《解直角三角形的应用》练习题1
解直角三角形的应用测试题带答案
解直角三角形的应用测试题一、选择题（本大题共10小题，共分）1.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB拉到的位置，测得为水平线，测角仪的高度为1米，则旗杆PA的高度为A. B. C. D.2.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯AC的长为A. B. C. D.2 3 43.楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要A. 米B. 米C. 米D. 米4.上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处如图从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么在B处船与小岛M的距离为5. A. 20海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里6.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为A. B. C. D.7.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A 的仰角为，则这个电视塔的高度单位：米为A. B. 61 C. D. 1216 7 88.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东，千米B. 北偏西，千米C. 南偏东，100千米D. 北偏西，100千米9.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为10. A. nmile B. nmile C. nmile D. nmile11.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米9 10 1112.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度：，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则大坝底端增加的长度CF是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本大题共10小题，共分）13.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，，则CE的长为______ 米14.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为，测得底部C的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为______ 米精确到1米，参考数据：15.16.17.小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了______18.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后楼梯AC长为______ 米19.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米参考数据：，，20.如图，为测量某栋楼房AB的高度，在C点测得A点的仰角为，朝楼房AB方向前进10米到达点D，再次测得A点的仰角为，则此楼房的高度为______ 米结果保留根号．16 17 18 21.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是______米结果保留根号．22.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______23.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是，则______．24.25.26.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保留根号______ 米三、计算题（本大题共4小题，共分）27.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为，在B处测得四楼顶部点E的仰角为，米求居民楼的高度精确到米，参考数据：28.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒，求这架无人飞机的飞行高度结果保留根号29.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．30.求的度数．31.求教学楼的高结果精确到，参考数据：，32.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，米，坡角，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上．33.求斜坡CD的高度DE；34.求大楼AB的高度结果保留根号四、解答题（本大题共2小题，共分）35.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上，已知，，求障碍物B，C两点间的距离结果精确到参考数据：，36.37.38.39.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：米，，请求出小桥PQ的长，结果精确到米答案和解析【答案】1. A2. B3. D4. B5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. 812. 20813. 2514.15. 28016.17.18. 13019.20.21. 解：设每层楼高为x米，由题意得：米，，，在中，，，在中，，，，，解得：，则居民楼高为米．22. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，则．23. 解：过点C作，则有，；由题意得：，在中，，在中，，教学楼的高，则教学楼的高约为．24. 解：在中，米，，，米；过D作，交AB于点F，，，，即为等腰直角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，在中，，米，米，米，，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点H．则，在直角中，，，．，．答：障碍物B，C两点间的距离约为．26. 解：设米，在直角中，，，在直角中，，，米，，解得：米．答：小桥PQ的长度约是米．【解析】1. 解：设，在中，，，，，．故选：A．设，在中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在中，，，在中，，．故选B．先在中利用正弦的定义计算出AD，然后在中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成：m的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为：．3. 解：在中，米，米，地毯的面积至少需要米；故选：D．由三角函数表示出BC，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B作于点N．由题意得，海里，．作于点N．在直角三角形ABN中，．在直角中，，则，所以海里．故选B．过点B作于点根据三角函数求BN的长，从而求BM的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：，．故选A．根据三角函数的定义即可求解．本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键．6. 【分析】根据题意求出CE的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE的长，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【解答】解：由题意得，，，，，，．7. 解：第一艘快艇沿北偏西方向，第二艘快艇沿南偏西方向，，，，，第二艘快艇沿南偏西方向，，，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．8. 解：如图作于E．在中，，，，在中，，，故选：B．如图作于在中，求出PE，在中，根据即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作于G，于H，，，背水坡CD的坡度：米，故选C．过D作于G，于H，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A、D作，，垂点分别为F、G，如图所示．在中，米，，，，．在中，，米，．在中，，，，．即CE的长为8米．故答案为8．分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在中，由勾股定理求CG的长，在中，根据正切函数定义得到GE的长；根据即可求解．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：，解得：，，解得：，故该建筑物的高度为：，故答案为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．13. 解：如图，过点B作于点E，坡度：：，：，，，．他升高了25m．故答案为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．此题考查了坡度坡角问题此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在中，，，在中，，．故答案是：．先在中利用正弦的定义计算出AD，然后在中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．15. 解：如图在中，，这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280如图在中，，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．16. 解：在直角三角形ADB中，，，，在直角三角形ABC中，，，，，解得：．故答案为：．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，．故答案为：．先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、可求出与的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．18. 解：作于E，于F，斜坡CD的坡比为1：2，即，，又，，，由题意得，四边形BEFC是矩形，，，斜坡AB的坡比为1：3，，即，，故答案为：130m．作于E，于F，根据坡度的概念分别求出AE、DF，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解：：，则．故答案是：．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，．故答案为：．作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．21. 设每层楼高为x米，由求出的长，进而表示出与的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，同理表示出，由求出AB的长即可．此题属于解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22. 如图，作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．23. 过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．24. 在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作于点F，过点C作于点通过解直角得到DF的长度；通过解直角得到CE的长度，则．本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设米，在直角和直角中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．。
第19讲中考数学总复习(练习题) 解直角三角形的应用
在Rt△ABD中,∵∠ADB=60°,
∴BD=
3
AB=10
3
3 m,
∴CD=BC－BD=(30－10 3)m.
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6.(2021·南通)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距
离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位
于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离
为 25 6 海里(结果保留根号).
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解析:过P作PC⊥AB于C,如图所示:
由题意得:∠APC=30°,∠BPC=45°,PA=50海里,
PC
在 Rt△APC 中,cos∠APC=PA,
3
∴PC=PA·cos∠APC=50× =25
2
PC
在 Rt△PCB 中,cos∠BPC= ,
PB
PC
25 3
( D )
(参考数据:sin 50°≈0.77;
cos 50°≈0.64;tan 50°≈1.19)
A.69.2米
B.73.1米
C.80.0米
D.85.7米
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解析:∵斜坡CD的坡度(或坡比)为i=1:2.4,
∴DE∶CE=5∶12,
∵DE=50米,∴CE=120米,
∵BC=150米,
∴BE=150－120=30(米),
尝试利用所学知识测量河对岸大
树AB的高度,他在点C处测得大树
顶端A的仰角为45°,再从C点出发
沿斜坡走2 米到达斜坡上D点,在点D处测得树顶端A的仰
角为30°,若斜坡CF的坡比为i=1∶3(点E、C、B在同一水平
线上).
