九年级数学下第三章圆
北师大版九年级数学下册3.1圆 课件(共32张PPT)
根据圆的定义，“圆”指 的是“ 圆周 ”，而不 是“圆面”。
O
A
确定一个圆的要素:
一是圆心， 二是半径， 圆心确定其位置， 半径确定其大小．
O
A
如图，连接圆上任意两点的线段 叫做弦，如AB； 经过圆心弦叫做直径， 如直径CD. 我们知道，圆上任意 两点的部分叫做圆弧, 简称弧. 圆的任意一条直径的两个 端点分圆成两条弧,每一 弧都叫做半圆. 弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧,小于 半圆的弧叫做劣弧. 如图中，以A,D为端点的弧有两条：优弧ACD（记 作ACD），劣弧ABD（记作AD或ABD）.
B
C
已知圆P的半径为3，点Q在圆P外，点R在圆P上，点 H在圆P内，则PQ___3 = ＜ ＞ ，PR____3,PH_____3. 如图， △ ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6， CD
3 5 为中线，以C为圆心,以 2 为半径作圆，则点A、
B 、 D 与圆 C 的关系如何？ 点A在圆外，点B在圆内， 点D在圆上.
解（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=220， ∴AD=110（km），110÷20=5.5,12-5.5=6.5＞4， ∴A城市受这次台风影响； A （2）在BD及BD的延长线上分别取E，F D 两点，使AE=AF=160千米.由于当A点距 台风中心不超过160千米时，将会受到 台风的影响.所以当台风中心从E点移到 B F点时，该城市都会到这次台风的影响. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE= 30 15 所以EF=2DE=60 15 （3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的 风力最大，其最大风马牛不相及力为12110/20=6.5级
（1）分别以点A、点B为圆心，以2cm的长为半径 画圆，两圆的交点即为所求。 P
3.7北九数学下第三章圆第七节切线长定理
A D
O
F
例题1图
E
C
2015.01
• 变式1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分 别相切于点 D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm, CA=13cm,求AF,BD,CE的长。(知识技能2)
A F O E
B
D 第 2题
C
2015.01
随堂练习
已知O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过P 作O的两条切线，求这两条切线的长。
2015.01
2、由（6）得出定理：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 .
A
O B
P
2015.01
证明：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点。 求证：PA=PB，PO平分∠APB 证明：连接OA、OB ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° 在Rt△POA和Rt△POB中 ∵OA=OB，OP=OP ∴Rt△POA ≌Rt△POB ∴PA=PB ,PO平分∠APB A
∴AB= AB BC 10 24 26
2 2 2 2
∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于D,E,F ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， BE=BD， AF=AD，CE=CF 又∵∠C=90°∴四边形OECF为正方形 ∴EC=FC=r∴BE=24-r,AF=10-r ∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r=26 ∴r=4 即⊙O半径为4
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，
而切线长是线段的长度，指过圆外一点做圆的切 线，该点到切点的距离。
北师大版九年级数学下册第三章2圆的对称性
于点E,AD=OB,试说明 B︵D
︵
= DE
,并求∠A的度数.
解析 设∠A=x°.∵AD=OB,OB=OD,∴OD=AD.
∴∠AOD=∠A=x°.∴∠ABO=∠ODB=∠AOD+∠A=2x°.
∵AO=AB,∴∠AOB=∠ABO=2x°.
︵
︵
∴∠BOD=2x°-x°=x°,即∠BOD=∠AOD.∴ BD = DE .在△AOB中,由三角形的内
解析 ∵ A︵E = B︵D ,∴∠BOD=∠AOE=32°, ∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°,∴∠COE=32°+32°=64°. 答案 D
点拨 本题在求角的度数时运用了转化思想,在同圆或等圆中,利用圆心 角、弧、弦之间的关系可以实现角、线段、弧之间的转化.
题型二 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等 例2 (2019江苏南京中考)如图3-2-3,☉O的弦AB、CD的延长线相交于 点P,且AB=CD.求证:PA=PC.
︵
︵
圆心角的度数,因为∠BOA=2∠COD,所以 AB 的度数= CD的度数的2倍,所
︵
︵
以在同圆或等圆中, AB =2 CD ,所以B项正确.C、D项错误.
