不定积分2
不定积分的积分法(2)分部积分法.ppt
(3)
x 2 − a 2 时，
令 x =asecx ．
x x 2 −1 法一： 三角代换法） （三角代换法）
例7
∫
dx
去根号 九种解法
x
x2 −1
令 x = sec u , 0 < t <
π
2
，则
1
dx = sec udu ，
∫
sec u ⋅ tan u du =∫ sec u ⋅ tan u x x2 − 1 dx
(1)
∫
x − 10 x +1
2
dx ；
去根号
解：设 x = tan u (0 < u <
π
2
) ，则 dx = sec 2 udu, 则
tan u − 10 2 x− udu 原式 = ∫ x dx ；⋅ sec(3) = ∫ (tan2u − 10) ⋅ sec u du (2) ∫ 2 ∫ x 2 − 4 x − 5 dx + tan u x 21+ 1 = ∫ tan u ⋅ sec udu − 10 ∫ sec u du
例 12
e x sin x dx ∫
0
∫ udv = uv − ∫ vdu ．
10 u = sin x, vdx = e xdx
？：怎样选取 u 和 v
2 u = e , dv = sin xdx
x
例 12
∫e
x
sin xdx
u = sin x , v dx = e x dx
解： ∫e x sinxdx= ∫sinxd (e x ) = e x sin x − ∫ e x d (sin x )
= ∫ du= u+C
不定积分(二)
令 x = sec t , 则 dx = sect tantdt
∴∫ 1
∫
dx x 1
2
1
dx = ∫ sect tan tdt 2 x2 1 sec t 1 1 =∫ sec t tan tdt = ∫ sec tdt tan t
1
1 cos t 1 =∫ dt = ∫ dt = ∫ d sin t 2 2 cos t cos t cos t
t 1 +1 t dt = ∫ dt = ∫ 2 2 1+ t 1+ t
8
8
(t ) 1 + 1 (t 1)(t + 1) + 1 = ∫ dt = ∫ dt 2 2 1+ t 1+ t
4 2 4 4
不定积分
(t 2 1)(1 + t 2 )(t 4 + 1) + 1 = ∫ dt 2 1+ t
1 1 1 1 = ∫ dt + 2(9 x2 ) 2 = t + (9 x2 ) 2 + C 2 3
x 2 = arcsin + 9 x + C 3
不定积分
2,令 x = tant, 则 dx = sec tdt ,
2
∫
1+ x2 dx x
∫
1+ x dx = ∫ x
2
1 + tan 2 t sec2 tdt tan t
1
1+ x2
t
x
3,令 x = 3 sec t , 则 dx = 3sect tantdt ∫ x
1
2
1 x 9
2
dx
∫x
第五章 不定积分(2)
d u ln | u | C u
ln | ln x | C .
一般公式 :
f
(ln
x)
dx x
f (u)du
(u ln x) .
常用简化技巧小结：
(1) 分项积分：利用积化和差；分式分项 1 sin 2 x cos2 x 等
(2) 降低幂次：利用倍角公式, 如
万能凑幂法
f
(xn )xn1
解 令 u sin x, 则d u cos x d x , 故
sin 3 x cos x d x u3 d u
1u4 C 4
1 sin 4 x C 4
例6. 求
x2 dx.
1 x6
解
x2
1
1 x6 dx 3
dx3 1 x6
u
x3
1
3
du 1 u2
1 arcsin x3 C. 3
x
(1 u2 ) d u
u 1 u3 C tan x 1 tan3 x C .
3
3
例10. 求 sec6xdx. 解 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
解
(2x
1)3
d
x
1 2
(2x
1)3
d(2x
1)
令u 2x 11 u4 C
8
1 (2x 1)4 C 8
“凑微分”法的解题步骤
例2. 求
想到公式
解 原式 =
u du
1 a
um du
1 a
1 m
u 1
m1
不定积分第二种换元法
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种 换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的 领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分 支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的 应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支， 其中许多问题可以通过第二种换元法得到解 决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范 围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算 不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函 数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数 的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有 效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实 际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不 定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算 这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数 学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论 体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。
不定积分的概念与性质(2)
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
F ( x ) G ( x )
F ( x ) G ( x ) f ( x) f ( x) 0
F ( x ) G ( x ) C （ C为任意常数）
西南财经大学天府学院
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
西南财经大学天府学院
三、 不定积分的性质
(1)
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx;
dx
d [ f ( x )dx ] d [ g ( x )dx ] dx dx
证 d [ f ( x )dx g ( x )dx ]
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1 x x2 dx . 例6 求积分 2 x(1 x )
解
1 x x x (1 x ) x(1 x 2 ) dx x(1 x 2 ) dx
2 2
1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
2
三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
1 2x x ex x 四、证明函数 e , e sinh x 和 e cosh x都是 2 cosh x sinh x 的原函数 .