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度;
(完整word版)解直角三角形的应用中考练习题
解直角三角形的应用练习题一．选择题（共5小题）1．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）D．50米A．100米B．50米C．米3．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米4．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米5．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里（）二．填空题6．（2009•仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC为_________米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）7．（2009•安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了_________m．8．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出_________个这样的停车位．（≈1.4）9．（2014•十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是_________海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）10．（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为_________米．三．解答题（共5小题）11．（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）12．（2014•铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）13．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）14．（2014•宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB=CD=EF，∠AMF=90°，∠BAM=30°，AB=6m．（1）求FM的长；（2）连接AF，若sin∠FAM=，求AM的长．15．（2014•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）解直角三角形的应用练习题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m考点：解直角三角形的应用．分析：根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长．解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°==，解得CK=4（米），即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米．故选：A．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键．2．（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．D．50米米考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．解答：解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．3．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．4．（2014•西宁）如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．解答：解：延长CB交PQ于点D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ．∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，∴==．设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．∵AB=13米，∴k=1，∴BD=5米，AD=12米．在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，∴BC≈5.8米．故选：D．点评：本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．解答：解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，∴∠DAB=15°，∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∴∠CBA=45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC===，∴BC=20海里．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．二．填空题（共5小题）6．（2009•仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°，则广告牌的高度BC为 3.5米（精确到0.1米）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题；压轴题．分析：图中有两个直角三角形△ABD、△ACD，可根据两个已知角度，利用正切函数定义，分别求出BD和CD，求差即可．解答：解：根据题意：在Rt△ABD中，有BD=AD•tan52°．在Rt△ADC中，有DC=AD•tan35°．则有BC=BD﹣CD=6（1.28﹣0.70）=3.5（米）．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．7．（2009•安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了2（）m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：利用所给角的正弦函数求两次的高度，相减即可．解答：解：由题意知：平滑前梯高为4•sin45°=4•=．平滑后高为4•sin60°=4•=．∴升高了2（）m．点评：本题重点考查了三角函数定义的应用．8．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）考点：解直角三角形的应用．专题：调配问题．分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．解答：解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米，（56﹣5.04）÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．9．（2014•十堰）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24海里．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．解答：解：∠CBA=25°+50°=75°．作BD⊥AC于点D．则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣30°=45°．在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×=10．在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BC=BD=10×=10≈10×2.4=24（海里）．故答案是：24．点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．10．（2014•抚顺）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为100米．考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．解答：解：过点P作PE⊥AB于点E，∵∠APC=75°，∠BPD=30°，∴∠APB=75°，∵∠BAP=∠APC=75°，∴∠APB=∠BAP，∴AB=PB=200m，∵∠ABP=30°，∴PE=PB=100m．故答案为：100．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2014•南昌）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解．解答：解：（1）猜想CD∥EB．证明：连接DE．∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，∴∠CDE=∠BED，∴CD∥EB．（2）BE=2OE=2×10×cos30°=10cm，同理可得，DE=10cm，则BD=10cm，同理可得，AD=10cm，AB=BD+AD=20≈49cm．答：A，B两点之间的距离大约为49cm．点评：此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题．12．（2014•铁岭）如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：≈1.41，结果精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF=30°，作辅助线EF⊥AC，通过平角减去其他角从而得到∠AEF=45°即可求出AE的长度．解答：解：作EF⊥AC，根据题意，CE=18×15=270米，∵tan∠CED=1，∴∠CED=∠DCE=45°，∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，∴EF=CE=135米，∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，∴AE=135≈190.35米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作辅助线EF⊥AC，以及坡度和坡角的关系．13．（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）考点：解直角三角形的应用；菱形的性质．分析：（1）证明△CED是等边三角形，即可求解；（2）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下AD的长，求差即可；（3）分别求得当∠CED是60°和120°，两种情况下DG的长度，即可求得x的范围．解答：解：（1）连接CD（图1）．∵CE=DE，∠CED=60°，∴△CED是等边三角形，∴CD=DE=20cm；（2）根据题意得：AB=BC=CD，当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm，当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H（图2），则∠CEH=60°，CH=HD．在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20•sin60°=20×=10（cm），∴CD=20cm，∴AD=3×20=60≈103.9（cm）．∴103.9﹣60=43.9（cm）．即点A向左移动了43.9cm；（3）当∠CED=120°时，∠DEG=60°，∵DE=EG，∴△DEG是等边三角形．∴DG=DE=20cm，当∠CED=60°时（图3），则有∠DEG=120°，过点E作EI⊥DG于点I．∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，在直角△DIE中，sin∠DEI=，∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm．∴DG=2DI=20≈34.6cm．则x的范围是：20cm≤x≤34.6cm．点评：本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120°或60°时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形．14．（2014•宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB=CD=EF，∠AMF=90°，∠BAM=30°，AB=6m．（1）求FM的长；（2）连接AF，若sin∠FAM=，求AM的长．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何图形问题．分析：（1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，根据AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，分别解Rt△ABN、Rt△DCG、Rt△FEH，求出BN、DG、FH的长度，继而可求出FM的长度；（2）在Rt△FAM中，根据sin∠FAM=，求出AF的长度，然后利用勾股定理求出AM的长度．解答：解：（1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长在Rt△ABN中，∵AB=6m，∠BAM=30°，∴BN=ABsin∠BAN=6×=3m，∵AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，同理可得：DG=FH=3m，∴FM=FH+DG+BN=9m；（2）在Rt△FAM中，∵FM=9m，sin∠FAM=，∴AF=27m，∴AM==18（m）．即AM的长为18m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形，注意勾股定理的应用．15．（2014•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．解答：解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．。
解直角三角形经典题型应用题
解直角三角形经典题型应用题1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到：$x^2 + 3^2 = 2^2$化简得：$x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$由于x是高度，因此应该为正数。
但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。
这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{h}{50}$化简得：$h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx28.87$因此，这个高楼的高度约为28.87米。
3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？解：设河宽为w，根据三角函数，得到：$tan(45) = \frac{w}{20}$化简得：$w = 20\times tan(45) = 20$因此，河宽为20米。