4.如图3-2-2,AB、CD是☉O的两条直径,弦BE=BD,则 A︵C 与 B︵E 是否相等?为 什么?
图3-2-2
解析 A︵C= B︵E .理由:连接AC.∵AB、CD是☉O的直径,且∠AOC=∠BOD,
2.如图3-2-1,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形 各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影 部分的面积是( )
图3-2-1 A.4π B.3π C.2π D.π 答案 D 利用圆的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之
北师大版九年级数学下册《圆》PPT课件
2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，
若OP= 3 ，则点 P 在（ D ）
A.大圆内
B.小圆内
o
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
要点归纳
P d O
r
Od P
r
P
dO r
P O
Rr
点 P 在⊙O 内 d<r 点 P 在⊙O上 d=r
点 P 在 ⊙O 外 d>r 点 P 在圆环内 r＜d＜R
劣弧：AF, AD,AC,AE.
F
O
E
(
( (( ((
(
((
优弧：AFE, AFC,AED,AEF. (2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径. A
C
弦 AF，AB，AC.其中弦 AB 又是直径. (3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 AF.
知识要点
1. 根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”.
r rO· r
A
有点组成的图形．定点就是圆心，定长就是 C r r E
半径，以点 O 为圆心的圆记作 ⊙O，读作
“圆 O ”.
有关概念
固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，一
般用 r 表示．
确定一个圆的要素 一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小．
同心圆 圆心相同，半径不同
等圆
能够重合 的两个圆 叫做等圆.
系？
P
d O
r
Od
r
P
Pd O r
点 P 在 ⊙O 内 点 P 在⊙O上
d＜ r d =r
点 P 在⊙O 外
d ＞r
练一练：
九年级第三章圆知识点总结
九年级第三章圆知识点总结九年级的数学学科中，第三章圆是一个重要的知识点。
圆是一个几何图形，是由平面上的所有与定点距离相等的点组成的。
在这个章节中，学生需要掌握圆的性质、圆的表达式和圆与直线的关系等内容。
下面将从不同的角度对这些知识点进行总结。
一、圆的定义和性质圆是一个几何图形，它由平面上的所有与定点距离相等的点组成。
圆的性质有以下几点：1. 圆的半径：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 圆的直径：圆的直径是通过圆心并在圆上的一条直线段，它的长度是圆的两倍，用字母d表示。
3. 圆的周长：圆的周长是圆周上的一段弧所对应的长度，用字母C表示。
圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的面积：圆的面积是圆内部所包围的区域的大小，用字母A表示。
圆的面积可以通过公式A = πr^2来计算。
二、圆的表达式在数学中，我们常常需要用到圆的表达式来描述一个圆。
圆的表达式一般有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程：标准方程是以圆心和半径为依据的表达式形式。
标准方程的一般形式为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2. 一般方程：一般方程是以圆的一般性质为依据的表达式形式。
一般方程的一般形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
三、圆与直线的关系圆与直线之间有一些重要的关系。
下面将介绍一些常见的关系：1. 切线：切线是与圆相切并且只与圆相交于切点的直线。
切线与半径的关系是垂直关系，切线与圆的切点处的切线段等于半径的长度。
2. 弦：弦是连接圆上任意两点的直线段。
弦的长度小于等于直径的长度。
3. 弧：弧是圆上的一段曲线。
圆周上的任意两点可以确定一个弧。
4. 正切线：正切线是一条通过圆外一点且与圆相切的直线。
正切线的长度等于该点到圆心的距离。
综上所述，九年级第三章圆是一个重要且有趣的数学知识点。
九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形课件 北师大下册数学课件
Image
12/10/2021
第四十五页，共四十五页。
第四十页，共四十五页。
当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
第四十一页，共四十五页。
【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
第四十四页，共四十五页。
内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
第三页，共四十五页。
第四页，共四十五页。
这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
第五页，共四十五页。
【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.
