距离112d BD ==．（2）存在点P ，使得直线BA '与平面POC 所成角的正弦值为14．过O 作OE ⊥平面BCD ，所以,,OD OE OC 两两垂直.以O 为原点，,,OD OE OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系由（1）得平面BCD ⊥平面A OC '，因为1,3,1OA OC A C =='='所以312A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭'．设[]()31,,0,12A P A D λλλλ⎛⎫='=-∈ ⎪ ⎪⎝'⎭3311,22OP OA A P λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪''⎝⎭ ()3,0OC =设平面POC 的法向量(),,n x y z =00n OC n OP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以03311022y x y z λλ=⎧⎪⎫⎨⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 令2z λ=，则1x λ=-所以平面POC 的一个法向量()1,0,2n λλ=- 设直线BA '与平面POC 所成角为θ311,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭'2211sin cos ,42(1)4BA n BA n BA nλλθλλ⋅-+====⨯-+'''．所以13λ=或79λ=，所以存在点P ，使得直线BA '与平面POC 所成角的正弦值为1143A P A D =''或79A P A D =''． 20．甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．(1)在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；(2)赛事主办方需要预支球队费用a 万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定a 的值，才能使其获利（获利=总收入-预支球队费用）的期望高于a 万元？ (1)2137(2)261a <【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定a 的值. 【详解】（1）记事件A 为“比赛进行4场结束”；事件B 为“甲最终获胜”，事件i A 表示“第i 场甲获胜”()1,2,3,4,5i =，事件M 为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件N 为“比赛进行4场结束乙获胜”．则()()()()()12534,0.6,0.5A M N P A P A P A P A P A =⋃=====，因为各场比赛结果相互独立，所以()()()()123412341234P M P A A A A P A A A A P A A A A =++0.60.60.50.50.60.40.50.50.40.60.50.50.21=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()()()123412341234P N P A A A A P A A A A P A A A A =++0.40.40.50.50.40.60.50.50.60.40.50.50.16=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，因为,M N 互斥，所以()()()0.210.160.37P A P M P N =+=+=．又因为M AB =，所以由条件概率计算公式得()()()()()0.21210.3737P AB P M P BA P A P A ====∣. （2）设主办方本次比赛总收入为X 万元，由题意：X 的可能取值为：300,500,700．()()()1231233000.60.60.50.40.40.50.26P X P A A A P A A A ==+=⨯⨯+⨯⨯=，()()5000.37P X P A ===，()()()700130010.260.370.37P X P A P X ==--==--=，则随机变量X 的分布列为：所以()3000.265000.377000.37522E X =⨯+⨯+⨯=．设主办方本次比赛获利为Y 万元，则Y X a =-，所以()()()E Y E X a E X a =-=-，由题意：()()()2612E X E Y a E X a a a >⇒->⇒<=，所以预支球队的费用应小于261万元．21．已知点()0,0O ，点()0,1F ，点M 是x 轴上的动点，点N 在y 轴上，直线MN 与直线MF 垂直，N 关于M 的对称点为P ．(1)求P 的轨迹Γ的方程；(2)过F 的直线l 交Γ于,A B 两点，A 在第一象限，Γ在A 处的切线为,l l ''交y 轴于点C ，过C 作OB 的平行线交l 于点,D ACD ∠是否存在最大值？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． (1)24x y =(2)存在；1y =+【分析】（1）利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解，或者利用菱形的性质以及抛物线的定义可判断点P 的轨迹是以()0,1F 为焦点，1y =-为准线的抛物线．（2）将问题转化为直线OB 与l '的倾斜角之差最大．联立直线与抛物线方程，得到韦达定理，求导得切线斜率，即可利用倾斜角与斜率的关系，结合正切的和差角公式以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）法1：设()()(),0,0,,,M a N b P x y因为MF MN ⊥，所以0MF MN ⋅=，即20a b +=．又2,x a y b ==-，所以202x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以24x y =法2：如图，设F 关于M 的对称点为Q ，由已知得，,FQ NP 互相垂直平分所以四边形PFNQ 为菱形，所以PF PQ =．因为M 为FQ 中点，所以1Q F y y =-=-，即Q 点在定直线1y =-上因为PQ FN ∥，所以PQ 与直线1y =-垂直即点P 到定点()0,1F 的距离等于点P 到定直线1y =-的距离所以点P 的轨迹是以()0,1F 为焦点，1y =-为准线的抛物线．所以点P 的轨迹Γ的方程为24x y =．（2）ACD ∠存在最大值．延长BO 交AC 于,E AEB ACD ∠∠=，所以ACD ∠最大即直线OB 与l '的倾斜角之差最大．由题意可知直线l 有斜率，设()()1122:1,,,,l y kx A x y B x y =+，（1>0x ）由214y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --= 所以12124,4x x k x x +==-．因为242x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以l '的斜率112x k =，OB 的斜率22224y x k x ==．设直线l '与OB 的倾斜角为12,θθ，则 ()2121211212tan tan tan 1tan tan 1k kk k θθθθθθ---==++．21212121124242244221188x x x x x x x x x x --⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭++112x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当112x x =即1x2x =- 因为()21tan 0θθ-<，所以21π,π2θθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以当()21tan θθ-最大时，21θθ-最大，即ACD ∠最大此时12A ⎫⎪⎭，所以124x x k +==所以l的方程为1y =+．圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()()()e 12cos 3sin xf x x a x =-+-．(1)当1a =时，讨论()f x 在区间[)0,∞+上的单调性； (2)若()3π,,04x f x ∞⎡⎫∀∈-+≥⎪⎢⎣⎭，求a 的值．(1)()f x 在区间[)0,∞+上的单调递增 (2)1【分析】（1）代入1a =，再根据0x ≥结合指数函数、三角函数的范围判断导函数的正负即可；（2）注意到()()00,033f f a ='=-，进而可得()3π,,04x f x ∞⎡⎫∀∈-+≥⎪⎢⎣⎭则()00f '=，再分析当1a =时，求导分析导函数的正负与单调性，进而可得()f x 的最小值为0判断即可.【详解】（1）当1a =时，()()()e 2cos 2cos 3sin x f x x x x =+-++()()()e 2cos sin sin 3cos x f x x x x x =+---+'．因为0x ≥，所以()()()2cos sin sin 3cos 22cos 0f x x x x x x ≥+---+=-≥'．所以()f x 在区间[)0,∞+上的单调递增．（2）()()()()()e 2cos sin sin 3cos ,00,033x f x x x x a x f f a '=+--'-+==-，当1a >时，()00f '<，所以存在0σ>，当(),x σσ∈-时，()0f x '<则()f x 在区间(),σσ-上单调递减，所以当()0,x σ∈时，()()0f x f <，不满足题意当1a <时，()00f '>，所以存在0σ'>，当(),x σσ∈-''时，0f x则()f x 在区间(),σσ-''上单调递增，所以当(),0x σ∈-'时，()()0f x f <，不满足题意所以1a =．下面证明1a =时，()3π,,04x f x ∞⎡⎫∀∈-+≥⎪⎢⎣⎭ 由（1）知，()f x 在区间[)0,∞+上的单调递增，所以当0x ≥时，()()00f x f ≥= 所以只要证明()3π,0,04x f x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦. 令()()()()e 2cos sin sin 3cos x g x f x x x x x ==+--'-+令()()()()e 22sin cos 3sin x h x g x x x x ==-++'，则()()()e 22sin 2cos sin 3cos x h x x x x x =--+-+'πe 23cos sin 4x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，得πsin 4x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭所以π204x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，所以()0h x '≥，所以()h x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增且()π2π4e 30,0302g g -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭''，所以1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0g x '=. 且当1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]1,0x x ∈时，()0g x '> 所以()f x '在区间1π,2x ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间(]1,0x 上单调递增且()π2π3e 10,002f f -⎛⎫-=-<⎪⎭''= ⎝，所以当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤ 所以()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()00f x f ≥= ②当3ππ,42x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， ()()()π2e 22sin cos 3sin g x x x x -≤-++'()()122sin cos 3sin 1cos 2sin 2x x x x x ≤-++=++因为cos 0,22sin x x ≤≤-≤≤1cos 2sin 0x x ++≤，所以()0g x '≤ 所以()f x '在区间342ππ,⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减且3ππ423ππ2e 0,3e 1042f f --⎛⎫⎛⎫''-=>-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以23ππ,42x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，使得()0f x '= 当23π,4x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，0f x ；当2π,2x x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()0f x '< 所以()f x 在区间23π,4x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间2π,2x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减且3ππ423ππe 220,2e 1042f f --⎛⎛⎫⎛⎫-=+>-=+> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以当3ππ,42x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥ 综上，a 的值为1.本题主要考查了根据导数分析函数的单调性问题，同时也考查了利用导数分析函数的恒成立问题.需要根据函数的结构，注意以特殊点为突破口，不断对导数进行求导，结合三角函数的范围分区间讨论函数的正负与单调性，进而可得导数的正负与原函数的单调性与最值.属于难题.。

【高三】2021年高三数学5月适应性考试文科试题(厦门市含答案)

