广州市2014届高三年级调研测试 文科数学
广东省广州市2014届高三年级调研测试(文数)试卷及答案
7 8 994 4 6 4 7 3广州市2014届高三年级调研测试数学（文 科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84 B ． 84，85 C ． 86，84D ． 84，864．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是 A ．i - B ．1- C ．i D ．1图15．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则A B 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是 A．4+ B． C．4+ D．8+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．函数()sin f x x =[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______．图3正视图 侧视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 2A C +=（1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表．（1）求正整数a ，b ，N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．ABCOM N图4图518．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求⋅的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．1112．3 13．8π14．1 15．⎡⎢⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC中，A B ++=π．………………………………………………………………1分所以co 22A CBπ+-= (2)分sin2B ==．………………………………………………………………………3分所以2co 2BB =- (5)分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =1cos 3B =， 由余弦定理222c o s b a c a c=+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =． (12)分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：在正A MB ∆中，D是AB的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故P A A B ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A = ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂ 平面PAC ， 所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为A M ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以11422BCS S ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==，所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为M B BC M V V --=， (12)分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=．……………………………………………………………………13分所以512=h ． 故点B到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D = ，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯， (12)分所以34122552BC DEBH CD⨯⨯===． 方法2：在Rt△BHD中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分 在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．②…………………………………12分由①，②解得125BH =． 故点B 到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=- ，② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分 所以2n n a =． (5)分因为12a =，适合上式， 所以2n n a =()*n ∈N ． (6)分（2）由（1）得2n n a =．所以()()111n n n n a b a a +=--()()122nn n +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） （1）解法1：由MD PD 2=知点M为线段PD的中点．……………………………………………1分设点M的坐标是(,x y ，则点P的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上， 所以()2224x y +=． (3)分所以曲线C的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由2=得，xx =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2EA EB EA EA BA EA =-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221*********x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++- 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以2123934x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分 且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分 当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以1x =是函数()y f x =的极小值点． 故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分 由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-． 因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>． 当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增， 所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-． (9)分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]ma 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2ma ()f x ==．…………………………………………………13分 综上所述： 当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。
广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二文科数学试卷(解析版)
广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二文科数学试卷（解析版）一、选择题1．若复数()()12bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A.2- B.12- C.12D .2【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()12112bi i b b i ++=-++是纯虚数，则有10120b b -≠⎧⎨+=⎩，解得12b =-，故选B.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的概念2．设集合{}22A x x x =<，{}2log 0B x x =>，则AB =（ ）A.{}2x x < B.{}0x x > C.{}02x x << D.{}12x x << 【答案】D 【解析】 试题分析：{}{}2202A xx x x x =<=<<，{}{}2log 01B x x x x =>=>，{}12AB x x ∴=<<，故选D.考点：1.不等式的解法；2.集合的交集运算3．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若1a =，b =2A C B +=，则 （ ）A.12 B.12- C.2D.【答案】A 【解析】试题分析：2A C B +=，且33A B C B B ππ++==⇒=，由正弦定理得sin sin a bA B=，可得sin A =sin 11sin 1322a Bb π=⨯=⨯=，故选A. 考点：1.三角形的内角和定理；2.正弦定理4．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=（ ）A.33B.72C.84D.189 【答案】C 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由于13a =，212333321a a a q q ++=++=，化简得260q q +-=，解得2q =，23423434533332323284a a a q q q ∴++=++=⨯+⨯+⨯=，故选C.考点：等比数列的性质5．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直，则()()24130a a ⨯+-⨯--=⎡⎤⎣⎦，即2430a a +-=，即()()4310a a -+=，解得1a =-或34a =，故“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的充分不必要条件，故选A.考点：1.两直线的位置关系；2.充分必要条件6．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A.23 B.13 C.13- D.23-【答案】A 【解析】试题分析：2AD DB =，即()2C D C A C B C D -=-，解得1233CD CA CB =+，23λ∴=，故选A.考点：平面向量的线性表示7．阅读如图程序框图，若输入的100N =，则输出的结果是（ ）A.50B.1012C.51D.1032【答案】A 【解析】试题分析：1i =，100N =，i N >不成立，执行第一次循环，011S =+=，112i =+=； i N >不成立，执行第二次循环，123S =+=，213i =+=； i N >不成立，执行第三次循环，123S =++，314i =+=；；i N >不成立，执行第一百次循环，1001011231002S ⨯=++++=，1001101i =+=； i N >成立，输出1001011502101S i ⨯=⨯=，故选A. 考点：1.数列求和；2.算法与程序框图8．某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分（ ）A.69B.71C.73D.75【答案】C 【解析】试题分析：由频率分布直方图知()21010.040.030.02100.10.005a a ⨯=-++⨯=⇒=，故此次数学成绩的平均分为()550.005650.04750.03850.02950.0051073x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故选C.考点：1.频率分布直方图；2.平均数9．已知x 、y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A.34 B.14 C.211 D.4【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组2y xx y x a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示，联立x a y x =⎧⎨=⎩得点(),A a a ，联立2y xx y =⎧⎨+=⎩得点()1,1B ，作直线:2l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，此时直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 23z a a a =⨯+=；当直线l 经过可行域上的点B 时，此时直线l 在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，由题意知，max min 4z z =，即343a =⨯，解得14a =，故选B. 考点：线性规划10．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，a 、b 是方程lg 4x x =-，104xx =-的实数根，作出函数()lg f x x =，()10x g x =与函数()4h x x =-的图象如下图所示，则函数()lg f x x =与函数()4h x x =-交于点(),lg A a a ，函数()10xg x =与函数()4h x x =-交于点(),10bB b ，由于函数()lg f x x =与函数()10xg x =关于直线y x =对称，且直线y x =与4y x =-垂直，且交于点()2,2C ，故点A 、B 也关于直线y x =对称，且其中点为点()2,2C ，因此4a b +=，当0x ≤时，()242f x x x =++，解方程()f x x =，即2320x x ++=，解得2x =-或1x =-；当0x >时，()2f x =，解方程()2f x x x =⇒=，故关于x 的方程()f x x =的实根个数为3，故选C.考点：1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数二、填空题11．已知双曲线221x y m-=的离心率是2，则m 的值是 . 【答案】13. 【解析】试题分析：由题意知，双曲线的离心率2e ==，解得13m =.考点：双曲线的离心率12．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【答案】23. 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且底面是一个等腰直角三角形，腰长为其面积为2112S =⨯=，三棱锥的高为2，故该三棱锥的体积为121233V =⨯⨯=.考点：1.三视图；2.三棱锥的体积13．给出下列四个命题： ①函数()xx f x ee -=+有最小值是2；②函数()4sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③若“p 且q ”为假命题，则p 、q 为假命题；④已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足：对x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立， 若当0x >时，()0f x '>，则当0x <时，()0f x '>. 其中正确命题的序号是 .【答案】①②④. 【解析】试题分析：对于命题①，0x e >，()2xx f x ee -=+≥=，当且仅当21x x x e e e -=⇒=，即当0x =时，上式取等号，即函数()x x f x e e -=+有最小值2，故命题①正确；对于命题②，由于6f π⎛⎫=⎪⎝⎭4sin 2063ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故函数()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故命题②正确；对于命题③，若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，故命题③错误；对于命题④，由于函数()f x 是奇函数，当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，由奇函数的性质知，函数()f x 在(),0-∞上也是单调递增的，即当0x <时，仍有()0f x '>，故命题④正确，综上所述，正确命题的序号是①②④. 考点：1.基本不等式；2.三角函数的对称性；3.复合命题；4.函数的奇偶性与单调性14．在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线s i n 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离为 .【解析】试题分析：圆4cos ρθ=的直角坐标方程为224x y x +=，化为标准式得()2224x y -+=，圆心C 坐标为()2,0，直线s i n 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为4x y +=，即40x y +-=，故圆心C 到直线40x y +-=的距离d ==考点：1.极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.点到直线的距离15．如图，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =，AEF ∆的面积为21cm ，则平行四边形ABCD 的面积为 2cm .【答案】24. 【解析】试题分析：由于四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且12AE EB =，13AE AE AE CD AB AE EB ∴===+，219AEF CDF S AE S CD ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，299CDF AEF S S cm ∆∆∴==，同理13EF AE DF CD ==，13AEF ADF S EF S DF ∆∆∴==，ADF S ∆∴ 233AEF S cm ∆==，故23912ACD ADF CDF S S S cm ∆∆∆=+=+=，因此四边形ABCD 的面积2ACD S S ∆== 221224cm ⨯=.