北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件课件(共28张PPT)
判断：
1、经过三点一定可以作圆。（× ）
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分 线的交点。（√ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（× ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。 （×）
1、某一个城市在一块空地新建了三个 居民小区，它们分别为A、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学，
书P125 练习
小结：
课后日记： 今天学了什么：___________ 今天的收获是:______________ 有不明白的地方吗？_______ 它是:_________________
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条边的垂
直平分线的交点，它到三角
形的三个顶点的距离相等。
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位 置和大小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆！
（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这 些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（5）外接圆，外心的概念。
巩固新知 应用新知
2、如图,
一 根 5m 长 的 绳
于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
第一章 直角三角形的边角关系 第三章 圆 单元整体复习课 课件-北师大版九年级数学下册
∴AC＝AB，
∴∠CBA＝∠BCA＝70°，
分析 画弧操作知AC＝AB， 则∠CBA＝∠BCA＝70°
∵l1∥l2，
∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，
∴∠1＝180°－70°－70°＝40°，
l1∥l2，知∠CBA+∠BCA+∠1＝180°
故答案为：40°．
∠1度数
典例分析2
知识点2--圆的对称性
分析
解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°， 由圆周角定理∠A＝ ∠BOC
∴∠BOC＝180°－40°－40°
＝100°，
∴∠BOC＝180°－2 ∠OBC
∴∠A＝ ∠BOC＝50°．
故选：A．
典例分析4
知识点3--圆周角与圆心角的关系
如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、
运用勾股定理与直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题；
3.掌握并能运用以下知识解决问题：圆的有关性质：相关概念，对称性，
圆周角与圆心角关系，确定圆的条件，与圆有关的位置关系：点、直线与
圆的位置关系，与圆有关的运算：弧长面积的计算，圆的内接正多边形相
关运算。
复习要求
1.知识建构环节，需要大家暂停屏幕，根据给出的思维导图查阅课本，往
构造直角三角形
分析
锐角三角函数定义
10
5
5
典例分析2
知识点2--特殊的三角函数值
已知a为锐角，且sin（a － 10°）＝
A．50°
B．60°
C．70°
解：∵sin60°＝ ，
∴a － 10°＝60°，
即a＝70°．
北师大版九年级数学下册第三章《第三章 第1节 圆》优质课件
当OA=1cm时，点A在 ⊙O内 ； 点在圆上，点在圆 内.
当OB=4cm时，点B在 ⊙O外 .
例2.已知：如图，矩形ABCD的对角 线相交于点O， 试猜想：矩形的四个顶点能在同一 个圆上吗？
AA
DD
OO
BB
CC
答：在矩形ABCD中，有OA=OB=OC=OD，四个顶点 在同一个圆上，故矩形四个顶点能在同一个圆上.
2.（新疆建设兵团·中考）如图，王大爷家屋后有一块
长12m，宽8m的矩形空地，他在以BC为直径的半圆内种
菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，
拴羊的绳子可以选用（ ）
A.3m
B.5m
C.7m
D.9m
答案:A
3.（泉州·中考） 已知三角形的三边长分别为3，4，5， 则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 ________.（写出符合的一种情况即可） 【解析】∵圆心的位置不确定，∴交点个数共有5种情况即 0、1、2、3、4.故答案为0或1或2或3、4. 答案：2（符合答案即可）
善性是难能可贵的，也是高尚和值得称赞 的。
——亚里士多德
You made my day!
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
我们，还在路上……
【规律方法】1.判断点与圆的位置关系的方法：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有
（1）点P在⊙Ｏ上
OP＝r
（2）点P在⊙Ｏ内
OP＜r
（3）点P在⊙Ｏ外
OP＞r
2.要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点到同一
个定点的距离相等.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
１.从运动和集合的观点理解圆的定义. ２.点与圆的位置关系. ３.证明几个点在同一个圆上的方法.
3.1圆的定义
（以点Ａ为圆心，２厘米长为半径的圆）
A B
(2)到点A的距离小于2cm的所有点组成的图形.
（以点Ａ为圆心，２厘米长为半径的圆的内部）
A
B
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形： (3) 到点 A 和点 B 的距离都等于 2cm 的所有点组成的 图形. （分别以点Ａ、Ｂ为圆心，2厘米 A B 长为半径的⊙Ａ和⊙ Ｂ的交点）
•如果用小圆代表你们学到的知识，用大 圆代表我学到的知识，那么大圆的面积 是多一点，但两圆之外的空白都是我们 的无知面，圆越大其周围接触的无知面 就越多。希望同学们努力学习，掌握更 多的知识。
(4)到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形.