【高三】2021年高三数学5月适应性考试文科试题(厦门市含答案)2021年厦门市高中毕业班适应性考试数学（文科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 参考公式:柱体体积公式r = Sh，其中S为底面面积,A为?.第I卷(选择题:共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在?小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式x(2x-1)≤0的解集是A. ( - , ]B. ( - ,0) U (0, ]C.[- -, + )D. [0, ]2.如图,把一个单位圆八等分，某人向圆内投镖，则他投中阴影区域的概率为A. B .C. D.3.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C= 120°,c= a,则A. a > bB. a < bC. a = bD. a与b的大小关系不能确定4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为20，则判断框内应填入的条件为A. a≥5B. a≥4C. a≠t3D.a≥25.若x=1是函数的一个极值点,则 0等于A. B. C. 或 D. 或6.“a = l”是“直线 ax + (2 -a)y =O 与 x- ay = 1 垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知平面向量a,b满足a?b，a= (1, -2)，b = ，则b等于A. (4,2)B. (6,3)C.(4，2)或（-4，-2)D.(-6,-3)或(6,3)8.�D个底面是等腰直角三角形的三棱柱,其侧棱垂直底面,侧棱长与底面三角形的腰长相等，它的三视图中的俯视图如图所示，若此三棱柱的侧面积为8+ 在，则其体积为A.4B.8C4 D.9.下列函数中，周期为，且在[ ]上为增函数的是A. B.C. D.10.已知函数f(x) =2x，g(x)=lon2x,h(x)=x2则A.它们在定义域内都是增函数B.它们的值域都是(0，+ )C.函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称D.直线y=x- -是曲线y=h(x)的切线11.巳知椭圆与双曲线有公共焦点F1,F 2,点P是两曲线的一个交点，若PF1.PF2=2，则B2 + n2的值为A.1B.2C.3D.412.已知正方形OABC的四个顶点分别是0(0，0)，A(1，0),B(1，1)，C(0，1),设u=x2-y2 ，v=2xy是一个由平面xOy到平面UOV上的变换,则正方形OABC在这个变换下的图形是第II卷（非选择题:共90分）二、填空题:本大题共4小题,?小题4分,共1 6分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若复数z= (a+2i) (1-2i) (a∈ R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_____14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过 l，3，6，10，…，可以用如图所示的三角形点阵来表示，那么第10个点阵表示的数是_______15.已知实数x,y满足则z-2x-3y的最大值是_______,16.函数f(x)对任意实数x都有 , ，给出如下结论：①函数g(x)对任意实数x都有，g(x+π)=g(x-π);②函数f1(x),(幻是偶函数；③函数f2(x)是奇函数；④函数f1(x)，F2(X)都是周期函数，且π是它们的一个周期.其中所有正确结论的序号是________三、解答题:本大题共6小题，共7 4分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17.(本小题满分12分）数列{ an}中,a1 =3,an=an -1 +3(n≥2,n ),数列{bn}为等比数列b1=a2,b2 =a4(I)求数列{an}的通项公式；(II)求数列{bn}的前n项和.18.(本小题满分12分）如图，等边ΔABC的中线AF与中位线D E相交于点G,将ΔAED沿DE折起到ΔA'ED的位置.(I)证明:BD//平面A'EF;(II)当平面A'ED?平面BCED时，证明:直线A'E与 BD不垂直.19.(本小题满分12分）函数.f(x)=Asin( x+ )(A>0, >0,0< < 在一个周期内的图象如图所示,P是图象的最?点，Q是图象的最低点，M是线段PQ与x轴的交点，且，(I)求函数y=f(x)的解析式；(II)将函数y =f (x)的图象向右平移2个单位后得到函数y = g(x)的图象，试求函数h(x)=F(X).g(x)图象的对称轴方程.20.(本小题满分12分）中国经济的?速增长带动了居民收入的提?.为了调查?收人(年收入是当地人均收入10 倍以上)人群的年龄分布情况，某校学生利用暑假进行社会实践，对年龄在[25,55)的人群随机调?了 1000人的收入情况，根据调?结果和收集的数据得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图.(I)补全频率分布直方图,根据频率分布直方图,求这1000人年龄的中位数；(II)求统计表中的a,b;(III)为了分析?收入居民人数与年龄的关系，要从?收入人群中按年龄组用分层抽样的方法抽取25人作进一步分析，则年龄在[30，40)的?收人人群应抽取多少人？21.(本小题满分12分）已知圆C1：x2 + (Y -1)2 = 1，抛物线C2的顶点在坐标原点,焦点F为圆C1的圆心.(I)已知直线L的倾斜角为：，且与圆C1相切,求直线L的方程；(II)过点F的直线m与曲线C1,C2交于四个点,依次为 A，B，C，D( 如图），求AC?丨BD的取值范围.22.(本小题满分14分）巳知函数f(x)的定义域是(0, 是f(x)的导函数，且在(0，+ )内恒成立.(I)求函数f()= 的单调区间；(II)若f(x) =lnx+ax2，求a的取值范围；感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2020届福建省厦门市高三下学期5月模拟考试数学(文)试卷及解析

2020届福建省厦门市高三下学期5月模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 若复数12,z z 在复平面内对应点的坐标分别为(2,1),(0,1)-,则12z z ⋅=（）A. 2i +B. 12i -C. 12i --D. i -【答案】B【解析】根据复数的几何意义可得122,z i z i =+=-,再利用复数相乘,即可得到答案；【详解】122,z i z i =+=-, ∴12())122(z i i z i ⋅=⋅-=-+,故选：B.2. 已知集合{}2|0,{|1}A x x B y y =>=>,则A B =（） A. RB. (0,)+∞C. [0,)+∞D. (,0)(0,)-∞+∞【答案】D【解析】直接根据集合的并集运算,即可得到答案；【详解】{}{}2|0|0,{|1}A x x x x B x x =>=≠=>,-∞+∞,∴A B=(,0)(0,)故选：D.3. 某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图,下列说法中错误．．的是（）A. 8月份的利润最低B. 7至9月份的平均收入为50万元C. 2至5月份的利润连续下降D. 1至2月份支出的变化率与10至11月份支出的变化率相同【答案】C【解析】根据收入和支出图中的数据,可得利润变化情况,即可得到答案；【详解】对A,8月份利润为10万元最低,故A正确；对B,7-9月份的收入分别为40,50,60万元,∴平均收入为50万元,故B正确；对C,3月份利润相对2月份是增加了10万元,故C不正确；对D,1至2月份和10至11月份的支出都是增加30万元,∴变化率相同,故D正确；故选：C.4. 某程序框图如图所示,则该程序的功能是（）。

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)

2020年福建省厦门市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别为OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则复数z 1+2z 2=( )A. −2+iB. −2+3iC. 1+2iD. −12. 设集合A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|0<x <4}，则A ∪B =( )A. [−1,4)B. [−1,3)C. (0,3]D. (0,3)3. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )A. 2至3月份的收入的变化量与11至12月份的收入的变化量相同B. 支出最高值与支出最低值的比是6：1C. 第三季度平均收入为50万元D. 利润最高的月份是2月份4. 执行如图所示的程序框图，程序所输出的结果是( )A. 4B. 10C. 46D. 225. 射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0,I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.6931，结果精确到0.001)A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.1166. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为AC 的中点，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知函数y =f(|x |)的图象如图所示，则函数y =f(x)的图象不可能是( )A.B.C.D.8. 双曲线C:x 24−y 22=1 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO 的面积为( )A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29. 已知a ，b ∈R ，则“b ≥0”是“(a +1)2+b ≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()A. x=kπ2−π6(k∈Z) B. x=kπ2+π6(k∈Z)C. x=kπ2−π12(k∈Z) D. x=kπ2+π12(k∈Z)11.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若l⊥m，l⊥n，且，则l⊥α．B. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//βC. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//n，n⊥α，则m⊥α12.已知函数f(x)={(x−2)(x−e x)+3,x≥ln23−2x,x<ln2，当x∈[m,+∞)时，f(x)的取值范围为(−∞,e+2]，则实数m的取值范围是()A. (−∞,1−e2] B. (−∞,1] C. [1−e2,1] D. [ln2,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+1，则f′(1)=______ ．14.若过点(−1,−2)的直线l被圆x2+y2−2x−2y+1=0截得的弦长为√2，则直线l的斜率为________．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______．16.已知△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若1+tanAtanB =2cb，则a2bc的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，且a2=3，{a n}的前4项和为16，数列{b n}满足b1=4，b4=88，且数列{b n−a n}为等比数列．(1)求数列{a n}和{b n−a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和S n．18.为检测某种零件的生产质量，检验人员抽取了同批次的零件作为样本进行检测并评分，若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件．(1)已知200个合格零件评分结果的频率分布直方图如图所示，请根据此频率分布直方图，估计这200个零件评分结果的平均数和中位数；(2)现有7个零件的评分结果为(单位：分)：63，73，75，76，78，85，91，若从评分结果在(60,80]内的所有零件中随机抽取3个，求恰有2个零件的评分结果在(70,80]内的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2，E是PC的中点．(1)求证：ED//平面PAB；(2)求三棱锥A−PDE的体积．20. 如图，已知定点D(1,0)，点P 是圆C ：(x +1)2+y 2=16上任意一点，线段PD 的垂直平分线与半径CP 相交于点M ．(I)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程；(II)过定点Q(0,1)且斜率为k 的直线l 与M 的轨迹交于A 、B 两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，求点O 到的直线l 的距离．21.已知函数f(x)=lnx，g(x)=ax2+(2a+1)x，μ(x)=f(x)+g(x)．(1)讨论μ(x)的单调性；(2)当a<0时，证明4aμ(x)+8a+3≥0．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|4−2x|+|x+1|．(1)解不等式f(x)≥9；(2)若14a +1b=f(2)3(a>0,b>0)，求证：a+4b≥254．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z1=−2−i，z2=i，∴z1=−2+i．则复数z1+2z2=−2+i+2i=−2+3i．故选：B．由z1，z2求出z1然后代入复数z1+2z2计算得答案．本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：A解析：解：∵集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|0<x<4}，∴A∪B={x|−1≤x<4}=[−1,4)．故选：A．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题．通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．解：A，2至3月份的收入的变化量为80−60=20，11至12月份的变化量为70−50=20，故相同，故A正确．B，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，故B正确．C，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入=50万元，故C正确．为40+50+603D，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80−60=20万元，故D。

