简单的三角恒等变换 复习课件
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简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
简单的三角恒等变换：课件三(21张PPT)
简单的三角恒等变换
复习 和(差)角公式
倍角公式
例1 试用cos 表示 sin 解 是
的二倍角.
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
2 2 在公式 cos 2 1 2 sin 中, 以代替2 , 以 代替 , 2 2 cos 1 2 sin 2 1 cos 2 sin ① 2 2
值 例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
1 3 2 sin x cos x 2 2 2 sin x cos cos x sin 3 2 sin x 3
2
小结
对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
作业
课本第143页习题3.2A组 题1、(6)---(8).2
1 sin2 2 1 3 cos cos 2 2
1 sin 2
1 1 7．已知 sin ( ) ，sin ( ) ，则 tan cot 5 2 3
8．若
1 （ tan 1 舍之） 2 2 tan sec 3 ，则 tan _______________________ ．
3 sin 2 6 6 3 由于0 , 所以当 2 , 即 时, 3 6 2 6 1 3 3 S最大 6 3 6
1
1 3 1 cos 2 sin 2 2 6 1 3 3 sin 2 cos 2 2 6 6 1 3 1 3 sin 2 cos 2 2 3 2 6
复习 和(差)角公式
倍角公式
例1 试用cos 表示 sin 解 是
的二倍角.
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
2 2 在公式 cos 2 1 2 sin 中, 以代替2 , 以 代替 , 2 2 cos 1 2 sin 2 1 cos 2 sin ① 2 2
值 例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
1 3 2 sin x cos x 2 2 2 sin x cos cos x sin 3 2 sin x 3
2
小结
对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
作业
课本第143页习题3.2A组 题1、(6)---(8).2
1 sin2 2 1 3 cos cos 2 2
1 sin 2
1 1 7．已知 sin ( ) ，sin ( ) ，则 tan cot 5 2 3
8．若
1 （ tan 1 舍之） 2 2 tan sec 3 ，则 tan _______________________ ．
3 sin 2 6 6 3 由于0 , 所以当 2 , 即 时, 3 6 2 6 1 3 3 S最大 6 3 6
1
1 3 1 cos 2 sin 2 2 6 1 3 3 sin 2 cos 2 2 6 6 1 3 1 3 sin 2 cos 2 2 3 2 6
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
3.4简单的三角恒等变换课件-理复习
第43页，共49页。
2．三角函数式的求值 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路 为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
解析：(1)由 cosα＝17，0＜α＜π2，得 sinα＝ 1－cos2α＝ 1－172＝473， ∴tanα＝csoinsαα＝47 3×71＝4 3. 于是 tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×44 332＝－8473.
第33页，共49页。
(2)由 0＜β＜α＜π2，得 0＜α－β＜π2.
又∵cos(α－β)＝1134，
∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 由 β＝α－(α－β)，得
1－11342＝3143.
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
所以 β＝π3.
第34页，共49页。
题型三 三角变换的应用 例 3 设函数 f(x)＝cos2x＋3π＋sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期； (2)设 A，B，C 为△ABC 的三个内角，若 cosB＝13，fC2＝ －14，且 C 为锐角，求 sinA.
第6页，共49页。
4．和差化积公式 sinθ＋sinφ＝2sinθ＋2 φcosθ－2 φ sinθ－sinφ＝2cosθ＋2 φsinθ－2 φ cosθ＋cosφ＝2cosθ＋2 φcosθ－2 φ cosθ－cosφ＝－2sinθ＋2 φsinθ－2 φ
第7页，共49页。
答案：①1－2cosα ②1＋2cosα ③11－＋ccoossαα
第19页，共49页。
2．三角函数式的求值 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路 为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
解析：(1)由 cosα＝17，0＜α＜π2，得 sinα＝ 1－cos2α＝ 1－172＝473， ∴tanα＝csoinsαα＝47 3×71＝4 3. 于是 tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×44 332＝－8473.
第33页，共49页。
(2)由 0＜β＜α＜π2，得 0＜α－β＜π2.
又∵cos(α－β)＝1134，
∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 由 β＝α－(α－β)，得
1－11342＝3143.
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
所以 β＝π3.