考点：相似三角形三、解答题16．设向量(6cos ,a x =，()cos ,sin 2b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.【答案】（1）3x π=；（2）函数()f x 的最小值为3-，最大值为6.【解析】试题分析：（1）先由平面向量模的计算公式由条件23a =得出cos x 的值，结合角x 的取值范围求出x 的值；（2）先由平面向量数量积的坐标运算求出函数()f x 的解析式，并将函数()f x 的解析式化简为()f x =236x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，先由02x π≤≤得出26x π+的取值范围，再利用余弦曲线确定函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.试题解析：（1）23a =，=21cos 4x ∴=，1cos 2x ∴=±， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ∴>，1cos 2x ∴=，3x π∴=；（2）()21cos 26cos 2622xf x a b x x x +=⋅=-=⨯13cos 2232sin 232326x x x x x π⎫⎛⎫=+=-+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，1cos 262x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的最小值为3-，最大值为6.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值17．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为3.（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？ （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到9号或10号的概率. 【答案】（1）详见解析；（2）按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）抽到9或10号的概率为736. 【解析】 试题分析：（1）先根据题中条件确定乙班优秀的人数，然后根据甲乙两班的总人数将表中其它的数据补充上；（2）先提出假设“成绩与班级无关”，根据表中数据求出2K 的值，然后利用临界值表确定犯错误的概率，进而确定是否有99%的把握认为成绩与班级有关系；（3）先把事件空间中的基本事件全部列出，并计算基本事件的总数，然后将问题中涉及的事件所包含的基本事件找出，利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率.（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到()22110103020507.487 6.63560503080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(),x y ，所有的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、、()6,6，共36个，设“抽到9或10号”为事件A ，事件A 包含的基本事件有：()3,6、()4,5、()5,4、()6,3、()4,6、()5,5、()6,4，共7个， 所以()736P A =，即抽到9或10号的概率为736. 考点：1.独立性检验；2.古典概型18．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上.（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求三棱锥1A BCD -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥1A BCD -的体积为48. 【解析】试题分析：（1）利用折叠后点1A 在平面BCD 内的射影点在棱CD 上得到1AO ⊥平面BCD ，从而得到1AO BC ⊥，再结合BC CD ⊥即可证明BC ⊥平面1ACD ，进而证明1BC A D ⊥；（2）由（1）中的结论BC ⊥平面1ACD 并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）先利用等面积法求出1AO 的值，利用（1）中的结论1AO ⊥平面BCD ，以及BCD ∆的面积利用锥体的体积公式即可计算出三棱锥1A BCD -的体积；或者（1）中的结论1A D ⊥平面1A BC ，利用等体积法三棱锥1A BCD -的体积转化为三棱锥1D A BC -的体积进行计算.试题解析：（1）1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，1AO ∴⊥平面BCD ， 又BC ⊂平面BCD ，1BC AO ∴⊥， 又BC CO ⊥，1AO CO O =，BC ∴⊥平面1ACD ， 又1A D ⊂平面1ACD ，1BC A D ∴⊥； （2）四边形ABCD 是矩形，11A D A B ∴⊥，由（1）知1A D BC ⊥，1A B BC B =，1A D ∴⊥平面1A BC ，又1A D ⊂平面1A BD ，∴平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）1A D ⊥平面1A BC ，11A D AC ∴⊥， 在1Rt A BD ∆中，由16AD =，10CD =，得18AC =，111245A D A C A O CD ⨯∴==，1AO ⊥平面BCD ，且116103022BCD S BC CD ∆=⋅=⨯⨯= ， 故三棱锥1A BCD -的体积为1111243048335A BCD BCD V AO S -∆=⋅=⨯⨯=； 另解：1A D ⊥平面1A BC ，11A D AC ∴⊥，16A D =，10CD =，18AC ∴=，11116864832A BCD D A BC V V --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭.考点：1.直线与平面垂直；2.直线与直线垂直；3.平面与平面垂直；4.三棱锥的体积 19．在数列{}n a 中，11a =，23a =，()2130n n n a a ka k ++=-≠对任意n N *∈成立，令1n n n b a a +=-，且{}n b 是等比数列.（1）求实数k 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求和：12323n n S b b b nb =++++.【答案】（1）2k =；（2）21n n a =-；（3）()1122n n S n +=-⨯+.【解析】试题分析：（1）先利用题中的定义，利用数列{}n b 的前三项成等比数列求出k 的值，然后就k 的值进行检验，即对数列{}n b 是否为等比数列进行检验；（2）根据等比数列{}n b 的通项12n n n n b a a +=-=选择累加法求数列{}n a 的通项公式；（3）根据数列{}n nb 的通项公式2n n nb n =⋅，选择错位相减法求数列{}n nb 的前n 项和n S .试题解析：（1）11a =，23a =，39a k =-，4276a k =-，12b ∴=，26b k =-，3185b k =-，数列{}n b 为等比数列，2213b b b ∴=⋅，即()()262185k k -=⨯-，解得2k =或0k =（舍），当2k =时，2132n n n a a a ++=-，即()2112n n n n a a a a +++-=-，12n nb b +∴=，所以2k =满足条件； （2）12b =，数列{}n b 为等比数列，1222n n n b -∴=⨯=，1212a a ∴-=，2322a a -=，，112n n n a a ---=，()()()2112132122222n n n n n a a a a a a a a --∴-=-+-++-=+++=-，21n n a ∴=-；（3）1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n S n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式减下式得()12312122222212n n n n n n n S n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， ()1122n n S n +∴=-⨯+.考点：1.等比数列的定义；2.累加法求数列的通项公式；3.错位相减法20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e =y x =心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，求证：2m k -为定值.【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）先根据题中条件求出a 、b 、c ，进而可以求出椭圆C 的方程；（2）先由直线BP 的方程()2y k x =-与椭圆的方程联立求出点P 的坐标，然后由D 、P 、N 三点共线，利用平面向量共线进行等价转化，求出点N 的坐标，于是得到直线MN 的斜率m ，最终证明2m k -为定值.试题解析：（1）由直线y x =222x y b +=得1b ==，由c e a ==，得2222234c a b a a -==，所以2a =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）因为()2,0B ，P 不为椭圆定点，即BP 的方程为()1202y k x k k ⎛⎫=-≠≠± ⎪⎝⎭且，①②将①代入2214x y +=，解得222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 又直线AD 的方程为112y x =+， ② 由()0,1D 、222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭、(),0N x 三点共线可得42,021k N k -⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以MN 的斜率为214k m +=，则211222k m k k +-=-=（定值）. 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的公共点的求解；3.直线的斜率；4.三点共线 21．设a R ∈，函数()ln f x x ax =-.（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()1,2P -处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当0a >时，求函数()f x 在[]1,2上的最小值.【答案】（1）切线方程为10x y ++=；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数()f x 的解析式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（2）先求出函数()f x 的导数()f x '，并求出方程()0f x '=的根1x a =，对1x a=是否在定义域内进行分类讨论，从而确定函数()f x 的增区间和减区间；（3）对1x a=是否在区间[]1,2内进行分类讨论，从而确定函数()f x 的最小值，注意112a <<时，函数()f x 最小值的可能值为()1f 或()2f ，这时可对两式的值作差确定大小，从而确定两者的大小，从而确定函数()f x 在[]1,2上的最小值. 试题解析：在区间()0,+∞上，()11ax f x a x x-'=-=， （1）当2a =时，()1121f '=-=-，则切线方程为()21y x -=--，即10x y ++=； （2）①当0a ≤时，()10f x a x'=->，故函数()f x 为增函数，即函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；②当0a >时，令()10f x a x '=-=，可得1x a=， 当10x a <<时，()10ax f x x -'=>；当1x a >，()10axf x x-'=<， 故函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （3）①当11a≤时，即当1a ≥时，函数()f x 在区间[]1,2上是减函数， ()f x ∴的最小值是()2ln22f a =-；②当12a ≥时，即当102a <≤时，函数()f x 在区间[]1,2上是增函数， ()f x ∴的最小值是()1f a =-；③当112a <<时，即当112a <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以()f x 的最小值产生于()1f 与()2f 之间，又()()21ln2f f a -=-， 当1ln 22a <<时，最小值为()1f a =-； 当ln 21a ≤<时，最小值为()2ln22f a =-，综上所述，当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是()min f x a =-， 当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是()min ln 22f x a =-.考点：1.利用导数求切线方程；2.函数的单调区间；3.函数的最值；4.分类讨论.。
广东省广州市2014届高三调研测试数学文试题 PDF版含答案
2．命题“若 x 1 ，则 1 x 1 ”的逆否命题是 A．若 x 1 ，则 x 1，或x 1
2 2 C．若 x 1，或x 1 ，则 x 1
B．若 1 x 1 ，则 x 1
2
D．若 x 1，或x 1 ，则 x 1
2
3．如图 1 是 2013 年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉 一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A． 85，84 C． 86，84 B． 84，85 D． 84，86
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18． （本小题满分 14 分） 如图 6，在三棱锥 P ABC 中， PA AC ， PC BC ，
P
M 为 PB 的中点， D 为 AB 的中点，且△ AMB 为正三角形．
（1）求证： BC 平面 PAC ； （2）若 BC 4 ， PB 10 ，求点 B 到平面 DCM 的距离． A D 图6 B M C
19． （本小题共 14 分） 设数列 a n 满足 a1
a a2 a3 2 nn 2n ， n N* ． 1 2 2 2
（1）求数列 a n 的通项公式； （2）设 bn
an ，求数列 bn 的前 n 项 S n ． an 1 an1 1
图3
10．函数 f ( x) sin x x 在区间 0, 内 A．没有零点 C．有且仅有 2 个零点 B．有且仅有 1 个零点 D．有且仅有 3 个零点
二．填空题： 本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． （一）必做题（11～13 题） 11．若向量 m 1, 2 ， n x,1 满足 m n ，则 | n | __________． 12．在等比数列 {an } 中，若 a2 a3 3a1 ，则 a4 ．
2014年广州二模文科数学试卷及答案word版
试卷类型：B2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2014.4本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数z 满足2iz =，其中i 为虚数单位，则z 等于A. 2i -B. 2iC. 2-D. 22. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}2|0B x x x =-=，则集合A B 的子集个数为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 83. 命题“对任意x R ∈，都有32x x >”的否定是A. 存在0x R ∈，使得3200x x >B. 不存在0x R ∈，使得3200x x >C. 存在0x R ∈，使得3200x x ≤D. 对任意x R ∈，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是A. y =B. 21y x =-+C. cos y x =D. ||1y x =+5. 有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A. 16B. 13C. 12D. 386. 一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A. 12πB. 6πC. 4πD. 2π7. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为A. 9B. 10C. 11D. 128. 在△ABC 中，60,1,3ABC AB BC ∠=︒==，则s i n BAC ∠的值为A.B.C.14 D.149. 设12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点 在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为 A.3 B.6 C. 13 D. 1610. 将正偶数2，4，6，8，…按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A. 257B. 256C. 254D. 253二、填空题: 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2014广东高考数学文科试卷含答案(WORD版).pptx
1
a1 a1
1
1
a2a2
1
1
1
an an
1
. 3
解 : (1)令n 1得 : S 2 (1)S 3 2 0,即S 2 S 6 0,(S 3)(S 2) 0,
1
1
1
1
1
1
Q S1 0,S1 2,即a1 2.