2021届福建省厦门市高三5月月考文科数学试卷

2021年福建省厦门市高三5月月考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{2,1,0,1,2}A =--，{|21}xB x =>，则AB =（）A ．{1,2}-B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 2．幂函数y =f(x)的图象经过点(2,4)，则f(x)的解析式为（） A ．f(x)=2x B ．f(x)=x 2 C ．f(x)=2x D ．f(x)=log 2x +33．一个口袋中装有大小和形状完全相同的2 个红球和2个白球，从这个口袋中任取2个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是（） A ．16B ．13C ．12D ．234．双曲线 ()222210,0x y a b a b -=>>的实轴为12A A ，虚轴的一个端点为B ，若三角形12A A B 2，则双曲线的离心率为（）A BC D 5．若2sin 21cos2αα=-，则tan α等于（）A ．-2B ．2C ．-2或0D ．2或0 6．已知向量(1,),(3,3)a m b ==，若向量,a b 的夹角为3π，则实数m 的值为（）A ．．3-C ．3D 7．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值等于（）A ．1B ．12C ．0D ．−128．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（）①若,ααβ⊥⊥m ，则m β； ②若,,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥；③若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ∥； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④9．若实数,x y 满足约束条件2027030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则1y z x =+的最大值为（）A ．32 B ．1 C ．12 D ．51410．若函数()cos (0)f x x ωω=>在区间(,)34ππ-上有且只有两个极值点，则ω的取值范围是（）A ．[2,3)B ．(2,3]C ．(3,4]D ．[3,4)11．已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA⋅的取值范围是（） A ．2[,9]3B ．[1,9]C ．2[,1]3D．12．已知函数,0()1ln ,0kx f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的方程(())0f f x =有且只有一个实数解，则实数k 的取值范围是（） A ．(1,0)(0,)-+∞ B ．(,0)(0,1)-∞ C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞二、填空题13．若复数z 满足(1)2i z i -=，则z 在复平面内对应的点在第象限. 14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(),-∞+∞上单调递减，若()()3110f x f ++≥，则x 的取值范围是_________．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是 .16．在ABC ∆中,角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2135,1,sin sin 10A cBC ===，则b =__________．三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足422a a -=，且137,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 18．某商场对甲、乙两种品牌的牛奶进行为期100天的营销活动，为调查这100天的日销售情况，用简单随机抽样抽取10天进行统计，以它们的销售数量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图，已知该样本中，甲品牌牛奶销量的平均数为48件，乙品牌牛奶销量的中位数为43件，将日销售量不低于50件的日期称为“畅销日”.（1）求出,x y 的值；（2）以10天的销售量为样本，估计100天的销量，请完成这两种品牌100天销量的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关.19．如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，∠DAB ＝60°，AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，QD ⊥平面ABCD ，PA ∥QD ，PA ＝1，AD ＝AB ＝QD ＝2.(1)求证：平面PAB ⊥平面QBC ； (2)求该组合体QPABCD 的体积． 20．已知函数()(2)ln 1f x x x =-+.（1）判断()f x 的导函数()f x '在(1,2)上零点的个数；（2）求证：()0f x >.21．已知点F 为抛物线2:4E x y =的焦点，直线l 为准线，C 为抛物线上的一点（C 在第一象限），以点C 为圆心，||CF 为半径的圆与y 轴交于,D F 两点，且CDF ∆为正三角形.（1）求圆C 的方程；（2）设P 为l 上任意一点，过P 作抛物线24x y =的切线，切点为,A B ，判断直线AB 与圆C 的位置关系.22．选修4-1：几何证明选讲如图，,AD CF 分别是ABC ∆的中线和高线，,PB PC 是ABC ∆外接圆O 的切线，点E 是PA 与圆O 的交点.（1）求证：AC CD AF PC ⋅=⋅；（2）求证：DC 平分ADE ∠. 23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.（1）写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点,M N 的极坐标；（2）设P 是椭圆2213x y +=上的动点，求PMN ∆的面积的最大值. 24．选修4-5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-.（1）求不等式()2|1|f x x <++的解集；（2）已知,m n R +∈且112mn m n+=，求证：()()6mf n nf m +-≥.参考答案1．C 【解析】试题分析：因12>x ,故0>x ，所以A B =}2,1{,故应选C.考点：集合的交集运算． 2．B 【解析】试题分析：设f(x)=x a ,由已知有f(2)=4,所以2a =4,所以a =2,则f(x)=x 2,选B ．考点：幂函数定义． 3．D【解析】试题分析：基本事件总数n =C 42=6，取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数m =C 21C 21=4，∴取得的两个球中恰有一个红球的概率p =m n=46＝23．故选D ．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 4．B 【解析】试题分析：双曲线实轴12A A 的长度为2a ,虚轴的一个端点为B ,坐标为(0,)b (假设在x 轴上方),则12122A AB S a b ab ∆=⨯⨯=,而122A A B S ∆=,所以a =,在双曲线中,222c a b =+,所以223c b =,离心率c e a ===选B ．考点：双曲线的简单几何性质． 5．D 【解析】试题分析：因ααα2sin 2cos sin 4=,故2tan =α或0，所以应选D.考点：三角变换中的倍角公式． 6．B 【解析】试题分析：因m 33+=⋅且)1(33cos13222m m +=+⋅=⋅π，故222])1(3[)33(m m +=+，解之得33-=m ,所以应选B. 考点：向量的数量积公式及运用． 7．A 【解析】试题分析：经分析,本题程序框图是求∑coskπ3i=6i=0,所以输出的结果s =cos 6π3+cos5π3+cos4π3+cos3π3+cos2π3+cos π3+cos0=1,选A ．考点：程序框图． 8．D 【解析】可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对，故选D. 9．A 【解析】试题分析：因画出不等式组表示的区域如图, 1yz x =+的几何意义是区域内的动点),(y x P 与定点)0,1(-A 连线的斜率,借助图形不难看出区域内的点)3,1(M 与定点)0,1(-A 连线的斜率最大,最大值为231103=+-=k ，所以的最大值为32,应选A.考点：线性规划的知识及运用． 10．C【解析】试题分析：当2=ω时,函数x x f 2cos )(=,周期π=T ,结合函数x x f 2cos )(=的图象,在区间)4,3(ππ-内只有一个极值点0=x 不合题设,所以答案A 被排除；当3=ω时,函数x x f 3cos )(=,周期32π=T ,结合函数x x f 3cos )(=的图象,在区间)4,3(ππ-内只有一个极值点0=x 不合题设,所以答案B, D 被排除,故只能选答案C. 考点：三角函数的图象和性质．【易错点晴】本题是以极值点的个数为背景给出的一道求范围问题的问题.解答时常常会运用导数求解,这是解答本题的一个误区之一,这样做可能会一无所获.但如果从正面入手求解,本题的解题思路仍然难以探寻,其实只要注意到本题是选择题可以运用选择的求解方法之一排除法.解答本题时充分借助题设条件中的四个选择支的答案提供的信息,逐一验证排除,最终获得了答案,这样求解不仅简捷明快而且独辟问题解答跂径. 11．A 【分析】设A 点坐标，根据向量数量积的坐标运算及点A 在椭圆上，建立关于点A 横坐标的函数关系式，即可求得向量乘积的最值。