4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。
又根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{3x}{y}$$tan(60) = \frac{2x}{y}$化简得：$x = y\times tan(30) = y\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = y\times tan(60) = y\cdot\sqrt{3}$解得：$y = 6\sqrt{3}$因此，田地的面积为6x² = 1080平方米。
最新中考数学专题训练：解直角三角形的应用(含答案)
最新数学精品教学资料中考数学专题训练：解直角三角形的应用1. （2012山西省）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°。
∴四边形ABFE为矩形。
∴AB=EF，AE=BF。
由题意可知：AE=BF=100，CD=500。
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100，∴AECEtan60=在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100，∴BF100DF==1001tan45=。
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+1001003×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）。
答：岛屿两端A．B的距离为542.3米。
2. （2012江苏）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．（精确到0.1m，参考数据：41.12≈,73.13≈,45.26≈）【答案】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，在Rt△CPE中，∵PC=30m，∠CPE=45°，∴CEsin45PC︒=。
∴CE=PC•sin（m）。
∵点C与点A在同一水平线上，∴AB=CE=m）。
答：居民楼AB的高度约为21.2m。
（2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，∴ABtan60BP︒=。
4.4解直角三角形的应用同步训练2024-2025学年湘教版数学八年级上册
4.4 解直角三角形的应用同步训练2024-2025学年湘教版数学八年级上册一、单选题1．如图，飞机在空中B处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度BC=1200米，，则飞机与指挥台之间AB的距离为()米从飞机上看地面指挥台A的俯角α的正切值为34A．1200B．1600C．1800D．20002．如图：小军要测量河内小岛B到河岸L的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD= 60°，又测得AC=10米，则小岛B到河岸L的距离为（）A．5√3B．5C．20√3D．5+5√333．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30∘，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60∘，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．60√3B．61C．60√3+1D．1214．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆P A的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆P A的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A．tanatanβB．tanβtanaC．sinasinβD．cosβcosa6．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．800sinα米D．800tanα米二、填空题7．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为α，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为m（用含α的式子表示）．8．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是50m，则甲楼的高AB是m.（结果保留根号）9．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A 的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B 间的距离为米（结果保留根号）．10．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（√3≈1.73，结果精确到0.1）．11．如图所示，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．则隧道AB的长为．（参考数据：√3=1.73）12．如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为m（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）三、解答题13．要对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，BC是暂时用来支撑的支架．需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求支架BC的长度．（结果取整数）参考数据：√2≈1.41，sin66.5°≈0.92,cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．14．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：√3≈1.7，√2≈1.415．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：√2≈1.41，√3≈1.73．16．某市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥，如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76．1°，∠BCA=68．2°，CD=82米．求：AB的长（精确到0．1米，参考数据：sin76．1°≈0．97，cos76．1°≈0．24，tan76．1°≈4．0；sin68．2°≈0．93，cos68．2°≈0．37，tan68．2°≈2．5）．17．某校数学兴趣小组要测量天塔CD的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=27m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD(tan36°≈0.73，结果保留整数）．。
《解直角三角形应用》练习题(共8页)
《解直角三角形应用》练习题（共8页）1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈).3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米．（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?(2题图)（第3题）图1ABE F QP 4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A相距的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)6． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）东l7．图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长．8．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m ；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,AB(第19题9． 为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．10.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（精确到0.1）．（参考数据：414.12≈ 732.13≈）82.011. 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈︒≈︒≈︒73.13≈）第19题图（第11题图）12. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒．求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB1.732， 结果保留整数）．13.小明想知道西汉胜迹中心湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．A45°60° 第（12）题14. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）15.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.16.如下图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B 测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。
解直角三角形的应用题目
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题目将覆盖直角三角形的基本概念、计算以及实际应用，确保题目多样化、准确无误，并且相互独立。
1. 在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=6，BC=8，那么AC的长度是多少？2. 如果一个三角形的两个内角分别是45°和45°，那么这个三角形是直角三角形吗？3. 在直角三角形DEF中，∠E是直角，DE=10，EF=12，求DF的长度。
4. 已知直角三角形的两条边长分别是8和15，那么第三边的长度是多少？5. 如果一个直角三角形的两个内角分别是30°和60°，那么这个三角形的第三边长度是多少？6. 在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=12，BC=5，求AC的长度。
7. 已知直角三角形的两条边长分别是6和8，那么第三边的长度是多少？8. 如果一个直角三角形的两个内角分别是60°和30°，那么这个三角形的第三边长度是多少？9. 在直角三角形DEF中，∠E是直角，DE=15，DF=12，求EF的长度。
10. 已知直角三角形的两条边长分别是10和17，那么第三边的长度是多少？11. 如果一个直角三角形的两个内角分别是90°和45°，那么这个三角形的第三边长度是多少？12. 在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=10，AC=12，求BC的长度。
13. 已知直角三角形的两条边长分别是4和5，那么第三边的长度是多少？14. 如果一个直角三角形的两个内角分别是90°和30°，那么这个三角形的第三边长度是多少？15. 在直角三角形DEF中，∠E是直角，DE=8，DF=10，求EF的长度。
16. 已知直角三角形的两条边长分别是7和14，那么第三边的长度是多少？17. 如果一个直角三角形的两个内角分别是90°和60°，那么这个三角形的第三边长度是多少？18. 在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB=15，AC=12，求BC的长度。
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。
《解直角三角形》典型例题
《解直角三角形》典型例题（一）例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解（1）；（2）由a bB =tan ，知；（3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ．说明 此题还可用其他方法求b 和c ．例 2在Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴设 ,则由勾股定理,得∴．∴．解法二133330tan =⨯=︒=b a说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3设中，于D ，若，解三角形ABC ．分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析分别在两个直角三角形ADC和BDC中，利用正弦函数的定义，求出AC和BC．解:在Rt△ADC中，331023560sin==︒=DCAC在Rt△BDC中，221022545sin==︒=DCBC说明本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．。
(整理)解直角三角形的应用经典题型
1解直角三角形应用经典【例1】：为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．练习1、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高（精确到0.1）．（参考数据：414.12≈732.13≈）练习2、2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米） （参考数据：,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈︒≈︒≈︒73.13≈）2【例2】： 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A相距的C 处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．练习：如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.【例3】：如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F=45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据:414.12≈,732.13≈).东l练习：施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17c m的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?【达标测评】1、如图，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为60︒．求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB1.732≈，结果保留整数）．（第3题）A45°60°343．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC ）长20m ，风筝B 的引线（线段BC ）长24m ，在C 处测得风筝A 的仰角为60°，风筝B 的仰角为45°. （1）试通过计算，比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高？ （2）求风筝A 与风筝B 的水平距离.4. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)AB。
