2008—数三真题、标准答案及解析

2008年考研数学（三）真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at af x dx ⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在 （4）设函数f连续，若22(,)uvD f u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（ ） （A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dxy dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时. （1）求dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) （本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解;（3）a 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+， 证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -.（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； （2）求Z 的概率密度．（23） （本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n=-.（1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .2008年考研数学（三）真题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】 ()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点． (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】B【详解】000(,0)(0,0)11(0,0)lim lim lim 0xxx x x f x f e f x xx→→→---'===- 0011lim lim 1xx x x e e x x ++→→--==，0011lim lim 1xx x x e e x x---→→--==- 故(0,0)x f '不存在．220000(0,)(0,0)11(0,0)lim limlim lim 00y y y y y y f y f e y f y yyy →→→→---'=====- 所以(0,0)y f '存在．故选B . (4)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂. (5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=. 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----， 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. (7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==.(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D . 二、填空题 (9)【答案】1【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为 ()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+，()22lim lim x c x cf x x c++→→== 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续所以 ()()lim lim ()x cx cf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=. (10)【答案】1ln 32【详解】222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，得()22t f t t =- 所以()()()22222111ln 2ln 6ln 2ln 32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰. (11)【答案】4π【详解】()22221()2DDDx y dxdy x dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性 21200124d r rdr ππθ==⎰⎰.(12)【答案】1y x= 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x =. (13)【答案】3【详解】A 的特征值为1,2,2，所以1A -的特征值为1,12,12， 所以14A E --的特征值为4113⨯-=，41211⨯-=，41211⨯-=所以143113B E --=⨯⨯=.(14)【答案】112e - 【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！.三、解答题(15) 【详解】 方法一：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x →→→--=洛必达法则20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则 (16) 【详解】(I) ()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+ ()()221x dx y dy dz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-(II) 由上一问可知22,11z x z yx y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+， 所以 ()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++所以 ()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++. (17) 【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++- 19ln 24=+ (18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，()()()()20222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰令2x u =+，则()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰所以()()()()()222t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(II) 由(1)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰. 所以，对任意的x ，()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰所以()G x 是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设2()()t tF t f x dx +=⎰，由于()(2)()0F t f t f t '=+-=，所以()F t 为常数，从而有()(0)F t F =.而2(0)()F f x dx =⎰，所以2()()F t f x dx =⎰，即220()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰.(II) 由(I)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()20a f x dx =⎰，则()0()2x G x f u du ax =-⎰ ， ()2(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰由于对任意x ，()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，()()2()G x f x a '=- 所以 ()(2)()0G x G x '+-=，从而 (2)()G x G x +-是常数 即有 (2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-= 所以()G x 是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值，则(1)(109)n n A r n -=++故 1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n nnn n n n nn n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设 1()(1,1)n n S x n x x ∞==∈-∑因为 21()()()(1,1)1(1)nn x xS x x x xx x x ∞=''=== ∈---∑所以 11()()4201 1.05S S r ==+(万元) 故 2009420398A =+⨯=(万元)，即至少应存入3980万元. 方法二：设第t 年取款后的余款是t y ，由题意知t y 满足方程1(10.05)(109)t t y y t -=+-+， 即 11.05(109)t t y y t --=-+ (1)(1)对应的齐次方程 11.050t t y y --=的通解为 (1.05)t t y C = 设(1)的通解为 *t y at b =+，代入(1)解得 180a =，3980b = 所以(1)的通解为 (1.05)1803980tt y C t =++ 由0y A =，0t y ≥得 3980A C =+ 0C ≥ 故A 至少为3980万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a aa a a a a a A r ar aaa aa a an a a n a r ar a n a n nn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a a D aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III) 方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k + 为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-= []1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X DX nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n =-221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n=+=所以2242222()()()()()E X D X E X D D X E X ⎡⎤=+=++⎣⎦2221()D D X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==-- ，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=-- 所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立)222222221111(1)(1)DX DS DD n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦-。