(2)由S 2 n
(n2
n 3)S 3(n2 n
n)
0, 得 : (S
② z1 (z2 z3 ) (z1 z2 ) (z1 z3 ) ；
③ ( z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ); ④ z1 z2 z2 z1 ；
则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
答案: B 提示:①(z1 z2 )*z3=(z1 z2 )z3 =(z1 z3) (z2 z3)=(z1*z3)+(z2 *z3),故①是真命题;
1 )
3 1
L
1 n1
1 (n 1)
1
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( 1
1
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1 1)
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1. 3
4
4
学海无 涯
20. 已知椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)的一个焦点为(
5 , 0), 离心率为
5. 3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0 , y0 )为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
A. 50 答案: C
B. 40
提示: 分段的间隔为1000 25. 40
广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试文科数学试卷(解析版)
广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试文科数学试卷（解析版）一、选择题1．设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则()U AC B =( )A. {5}B. {2,4}C. {2,4,5}D. {2,4,6} 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，{}2,4,6U C B =，所以(){}2,4U A C B =.考点：集合间的基本运算2．下列函数中与函数f(x )=x 相同的是( )A. ()2f x =B. ()f x =C. ()f x =D.()2x f x x=【答案】C 【解析】试题分析：选项A ，()2(0)f x x x ==≥；选项B ，()()f x x x R =∈；选项C ，()()f x x x R ==∈；选项D ，()()20x f x x x x==≠.所以只有选项C 的函数与函数()f x x =是相同的. 考点：函数的定义域及其求法 3．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( ) A.2πB. πC. 2πD. 4π 【答案】B 【解析】 试题分析：222πππωT ===. 考点：三角函数的最小正周期 4．复平面内复数11i-对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 试题分析：()()11111111222i i i i i i ++===+--+，所以复数11i -对应的点是11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.考点：复数代数形式的混合运算5( )A. 6B. 【答案】D 【解析】3====.考点：指数与指数幂的运算6．在等差数列{}n a 中，15,1a d ==-，前n 项的和是n S ，则使n S 最大的项是( )A. 第5项B. 第6项C. 第5项或第6项D. 第6项或第7项 【答案】C 【解析】试题分析：()116n a a n d n =+-=-，所以第6项是0，从第7项开始为负数，则使n S 最大的项是第5项或第6项. 考点：等差数列的前n 项和7．已知两个平面垂直，下列命题中：(1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； (2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； (3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A 【解析】试题分析：(1)根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，所以(1)的说法错误；(2)根据平面与平面垂直的性质定理可知，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与已知直线垂直，所以(2)的说法正确；(3)根据平面与平面垂直的性质定理可知，只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，所以(3)的说法错误；(4)如果这一点在交线上，那么过这点的交线的垂线有无数条，其中有的可能在另一个平面内，所以(4)的说法错误.所以正确的命题是(2)，1个.考点：1.平面与平面垂直的性质定理；2.直线与平面垂直的性质定理8．曲线221259x y +=与曲线()2219259x y k k k+=<--的( ) A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】试题分析：曲线221259x y +=长半轴是5，短半轴是3，焦距是8，离心率是45；曲线()2219259x y k k k+=<--的长半轴是8，离心率是所以两条曲线的焦距相等.考点：椭圆的性质9．已知函数()()22log 1f x x ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A. （0,2）B. （-2,2）C. [-2,2]D.()()22,-∞-+∞【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，210x ax ++>恒成立，所以240a ∆=-<，解得22a -<<.考点：二次函数的图像与性质10．已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x +=- ( ) A. 2875-B. 2875C. 21100-D. 21100 【答案】A 【解析】试题分析：由3cos 45πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据三角函数的和角公式可知，cos sin 5x x -=①.因为177124ππx <<，所以5234πππx <+<，所以4sin 45πx ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由三角函数的和角公式得，sin cos 5x x +=-②.由①②解得sin 10cos x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2sin 22sin 2sin cos 2sin sin sin 1tan 1cos x x x x x xx x x++==--()2sin cos cos sin cos sin x x x x x x +=-，21010101028751010⎛⎛⎫⎛⨯-⨯-⨯-- ⎪ ==-.考点：1.三角函数的和角公式；2.同角三角函数的基本关系二、填空题11．已知()()4,2,6,a b y ==，且a 与b 共线，则y= . 【答案】3 【解析】试题分析：因为a 与b 共线，所以642y=，解得3y =. 考点：平面向量共线的坐标运算12．如图，是一问题的程序框图，则输出的结果是 .【答案】1717 【解析】试题分析：根据流程图可知它的作用是求147......97100+++++的值，由等差数列的前n 项和公式可知，()34110017172S ⨯+==.考点：1.程序框图及其应用；2.等差数列的前n 项和13．如图，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= .【答案】83【解析】试题分析：设BF x =，则8CF x =-，由//DF AC 得，8BD BF xAD CF x==-，又因为//DE BC ，所以24BD CE AD AE ==，则有284x x =-，解得83x =.考点：平行线分线段成比例14．（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为2cos ρθθ=-，则圆的圆心的极坐标是 ()02θπ≤<. 【答案】52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：圆的圆心为()(),0βa a >，半径为a 的圆的极坐标方程为()2cos ρθβa =-.因为52cos 4cos 4cos 24cos 333πππρθθθθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以此圆的圆心坐标为52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点：圆的极坐标方程三、解答题15．已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-(1)当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值；(2)利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.【答案】(1) max 1f ，8x π=； (2)见解析.【解析】试题分析：(1)先根据二倍角公式和三角函数的和角公式化简()f x 得到()s i n 214πfx x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图像和性质求解函数()f x 的最大值以及取得最大值时对应的x 的值；(2)根据三角函数图像的平移变换的法则，先把函数sin y x =的图象向左平移4π个单位，再把图象上的点横坐标变为原的12倍，然后把图象上的点纵坐1个单位即可.试题解析：(1)()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=- 1分sin 2cos 21x x =+- 3分214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 5分∵0x π<<，∴92444x πππ<+<， 6分 所以当242x ππ+=时，即8x π=时 7分()f x 1所以()f x 1，相应的x 的值8x π= 8分(2)函数sin y x =的图象向左平移4π个单位， 9分 再把图象上的点横坐标变为原的12倍， 10分11分最后把图象向下平移1个单位得到214πy x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象 12分考点：三角函数的和角公式；2三角函数的图像与性质；3二倍角公式；4三角函数图像的平移变换16．在一个盒子里装有4枝圆珠笔，其中3枝一等品，1枝三等品 (1)从盒子里任取2枝恰有1枝三等品的概率多大？(2)从盒子里第一次任取1枝（不放回），第二次任取1枝；第一次取的是三等品，第二次取的是一等品的概率有多大？ 【答案】(1)12；(2)14【解析】试题分析：(1)列举出“从盒子里任取2枝”所对应的的所有的可能的情况一共6种，在这6中里面找到符合“恰有1枝是三等品”的情况一共3种，用“恰有1枝是三等品”的情况数÷总的情况数即是所求的概率；(2)这是条件概率，可由条件概率的方法作答，也可利用列举的方法，先列举出所有的“第一次任取1枝（不放回），第二次任取1枝”的情况数，然后在这些情况中找到符合“第一次取的是三等品，第二次取的是一等品”的情况数，用后者÷前者即是所求的概率试题解析：(1)设三枝一等品为,,a b c ，一枝三等品为d ， 1分则“任取2枝”共有()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ，一共6种 4分 “恰有一枝三等品”共有()()(),,,,,a d b d c d ，一共3种 5分 所以“从盒子里任取2枝恰有1枝三等品”的概率是3162P == 6分 （2）“从盒子里第一次任取1枝（不放回），第二次任取1枝”，有()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b a a c c a a d d a b c c b b d d b c d d c ，一共12种， 10分其中“第一次取的是三等品，第二次取的是一等品”有()()(),,,,,d a d b d c ，一共3种， 11分所以“第一次取的是三等品，第二次取的是一等品”的概率是31124P == 12分 考点：1离散型随机变量及其应用；2随机事件的概率；3条件概率及其应用 17．如图，边长为2的正方形ABCD ，E,F 分别是AB,BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE,DF 折起，使A,C 两点重合于A '(1)求证：DA '⊥EF; (2)求A DEF V '-【答案】(1)见解析；(2)13【解析】试题分析：(1)先根据正方形的特征得到DA AE ⊥，DC CF ⊥ ，再根据点的重合得到DA A E ''⊥，DA A F ''⊥ ，由直线与平面垂直的判定定理可知，DA A EF ''⊥平面 ，再由直线与平面垂直的性质定理得到DA EF '⊥ ；(2)先根据勾股定理求得EF =以及证明A E A F ''⊥，然后求得A EF '的面积，根据(1)中的DA A EF ''⊥平面，将三棱锥看作是以DA '为高，以A EF '为底的几何体，那么求A DEF V '-，即是求D A EF '-的体积，由D A EF V '-=/13A EF S A D '∆⨯求解 试题解析：(1)证明：∵ABCD 是正方形， ∴DA AE ⊥，DC CF ⊥， 2分 ∴DA A E ''⊥，DA A F ''⊥， 3分 又A E A F A '''=， 4分 ∴DA A EF ''⊥平面， 5分 又A EF '⊂EF 平面，∴DA EF '⊥ 6分 (2) 在BEF 中，1BE BF ==，BE BF ⊥，∴EF = 7分∵1A E A F ''==，∴222A E A F EF ''+=， 8分∴A E A F ''⊥， 9分 ∴//1122A EF S A E A F '∆=⨯= 10分 又由(1)知，DA A EF ''⊥平面，2A D '=D A EF '-是三棱锥D A EF '-的高， 11分所以 A DEF D A EF V V ''--==/13A EF S A D '∆⨯ 13分 1112323=⨯⨯= 14分 考点：1 直线与平面垂直的判定定理；2 直线与平面垂直的性质定理；3 解三角形；4 三棱锥的体积公式；5 勾股定理 18．已知数列{}n a 满足111,2 1.2n n a a a +=-= (1)求{}n a 的通项公式；(2)求和12...n n S a a a =+++【答案】(1) 112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2) 112nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：(1)根据所给的121n n a a +-=将1拆为21-，化简得到关系11112n n a a +-=-，构造数列{}1n a -，证明此数列是以12-为首项，12为公比的等比数列，求得111122n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即得112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)根据所求的通项公式可以把通项看做是各项均为1的等差数列的通项与首项为12，公比也是12的等比数列的通项的差，根据等差数列与等比数列的前n 项和公式求得12...n a a a +++112nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭试题解析：(1)由12121n n a a +-==-可得，1221n n a a +-=-，即()1211n n a a +-=- 2分 ∴11112n n a a +-=- ， 4分由112a =得，1111122a -=-=- ， 5分 ∴数列{}1n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列， 6分∴111122n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭， 7分∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分（2）证明：∵212111......222nn a a a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11分111222112nn ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-- 13分112nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭14分考点：1 等比数列的定义；2 等比数列的前n 项和公式；3 等差数列的前n 项和公式 19．已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM,BM 相交于点M ，且2MA MB k k -=- (1)求点M 的轨迹C 的方程； (2)过定点（0，34-）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q 两点，求PQ 的最小值 【答案】(1) 2212y x +=()1x ≠±； (2)1 【解析】试题分析：(1)先设出点M 的坐标，根据两点间的斜率公式求出1MA y k x =+和1Mb y k x =-，代入已知条件2MA MB k k -=-中，化简整理得21x y =+()1x ≠±，限制条件一定要有；(2)先设出直线PQ 的方程，以及点,P Q 的坐标，直线方程与曲线方程联立方程组可得2104x kx --=，根据根与系数的关系求得12121,4x x k x x +==-，将此式代入,P Q 两点间的距离公式，化简得21k +，根据二次函数的性质判断此式的取值即可 试题解析：(1)解：设(),M x y ， 1分则1MA y k x =+，()11Mb yk x x =≠±-， 3分 ∴211y y x x -=-+-， 4分 ∴21x y =+()1x ≠± 6分 (条件1分)(2) 显然直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是34y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线PQ 的方程为：1212()y y k x x -=-， 8分联立2134x y y kx ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得2104x kx --= 9分 ∵210k ∆=+>，∴k R ∈， 10分12121,4x x k x x +==-， 11分∴PQ ==21k =+ 12分1≥，当且仅当0k =时取等号，此时1313,,,2424P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13分所以PQ 的最小值是1 14分考点：1 直线的斜率；2 方程的根与系数的关系；3 轨迹方程；4 两点间的距离公式；5 直线方程20．(1设()2ln .a f x x x =+(1)当1a =时，求f(x)的单调区间； (2)求f(x)的零点个数【答案】(1) 减区间()0,1，增区间()1,+∞；(2)见解析 【解析】试题分析：(1)先求出函数()f x 的定义域，然后在1a =的条件下对函数()f x 求导，求出使得导数为0的自变量的取值，再根据函数的单调性与导数的关系判断函数()f x 的单调区间；(2) 对a 的取值进行分类讨论，当0a ≤时分0a =和0a <两种情况，由()0af e <，()0a f e ->，结合零点存在性定理可知()f x 在()0,+∞上有一个零点；当0a >时，根据函数的单调性求得函数的极小值()1ln 12fa =+，对极小值与0的关系分三种情况进行分类讨论，结合零点存在性定理求得每种情况下的函数的零点个数 试题解析：(1)()f x 的定义域是()0,+∞， 1分当1a =时，∵()()()233311111x x x f x x x x x-+-'=-== 2分 令()0,1f x x '==±，（负舍去） 3分 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '> 4分所以()0,1是()f x 的减区间，()1,+∞是()f x 的增区间， 5分 所以()f x 的减区间是()0,1，()f x 的增区间是()1,+∞ 6分(2)()f x 的定义域是()0,+∞，∵()2331a x af x x x x -'=-= 7分当0a =时，()f x 在()0,+∞上是增函数，当0a =时有零点1x =， 8分当0a <时，()()()()2210,10,a a aa f e a e f ea e --=+<=-> 9分 (或当0x →+时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞)， 所以()f x 在()0,+∞上有一个零点， 10分当0a >时，由(1)知，()f x 在(上是减函数，()f x 在)+∞上是增函数，所以当x =()f x 有极小值，即最小值()1ln 12fa =+ 11分 当()1ln 102a +>，即1a e >时，()f x 无零点， 当()1ln 102a +=，即1a e =时，()f x 有一个零点， 当()1ln 102a +<，即10a e<<时，()f x 有2个零点 13分 综上可知，当1a e >时，()f x 无零点；当1a e =时，()f x 有一个零点；当10a e<<时，()f x 有2个零点 14分考点：1 函数求导；2 函数的单调性与导数的关系；3 分类讨论思想；4 解不等式；5 利用导数研究函数的极值；6 零点存在性定理。