第34页，共49页。
题型三 三角变换的应用 例 3 设函数 f(x)＝cos2x＋3π＋sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期； (2)设 A，B，C 为△ABC 的三个内角，若 cosB＝13，fC2＝ －14，且 C 为锐角，求 sinA.
第6页，共49页。
4．和差化积公式 sinθ＋sinφ＝2sinθ＋2 φcosθ－2 φ sinθ－sinφ＝2cosθ＋2 φsinθ－2 φ cosθ＋cosφ＝2cosθ＋2 φcosθ－2 φ cosθ－cosφ＝－2sinθ＋2 φsinθ－2 φ
第7页，共49页。
答案：①1－2cosα ②1＋2cosα ③11－＋ccoossαα
第19页，共49页。
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形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
目录
2.常用的三角恒等变换技巧 (1)角变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的 种类，化异角为同角． (2)函数名称变换：观察比较题设与结论之间，等号两端函数 名称差异，化异名为同名． π 3 π (3)常数变换：如 1＝sin α＋cos α＝tan ， ＝sin 等． 4 2 3
π 3π ∵β∈( ，π)，∴β＝ . 2 4
目录
【规律小结】 已知三角函数值求角， 一般可分以下三个步骤： (1)确定角所在的范围； (2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围 内严格单调)； (3)根据角的范围写出所求的角．其中在第二步中，具体选用 哪个三角函数，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正 切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余 π 弦函数；若角范围是(0， )，正、余弦函数均可；若角范围 2 π π 是(0，π)时，一般选余弦函数；若角范围是(－ ， )时，则一 2 2 般选正弦函数等．
【答案】
(1)B
(2)1
目录
【规律小结】
给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，
从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一 定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式 转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．有时还 可逆用、变形运用公式．
目录
跟踪训练
tan 12°－ 3 1.计算： ＝________． （4cos212°－2）sin 12°
答案：2－ 3
目录
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 给角求值问题 )
sin 110°sin 20° 例1 (1) 2 的值为( cos 155°－sin2155° 1 A．－ 2 3 C. 2 1 B. 2 3 D．－ 2
(2)sin 50°(1＋ 3tan 10°)的值为________．
目录
【解析】
目录
考点 3
给值求角问题
π α 1 2 例3 已知 0<α< <β<π，tan ＝ ，cos(β－α)＝ . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值； (2)求 β 的值．
π α 1 1 4 【解】 (1)∵0<α< ，tan ＝ ，∴tan α＝ ＝ ＝ . 2 2 2 1 3 α 1－ 1－tan2 4 2 4 ∵sin α＋cos α＝1，∴sin α＝ . 5
α ∴cos ＝－ 2 1＋cos α ＝－ 2 1 1＋ 3 6 ＝－ . 2 3
目录
3. 的值为( cos 10°－ 3sin 10° A．1 1 C. 2 B．－1
2sin235°－1
)
解析：选 D.原式＝ 1 3 2（ cos 10°－ sin 10°） 2 2 －cos 70° 1 ＝ ＝－ . 2 2sin 20°
目录
α α α (2)用 cos α 表示 sin ，cos ，tan .(半角公式不要求记忆) 2 2 2 1－cos α α ± 2 sin ＝_________________； 2 α ± 2 cos ＝_________________； 2 α tan ＝± 2 1－cos α . 1＋cos α
目录
sin（α＋β）－2sin αcos β (2)由于 2sin αsin β＋cos（α＋β） sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β ＝ 2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β －（sin αcos β－cos αsin β） ＝ cos αcos β＋sin αsin β －sin（α－β） ＝ ＝－tan(α－β)， cos（α－β） 1 1 － tan α－tan β 3 2 1 ∴原式＝－tan(α－β)＝－ ＝－ ＝ . 1 1 7 1＋tan αtan β 1＋ × 3 2
目录
3 3 5.已知点 P(sin π，cos π)落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0，2π)， 4 4 π 则 tan(θ＋ )的值为________． 3 2 2 解析：∵点 P 坐标为( ，－ )， 2 2
∴θ 为第四象限角，tan θ＝－1， tan θ＋ 3 －1＋ 3 π ∴tan(θ＋ )＝ ＝ 3 1－ 3tan θ 1＋ 3 ＝2－ 3.