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心，2厘米 长为半径的⊙Ａ的内部与⊙ Ｂ的 内部的公共部分，即图中阴影部分 ，不包括阴影的边界）
A
B
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
(5)到点 A的距离小于 2cm，且到点Ｂ的距离大于２ cm的所有点组成的图形.
观察这5个点与圆的位置关系 ？
投镖游戏 点A,B,C,D,E到圆心O的 距离与⊙O的半径有怎 样的大小关系?
点在圆内,则这个点到圆心的距离 小于 半径 点在圆上,则这个点到圆心的距离 等于 半径 点在圆外,则这个点到圆心的距离 大于 半径
点与圆的位置关系共3种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外。
反之,如果一个点到圆 心的距离小于半径, 那么 这个点在哪里呢?等于圆的 半径呢? 大于圆的半径呢?
圆的定义： 平面上到定点的距离等于定长的 所有点组成的图形叫做圆。 其中定点称为圆心，定长称为半 径的长 ，以点O为圆心的圆记作 “⊙O” ：读作：“圆O”。
O A
注意：1、从圆的定义可知：圆是 指圆周而不是圆面。 2、确定圆的要素是：圆心、半径。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案
北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容，而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。
教材从圆的轴对称性入手，引导学生探究圆的对称性质，进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。
本节课通过丰富的实例和生动的活动，让学生深刻理解圆的对称性，并为后续学习圆的性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容，对轴对称图形有了一定的认识，能够理解并运用轴对称的性质。
但他们对圆的对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步加强对圆对称性质的认识。
同时，学生对圆的相关知识掌握程度不一，需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。
三. 教学目标1.理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义及性质。
2.能够运用圆的对称性解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。
2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法，引导学生从实际问题中发现圆的对称性，通过自主探究和合作交流，深入理解圆的对称性质。
六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生发现圆的对称性。
2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作，加深对圆对称性质的理解。
3.准备一些实际问题，用于巩固学生对圆对称性的运用。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如剪纸、建筑等，引导学生对对称性产生兴趣。
然后提出问题：“你们认为什么样的图形才能称为对称图形？”让学生回顾轴对称图形的概念。
2. 呈现（10分钟）呈现圆的轴对称性实例，如圆形的剪纸、钟表等，引导学生观察并描述圆的对称性质。
同时提出问题：“圆有对称轴吗？如果有，在哪里？”让学生思考并讨论。
3. 操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画出一个圆形，并用折纸的方法找出圆的对称轴。
初三下册数学第三章圆知识点要点
初三下册数学第三章圆知识点要点一. 正切：正切．． 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ; 正弦，即斜边的对边A A ∠=sin ;余弦，即斜边的邻边A A ∠=cos ;①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=sin 2A+cos 2A=1第三章 圆一. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d____r; ②点在圆内 <===> d____r; ③点在圆外 <===> d____r. 二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．. 2. 圆即是轴对称图形，又是___________。
3. 垂径定理：_________________________，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径_______，并且平分弦______________。
推论1: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 推论2: 同弧或等弧所对的________相等；推论3: 半圆或直径所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____.三. 圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且_____________,叫做圆周角.2. 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于____________________. 四. 确定圆的条件:1.定理: 不在同一直线上的______确定一个圆.2. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到__________ 相等.五. 直线与圆的位置关系1. 设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ；①d<r <===> 直线L 和⊙O_____. ②d=r <===> 直线L 和⊙O______. ③d>r <===> 直线L 和⊙O______.2. 切线的判定定理: 经过________________________________的直线是圆的切线.3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于______________.4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______,内切圆的圆心叫做____________.5. 三角形内心的性质:三角形的内心到___________相等.六.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条___________.性质：圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