20190917考点9 不定积分的第二换元法
勾股定理
9-1，(2016 年 15 题 4 分)计算：
(
1 x
1
1 x2
)dx
_______
9-2，(2016 年 24 题 8 分)计算：计算 x cos x2dx
9-3，(2015 年 7 题 4 分) (x2 sin x)dx 【 】
A. -2x-1+cosx+C
1 dt
a2 sin 2 t
1
a2
csc2 x
1 a2
cot
t
C
1 a2
a2 x2 C x
根据三角函数定义，由图可见：
设 x=a•tant,有 sint= x a2 x2
则 dx=asec2tdt； 1 = a2 x2 sint x
a2 x2 a2(1 tan2 t) asect
ln | t 1 | C t 1
ln | x 2 1 | C x 2 1
倍数是 6，设 6 x =t>0，则
x
3
=t
3
x
=t2,有
6
5
x=t ,dx=6t dt,
dx
x3 x
6t 5 t3 t2
dt
6
t
t3
1
dt
6
t
3
1 t 1
1
dt
9-6，(2015 年 23 题 8 分) 计算
4
x x2
dx
3
考点习题：用第二换元法求不定积分 (答 案)
(1)
x 1 dx
3 3x 1
不定积分26个基本公式
不定积分26个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数的原函数进行求解。
当我们求解不定积分时，可以利用一些基本的公式来简化计算。
下面将介绍26个常用的基本不定积分公式。
1.幂函数的不定积分：如果k不等于-1，那么∫x^k dx = (1/(k+1)) * x^(k+1) + C2.指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C3.三角函数的不定积分：(1) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C(4) ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C(5) ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C(6) ∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C4.反三角函数的不定积分：(1) ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C(2) ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C(3) ∫1/，x，(x≠0) dx = sign(x) ln，x， + C，其中sign(x)是x的符号函数5.对数函数的不定积分：(1) ∫1/x dx = ln，x， + C，其中x≠0(2) ∫ln(x) dx = xln，x， - x + C，其中x≠06.双曲函数的不定积分：(1) ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C(2) ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C(3) ∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C(4) ∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C(5) ∫s ech(x) dx = arctan(sinh(x)) + C(6) ∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C7.反双曲函数的不定积分：(1) ∫1/(√(x^2+1)) dx = arsinh(x) + C(2) ∫1/(√(x^2-1)) dx = arcosh(x) + C，其中x≥1(3) ∫1/x dx = arcoth(x) + C，其中，x，>1(4) ∫1/x dx = arcosech(x) + C，其中0<x≤1(5) ∫1/x dx = arccsch(x) + C，其中，x，≥18.部分分式的不定积分：∫(A/(x-a) + B/(x-b)) dx = A ln，x-a， + B ln，x-b， + C，其中a≠b9.三角函数复合函数的不定积分：(1) ∫sin(kx) dx = - (1/k) cos(kx) + C(2) ∫cos(kx) dx = (1/k) sin(kx) + C10.反函数的不定积分：∫f'(x) / f(x) dx = ln，f(x)， + C11.方根的不定积分：(1) ∫√(a^2-x^2) dx = (1/2) (x √(a^2-x^2) + a^2arcsin(x/a)) + C，其中，x，≤a(2) ∫√(x^2+a^2) dx = (1/2) (x √(x^2+a^2) + a^2 ln，x + √(x^2+a^2)，) + C12.有理函数的不定积分：∫(P(x)/Q(x)) dx = F(x) + C，其中F(x)是P(x)/Q(x)的一个原函数这些是常见的基本不定积分公式，掌握了这些公式可以在计算不定积分时减少计算量和复杂性。
不定积分第2换元法
不定积分的计算
例12
解法 1
dt 分项 dt dt 解： I 3 = ∫ = ∫ −∫ x 1+ e = t t (t − 1) t −1 t
回代
dx 求 I3 = ∫ 1+ ex
= ln( t − 1) − ln t + C = x − ln(1 + e ) + C
x
1+ e − e e dx I3 = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x 凑微分，分项 x d ( e + 1) x = x − ln( e + 1) + C = x−∫ x e +1
x
x2 − a2
====== =====
t = arccos 代回
1 a
∫
1 dt = t + C a a + C x
t
a
sin t = x 2 − a 2 / x cot = a / x tan t = x 2 − a 2 / a
a x
1 arccos a
( x ∈ ( a , +∞ ))
解法 2 x x x
2011-3-14
不定积分的计算
第一、二换 元法的异同
(1) 两种换元法都以下面积分等式为依据： 两种换元法都以下面积分等式为依据： ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ϕ ( t )] ϕ ′ ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt
其中： x = ϕ ( t )
(2) 两种换元法的区别在于： 两种换元法的区别在于：
2011-3-14
− 代回t =arcsin x21
不定积分第2换元法
sin
x1 2
2 arcsin x 1 x 1
4 (x 1)2 C
sin
2t
x1 2
4( x1)2
22
2020/2/29
不定积分的计算
例11 求积分 I
dx
x x2 a2
(a 0)
解：当a x 时，令x 1, t (0, 1 )
t
a
解：当0 x a,
xa sin t ,dxa costdt
I1
a2 x2 a cost
a2 a4
cos2 sin 4
t t
dt
a
t
x c ostsin
t
x/ a2
a x2
/
a
a2 x2 tan t x / a2 x2
1 sec2 t 积分 1 1
第二换元法例(续1)
解：I 2
ax,代换asect tan tdt
x aSe c t x 2 a 2 atgt
a sect a tan t
x
x2 a2
整理
1
dt 1 t C
a
a
sin t x2 a2 / x
t
a
令x12sin t
4 cos2 tdt 2 (1 cos2t)dt
4( x1)2 2cost
sin 2t 2sin t cost
分项积分
2t sin 2t C
2 t
x-1 2 x 1 4 (x 1)2
4 (x 1)2
2
2
代回t
a
rc
2不定积分
u = ex −1, 则 令
4
u2 +1−1
− 4(u − arctanu) + C
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方法2 方法 (先换元,再分部) 令 u = ex −1, 则 故
= 2u ln(1+ u )
2
1+
−1
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第四章 四
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
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1 dx (ab ≠ 0) . 例6. 求 ∫ (asin x + bcos x)2
解法 1 原式 = ∫
dx
(a tan x + b) cos x
2
2
令 t = tan x
1 dt =− +C =∫ a(a t + b) (at + b)2 cos x =− +C a(a sin x + bcos x)
1 d (2x) 1 解: I = ∫ = ln 2x + 4x2 + 9 + C 2 (2x)2 + 32 2
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例22. 求 解: 原式 = ∫
5 ( 2 )2 − (x − 1)2 2
d (x − 1) 2
例23. 求 解: 原式 = −∫
d e−x 1− e−2x
4 1= + C 5 1 4 B+ C = + 6 15 2
1 4 2x −1 原式 = − 5 1+ 2x 1+ x2
不定积分(二)
不定积分
例5 求 sin 3xsin 5xdx
解： sin 3xsin 5xdx
1 2
[
c
os(3x
5x)
cos(3x
5x)]dx
1 2
c
os8xdx
1 2
cos(2x)dx
1 2
c
os8xdx
1 2
cos2xdx
1 sin 8x 1 sin 2x C
2 sin 2x
1
(ln
tan
3
x) 2
C
3
不定积分
2、
ln(1 x) x(1
ln x)
xdx
[ln(1
x)
lnΒιβλιοθήκη x]d[ln(1x)
ln
x]
1 [ln(1 x) ln x]2 C 2
1 [ln 1 x ]2 C 2x
[ln(1 x) ln x]
解：1、tan3 xsec3 xdx tan2 x sec2 xdsec x
(sec2x 1)sec2 xd (sec x)
sec4 xd(secx) sec2 xd(secx)
1 sec5 x 1 sec3 x C
C
3
3
不定积分
练习
1、e2xdx
3、x3 sin(x4 1)dx
5、
ln x dx x
7、ex 2 ex dx
2、 4x 1dx
不定积分学习指导 (2)
第四章不定积分1学习指导1.基本要求⑴正确理解原函数与不定积分的概念，熟悉原函数与不定积分的关系；⑵掌握并能推证不定积分的性质，牢记并能熟练运用基本积分公式；⑶熟练掌握求简单函数不定积分的直接方法；⑷掌握不定积分的换元积分法与分部积分法；⑸了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分；⑹掌握求典型初等函数不定积分的方法；⑺掌握积分表的使用方法。
2.重点与难点重点不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法；难点换元积分法。
3.学习方法⑴不定积分与微分互为逆运算，“积分法”是在“微分法”的基础上建立起来的。
由初等函数的微分法可推出求不定积分的法则。
如由复合函数的求导法则可以得到换元积分公式，由乘积的求导法则可以得到分部积分公式。
⑵求不定积分的方法是，设法将所求的积分化为基本积分表中已有的积分形式，以便运用公式求不定积分，具体转化时，可以利用积分性质、换元积分法、分部积分法及代数三角恒等变形等方法。
常用的三角恒等式包括平方和（差）等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化积及积化和差公式。
下面列出常用的求不定积分的方法。
①直接积分法这种方法是将被积函数作代数、三角恒等变形，直接利用基本积分公式或不定积分的线性运算性质进行求解。
②第一类换元积分法（凑微分法）这类积分法主要解决被积函数为复合函数的积分。
求不定积分()⎰dx x g ，关键是将被积表达式()dx x g 凑成复合函数的微分()()()dx x x f 'ϕϕ的形式，再由()()x d dx x ϕϕ='得()()()()()⎰⎰⎰==du u f dx x x f dx x g 'ϕϕ，即将积分()⎰dx x g 转化为()du u f ⎰，若能求得()u f 的原函数，就得到了()x g 的不定积分，因此熟悉常见的凑微分形式非常重要。
应注意，利用第一类换元法求不定积分时，有时不必写出换元积分变量，而将()x ϕ视为整体变量μ直接计算。