2 2
(4)次数变换：常用方式是升幂或降幂，主要是二倍角余弦公 式及其逆向使用．
目录
名师讲坛精彩呈现
规范解答
三角函数恒等变换综合题
例
x x 1 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝cos －sin cos － . 2 2 2 2
2x
(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域； 3 2 (2)若 f(α)＝ ，求 sin 2α 的值． 10
2 2
α 2tan 2
目录
π (2)∵0<α< <β<π，∴0<β－α<π. 2 2 7 2 ∵cos(β－α)＝ ，∴sin(β－α)＝ . 10 10 又 cos α＝ 4 2 3 1－（ ） ＝ ， 5 5
∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝ 7 2 3 2 4 2 ×＋ ×＝ . 10 5 10 5 2
目录
1 D．－ 2 2sin235°－1
π＋θ ＝3，则 cos 2θ ＝________． 4.若 sin 2 5
π＋θ＝cos θ ＝3， 解析：∵sin 2 5
3 2 2 －1＝－ 7 . ∴cos 2θ ＝2cos θ －1＝2× 5 25
7 答案：－ 25
π tan ＋tan α 4 π 解：(1)法一：由 tan( ＋α)＝2 得， ＝2， 4 π 1－tan tan α 4 1＋tan α 1 即 ＝2，解得 tan α＝ . 3 1－tan α
目录
π π 法二：tan α＝tan[( ＋α)－ ] 4 4 π π tan（ ＋α）－tan 4 4 ＝ π π 1＋tan（ ＋α）tan 4 4 2－1 1 ＝ ＝ . 1＋2×1 3
目录
跟踪训练
3 4 3.已知 α、β 为锐角，sin α＝ ，cos(α＋β)＝－ ， 5 5 求 2α＋β 的值．
3 π 4 解：∵sin α＝ ，α∈(0， )．∴cos α＝ . 5 2 5 4 3 ∵cos(α＋β)＝－ ，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝ . 5 5 ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β) 3 4 4 3 3π ＝ ×(－ )＋ × ＝0.又 2α＋β∈(0， )．∴2α＋β＝π. 5 5 5 5 2
sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° (1) 2 ＝ cos 155°－sin2155° cos 310°
1 sin 40° cos 20°sin 20° 2 1 ＝ ＝ ＝ ，故选 B. cos 50° sin 40° 2 (2)∵sin 50°(1＋ 3tan 10°) cos 10°＋ 3sin 10° 2sin 40° ＝sin 50°· ＝sin 50°· cos 10° cos 10° cos 40°·2sin 40° sin 80° ＝ ＝ ＝1. cos 10° cos 10°
π 3 2 2 (2)由(1)知，f(α)＝ cos α＋4 ＝ 2 10 ，
α＋π ＝3.8 分 所以 cos 4 5
π＋2α sin 2α＝－cos 2 ＝－cos 2α＋π 所以 4
α＋π ＝1－18＝ 7 .12 分 ＝1－2cos 4 25 25
2tan 22.5° C. 1－tan222.5°
答案：D
目录
1 α 2.已知 cos α＝ ，α∈(π，2π)，则 cos 等于( 3 2 6 A. 3 3 C. 3 6 B．－ 3
)
3 D．－ 3 1 α π 解析：选 B.∵cos α＝ ，α∈(π，2π)，∴ ∈ 2，π， 3 2
1＋cos α
α (3)用 sin α，cos α 表示 tan .(半角化单角) 2 1－cos α α sin α tan ＝ ＝ . 2 1＋cos α sin α
目录
课前热身
1 1.(教材习题改编)下列各式的值为 的是( 4 π A．2cos －1 12
2
)
B．1－2sin275° D．sin 15°cos 15°
cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β） ＝－ 7 2 ＝－4 2. 1－ 9 9
sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β 7 1 4 2 2 2 1 ＝ × －3 － － 9 9 × 3 ＝3.