福建省厦门市2020届高三5月质量检查数学(文)试题含解析

厦门市2020届高中毕业班5月质量检查数学（文科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数12,z z 在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,1)-，则12z z ⋅=（） A. 2i + B. 12i -C. 12i --D. i -【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义可得122,z i z i =+=-，再利用复数相乘，即可得到答案；【详解】122,z i z i =+=-，∴12())122(z i i z i ⋅=⋅-=-+，故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的乘法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 已知集合{}2|0,{|1}A x x B y y =>=>，则A B =（）A. RB. (0,)+∞C. [0,)+∞D.(,0)(0,)-∞+∞【答案】D 【解析】【分析】直接根据集合的并集运算，即可得到答案；【详解】{}{}2|0|0,{|1}A x x x x B x x =>=≠=>，∴A B =(,0)(0,)-∞+∞，故选：D.【点睛】本题考查集合的描述法及并集运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误．．的是（）A. 8月份的利润最低B. 7至9月份的平均收入为50万元C. 2至5月份的利润连续下降D. 1至2月份支出的变化率与10至11月份支出的变化率相同【答案】C 【解析】【分析】根据收入和支出图中的数据，可得利润变化情况，即可得到答案；【详解】对A ，8月份利润为10万元最低，故A 正确；对B ，7-9月份的收入分别为40，50，60万元，∴平均收入为50万元，故B 正确；对C ，3月份利润相对2月份是增加了10万元，故C 不正确；对D ，1至2月份和10至11月份的支出都是增加30万元，∴变化率相同，故D 正确；故选：C.【点睛】本题考查统计中图的信息读取，考查数据处理能力，属于基础题. 4. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A. 输出1352019+++⋯+的值B. 输出1352021++++的值C. 输出1232019+++⋯+的值D. 输出1232020+++⋯+的值【答案】A 【解析】【分析】由程序框图的循环结构，可得程序功能为数列求和；【详解】1,1i S ==，3,13i S ==+，2019,1352019i S ==+++⋯+，2021i =，输出S 的值，故选：A.【点睛】本题考查利用程序框图进行数列求和，考查阅读程序框图的能力，属于基础题.5. 射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.116【答案】C 【解析】【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 6. 在ABC 中，点D 满足12BD CD =，则AD =（） A. 2AB AC -B. 2AB AC -+C. 1122AB AC +D.2133AB AC + 【答案】A 【解析】【分析】根据共线向量定理可得B 为CD 的中点，再根据向量的加法和减法法则，即可得答案；【详解】12BD CD =，∴B 为CD 的中点，()2AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC =+=+=+-=-，故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，求解时注意回路的选择.7. 已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数x by a+=的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的最大值为0.5，可得0,b <再根据周期2Tπ>，可得01a <<，即可得答案；【详解】sin 10.5y ax b b =+≤+=，∴0.5b =-，又2Tπ>，∴01a <<， x b y a +=是由函数x y a =向右平移0.5个单位得到，且x y a =单调递减，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的最值、周期、指数函数的单调性和平移问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8. 双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在渐近线上，O 为坐标原点，且||||OP OF =，则OPF △外接圆的面积是（） A. π B.43π C. 2πD.163π 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线，结合||||OP OF =可得三角形为正三角形，再利用正弦定理可得外接圆的半径，最后利用圆的面积公式，即可得答案；【详解】双曲线的渐近线为y =，∴60POF ∠=，||||OP OF =，∴OPF △的边长为2c =的等边三角形， ∴22sin 60r r =⇒=∴243S r ππ==，故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、正弦定理求外接圆的面积，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9. 已知0a >，0b >，则“4a b +≥”是“4ab ≥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分别作出条件4a b +≥和4ab ≥所表示的平面区域，再根据集合的关系，即可得答案；【详解】作出条件4a b +≥和4ab ≥所表示的平面区域，如图所示：设直线条件4a b +≥所表示的区域为集合A ，条件4ab ≥所表示的区域为集合B ，∴B 是A 的真子集，∴4a b +≥推不出4ab ≥，而4ab ≥可推出4a b +≥， ∴“4a b +≥”是“4ab ≥”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查条件所表示的区域问题及利用集合间的关系判断必要不充分条件，考查数形结合思想的应用.10. 函数2()2sin sin 21f x x x ωω=+-的图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是（） A .1B. 2C. 4D. 6【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数()2)4f x x πω=-，再根据平移后的图象与原图象有相同的对称轴，可得*,24T k k N π⋅=∈，再利用周期公式，即可得答案；【详解】21cos 2()2sin sin 212sin 212)24x f x x x x x ωπωωωω-=+-=+-=-，图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴， ∴*,24T k k N π⋅=∈，∴*2,k k N ω=∈， ∴ω的最小值为2，故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换、辅助角公式、三角函数的平移变换和图象性质，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时对平移变后图象的理解是解题的关键. 11. 如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D ．把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C ．翻折过程中，有下列三个结论：①1DE A C ⊥；②存在某个位置，使1A E BE ⊥； ③若12CF FA =，则BF 的长是定值．其中所有正确结论的编号是（） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】【分析】根据翻折前后垂直的不变量，及排除法和反证法，即可得答案；【详解】对①，ED AC ⊥于D ，∴11,,DE A D DE CD A D CD D ⊥⊥⋂=，∴DE ⊥平面1A CD ，∴1DE A C ⊥，故①正确；对②，假设存在某个位置，使1A E BE ⊥，CE BE ⊥，1CE A E E ⋂=，∴BE ⊥平面1A CE ，1A C BE ⊥，又由①知1DE A C ⊥，∴1A C ⊥平面ABC ， ∴12ACD π∠=，∴1A D CD >，这显然是不可能的，故假设错误，故②错误；利用排除法，可得B 正确；故选：B.【点睛】本题考查立体几何中图形的翻折问题、线面、面面的垂直关系问题，考查空间想象能力，求解时注意翻折前后的不变量.12. 若函数ln(1)2,0,()1,0.x ax x f x x a x x +-->⎧⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为(1)f -，则实数a 的取值范围为（） A. (,]e -∞ B. 10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [),e +∞【答案】C 【解析】【分析】分别求出函数()f x 在0x >和0x <的最大值，再由函数的最大值为(1)f -，可得关于a 的不等式，解不等式即可得答案；【详解】当0x >时，()ln(1)2f x x ax =+--，'1()1f x a x =-+，若0a ≤，则'()0f x >在0x >恒成立，∴()f x 在(0,)+∞，且x →+∞时，()f x →+∞，∴函数的最大值不可能为(1)f -，∴0a >，当'()0f x >时，得101x a<<-，当'()0f x <时，11x a >-，∴()f x 在1(0,1)a -单调递增，在1(1,)a -+∞单调递减，∴max 1111ln 12l ()()()n 3a a a a a f ax f --==--=-+-，当0x <时，11()[()]2(1)f x x a x a a f x x=++=--++≤-+=--，∴1ln 32ln 1a a a a a e-+-≤-+⇒≥-⇒≥，故选：C.【点睛】本题考查分段函数的性质、导数研究函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分段函数的最值的概念.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数3xy =的图象在0x =处的切线方程为________．【答案】(ln 3)+1y x = 【解析】【分析】对函数进行求导，求得'(0)y 的值，再利用斜截式方程，即可得答案；【详解】'n 33l x y =，∴'3(0ln )y k ==，切点坐标为(0,1)，∴函数3x y =的图象在0x =处的切线方程为(ln 3)+1y x =，故答案为：(ln 3)+1y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，考查运算求解能力，求解时注意3x 的导数求解是解题的关键.14. 过点的直线l 被圆228x y +=截得的弦长为4，则l 的方程为________．【答案】40x +-= 【解析】【分析】设直线l 的方程为(1)y k x -=-，再利用弦长为4，可得圆心到直线的距离，从而求得k 的值，即可得答案；【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，24282d d =-⇒=，∴2|3|321k k k -+=⇒=-+， ∴l 的方程为340x y +-=，故答案为：340x y +-=.【点睛】本题考查直线与圆相交的弦长公式、点到直线的距离公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为________．【答案】206π+ 【解析】【分析】通过几何体的三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，再根据三视图中的数据，分别求出两个半圆柱侧面积，上下底面面积，两个长方形面积，再相加即可得答案；【详解】三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，两个半圆柱侧面积：111(23)3(22)31522S πππ=⋅⋅+⋅⋅=，上下底面面积：222112(32)522S πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅=，两个长方形面积：32(13)6S =⋅⋅=，∴该几何体的表面积为123206S S S S π=+=++，故答案为：206π+.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意运算的准确性.16. ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos 2cos 0a B b A +=，则tan tan AB=_______，tan C 的最大值是________．【答案】 (1). 2-2 【解析】【分析】（1）由cos 2cos 0a B b A +=可得tan A 与tan B 的关系，即可求得tan tan AB的值；（2）利用诱导公式将tan C 用tan A 、tan B 表示，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】cos 2cos 0a B b A +=，∴sin cos 2sin cos 0sin cos 2sin cos tan 2tan A B B A A B B A A B +=⇒=-⇒=-，∴tan2 tanAB=-；∴tan tan1tan t1tan tnan(n)12a tatanA BBC A BA B B+⋅+=+ =--=-由于求tan C的最大值，只需考虑tan0B>的情况，所以41ttantnan1a2BBC==+≤，等号成立当且仅当n21tantaBB=.故答案为：2-；4.【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要考虑等号成立的条件.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a的公差为1-，数列{}n b满足1212,4,2n n nb b b b a+===+．（1）证明：数列{}nb n-是等比数列；（2）记数列{}n b的前n项和为n S，求使得2020nS>的最小正整数n的值．【答案】（1）证明见解析（2）最小正整数n的值为10．【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，证明1(1)nnb nb n+-+-为常数，即可证得结论；（2）利用分组求和法求出n S，再根据数n S的单调性，即可求得使不等式成立的最小正整数n 的值；详解】（1）证明：∵12n n nb b a+=+∴当1n=时，2112b b a=+即144a=+，∴1a=∴0(1)(1)1n a n n =+-⋅-=-+ ∴121n n b b n +=-+，∴()12(1)21(1)2n n n n n n b n b n b n n b n b n b n+--+-+-+===--- 又11211b -=-=，∴{}n b n -是以1为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）1222n n n b n --=⋅=，∴2n n b n =+∴()2(12)222n n S n =+++++++21(1)222222122n n n n n n++-⋅+=+=+--∵91010672020,21012020S S =<=>且{}n S 为递增数列 ∴使得2020n S >的最小正整数n 的值为10．【点睛】本题考查数列递推关系、通项公式、求和等基础知识：考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想.18. 为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频率分布直方图．若零件尺寸落在区间(2,2)x s x s -+之内，则认为该零件合格，否则认为不合格．其中x ，s 分别表示样本的平均值和标准差，计算得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）已知一个零件的尺寸是100cm ，试判断该零件是否合格；（2）利用分层抽样的方法从尺寸在[30,60) 的样本中抽取6个零件，再从这6个零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率．【答案】（1）该零件不合格．（2）35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，计算出(2,2)x s x s -+的区间，再判断100cm 是否属于区间内，即可得答案；（2）记这6个零件编号为：,,,,,a b c A B C ，再列出从这6个零件中随机抽取2个的基本事件，记事件D 为：“选出的2个零件中恰有1个尺寸小于50cm ”，计算事件D 包含的基本事件，利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】（1）记各组的频率为(1,2,,7)i p i =，依题意得12340.05,0.1,0.15,0.3p p p p ====， 5670.2,0.15,0.05p p p ===∴350.05450.1550.15650.3750.2850.15950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯66.5=∴266.53036.5,266.53096.5x s x s -=-=+=+= 而10096.5>，故该零件不合格．（2）记前三组抽取的零件个数分别为,,x y z ∴60.050.10.150.3x y z ===，∴1,2,3x y z ∴抽取出的6个零件中尺寸小于50cm 的有3个．记这6个零件编号为：,,,,,a b c A B C （其中,,a b c 为尺寸小于50cm 的）记事件D 为：“选出的2个零件中恰有1个尺寸小于50cm ” ∴从这6个零件中随机抽取2个的基本事件有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B a C b c b A b B b C c A c B c C ,{,},{,},{,}A B A C B C 共15个．则事件D 包含的基本事件有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a A a B a C b A b B b C c A c B c C 共9个∴93()155P D == ∴这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率为35．【点睛】本题考查频数分布直方图、分层抽样等基础知识、古典概型的概率计算，考查数据处理能力，运算求解能力，求解时注意列出所有等可能结果.19. 如图，在五面体ABCDEF 中，AB ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE ，2AB CD ==．（1）求证：//AB CD ；（2）若2AD AE ==，且二面角E DC A --的大小为60°，求四棱锥F ABCD -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）43F ABCD V -= 【解析】【分析】（1）由两条直线同时垂直平面得两直线平行，再利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行；（2）取AD 中点O ，连接OE ，根据二面角的定义得到60ADE ︒∠=，则E 到面ABCD 的距离3EO =，再利用四棱锥的体积公式，即可得答案；【详解】（1）∵AB ⊥面ADE ，EF ⊥面ADE ，∴//AB EF 又EF ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ，∴//AB 面CDEF 又AB面ABCD ，面ABCD面CDEF CD =，∴//AB CD（2）取AD 中点O ，连接OE∵AB ⊥面ADE ，,DA DE ⊂面ADE ，∴AB DA ⊥，AB DE ⊥． ∵//AB CD ，∴CD DA ⊥，CD DE ⊥．又DA ⊂面ABCD ，DE ⊂面CDEF ，且面ABCD 面CDEF CD =．∴二面角A DC E --的平面角60ADE ︒∠=．又ADE 中，2AD AE ==，∴ADE 是边长为2的正三角形 ∴33EO AE ==，⊥EO AD ，∵AB ⊥面ADE ，∴AB EO ⊥ 又AD AB A ⋂=，∴EO ⊥面ABCD 即E 到面ABCD 的距离3EO =∵//EF AB ，EF ⊄面ABCD ，AB面ABCD ，∴//EF 面ABCD ．∴F 到面ABCD 的距离即为E 到面ABCD 的距离在四边形ABCD 中，//,,AB CD AB CD AB DA =⊥， ∴矩形ABCD 的面积224S =⨯= ∴14333F ABCD V S EO -=⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行性质定理、线面垂直性质定理、棱锥体积求解，考查转化与化归思想，考查逻空间想象能力、运算求解能力.20. 设O 为坐标原点，动点M 在圆22:4C x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点E满足32ED MD =．（1）求点E 的轨迹Γ的方程；（2）直线4x =上的点P 满足OM MP ⊥．过点M 作直线l 垂直于线段OP 交C 于点N ．（ⅰ）证明：l 恒过定点；（ⅱ）设线段OP 交Γ于点Q ，求四边形OMQN 的面积．【答案】（1）22143x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）23【解析】【分析】（1）设(,),(,)E x y M a b ，则(, 0)D a，根据向量关系坐标化可得,x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去,a b 可得轨迹Γ的方程；（2）（ⅰ）设(4,),(,)P p M a b ，根据直线垂直，向量的数量积为0可得：44a pb +=，设直线l 方程为4()y b x a p-=--，化简即可得到直线过定点坐标；（ⅱ）根据直线与圆相交的弦长公式求出||MN ，||OQ ，再根据对角线相乘的半，求得四边形的面积.【详解】（1）设(,),(,)E x y M a b ，则(, 0)D a∵32ED MD =，又(,)ED a x y =--，(0,)MD b =-，∴,2x a y b =⎧⎪⎨=⎪⎩又224a b +=，∴22443y x +=，化简得点E 的轨迹Γ方程为22143x y +=（2）（ⅰ）设(4,),(,)P p M a b ，∵OM MP ⊥，∴2240OM MP a a pb b ⋅=-+-= 又224a b +=，∴44a pb += ①又直线l 过点M 且垂直于线段OP ，故设直线l 方程为4()y b x a p-=-- 化简得440x py bp a +--=，又由①式可得44x py +=，所以l 恒过定点(1,0) （ⅱ）直线l 为44x py +=，交圆C 于,M N 两点则圆心到直线的距离为d =∴弦长||MN ====，又直线OP 为4p y x =，由2243412p y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得224812Q x p =+，故||Q OQ x ===，∴ 1||||2OMQN S OQ MN =⋅⋅=OMQN的面积【点睛】本题考查轨迹方程、直线过定点、弦长公式、四边形的面积，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 21. 已知函数()ln 1()af x x a R x=-+∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当*n N ∈时，证明：22211ln (11)ln 1ln 1224n n n ⎛⎫⎛⎫++++++> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）分类讨论，见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导得2()x af x x-'=，再对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，分别得到函数的单调性；（2）令1a =，由（1）可得：()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1ln 1x x≥-，再令11x n=+同时不等式两边进行平方，结合放缩法，可证得不等式. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞221()a x af x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，2()0x af x x-'=≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，由2()0x a f x x'-=>得x a >，故()f x 在(,)a +∞上单调递增；由2()0x af x x -'=<得x a <，故()f x 在(0,)a 上单调递减；（2）令1a =，由（1）可得：()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1ln 10x x-+≥，即1ln 1x x ≥-令11x n =+，则111ln 11111n n n⎛⎫+≥-= ⎪+⎝⎭+，∴2211ln 1(1)n n ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭ 又21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++∴22222211111ln (11)ln 1ln 1223(1)n n ⎛⎫⎛⎫++++++>+++⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112334(1)(2)n n >+++⨯⨯+⨯+1111112334(1)224nn n n =-+-++-=+++∴命题得证【点睛】本题考查函数单调性的讨论、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．（二）考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分． [选修44，坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的方程为(y k x =-，直线2l 的参数方程为,1x t y tk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的普通方程；（2）过(0,2)Q 的直线l 与C 相交于,A B 两点，求11||||QA QB +的取值范围．【答案】（1）223(x y x +=≠（2）114||||QA QB ⎛⎤+∈⋃ ⎥ ⎝⎭⎝⎦【解析】【分析】（1）将直线2l 的参数方程化成普通方程，再联立两条直线方程，消去参数k ，即可得到C 的普通方程；（2）设直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），根据参数的几何意义，即可得答案；【详解】（1）直线2:1x t l y t k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去参数t得1(y x k =-+，① 因为直线1l的方程为(y k x =，②所以由①×②得，C的普通方程223(x y x +=≠．（2）直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．将cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入223x y +=得24sin 10t t α++=，所以124sin t t α+=-，121t t ⋅=，由216sin 40α∆=->得1|sin |2α>且sin α≠，所以121211|4sin |||||t t QA QB t t α⎛⎤++==-∈⋃ ⎥⋅⎝⎭⎝⎦．【点睛】本题考查普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．[选修45：不等式选讲]23. 已知函数3()|3|2f x x x =---．（1）解不等式1()2f x ≥；（2）若142(,0)m n m n+=>，求证：()f x m n ≤+．【答案】（1）{|1}x x ≥（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用零点分段法讨论绝对值内数的正负，解不等式，即可得答案；（2）根据绝对值不等式可得339|3|3222x x x x +--≤+-+=，再利用基本不等式可得m n +的最小值为92，从而证明不等式成立. 【详解】（1）原不等式可化：31|3|22x x +--≥，当32x ≤-时，不等式31322x x --+-≥，无解；当332x -<<时，不等式31322x x ++-≥，解得1≥x ，故13x ≤<；当3x ≥时，不等式31322x x +-+≥，解得x ∈R ，故3x ≥，综上，不等式的解集为{|1}x x ≥；（2）因为3()|3|2f x x x =+--，所以339|3|3222x x x x +--≤+-+=，当且仅当3(3)02x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，且3|3|2x x +≥-时，取得等号，又142(,0)m n m n+=>，所以1141419()14(14)2222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当922m n ==时，取得等号，故92m n +≥，所以()f x m n ≤+成立．【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意等号成立的条件的运用.。