2014年广东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2014年广东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知集合M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},则M∩N＝( )A.{0,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{3,5}2.(5分)已知复数z满足(3－4i)z＝25,则z＝( )A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.(5分)已知向量＝(1,2),＝(3,1),则－＝( )A.(－2,1)B.(2,－1)C.(2,0)D.(4,3)4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最大值等于( )A.7B.8C.10D.115.(5分)下列函数为奇函数的是( )A.2x－B.x3sinxC.2cosx＋1D.x2＋2x6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.207.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.(5分)若实数k满足0＜k＜5,则曲线－＝1与－＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1,z2,z3有如下命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1则真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)11.(5分)曲线y＝－5e x＋3在点(0,－2)处的切线方程为.12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.13.(5分)等比数列{an }的各项均为正数,且a1a5＝4,则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝.(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为.【几何证明选讲选做题】15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB＝2AE,AC与DE交于点F,则＝.四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求f(－θ).(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB＝1,BC＝PC＝2作如图2折叠；折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF ⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积.19.(14分)设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0,n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有＋＋…＋＜.20.(14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.21.(14分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x)＝f().2014年广东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知集合M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},则M∩N＝( )A.{0,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{3,5}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},∴M∩N＝{2,3},故选：B.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)已知复数z满足(3－4i)z＝25,则z＝( )A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解：∵满足(3－4i)z＝25,则z＝＝＝3＋4i,故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)已知向量＝(1,2),＝(3,1),则－＝( )A.(－2,1)B.(2,－1)C.(2,0)D.(4,3)【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可.【解答】解：∵向量＝(1,2),＝(3,1),∴－＝(2,－1)故选：B.【点评】本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最大值等于( )A.7B.8C.10D.11【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x＋y,得y＝－2x＋z,平移直线y＝－2x＋z,由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点B(4,2)时,直线y＝－2x＋z的截距最大,此时z最大,此时z＝2×4＋2＝10,故选：C.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.5.(5分)下列函数为奇函数的是( )A.2x－B.x3sinxC.2cosx＋1D.x2＋2x【分析】根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论.【解答】解：对于函数f(x)＝2x－,由于f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x),故此函数为奇函数.对于函数f(x)＝x3sinx,由于f(－x)＝－x3(－sinx)＝x3sinx＝f(x),故此函数为偶函数.对于函数f(x)＝2cosx＋1,由于f(－x)＝2cos(－x)＋1＝2cosx＋1＝f(x),故此函数为偶函数.对于函数f(x)＝x2＋2x,由于f(－x)＝(－x)2＋2－x＝x2＋2－x≠－f(x),且f(－x)≠f(x),故此函数为非奇非偶函数.故选：A.【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,属于基础题.6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.20【分析】根据系统抽样的定义,即可得到结论.【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本,∴样本数据间隔为1000÷40＝25.故选：C.【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用,比较基础.7.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤si nB”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可.【解答】解：由正弦定理可知⇒＝,∵△ABC中,∠A,∠B,∠C均小于180°,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,∴a,b,sinA,sinB都是正数,∴“a≤b”⇔“sinA≤sinB”.∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件.故选：A.【点评】本题考查三角形中,角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用,基本知识的考查.8.(5分)若实数k满足0＜k＜5,则曲线－＝1与－＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【分析】根据k的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及a,b,c的大小关系即可得到结论. 【解答】解：当0＜k＜5,则0＜5－k＜5,11＜16－k＜16,即曲线－＝1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2＝16,b2＝5－k,c2＝21－k,曲线－＝1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2＝16－k,b2＝5,c2＝21－k,即两个双曲线的焦距相等,故选：D.【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断a,b,c是解决本题的关键.9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论.【解答】解：在正方体中,若AB所在的直线为l2,CD所在的直线为l3,AE所在的直线为l1,若GD所在的直线为l4,此时l1∥l4,若BD所在的直线为l4,此时l1⊥l4,故l1与l4的位置关系不确定,故选：D.【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断,比较基础.10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1,z2,z3有如下命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据已知中ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假,可得答案.【解答】解：①(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)＝(z1＋z2＝(z1*z3)＋(z2*z3),正确；②z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1(＋)＝z1＋z1＝(z1*z2)＋(z1*z3),正确；③(z1*z2)*z3＝z1,z1*(z2*z3)＝z1*(z2)＝z1()＝z1z3,等式不成立,故错误；④z1*z2＝z1,z2*z1＝z2,等式不成立,故错误；综上所述,真命题的个数是2个,故选：B.【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了复数的运算性质,细心运算即可,属于基础题.二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)11.(5分)曲线y＝－5e x＋3在点(0,－2)处的切线方程为5x＋y＋2＝0. .【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可.【解答】解：y′＝－5e x,∴y′|x＝0＝－5.因此所求的切线方程为：y＋2＝－5x,即5x＋y＋2＝0.故答案为：5x＋y＋2＝0.【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程,属于基础题.12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.【分析】求得从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母、取到字母a的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解：从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,共有＝10种情况,取到字母a,共有＝4种情况,∴所求概率为＝.故答案为：.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.13.(5分)等比数列{an }的各项均为正数,且a1a5＝4,则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝ 5 .【分析】可先由等比数列的性质求出a3＝2,再根据性质化简log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝5log2a3,代入即可求出答案.【解答】解：log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2a1a2a3a4a5＝log2a35＝5log2a3.又等比数列{an }中,a1a5＝4,即a3＝2.故5log2a3＝5log22＝5.故选为：5.【点评】本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题,较易.(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2) .【分析】直接由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程,然后联立方程组求得答案.【解答】解：由2ρcos2θ＝sinθ,得：2ρ2cos2θ＝ρsinθ,即y＝2x2.由ρcosθ＝1,得x＝1.联立,解得：.∴曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).故答案为：(1,2).【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.【几何证明选讲选做题】15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB＝2AE,AC与DE交于点F,则＝3 .【分析】证明△CDF∽△AEF,可求.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形,EB＝2AE,∴AB∥CD,CD＝3AE,∴△CDF∽△AEF,∴＝＝3.故答案为：3.【点评】本题考查三角形相似的判断,考查学生的计算能力,属于基础题.四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求f(－θ).【分析】(1)通过函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝,直接求A的值；(2)利用函数的解析式,通过f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求出cosθ,利用两角差的正弦函数求f(－θ).【解答】解：(1)∵函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝,∴f()＝Asin(＋)＝Asin＝,∴.(2)由(1)可知：函数f(x)＝3sin(x＋),∴f(θ)－f(－θ)＝3sin(θ＋)－3sin(－θ＋)＝3[()－()]＝3•2sinθcos＝3sinθ＝,∴sinθ＝,∴cosθ＝,∴f(－θ)＝3sin()＝3sin()＝3cosθ＝.【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的解析式的求法,基本知识的考查.(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.【分析】(1)根据众数和极差的定义,即可得出；(2)根据画茎叶图的步骤,画图即可；(3)利用方差的计算公式,代入数据,计算即可.【解答】解：(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40－19＝21；(2)茎叶图如下：(3)年龄的平均数为：＝30.这20名工人年龄的方差为S2＝[(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋(40－30)2]＝12.6.【点评】本题考查了众数,极差,茎叶图,方差的基本定义,属于基础题.18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB＝1,BC＝PC＝2作如图2折叠；折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF ⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积.【分析】(1)要证CF⊥平面MDF,只需证CF⊥MD,且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD,得出平面PCD⊥平面ABCD,即证MD⊥平面PCD,得CF⊥MD；(2)求出△CDE的面积S△CDE ,对应三棱锥的高MD,计算它的体积VM－CDE.【解答】解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PCD, ∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD＝CD,MD⊂平面ABCD,MD⊥CD,∴MD⊥平面PCD,CF⊂平面PCD,∴CF⊥MD；又CF⊥MF,MD、MF⊂平面MDF,MD∩MF＝M,∴CF⊥平面MDF；(2)∵CF⊥平面MDF,∴CF⊥DF,又∵Rt△PCD中,DC＝1,PC＝2,∴∠P＝30°,∠PCD＝60°,∴∠CDF＝30°,CF＝CD＝；∵EF∥DC,∴＝,即＝,∴DE＝,∴PE＝,∴S△CDE＝CD•DE＝；MD＝＝＝,∴VM－CDE ＝S△CDE•MD＝××＝.【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题,解题时应结合图形,明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么,几何体的体积计算公式是什么,是中档题.19.(14分)设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0,n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有＋＋…＋＜.【分析】(1)本题可以用n＝1代入题中条件,利用S1＝a1求出a1的值；(2)利用an 与Sn的关系,将条件转化为an的方程,从而求出an；(3)利用放缩法,将所求的每一个因式进行裂项求和,即可得到本题结论. 【解答】解：(1)令n＝1得：,即.∴(S1＋3)(S1－2)＝0.∵S1＞0,∴S1＝2,即a1＝2.(2)由得：.∵an＞0(n∈N*),∴Sn＞0.∴.∴当n≥2时,,又∵a1＝2＝2×1,∴.(3)由(2)可知＝,∀n∈N*,＝＜＝(),当n＝1时,显然有＝＜；当n≥2时,＜＋＝－•＜所以,对一切正整数n,有.【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法,还用到了放缩法,计算量较大,有一定的思维难度,属于难题.20.(14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求得a和b,则椭圆的方可得.(2)设出切线的方程,带入椭圆方程,整理后利用△＝0,整理出关于k的一元二次方程,利用韦达定理表示出k1•k2,进而取得x和y的关系式,即P点的轨迹方程.【解答】解：(1)依题意知,求得a＝3,b＝2,∴椭圆的方程为＋＝1.(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P的坐标为(±3,±2),符合题意,②当两条切线斜率均存在时,设过点P(x0,y)的切线为y＝k(x－x)＋y,＋＝＋＝1,整理得(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx)x＋9[(y－kx)2－4]＝0,∴△＝[18k(y0－kx)]2－4(9k2＋4)×9[(y－kx)2－4]＝0,整理得(x02－9)k2－2x×y×k＋(y2－4)＝0,∴－1＝k1•k2＝＝－1,∴x02＋y2＝13.把点(±3,±2)代入亦成立,∴点P的轨迹方程为：x2＋y2＝13.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程,轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程,最重要的是建立模型求得x和y关系.21.(14分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x)＝f().【分析】对第(1)问,先求导,再通过一元二次方程的实根讨论单调性；对第(2)问,可将f(x0)＝f()转化为f(x)－f()＝0,即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理.【解答】解：(1)由f(x)得f′(x)＝x2＋2x＋a,令f′(x)＝0,即x2＋2x＋a＝0,判别式△＝4－4a,①当△≤0即a≥1时,f′(x)≥0,则f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数.②当△＞0即a＜1时,方程f′(x)＝0的两根为,即, 当x∈(－∞,－1－)时,f′(x)＞0,则f(x)为增函数；当时,f′(x)＜0,则f(x)为减函数；当,＋∞)时,f′(x)＞0,则f(x)为增函数.综合①、②知,a≥1时,f(x)的单调递增区间为(－∞,＋∞),a＜1时,f(x)的单调递增区间为(－∞,和,＋∞),f(x)的单调递减区间为.(2)∵＝＝＝＝＝.∴若存在∪,使得,即,则关于x的方程4x2＋14x＋7＋12a＝0在∪内必有实数解.∵a＜0,∴△＝142－16(7＋12a)＝4(21－48a)＞0,方程4x2＋14x＋7＋12a＝0的两根为,即,＞0,∴,∵x依题意有,且,即,且,∴49＜21－48a＜121,且21－48a≠81,得,且.∴当∪时,存在唯一的∪,使得成立；当∪∪{}时,不存在∪,使得成立.【点评】1.求含参数的函数的单调区间时,导函数的符号往往难以确定,如果受到参数的影响,应对参数进行讨论,讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定.如本题中导函数为一元二次函数,就有必要考虑对应方程中的判别式△.2.对于存在性问题,一般先假设所判断的问题成立,再由假设去推导,若求得符合题意的结果,则存在；若得出矛盾,则不存在.。
2014年高三文科数学三模试题及参考答案
高三年级第三次高考模拟测试试题数学（文科）（2014.05）考试时间：120分钟 分值：150分参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}4,3,2,1=U ，集合{}4,2,1=A ，{}4,3,2=B ，则=)(B A C U （ ）A. {}3,1B. {}4,2C.{}4,3,2,1D. ∅2.若复数i a a a )1()23(2-++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B.2 C.1或2 D.1-3. 下列函数中，偶函数是A ．x x f tan )(=B ．x x x f -+=22)(C ．x x f =)(D ．3)(x x f =4.已知b a 、均为单位向量，它们的夹角为060，那么=-b a 2（ ）A.7B.10C.3D.3 5. 已知)0(31cos πϕϕ<<-=，则=ϕ2sin （ ）A.922 B.922- C.924 D.924-6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的 值是：A ． 2B ． 3C ． 4D ． 57. .已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=VA ．π12B ．π64C ．π18D ． π168. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 A．y = B ．y x = C．y = D ． 32y x =±9. 圆()221x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（ ）A ．2B ．2- C． D ．210. 对于定义为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线221:1:,:m kx y l m kx y l +=+=，使得对任意D x ∈，都有21)(m kx x f m kx +≤≤+恒成立，则称函数))((D x x f ∈有一个宽度为d 的通道，给出下列函数○1xx f 1)(=，○2x x f sin )(=，○31)(2-=x x f ，○4 1)(3+=x x f ，其中在区间),1[+∞上通道宽度可以是1的函数是（ ）A.○1 ○3 B.○2 ○3 C.○2 ○4 D. ○1 ○4 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.11.变量x y 、满足线性约束条件222200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为 ．12.曲线21x y xe x =++在点(01)，处的切线方程为 ． 13.定义在R 上的函数()f x 满足3l o g (1)0()(1)(2)0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2014)f = ．14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy 中圆C的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为 。
2014年广州市普通高中毕业班综合测试(三)-文科数学