解直角三角形应用题专题练习
`解直角三角形应用题专题练习一．解答题（共10 小题）1．（ 2015?鄂尔多斯）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新式的电动车，如图，它的大灯 A 射出的光辉AB 、AC 与地面 MN 的夹角分别为22°和 31°，AT⊥ MN ，垂足为 T，大灯照亮地面的宽度BC 的长为m．（1）求 BT 的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，从发现危险到电动车圆满停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h 的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计可否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明原因．（参照数据： sin22°≈， tan22°≈， sin31°≈， tan31°≈）2．（ 2014?）如图是某商场所下停车场入口的设计图，请依照图中数据计算CE 的长度．（结果保留小数点后两位；参照数据：sin22°， cos22°， tan22°）`3．（ 2015?模拟）超速行驶是惹起交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学试一试用自己所学的知识检测车速，如图，观察点设在到万丰路的距离为100 米的点 P 处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 A 处行驶到 B 地方用的时间为 4 秒且∠ APO=60 °，∠BPO=45 °．（1）求 A、 B 之间的行程；（2）请判断此车可否高出了万丰路每小时70 千米的限制速度？（参照数据：，）．4．（ 2015?）如图， A 为某旅游景区的最正确观景点，游客可从 B 处乘坐缆车先到达小观景平台 DE 观景，今后再由 E 处连续乘坐缆车到达 A 处，返程时从 A 处乘坐起落电梯直接到达C 处，已知： AC ⊥BC 于 C，DE∥ BC， BC=110 米， DE=9 米， BD=60 米，α=32 °，β=68°，求AC 的高度．（参照数据： sin32°≈；cos32°≈；tan32°≈；sin68°≈；cos68°≈；tan68°≈）5．（ 2013?）在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部 CD 是水平的，在的照射下，古塔AB 在斜坡上的影长DE 为 18 米，斜坡顶部的影长 DB 为 6 米，光辉AE 与斜坡的夹角为30°，求古塔的高（）．6．（ 2016?模拟）如图，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60°，沿山坡向上走到P 处再测得点 C 的仰角为 45°，已知 OA=100 米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1 ： 2，且 O、 A 、 B 在同一条直线上．求电视塔 OC 的高度以及此人所在地址点 P 的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）7．（ 2015?义乌市）如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是 45°，向前走 6m 到达 B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和 30°．（1）求∠BPQ 的度数；（2）求该电线杆 PQ 的高度（结果精确到 1m）．备用数据：，．8．（ 2013?）以以下列图，某工程队准备在山坡（山坡视为直线 l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即 tanα的值．测量员在山坡 P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖 C 的仰角为 37°，塔底 B 的仰角为°．已知塔高BC=80 米，塔所在的山高OB=220米，OA=200 米，图中的点 O、B、C、A 、P 在同一平面，求山坡的坡度．（参照数据°≈，°≈；sin37°≈， tan37°≈）9．（ 2015?）某海域有 A ，B 两个港口， B 港口在 A 港口北偏西 30°方向上，距 A 港口 60 海里，有一艘船从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 港口南偏东 75°方向的 C 处，求该船与 B 港口之间的距离即 CB 的长（结果保留根号）．10．（ 2016?模拟）如图，一条高速公路在城市 A 的东偏北30°方向直线延伸，县城M 在城市 A 东偏北 60°方向上，测试员从 A 沿高速公路前行 4000 米到达 C，测得县城 M 位于 C 的北偏西 60°方向上，现要设计一条从县城 M 进入高速公路的路线，请在高速公路上搜寻连接点N ，使修建到县城 M 的道路最短，试确定 N 点的地址并求出最短路线长．（结果取整数，≈）``解直角三角形应用题专题练习参照答案与试题分析一．解答题（共10 小题）1．（ 2015?鄂尔多斯）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新式的电动车，如图，它的大灯 A 射出的光辉AB 、AC 与地面 MN 的夹角分别为22°和 31°，AT⊥ MN ，垂足为 T，大灯照亮地面的宽度BC 的长为m．（1）求 BT 的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，从发现危险到电动车圆满停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h 的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计可否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明原因．（参照数据： sin22°≈， tan22°≈， sin31°≈， tan31°≈）【解答】解：（ 1）依照题意及图知：∠ACT=31°，∠ ABT=22°∵A T ⊥MN∴∠ ATC=90 °在Rt△ ACT 中，∠ ACT=31 °∴tan31°=可设 AT=3x ，则 CT=5x在Rt△ ABT 中，∠ ABT=22 °∴tan22°=即：解得：∴，∴；`（2），，∴该车大灯的设计不能够满足最小安全距离的要求．2．（ 2014?）如图是某商场所下停车场入口的设计图，请依照图中数据计算CE 的长度．（结果保留小数点后两位；参照数据：sin22°， cos22°， tan22°）【解答】解：由已知有：∠ BAE=22 °，∠ ABC=90 °，∠CED= ∠AEC=90 °∴∠ BCE=158 °，∴∠ DCE=22 °，又∵ tan∠ BAE=，∴B D=AB ?tan∠ BAE ，又∵ cos∠ BAE=cos ∠ DCE=，∴CE=CD ?cos∠ BAE=（BD ﹣ BC） ?cos∠BAE=（ AB ?tan∠ BAE ﹣ BC） ?cos∠BAE=（10×﹣）×≈（ m）．3．（ 2015?模拟）超速行驶是惹起交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学试一试用自己所学的知识检测车速，如图，观察点设在到万丰路的距离为100 米的点 P 处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 A 处行驶到 B 地方用的时间为 4 秒且∠ APO=60 °，∠BPO=45 °．（1）求 A、 B 之间的行程；（2）请判断此车可否高出了万丰路每小时70 千米的限制速度？（参照数据：，）．【解答】解：（ 1）在 Rt△ BOP 中，∠ BOP=90 °，∵∠ BPO=45 °，OP=100 ，∴O B=OP=100 ．`在Rt△ AOP 中，∠ AOP=90 °，∵∠ APO=60 °，∴AO=OP ?tan∠ APO ．∴A0=100，AB=100 （﹣ 1）（米）；（2）∵此车的速度 ==25 （﹣1）≈25× 米/秒，70 千米 /小时 =≈ 米/秒，18.25 米 /秒＜ 19.4 米 /秒，∴此车没有高出了万丰路每小时70 千米的限制速度．4．（ 2015?）如图， A 为某旅游景区的最正确观景点，游客可从 B 处乘坐缆车先到达小观景平台 DE 观景，今后再由 E 处连续乘坐缆车到达 A 处，返程时从 A 处乘坐起落电梯直接到达C 处，已知： AC ⊥BC 于 C，DE∥ BC， BC=110 米， DE=9 米， BD=60 米，α=32 °，β=68°，求AC 的高度．（参照数据： sin32°≈；cos32°≈；tan32°≈；sin68°≈；cos68°≈；tan68°≈）【解答】解：∵ cos∠ DBF=，∴B F=60 ×0.85=51，FH=DE=9 ，∴E G=HC=110 ﹣ 51﹣9=50，∵tan∠AEG= ，∴A G=50 ×2.48=124 ，∵s in ∠DBF= ，∴D F=60 ×0.53=31.8 ，∴C G=31.8 ，∴A C=AG+CG=124+31.8=155.8 ．5．（ 2013?）在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部 CD 是水平的，在的照射下，古塔AB 在斜坡上的影长DE 为 18 米，斜坡顶部的影长 DB 为 6 米，光辉AE 与斜坡的夹角为30°，求古塔的高（）．【解答】解：延伸 BD 交 AE 于点 F，作 FG⊥ ED 于点 G，∵斜坡的顶部CD 是水平的，斜坡与地面的夹角为30°，∴∠ FDE= ∠ AED=30 °，∴F D=FE ，∵DE=18 米，∴EG=GD= ED=9 米，在Rt△ FGD 中，DF===6，∴FB= （ 6+6）米，在Rt△ AFB 中，AB=FB ?tan60°=（6+6 ）× =（18+6）≈28.2 米，所以古塔的高约为28.2 米．6．（ 2016?模拟）如图，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60°，沿山坡向上走到P 处再测得点 C 的仰角为 45°，已知 OA=100 米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1 ： 2，且 O、 A 、 B 在同一条直线上．求电视塔 OC 的高度以及此人所在地址点 P 的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）【解答】解：作 PE⊥ OB 于点 E，PF⊥ CO 于点 F，在Rt△ AOC 中， AO=100 ，∠CAO=60 °，∴CO=AO ?tan60°=100（米）．设PE=x 米，∵t an∠PAB= = ，∴A E=2x ．在 Rt△ PCF 中，∠ CPF=45 °， CF=100﹣x，PF=OA+AE=100+2x，∵P F=CF ，∴100+2x=100﹣x，解得 x=（米）．答：电视塔OC 高为 100米，点P的铅直高度为（米）．`7．（ 2015?义乌市）如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是 45°，向前走 6m 到达 B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和 30°．（1）求∠BPQ 的度数；（2）求该电线杆 PQ 的高度（结果精确到 1m）．备用数据：，．【解答】解：延伸 PQ 交直线 AB 于点 E，（1）∠ BPQ=90 °﹣ 60°=30 °；（2）设 PE=x 米．在直角△ APE 中，∠ A=45 °，则AE=PE=x 米；∵∠ PBE=60 °∴∠ BPE=30 °在直角△ BPE 中， BE=PE=x 米，∵A B=AE ﹣ BE=6 米，则x﹣ x=6 ，解得： x=9+3．则 BE= （ 3+3）米．在直角△ BEQ 中， QE=BE=（ 3+3） =（ 3+）米．∴PQ=PE ﹣ QE=9+3 ﹣（ 3+） =6+2≈9（米）．答：电线杆 PQ 的高度约9 米．8．（ 2013?）以以下列图，某工程队准备在山坡（山坡视为直线 l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即 tanα的值．测量员在山坡 P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖 C 的仰角为 37°，塔底 B 的仰角为°．已知塔高BC=80 米，塔所在的山高OB=220米，OA=200 米，图中的点 O、B、C、A 、P 在同一平面，求山坡的坡度．（参照数据°≈，°≈；sin37°≈， tan37°≈）【解答】解：如图，过点P 作 PD⊥ OC 于 D ， PE⊥ OA 于 E，则四边形ODPE 为矩形．在Rt△ PBD 中，∵ ∠BDP=90 °，∠ BPD=26.6 °，∴BD=PD ?tan∠°；在Rt△ CPD 中，∵ ∠CDP=90 °，∠CPD=37 °，∴CD=PD ?tan∠ CPD=PD ?tan37°；∵CD ﹣ BD=BC ，∴PD ?tan37°﹣°=80，∴0.75PD ﹣ 0.50PD=80 ，解得 PD=320 （米），∴°≈320×0.50=160 （米），∵OB=220米，∴P E=OD=OB ﹣ BD=60 米，∵OE=PD=320 米，∴A E=OE ﹣ OA=320 ﹣ 200=120 （米），∴tanα===0.5 ，∴坡度为 1： 2．9．（ 2015?）某海域有A ，B 两个港口， B 港口在 A 港口北偏西30°方向上，距 A 港口 60 海里，有一艘船从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 港口南偏东75°方向的 C 处，求该船与 B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）．【解答】解：作 AD ⊥BC 于 D，∵∠ EAB=30 °，AE ∥ BF，∴∠ FBA=30 °，又∠ FBC=75 °，∴∠ ABD=45 °，又 AB=60 ，∴AD=BD=30，∵∠ BAC= ∠ BAE+ ∠CAE=75 °，∠ ABC=45 °，∴∠ C=60°，在 Rt△ ACD 中，∠C=60 °， AD=30，则 tanC=，∴CD==10，∴BC=30+10．故该船与 B 港口之间的距离CB 的长为 30+10 海里．10．（ 2016?模拟）如图，一条高速公路在城市 A 的东偏北30°方向直线延伸，县城M 在城市 A 东偏北 60°方向上，测试员从 A 沿高速公路前行 4000 米到达 C，测得县城 M 位于 C 的北偏西 60°方向上，现要设计一条从县城 M 进入高速公路的路线，请在高速公路上搜寻连接点N ，使修建到县城 M 的道路最短，试确定 N 点的地址并求出最短路线长．（结果取整数，≈）`【解答】解：如图，过M 作 MN ⊥ AC 交于 N 点，即 MN 最短，∵∠ EAD=60 °，∠ CAD=30 °，∴∠ CAM=30 °，∴∠ AMN=60 °，又∵ C 处看 M 点为北偏西60°，∴∠ FCM=60 °，∴∠ MCB=30 °，∵∠ EAC=60 °，∴∠ CAD=30 °，∴∠ BCA=30 °，∴∠ MCA= ∠ MCB+ ∠BCA=60 °，∴在 Rt△ AMC 中，∠ AMC=90 °，∠ MAC=30 °，∴MC=AC=2000 ，∠ CMN=30 °，∴NC= MC=1000 ，∵A C=4000 米，∴AN=AC ﹣ NC=4000 ﹣ 1000=3000（米）．答：点 N 到 A 市最短路线3000 米．。