高考专题福建省厦门市高三5月适应性考试数学(文)试题(解析版).docx

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2104M x x ,N x x ,=+≥=<则M N =I ( ) A.(],1-∞- B.[)1,2- C. (]1,2- D. ()2,+∞2.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（） A.70家 B.50家 C.20家 D.10家3.“30α=o ”是“1sin 2α=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件不一定成立. 考点：充分必要条件.4.执行右边的程序框图，若输入的x 的值为–2，则输出y 的值是（） A ．5 B ．3- C ．3 D ．5-6.已知4sin 5x =，(,)2x ππ∈，则tan()4x π-=（） A ．17 B ．7C ．17-D ．7-7.已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，α∥β，m β⊂，则l m ⊥C ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥αD ．若l α⊥，αβ⊥，m β⊂，则l ∥m 【答案】B8.已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[)1,+∞C ．[]0,3D ．[)0,+∞9.设向量a ρ与b ρ满足2a =r，b ρ在a ρ方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a ρ与b a ρρλ-垂直，则λ=（） A.21B. 1C. 2D. 310.将函数sin ()cos x f x x ⋅=的图象向左平移ϕ个单位()0ϕ>，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =的图象关于原点对称，则ϕ的值⋅⋅⋅不可能是（）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π【答案】A 【解析】11.设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（）A.13 B. 23C. 233D. 3312.若平面点集M 满足：任意点(,)x y M ∈，存在(0,)t ∈+∞，都有(,)tx ty M ∈，则称该点集M 是“t 阶稳定”点集．现有四个命题：①对任意平面点集M ，都存在正数t ，使得M 是“t 阶稳定”点集；②若{}2(,)M x y x y =≥，则M 是“12阶稳定”点集； ③若{}22(,)240M x y x y x y =+++=，则M 是“2 阶稳定”点集；④若{}22(,)21M x y x y =+≤是“t 阶稳定”点集，则t 的取值范围是(]0,1．其中正确命题的序号为（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④(4,0)M -∉，故M 不是“2阶稳定”点集，③错；对命题④，设点(,)x y M ∈，则点(,)tx ty M ∈，即当第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.若复数21i zi =+（i为虚数单位）,则复数z的模z= .14.以双曲线2213yx-=的左焦点为圆心，实轴长为半径的圆的标准方程为___________.15.已知变量,x y满足约束条件23110,480,20,x yx yx y+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若目标函数()0z x ay a=->的最大值为1，则a= .16.记123k k k k k S n =++++L ()*n N ∈，当123k ,,,=L 时，观察下列等式：2111,22S n n =+ 322111,326S n n n =++4323111,424S n n n =++5434111,5230S n n An n =++-654251156212S n n n Bn =+++……可以推测，A B += _______.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若7320,15a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足：11424,b a b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）31n a n =-；（2）122n n T +=-.【解析】18.（本小题满分12分）现从某100件中药材中随机抽取10件，这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重0 8 91 02 2 7 82 0 1 3量之差不超过2克的概率.19.（本小题满分12分）已知向量(2sin ,sin )a x x =r ，(sin ,3)b x x =r ，函数()f x a b =r rg. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（II ）在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos cos cos a B b C c B =+,若对任意满足条件的A ，不等式()0f A m +>恒成立，求实数m 的取值范围．试题解析：20.（本小题满分12分）抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交与B 、C 两点，已知(10)A -，，ABC ∆为等腰直角三角形．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与该抛物线交于M 、N 两点，点1N 为点N 关于x 轴的对称点，求证：直线1MN 过定点，并求该定点的坐标．21.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，4PC =，6AB =，33BD =，60DAB ︒∠= .（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若E ，F ，G 分别是线段BC ，DC ，PC 上的动点，且2EF =，试探究多面体PDBGFE 的体积、三角形面积、基本不等式等基础知识，考查学生的空间想象能力、转化能力、逻辑推理能力、计算能试题解析：22.（本小题满分12分）已知函数()2x f x e ax bx c =-++（,,a b c R ∈， 2.718e =L 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+.（Ⅰ）求b 与c 的值；（Ⅱ）当0a >时，若方程()0f x =在()0,+∞有唯一的实数解，求a 的值；（Ⅲ）当2a =时，证明：函数()f x 在[]0,3上有且仅有两个极值点，并求()f x 在[]0,3上的最大值. （参考数据：27.39e ≈，320.09e ≈，454.60e ≈ ）。