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（三）数学（文科）说明：1．本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．2．本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．1．在ABC ∆中，C =A +2π，sin A （1）求sin C 的值；（2）若BC =6，求ABC ∆的面积．2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，02πϕ<<)的最小正周期为π，且其图象经过点(,0)3π.（1）求函数f (x )的解析式； （2）若函数g (x )＝()212x f π+，α，β∈),0(π，且g (α)＝1，g (β)＝324，求g (α－β)的值．3．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x ) (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6．（1）求A 的值；（2）将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域．4．如图，某测量人员为了测量珠江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，他在珠江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，CD＝CE＝100m．（1）求△CDE的面积；（2）求A，B之间的距离．5．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以（m，n）作为点P的坐标，求点P落在区域0,50x yx y-≥⎧⎨+-<⎩内的概率．6．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其质量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得质量数据的茎叶图如图所示.（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品质量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的质量较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的质量之差不超过2克的概率.乙甲743112985241011127．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率；（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90％的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++.8．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑.）9．如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，4===CA BC PB ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ； （3）求三棱锥ABE F -的体积.10．如图，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都是2，AB =4. （1）求证：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求点P 到平面QAD 的距离.QBCPAD11．等腰梯形PDCB 中，DC ∥PB ，PB =3DC =3，PD =2，DA ⊥PB ，垂足为A ，将△P AD 沿AD 折起，使得P A ⊥AB ，得到四棱锥P -ABCD ．（1）求证：平面P AD ⊥平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥P -ABCD 分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比ABC M ACD PM V V --=45时，求证：PD //平面AMC ．12．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，侧面11AAC C 是正方形，E 是1A B 的中点，F 是棱1CC 上的点．（1）当E ABF V -=11AAC C 的边长； （2）当1A F FB +最小时，求证：1AE A FB ⊥平面.13．数列}{},{n n b a 满足：*112,2,2()n n n n a a a n b a n n +==+=-+∈N . （1）求数列}{n b 的通项公式；（2）设数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为A n 、B n ，问是否存在实数λ，使得}{nB A nn λ+为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.14．设数列{}n a 满足12a =,248a a +=，且对任意*n ∈N ，函数1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅满足()02f π'=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122nn n a b a =+（）,求数列{}n b 的前n 项和n S .15．根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为122008,,,,,n x x x x ；122008,,,,,n y y y y ．（1）求数列}{n x 的通项公式n x ；（2）求y 1和y 2，写出y n+1与y n 的关系式，并推导求出数列{y n }的一个通项公式y n ； （3）求*1122(,2008)n n n z x y x y x y n n =+++∈≤N ．16．已知函数a R x a x f x,(21)(∈+=为常数），P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是函数y=f (x )图象上的两点.当线段P 1P 2的中点P 的横坐标为21时，P 的纵坐标恒为41.（1）求y=f (x )的解析式；（2）若数列{a n }的通项公式为*00()(,1,2,,)n na f n n n n =∈=N ，求数列{a n }的前n 0和0n S .17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 2a x c=：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．18．如图，已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，圆()222:F x c y a-+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与 圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为C 的标准方程．19．已知动圆 C 过定点M(0,2)，且在 x 轴上截得弦长为 4.设该动圆圆心的轨迹为曲线 E. （1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 为直线 l ：x －y －2 = 0 上任意一点，过 A 作曲线 C 的切线，切点分别为 P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标．20．如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |． （1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB||QA|-=？ 若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作2243O :x y +=图（6）y xBOE FD的两条切线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，求证：22113m n +为定值．21．已知函数32()3f x ax bx x =+-()a b ∈R 、在点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若对于区间[2,2]-上任意两个自变量的值1x ，2x 都有12()()f x f x c -≤，求实数c 的最小值；（3）若过点(2,)M m (2)m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．22．已知函数()ln f x ax x =-，ln ()xg x x=，它们的定义域都是(0,]e ．（2.718e ≈）（1）当1a =时，求函数()f x 的最小值； （2）当1a =时，求证：17()()27f mg n >+对一切,(0,]m n e ∈恒成立； （3）是否存在实数a ，使得()f x 的最小值是3？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．23．已知函数2()ln ,f x ax bx x =+-,a b ∈R ．（1）设0a ≥,求()f x 的单调区间；（2）设0a >，且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小．24．已知函数()ln f x x =，()g x x '=且(2)2g =．（1）设函数()()()F x ag x f x =-（其中0a >），若()F x 没有零点，求实数a 的取值范围； （2）若0p q >>，总有[()()]()()m g p g q pf p qf q ->-成立，求实数m 的取值范围．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（三）参考答案1．（1）因为在ABC ∆中，C =A +2π， 所以A为锐角，且cos A ===． 所以sin C =sin(A +2π)=cosA=3（2）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，所以sin sin BC CAB A===因为在ABC ∆中，C =A +2π， 所以C为钝角，且cos C ===． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以1sin sin()sin cos cos sin (33333B AC A C A C =+=+=-+=． 所以ABC ∆的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=2．（1）因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)． 因为函数f (x )的图象经过点(,0)3π，所以3sin (2)3πϕ⨯+＝0，得23πϕ+＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－23π，k ∈Z . 由02πϕ<<，得φ＝π3.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin (2)3x π+.（2）依题意有g (x )＝3sin [2()]2123x ππ⨯++＝)2sin(3π+x =3cos x . 由g (α)＝3cos α＝1，得cos α＝13，由g (β)＝3cos β＝324，得cos β＝24.因为α，β∈),0(π，所以sin α＝223，sin β＝144.所以g (α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝3×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯4143224231＝2＋474.3．（1）f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 212sin 23＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx . 因为f (x )的最大值为6，且A >0，所以A ＝6. （2）由（1）知f (x )＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx . 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6122ππx ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 的图象．因此g (x )＝6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+34πx ． 因为x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π，所以4x ＋π3∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,3ππ，≤-21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+34πx 1≤，所以3-≤g (x )6≤． 所以g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡245,0π上的值域为[－3,6]．4．（1）在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°．所以△CDE 的面积为S △CDE ＝12CD ⨯CE ⨯sin150°＝12⨯100⨯100⨯sin30°＝2500(m 2)．（2）连结AB ．在Rt △ACD 中，AC ＝CD tan ∠ADC ＝100⨯tan 60°＝1003(m)． 在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°．由正弦定理得BC sin ∠CEB ＝CEsin ∠CBE ，所以0sin 100sin 45sin sin 30CE CEB BC CBE ∠==∠＝1002(m)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ， 又cos ∠ACB ＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24， 所以AB 2＝(1003)2＋(1002)2－2⨯1003⨯1002⨯6＋24＝10000(2－3)． 所以AB ＝1002－3(m)，所以A ，B 之间的距离为1002－ 3 m ．5．（1）所有基本事件（a ，b ）有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），共12种.因为关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根，所以△=4a 2-4b 2≥0，即a 2≥b 2． 记“关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0有实根的概率”为事件A ， 则事件A 包含的基本事件有：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），共6种．所以P(A)=61122=为所求． （2）所有基本事件（m ，n ）有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16种． 记“点P 落在区域0,50x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内”为事件B ，则事件B 包含的基本事件有：（1,1），（2,1），（2，2），（3,1），共4种． 所以P(B)=41164=为所求．6．（1）由茎叶图可知，甲车间样品的质量分别是107,111,111,113,114,122，乙车间样品的质量分别是108,109,110,112,115,124.()11071111111131141221136x =+++++=甲， ()11081091101121151241136x =+++++=乙.()()()()()()222222211071131111131111131131131141131221136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲21=， ()()()()()()222222211081131091131101131121131151131241136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦乙883=.因为x x =乙甲，22S S <乙甲，所以甲车间的产品的质量较稳定. （2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，所有的基本事件有：(108,109),(108,110)(108,112),(108,115),(108,124)，(109,110),(109,112),(109,115),(109,124)，(110,112)， (110,115),(110,124)，(112,115),(112,124)，(115,124)，共15种.设事件A 表示“所抽取的两件样品的质量之差不超过2克”，则事件A 包含的基本事件有：(108,109),(108,110)，(109,110)，(110,112)，共4种.所以()415P A =为所求. 7．（1）由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名. 在样本中日平均生产件数不足60件的工人中， “25周岁以上组”工人有600.053⨯=（人），记为A 1，A 2，A 3； “25周岁以下组”工人有400.052⨯=（人），记为B 1，B 2. 从中随机抽取2名工人，所有可能的结果有： （A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），共10种. 其中至少有1名“25周岁以下组”工人的结果有： （A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），共7种.所以所求的概率为710. （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中， “25周岁以上组”中的生产能手有600.2515⨯=（人）， “25周岁以下组”中的生产能手有400.37515⨯=（人）. 据此可得22⨯列联表如下：假设0H ：生产能手与工人所在的年龄组没有关系. 将22⨯列联表中的数据代入公式，计算得222()()()()(100(15251545)251.79604030701)4n ad bc K a b c d a c b d ⨯-==+++⨯-⨯=≈+⨯⨯⨯.当0H 成立时，2( 2.706)0.100P K ≥≈.因为1.79 2.706<，所以没有90％的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 8．（1）设“选取的2组数据恰好是不相邻2天数据”为事件A ，所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为12月份的日期数）有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共有10种．事件A 包括的基本事件有：（1,3），（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,5），共有6种．所以53106)(==A P 为所求． （2）由数据，求得11131225302612,2733x y ++++====． 由公式，求得ˆˆˆ2.5,3ba y bx ==-=-． 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.53yx =-． （3）当x =10时，ˆ 2.510322,222312y=⨯-=-=<． 同理，当x =8时，ˆ 2.58317,171612y=⨯-=-=<． 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． 9．（1）∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥.由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥. 又PBCB B =，∴AC ⊥平面PBC .又⊂BE 平面PBC ，∴AC BE ⊥.BC PB = ，E 为PC 中点，∴BE PC ⊥.又PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PCAC C =，∴BE ⊥平面PAC .（2）取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM . ∵E 为PC 中点，2FA FP =，∴//EF CG .∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ，∴//CG 平面BEF . 同理可证//GM 平面BEF . 又CGGM G =，∴平面//CMG 平面BEF .又CD ⊂平面CDG ，∴//CD 平面BEF . （3）由（1）知BE ⊥平面PAC ， 所以BE 是三棱锥B AEF -的高.由已知可得22=BE ，238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF . ∴三棱锥ABE F -的体积为93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEF B ABE F .10．（1）取AD 的中点M ，连结PM ，QM . 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM ，从而AD ⊥平面PQM . 又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD .同理PQ ⊥AB .又AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， AD AB A =，所以PQ ⊥平面ABCD . （2）连结OM ，则PQ AB OM 21221===. 所以∠PMQ ＝90°，即PM ⊥MQ .由（1）知AD ⊥PM ，所以PM ⊥平面QAD . 所以PM 的长是点P 到平面QAD 的距离.在Rt △PMO 中，22222222=+=+=OM PO PM .所以点P 到平面QAD 的距离为22.11．（1）因为在等腰梯形PDCB 中，DA ⊥PB ， 所以在四棱锥P －ABCD 中，DA ⊥AB ，DA ⊥PA ， 又PA ⊥AB ，且DC ∥AB ，所以DC ⊥PA ，DC ⊥DA ，QBCPADOMAB PMN又DA ⊂ 平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，PA∩DA = A ， 所以DC ⊥平面PAD ．又DC ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）因为DA ⊥PA ，PA ⊥AB ，,,DAAB A DA AB ABCD =⊂平面，所以PA ⊥平面ABCD ，又PA ⊂ 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ． 过M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，则MN ⊥平面ABCD ．在原等腰梯形PDCB 中，DC ∥PB ，PB = 3DC = 3，DA ⊥PB ， ∴PA = 1，AB = 2，1AD ==．设MN = h ，则1133M ABC ABC V S h h -∆=⋅=，1132P ABCD ABCD V S PA -∆=⋅=． ∴123PM ACD P ABCD M ABC hV V V ---=-=-．∵ABC M ACD PM V V --=45，∴152343h h -=，解得23h =． 在△PAB 中，23BM MN BP PA ==，∴21,33BM BP MP BP ==． 在梯形ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，连结OM ． 易知△AOB ∽△DOC ，∴12DO DC OB AB ==． 故DO PMOB MB=，所以在平面PBD 中，有PD ∥MO ． 又PD ⊄平面AMC ，MO ⊂平面AMC ，所以PD ∥平面AMC ．12．（1）设正方形AA 1C 1C 的边长为x ， 由于E 是1A B 的中点，△EAB 的面积为定值．1CC ∥平面1AA B ，∴点F 到平面EAB 的距离为定值，即点C 到平面1AA B 的距离为定值． 又E ABF F ABE V V --=，且13F ABE ABE V S h -∆=⋅即1132223x x x ⋅⋅⋅⋅=，38,2x x ∴==，所以正方形11AAC C 的边长为2．（2）将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ． 连结B A 1交C C 1于点F ，此时点F 使得BF F A +1最小. 此时FC 平行且等于A A 1的一半，F ∴为C C 1的中点. 取AB 中点O ，连接OE,EF ，OC ，OEFC ∴为平行四边形， △ABC 为正三角形，∴OC AB ⊥. 又1AA ⊥平面ABC ，1OC AA ∴⊥. 因为1ABAA A =，OC ∴⊥平面1A AB .AE ⊂平面1A AB ，OC AE ∴⊥.又EF ∥OC ，AE EF ∴⊥.由于E 是1A B 的中点，所以1AE A B ⊥.又1A B ⊂平面1A FB ，EF ⊂平面1A FB ，1A B EF E =，所以1AE A FB ⊥平面.13．（1）由2,2-+=+-=n b a n a b n n n n 得.∵,21n a a n n +=+∴n n n n b b n b n b 21,22]2)1([211=-+=-++++即. ∴}{n b 是首项为21,3111公比为=+=+a b n 是等比数列.所以1)21(3-=n n b .（2）∵,2-+=n b a n n ∴2)3(-+=n n B A n n .又),211(6211)211(3n n n B -=--=∴n n n B n B A n n n 2)3()1(-++=+λλnn n )211)(1(623-++-=λ. 所以当且仅当}{,1nB A nnλλ+-=时为等差数列. 14．（1）因为1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅，所以1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（）.