北师大版数学九年级下册第三章 3.5 确定圆的条件
北师大版数学九年级下册第三章 3.5 确定圆的条件1. 圆的定义圆是平面上的一组点，这些点到一个固定点的距离都相等，这个固定点叫做圆心，以圆心为距离的长度叫做半径。
符号表示：圆心O，半径R，圆⊙O(R)。
2. 确定圆的条件对于平面内的一组点，如何确定这组点是一个圆呢？下面介绍两种确定圆的条件。
2.1 三点共线如果平面内的三个点A,B和C共线，即A,B和C三个点在一条直线上，那么这三个点不可能构成一个圆。
一个圆上的任意三个点不共线。
2.2 半径相等如果平面内的一组点到一个固定点的距离都相等，那么这组点构成了一个圆。
这个固定点叫做圆心，到这个圆心的距离叫做半径。
例如，有一组点A,B和C，到点O的距离分别是r1,r2和r3，如果r1=r2=r3，那么这组点构成了一个圆。
2.3 综合应用在实际问题中，我们可能需要综合运用以上两种条件来确定一个圆。
例如，已知一个四边形ABCD，如果四边形的对角线AC和BD的交点O与四边形的其他三个顶点A,B和C的距离相等，即OA=OB=OC=OD，那么点O是这个四边形内切圆的圆心，OA=OB=OC=OD就是这个内切圆的半径。
3. 性质和定理下面介绍一些与圆相关的性质和定理。
3.1 弧弧长是弧所对的圆心角的大小占360°的比例。
弧度是弧长与半径的比值。
3.2 弧度制与度制的转换角度d转换成弧度r的公式为：$r=\\frac{d\\pi}{180}$。
弧度r转换成角度d的公式为：$d=\\frac{r\\times180}{\\pi}$。
3.3 弦弦是圆上的两个点所确定的线段。
3.4 弧和弦的关系当弦AB是一个圆的直径时，弦AB所对的弧是一个半圆。
当弦AB不是一个圆的直径时，弦AB所对的弧小于一个半圆。
3.5 切线如果过圆上某一点P作圆的半径，切线与半径垂直。
切线的斜率是与半径所在直线的斜率相反数。
3.6 切线和半径的关系切线与半径的长度的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)
D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:
九年级下第三章圆知识点
九年级下第三章圆知识点圆，是我们日常生活中常见的一个几何图形。
它是由一组与某个点的距离相等的点构成的。
在九年级下第三章圆知识点中，我们将深入了解圆的定义、性质、相关定理和应用。
让我们一起来探索吧！一、圆的定义和性质圆的定义非常简单明了：它是平面上任意一点到某一定点的距离等于常数的点的集合。
这个定点叫做圆心，常数叫做半径。
圆的性质有以下几点：1. 圆周上任意两点的距离等于圆心到这两点的距离。
这个性质非常重要，它使得圆周上的任意弧长相等。
2. 圆上的任意弧都是圆周长的一部分。
弧长是弧上的两个端点之间的距离，而圆周长是圆上任意两点之间的距离。
3. 圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的一条线段。
直径是圆周长的两倍，它将圆分成两个对称的部分，每个部分叫做半圆。
二、圆的相关定理在九年级下第三章圆知识点中，有一些常用的定理和公式与圆相关：1. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π。
使用这个公式时需要注意半径的单位与面积的单位要一致。
2. 弧长公式：圆的弧长等于圆心角的弧度度数乘以半径。
这个公式在解决弧长和角度之间的换算问题非常有用。
3. 切线定理：切线与半径的垂直定理是一个重要的定理。
它指出，从圆外一点引一条切线，切线与半径的夹角是直角。
4. 余弦定理和正弦定理：这两个定理在解决与圆相关的三角形问题时非常实用，能够帮助我们计算角度、边长等。
三、圆的应用圆作为一种几何图形，在我们的日常生活中有许多应用。
以下是几个常见的圆的应用：1. 圆形运动：当一个物体绕着一个固定点旋转，它的轨迹形成一个圆。
这种圆形运动可以应用于天体运动、机械运动等领域。
2. 圆形建筑：许多建筑物的设计中都融入了圆的形状。
例如，圆形的建筑物可以提供更好的支撑力和内部空间的分配。
3. 圆形标识和标志：许多公司、组织和产品都采用圆形的标识和标志。
圆形标志给人以稳定、和谐的感觉，也容易被人们记住。
4. 圆形媒体显示：在电子产品的显示屏、摄像头镜头等中，常常采用圆形设计。
第三章圆回顾与思考(教案)
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以车轮为例，探讨圆在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的性质和圆的方程这两个重点。对于难点部分，如圆周角定理和圆的切线判定，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
到性质，再到方程和应用，我希望通过这样的复习能够帮助学生巩固所学，深化对圆的理解。我发现，大部分学生对圆的基本性质掌握得还不错，但在将理论知识应用到实际问题解决时，还存在一些困难。
首先，圆周角定理和圆的切线判定是学生理解的难点。在讲解这些部分时，我尝试使用了图形和实际案例，但感觉效果并不如预期。我意识到，可能需要更多的时间让学生去操作、去实践，通过自己的探索来加深理解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性质和方程。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-难点三：切线与割线的性质理解。举例：如何判定一条直线是否为圆的切线，以及如何利用割线定理求解问题；
-难点四：圆与圆位置关系的判断。举例：在给定两个圆的半径和圆心距离的情况下，如何判断它们的位置关系；
-难点五：弧、弦、圆心角的计算。举例：在给定圆的一部分信息时，如何计算未知的弧长、弦长或圆心角；
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经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
AD
据垂径定理,D是AB的中点,C是
由题设得
? 1 AB ?