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【思维升华】
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【解】
1＋cos 2β (1)∵cos β ＝ 2
2
＝
－7 1＋ 9 1
2
＝ ， 9
π，π，∴cos β ＝－1. 又∵β∈ 2 3
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(2)由(1)知 sin β＝ 1－cos2β ＝ 1 2 2 2 1－－3 ＝ . 3
Байду номын сангаас
0，π 、β∈π，π ，得(α＋β)∈π，3π . 由 α∈ 2 2 2 2
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的
值，一般思路为： (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
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跟踪训练
π 1 2.已知 tan( ＋α)＝2，tan β＝ . 4 2 (1)求 tan α 的值； sin（α＋β）－2sin αcos β (2)求 的值． 2sin αsin β＋cos（α＋β）
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2.常用的三角恒等变换技巧 (1)角变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的 种类，化异角为同角． (2)函数名称变换：观察比较题设与结论之间，等号两端函数 名称差异，化异名为同名． π 3 π (3)常数变换：如 1＝sin α＋cos α＝tan ， ＝sin 等． 4 2 3
π 3π ∵β∈( ，π)，∴β＝ . 2 4
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【规律小结】 已知三角函数值求角， 一般可分以下三个步骤： (1)确定角所在的范围； (2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围 内严格单调)； (3)根据角的范围写出所求的角．其中在第二步中，具体选用 哪个三角函数，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正 切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余 π 弦函数；若角范围是(0， )，正、余弦函数均可；若角范围 2 π π 是(0，π)时，一般选余弦函数；若角范围是(－ ， )时，则一 2 2 般选正弦函数等．
【答案】
(1)B
(2)1
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【规律小结】
给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，
从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一 定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式 转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．有时还 可逆用、变形运用公式．
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跟踪训练
tan 12°－ 3 1.计算： ＝________． （4cos212°－2）sin 12°
答案：2－ 3
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 给角求值问题 )
sin 110°sin 20° 例1 (1) 2 的值为( cos 155°－sin2155° 1 A．－ 2 3 C. 2 1 B. 2 3 D．－ 2
(2)sin 50°(1＋ 3tan 10°)的值为________．
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【解析】
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考点 3
给值求角问题
π α 1 2 例3 已知 0<α< <β<π，tan ＝ ，cos(β－α)＝ . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值； (2)求 β 的值．
π α 1 1 4 【解】 (1)∵0<α< ，tan ＝ ，∴tan α＝ ＝ ＝ . 2 2 2 1 3 α 1－ 1－tan2 4 2 4 ∵sin α＋cos α＝1，∴sin α＝ . 5
α ∴cos ＝－ 2 1＋cos α ＝－ 2 1 1＋ 3 6 ＝－ . 2 3
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3. 的值为( cos 10°－ 3sin 10° A．1 1 C. 2 B．－1
2sin235°－1
)
解析：选 D.原式＝ 1 3 2（ cos 10°－ sin 10°） 2 2 －cos 70° 1 ＝ ＝－ . 2 2sin 20°
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α α α (2)用 cos α 表示 sin ，cos ，tan .(半角公式不要求记忆) 2 2 2 1－cos α α ± 2 sin ＝_________________； 2 α ± 2 cos ＝_________________； 2 α tan ＝± 2 1－cos α . 1＋cos α
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sin（α＋β）－2sin αcos β (2)由于 2sin αsin β＋cos（α＋β） sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β ＝ 2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β －（sin αcos β－cos αsin β） ＝ cos αcos β＋sin αsin β －sin（α－β） ＝ ＝－tan(α－β)， cos（α－β） 1 1 － tan α－tan β 3 2 1 ∴原式＝－tan(α－β)＝－ ＝－ ＝ . 1 1 7 1＋tan αtan β 1＋ × 3 2
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3 3 5.已知点 P(sin π，cos π)落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0，2π)， 4 4 π 则 tan(θ＋ )的值为________． 3 2 2 解析：∵点 P 坐标为( ，－ )， 2 2
∴θ 为第四象限角，tan θ＝－1， tan θ＋ 3 －1＋ 3 π ∴tan(θ＋ )＝ ＝ 3 1－ 3tan θ 1＋ 3 ＝2－ 3.