所以121()02n n n n f a a a a π+++'=-+-=.所以122n n n a a a ++=+，{}n a ∴是等差数列.因为12a =，248a a +=，所以34a =，1d =，2-111n a n n ∴=+⋅=+（）. （2）因为111122121222n n n a n nb a n n +=+=++=++（）（）（）， 所以111221221212n n n n S -++=+-（）（）211313122n n n n n n =++-=++-（）.15．（1）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中，， ∴*12(1)21(,2008)n x n n n n =+-=-∈≤N ． （2）由框图，y 1=2，y 2=8，知数列{y n }中，y n +1=3y n +2． ∴)1(311+=++n n y y ，∴1113,1 3.1n n y y y ++=+=+∴数列{y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴n y +1=3·3n －1=3n ，∴n y =3n －1（*,2008n n ∈≤N ）．（3）z n =n n y x y x y x +++ 2211=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n －1）（3n －1） =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n －[1+3+…+（2n －1）] 记S n =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n ，① 则3S n =1×32+3×33+…+（2n －1）×3n +1 ② ①－②，得－2S n =3+2·32+2·33+…+2·3n －（2n －1）·3n +1 =2（3+32+…+3n ）－3－（2n －1）·3n +1=2×13·)12(331)31(3+-----n n n =113·)12(63++---n n n 63·)1(21--=+n n∴.33·)1(1+-=+n n n S 又1+3+…+（2n －1）=n 2， ∴12*(1)33(,2008)n n z n n n n +=-⋅+-∈≤N .16．（1）由)(x f y =的图象上得,21,212121+=+=x x a y a y 两式相加得21212121+++=x x a a ，化简得421=+xx a 恒成立. ,4,121=∴=+a x x ∴.241)(+=xx f （2）),1,,3,2,1(2120000-==-+n k n k n n k 000000()()11,()(),242k n k f f k n k n n f f n n -+-∴=+=由已知条件得即 00000001231()()()()(),n n nS f f f f f n n n n n -∴=+++++000000000012321()()()()()(),:n n n nS f f f f f f n n n n n n --∴=++++++两式相加得000000000000000112222112[()()][()()][()()][()()]2()n n n n n nS f f f f f f f f f n n n n n n n n n ----=+++++++++0111112(1)(1)2,22226f n =++++=-+⋅121300-=∴n S n .17．（1）因为22c =，且12c a =，所以1,2,c a b ==== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设点M 的坐标为()00,x y ，则2200143x y +=．因为()11,0F -，24a c=，所以直线l 的方程为4x =． 由于圆M 与l 由公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径R ．因为()22221001R MF x y ==++，所以()()22200041x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以233101504x x -+-≥，解得0423x ≤≤． 当043x =时，0y =()12max122MF F S =⨯=． 18．（1）∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把（—c,0）代入圆F 的方程，得224c a =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==． （2）在方程()222x c y a -+=中， 令22220x y a c b ==-=得， 可知点B 为椭圆的上顶点． 由（1）知12c a =，得2,a c b ===，所以()0B .在圆F 的方程中，令0y =，可得点D 的坐标为()3,0c ，则点()3,0A c -．于是可得直线AB的斜率33AB k c ==，而直线FB的斜率FB k c==—Gy xBOAEFD1AB FD k k ⋅=-，∴直线AB 与圆F 相切．（3）DF 是BDG ∆的中线，22BDG BFD S S DF OB c ∆∆∴==⋅==22c ∴=，从而得28a =，26b =，∴椭圆C 的标准方程为22186x y +=． 19．（1）设动圆圆心坐标为 C (x ,y )， 根据题意得x 2 + (y －2) 2 = y 2 + 4化简得 x 2 = 4y ，所以曲线 E 的方程为x 2 = 4y ． （2）设直线 PQ 的方程为 y = kx + b由 ⎩⎨⎧ x 2= 4yy = kx + b消去 y 得 x 2－4kx －4b = 0 设 P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)，则 x 1 + x 2 = 4k ，x 1x 2 = －4b ，且△ = 16k 2 + 16b ． 以点 P 为切点的切线的斜率为y’ | x =x 1 = 12 x 1，其切线方程为 y －y 1 = 12 x 1 (x －x 1)，即 y = 12 x 1x －14 x 12 ⇒ x 12－2x 1x + 4y = 0．由切线过 A (x 0,y 0) 得 x 12－2x 1x 0 + 4y 0 = 0， 同理 x 22－2x 2x 0 + 4y 0 = 0．∴x 1、x 2 是方程 x 2－2x 0 x + 4y 0 = 0的两个解． ∴x 1 + x 2 = 2x 0，x 1x 2 = 4y 0．所以 ⎩⎨⎧ x 0 =x 1 + x 22= 2k y 0 = x 1x 24 = －b所以 A (2k ,－b ) ．由 A (x 0,y 0) 在直线 x －y －2 = 0 上， 则 2k + b －2 = 0，即 b = 2－2k ．代入 △ = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 32－32k = 16 (k －1) 2 + 16 > 0． ∴| PQ | = 1 + k 2 | x 1－x 2 | = 4 1 + k 2 k 2 + b ． A (2k ,－b ) 到直线 PQ 的距离为 d = | 2k 2 + 2b |k 2 + 1 ，∴S △APQ = 12| PQ | d = 4 | k 2 + b | k 2 + b = 4 (k 2+ b ) 32= 4 (k 2－2k + 2) 32 = 4 [(k －1) 2+ 1] 32 ．∴当 k = 1 时，S △APQ 最小，其最小值为 4，此时点 A 的坐标为 (2,0) ．20．（1）依题意知，椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0) ．设椭圆E 的方程为14222=+by x ．由椭圆的对称性知|OC |＝|OB |，又∵0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |．∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形． ∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ． 将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ，∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ． （2）设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个． （3）设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥,∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)， 其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上，∴M 、N 坐标也满足方程2243O :x y +=----⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=． 令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，∴114433x ,y m n ==． 又点P 在椭圆E 上，∴22443433()()m n +=，即2211334m n +=为定值． 21．（1）2()323f x ax bx '=+-．根据题意，得(1)2(1)0f f =-⎧⎨'=⎩，即323230a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．所以3()3f x x x =-．（2）令()0f x '=，即2330x -=．得1x =-或1x =．因为(1)2f -=，(1)2f =-，所以当[2,2]x ∈-时，max ()2f x =，min ()2f x =-． 对于区间[2,2]-上任意两个自变量的值1x ，2x ，都有12max min ()()()()4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥，所以c 的最小值为4．（3）因为点(2,)M m (2)m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为00(,)x y ． 则30003y x x =-．因为200()33f x x '=-，所以切线的斜率为2033x -， 则曲线()y f x =在00(,)x y 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-， 即2300(33)2y x x x =--．又切线过点(2,)M m ，所以2300(33)22m x x =-⨯-，即32002660x x m -++=． 因为过点(2,)M m (2)m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，所以关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解． 所以函数32()266g x x x m =-++有三个不同的零点． 则2()612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．则(0)0(2)0g g >⎧⎨<⎩，即6020m m +>⎧⎨-+<⎩，解得62m -<<．22．（1）当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=． 因为()f x 定义域是(0,]e ，当1x =时()0f x '=，当(0,1)x ∈时()0f x '<， 当(1,]x e ∈ 时()0f x '>，所以当1x =时，()f x 有最小值(1)1f =． （2）由（1）知，在1a =且(0,]x e ∈时，有()1f m ≥．又因为(0,]x e ∈，21ln ()0xg x x-'=≥，所以()g x 在区间(0,]e 上为增函数， 1110()() 2.727g x g e e ≤=<=，所以当(0,]n e ∈时，171017()1272727g n +<+=． 因为()1f m ≥，所以17()()27f mg n >+对一切,(0,]m n e ∈恒成立．（3）假设存在实数a ，使得()f x 的最小值是3，11()ax f x a x x-'=-=．当1a e≤时，因为(0,]x e ∈，所以1ax ≤，()0f x '≤，所以()f x 在(0,]e 上为减函数．所以当x e =时()f x 取最小值()13f e ae =-=，此时4a e=，矛盾，故舍去． 当1a e >时，令'()0f x <，得10x a <<；令'()0f x >，得1x e a<≤．所以()f x 在1(0,]a 上为减函数，在1(,]e a 上为增函数．所以当1x a =时，()f x 取最小值11()1ln 3f a a=-=，此时2a e =．所以假设成立，所以存在2a e =，使得()f x 的最小值是3．23．（1）由2()ln ,(0,)f x ax bx x x =+-∈+∞得221()ax bx f x x+-'=．①当0a =，1()bx f x x-'=． （ⅰ）若0b ≤，因为0x >，所以()0f x '<恒成立， 所以函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞． （ⅱ）若0b >，当10x b<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减． 当1x b>时， ()0f x '>，函数()f x 单调递增． 所以函数()f x 单调递减区间是1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞．②当0a >时，令()0f x '=，得2210ax bx +-=．由280b a ∆=+>得1x =，2x =．显然10x <，20x >．当20x x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．所以函数()f x 单调递减区间是(0,4b a -，单调递增区间是()4b a-+∞.综上所述，当0a =，0b ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞；当0a =，0b >时，函数()f x 单调递减区间是1(0,)b ，单调递增区间是1(,)b+∞；当0a >时，函数()f x 单调递减区间是，单调递增区间是)+∞．（2）由题意，函数()f x 在处取得最小值，由（1）知4b a -是()f x 的唯一极小值点，所以14b a-+=，整理得21a b +=即12b a =-.ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-．令()ln 24g x x x =+-，则14()x g x x-'=．令()0g x '=，得14x =．当104x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当14x >时，()0g x '<，()g x 单调递减． 所以当14x =时，()g x 最大．所以11()()1ln 1ln 4044g x g ≤===-<．所以()0g a <，所以ln 240a a +-<，即ln (2)a b <-． 24．（1）由()g x x '=，可设21()2g x x c =+，又由(2)2g =，解得0c =，所以21()2g x x =.所以2()ln 2a F x x x =-，211'()(ax a F x ax x x x x x -=-==．因为0a >，()F x 的定义域为(0,)+∞，所以当时x >()0F x '>，0x <<时，()0F x '<．所以()F x 在是减函数，在)+∞上是增函数． 易知0x +→时，()F x →+∞；x →+∞时，()F x →+∞．因为()F x 没有零点，所以()F x 在(0,)+∞上的最小值是11ln 022F a =+>， 解得1a e >．所以a 的取值范围为1(,)e+∞． （2）原问题即0p q >>时，()()()()mg p pf p mg q qf q ->-恒成立． 令2()()()ln 2m h x mg x xf x x x x =-=-，则()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数， 所以'()ln 10h x mx x =--≥在(0,)+∞上恒成立，即ln 1x m x+≥在(0,)+∞上恒成立． 令ln 1()x G x x +=，则2ln '()xG x x=-，所以当(0,1)x ∈时，()0G x '>；(1,),()0x G x '∈+∞<． 所以()G x 的最大值为(1)1G =，所以m 的取值范围为[1,)+∞.。
2014广州一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：1．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞ 2．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．2±C ．D ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为（ ） A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C4．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++= 5．已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 6．函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）7．已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ） A ．MN B ．M N C ．M D ．N8．任取实数a ，b ∈[]1,1-，则a ，b 满足22a b -≤的概率为（ ） A ．18 B ．14 C ．34 D ．789．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是（ ） A ．=a b B ．ab C ．⊥a b D ．λ=a b ()0λ>10．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a ++π-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）（一）必做题（11～13题）11．执行如图1的程序框图，若输入=3k ，则输出S 的值为 ．12．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 ．13．由空间向量()1,2,3=a ，()1,1,1=-b 构成的向量集合{},A k k ==+∈Z x x a b ，则向量x 的模x 的最小 值为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB =a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过保质期． （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率．侧（左）视图图2俯视图P图317．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （1）求实数a 的值；（2）求函数()x f 的最小正周期与单调递增区间．18．（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =．（1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求几何体ABFED 的体积． 1D ABCDEF1A1B1C 图419．（本小题满分14分） 已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．（注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值．）20．（本小题满分14分） 已知函数()32693f x x x x =-+-．（1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：CABAC ABDBC二、填空题：11. 7 12. 4 13.14. 1-或5- 15.2316．解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件A ，从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法．因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件A 包含4种情形．则()4263P A ==． 所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为23． （2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 表示第一瓶抽到的是x ，第二瓶抽到的是y ，则),(y x 是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ，则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,1，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,1，()3,2，()3,4，()3,a ，()3,b ，()4,1，()4,2，()4,3，()4,a ，()4,b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),a b ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),b a ．共30种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),a b ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),b a ．共18种基本事件．则183()305P B ==．所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为35． 解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ，则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,4，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共15种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共9种基本事件．则93()155P B ==． 所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为35． 17．解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即022a +=．解得a =（2）由（1）得，()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以函数()x f 的最小正周期为2π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π2π232k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增，即5ππ2π2π66k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增．所以函数()x f 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． 18．（1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥． 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ， 所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF AC ⊥．（2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FG BH ，则FGAE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面． 因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===，所以 1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． （3）解：因为四边形EFBD 是直角梯形，所以几何体ABFED 为四棱锥A EFBD -．