解直角三角形的应用测试题带答案
解曲角三角形的应用尝试题之阳早格格创做一、采用题（本大题共10小题，共30.0分）1.小明利用测角仪战旗杆的推绳丈量书院旗杆的下度如图，旗杆PA的下度取推绳PB的少度相等小明将PB 推到的位子，测得为火仄线，测角仪的下度为1米，则旗杆PA的下度为A. B. C. D.2.如图，少4m的楼梯AB的倾斜角为，为了革新楼梯的仄安本能，准备沉新修制楼梯，使其倾斜角为，则安排后的楼梯AC的少为A. B. C. D.2 3 43.楼梯的示企图如图所示，BC是铅垂线，CA是火仄线，BA取CA的夹角为现要正在楼梯上铺一条天毯，已知米，楼梯宽度1米，则天毯的里积起码需要A. 米B. 米C. 米D. 米4.上午9时，一条船从A处出收，以每小时40海里的速度背正东目标航止，9时30分到达B处如图从A、B 二处分别测得小岛M正在北偏偏东战北偏偏东目标，那么正在B处船取小岛M的距离为A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里5.如图，某游乐场一山顶滑梯的下为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯少m为A. B. C. D.6.如图所示，为了测得电视塔的下度AB，正在D处用下为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的俯角为，再背电视塔目标前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的俯角为，则那个电视塔的下度单位：米为A. B. 61C. D. 1216 7 87.某校八年级死物兴趣小组租二艘快艇去微山湖死物观察，他们从共一码头出收，第一艘快艇沿北偏偏西目标航止50千米，第二艘快艇沿北偏偏西目标航止50千米，如果此时第一艘快艇没有动，第二艘快艇背第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航止的目标战距离分别是A. 北偏偏东，千米B. 北偏偏西，千米C. 北偏偏东，100千米D. 北偏偏西，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏偏东目标，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北目标航止一段时间后，到达位于灯塔P的北偏偏东目标上的B处，那时，B处取灯塔P的距离为 A. nmileB. nmileC.nmileD. nmile9.如图，一河坝的横断里为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝下12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD 的少度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米9 101110.如图是某火库大坝的横截里示企图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背火坡CD的坡度：，为普及大坝的防洪本领，需对于大坝举止加固，加固后大坝顶端AE比本去的顶端AD加宽了2米，背火坡EF的坡度：4，则大坝底端减少的少度CF是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、挖空题（本大题共10小题，共30.0分）11.为加强防汛处事，某市对于一拦火坝举止加固，如图，加固前拦火坝的横断里是梯形已知迎火坡里米，背火坡里米，，加固后拦火坝的横断里为梯形ABED，，则CE的少为______ 米12.如图，航拍无人机从A处测得一幢修筑物顶部B的俯角为，测得底部C的俯角为，此时航拍无人机取该修筑物的火仄距离AD为90米，那么该修筑物的下度BC约为______ 米透彻到1米，参照数据：12 14 1513.小明沿着坡度i为1：的曲路进取走了50m，则小明沿笔曲目标降下了______14.如图，少4m的楼梯AB的倾斜角为，为了革新楼梯的仄安本能，准备沉新修制楼梯，使其倾斜角为，则安排后楼梯AC少为______ 米15.如图，一名滑雪疏通员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑止至B，已知米，则那名滑雪疏通员的下度下落了______米参照数据：，，16.如图，为丈量某栋楼房AB的下度，正在C面测得A面的俯角为，往楼房AB目标前进10米到达面D，再次测得A面的俯角为，则此楼房的下度为______ 米截止死存根号．16 171817.如图，从热气球C处测得大天A、B二面的俯角分别为、，如果此时热气球C处的下度为200米，面A、B、C正在共背去线上，则AB二面间的距离是______米截止死存根号．18.如图，火库堤坝的横断里是梯形，测得BC少为30m，CD少为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是，则______．20.某兴趣小组借帮无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞止至B处需12秒，正在大天C处共一目标上分别测得A处的俯角为，B处的俯角为已知无人飞机的飞止速度为3米秒，则那架无人飞机的飞止下度为截止死存根号______ 米三、估计题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，某数教兴趣小组要丈量一栋五层住户楼CD的下度该楼下层为车库，下米；上头五层居住，每层下度相等测角仪收架离天米，正在A处测得五楼顶部面D的俯角为，正在B处测得四楼顶部面E的俯角为，米供住户楼的下度透彻到米，参照数据：22.某兴趣小组借帮无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处火仄飞止至B处需8秒，正在大天C处共一目标上分别测得A处的俯角为，B处的俯角为已知无人飞机的飞止速度为4米秒，供那架无人飞机的飞止下度截止死存根号23.如图，书院的真验楼对于里是一幢教教楼，小敏正在真验楼的窗心C测得教教楼顶部D的俯角为，教教楼底部B的俯角为，量得真验楼取教教楼之间的距离．供的度数．供教教楼的下截止透彻到，参照数据：，24.如图，正在大楼AB的正前圆有一斜坡CD，米，坡角，小白正在斜坡下的面C处测得楼顶B 的俯角为，正在斜坡上的面D处测得楼顶B的俯角为，其中面A、C、E正在共背去线上．供斜坡CD的下度DE；供大楼AB的下度截止死存根号四、解问题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，大楼AB左侧有一障碍物，正在障碍物的中间有一幢小楼DE，正在小楼的顶端D处测得障碍物边沿面C的俯角为，测得大楼顶端A的俯角为面B，C，E正在共一火笔曲线上，已知，，供障碍物B，C二面间的距离截止透彻到参照数据：，26.如图，某湖中有一孤坐的小岛，湖边有一条笔挺的瞅光小讲AB，现决断从小岛架一座取瞅光小讲笔曲的小桥PQ通往小岛，某共教正在瞅光讲AB上测得如下数据：米，，哀供出小桥PQ的少，截止透彻到米问案妥协析【问案】1. A2. B3. D4. B5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. 812. 20813. 2514.15. 28016.17.18. 13019.20.21. 解：设每层楼下为x米，由题意得：米，，，正在中，，，正在中，，，，，解得：，则住户楼下为米．22. 解：如图，做，火仄线，由题意得：，，，，，，，，，则．23. 解：过面C做，则有，，；由题意得：，正在中，，正在中，，教教楼的下，则教教楼的下约为．24. 解：正在中，米，，，米；过D做，接AB于面F，，，，即为等腰曲角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，正在中，，米，米，米，，，，正在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过面D做于面F，过面C做于面H．则，正在曲角中，，，．正在曲角中，，，，．问：障碍物B，C 二面间的距离约为．26. 解：设米，正在曲角中，，，正在曲角中，，，米，，解得：米．问：小桥PQ的少度约是米．【剖析】1. 解：设，正在中，，，，，．故选：A．设，正在中，根据，列出圆程即可办理问题．本题考查解曲角三角形、三角函数等知识，解题的闭键是设已知数列圆程，属于中考常考题型．2. 解：正在中，，，正在中，，．故选B．先正在中利用正弦的定义估计出AD，而后正在中利用正弦的定义估计AC即可．本题考查相识曲角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡里的铅曲下度h战火仄宽度l的比，又喊干坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，普遍用i表示，常写成：m的形式把坡里取火仄里的夹角喊干坡角，坡度i取坡角之间的闭系为：．3. 解：正在中，米，米，天毯的里积起码需要米；故选：D．由三角函数表示出BC，得出的少度，由矩形的里积即可得出截止．本题考查相识曲角三角形的应用、矩形里积的估计；由三角函数表示出BC是办理问题的闭键．4. 解：如图，过面B做于面N．由题意得，海里，．做于面N．正在曲角三角形ABN中，．正在曲角中，，则，所以海里．故选B．过面B做于面根据三角函数供BN的少，从而供BM的少．解普遍三角形，供三角形的边或者下的问题普遍不妨转移为解曲角三角形的问题，办理的要领便是做下线．5. 解：，．故选A．根据三角函数的定义即可供解．本题考查了三角函数的定义，明白定义是闭键．6. 【分解】根据题意供出CE的少，根据三角形的中角的本量战等腰三角形的本量供出AE的少，根据正弦的定义估计即可．本题考查的是解曲角三角形的应用俯角俯角问题，明白俯角的观念、死记钝角三角函数的定义是解题的闭键．【解问】解：由题意得，，，，，，．故选：C．7. 解：第一艘快艇沿北偏偏西目标，第二艘快艇沿北偏偏西目标，，，，，第二艘快艇沿北偏偏西目标，，，第二艘快艇航止的目标战距离分别是：北偏偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，从而得出第二艘快艇航止的目标战距离．此题主要考查了目标角以及勾股定理，透彻掌控目标角的定义是解题闭键．8. 解：如图做于E．正在中，，，，正在中，，，故选：B．如图做于正在中，供出PE，正在中，根据即可办理问题．本题考查目标角、曲角三角形、钝角三角函数的有闭知识解普遍三角形的问题普遍不妨转移为解曲角三角形的问题，办理的要领便是做下线．9. 解：坝下12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比供得AE的少，已知，即可供得AD．此题考查相识曲角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的本量的掌握情况，将相闭的知识面相分离更好处解题．10. 解：过D做于G，于H，，，背火坡CD的坡度：，背火坡EF的坡度：4，，，米，故选C．过D做于G，于H，解曲角三角形即可得到论断．本题考查相识曲角三角形的应用，解问本题的闭键是明白坡度、坡比的含意，构制曲角三角形，利用三角函数表示相闭线段的少度，易度普遍．11. 解：分别过A、D做，，垂面分别为F、G，如图所示．正在中，米，，，，．正在中，，米，．正在中，，，，．即CE的少为8米．故问案为8．分别过A、D做下底的垂线，设垂脚为F、正在中，已知坡里少战坡角的度数，可供得铅曲下度AF的值，也便得到了DG的少；正在中，由勾股定理供CG的少，正在中，根据正切函数定义得到GE的少；根据即可供解．本题考查的是解曲角三角形的应用坡度坡角问题，钝角三角函数的定义，勾股定理做辅帮线构制曲角三角形是解问此类题的普遍思路．12. 解：由题意可得：，解得：，，解得：，故该修筑物的下度为：，故问案为：208．分别利用钝角三角函数闭系得出BD，DC的少，从而供出该修筑物的下度．此题主要考查相识曲角三角形的应用，流利应用钝角三角函数闭系是解题闭键．13. 解：如图，过面B做于面E，坡度：：，：，，，．他降下了25m．故问案为：25．最先根据题意绘出图形，由坡度为1：，可供得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡进取走了50m，根据曲角三角形中，所对于的曲角边是斜边的一半，即可供得问案．此题考查了坡度坡角问题此题比较简朴，注意能构制曲角三角形并用解曲角三角形的知识供解是解此题的闭键，注意数形分离思维的应用．14. 解：正在中，，，正在中，，．故问案是：．先正在中利用正弦的定义估计出AD，而后正在中利用正弦的定义估计AC即可．本题考查相识曲角三角形的本量应用中的坡度坡角问题，易度没有大，注意小心运算即可．15. 解：如图正在中，，那名滑雪疏通员的下度下落了280m．故问案为280如图正在中，，可知那名滑雪疏通员的下度下落了280m．本题考查解曲角三角形、坡度坡角问题、钝角三角函数等知识，解题的闭键是流利掌握钝角三角函数的定义，属于中考常考题型．16. 解：正在曲角三角形ADB中，，，，正在曲角三角形ABC中，，，，，解得：．故问案为：．最先根据题意分解图形；本题波及到二个曲角三角形，应利用其大众边AB及构制圆程闭系式，从而可解，即可供出问案．本题考查解曲角三角形的应用俯角俯角问题，央供教死能借帮俯角构制曲角三角形，并分离图形利用三角函数解曲角三角形．17. 解：从热气球C处测得大天A、B二面的俯角分别为、，，，，，是等腰曲角三角形，，正在中，，，，．故问案为：．先根据从热气球C处测得大天A、B二面的俯角分别为、可供出取的度数，再由曲角三角形的本量供出AD取BD的少，根据即可得出论断．本题考查的是解曲角三角形的应用俯角俯角问题，死知钝角三角函数的定义是解问此题的闭键．18. 解：做于E，于F，斜坡CD的坡比为1：2，即，，又，，，由题意得，四边形BEFC是矩形，，，斜坡AB 的坡比为1：3，，即，，故问案为：130m．做于E，于F，根据坡度的观念分别供出AE、DF，分离图形估计即可．本题考查的是解曲角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡里的铅曲下度h战火仄宽度l的比是解题的闭键，掌握矩形的判决战本量的应用．19. 解：：，则．故问案是：．根据坡度便是坡角的正切值即可供解．本题主要考查了坡度的定义，明白坡度战坡角的闭系是解题的闭键．20. 解：如图，做，火仄线，由题意得：，，，，，，，，，．故问案为：．做，火仄线，根据题意决定出取的度数，利用钝角三角函数定义供出AD取BD的少，由供出BC的少，即可供出BH的少．此题考查相识曲角三角形的应用俯角俯角问题，流利掌握钝角三角函数定义是解本题的闭键．21. 设每层楼下为x米，由供出的少，从而表示出取的少，正在曲角三角形中，利用钝角三角函数定义表示出，共理表示出，由供出AB的少即可．此题属于解曲角三角形的应用俯角俯角问题，流利掌握钝角三角函数定义是解本题的闭键．22. 如图，做，火仄线，根据题意决定出取的度数，利用钝角三角函数定义供出AD取BD的少，由供出BC的少，即可供出BH的少．此题考查相识曲角三角形的应用俯角俯角问题，流利掌握钝角三角函数定义是解本题的闭键．23. 过面C做CE取BD笔曲，根据题意决定出所供角度数即可；正在曲角三角形CBE中，利用钝角三角函数定义供出BE的少，正在曲角三角形CDE中，利用钝角三角函数定义供出DE的少，由供出BD的少，即为教教楼的下．此题考查相识曲角三角形的应用俯角俯角问题，流利掌握钝角三角函数定义是解本题的闭键．24. 正在曲角三角形DCE中，利用钝角三角函数定义供出DE的少即可；过D做DF笔曲于AB，接AB于面F，可得出三角形BDF为等腰曲角三角形，设，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为曲角三角形，利用勾股定理列出闭于x的圆程，供出圆程的解得到x的值，即可决定出AB的少．此题考查相识曲角三角形俯角俯角问题，坡度坡角问题，流利掌握勾股定理是解本题的闭键．25. 如图，过面D做于面F，过面C做于面通过解曲角得到DF的少度；通过解曲角得到CE 的少度，则．本题考查相识曲角三角形俯角俯角问题央供教死能借帮俯角构制曲角三角形并解曲角三角形．26. 设米，正在曲角战曲角中分别利用x表示出AQ战BQ的少，根据，即可列圆程供得x 的值．本题考查相识曲角三角形的应用，解问本题的闭键是构制曲角三角形，利用三角函数表示出相闭线段的少度，易度普遍．。