2 2
(4)次数变换：常用方式是升幂或降幂，主要是二倍角余弦公 式及其逆向使用．
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规范解答
三角函数恒等变换综合题
例
x x 1 (本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝cos －sin cos － . 2 2 2 2
2x
(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域； 3 2 (2)若 f(α)＝ ，求 sin 2α 的值． 10
2 2
α 2tan 2
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π (2)∵0<α< <β<π，∴0<β－α<π. 2 2 7 2 ∵cos(β－α)＝ ，∴sin(β－α)＝ . 10 10 又 cos α＝ 4 2 3 1－（ ） ＝ ， 5 5
∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝ 7 2 3 2 4 2 ×＋ ×＝ . 10 5 10 5 2
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1 D．－ 2 2sin235°－1
π＋θ ＝3，则 cos 2θ ＝________． 4.若 sin 2 5
π＋θ＝cos θ ＝3， 解析：∵sin 2 5
3 2 2 －1＝－ 7 . ∴cos 2θ ＝2cos θ －1＝2× 5 25
7 答案：－ 25
π tan ＋tan α 4 π 解：(1)法一：由 tan( ＋α)＝2 得， ＝2， 4 π 1－tan tan α 4 1＋tan α 1 即 ＝2，解得 tan α＝ . 3 1－tan α
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π π 法二：tan α＝tan[( ＋α)－ ] 4 4 π π tan（ ＋α）－tan 4 4 ＝ π π 1＋tan（ ＋α）tan 4 4 2－1 1 ＝ ＝ . 1＋2×1 3
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跟踪训练
3 4 3.已知 α、β 为锐角，sin α＝ ，cos(α＋β)＝－ ， 5 5 求 2α＋β 的值．
3 π 4 解：∵sin α＝ ，α∈(0， )．∴cos α＝ . 5 2 5 4 3 ∵cos(α＋β)＝－ ，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝ . 5 5 ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β) 3 4 4 3 3π ＝ ×(－ )＋ × ＝0.又 2α＋β∈(0， )．∴2α＋β＝π. 5 5 5 5 2
sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° (1) 2 ＝ cos 155°－sin2155° cos 310°
1 sin 40° cos 20°sin 20° 2 1 ＝ ＝ ＝ ，故选 B. cos 50° sin 40° 2 (2)∵sin 50°(1＋ 3tan 10°) cos 10°＋ 3sin 10° 2sin 40° ＝sin 50°· ＝sin 50°· cos 10° cos 10° cos 40°·2sin 40° sin 80° ＝ ＝ ＝1. cos 10° cos 10°
π 3 2 2 (2)由(1)知，f(α)＝ cos α＋4 ＝ 2 10 ，
α＋π ＝3.8 分 所以 cos 4 5
π＋2α sin 2α＝－cos 2 ＝－cos 2α＋π 所以 4
α＋π ＝1－18＝ 7 .12 分 ＝1－2cos 4 25 25
2tan 22.5° C. 1－tan222.5°
答案：D
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1 α 2.已知 cos α＝ ，α∈(π，2π)，则 cos 等于( 3 2 6 A. 3 3 C. 3 6 B．－ 3
)
3 D．－ 3 1 α π 解析：选 B.∵cos α＝ ，α∈(π，2π)，∴ ∈ 2，π， 3 2
1＋cos α
α (3)用 sin α，cos α 表示 tan .(半角化单角) 2 1－cos α α sin α tan ＝ ＝ . 2 1＋cos α sin α
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课前热身
1 1.(教材习题改编)下列各式的值为 的是( 4 π A．2cos －1 12
2
)
B．1－2sin275° D．sin 15°cos 15°
cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β） ＝－ 7 2 ＝－4 2. 1－ 9 9
sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β 7 1 4 2 2 2 1 ＝ × －3 － － 9 9 × 3 ＝3.
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【思维升华】
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【解】
1＋cos 2β (1)∵cos β ＝ 2
2
＝
－7 1＋ 9 1
2
＝ ， 9
π，π，∴cos β ＝－1. 又∵β∈ 2 3
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(2)由(1)知 sin β＝ 1－cos2β ＝ 1 2 2 2 1－－3 ＝ . 3
Байду номын сангаас
0，π 、β∈π，π ，得(α＋β)∈π，3π . 由 α∈ 2 2 2 2
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的
值，一般思路为： (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
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跟踪训练
π 1 2.已知 tan( ＋α)＝2，tan β＝ . 4 2 (1)求 tan α 的值； sin（α＋β）－2sin αcos β (2)求 的值． 2sin αsin β＋cos（α＋β）