1AB ? 7.2,CD
? 7.2 ? 3.6,
?
2.4,
HANB 的?中1点M,NCD?就1.是5.拱高. 2
2
2
OD ? OC ? DC ? R ? 2.4.
在Rt △OAD中，由勾股定理，得
? 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示 .若油面宽AB = 600mm ，求油的最大深 度.
A
60D0
B
O ? 650
C
随堂练习P补10
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
? 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决 .
? 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题 .
C
●
o E
?解:连接 C.
设弯路的半径为Rm,则OF ? (R ? 90)m.
F
?OE ? CD, D ? CF ? 1 CD ? 1 ? 600 ? 300(m).
的三角形 的特点.
O
2
2
根据勾股定理, 得 OC 2 ? CF 2 ? OF 2,即
R2 ? 300 2 ? ?R ? 90?2.
解这个方程 , 得 R ? 545 .
想一想 P补 7
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE 、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
⑴d + h = r ⑵ r 2 ? d 2 ? (a )2
?3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r 、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外 两个量，如图有：
a
h
2
⑴d + h = r
d
⑵ r2 ? d 2 ? (a )2
O
2
独立作业P911 1
挑战自我
? P93:习题3.2
1题
驶向胜利 的彼岸
?祝你成功!
结束寄语
下课了 !
? 形成天才的决定因素应该 是勤奋.
随堂练习P92 4
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm ，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB ? 37.4,CD ? 7.2,
11
AD ? AB ? ? 37.4 ? 18.7,
? 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥 ,桥下水面宽为 7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽 3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里 ,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
? 相信自己能独 立完成解答.
做一做P补 6
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
? 解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
种语言要相 互转化 ,形成 整体,才能运 用自如 .
想一想P91 2
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
? 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧 (即图中弧
CD,点o是弧CD的圆心),其中CD=600m,E 为弧CD上的
一点,且oE⊥CD垂足为 F,EF=90m. 求这段弯路的半径 .
老师提示: 注意闪烁
? 这段弯路的半径约为545m.
随堂练习P932
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
? 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥 (如图)的桥 拱是圆弧形 ,它的跨度(弧所对是弦的长 )为 37.4 m, 拱高 (弧的中点到弦的距离 ,也叫弓形高 )为7.2m, 求桥拱的半 径(精确到 0.1m).
?你是第一 个告诉同 学们解题 方法和结 果的吗？
OA2 ? A D2 ? OD2 ,
即R2 ? 3.62 ? (R ? 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt △ONH 中，由勾股定理，得
OH ? ON 2 ? HN 2 , 即OH ? 3.92 ? 1.52 ? 3.6.
? DH ? 3.6 ? 1.5 ? 2.1 ? 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥 .
2
2
OD ? OC ? DC ? R ? 7.2.
7.2
A
37.4
C
D
B
在Rt △OAD中，由勾股定理，得
OA2 ? A D2 ? OD2 , 即R2 ? 18.72 ? (R ? 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
R
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为 27.9m.
做一做P补 5
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(2) 垂径定理的应用
想一想 P90 1
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
? 定理 垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所的两条弧 .
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD ⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
? 老师提示:
? 垂径定理是 圆中一个重 要的结论 ,三
2
O
E
A
B
D
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
做一做P补 8
垂径定理的应用
驶向胜利 的彼岸
? 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示 .若油面宽AB = 600mm ，求油的最大深 度.
O
A
┌E
B
D
600
想一想P补 9
垂径定理的逆应用
驶向ห้องสมุดไป่ตู้利 的彼岸