高三数学5月份适应性考试试题文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三5月份适应性考试数学〔文科〕试题一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合{}ln 0A x x =>，集合{}(1)(5)0B x N x x =∈--≤，那么AB =()A.{}0,1,2,3,4,5B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,3,4D.{}2,3,4,5【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，正确求解集合,A B ，再根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}ln 01A x x x x =>=，集合{}{}(1)(5)01,2,3,4,5B x N x x =∈--≤=，所以A B ={}2,3,4,5，应选D.【点睛】此题主要考察了集合的交集运算，其中解答中根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.2.12ii +=-() A.135i +B.335i+ C.133i+ D.333i+ 【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算，可得11325i ii ++=-，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()121132225i i i ii i i ++++==--+，应选A. 【点睛】此题主要考察了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法那么是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 假设2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，那么9S =()A.18B.19C.20D.36【答案】A 【解析】【分析】由2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，得284a a +=，再根据等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，那么284a a +=，所以192899()9()921822a a a a S ++===⨯=，应选A. 【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，以及等差数列的求和，其中解答中熟记等差数列的性质，合理利用等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.4.设函数1212,2()3log (2),2x x f x x x -⎧+≥=⎨+-<⎩，那么((0))f f =()A.5B.8C.9D.17【答案】C 【解析】【分析】根据根据分段函数的解析式，求得()04f =，进而可求解((0))f f 的值，得到答案.【详解】由题意，函数1212,2()3log (2),2x x f x x x -⎧+≥=⎨+-<⎩，那么()203log (20)4f =+-=，所以41((0))(4)129f f f -==+=，应选C.【点睛】此题主要考察了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.5.设双曲线2222:1x y C a b -=-的渐近线方程为023x y ±=，那么双曲线C 的离心率为()C.2【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，求得32b a =，再此题中离心率为c e b ==.【详解】由题意，双曲线2222:1x y C a b -=-，即双曲线的方程为2222:1y x C b a-=，那么渐近线方程为by x a=±，又由渐近线方程为023x y ±=，即32y x =±，所以32b a =，所以双曲线的离心率为3c eb ====，应选B. 【点睛】此题主要考察了双曲线的离心率的求解，其中解答中根据双曲线的几何性质，求得23b a =，进而利用离心率的公式，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 6.“关注夕阳、爱老敬老〞—某马拉松协会从2013x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程.ˆ035y mx =+，那么预测2019年捐赠的现金大约是()A.5万元B.5.2万元C.5.25万元D.5.5万元【答案】C 【解析】【分析】由求出,x y ，代入回归直线的方程，求得m ，然后取7x =，求得y 的值，即可得到答案.【详解】由得，29t =，所以样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入.ˆ035ymx =+，得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以ˆ0.70.35yx =+，取7x=，得ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，预测2021年捐赠的现金大约是5.25万元.【点睛】此题主要考察了线性回归方程以及应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题.7.如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，直角三角形两直角边的比为1:2，小正方形的边长为2，作出小正方形的内切圆，如今大正方形内随机取-点，那么此点取自圆内局部的概率为() A.8πB.12πC.20πD.25π 【答案】C 【解析】【分析】求得大正方形的边长，得到大正方形的面积为5，再求得小正方形为为1，得打内切圆半径为12，内切圆的面积为4π，最后根据面积比的几何概型，即可求解. 【详解】设直角三角形的直角边为1,2，那么大正方形的边长为()()()()3223333112314n n n 为正整数+++⋯+-+=⨯⨯，所以大正方形的面积为5，四个直角三角形的面积和为141242⨯⨯⨯=，所以小正方形的面积为541-=，所以小正方形边长为1，内切圆半径为12，内切圆的面积为4π，由面积比的几何概型，可得概率为4520ππ=，应选C. 【点睛】此题主要考察了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的根本领件对应的“几何度量()N A 〞，再求出总的根本领件对应的“几何度量N 〞，然后根据()N A P N=求解，着重考察了分析问题和解答问题的才能.8.我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在理论的根底上提出了体积计算的原理：“幂势既同，那么积不容异〞(“幂〞是截面积，“势〞是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，那么它们的体积相等.某不规那么几何体与如下列图的三视图所表示的几何体满足“幂势既同〞，那么该不规那么几何体的体积为() A.12π- B.8π-C.122π-D.122π-【答案】A 【解析】【分析】首项把三视图转换为几何体，得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，进一步利用几何体的体积公式，即可求解，得到答案.【详解】根据改定的几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，所以几何体的体积为2122222112122Vππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-，应选A.【点睛】此题考察了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 9.正整数n 除以m 后的余数为r ，记为r n MOD m =，如4195MOD =.执行如图的程序框图，那么输出的数n 是() A.19 B.22C.27D.47【答案】C 【解析】【分析】由的程序框图可知，该程序的功能是利用循环构造的计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，即可得到答案.【详解】依题意，n 进入内循环时为10，出内循环时被4除余数是3，即此时11n =，外循环当n 除以5余数是2时完毕循环，综合两个循环，输出的n 比11大，且被4除余3，被5除余2，所以该数4352n p q =+=+，所以415,p q q N ++=∈，所以1,6,11,,51,p k k N +=+∈，所以当6p 时符合条件，即46327n =⨯+=，应选C.【点睛】此题主要考察了循环构造的程序框图的计算与输出问题，其中解答中把握循环构造的程序框图的运算功能，准确运算是解答的关键，着重考察了运算与转换才能，属于中档试题.10.过点(2,1)P 作直线l 与圆22:240C x y x y a +--+=交于A ，B 两点，假设P 为A ，B 中点，那么直线l 的方程为() A.3y x =-+B.23y x =-C.23y x =-+D.1y x =-【答案】D 【解析】【分析】由点P 为,A B 的中点，等价于CP l ⊥，根据垂直关系求得直线l 的斜率，再根据点斜式，即可求解直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆22:240C x y x y a +--+=的圆心为(1,2)，假设点P 为,A B 的中点，等价于CP l ⊥，那么21112CP k -==--，所以直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为12y x -=-，即1y x =-，应选D.【点睛】此题主要考察了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中纯熟应用圆的弦的性质，以及直线的点斜式方程是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.11.一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π，那么圆锥的内切球的外表积为()A.8πB.24(2πC.24(2π+D.232(249π【答案】B 【解析】【分析】由求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥的内切球的半径，再由球的外表积公式，即可求解.【详解】由题意，作出圆锥截面图，如下列图，因为母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π，设内切球的半径为r ，那么利用圆锥的轴截面，根据等面积法，可得11(2222r ⨯=⨯++，解得2r =所以该圆锥内切球的外表积为224(24(2ππ⨯=，应选B.【点睛】此题主要考察了圆锥的内切球的外表积及其应用，其中解答中根据圆锥的轴截面，利用等面积法，求得内切球的半径是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题. 12.抛物线212y x =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两点，假设20AF BF +=，那么2AF BF +=()A.3B.154C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】设直线AB 的方程为12y kx =+，代入212y x =，利用根与系数的关系得122x x k +=，121x x =-，再由20AF BF +=，求得212x x =-，联立解得21212,4,8x k x k k =-==，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】由抛物线的方程212y x =的焦点1(0,)2F ，设直线AB 的方程为12y kx =+，将其代入212y x =，得2210x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，那么12122,1x x k x x +==-，………….①因为20AFBF +=，所以122(0)(0)0x x -+-=，即212x x =-，………….②那么①②得21212,4,8x k x k k =-==，所以2211111111132222222824p AF y y x k =+=+=+=+=⨯+=， 22222211122()2()11613222BF y x x k =⨯+=⨯+=+=+=，所以3152344AF BF +=+=，应选B.【点睛】此题主要考察了抛物线的定义、HY 方程及其几何性质，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中纯熟应用抛物线的定义，合理利用向量坐标运算，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.二、填空题〔将答案填在答题纸上〕 13.函数()sin 2cosx f x x x =-在(0,(0))f 处的切线方程为_______．【答案】2y =-【解析】【分析】求得函数的导数()sin cos 2sin f x x x x x '=++，得到(0)0,(0)2f f '==-，利用直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin 2cosx f x x x =-，那么()sin cos 2sin f x x x x x '=++，那么(0)0,(0)2f f '==-，所以在点(0,2)-处的切线方程为(2)0(0)y x --=⨯-，即2y =-.【点睛】此题主要考察了利用导数的几何意义求解切线的方程，其中解答中正确求函数的导数，准确利用点斜式方程求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 14.向量(2,1)a=-，(4,2)b =-，(2,3)c =，那么c 在a b +上的投影是_____．【答案】【解析】【分析】由题意，求得向量(2,1)a b+=-，进而得到()1a b c +⋅=-，351,a b c =+=，再利用投影的公式，即可求求解，得到答案.【详解】由题意，向量(2,1)a =-，(4,2)b =-，(2,3)c =，那么(2,1)a b +=-，所以()(2,1)(2,3)431a b c+⋅=-⋅=-+=-，351,a b c =+=，所以c 在a b+上的投影是()155a b c a b+⋅-==-+【点睛】此题主要考察了向量的投影，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.15.假设实数x ，y 满足不等式组010220y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =+的最小值是_______．【答案】1 【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目的函数的最优解，代入即可求解，得到答案.【详解】作出不等式组010220y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，如下列图，由目的函数2z x y =+可化为直线2y x z =-+，当直线2y x z =-+平移经过点A 时，此时在y 轴上的截距最小，此时目的函数获得最小值，又由10220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(0,1)A ，所以目的函数的最小值为2011z =⨯+=.【点睛】此题主要考察简单线性规划求解目的函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求〞，确定目的函数的最优解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，及推理与计算才能，属于根底题． 16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，那么n a =_____．【答案】122n +- 【解析】【分析】由数列{}n a 满足22n n S a n =+，那么1122(1)(2)n n S a n n --=+-≥，两式相减可得122n n a a -=-，化简得12,(2)22n n a n a -=≥--，得到数列{}2n a -表示首项为4-，公比为2的等比数列，即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 满足22()n n S a n n N *=+∈，那么1122(1)(2,)n n S a n n n N *--=+-≥∈，两式相减可得11222,(2,)n n n n S S a a n n N *--+≥∈-=-，即1222,(2,)nn n a a a n n N *-=+≥∈-整理得122,(2)n n a a n -=-≥，即12(2),(22)n n a a n -=-≥-，即12,(2)22n n a n a -=≥--，当1n =时，1122S a =+，即1122a a =+，解得12a =-，所以数列{}2n a -表示首项为124a -=-，公比为2的等比数列，所以112422n nn a -+-=-⨯=-，所以122n n a +=-.【点睛】此题主要考察了数列的递推公式，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答根据数列的递推公式和等比数列的定义，得到数列{}2n a -表示首项为4-，公比为2的等比数列是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.三、解答题〔容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 17.在ABC ∆中，cos()0A C +=，1sin 3A =(1)求sin C 的值；(2)设ABC ∠的平分线与AC 交于D ，假设3AC =，求BD 的长.【答案】〔1〕sin 3C =〔2〕=BD 【解析】【分析】(1)由cos()0A C +=，求得2Bπ=，可得sin sin()cos 2CA A π=-=，即可求解.(2)在直角ABC ∆中，解得sin BCAC A =，在在DBC ∆中，4sin 6BDC +∠=,由正弦定理,即可求解.【详解】(1)由cos()0A C +=，得2A C π+=，又由A B C π++=,所以2B π=，所以sin sin()cos 23C A A π=-==. (2)在直角ABC ∆中，1sin 3A =，3AC =，所以1sin 313BC AC A ==⨯=，在DBC ∆中，sin sin()4BDCA π∠=+=4cos )26A A ++=由正弦定理得，sin sin BD BC C BDC =∠，所以sin sin BC C BD BDC ==∠6=. 【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，纯熟掌握定理、合理运用是解此题的关键．在ABC ∆中，通常涉及三边三角，知三〔除三角外〕求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或者两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或者两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，ABCD 是梯形，且//BE AD，2AC CD AD ==，244AD PD BC ===.(1)求证：AE ⊥平面PCD ；(2)求三棱锥B PCD -的体积； (3)在棱PD 上是否存在点M ，使得//CM 平面PAB ？假设存在，求PMPD得值；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕见证明；〔2〕23〔3〕见解析【解析】【分析】(1)利用勾股定理，得AC CD ⊥，再由PD ⊥平面ABCD ，得PD AC ⊥，根据线面垂直的断定定理，即可得到AE 是；(2)利用B PACB ABC V V --=三棱锥三棱锥，即可求解，得到答案.(3)在棱PD 上取点M ，使得14PM PD =，过M 作//MN AD 交PA 于N ，利用线面平行的断定定理，证得//CM平面PAB ，即可得到结论.【详解】(1)由题意，可知2ACCD AD ==，那么222221122AC CD AD AD AD +=+=，所以AC CD ⊥，PD ABCD 平面⊥，AC ⊂面ABCD ，所以PD AC ⊥，又因为PD CD D ⋂=，所以AE 是(2)因为AC CD =，AC CD ⊥，ABC ∆∴为等腰直角三角形，所以4CAD π∠=，在ABC ∆中，1BC =，AC =4ACB CAD π∠=∠=，又PD ABCD ⊥平面，B PAC B ABC V V --==三棱锥三棱锥1121sin 23243π⨯⨯⨯⨯=. (3)在棱PD 上取点M ，使得14PM PD =，过M 作//MN AD 交PA 于N ，那么14MN AD =，又14BC AD =且BC AD //，所以//BC MN 且BCMN =，所以四边形MNBC 为平行四边形，所以//CM BN ，CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，所以//CM平面PAB ，故在棱PD 上存在点M ，当14PM PD =时，使得//CM 平面PAB . 【点睛】此题考察线面位置关系的断定与证明，纯熟掌握空间中线面位置关系的定义、断定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19.为响应国家“精准扶贫、精准脱贫〞的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在在精准落实上见实效现从全县扶贫对象中随机抽取16人对扶贫工作的满意度进展调查，以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(总分值是100分)如下列图，图中的平均数与中位数一样.现将满意度分为“根本满意〞(分数低于平均分)、“满意〞(分数不低于平均分且低于95分)和“很满意〞(分数不低于95分)三个级别. (1)求茎叶图中数据的平均数和a 的值;(2)从“满意〞和“很满意〞的人中随机抽取2人，求至少有1人是“很满意〞的概率. 【答案】〔1〕平均数为88；4a =〔2〕11()14P A =【解析】【详解】(1)由题意，根据图中16个数据的中位数为8789882+=，由平均数与中位数一样，得平均数为88，所以8873567992557870390616a +++++++++++++++⨯+⨯88=，解得4a =；(2)依题意，16人中，“根本满意〞有8人，“满意〞有4人，“很满意〞有4人.“满意〞和“很满意〞的人一共有4人.分别记“满意〞的4人为a ，b ，c ，d ，“很满意〞的4人为1，2，3，4.从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的根本领件一共28个：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,)b c ，(,)b d ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,)c d ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).用事件A 表示“8人中至少有1人是很满意〞这一件事，那么事件A 由22个根本领件组成：(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，一共有22个.故事件A 的概率为2211()2814P A == 【点睛】此题主要考察了茎叶图的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟记茎叶图的中的平均数和中位数的计算，以及利用列举法得出根本领件的总数是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.20.关于椭圆的切线由以下结论：假设11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，那么过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程； (2)假设M 是直线4x=上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB 〔A ，B 为切点〕，设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】〔1〕240x y +-=〔2〕见证明【解析】【分析】(1)将1x =代入椭圆方程，求得3(1,)2P ，再利用题意，即可求解切线的方程； (2)由过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程，得到点A ，B 两点均在直线4143x yt+=上，得出直线AB 的方程为13tyx +=，进而求得1AB MF k k ⋅=-，即可得到结论.【详解】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=. (2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y +=，因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=，所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=，当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥，假设0t=，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.【点睛】此题主要考察了椭圆方程的应用，以及类比思想的应用，其中解答根据题意，合理利用椭圆的切线方程的求法，准确运算是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 21.设()f x '是函数()f x 的导函数，我们把()f x x '=的实数叫做函数()y f x =22211()22x xa f x e ae x -=--.(1)假设0是函数()f x 的好点，求a ； (2)假设函数()f x 不存在好点，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕1a =〔2〕34(2,1)e -【解析】【分析】 (1)求得函数的导数22()(1)x x f x e ae a x -'=--，根据()f x x '=，得220x x e ae a x --=，代入0x=，即可求解.(2)由〔1〕知根据()f x x '=，得220x x e ae a x --=，令22()0x x g x e ae a x =--=，问题转化为讨论函数()g x 的零点问题，利用导数分类讨论求得函数()gx 的单调性与最值，即可求解.【详解】(1)由题意，函数22211()22x xa f x e ae x -=--，可得22()(1)x x f x e ae a x -'=--，由()f x x '=，得22(1)x x e ae a x x ---=，即220x x e ae a x --=.因为0是函数()f x 的好点，所以10a -=，解得1a =. (2)由〔1〕知22()(1)x x f x e ae a x -'=--，由()f x x '=，得22(1)x x e ae a x x ---=，即220x x e ae a x --=.令22()0x x g x e ae a x =--=，问题转化为讨论函数()g x 的零点问题.因为，当x →-∞时，()g x →+∞假设函数()f x 不存在好点，等价于()g x 没有零点，即()g x 的最小值大于零，又由22()2(2)()x x x x g x e ae a e a e a =--'=+-，①假设0a =，那么2()0x g x e =>，()g x 无零点，()f x 无好点.②假设0a>，那么()0g x '=，得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0g x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(,ln )a -∞单调递减，(,ln )a -∞单调递增. 所以当ln x a =时，()g x 取最小值2(ln )ln g a a a =-.当且仅当2ln 0a a->，即01a <<时，()0>g x ，所以()g x 无零点，()f x 无好点. ③假设0a <，那么()0g x '=，得ln()2a x =-.当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0g x '<；当(ln(),)2ax ∈-+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(,ln())2a -∞-单调递减，(ln(),)2a-+∞单调递增.所以当ln()2a x =-时，()g x 取最小值23(ln())[ln()]242a a g a -=--.当且仅当23[ln()]042aa-->，即3420e a -<<时，()0>g x ，所以()g x 无零点，()f x 无好点. 综上，a 的取值范围为34(2,1)e -.【点睛】此题主要考察导数在函数中的综合应用，以及函数的零点问题的求解，着重考察了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理才能与计算才能，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值〔最值〕，进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔ϕ为参数〕，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos3sin ρθθ=.(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)假设直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B 〔A 、B 异于原点〕，当斜率[3k ∈时，求1OA OB+的最小值.【答案】〔1〕1C 的极坐标方程为sin ρθ=；曲线2C 的直角坐标方程23x y =.〔2〕3【解析】【分析】(1)消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程220x y y +-=，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.(2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程，求得2OA t =，再把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程，得2OB t =，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，利用根本不等式，即可求解；解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=，分别代入曲线1C ，2C 的极坐标方程，得sin OA α=，23sin cos OB αα=，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，即可根本不等式，即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔ϕ为参数〕，消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程为2211()24x y +-=，即220x y y +-=，那么曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=，即sin ρθ=，又因为曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=，即22cos 3sin ρθρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可求解曲线2C 的直角坐标方程23x y =.(2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，那么直线l 的参数方程为cos x t y tsin αα=⎧⎨=⎩〔α为参数，63ππα≤≤〕，把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程得：2sin 0t t α-=，解得10t =，2sin t α=，2sin OAt α∴==，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程得：22cos 3sin t t αα=，解得10t =，223sin cos t αα=，223sin cos OBt αα∴==，21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，3[,3k∈，即tan α∈，63ππα≤≤，1sin 2α∴≤≤，12sin sin αα∴+≥=当且仅当12sin sin αα=，即sin α=故1OA OB+的最小值为3. 解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=(63ππα≤≤〕，代入曲线1C 的极坐标方程，得sin ρα=，sin OA ρα∴==，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的极坐标方程得：2cos 3sin ρθα=，23sin cos αρα∴=，即23sin cos OB αρα==，21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，曲线1C 的参3[,3k ∈，即tan α∈，63ππα≤≤，1sin 2α∴≤≤，12sin sin αα∴+≥=当且仅当12sin sin αα=，即sin 2α=时取等号，故1OA OB+的最小值为3. 【点睛】此题主要考察了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 23.函数()21(0)f x x x m m =+-->.(1)当2m =时，求不等式()1f x ≤的解集；(2)令()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，假设三角形ABC 的面积为12，求m 得值.【答案】〔1〕{153x x ⎫-≤≤⎬⎭〔2〕3m = 【解析】【分析】(1)当2m =时，不等式()1f x ≤可化为2121x x +--≤，分类讨论，即可求解不等式的解集；(2)由题意，得到函数()g x 的解析式，得到()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别，根据面积列出方程，即可求解.【详解】(1)当2m =时，不等式()1f x ≤可化为2121x x +--≤，①当1x <-时，不等式化为50x +≥，解得：51x -≤<-； ②当12x -≤≤时，不等式化为31x ≤，解得：113x -≤≤； ③当2x >时，不等式化为30x +≤，解集为φ，综上，不等式的解集为{153x x ⎫-≤≤⎬⎭. (2)由题设得41()31x m x g x x mx m x m x m ---<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪+>⎩，所以()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为(4,0)A m --，(0,)B m -，(,0)3m C ，于是三角形ABC 的面积为2(3)123S m m =+=，得3m =，或者6m =-〔舍去〕，故3m =.【点睛】此题主要考察了含绝对值不等式的求解，以及分段函数的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，纯熟求得函数的图象与两坐标轴的交点是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.。