因为()211322212EFBDa a BF DE BD S a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===，点A 到平面EFBD的距离为122h AC a ==，所以231153336A EFBD EFBD V S h a -===．故几何体ABFED 的体积为3536a ．19．解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+． 所以62n n nb a n =-22n n =-． （2）由（1）知()()2228n n b a n n n -=--+()(24822n n n n ⎡⎤⎡⎤=--=+-+⎣⎦⎣⎦，因为526<+<，所以当5n ≤时，n n a b >，当5n >时，n n b a >．所以{}max ,n n n c a b =228,5,2, 5.n n n n n +≤⎧=⎨->⎩当5n ≤时，123n n S c c c c =++++123n a a a a =++++()10121428n =+++++()10282n n ++=⨯29n n =+．1DABCDEF 1A1B1C 1DABCD EF 1A1B 1C G H当5n >时，123n n S c c c c =++++()()12567n a a a b b b =+++++++()()()()()222225956267278282n n ⎡⎤=+⨯+-⨯+-⨯+-⨯++-⨯⎣⎦()()2222706782678n n ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦()()()()22222222265701231234522n n n +-⎡⎤=+++++-++++-⎢⎥⎣⎦()()()()1217055656n n n n n ++⎡⎤=+--+-⎢⎥⎣⎦3211545326n n n =--+．综上可知，n S 2329,5,11545,5.326n n n n n n n ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩20．解：（1）因为()32693f x x x x =-+-，所以()23129f x x x '=-+()()313x x =--． 令'()0f x =，可得1x =或3x =．则'(),()f x f x 在R 上的变化情况为：所以当1x =时，函数()f x 有极大值为1，当3x =时，函数()f x 有极小值为3-．（2）假设函数()f x 在()3,+∞上存在“域同区间”[],s t ()3s t <<，由（1）知函数()f x 在()3,+∞上单调递增．所以()(),.f s s f t t =⎧⎪⎨=⎪⎩即3232693,693.s s s s t t t t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩也就是方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根．设32()683g x x x x =-+-()3x >，则2()3128g x x x '=-+．令()g x '0=，解得123x =-，223x =>．当23x x <<时，()g x '0<，当2x x >时，()g x '0>，所以函数()g x 在区间()23,x 上单调递减，在区间()2,x+∞上单调递增．因为()3 60g =-<，()()230g x g <<，()5120g =>，所以函数()g x 在区间()3,+∞上只有一个零点．这与方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x 在()3,+∞上不存在“域同区间”．21．（1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22 4.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =． （2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ，220PF QF =，5⎛⎫422x y 4∴2000020*******PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．∴直线PQ 与直线OQ 斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，由（2）知()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩．即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦，将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上． 证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩ 消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩ 设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④，因为点H 在直线5⎛⎫ ①② ③。
广州市2014届高三毕业班综合测试(一)(文数)
2014届广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科） 2014.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++= ()*n ∈N ． 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A.(),1-∞-B.(),1-∞C.()1,-+∞D.()1,+∞ 2.已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A.2-B.2±C.D.2 3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则cb为（ ） A.2sin C B.2cos B C.2sin B D.2cos C 4.圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A.()()22211x y -+-= B.()()22121x y ++-= C.()()22211x y ++-= D.()()22121x y -++=5.已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.26.函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）7.已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ） A.M N B.M N C.M D.N 8.任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足22a b -≤的概率为（ ）A.18 B.14 C.34 D.789.设a 、b是两个非零向量，则使a b a b ⋅=⋅ 成立的一个必要非充分的条件是（ ）A.a b =B.a b ⊥C.()0a b λλ=>D.//a b10.在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a π++-=，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.1009第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分） 11.执行如图1所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N*∈的值为 .12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是.图213.由空间向量()1,2,3a = ，()1,1,1b =- 构成的向量集合{},A x x a kb k Z ==+∈，则向量x 的模x 的最小值为 .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A 、B 两点，若AB =a 的值为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =则PEPD的值为 .图4D 1C 1B 1A 1FE DCBA三、解答题 （本大题共6小题，满分80分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过了保质期. （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率.17.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求实数a 的值；（2）设()()22g x f x =-⎡⎤⎣⎦，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间.18.（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =. （1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积.19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.）20.（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-.（1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）已知双曲线()222:104x y E a a -=>的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅= .（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上.参考答案一选择题：共10小题，每小题5分，满分50分。
2014年广州市普通高中毕业班综合测试(文科)(二)
试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2014．4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合A B I的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A ．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是图1俯视图侧视图正视图 A ．16 B ．13 C ．12D ．38 6．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14 B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A．3 B．6 C ．13 D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表2H FE DC BA 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分 解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分 两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名.…………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：M O H F E D C B A{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分OHFEDCBA ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =I , ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =I ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ， 在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅L 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-L ，……………11分 两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=L ()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦L . ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时,12x x +≥=当且仅当12x x=,即x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。
2014广州二模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】
图1俯视图侧视图正视图2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）一、选择题：1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是（ ）A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2 与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为（ ）ABC．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ ） ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为（ ） A ．257 B ．256二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12．已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为 参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数学成绩, 制成表2所示的频率分布表.（1）求a ，b ，n 的值；（2）若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.HFEDC BA18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ；（2）求证：AB ⊥平面BCF ；（3）求五面体ABCDEF 的体积.19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R . （1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大值. （参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828）21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T .（1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准11．()1,2-12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π.…………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，…………34x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭.…………4分 ∴ 函数()f x的值域为⎡⎣.…………5分 （2）解法1：∵()12f θ=142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.…………6分，∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.…………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………9分，212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………11分，212=-⨯⎝⎭34=.……12分 解法2：∵()12f θ=142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.………61cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭.………7分 ∴1cos sin 2θθ-=.……8分，两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=.…10分，∴3sin 24θ=.……12分 17．（本小题满分12分） （1）解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===，解得，100n =，35a =，0.2b =.………3分 （2）解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c ……8分其中第三组3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况有3种，具体：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c .…10分 故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.8-=.………12分M O H F E D CB A O H FEDC BA （1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ，∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==.………1分∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，∴EF ∥AB .…………2分，∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，EO =FH .………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE .…………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =.………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥.………7分∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥.………8分∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF .………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====，∴222AO EO AE +=. ∴AO EO ⊥.………5分，∵FH ∥EO ，∴AO FH ⊥.…………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AOBC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥AB .…………7分∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥.…………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =，∴AB ⊥平面BCF .…………9分（3）解：连接EC ，在Rt △BFC 中，112FH BC ==，∴1EO FH ==. 由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF .………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD .………11分∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=.………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++，………1分，当2n ≥时，1n n n a S S -=-…………2分()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =.………4分又2353,5,9a p a p a p =+=+=+，…………5分，∵235,,a a a 成等比数列，∴2a a a =，即()()()2539p p p +=++，………6分，解得1p =-.………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭.…………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =.………4分，∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，………5分，即()()()2111428a a a +=++.解得10a =.…………6分，∴1p =-.………7分（2）解法1：由（1）得22n a n =-.…8分，∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. …9分 ∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，②………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.………14分 解法2：由（1）得22n a n =-.…8分，∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅.……9分 ∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-，………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.…………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞,………1分，∵()2ln f x x x ax =++，∴()12f x x a x'=++.………2分，∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x ++≥对()0,x ∈+∞都成立……3分，∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立.……4分当0x >时,12x x+≥当且仅当12x x =,即x =时,取等号.………5分 ∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣.………6分∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.………2分，方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-.………3分① 当0∆≤，即a -≤≤2210x ax ++≥，此时，()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立，故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数.…………4分② 当0∆>,即a <-或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣.…………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x x g x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. …………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解.………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减.………9分，∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>,………10分 ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<,……11分，∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *，∴3t ≤.………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3.………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，∴4a =.…………1分，第（2）、（3）问提供以下两种解法： 解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-.…………2分，直线AB 的斜率21111124224ABx y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-.………3分，令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.………4分，同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.………5分∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++.……6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =，或2k =-,………… 7分，∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+.…………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++.………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==，…………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k ++++=-=.…12分，令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-.…13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-.…………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+.………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441kk k --+. ………4分，∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+.…………5分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =.……6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (7)分，∵ST =，∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，得()225124k k k +=+， 解得2k =±. …………8分，∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+.………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=，…………10分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………11分 整理得，()224410x x y k+-++=.……12分，令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-.………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-.………14分。