解直角三角形应用 -- 教师用题 66个题
解直角三角形应用教师出卷时可选用作为基础和中档题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11−sinαB. 11+sinαC. 11−cosαD. 11+cosα【答案】A【解析】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，，=sinα，∴x−1x∴x−1=xsinα，∴(1−sinα)x=1，∴x=1．1−sinα故选：A．设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58∘，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为()(参考数据：sin58∘≈0.85，cos58∘≈0.53，tan58∘≈1.6)A. 12.6米B. 13.1米C. 14.7米D. 16.3米【答案】B【解析】【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形.在Rt△CDJ中求出CJ 、DJ ，再根据，tan∠AEM =AM EM 构建方程即可解决问题； 本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【解答】 解：如图延长AB 交ED 的延长线于M ，作CJ ⊥DM 于J.则四边形BMJC 是矩形．在Rt △CJD 中，CJ DJ =10.75=43，设CJ =4k ，DJ =3k ，则有9k 2+16k 2=4，∴k =25，∴BM =CJ =85，BC =MJ =1，DJ =65，EM =MJ +DJ +DE =465， 在Rt △AEM 中，tan∠AEM =AM EM ，∴1.6=AB+85465，解得AB ≈13.1(米)，故选：B ．3. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30∘、45∘，如果此时热气球C 处的高度CD 为100m ，点A 、D 、B 在同一直线上，CD ⊥AB ，则A 、B 两点的距离是( )A. 200mB. 200√3mC. 200(√3+1)mD. 100(√3+1)m【答案】D 【解析】解：∵从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30∘、45∘，∴∠BCD =90∘−45∘=45∘，∠ACD =90∘−30∘=60∘，∵CD ⊥AB ，CD =100m ，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴BD =CD =100m ，在Rt △ACD 中，∵CD =100m ，∠ACD =60∘，∴AD =CD ⋅tan60∘=100×√3=100√3m ，∴AB =AD +BD =100√3+100=100(√3+1)m ．故选：D ．先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．4.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20∘，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20∘≈0.342，cos20∘≈0.940，tan20∘≈0.364)( )A. 29.1米B. 31.9米C. 45.9米D. 95.9米【答案】A【解析】解：作DE⊥BC于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得x2+(2.4x)2=1952，解得x≈75m，DE=75m，CE=2.4x=180m，EB=BC−CE=306−180=126m．∵AF//DG，∴∠1=∠ADG=20∘，=0.364．tan∠1=tan∠ADG=sin20∘cos20∘AF=EB=126m，tan∠1=DF=0.364，AFDF=0.364AF=0.364×126=45.9，AB=FE=DE−DF=75−45.9≈29.1m，故选：A．根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）5.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30∘，测得底部C的俯角为60∘，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为______米.(精确到1米，参考数据：√3≈1.73)【答案】208【解析】解：由题意可得：tan30∘=BDAD =BD90=√33，解得：BD=30√3，tan60∘=DCAD =DC90=√3，解得：DC=90√3，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120√3≈208(m)，故答案为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．6.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45∘和30∘.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米(结果保留根号)．【答案】1200(√3−1)【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题.题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH.在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【解答】解：∵CD//HB，∴∠CAH=∠ACD=45∘，∠B=∠BCD=30∘，∵在Rt△ACH中，∴∠CAH=45∘∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=CHHB，∴HB=CHtan∠B =1200tan30∘，=1200√33=1200√3(米)．∴AB=HB−HA=1200√3−1200 =1200(√3−1)米，故答案为：1200(√3−1)．7.如图，为测量某栋楼房AB的高度，在C点测得A点的仰角为30∘，朝楼房AB方向前进10米到达点D，再次测得A点的仰角为60∘，则此楼房的高度为______ 米(结果保留根号)．【答案】5√3【解析】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30∘，∴ABBD=tan30∘，∴BD=ABtan30∘=√3AB，∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60∘，∴BC=ABtan60∘=√33AB，∵CD=10，∴CD=BD−BC=√3AB−√33AB=10，解得：AB=5√3．故答案为：5√3．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=BD−BC=10构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．8.如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30∘和60∘.如果这时气球的垂直高度CD为90米.且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为______.米．【答案】120√3【解析】解：在直角△ACD中，∠A=30∘，tanA=CDAD，∴AD=√3CD=90√3(米)；同理，BD=√33CD=30√3(米)，则AB=AD+BD=120√3(米)．故答案是：120√3．在直角△ACD中利用三角函数求得AD，然后在直角△BCD中，利用三角函数求得BD，根据AB=AD+BD即可求解．本题考查运用俯角的定义，三角函数，通过作高线转化为解直角三角形的问题．9.如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60∘的方向，在码头B北偏西45∘的方向，AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C 乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则v1v2=______ (结果保留根号)．【答案】√22【解析】解：作CD⊥AB于点B．∵在Rt△ACD中，∠CAD=90∘−60∘=30∘，∴CD=AC⋅sin∠CAD=4×12=2(km)，∵Rt△BCD中，∠CBD=90∘，∴BC=√2CD=2√2(km)，∴v1v2=BCAC=2√24=√22．故答案为√22．作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD的长，然后在Rt△BCD中求得BC的长，然后根据v1v2=BCAC求解．本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得BC的长是关键．10.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30∘和60∘的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为(其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)______ ．【答案】(2√3+1.6)m【解析】解：由题意得：AD=6m，在Rt△ACD中，tanA=CDAD =√33∴CD=2√3，又AB=1.6m∴CE=CD+DE=CD+AB=2√3+1.6，所以树的高度为(2√3+1.6)m．已知小丽与树之间的距离为6m即AD=7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD的长度，再由AB=1.6m可得出树的高度．本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段．11.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为(结果保留根号)______ 米.【答案】9√3+9【解析】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH=75∘，∠BCH=30∘，AB//CH，∴∠ABC=30∘，∠ACB=45∘，∵AB=3×12=36m，∴AD=CD=18m，BD=AB⋅cos30∘=18√3m，∴BC=CD+BD=(18√3+18)m，∴BH=BC⋅sin30∘=(9√3+9)m．故答案为：9√3+9．作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12.荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽.现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米.其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30∘，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45∘(如图所示)，那么a的值约为______米(√3≈1.73，结果精确到0.1)．【答案】24.1【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据在直角三角形中三角函数的定义列出算式，得出关于a的方程.设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40米，DE=7米，进而得出BE=CE=33米，AE=(a+33)米，在Rt△ACE中，依据tanA=CEAE，即可得到a的值．【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40米，DE=7米，∴CE=33米，∵∠CBE=45∘=∠BCE，∠CAE=30∘，∴BE=CE=33米，∴AE=(a+33)米，∵tanA=CEAE，∴tan30∘=33a+33，即33√3=a+33，解得a=33(√3−1)≈24.1米，∴a的值约为24.1米，故答案为24.1．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）13.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30∘，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60∘，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45∘，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)【答案】解：(1)在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30∘，∠DEC=90∘，∴DE=12DC=2米；(2)过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90∘，∠BDF=45∘，∴∠FBD=45∘，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=(x+2)米，在Rt△ABC中，∠ABC=30∘，∴BC=ABcos30∘=x+2√32=2x+4√3=√3(2x+4)3米，BD=√2BF=√2x米，DC=4米，∵∠DCE=30∘，∠ACB=60∘，∴∠DCB=90∘，+16，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=(2x+4)23解得：x=4+4√3，则AB=(6+4√3)米．【解析】(1)在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；(2)过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF= DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18∘，教学楼底部B的俯角为20∘，量得实验楼与教学楼之间的距离AB= 30m．(1)求∠BCD的度数．(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20∘≈0.36，tan18∘≈0.32)【答案】解：(1)过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18∘，∠BCE=20∘，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18∘+20∘=38∘；(2)由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE⋅tan20∘≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD⋅tan18∘≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．