厦门市2023届高三毕业班五月适应性练习试题(二)参考答案

厦门市2023届高三毕业班五月适应性练习试题（二）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1~4：BADC 5~8：BBAC8．参考思路：将正三棱台补为正棱锥D ABC −，由上、下底面边长可得该棱锥为棱长为3的正四面体.所以球心到侧面DBC 的距离即为正四面体的高，由勾股定理可得球面与侧面DBC 的交线是以DBC △中心为圆心，1为半径的部分圆弧（如图）.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．BD 10．ACD 11． BCD 12．ABD 12．参考思路：由()()f x f x =−可得为()f x 偶函数，'()f x 为奇函数，思路一、利用()f x 、'()f x 、21y x =−及sin2y x x π=−的奇偶性，结合性质可得'(1)g x −为偶函数，(1)g x +为奇函数，进一步得到函数'()g x 关于1x =−对称，()g x 关于(1,0)对称。

所以有'(1)'(1)g x g x −−=−+，[](1)(1)''(1)'(1)0g x g x g x g x −++−−=−+−−−=，则(1)(1)g x g x c −++−−=其中c 为常数，又(1)1g −=故2c =，有()g x 关于(1,1)−对称。

利用两个对称性可得()(4)2g x g x −−=−，故选项D 为以0为首项，1−为公差的等差数列求和.思路二、利用()f x 、'()f x 的奇偶性的定义，通过在两式中赋值x −，得到'(1)'(1)g x g x −−=−+及(1)(1)0g x g x −++=进一步得到函数的两个对称性，后同思路一。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．3 (43,N n n +∈中的一个均可) 14．1170 15．1 16．sin x ,2π− 16．参考思路：由已知条件可得02ω<<,02πϕ≤≤，根据对称性和周期性对1276()6f f ππ⎛⎫== ⎝⎭−⎪进行分类讨论；①考虑由周期性产生的1276()6f f ππ⎛⎫== ⎝⎭−⎪，结合T π>得43T π=，解得32ω=,此时1()sin()642f ππϕ=+=与02πϕ≤≤矛盾，不合题意. ②考虑由对称性产生的1276()6f f ππ⎛⎫== ⎝⎭−⎪，则2x π=−是()f x 的一条对称轴,结合02ω<<,02πϕ≤≤可知22ππωϕ−+=−，由1()sin()662f ππωϕ=+=，结合02ω<<,02πϕ≤≤，可知66ππωϕ+=，联立解得1ω=，0ϕ=，所以()sin f x x =.如图，结合sin y x =的图象及对称性可知，sin y x =在0x x =处的切线经过点()2π,0. 设()sin f x x =，则()cos f x x '=，所以000sin 0cos 2x x x π−=−，整理得0000sin tan 2πcos x x x x ==−，所以00tan 2πx x −=−.四、解答题：共70分。