Do_2014广东高考数学文科试卷含答案(WORD版)
20. 已知椭圆C的:一ax22个焦by22点为1(离a 心b率为0)
( 5, 0),
5.
3
21(.1已)求知椭函圆数C的f标(x准) 方1程x3 ;x2 ax 1(a R).
(2)若动点P为(椭x0,圆y0外)3 一点且C点到椭圆, 的两P条切线相C 互垂直求点的轨迹方, 程 P
.
(1)求函数f的(x单) 调区间 ;
2x
1 2x
B. x3 sin x
C. 2cosx 1
D. x2 2x
答案:A
提示设: 则f 的(x)定义2x域 为1 且, f (x) 2x
f (x)为奇函数,故选 A.
R,
f (x) 2x
1 2 x
1 2x
2x
f (x),
6. 为了解1名00学0生的学习情况采用,系统抽样的方法从中抽, 取容量为的样本40
(2)由S得n2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0, : (Sn 3) Sn (n2 n) 0,
an 0(n N ), Sn 0,从而Sn 3 0, Sn n2 n,
当n时 2 , an Sn Sn1 n2 n (n 1)2 (n 1) 2n,
20
故这名20工人年龄的方差为
:
1 20
(11)2
3
(2)2
3
(1)2
5
02
4
12
3
22
102
1 (12112 3 4 12 100) 20
1 252 20
12.6
18. 如图四2, 边形为A矩B形CD平面 , PD ABCD,
AB 1, BC PC 2.作如图折3 叠折: 痕 EF / /DC,
3
广东广州市届高三调研测试数学文试题及详细答案
789 6 4 7广州市2014届高三年级调研测试数 学（文 科）班级 姓名本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为A ． 85，84B ． 84，85C ． 86，84D ． 84，86 4．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是A ．i -B ．1-C ．iD ．1 5．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则AB 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．72089．若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 10．函数()sin f x x =[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．图313．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC ，1OM =，则MN 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2A C +=（1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组 [25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图 [45,50]（1（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？ （3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．AB COM N图518．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥， M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形． （1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求BA EA ⋅的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．广州市2014届高三年级调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．1112．3 13．8π14．1 15．⎡⎢⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，A B C ++=π．………………………………………………………………1分所以coscos 22A C B π+-= (2)分sin 23B ==．…………3分 所以2cos 12sin 2B B =-……5分13=．…………………7分（2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………9分得2210c c -+=．………11分 解得1c =．……………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．…1分且0.08251000.02b =⨯=人．……2分总人数252500.025N ==⨯人．…3分 （2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，………4分第2组的人数为2561150⨯=，…………5分 第3组的人数为10064150⨯=，……6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分又PA AC ⊥，AB AC A =，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =．所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=因为23525522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥．在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分 因为MCD B BCD M V V --=，……………………………………………………………………………12分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即1133238h ⨯⨯=⨯．……13分 所以512=h ．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………14解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H 由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D =，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分 因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯，……12分所以34122552BC DE BH CD ⨯⨯===． 方法2：在Rt △BHD 中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． ②……12分由①，②解得125BH =．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=-， ② …………………………………2分 ①－②得，122n n a-=．……4分所以2n n a =．………5分 因为12a =，适合上式，所以2n n a =()*n ∈N ．……………………6分（2）由（1）得2nn a =．所以()()111nn n n a b a a +=--()()122121n n n +=--………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分 所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由2=知点M 为线段PD 的中点．……………………………………………1分设点M 的坐标是(,)x y ，则点P 的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上，所以()2224x y +=．………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分 因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2=-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++-221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分 因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-， 所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增， 所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．……9分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即122a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分③当212a ≤1a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………………………13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当12a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；1a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。
2014广东高考数学文科试卷含答案(WORD版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A iB iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.x x212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x xx x x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为 2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π= （1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin 2 3.121234(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 33331cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:1 9()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,,2233336()(4411362.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=={}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式2 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-2222002222220.:1(0)(1);(2)(,),,.:(1)3,954,1.94(2),,4x yC a ba bCP x y C P C Pcc e a b a cax yCx y+=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x xx yy k x x yk x k y kx x y kxk y kx y kx k y kx-±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即2222200000122220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.kyx k x y k y k kxx yP x y+=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a Rf xa x f x f=+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,74x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴-<<<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<--=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
广东省2014届高三文科数学下学期十校联考试卷及答案
广东省2014届高三文科数学下学期十校联考试卷及答案
广东2014届高三下学期十校联考
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，若（为虚数单位）为正实数，则()
A．2B．1C．0D．
2．已知，则（）
3.下列命题中的假命题是（）
A．B．“”是“”的充分不必要条件[来源:
C．D．若为假命题，则、均为假命题
4.若直线不平行于平面，且，则()
内的所有直线与异面B.内存在唯一的直线与平行
C.内不存在与平行的直线
D.内的直线与都相交
广东省2014届高三文科数学下学期十校联考试卷及答案阅读版
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7 8 994 4 6 4 7 3试卷类型：A广州市2014届高三年级调研测试数 学（文 科） 2014．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞ 2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84 B ． 84，85 C ． 86，84D ． 84，864．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是A ．i -B ．1-C ．iD ．1图15．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则A B 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是 A．4+ B． C．4+ D．8+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．函数()sin f x x =+[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______．图3正视图 侧视图（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 23A C +=． （1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表．（1）求正整数a ，b ，N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．ABCOM N图4图518．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求⋅的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．广州市2014届高三年级调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．1112．3 13．8π14．1 15．33⎡-⎢⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，A B C ++=π．………………………………………………………………1分所以coscos22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分sin23B ==．………………………………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- ……………………………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………………………………7分 （2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分 得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分 总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分 又PA AC ⊥，AB AC A = ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂ 平面PAC ， 所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分 因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分 因为MCD B BCD M V V --=，……………………………………………………………………………12分 所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=．……………………………………………………………………13分 所以512=h ． 故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D = ，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以34122552BC DE BH CD ⨯⨯===方法2：在Rt △BHD 中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分 在Rt △BHC 中，因为4BC =， 所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． ②…………………………………12分由①，②解得125BH =．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分 当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=- ， ② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分 所以2nn a =．…………………………………………………………………………………………5分 因为12a =，适合上式， 所以2nn a =()*n ∈N ．………………………………………………………………………………6分（2）由（1）得2nn a =．…………………………………………………………………………………7分所以()()111n n n n a b a a +=--()()122121nn n +=--…………………………………………………8分 1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分 所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分 11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由MD PD 2=知点M 为线段PD 的中点．……………………………………………1分设点M 的坐标是(,)x y ，则点P 的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分 因为点P 在圆422=+y x 上，所以()2224x y +=．…………………………………………………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分 因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上，所以42020=+y x ． ①………………………………………………………………………2分 把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2=-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++-221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分 因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．………………………………………………………9分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即122a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………………………13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。