【解析】(1)过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；(2)在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．15.如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB.冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3∘，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7∘，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD= 42m．(1)求楼间距AB；(2)若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？(参考数据：sin32.3∘≈0.53，cos32.3∘≈0.85，tan32.3∘≈0.63，sin55.7∘≈0.83，cos55.7∘≈0.56，tan55.7∘≈1.47)【答案】解：(1)过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，则∠CEP=∠PFD=90∘，由题意可知：设AB=x，在Rt△PCE中，tan32.3∘=PE，x∴PE=x⋅tan32.3∘，同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7∘=PF，x∴PF=x⋅tan55.7∘，由PF−PE=EF=CD=42，可得x⋅tan55.7∘−x⋅tan32.3∘=42，解得：x=50∴楼间距AB=50m，(2)由(1)可得：PE=50⋅tan32.3∘=31.5m，∴CA=EB=90−31.5=58.5m由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．【解析】(1)构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．(2)只需计算出CA的高度即可求出楼层数．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确运用锐角三角函数来求出相应的线段，本题属于中等题型．四、解答题（本大题共52小题，共416.0分）16.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30∘，测得大楼顶端A的仰角为45∘(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m−10m=70m，∠ADF=45∘，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30∘，∴CE=DEtan30∘=10√33=10√3(m)，∴BC=BE−CE=70−10√3≈70−17.32≈52.7(m)．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．【解析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD 得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE−CE．17.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60∘方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45∘方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．【答案】解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD=AB⋅sin∠BAD=4×√32=2√3(千米)，∵△BCD中，∠CBD=45∘，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=2√3(千米)，∴BC=√2BD=2√6(千米)．答：B，C两地的距离是2√6千米．【解析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．此题考查了方向角问题.此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．18.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：125，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64∘，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45∘，其中A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度；(参考数据：sin64∘≈0.9，tan64∘≈2)．【答案】解：(1)∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：125，∴DEEC =1125=512，设DE=5x米，则EC=12x米，∴(5x)2+(12x)2=132，解得，x=1，∴5x=5，12x=12，即DE=5米，EC=12米，故斜坡CD的高度DE是5米；(2)∵tan64∘=ABAC ，tan45∘=AB−DEEC+AC，DE=5米，CE=12米，∴2=ABAC ，1=AB−512+AC，解得，AB=34米，AC=17米，即大楼AB的高度是34米．【解析】(1)根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：125，高为DE，可以求得DE的高度；(2)根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度．本题考查解直角三角形的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用坡度和锐角三角函数解答问题．19.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30∘，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处(C,E，B三点在同一直线上)，又测得主教学楼顶端A的仰角为60∘，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.(√3≈1.73，结果精确到0.1米)【答案】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGFG，∴FG=AGtan∠AFG =AG√3，在Rt△ACG中，tan∠ACG=AG，CG=√3AG．∴CG=AGtan∠ACG又∵CG−FG=24m，=24m，即√3AG−AG√3∴AG=12√3m，∴AB=12√3+1.6≈22.4m．【解析】利用60∘的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.6m即为主教学楼的高度AB．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．20.如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45∘，顶部的仰角为37∘，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长(精确到1m)参考值：sin37∘=0.60，cos37∘=0.80，tan37∘=0.75．【答案】解：作AE⊥CD于E，∵AB=15m，∴DE=AB=15m，∵∠DAE=45∘，∴AE=DE=15m，在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE，AE则CE=AE⋅tan37∘=15×0.75≈11cm，∴AB=CE+DE=11+15=26m．答：实验楼的垂直高度即CD长为26m．【解析】作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE和AE，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．21.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：AB=100米，∠PAB=45∘，∠PBA=30∘.请求出小桥PQ的长.(√2≈1.414,√3≈1.732，结果精确到0.1米)【答案】解：设PQ=x米，在直角△PAQ中，tan∠PAQ=x AQ，∴AQ=xtan45∘=x，在直角△PBQ中，tan∠PBQ=x BQ，∴BQ=xtan30∘=√3x，∵AB=100米，∴x+√3x=100，解得：x=50√3−50≈36.6(米)．答：小桥PQ的长度约是36.6米．【解析】设PQ=x米，在直角△PAQ和直角△PBQ中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据AB=AQ+BQ，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．22.如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30∘，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60∘，求树高AB(结果保留根号)【答案】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=AFCF，则CF=AFtan∠ACF =xtanα=xtan30∘=√3x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x(米)，在直角△ABF中，tan∠AEB=ABBE ，则BE=ABtan∠AEB=x+4tan60∘=√33(x+4)米．∵CF−BE=DE，即√3x−√33(x+4)=3．解得：x=3√3+42，则AB=3√3+42+4=3√3+122(米)．答：树高AB是3√3+122米.【解析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF 的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF−BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．23.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45∘，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60∘，塔底点E的仰角为30∘，求塔ED的高度.(结果保留根号)【答案】解：由题知，∠DBC=60∘，∠EBC=30∘，∴∠DBE=∠DBC−∠EBC=60∘−30∘=30∘．又∵∠BCD=90∘，∴∠BDC=90∘−∠DBC=90∘−60∘=30∘．∴∠DBE=∠BDE．∴BE=DE．设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，BC=√BE2−EC2=√(2x)2−x2=√3x，由题知，∠DAC=45∘，∠DCA=90∘，AB=60，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC．∴√3x+60=3x，解得：x=30+10√3，2x=60+20√3．答：塔高约为(60+20√3)m．【解析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般.先求出∠DBE=30∘，∠BDE= 30∘，得出BE=DE，然后设EC=xm，则BE=2xm，DE=2xm，DC=3xm，BC=√3xm，然后根据∠DAC=45∘，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．24.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60∘.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度i=1：√3，AB=10米，AE=15米.(i=1：√3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)【答案】解：(1)过B作BG⊥DE于G，Rt△ABH中，i=tan∠BAH=1√3=√33，∴∠BAH=30∘，∴BH=12AB=5；(2)∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．∵由(1)得：BH=5，AH=5√3，∴BG=AH+AE=5√3+15，Rt△BGC中，∠CBG=45∘，∴CG=BG=5√3+15．Rt△ADE中，∠DAE=60∘，AE=15，∴DE=√3AE=15√3．∴CD=CG+GE−DE=5√3+15+5−15√3=20−10√3≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．【解析】(1)过B作DE的垂线，设垂足为G.分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；(2)在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45∘，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE−DE即可求出宣传牌的高度．此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．25.测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50∘，观测旗杆底部B点的仰角为45∘，(可用的参考数据：sin50∘≈0.8，tan50∘≈1.2)(1)若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；(2)若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．【答案】解：(1)∵∠BDC=45∘，∠C=90∘，∴BC=DC=20m，答：建筑物BC的高度为20m；(2)设DC=BC=xm，根据题意可得：tan50∘=ACDC =5+xx≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度为25m．【解析】(1)由题意可知△BCD是等腰直角三角形，所以BC=DC．(2)直接利用tan50∘=ACDC，进而得出BC的长求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．26.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45∘，看这栋楼底部C的俯角β为60∘，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度(结果保留根号)．【答案】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45∘，∴BD=AD=100m，在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100√3m∴BC=(100+100√3)m，答：这栋楼的高度为(100+100√3)m．