厦门市2024届高三5月质检数学试题参考答案

(,1)(1,)−∞−+∞；2135212462()()n n n T b b b b b b b b −=+++++++1111(13521)()2446682(22)n n n =+++−++++⨯⨯⨯⨯+ 122n +−......................................................................................................合计 450 600（1）完成22⨯列联表．根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为45，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为25，以频率估计概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数X 的分布列及期望．（x α对应值见下表．()()()()()22n ad bc a b a c c d b d χ−=++++，)n a b c d =+++α 01． 005． 001．x α2706．3841．6635．方法一：（1）22⨯列联表如下表：不达标达标合计男 50 250 300女 100 200 300 合计150450600...................................................................................................................................... 1分零假设为0H ：体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关．......................... 2分 ()226005020025010020022.222 6.6353003001504509χ⨯−⨯==≈>⨯⨯⨯ ..................................... 5分根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01． ...................................................................... 6分（2）设事件A =“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件B =“随机抽取一人体能测试合格”，则3()4P A =，1()4P B =，4(|)5P B A =，2(|)5P B A = ..................................... 8分所以7()()(|)()(|)10P B P A P B A P A P B A =+= .................................................. 10分X 的可能取值为：0，1，2，3 ..................................................................... 11分3327(0)()101000P X ===12337189(1)()()10101000P X C === ........................................................................... 12分22337441(2)()()10101000P X C ===37343(3)()101000P X === ...................................................................................... 13分所以X 的分布列为X 0 1 23 {#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}7(3,)10B ()X kC ==又平面ABCD ，平面1111A B C D 平面1111ACC A AC =， ........................................................................................................ ................................................................. 3． ........................................... ∥平面1BDC ....................... 5AA ，1AC AA A =，以OB ，OC ，1OC 211(2,0,0)B D =−1232(,,2)22B C =−−．(,,)n x y z =，11100n B D n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，所以(0,2,3)n =的法向量(0,1,0)m =213cos ,13||||m n m n m n ⋅==，与平面11B CD 所成角余弦值为又平面ABCD ，平面1111A B C D ，1AC AA A =，．........................ 11分 ......................................................... 12分解：（1）设点(,)P x y ''，(,)M x y ，因为OP PQ =，所以(2,0)Q x '，(0)x '≠， .......................................................... 2分由M 为PQ 中点得222322x x x x x y y y y ''+⎧=⎧⎪'=⎪⎪⇒⎨⎨'⎪⎪'==⎩⎪⎩， .......................................................4分代入224x y ''+=，得2219x y +=． .......................................................................... 5分所以动点M 的轨迹Γ的方程为221(0)9x y x +=≠． ............................................... 6分（2）存在N 满足题意，证明如下： ........................................................................ 7分依题意直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程：(3)1y k x =−+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y联立22(3)119y k x x y =−+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(19)18(13)81540k x k k x k k ++−+−=． .................... 8分则212122218(13)8154,1919k k k kx x x x k k−−+=−=++ （1）直线l 方程化为13y x k−=+．联立221319y x k x y −⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22(19)(62)610k y k y k ++−−+= ...................................... 9分则1212226216,1919k ky y y y k k −−+=−=++ （2）依题意：2002201021222010200226216191918(13)81541919k k y y y y y y k k k k k k k k x x x x x x k k −−++−−++==−−−−++++ ...................... 10分 222220000022222200000(19)(62)1696(1)(1)(19)18(13)81549(3)18(3)k y k y k y k y k y k x k k x k k x k x k x ++−+−+−+−==++−+−−+−+ ........ 12分依题意直线NA ，NB 与坐标轴不平行，又12k k 为定值，所以22000220001(1)(3)3(3)y y y x x x −−==−−． .................................................................... 14分由220000020013(3)(1)(3)3(3)y y y x y x x −=⇒=−−−−．．．．．．．(3) 22000002001(1)3(3)(1)3(3)y y x x y x x −−=⇒=−−−．．．．．．．(4) 由(3)（4）得000033x y x y ==−或，代入（3）得00000033232222122222x x x y y y ⎧⎧⎧===−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪==−=⎪⎪⎪⎩⎩⎩或或． {#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}义为：011()1mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++，且满足：，，（2）依题意，2236()()()ln(1)66x xh x f x R x x x x +=−=+−++242222112(33)'()01(66)(1)(66)x x x h x x x x x x x ++=−=++++++≥ ........................................ 5分故()h x 在(1,)−+∞单调递增， ................................................................................... 6分由(0)0h =，故(1,0)x ∀∈−，()0h x <，(0,)x ∀∈+∞，()0h x > 综上，1x ∀>−，()0xh x ≥； .................................................................................... 7分（3）不妨设123x x x <<，令1()ln ()t x x x xλ=−−，22211'()(1)x x t x x x x λλλ−+−=−+=(0)x > 当0λ≤时，'()0t x >，此时()t x 单调递增，()0t x =不存在三个不等实根； .... 8分当0λ>时，令2()s x x x λλ=−+−，其判别式214λ∆=−若2140λ∆=−≤，即12λ≥，()0s x ≤恒成立，即'()0t x ≤，此时()t x 单调递减，()0t x =不存在三个不等实根； ............................................ 9分若2140λ∆=−>，即102λ<<，'()0t x =存在两个不等正实根1212,()r r r r <，此时有当1(0,)x r ∈时，'()0t x <，()t x 单调递减；当12(,)x r r ∈时，'()0t x >，()t x 单调递增；当2(,)x r ∈+∞时，'()0t x <，()t x 单调递减； ...................................................... 10分又因为(1)0t =，且'(1)120t λ=−>，故1()0t r <，2()0t r >因为ln 1(1)x x x <−≠，所以11ln 1x x <−，即2ln 2x x >− 所以44455423212111()ln ()2(2)(2)0t λλλλλλλλλλλ=−−>−−+=−+−>所以存在411(,)x r λ∈，满足1()0t x =； ................................................................... 11分又因为1111()ln ()ln ()()t x x x t x x x x x λλ=−−=−+−=−故存在311x x =，满足3()0t x =；故当且仅当102λ<<时，1ln ()x x xλ=−存在三个不等实根， ........................... 13分且满足1231x x x <=<，且131x x =由（2）可知，当0x >时，2236ln(1)66x xx x x ++>++因此，2233ln 41x x x x −>++(1)x >................................................................................15分故23332333331ln ()41x x x x x x λ−=−>++，化简可得：233312333413143x x x x x x x x λ++<=++=+++ 因此123113x x x λ++>−，命题得证． ..................................................................... 17分 {#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}。

【精准解析】福建省厦门市2020届高三5月质量检查数学(文)试题

2
7.6 0.8 6.08
所以这种射线的吸收系数为 0.114 .
故选:C
【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,
利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
6.
在 ABC
中，点 D 满足 BD
1 2
CD
，则
AD
（
A. 2 AB AC
T
又
， 0 a 1，
2
y a xb 是由函数 y a x 向右平移 0.5 个单位得到，且 y a x 单调递减，
故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的最值、周期、指数函数的单调性和平移问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8. 双曲线 C : x2 y2 1 的右焦点为 F ，点 P 在渐近线上，O 为坐标原点，且 | OP || OF | ， 3
则△OPF 外接圆的面积是（）
A.
4
B.
3
【答案】B
C. 2
D. 16 3
-5-
【解析】【分析】
求出双曲线的渐近线，结合 | OP || OF | 可得三角形为正三角形，再利用正弦定理可得外接圆
的半径，最后利用圆的面积公式，即可得答案；
【详解】双曲线的渐近线为 y 3x ， POF 60 ， | OP || OF | ， △OPF 的边长为 c 2 的等边三角形，
1)
ln
1 a
a( 1 1) a
2
lna a 3，
当
x
0 时，
f
(x)
x
1 x
a
[(x)

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高中数学学习材料
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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}2104M x x ,N x x ,=+≥=<则M N =( )
A.(],1-∞-
B.[)1,2-
C. (]1,2-
D. ()2,+∞
2.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（）
A.70家
B.50家
C.20家
D.10家
3.“30α=”是“1sin 2
α=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
不一定成立.
考点：充分必要条件.
4.执行右边的程序框图，若输入的x 的值为–2，则输出y 的值是（）
A ．5
B ．3-
C ．3
D ．5-
6.已知4sin 5x =，(,)2x ππ∈，则tan()4x π-=（） A ． 17 B ．7 C ．17- D ．7-
7.已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）
A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l α⊥
B ．若l α⊥，α∥β，m β⊂，则l m ⊥
C ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α
D ．若l α⊥，αβ⊥，m β⊂，则l ∥m
【答案】B
8.已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩
若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[)1,+∞ C ．[]0,3 D ．[)0,+∞
9.设向量a 与b 满足2a =，b 在a 方向上的投影为1，若存在实数λ，使得a 与b a λ-
垂直，则λ=（）
A. 2
1 B. 1 C.
2 D. 3
10.将函数sin ()cos x f x x ⋅=的图象向左平移ϕ个单位()0ϕ>，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =的图象关于原点对称，则ϕ的值⋅⋅⋅
不可能是（） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π
【答案】A
【解析】
11.设1F ，2F 分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（） A. 13 B. 23
C. 233
D. 33
12.若平面点集M 满足：任意点(,)x y M ∈，存在(0,)t ∈+∞，都有(,)tx ty M ∈，则称该点集M 是“t 阶稳定”点集．现有四个命题：
①对任意平面点集M ，都存在正数t ，使得M 是“t 阶稳定”点集； ②若{}2(,)M x y x y =≥，则M 是“
12
阶稳定”点集； ③若{}22(,)240M x y x y x y =+++=，则M 是“2 阶稳定”点集； ④若{}
22(,)21M x y x y =+≤是“t 阶稳定”点集，则t 的取值范围是(]0,1．
其中正确命题的序号为（）
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
(4,0)M -∉，故M 不是“2阶稳定”点集，③错；对命题④，设点(,)x y M ∈，则点(,)tx ty M ∈，即当
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.若复数
2
1
i
z
i
=
+
（i为虚数单位）,则复数z的模z=.
14.以双曲线
2
21
3
y
x-=的左焦点为圆心，实轴长为半径的圆的标准方程为___________.
15.已知变量,x y满足约束条件
23110,
480,
20,
x y
x y
x y
+-≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-+≥
⎩
若目标函数()0
z x ay a
=->的最大值
为1，则a=
.
16.记123k k k k k S n =++++()*n N ∈，当123k ,,,=时，观察下列等式：
2111,22S n n =
+
322111,326S n n n =++ 4323111,424S n n n =++
5434111,5230S n n A n n =++- 654251156212
S n n n B n =+++ ……可以推测，A B += _______.
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若7320,15
a S ==．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足：11424,b a b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）31n a n =-；（2）122n n T +=-.
【解析】
18.（本小题满分12分）
现从某100件中药材中随机抽取10件，这10件中药材的重量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如下：
0 8 9
1 0
2 2 7 8
2 0 1 3
（Ⅰ）求样本数据的中位数、平均数，并估计这100件中药材的总重量；
（Ⅱ）记重量在15克以上的中药材为优等品，在该样本的优等品中，随机抽取2件，求这2件中药材的重量之差不超过2克的概率.
19.（本小题满分12分）
已知向量(2sin ,sin )a x x =，(sin ,23cos )b x x =，函数()f x a b = .
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；
（II ）在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos cos cos a B b C c B =+,若对任意满足条件的A ，不等式()0f A m +>恒成立，求实数m 的取值范围．
试题解析：
20.（本小题满分12分）
抛物线E ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交与B 、C 两点，已知(10)A -，，ABC ∆为等腰直角三角形．
（Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）过点A 的直线l 与该抛物线交于M 、N 两点，点1N 为点N 关于x 轴的对称点，
求证：直线1MN 过定点，并求该定点的坐标．
21.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，4PC =，6AB =，33BD =，60DAB ︒∠= .
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若E ，F ，G 分别是线段BC ，DC ，PC 上的动点，且2EF =，试探究多面体PDBGFE 的体积、三角形面积、基本不等式等基础知识，考查学生的空间想象能力、转化能力、逻辑推理能力、计算能
试题解析：
22.（本小题满分12分）
已知函数()2x f x e ax bx c =-++（,,a b c R ∈， 2.718
e =是自然对数的底数），
曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+.
（Ⅰ）求b 与c 的值；
（Ⅱ）当0a >时，若方程()0f x =在()0,+∞有唯一的实数解，求a 的值；
（Ⅲ）当2a =时，证明：函数()f x 在[]0,3上有且仅有两个极值点，并求()f x 在[]0,3上的最大值. （参考数据：27.39e ≈，320.09e ≈，454.60e ≈ ）。