【解析】根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．27.如图，一艘船上午9时在A处望见灯塔E在北偏东60∘方向上，此船沿正东方向以每小时30海里的速度航行，11时到达B处，在B处测得灯塔E在北偏东15∘方向上．(1)求∠AEB的度数；(2)已知灯塔E周围40海里内有暗礁，问：此船继续向东方向航行，有无触礁危险？(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)【答案】解：(1)∠AEB=180∘−30∘−90∘−15∘=45∘；(2)作BM⊥AE，EH⊥AB，垂足分别为M，H，∵AB=2×30=60，∠MAB=30∘，∴BM=30，AM=AB⋅cos∠MAB=60×cos30∘=30√3，∵∠MBE=90∘−∠AEB=90∘−45∘=45∘=∠AEB，∴EM=ME=30，∴AE=30√3+30，∴EH=15√3+15≈40.98>40，∴此船继续向正东方向航行，无触礁危险．【解析】(1)根据方向角的概念、三角形内角和定理计算即可；(2)作BM⊥AE，EH⊥AB，求出AM、BM，得到AE，根据正弦的概念求出EH，比较即可得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28.如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角∠BEF的度数为45∘，测得旗杆顶端A的仰角∠AEF的度数为17∘，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度(结果精确到0.1m)．【参考数据：sin17∘=0.29，cos17∘=0.96，tan17∘=0.31】【答案】解：如图，由题意得EF =BC =9m ，∠AEF =17∘，∠BEF =45∘， 在Rt △BEF 中，∵tan∠BEF =tan45∘=BF EF ， ∴BF =EF =9m. 在Rt △AEF 中，∵tan17∘=AFEF ，∴AF =9×0.31=2.79m ．∴AB =AF +BF =11.79≈11.8m ．答：旗杆AB 的高度约为11.8m ．【解析】先根据锐角三角函数的定义求出BF 及AF 的长，再由AB =AF +BF 即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．29. 如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B 地.已知B地位于A 地北偏东67∘方向，距离A 地520km ，C 地位于B 地南偏东30∘方向.若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长.(结果保留整数) (参考数据：sin67∘≈1213，cos67∘≈513，tan67∘≈125，√3≈1.73)【答案】解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵B 地位于A 地北偏东67∘方向，距离A 地520km ，∴∠ABD =67∘，∴AD =AB ⋅sin67∘=520×1213=624013=480km ，BD =AB ⋅cos67∘=520×513=260013=200km ．∵C 地位于B 地南偏东30∘方向，∴∠CBD =30∘，∴CD =BD ⋅tan30∘=200×√33=200√33， ∴AC =AD +CD =480+200√33≈480+115=595(km)．答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km ．【解析】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．30. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60∘方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30∘方向上．(1)求∠APB 的度数；(2)已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】解：(1)∵∠PAB =30∘，∠ABP =120∘，∴∠APB =180∘−∠PAB −∠ABP =30∘．(2)作PH ⊥AB 于H ．∵∠BAP =∠BPA =30∘，∴BA =BP =50，在Rt △PBH 中，PH =PB ⋅sin60∘=50×√32=25√3， ∵25√3>25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【解析】(1)在△ABP 中，求出∠PAB 、∠PBA 的度数即可解决问题；(2)作PH ⊥AB 于H.求出PH 的值即可判定；本题考查的是解直角三角形的应用−方位角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方位角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．31. 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东64∘方向，距离灯塔120海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45∘方向上的B 处，求BP 和BA 的长(结果取整数)．(参考数据：sin64∘≈0.90，cos64∘≈0.44，tan64∘≈2.05，√2取1.414)．【答案】解：如图作PC ⊥AB 于C ．由题意∠A =64∘，∠B =45∘，PA =120，在Rt △APC 中，sinA =PC PA ，cosA =ACPC ，∴PC =PA ⋅sinA =120⋅sin64∘，AC =PA ⋅cosA =120⋅cos64∘，在Rt △PCB 中，∵∠B =45∘，∴PC=BC，∴PB=PCsin45∘=120×0.90√22≈153．∴AB=AC+BC=120⋅cos64∘+120⋅sin64∘≈120×0.90+120×0.44≈161．答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．【解析】如图作PC⊥AB于C.分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．32.某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30∘方向，在C地北偏西45∘方向，C地在A地北偏东75∘方向.且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(最后结果保留整数，参考数据：sin15∘≈0.25，cos15∘≈0.97，tan15∘≈0.27，√2≈1.4,√3≈1.7)【答案】解：由题意可知∠DCA=180∘−75∘−45∘=60∘，∵BC=CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC=75∘−30∘=45∘，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=60∘BD=BC=CD=20km，∴∠ADB=∠DBC−∠DAC=15∘，∴BE=sin15∘BD≈0.25×20≈5m，∴AB=BEsin45∘=5√22≈7m，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．答：从A地跑到D地的路程约为47m．【解析】求出∠DCA的度数，再判断出BC=CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形.过点B作BE⊥AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题；通过解直角三角形求出AB是解决问题的关键．33.禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45∘方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30∘方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截.求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，则AD=(200−x)海里，∵∠ABC=45∘，∴BD=CD=x，∵∠BAC=30∘，∴tan30∘=CD，AD(200−x)，在Rt△ACD中，则CD=AD⋅tan30∘=√33(200−x)，则x=√33解得，x=100√3−100，即BD=100√3−100，，在Rt△BCD中，cos45∘=BDBC解得：BC=100√6−100√2，则(100√6−100√2)÷4=25(√6−√2)(海里/时)，则该可疑船只的航行速度约为25(√6−√2)海里/时．【解析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=(200−x)海里，在Rt△BCD中，根据tan45∘=CD，求出CD，再根据BD=CD求出BD，在Rt△BCD中，BD，求出BC，从而得出答案．根据cos45∘=BDBC此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．34.为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3∘，平面镜E的俯角为45∘，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3∘≈0.82，tan84.3∘≈10.02)。
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4.4解直角三角形的应用
一、选择题（每题4分，共
1．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=60°，则AD•的长是（ ）
A 2 B
A 、
C 、E E
3．如图6，一电线杆AB 的高为10m ，当太阳光AC 1.732．（8.66m C ．5.77m
10（
D ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D /处，那么tan BAD /等于（ ）
A. 1
B.2
C.
2
2
D.22
6．如图2，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m ，坝高24m ，斜坡AB 的坡角为45°，斜坡CD 的坡度i=1：2，则坝底AD 的长为（ ）
A ．42m
B ．（m
C ．78m
D ．（m
A
B C 图19-3
7．王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（ ）
A ．150m
B ．503m
C ．100m
D ．1003 二、填空题（每题4分，共28分）
8．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是_______cm 2．
9．在平行四边形ABCD 中，已知∠B ＝600，AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，则平行四边形ABCD 的面积是 2cm ；
10．如果某人沿坡度i=1：3的斜坡前进100米后，•他所在的位置比原来的位置升高了____ __米．
11．如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA•交OB 于点C ．若∠AOB=60°，OC=4，则点P 到OA 的距离PD 等于____ ____．
12．如图，C 、D 是两个村庄，分别位于一个湖的南、
北两端A•和B 的正东方向上，且D 位于C 的北偏东30°方向上，CD=6km ，
则AB=______km ．
13、如图，沿倾斜角为30 的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为
m 。
(精确到0.1m)
14．在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则BC 的长是_______．
三、解答题（共44分） 15（8分） 如图1，在中，AD 是BC 边上的高，。
（1）求证：AC ＝BD （2）若，求AD 的长。
16．（8分）如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上．该货船航行30•分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C 岛周围9•海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触
礁危险？试说明理由．
17．（8分）如图，某校九年级3•班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC （计算过程和结果都不取近似值）．
18．（10分）如图，某居民小区内A 、•B•两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B 楼窗户朝南．B•楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，窗户高CD=1.8米．当正午时刻太阳光线与地面成30•°角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，•请说明理由． （参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.236）
19. （10分）公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且
，点A
处有一所中学，AP=160m ，一辆拖拉机以3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？ N P A Q
参考答案：
一、选择题（每题4分，共28分） 1. C 2.B.解析：在
中可用三角函数求得DE 长。
解：
A 、C 、E 成一直线
B 。
3. D
4. A ．
5. B. 解析： 根据勾股定理得
BD ＝22CD BC +=2222+=22 又BD /＝BD ＝22，AB ＝2， 在Rt △ABD /
中，tan ∠BAD /
= 2222/==AB
BD
故选B. 6. C 7. D
二、填空题（每题4分，共28分） 8. 30 9.12.
16. 解：设岛C 到货船航行方向的距离为x 海里． 根据题意，得
tan 30tan 60x x
-︒︒
=12． 解得
．
因为
，所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险． 17. 解：过D 点作DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ． ∵∠DAB=∠BAC-∠DAC=15°， ∠DBA=∠HBD-∠HBA=15°， ∴∠DAB=∠DBA ，∴DA=DB ． ∵AD=18米，∴BD=180米．
在Rt △ADF 中，DF=AD ·sin30°=90（米）． 在Rt △BDE 中，BE=DB ·cos30°
． ∴BC=EC+BE=（
（米）．
18. 解：如图，设光线FE 影响到B 楼的E 处． 作EG ⊥FM 于G ，由题知． EG=MN=30m ，∠FEG=30
°=30． ，
，所以ED=2.68-2=0.68，
B 楼一楼采光，挡住该户窗户0.68米．
1008030sin <=︒=∆AP AP APB Rt 中，
N。